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TEMA Nº 1 TEORÍA DE PROBABILIDADES
1.1.- COMPETENCIA DE TEMA:
HABILIDAD: Describe CONTENIDO: Los conceptos fundamentales de la teoría del cálculo de probabilidades. PROCESO: Mediante un proceso interactivo y el uso de diferentes fuentes de información. CONTEXTO: En el aula
1.2. PROBABILIDADES.- El cálculo de Probabilidades, es una rama de las matemáticas que se ocupa de medir o cuantificar la posibilidad de que ocurra un determinado suceso o evento. La probabilidad es una herramienta indispensable para toda clase de investigaciones que implican INCERTIDUMBRE. Si se está frente a experimentos cuyos resultados están completamente determinados, es decir de antemano se sabe qué suceso ocurrirá, entonces desaparece el problema de incertidumbre, por lo tanto no hay necesidad de recurrir al cálculo de probabilidades. Sin embargo, como hay una infinidad de fenómenos los cuales implican incertidumbre, la importancia de considerar la teoría de probabilidades en nuestro estudio, es realmente relevante. La creación de la Probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos como Gerólamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, como ser los dados, los naipes y las monedas. A través de la historia, se han estructurado tres definiciones de probabilidad que son complementarias y su aplicación depende de la naturaleza del problema o fenómeno que se esté encarando o tratando de resolver. Estas definiciones son:
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a) Definición clásica b) Definición por Frecuencia Relativa
c) Definición Subjetiva
PROBABILIDAD OBJETIVA
PROBABILIDAD SUBJETIVA
a) DEFINICIÓN CLÁSICA: Fue estructurada por Simón Laplace en el año 1812, en su obra:” Teoría Analítica de las Probabilidades” y dice: “LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO ES LA RAZÓN ENTRE EL NÚMERO DE CASOS O SUCESOS FAVORABLES A UN EVENTO Y EL NÚMERO TOTAL DE CASOS O SUCESOS POSIBLES, SIEMPRE Y CUANDO NADA OBLIGUE A CREER QUE ALGUNOS DE ESTOS SUCESOS DEBA TENER PREFERENCIA A LOS DEMÁS, LO QUE HACE QUE TODOS SEAN IGUALMENTE POSIBLES”.
En la definición anterior, se tiene:
N(
)
n
N ( A)
na
Número de elementos del espacio muestral (número total de sucesos). Número de elementos o sucesos favorables al evento A.
Entonces: PA
N (A) N( )
N ( A) n
Número de casos favorablesal eventoA Número de casos posibles
En la presente definición, está implícito un supuesto muy importante referido al Espacio Muestral , es el concepto de EQUIPROBABILIDAD. Según este principio, todos los elementos del espacio muestral deben tener la misma probabilidad de ocurrencia, de no ser así no es aplicable el concepto de Probabilidad Clásica. La probabilidad de un resultado se representa con un número que fluctúa entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad CERO indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1, que el resultado ocurrirá siempre. El cálculo matemático de probabilidades se basa en situaciones teóricas en las cuales puede configurarse un espacio muestral , cuyos sucesos elementales tengan todos la misma probabilidad. Por ejemplo: al lanzar un dado normal, la probabilidad de cada una de las caras es 1/6. Al lanzar dos dados, la probabilidad de cada uno de los resultados es de 1/36.
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EJEMPLO 1: Si se lanza un dado no cargado, debe considerarse que hay igual probabilidad que salga cualquiera de los números del espacio Muestral . = {1, 2, 3, 4, 5,6} La probabilidad de que salga cualquier número es = a 1/6 EJEMPLO 2: Sea el experimento que consiste en lanzar dos dados una vez y en condiciones normales. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos que aparecen sea 12? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea 7? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma no sea mayor que 3 ? SOLUCIÓN: a)
= {(1,1) (1,2) (1,3)..................................... (6,6)}
62
36
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
1 2 3 4 5 6
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
a) La suma de los puntos es = 12 y solo existe una opción.
N(A) = {(6,6)} = 1 P( A) = 1/36 b) La suma de los puntos es 7
N(A) P( A)
6,1 5,2 4,3 3,4 2,5 1,6 6 36
6
1 6
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c) La suma de los puntos es < 4
P(A)
{(1,1)(1,2)(2,1)}
P( A )
3 36
3
1 12
EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CLASES: 1.- Se lanza una moneda tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras? ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y un sello?. 2.- Un lote consta de 10 artículos, 4 con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se elige un artículo al azar. Encontrar la probabilidad de que: a) No tenga defectos. b) Tenga un defecto grave. b)
DEFINICION POR FRECUENCIA RELATIVA:
El supuesto fundamental sobre el cual se apoya la definición clásica de probabilidad, es el referido a la equiprobabilidad de los elementos del espacio muestral , o sea que, todos los elementos del espacio muestral tengan la misma probabilidad de ser elegidos. Sin embargo no todos los fenómenos o problemas de la vida real cumplen necesariamente con dicho supuesto, para estos casos la ciencia de la estadística estructuró la Teoría de las probabilidades por Frecuencia Relativa o el concepto frecuencialista de Probabilidad, que toma en cuenta dos aspectos: 1.- No es necesario que los elementos de sean equiprobables. 2.- n debe ser grande, o tender al infinito. Si se cumplen las dos condiciones anteriores, se puede estimar la probabilidad de la ocurrencia de un evento cualquiera a partir de su Frecuencia Relativa:
P( A ) Donde:
P( A)
na n = Probabilidad de que ocurra el evento “A”.
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na
= Frecuencia Absoluta de A
n
= Tamaño de la Muestra
Esta aproximación es más real cuando n es grande tiende al infinito. EJEMPLO Nº 1: En una muestra aleatoria de 10 fábricas que emplean un total de 10.000 trabajadores, se evidenció que ocurrieron 500 accidentes de trabajo durante un período reciente de 12 meses. Hallar la probabilidad de que ocurra un accidente de trabajo en una industria determinada. SOLUCION: En el problema anterior no se puede señalar que los casos posibles sean equiprobables por cuanto las condiciones de trabajo y seguridad industrial varían en cada empresa, por lo tanto no podemos hablar de equiprobable, por tanto no es posible aplicar el concepto de la probabilidad Clásica. Los datos con los que contamos son:
n
= 10.000 trabajadores
n a = Accidentes de trabajo ocurridos en un periodo de doce meses = 500 Entonces, se puede estimar la probabilidad de ocurrencia de un accidente a partir del concepto de Frecuencia Relativa:
P( A)
na n
500 10.000
0,05
EJEMPLO Nº 2: Sea la distribución de los miembros de los partidos políticos, el siguiente: PARTIDO NÚMERO TOTAL DE MILITANTES MILITANTES MUJERES
A 105
B 100
C 70
D 45
E 40
F 15
TOTALES 375
15
20
5
10
3
2
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¿Cuál es la probabilidad de que un miembro seleccionado aleatoriamente : a) Sea una mujer ? TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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b) Pertenece al partido B? c) Sea un hombre miembro del partido C? SOLUCIÓN: a) n = total de militantes = 375 Sea: “A” : El militante seleccionado es una mujer.
na
55 375
0,147
a) Sea B: El seleccionado pertenece al partido “B”.
nb
100 375
0,27
c) Sea C: El seleccionado es hombre y pertenece al partido C.
nc
70
P( c)
nb n
5 65 375
65 0,17
c) PROBABILIDAD SUBJETIVA: Esta es una definición alternativa y se utiliza cuando existen muchas situaciones donde el concepto de Probabilidad Clásica ( equiprobable) y el de Frecuencia Relativa, carece de significado, o sea no se cumplen ninguna de las dos condiciones señaladas. En este caso se aplica el concepto de probabilidad subjetiva: EJEMPLO: ¿Cuál es la probabilidad de que una expedición tripulada desembarque en el planeta Marte en la próxima década ? El ejemplo anterior tratase de un evento único sin antecedente alguno, por tanto, no existe forma de que se pueda interpretar tal probabilidad a través de la probabilidad clásica ni la frecuencia relativa.
