22/07/2016

Prof. Trinidad Quijano

Diferenciación implícita Muchas de las funciones con las que trabajamos están expresadas en forma explícita, como por ejemplo: 4 3, donde la variable «y» está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función se puede definir implícitamente por la ecuación . 1 Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena: en el caso de la variable independiente x, se deriva normalmente, para la variable independiente y se considera que ésta es, a su vez, una función de x, aplicándose aquí la regla mencionada.

1

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Ejemplos

a) 6

4

b)

c)

4

3

d) ln

Derivada logarítmica Ejemplo: a)

4

1

b)

c)



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Teoremas de funciones derivables Teorema de Fermat Teorema de Rolle Teorema de Lagrange (o del valor medio)

Teorema de Fermat

Dem: Supongamos que es un máximo de demuestra para mínimo). Entonces:

Pero como

en

,

(análogamente se

es derivable,

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Teorema de Rolle

Teorema de Lagrange o del valor medio)

4

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Ejemplo: ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a en [-1, 2]? En caso afirmativo determinar el/los valor/es de c. Interpretar geométricamente

Diferencial Existen muchas situaciones, dentro y fuera de la matemática, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en las cercanías del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la función en el punto.

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Se define el diferencial de una función f derivable en xo, como:

df = f '(xo)dx Esta expresión nos dice que la variación de una función f es aproximadamente proporcional a la variación de su variable independiente, donde la constante de proporcionalidad es la derivada en el punto en cuestión.

Aproximaciones lineales de funciones mediante el diferencial Verifique que para 1y∆ 0,1 Solución: ∆ 1,1 $ ! !

1 2 |

se cumple que ∆ ≅ ! en

1,21 1 0,21 0,1 2. 0,1 %

0,20

La variación real difiere de la aproximada en una centésima.

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Ejercicios Calcula el diferencial de ! 0,1

2 si

2y

Calcula el incremento y el diferencial de la función 5 8 cuando pasa del valor 1 al 1,25 Calcula el incremento y el diferencial de la función cuando pasa del valor 2 al 2,2 ( )

Aplicaciones Utilizar el concepto de diferencial para aproximar el valor de 38. Al calentar una placa cuadrada metálica de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. ¿Cuánto aumentó aproximadamente su área?.

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