DERIVADAS La derivada de una función y = f(x) en un punto x = xo (f ´(xo)), es un número real, que representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto, o lo que es lo mismo, el valor de la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta tangente a la función en el punto con la parte positiva del eje de abscisa. f ' (x o ) = tg α Se dice que una función es derivable en un punto xo, si en ese punto la función es continua y, existe el siguiente límite: f (x o + h ) − f (x o ) lím h h →0
Si el límite existe y es un número real, se le denomina derivada de la función en el punto xo. f (x o + h ) − f (x o ) f ' ( x o ) = lím h h →0 La existencia de este límite lleva consigo la existencia e igualdad de los límites laterales en el punto. f (x o + h ) − f (x o ) = f x o− f (x o + h ) − f (x o ) f (x o + h ) − f (x o ) h h →0 = lím : lím− f (x o + h ) − f (x o ) + h h h →0 ∃ lím = f x o+ h →0 h h →0 +
( ) ( )
∃ lím
−
O lo que es lo mismo:
( ) ( )
f x o− = f x o+
La definición de derivada de una función en u punto se puede simplificar con un cambio de variable f ( x o + h ) − f ( x o ) Cambio de variable : h = x − x o f (x ) − f (x o ) = = lím Sí h → 0 ⇒ x → x o h h →0 x →x o x − x o
f ' ( x o ) = lím
Se llama función derivada a una aplicación dentro del conjunto de los nº Reales tal que a cada valor de x le hace corresponder un valor f '(x), siendo este: f (x + h) − f (x) f ' ( x ) = lím h →0 h
REGLAS DE DERIVACION i. ii. iii.
(K ⋅ f ( x )) ' = K ⋅ f ' (x ) (f ( x ) + g( x ) ) ' = f ' ( x ) + g' ( x ) (f ( x ) ⋅ g(x ) ) ' = f ' ( x ) ⋅ g( x ) + f (x ) ⋅ g( x )' '
iv. v.
f ( x ) f ' (x ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) = (g(x ) )2 g(x ) (f (g( x )))' = f ' (g(x ) ) ⋅ g' ( x ) Regla de la Cadena
Tabla de derivadas FUNCIONES SIMPLES y = xn y= x y' = n x
FUNCIÓNES COMPUESTAS REGLA DE LA CADENA
y' = n·x n −1 y' =
y = f n (x)
1 2· x
y = f (x)
1
y' =
n
n· x
n −1
y = n f (x)
y' = n·f n−1 ( x )·f ' ( x ) y' =
y' =
1 2· f ( x )
·f ' ( x )
1 n·n
(f (x ) )n−1
·f ' ( x )
y = ax
y' = a x ⋅ Ln (a )
y = a f (x)
y' = a f ( x ) ⋅ f ' ( x ) ⋅ Ln(a )
y = ex
y' = e x
y = e f (x)
y' = e f ( x ) ⋅ f ' ( x )
y = Lg a (x ) y = Ln(x )
y' =
1 x ⋅ Ln(a )
y = Lg a (f ( x ) )
1 x
y = Ln(f ( x ) )
y' =
y' =
1 ·f ' ( x ) f ( x ) ⋅ Ln(a )
y' =
1 ·f ' ( x ) f (x)
y = sen (x )
y' = cos(x )
y = sen (f ( x ) )
y' = cos(f ( x ) ) ⋅ f ' ( x )
y = cos(x )
y' = −sen (x )
y = cos(f ( x ) )
y' = −sen (f ( x ) ) ⋅ f ' ( x )