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En consecuencia, en estos casos, el ENFOQUE SUBJETIVO de probabilidad resulta ser el más adecuado, donde hay una sola oportunidad de ocurrencia del evento. DEFINICIÓN: Dado un experimento determinado, la probabilidad de un evento A es el grado de CERTEZA asignado a la ocurrencia de ese evento por un individuo particular, basado en toda la evidencia a su disposición, con las siguientes exigencias: 1.- P( A) 2.- P(A)
Representa la certeza de que el evento A no ocurrirá.
0
Representa la certeza de que el evento A si ocurrirá.
1
3.- 0 < P( A) < 1 Representa el grado de certeza de que el evento A ocurrirá, a partir de toda la información disponible en relación al evento analizado. 1.3 AXIOMAS DE PROBABILIDAD Y PROPIEDADES.- El tratamiento de las Probabilidades implica el empleo de axiomas y teoremas, las mismas que los podemos clasificar en tres axiomas y seis teoremas:
AXIOMA 1 0
1
PA
Para cada evento A que es parte de
AXIOMA 2: Probabilidad del Evento seguro.
P
1
AXIOMA 3: Para cualquier número finito k de eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos en
P
k k
Ai i 1
P AB
P Ai
i 1
PA
PB
TEOREMAS:
TEOREMA 1: Si
es el evento imposible, entonces Demostración: Sabemos que: =
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P
0
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Por otro lado:
P
y
P
P
Por el Axioma 3
Por el axioma 2
1 1 P
P
son mutuamente excluyentes
11 0
TEOREMA 2: Para cada evento A, se cumple que:
PA
1 PA
PA
ó
1
PA
Demostración: Se sabe que: Por otro lado los eventos
_
AA y
A
_
A
son mutuamente excluyentes:
_
AA En consecuencia:
P 1
PA
PA
PA
PA
Por el Axioma 2
PA
1 PA
Por el Axioma 3
ó Viceversa
TEOREMA 3: Si A y B son eventos de
PA
, tales que A B
PB
DEMOSTRACIÓN: B
Ω
A
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B A B A
y además:
A B A
Ambos eventos son mutuamente excluyentes
Luego por el Axioma 3:
PB
PA
P BA 0
PB
PA
TEOREMA 4: Si A y B son dos eventos cualesquiera de
P AB
PA
PB
P AB
DEMOSTRACION: El evento A B puede representarse como la unión de los eventos mutuamente excluyentes.
A
y A B , y son
Empleamos la siguiente gráfica para explicar la demostración:
A
B
Ω
An B AB
AB A AB
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Luego: (l)
P AB
PA
P/Axioma 3
P AB
Por otro lado, el Evento B también puede escribirse como la unión de los eventos mutuamente excluyentes: y
AB
B
AB AB
PB ó
AB
P AB
P A B
P A B
PB
P/Axioma 3
P AB
Sustituyendo este resultado en (l), tenemos:
P AB
PA
PB
P AB
Como consecuencia, tenemos demostrado la igualdad.
TEOREMA 5: Si: A, B y C son tres eventos cualesquiera en
P ABC
PA
PB
PC
P AC
,
P AC
P CB
P ABC
DEMOSTRACION: Podemos escribir A B C que A B es un evento.
AB C
y aplicamos el Teorema Nº 4, tomando en cuenta
TEOREMA 6: Si: A1 , A2 , A3 ,, AK es una colección de eventos cualesquiera en entonces:
P A1A2 A3 Ak
k i 1
P AI
k
P Ai A j
i j2
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k
P Ai A j A r
1
k 1
P A1A2 Ak
i j2
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,
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
EJERCICIO 1: La probabilidad de que llueva en una determinada ciudad el 12 de junio es 0,10; de que truene es 0,05 y que llueva y truene es 0,03. ¿ Cuál es la probabilidad que llueva ó truene ese día ? SOLUCIÓN: Definimos previamente los siguientes eventos: A = “Llueva el 12 de junio”. B = “Truene el 12 de junio”. C = “Llueva y truene ese día”.
P(A)
0,10
P(B)
0,05
PAB)
0,03
AB
C
PC
P AB
PC
PA
PB
P AB
0,10 0,05 0,03 0,12
EJERCICIO 2:
La probabilidad de que una señora reciba al año más 5 llamadas telefónicas en un día es 0,20 y por lo menor 9 llamadas en un día es 0,50 ¿ Cuál es la probabilidad de la dicha señora reciba 6,7 u 8 llamadas en un día ?. SOLUCIÓN: =
0, 1, 2, 3,4,........................
Definimos los siguientes eventos en
:
A: “Recibe a lo más 5 llamadas”. B: “Recibe por lo menos 9 llamadas”. C: “Recibe 6,7 u 8 llamadas”. Definimos ahora el sub espacio muetral para cada uno de los eventos: A
=
0, 1, 2, 3, 4,5
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= 9, 10, 11,12,................... 6, 7,8 C= Además sabemos que: B
PA
0,20
PB
0,50
PC
?
Los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, A BC P
PA
PB
PC
P/Axioma 3
Por axioma 2:
1 PA
PB
PC
Remplazando datos:
1 0,20 0,50 P C PC
PC
1 0,20 0,50
0,30
EJERCICIO 3: Una caja contiene 100 tubos de televisión. La probabilidad de que haya al menos un tubo defectuoso es 0,05 y de que haya al menos 2 tubos defectuosos es 0,01. ¿Cuál es la probabilidad de que la caja contenga?: a) Ningún tubo defectuoso? b) Exactamente un tubo defectuoso? c) A lo más un tubo defectuoso? SOLUCIÓN: : Ver cuantos tubos defectuosos hay en una caja que contiene 100 tubos de televisión. =
0, 1, 2, 3, 4,5,.............................., 100
Ahora definimos en los siguientes eventos: A: “Haya al menos un tubo defectuoso”. B: “Haya al menos dos tubos defectuosos”. C: “Ninguno de los tubos es defectuoso”. TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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D: “Exactamente un tubo es defectuoso”. E: “Hay a lo más un tubo defectuoso”. Los sub espacios muestrales asociados a cada evento son: = 1, 2, 3,4,.....................,100 2, 3, 4,5,.....................100 B = 0 C = 1 D = 0,1 E = A
Además tenemos los siguientes otros datos:
PA
0,05
PB
0,01
Finalmente calculamos las probabilidades solicitadas utilizando los axiomas y los teoremas:
? a) La Probabilidad de que ningún tubo es defectuoso: P C Teniendo en cuenta de que = AUC y que los dos eventos son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos: AB P
PA
PB
P/Axioma 3
Despejamos P C PC P P `A PC
1
P/Axioma 2
PA
P C 1 0,05 0,95 b) La probabilidad de que haya exactamente un tubo defectuoso:
PD
?
De acuerdo a los eventos descritos, podemos escribir lo siguiente: A BD
PA
PB
PD
PD
PA
PB
PD
0,05 0,01 0,04
c) Probabilidad de a los más un tubo defectuoso:
PE
?
Podemos escribir, que: E CD
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PE PE
PC
P/Axioma 3
PD
0,95 0,04
PE
0,99
EJERCICIO 4: De un grupo de personas, el 30 % practica fútbol y el 40 % juega ajedrez. De los futbolistas el 50 % juega también ajedrez. Sise elige aleatoriamente una persona. ¿Cuál es la probabilidad de que?: a) Juegue fútbol y ajedrez? b) Practica sólo uno de estos deportes? c) No practica ni fútbol ni ajedrez? SOLUCION: Definimos los eventos en A: “la persona elegida practica fútbol”. B: “La persona seleccionada practica ajedrez”. DATOS:
PA
0,30
PB
0,40
a) Probabilidad de que juegue fútbol y ajedrez.
