DERIVADAS La derivada de una función y = f(x) en un punto x = xo (f ´(xo)), es un número real, que representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto, o lo que es lo mismo, el valor de la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta tangente a la función en el punto con la parte positiva del eje de abscisa. f ' (x o ) = tg α Se dice que una función es derivable en un punto xo, si en ese punto la función es continua y, existe el siguiente límite: f (x o + h ) − f (x o ) lím h h →0
Si el límite existe y es un número real, se le denomina derivada de la función en el punto xo. f (x o + h) − f (x o ) f ' ( x o ) = lím h h →0 La existencia de este límite lleva consigo la existencia e igualdad de los límites laterales en el punto. f (x o + h ) − f (x o ) = f x o− f (x o + h ) − f (x o ) f (x o + h ) − f (x o ) h h →0 = lím : lím− f (x o + h ) − f (x o ) + h h h →0 ∃ lím = f x o+ h →0 h h →0 +
( ) ( )
∃ lím
−
O lo que es lo mismo:
( ) ( )
f x o− = f x o+
La definición de derivada de una función en u punto se puede simplificar con un cambio de variable f ( x o + h ) − f ( x o ) Cambio de variable : h = x − x o f (x ) − f (x o ) = = lím Sí h → 0 ⇒ x → x o h h →0 x →x o x − x o
f ' ( x o ) = lím
Se llama función derivada a una aplicación dentro del conjunto de los nº Reales tal que a cada valor de x le hace corresponder un valor f '(x), siendo este: f (x + h ) − f (x ) f ' ( x ) = lím h →0 h
REGLAS DE DERIVACION
i. ii. iii.
(K ⋅ f ( x )) ' = K ⋅ f ' (x ) (f (x ) + g( x ) ) ' = f ' ( x ) + g' ( x ) (f (x ) ⋅ g( x ) ) ' = f ' ( x ) ⋅ g( x ) + f ( x ) ⋅ g(x )' '
iv. v.
f ( x ) f ' (x ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) = (g(x ) )2 g(x ) (f (g( x ) ))' = f ' (g( x ) )⋅ g' ( x ) Regla de la Cadena
Derivación logarítmica.
y = (f ( x ) )g ( x ) Se toman logaritmos neperianos en los dos miembros y teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos queda: Ln y = g( x ) ⋅ Ln f(x) derivando esta expresión: y' f ' (x) = g' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g( x ) ⋅ y f (x) despejando Y' y sustituyendo Y por su expresión: f ' (x ) f ' (x) g(x) ⋅ g' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g( x ) ⋅ y' = y ⋅ g' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g ( x ) ⋅ = (f ( x ) ) f ( x ) f (x )
Derivación en forma implícita. Hasta ahora se ha supuesto el caso de funciones explícitas, es decir la y aparece despejada. Se llama función implícita a una función de dos variables x e y sin que la y aparezca despejada. Para derivar una función implícita se siguen las misma reglas que para las explícitas, teniendo en cuenta que la derivada de la de y es y'. Una vez hecha la derivada con las reglas convencionales, basta con despejar y'. Ejemplo: x 2 + y 2 − 6xy + 4 = 0 Derivamos la expresión siguiendo las reglas: 2x + 2 yy ′ − (6 y + 6xy ′) + 0 = 0 La expresión de la derivada se halla despejando y´ 2x + 2 yy ′ = 6 y + 6xy ′ 2 yy ′ − 6xy ′ = 6 y − 2x y ′ ⋅ (2 y − 6x ) = 6 y − 2x
y′ =
6 y − 2x 2y − 6x
y′ =
3y − x y − 3x
Tabla de derivadas FUNCIONES SIMPLES
FUNCIÓNES COMPUESTAS REGLA DE LA CADENA
y' = n·x n −1
y = xn
y' =
y= x
1 y = f (x)
2· x 1
y' =
n
y = f n (x)
y' = n·f n−1 ( x )·f ' ( x ) y' =
1
·f ' ( x )
2· f ( x ) 1
y' =
·f ' ( x )
n
y = n f (x)
y = ax
y' = a x ⋅ Ln(a )
y = a f (x)
y' = a f ( x ) ⋅ f ' ( x ) ⋅ Ln(a )
y = ex
y' = e x
y = e f (x)
y' = e f ( x ) ⋅ f ' ( x )
y' = x
n· x n −1
y' =
y = Lg a (x )
1 x ⋅ Ln(a )
y = Lg a (f ( x ) )
1 x
y = Ln(f ( x ) )
y' =
y = Ln(x )
n·n (f ( x ) )n −1
1 ·f ' ( x ) f ( x ) ⋅ Ln(a )
y' =
y' =
1 ·f ' ( x ) f (x )
y = sen (x )
y' = cos(x )
y = sen (f ( x ) )
y' = cos(f ( x ) ) ⋅ f ' ( x )
y = cos(x )
y' = −sen (x )
y = cos(f ( x ) )
y' = −sen (f ( x ) ) ⋅ f ' ( x )
y = tg (x )
y' =
1 cos 2 x
y = arcsen(x )
y' =
y = ar cos(x )
y' =
y = arctg(x )
y' =
= 1 + tg 2 x 1
1− x
2
−1 1− x 2 1 1+ x
2
y' = y = tg (f ( x ) )
(
cos f ( x )
⋅ f ' (x ) =
)
= 1 + tg 2 f ( x ) ⋅ f ' ( x )
y = arcsen(f ( x ) )
y' =
y = ar cos(f ( x ) )
y' =
y = arctg(f ( x ) )
1 2
y' =
1 1 − f 2 (x) −1 1 − f 2 (x) 1 1 + f 2 (x)
⋅ f ' (x) ⋅ f ' (x)
⋅ f ' (x)