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TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: DERIVADAS (temas pendientes) MATEMATICA I B (Profesorados de Física y de Química) UNRN – AÑO: 2016 •

Diferenciación implícita y diferenciación logarítmica 1. Halla las derivadas de las siguientes funciones utilizando la diferenciación implícita a) 2 y − e x + y 2 = x b) ln( x + y ) − y 2 = x 2 d) x 2 y − xy 2 + y 2 = 7

c) y x + e y e x = 0

2. Halla las derivadas de las siguientes funciones utilizando la diferenciación logarítmica b) f ( x) = cos( x) sen ( x ) a) f ( x) = sen( x) x 1

c) f ( x) = ( x3 − x 4 ) x

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−3 x

d) f ( x ) = tg ( x ) x

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• Teoremas de funciones diferenciables 3. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]? 4. Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. En caso afirmativo determinar los valores de c. 5. ¿Satisface la función f(x) = 1 − x las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1]? 6. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x2 − 5x + 1 en [0, 2]? ¿Y a f(x) = 1/ x2 en [0, 2]? En caso afirmativo determinar los valores de c en cada caso. 7. Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x3 − x2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A=(1, 2) y B=(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto? 8. Determinar a y b para que la función dada cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [2, 6].

si x < 4 ax − 3 f ( x) =  2 − x + 10 − b si x ≥ 4 •

Diferencial. Aproximaciones

9. Utilizar el concepto de diferencial para aproximar el valor de

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10. Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área? (Rta: 0,06%) 11. La pared lateral de un depósito cilíndrico de radio 50 cm y altura 1 m, debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. ¿Cuál es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere? (Volumen de un cilindro: (área de la base).(altura del cilindro). Rta: 94247,779cm3). 12. La medida de la arista de un cubo mide 15cm con un error posible de 0,01cm. Emplee diferenciales para determinar el error aproximado al calcular a partir de esta medida: a) El volumen (Rta: 6,75cm3) b) el área de una de las caras (Rta: 0,3cm2) 13. Utilizar diferenciales para determinar la disminución del área de una quemadura de forma circular en la piel de una persona cuando el radio disminuye de 1cm a 0,8cm. (Rta: 0,4 π cm2).