P AB
PA
PB
P AB
P/Axioma 4
Por otro lado sabemos que la P AB
P AB P AB
0,15
0,30 0,40 0,15
0,55
b) Probabilidad de que practique uno solo de estos deportes: GRAFICAMENTE: A
0,15
B
0,15
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0,25
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C: “Practica uno de los dos deportes”.
C
A B B A
Como los eventos A B y B A son mutuamente excluyentes, Entonces: Por el Axioma 3 tenemos:
PC
P AB
P BA
PC
0,15 0,25 0,40
1.4
PROBABILIDAD CONDICIONAL O CONDICIONADA
1.4.1. INTRODUCCIÓN: Llamada también probabilidad ligada o relativa; es un modelo de probabilidad de bastante aplicación práctica: Lo que se trata de determinar con la probabilidad condicional es la medida de la ocurrencia de un suceso dado que ha ocurrido otro suceso. En otras palabras, si se dispone de cierta información se pretende averiguar, tomando como base esa información, cuál es la probabilidad de la ocurrencia de algún suceso. EJEMPLO: Si se sabe que una carta extraída de una baraja de 52 cartas es un as, podemos estar interesados en saber si es un as de corazones. Deseamos saber la probabilidad de que un estudiante seleccionado sea varón, si se sabe que es uno de los reprobados en el examen. GRAFICAMENTE: Ω A
B
An B
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1.4.2. DEFINICIÓN: La probabilidad Condicional de que ocurra A, dado que ha ocurrido B, está dada por:
P AB PB
PA/B Siempre y cuando: P B Si :
PB
0
PA/ B
0
NOTA: En la probabilidad condicional se cumplen los axiomas y los teoremas planteados en los capítulos anteriores.
EJEMPLO 1: En una universidad de 10.000 estudiantes y 1.000 profesores, el 10 % de los profesores son de izquierda y el 90 % de derecha; mientras que en los estudiantes este porcentaje es al contrario. Se selecciona al azar un miembro de la universidad y se encuentra que es de derecha. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya seleccionado un estudiante? b) ¿Un profesor? SOLUCION: TENDENCIA DERECHA IZQUIERDA CATEGORIA PROFESORES 900 100 ESTUDIANTES 1.000 9.000 TOTALES 1.900 9.100 = 11.000 D: “El miembro seleccionado es de derecha”. E: “El integrante seleccionado es estudiante”.
a)
P ED PD
PE/D
Sabemos que:
PD
PD
P ED
1.900 11.000
TOTALES 1.000 10.000 11.000
0
1.000 11.000
10 110
19 110
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10 110 19 110
PE/D
1.100 2.090
10 19
b) Que sea seleccionado un profesor:
E
900 11.00
9 110
P ED
PE/D
P ED
PD 9 110 19 110
PE/D
990 2.090
9 19
EJEMPLO 2: Un aparato electrónico consta de dos partes. La probabilidad de que falle la primera parte es 0,20 ; que fallen las dos partes es 0,15 y de que falle sólo la segunda parte es 0,45. Calcular la probabilidad de que: a) Falle sólo la primera parte. b) Falle la primera parte cuando se sabe que falló la segunda parte. SOLUCION: Definimos dos eventos en
:
A: “Falla sólo la primera parte”. B: “Falla la segunda parte”. DATOS: P
A
P
AB
0, 2 0 0,1 5
GRAFICAMENTE TENEMOS: A
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B
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Entonces: a) P A b)
0,05 0,15 0,60
PA/B
0,25
1.5 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN.- Como una derivación de la definición de probabilidad condicional, es posible obtener una fórmula para hallar la probabilidad de la intersección o producto de los eventos A y B: P AB PB
PA/B
P
P B/ A
P
P AB PA
Si
PB
Si
PA
0
0
Despejando en ambas expresiones P AB
P AB
PB PA/ B
P AB
PB PA/ B
Este resultado en Teoría de Probabilidades, se denomina REGLA DE MULTIPLICACIÓN o Probabilidad conjunta, que dice: “ La probabilidad de que
ocurra los eventos A y B es igual a la probabilidad de la ocurrencia de uno de ellos multiplicado por la probabilidad condicional de que ocurra el segundo, dado que el primero ha ocurrido”. EJERCICIO 1: Una urna contiene 5 bolas blancas y 6 negras; se extrae al azar sucesivamente y sin reposición dos bolas. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos resulten blancas?. SOLUCIÓN: 1 bola
5B 6N
1 bola
= 11
A1 A2
= “La primera bola extraída es blanca”. = “La segunda bola extraída es blanca”. E: Las dos bolas son blancas.
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E A1 A2
A1 A2
P E P A1 A2 DATOS:
PA
P A1 P A2 / A1
5 11
P A 2 / A1
4 10
2
PE
5 4 11 10
4 22 11
2 11
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TEMA Nº 2 VARIABLES Y MODELOS ALEATORIOS DISCRETOS
2.1. COMPETENCIA DE TEMA:
HABILIDAD: Caracteriza CONTENIDO: La variable y los modelos aleatorios discretos más importantes. PROCESO: Mediante la resolución de ejercicios prácticos de aplicación. CONTEXTO: En el aula.
2.2. INTRODUCCIÓN: En los temas precedentes se ha hecho mención a que los elementos del espacio muestral podían expresarse o simbolizarse indistintamente con letras o mediante números, tal era el caso cuando analizábamos el experimento de lanzar una moneda al aire y esperar que salga un resultado; en este caso el espacio muestral estaba compuesto por C y S ; vale decir: cara o sello. Lo mismo sucedía cuando el experimento consistía en seleccionar un artículo defectuoso de un lote que contenía tanto defectuosos como no defectuosos, en este caso utilizábamos el siguiente espacio muestral: = { N , D }. En ambos casos la simbología utilizada son letras. Sin embargo, el propósito del tema de VARIABLES ALEATORIAS es el de expresar en todos los casos a los elementos del espacio muestral mediante números, que es el objeto de estudio del tema presente. 2.2. DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA: Dado un experimento aleatorio y el Espacio Muestral asociado a , una función X, que asigna a cada elemento del Espacio Muestral , uno y solamente un número x que pertenece a los números reales R, se llama VARIABLE ALEATORIA. En otros términos: R X1 w1
X2 w2
X3
w3
DOMINIO TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
RANGO O RECORRIDO R x Cobija – Pando - Bolivia
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El dominio de la Variable Aleatoria X es y el Rango o Recorrido de los números reales R, que lo denotamos por R x .
Rx
es un conjunto
En otras palabras, la Variable Aleatoria es una función que asigna un número real a cada suceso simple de un Espacio muestral, o sea cada elemento de . EJEMPLO 1: Si consideramos el juego más sencillo que consiste en lanzar una moneda, sabemos que puede resultar cara o sello, es decir que: = { C, S } Si definimos la Variable Aleatoria X como: El número de veces que aparece cara, entonces X es una función sobre , de manera que: X C 1 y X S 0 . Entonces X toma los valores 0 y 1. X = {0,1} EJEMPLO Nº 2: Sea el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire y sea la variable aleatoria: X: Número de caras Definir el Dominio y Rango de X. SOLUCION: El Espacio Muestral
asociado al experimento está dado por:
= {CCC, CCS, CSS, SSS, SSC, SCC, CSC, SCS Si la variable que nos interesa está referido al número de caras, entonces tenemos que: CCC, CCS, CSS, SSS, SSC, SCC, CSC, SCS 3
2 X CCC
3;
1
0 X CCS
2;
1 X CSS
2 1;
2 X SSS
1 0
En consecuencia, la Variable X toma los valores de: 0,1,2,3 Rx
0,1,2,3
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2.4. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Si el Rango o Recorrido R x de la variable Aleatoria X es un conjunto finito o infinito numerable de elementos, se llama VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. En este caso: Rx
x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6
DISCRETO FINITO
Rx
x1 , x 2 , x 3 ,......... ........
DISCRETO INFINITO NUMERABLE
EJEMPLO: Un lote de artículos contiene artículos defectuosos (D) y no defectuosos (N), se extrae sucesivamente y sin reposición 4 artículos. Si definimos X: Número de artículos defectuosos. Determinar el Dominio y rango de la Variable Aleatoria X. SOLUCION: = {DDDD, DDDN, DDNN, DNNN, NNNN, NNND, NNDD, NDDD, DNND, NDDN, (4) (3) (2) (1) (0) (1) (2) (3) (2) (2) DDND, DNDD, NDND, DNDN, NDNN, NNDN (3) (3) (2) (2) (1) (1)
Entonces:
Rx
0,1,2,3,4
EJEMPLO 2: Ahora bien, en el ejemplo anterior consideremos la extracción de artículos hasta lograr un artículo defectuoso y definimos:
NUMERO NECESARIO DE EXTRACCIONES HASTA HALLAR UNO DEFECTUOSO. X:
Determinar el Dominio y Rango de X. SOLUCION: = {D, ND, NND, NNND, NNNND,............................... Rx
0,1,2,3,4,5,......... .......... ....
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2.5
FUNCION DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA O FUNCION DE CUANTIA
DEFINICION.- La función de probabilidad para una Variable Aleatoria Discreta X, es una función que asigna a cada valor que toma la variable Aleatoria X discreta, una probabilidad p x cuando X toma un valor particular xi. O sea: p
PX
x
P
x w
/X w
w x
Además esta función cumple las siguientes condiciones: 1.-
px
2.-
0
p
x Rx
PX
x
x Rx
x
1
x Rx
Esta función también recibe el nombre de FUNCION DE CUANTIA, que puede ser expresado mediante pares ordenados, tablas y gráficos. O sea:
x, p x ; x R x Por otro lado, si x
Rx
se trata de un evento imposible, por lo tanto
px
0
Al igual que en la definición de Variable Aleatoria, la Función de Cuantía tiene un dominio y un codominio o Rango, expresado por:
1,0
Rx
DOMINIO
RANGO
REPRESENTACION TABULAR DE LA FUNCION DE CUANTIA: xi px
Px
X
x1
x2
x3
p x1
p x2
p x3
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. .
. .
. .
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REPRESENTACION GRAFICA DE LA FUNCION DE CUANTIA: p(x)
p(x2) p(x3) (x1,p(x1)) p(x1) p(xn)
0
x2
x1
...........................
x3
xn
EJEMPLO: Sea el experimento que consiste en rodar dos dados simultáneamente por una sola vez. Sea X: La suma de los puntos que aparecen. Definir el dominio y el rango para la distribución de probabilidades de X. SOLUCIÓN:
= { ( i,j )/y = 1,2,.........,6 y j = 1,2,.........,6}
GRAFICAMENTE: 6 5 4 3
2 1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
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7
6
8
9
10
11
12
Rx
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Finalmente, de acuerdo a la definición de Función de Cuantía, asignamos probabilidades a cada uno de los elementos de R x , a partir de la definición de Probabilidades. PA
NA N
p x2
PX
1 36
2
Entonces:
Rx
= { 2, 1 36
3,
4,
5,
2 36
3 36
4 36
6, 5 36
7, 8, 9, 10, 11, 12 } 6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
REPRESENTACION TABULAR: SUMA DE PUNTOS 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 SUMA
Nº DE VECES 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36
PX
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1
Donde se cumplen las condiciones exigidas, o sea: 1.2.-
0 px
px
1
1
x Rx
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EJERCICIO PARA RESOLVER EN CLASES: Sea el experimento aleatorio , consistente en lanzar una moneda tres veces y definimos: X = nc - ns Donde: nc = Número de caras obtenidas ns = Número de sellos obtenidos Hallar la distribución de probabilidades o función de cuantía. 2.6.FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA.- La Función de distribución Acumulada de la variable Aleatoria Discreta X, es un concepto de mucha importancia cuando se utilizan las Tablas de Cálculo de probabilidades, donde las funciones son acumuladas. DEFINICION.- Sea X una Variable Aleatoria Discreta con rango R x x1 , x 2 , x3 ,......... y función de probabilidad o cuantía p xi PX xi , entonces la Función de Distribución Acumulada de X denotada por F x , se define como:
Fx
PX
p xi
x
xi x
PX
xi
xi x
Donde la sumatoria se realiza para todos los valores de 1 tales que
xi
x
EJEMPLO Nº 1: Se lanzan tres monedas al aire y definimos X: Número de caras. Determinar la Función de cuantía y la Función de Distribución Acumulada de X. SOLUCION:
= {CCC, CCS, CSS, SSS, SSC, SCC, CSC, SCS Rx
p0
PX
0
p1
PX
1
p2
PX
2
p3
PX
3
1 3
= {0, 1, 2, 3}
8
8 3 8 1 8
Entonces, podemos expresar la Función de Cuantía y la Función de Distribución Acumulada de X a través de la siguiente tabla:
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Rx
px
Fx
0 1 2 3
1/8 3/8 3/8 1/8 1
PX
x
1/8 4/8 7/8 1 -.-
O sea: FUNCION DE CUANTIA: = 1/8 = 3/8 =0
Px
px
Si: x = 0 ó 3 x=1ó2 En cualquier otro caso
FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA: Fx
Si: 0 1 2 x
0
= 1/8 = 4/8 = 7/8 =1
Fx
xr/n,p
P[X=r/n,p
PROBABILIDADES DADAS EN LA TABLA P[X r/n,p ESTA EN LA TABLA P[X r+1/n,p
P[X
r/n,p
- P[X
P[ X < r / n,p
1 - P[ X
P[ X
1 - P[ X
r / n,p
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r+1/n,p
r / n,p
r+1 / n,p
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EJEMPLO Nº 1 Calcular: P[X =2/4,0.23 = ? SOLUCION: Para resolver la interrogante a través del uso de Tablas debemos en primer lugar elegir la opción más conveniente para resolverlo; para ello observamos las posibilidades que nos ofrece la tabla anterior: Entonces empleamos la tercera opción, o sea:
P[X=r/n,p
P[X
r/n,p
- P[X
r+1/n,p
Luego remplazamos los valores para los parámetros n y p y buscamos el valor de la probabilidad solicitada en la Tabla Nº y P[X =2/4,0.23 = P[X
2/4,0.23
- P[X
3/4,0.23
= 0,2285 - 0,0403 = 0,1882 2.8.6.2. FORMA DE UTILIZAR LA TABLA TABLA BINOMIAL: P[X
r/n,p
n=4 p r 1 2 3 4 . . .
21
22
23
24
25
26
6105 1963 0312 0019 . . .
6298 2122 0356 0023 . . .
6485 2285 0403 0028 . . .
6664 2450 0453 0033 . . .
6836 2617 0508 0039 . . .
7001 2784 0566 0046 . . .
....
....
30
. . . . . . .
. . . . . . .
7599 3483 0837 0081 . . .
EJERCICIO N º 1 Calcular: P[X2/4,0.25 = P[X>2+1/4,0.25 = P[X>3/4,0.25 P[X>2/4,0.25 = 0,508 2.8.6.3. USO DE LA TABLA PARA p>0,5: Para utilizar la tabla Binomial, complementarios, como ser:
cuando p>0,5,
debemos considerar algunos aspectos
1.- No se tiene en la tabla valores para p>0,5 2.- Para ello se recurre a un procedimiento alternativo que toma en cuenta la asimetría de la Distribución Binomial. Para ello procedemos de la siguiente manera: a) Consideramos la ocurrencia de la Variable Aleatoria X como el número de éxitos. Luego consideramos la ocurrencia de X’ como el número de fracasos. b) Si p > 0,5 se hacen las siguientes adaptaciones o sustituciones: * Se sustituye r por n-r * Se sustituye p por 1-p * Luego se invierten las desigualdades de la siguiente manera:
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Se cambia por Se cambia por * Finalmente, empleamos el mismo procedimiento para calcular probabilidades con p EJEMPLO:
Calcular:
0,5
P[X
Luego remplazamos los datos: P[X 6/10,0.2 Esta fórmula cae en:
P[X>r/n,p
P[X’
r+1/n,p
Remplazamos valores: P[X’>6/10,0.2 = P[X’>7/10,0.2 = 0,0009 2) Calcular:
P[X
4/10,0.8
Remplazamos: P[X
4/10,0.8
= P[X’
P[X’
6/10,0.2
= 1 - P[X’
6/10,0.2
Esto cae en:
7/10,0.2
= 1 - 0,0009 = 0,9991
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2.9. MODELO DE DISTRIBUCION HIPERGEOMÉTRICO
CARACTERISTICAS DEL MODELO: Es una distribución similar a la Binomial, o sea: a) Admite dos resultados posibles: Éxito (E) y Fracaso (F) b) Se producen n ensayos c) Existe un lote N, donde r tiene una característica y N-r la otra característica. d) La probabilidad (p) de éxito no es constante para todos los ensayos. e) No se cumple la función de independencia. Los n ensayos se realizan SIN REPOSICION, en consecuencia no podemos hablar de independencia de eventos, por que los mismos no son independientes.
EXPLICACION: Si se tiene una población de N artículos, de los cuales r poseen una de las categorías, entonces habrán (N-r) que poseen la otra característica. Si seleccionamos n artículos aleatoriamente sin reposición de los N artículos, cada selección subsiguiente será dependiente, de manera que la probabilidad de que se obtengan éxitos cambia en cada ensayo simple.
Fracaso (N-r)
Se extraen n artículos sin reposición o devolución. Entonces cada extracción es dependiente de la anterior y así sucesivamente.
Éxito r
N Ahora bien, es posible que nos interese conocer la probabilidad de obtener exactamente x artículos de los r éxitos, en una muestra de tamaño n. En consecuencia, bajo estas condiciones, el número de éxitos en n pruebas dependientes corresponde a una Variable Hipergeométrica, cuya función de probabilidades está dada por:
px
r
N r
x
n x N
x= 0,1,2,3,...........,n
n
Donde: N= Número de artículos (lote)
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r = Número de elementos que tiene una de las características deseadas o esperadas ( Éxitos). N-r= Número de elementos que tiene la otra característica (Fracaso) n = Tamaño de la muestra ( son dependientes) x = Número de artículos de los r éxitos que deseamos calcular. EJEMPLO: Una caja contiene 12 latas de leche, 9 de las cuales son frescas (recién envasadas). Se seleccionan aleatoriamente 2 latas sin devolución. Sea X: el número de latas de leche no frescas que se seleccionan. Definir si la variable X es una Variable Hipergeométrica. SOLUCION: No frescas 3 Frescas 9
X: “Nº de latas de leche no frescas”
= 12
N = 12 latas r =3 Fracaso N-r = 9 Éxito n=2 Remplazamos datos en la fórmula general: 3 12 3 px
x
2 x 12
x= 0,1,2
2
=0 En otro caso a) Calcular la probabilidad de obtener una lata de leche no fresca, o sea x=1 Remplazamos este dato en la fórmula general de la Función de Cuantía: 3 9 p1
1 1 12 2
27 66
b) Calcular la probabilidad de que las dos latas sean frescas. o sea: x=0
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3 9 0 2
p0
36 66
12 2
6 11
2.9.1. ESPERANZA MATEMATICA, VARIANZA Y DESVIACIÓN STANDAR PARA LA VARIABLE HIPERGEOMÉTRICA: El Valor esperado o Esperanza Matemática para la variable Hipergeométrica está dado por: Ex
x
n
r N
Donde: N = Número total de la población estudiada r = Número de elementos que tiene una de las características deseadas (Éxitos) n = Tamaño de la muestra VARIANZA DE X: 2
Vx
x
n
r N r N n N N N 1
EJEMPLO: Para el ejercicio anterior: Ex
2 3 12
Vx
2
x
6 12
3 10 12 11
0,34
1 2
60 176
30 88
0,34
0,58
EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CLASES: 1) Se extrae una muestra aleatoria de tamaño 2, una a una, sin reposición de un lote de 10 artículos que contiene 3 artículos defectuosos. Si X: representa el número de artículos defectuosos encontrados en la muestra. Determinar: a) La Función de Cuantía p(x) b) Calcular E(x), V(x) y Desviación standar c) Interpretar los resultados. SOLUCION: datos: N = 10 TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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r=3 N-r = 7 n=2 a) 3 x
px
7 2 x 10
x = 0,1,2
2
b)
Ex
Vx
2 3 10
2
6 10
0,60
3 7 8 10 10 9
84 225
2) Una urna contiene 5 bolas blancas y 6 rojas. Se extrae 4 bolas de la urna sin reposición, una tras otra,. Hallar la distribución de probabilidad del número de bolas extraídas y: a) Cual es la probabilidad de extraer exactamente 3 bolas rojas ?. b) Cuál es el número esperado de bolas extraídas ?. RESPUESTA:
a) 0,3
b) 2,18
2.10. MODELO DE DISTRIBUCIÓN DE POISSON 2.10.1. INTRODUCCION: El modelo de distribución de probabilidades de Poisson es una de las distribuciones discretas más importantes por que se aplica en muchos problemas prácticos. Una idea intuitiva del mismo se deriva a partir de un proceso de Poisson, que consiste en observar la ocurrencia de eventos discretos en un intervalo continuo. O sea trátase de un fenómeno que se presenta aleatoria e independientemente en el tiempo espacio en el que sólo interesa la ocurrencia del fenómeno un número contable de veces. “EN UN PROCESO DE POISSON SE OBSERVAN RESULTADOS DISCRETOS ENUN INTERVALO DE TIEMPO”. Ejemplos: a) La frecuencia de terremotos que ocurren en Méjico en un año. b) Observar la llegada de autos al estacionamiento de vehículos entre las 8 y 9 de la mañana. c) La cantidad de imperfecciones (agrietamientos) encontradas en un metro de alambre producidas por un proceso electrolítico continuo. d) Número de partículas de polvo encontrados en un metro cúbico de aire. TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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e) Número de accidentes de aviación u otras calamidades que aparecen aleatoria e independientemente en un intervalo de tiempo. f) Glóbulos rojos encontrados en una muestra de sangre. g) Número de llamadas telefónicas sobre una línea en una hora indicada. En esta clase de eventos interesa únicamente el número de éxitos del suceso y no así el número contrario. Interesa solamente p. Ejemplo: número de personas que llagan a pagar impuestos y no así otras personas, en una hora dada. VALORES DE LA VARIABLE ALEATORIA
X:
La variable aleatoria X, toma en consecuencia los siguientes valores: x= 0, 1, 2, 3,.......................... x representa la frecuencia con que ocurre un fenómeno en un intervalo de tiempo o en el espacio, un número contable de veces. 2.10.2. DEFINICION: La probabilidad de conseguir exactamente x éxitos, proceso de Poisson, está dada por: x
px
en un
x = 0, 1, 2, 3,....................
x !
= 0
En otro caso
Donde: = Promedio de éxitos en n pruebas, con probabilidad p e = 2,71828 base de los logaritmos naturales. En otros términos,
n = número de pruebas
n p
p
= Promedio de éxitos
EJEMPLO: Supóngase que el número de muertes por accidente en una ciudad es un proceso Poisson con = 3 por mes. Sea X: El número de muertes por accidente que ocurren entre el 1º de enero y el 31 de marzo inclusive de 1974. a) Determine si la variable X obedece a una distribución de Poisson. b) Anote la función de cuantía. TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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SOLUCION: * El número de muertes es una variable que asume valores discretos en un intervalo de tiempo. _ * Entonces: =3.3=9 n p Remplazamos valores en la fórmula general de la función de cuantía: px
e
9
9x x !
x= 1,2,3,.......
Calcular la probabilidad de que ocurra un accidente x=1
p1
x=2
p2
e
e
9
91 1!
92 2!
0,803
9
0,876
2.10.3. ESPERANZA MATEMATICA Y VARIANZA PARA LA DISTRIBUCION DE POISSON: Si X es una variable Poisson, entonces la esperanza Matemática y la Varianza es igual a . E(x) = V(x) = 2.10.4. USO DE TABLAS PARA LA DISTRIBUCION DE POISSON: Debido a que el uso de la ecuación es muy tediosa como alternativa se utiliza la función de distribución acumulada P[X x /p; para determinar probabilidades de cualquier tipo. Para ello se utiliza la Tabla Nº II, que otorga probabilidades acumuladas del tipo: P[X = x /p;
= x
px
P[X
x !
x /p;
EJEMPLO: Las personas llegan aleatoriamente a la ventanilla de un banco en promedio a una razón de 24 personas por hora durante el período de tiempo entre las 11:30 am y 12:00 am de cierto día. TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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a) Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 personas lleguen durante un período de tiempo de 12 minutos? b) Cuál de que lleguen por lo menos 10 personas? c) Que lleguen a lo más 12 personas? SOLUCION: X = Número de personas que llegan a la ventanilla durante un período de 12 minutos. Rx = {0, 1, 2,3,...............} _ Determinamos ahora: =n.p p
n = 12
24 60
Finalmente:
24 12 60
4,8
Entonces X se distribuye a través de una Variable Poisson con la siguiente Función de Cuantía: PX
e x / 4 ,8
4 ,8
4,8 x x !
x = 0, 1, 2,3,..............
a) Cuál es la probabilidad de que 5 personas exactamente lleguen a la ventanilla del banco ?. 1
P[X = 5 = ? 0
1
2
3
4
5.
6.........................................................................................
P[X
6
P[X
5
∞.
P[X = 6 1 - P[ X
P[X = 5 /4,8 = P[X
5 /4,8
5
- P[X
6 /4,8
= 0,5237 - 0,3490 = 0,1747 b) Por lo menos 10 personas? P[X 10 /4,8 = 0,0251
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c) Que lleguen a lo más 12 personas? P[X
12 /4,8
= 1 - P[X 12 /4,8 = 1 - 0,0040 = 0,996
EJERCICIO Nº 1: Una compañía de seguros contra accidentes de tránsito sabe que el 0,005 % de la población fallece cada año por accidente de tránsito. ¿ Cuál es la probabilidad de que la Cia. Tenga que pagar a más de 3 de los 10.000 asegurados que tiene al año ?. SOLUCIÓN: Primeramente calculamos
=n.p
p = 0,005/100 = 0,00005 n = 10000 Entonces
= 10000 x 0,0005 = 0,5
Luego remplazamos este valor en la Función de Cuantía: e
px
0,5
0,5 x x !
x = 0, 1, 2,3,.........
La probabilidad de que la Cia. Tenga que pagar a más de 3 asegurados al año está dado por : P(X>3)
= 1 - P(X
3)
= 1 - [ P(0) + P(1) + P(2) + P(3) e
1
1
e
0,5
0,5
0,50 0!
1 0,5
e
0,5
0,5 2
0,51 1!
2
0,5 6
e
0, 5
0,52 2!
e
0, 5
0,53 3!
3
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EJERCICIO Nº 2: Solo uno de cada mil generadores ensamblados en una fábrica tienen unidades defectuosas y los generadores defectuosos se distribuyen independiente y aleatoriamente a través de la producción. ¿ Cuál es la probabilidad de que un embarque de 500 generadores no contenga ningun generador defectuoso ? SOLUCION: px
e 0
0,5 0 0!
= 1/1000 x 500 = 0,5
0,5
e
0,5
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TEMA Nº 3 VARIABLES Y MODELOS ALEATORIOS CONTINUOS
3.1. COMPETENCIA DE TEMA:
HABILIDAD: Caracteriza CONTENIDO: Los fundamentos teórico-prácticos de una variable aleatoria continua y Los modelos probabilísticas continuos más importantes, con énfasis en El modelo de Distribución Normal. PROCESO: Mediante la resolución de ejercicios prácticos de aplicación. CONTEXTO: En el Aula.
3.2. INTRODUCCION: Si el Recorrido o rango de la Variable Aleatoria X (Rx), está formado por un gran número finito de valores; por ejemplo: Todos los valores de X en el intervalo 0 x 1, de la forma 0,01 - 0,02 - 0,03 - 0,04 etc., etc., cuya suma total sea igual a 1. Ahora bien, con cada uno de estos valores de x, está asociado un número no negativo p (xi) = P[X=xi donde i= 1,2,3,4,.............. cuya suma, como se dijo anteriormente, es igual a 1. GRAFICAMENTE TENEMOS: p(x)
f(x)
0
1
Rx
Matemáticamente podrá ser más fácil idealizar la anterior descripción probabilística de X al suponer que la variable pude tomar todos los valores posibles entre 0 x 1. Si hacemos esto, nos preguntamos ¿Que le sucede a las probabilidades puntuales p(xi) ?. Los valores de X no son contables, por tanto no tendría sentido hablar del iésimo valor de X y, entonces p(xi) pierde significado. TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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Lo que se hace es sustituir p(x), definida sólo para x1, x2, x3, ..............., por una función f(x) definida para todos los valores de x/ 0 x 1 3.3.
DEFINICION: Sea X una variable Aleatoria Continua, si existe una función f(x), llamada FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDADES DE X, que satisfaga las siguientes condiciones:
a) b)
f(x)
0
x
Rx
f x dx 1
c) Para cualquier valor a y b, tal que P[ a
X
b
=
b
-
30) la distribución del muestreo de medias es aproximadamente NORMAL con media x y x , esto independientemente de la población, siempre y cuando la media poblacional y la varianza sean finitas y el tamaño de la población sea menor el doble que el de la muestra. Para una población infinita, este resultado es un caso especial del TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE, que afirma que la precisión de la aproximación mejora al crecer el tamaño de la muestra n. Por otro lado, en caso de que la población esté normalmente distribuida, la distribución del muestreo de medias también lo está incluso para valores pequeños de n < 30. EJERCICIO Nº 3: Las estaturas de 3000 estudiantes varones de una Universidad están normalmente distribuidas con media 68 y Desviación Standard 3,0. Si se toman 80 muestras de 25 estudiantes cada una. ¿Cuales serán la media y la Desviación Standard Típica esperadas de la resultante de la distribución de muestreo de medias, si el muestreo se lo hizo a) con y B9 sin reposición? SOLUCION: El número de muestras de tamaño 25 que podrían elegirse de un grupo de 3000 estudiantes con reposición y sin reposición son: (3000)25 y
3000 25
que son mucho más
que 80. Por tanto, se obtendrá no una verdadera distribución del muestreo de medias, sino solo una distribución de muestreo experimental. Sin embargo, como el número de muestras es grande (n>30), se espera que x y x están próximos a y ; entonces tenemos: a) b)
x
x
=
=
= 68 = 68
y
xˆ
2
3
n
25
x
y
x
0,6
= 0,6 x 0,99599 = 0,5976
0,6
Entonces, se esperaría tener una distribución de muestreo experimental de medias distribuida normalmente con media 68 y desviación típica 0,6
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EJERCICIO PARA RESOLVER EN CLASES: Una población consiste de las edades de los niños de una familia de 4 niños. Estas edades son : 2,4,6 y 8 años. a) Determinar la media y la Desviación Standard b) Enumerar todas las posibles muestras sin reposición de 2 niños que pueden seleccionarse en esta familia y determine x raya para cada muestra. c) Calcular la media y la Desviación Standard de las medias muestrales y verifique si se cumple: =
x
y
N
n
x
n
N 1
4.9. OTRA SITUACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA MEDIA Sea X una población con distribución de probabilidad f(x), Media y Varianza 2. Sea X1, X2,.......,Xn una muestra aleatoria de tamaño n de X. la media muestral es: n
xi
i 1
x
n
Entonces: 1)
x
=
2
y
2 x
n
2) Para n suficientemente grande, por el Teorema Central del Límite, la Variable Aleatoria X se distribuye aproximadamente según normal con media y Varianza 2/n Por lo tanto la Variable Aleatoria Z, es igual a: Z
X
X
n
n
Que tiene aproximadamente una distribución Normal Standard. 3) Si la población X tiene una distribución Normal con media y Varianza, la muestra aleatoria X1, X2, X3,...... Xn son variables aleatorias distribuidas normal e idénticamente con media y Varianza 2. Entonces: Tiene una distribución normal con media la variable Aleatoria: __ X
Z
X
y Varianza
2/n
para todo n. En consecuencia,
n
Tiene aproximadamente una distribución Normal Standard N(0,1). TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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El Teorema anterior es válido para cualquier población finita o infinita, discreta o continua, cuando n 30. Si la población es Normal, el teorema se cumple cualquiera sea el tamaño de n. EJEMPLO: Sea 1,1,1,3,4,5,6,6,6,7 una población. Se extrae una muestra de tamaño 36 con reemplazamiento de esta población. Calcular: a) La media
y la Desviación Standard
b) La media c) P[3,6 X
x
4,4
de la población.
= y la Desviación Standard
x
de la Media muestral X
=?
SOLUCION: Primeramente calculamos la distribución de probabilidades de la población: 1 0,3
X
P
X=x
3 0,1
a) Calculamos luego la media
4 0,1
5 0,1
6 0,3
7 0,1
.
= E(x) = 1·0,3+3·0,1+4·0,1+5·0,1+6·0,3+7·0,1 = 4 =4 2
Seguidamente calculamos
= E(x)2 -
2
E(x)2 = 12·0,3 + 32·0,1+42·0,1 + 52·0,1 + 62·0,3 + 72·0,1 = 21 2
= 21 - 16 = 5 5 2,23 Luego: b) Por el teorema anterior, tenemos:
x
=4
2,23 x
n
36
2,23 6
c) Como n=36 > 30, entonces = 4 y Varianza = 0,14 P
3,6
x
4,4
x
0,39
tiene aproximadamente una distribución normal con media
=?
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P
3, 6 4 6 2, 23
x
2,4 2,23
4, 4 4 6 2, 23
Z
2,4 2,23
(1,07)
( 1,07)
Buscamos el resultado en la tabla de la curva Normal: = 0,8577 - 0,1423 = 0,7154
EJERCICIO PARA RESOLVER EN CLASES: Sea X una población constituida por 2,4 y 6. Calcular: a) La media poblacional y la Desviación Standard poblacional. Luego se extrae una muestra de tamaño 54 con reemplazamiento de la población. Se pide calcular: b) La media x y x de las x raya. c) P
4,1
4.10.
x
4,4
=?
DISTRIBUCIONES MUESTRALES PARA MUESTRAS PEQUEÑAS
En el capítulo precedente hemos visto las distribuciones muestrales para una media grande ( n 30). Estas distribuciones eran aproximadamente Normal o que el tamaño de la muestra era suficientemente grande, de tal manera que se cumplía el Teorema Central del Límite. Sin embargo, cuando la muestra es pequeña ( n < 30) no se puede aplicar el TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE y si la población no es Normal, tampoco podemos suponer que la distribución muestral sea Normal. Para estos casos, se aplica o utiliza distribuciones relacionadas con la distribución normal. Entre estas tenemos: a) La distribución Chi-cuadrado b) La distribución T de student c) La distribución F 4.11. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO:
DEFINICION:
“Sean n variables aleatorias independientes: Z 1, Z2, Z3, ......., Zn distribuidas Normalmente, cada una con media 0 y Varianza 1 N(0,1), o sea Normal Standard. Para cada y = 1,2,3,....., n. Entonces el estadístico: 2
n
Zi
2
i 1
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ó
2
Z12 + Z22 + Z32 + .......... + Zn
=
Se dice que es una Variable Aleatoria CHI-CUADRADO con n grados de libertad. b) Si X1, X2, X3, ........, Xn es una muestra aleatoria de una variable aleatoria normal, con distribución N( , 2), entonces: 2
2
xi
n
Con n grados de libertad
y 1
FUNCION DE DENSIDAD DE LA CHI-CUADRADO: fx
n
1 2n 2
n 2
X2
1
e
= 0 El símbolo
x 2
para todo x > 0
En otro caso
es la función Gama.
* Para el caso particular de n = 2 , tenemos la Distribución Exponencial: fx
1 e 2
x 2
Que significa la función para 2 grados de libertad. Por otro lado, se puede apreciar que los valores que toma la variable Aleatoria ChiCuadrado, son todos reales y positivos, debido a que es una suma de cuadrados. 4.12. GRADOS DE LIBERTAD: (r) Es el número de Variables Aleatorias independientes que se suman. También podemos definir grados de libertad (r) como un parámetro asociado con la distribución de probabilidades o como el número de variables que pueden variar libremente. Otra forma de conceptualizar los Grados de Libertad es a partir del siguiente razonamiento. Para el cálculo de un estadístico como: 2
ns 2
X1 X
2
X2
X
2
2
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................. X n
X
2
2
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Es necesario emplear tanto observaciones de muestras como propiedades de ciertos parámetros de la población. Si estos parámetros son desconocidos, hay que estimarlos a partir de la muestra. El número de grados de libertad de un estadístico denotado por r, se define como el número n de observaciones independientes de la muestra (tamaño de la muestra) menos el número k de parámetros de la población que debe ser estimado a partir de las observaciones muestrales. r=n-k En el caso del estadístico anterior, el número de observaciones independientes de la muestra es n, de donde podemos calcular s, sin embargo debemos estimar Entonces:
r=n-1
Grados de libertad.
GRAFICA DE LA DISTRIBUCION CHI CUADRADO: f(x) r=2 r=3 r=4 r=5
r 0
En la medida en que r aumenta, la distribución Chi-cuadrada tiende a una Normal. 4.13.
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE LA CHI-CUADRADO:
Cuando la variable aleatoria X tiene una distribución Chi-cuadrado, libertad, la media y la varianza de la Chi-cuadrado está dada por:
con r grados de
= E ( )2 = r 2 = Var ( )2 = 2 r Es decir, la media es igual al número de grados de libertad y la varianza a dos veces el número de grados de libertad.
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4.14. FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA DE LA CHI-CUADRADO: F(x) Debido a la aplicabilidad de la Chi-cuadrado en inferencia estadística es má importante trabajar con la distribución acumulada de F(x) por que las mismas están calculadas en tablas (Tabla IV), para diferentes valores seleccionados de r y para un valor determinado . Por lo tanto se puede encontrar en la tabla la probabilidad de que la variable Aleatoria X 2
tiene una distribución P
X
27,59 = 1 - P X < 27,59 = 1 - P X < c) P 6,408 < X > 27,59 = P X < 2 0,95 - P X
0. Estimar el parámetro desconocido , si tomamos una muestra aleatoria x1, x2, x3,......, xn de X, entonces la Función de Verosimilitud será: n
L
n
fx X i ,
i 1
e
x
n
e
x
y 1
Aplicando logaritmos, se tiene: Log L(
)
= n Log
-
x
Derivando la función L respecto a dL d
n
x
e igualando a cero, tenemos:
0
Despejamos luego 1 x n
1 x
El estimador máximo verosímil de
es el inverso de la media muestral.
Así como se determinó el estimador Máximo verosímil de de la función exponencial, por el mismo método podemos obtener para todos las funciones de densidad y cuantía que queramos. A continuación presentamos una tabla de estimadores de máxima verosimilitud para algunas distribuciones más importantes:
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DISTRIBUCION
PARAMETRO
BERNOULLI
p
POISSON
=
EXPONENCIAL
=
ESTIMADOR DE MAXIMA VEROSIMILITUD O DE MAXIMA PROBABILIDAD
p =
X
= X
1 X
= x
NORMAL
2
x X n
2
EJERCICIO DE APLICACION: Supongamos que se compra una docena de naranjas de cierta granja frutícola y se toman sus pesos en onzas. Si la Variable Aleatoria X indica el peso de cada naranja de toda la producción, entonces podemos considerar a x1, x2,..............., x12 como una muestra aleatoria donde cada xi ( i= 1,2,3,........,12) nos indica el peso de la i-ésima naranja. Efectuado los cálculos, se obtuvieron los siguientes resultados: Peso total =
12
xi
= 66 onzas y,
i 1
12
Xi
2
385
Xi = 385 Onzas cuadradas.
Onzas cuadradas
i 1
Estimar el peso promedio y la desviación standard de la producción total, asumiendo que los pesos tienen distribución Normal. SOLUCION: Sabemos por la tabla que los estimadores máximo verosímiles son: X
y
2
Xi X n
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2
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Y luego: xi n
X
y
66 12
Xi X n
2
385 2 5,5 66 12
Luego:
2
1,83
5,5
xi
2
Onzas
x nX 2
2X n 12 5,5
1,83
2
y
1,83
2
1,35
EJERCICIO PARA RESOLVER EN CLASES: Se trata de estimar el tiempo de duración sin falla de tubos eléctricos de un stock producido por una fábrica de artículos de alumbrado. Sabemos o se sabe que el tiempo de duración en funcionamiento sin falla de este tipo de artículos, tiene una distribución exponencial. Para estimar el tiempo de duración medio sin falla, se toman aleatoriamente 30 tubos y se ponen en funcionamiento. Se asume, además, que se registraron todos los tiempos de duración sin falla y que se obtuvo un total de 32,916 horas. Estimar el tiempo medio de duración sin falla a partir de la muestra. 5.5
PROPIEDADES DE UN BUEN ESTIMADOR:
El parámetro se estima en base a un número que se calcula a partir de una muestra dada; este valor calculado es una aproximación del valor exacto desconocido del parámetro. Cuando proponemos a como un estimador puntual de , no esperamos que sea igual a Recordemos que es una variable aleatoria y por lo tanto puede tomar muchos valores.
.
Como consecuencia, supongamos que 1 y 2 son dos estimadores de ; debemos encontrar algún medio para decidir si una estimación es preferible a otra o que característica se quiere que posea un buen estimador puntual. PROPIEDADES: Un buen estimador debe ser: a) Insesgado b) Eficiente o de varianza mínima c) Consistente. a)
INSESGADO:
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es un estimador Insesgado de
si y solo si E(
)
=
EJEMPLO: Supongamos que las edades de cuatro hermanos son; 2,5,8 y 13 respectivamente. Tomemos todas las posibles muestras de tamaño 2, de manera que la probabilidad de elegir una muestra cualquiera es de 1/6 para todos los casos. Si estamos interesados en medir la edad media, entonces las medias muestrales posibles son: (2,5) (2,8) (2,13) (5,8) (5,13) (8,13) 2 5 2
X1
Luego:
EX
2 8 5 X 3 7,5 2 1 1 1 4 1 1 3,5 5 7,5 6,5 9 10,5 7 6 6 6 6 6 6 3,5
X2
X4
6,5
X5
9
X6
10,5
Además sabemos que: 2 5 8 13 4
Ex
7
El estimador
es Insesgado de
b) PROPIEDAD DE EFICIENCIA: Sean 1 y 2 estimadores insesgados de , para la misma muestra, Entonces es más eficiente que , como estimadores de , si y solo si, V( 1) < V( ), Entonces el de menor varianza es el estimador más eficiente. c) PROPIEDAD DE CONSISTENCIA: Un estimador es consistente, cuando se cumple el siguiente requisito: Sean
1,
2
, ..........,
n
una sucesión de estimadores de
, donde :
1 es un estimador obtenido de una muestra aleatoria de tamaño 1 2 es u estimador obtenido de una muestra aleatoria de tamaño 2 n es un estimador obtenido de una muestra aleatoria de tamaño n Entonces, se dice que n es un estimador consistente de si: Lím E n a) n b) 5.6.
Lím V n
n
0
ESTIMACIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA
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La estimación puntual de un parámetro, si bien es muy útil, no resulta de mucho valor si no se tiene alguna medida del posible error cometido en la estimación. Toda estimación de un parámetro desconocido debería acompañarse de un cierto intervalo que incluyera a , por ejemplo de la forma: ( - k ; + k), junto con alguna medida de seguridad de que el verdadero valor del parámetro estuviera comprendido dentro de dicho intervalo. De manera que es mucho más satisfactoria y eficaz la determinación de un “intervalo aleatorio” en el cual esté comprendido el verdadero valor del parámetro desconocido con una probabilidad próxima a uno. Un intervalo tal, recibe el nombre de INTERVALO DE CONFIANZA, en tanto que a los valores extremos del intervalo, se los designa límites confidenciales o límites de confianza. 5.6.1. DEFINICIÓN 2 Sea X una variable aleatoria que tiene distribución N(µ, σ ), donde σ2 se supone conocida, mientras que µ es el parámetro desconocido. Sea: X1, X2, X3,………,Xn una muestra aleatoria de X y x el promedio muestral. Sabemos que X tiene distribución normal N(µ, σ/√n). Por tanto, Z=(x - µ/ σ/√n) tiene una distribución Normal (0,1). Los dos estadísticos Li y Ls (Límite superior e inferior) forma un intervalo confidencial de ( 1 – α ) = 100 %: P (Li ≤
≤ Ls) ≥ 1 – α
Sin importar cuál sea el valor desconocido de . Ejemplo: Supongamos que el número de onzas de mermelada que una máquina envasa en un frasco de vidrio es una variable aleatoria NORMAL con media µ desconocida y cuya desviación estándar es de 0,5 la onza. Si seleccionamos aleatoriamente n frascos envasados por dicha máquina y si X1, X2, …..Xn son los números de onzas que contienen, respectivamente cada uno de los n frascos; entonces x es una v.a. normal con media µ y desviación estándar 0,5/ √ n. De una tabla de distribución de probabilidades Normal, sabemos que: P ( - 1,96 ≤ Z
≤ 1,96 ) = 0,95
Donde Z es una v.a. Normal Estándar. Pero para nuestra muestra: X -µ 0,5 √ n TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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De este modo: P( - 1,96 ≤ X - µ ≤ 1,96 ) = 0,95 0,5 √ n Entonces: P{ X – (1,96) 0,5 ≤ µ ≤ X + (1,96 ) 0,5 } = 0,95 √n √n Luego: Li =
X
Ls =
X
- (1,96) 0,5 √n + (1,96) 0,5 √n
Forman un intervalo confidencial del 95 % para µ. Si se observan los pesos de 75 frascos y se halla que X = 12,1 los valores de Li y Ls serán: Li = 12,1 - (1,96) 0,5 = 11,99 √ 75 Ls = 12,1 + (1,96) 0,5 = 12,21 √ 75 Entonces podemos decir que estos límites 11,99 y 12,21 contienen el valor del parámetro verdadero, o sea que el verdadero promedio de contenido en onzas de mermelada en los frascos llenados por dicha máquina, está comprendido en intervalo (11,99 y 12,21) con una seguridad del 95 %. Entonces:
P( 11,99 ≤ µ ≤ 12,21 ) = 0,95
Que significan la probabilidad de que el intervalo aleatorio x – 0,11 a x + 0,11 contenga a la media verdadera µ es 0,95. Esto es, si se extraen repetidamente muestras de tamaño 75, y si se calcula para cada muestra el intervalo aleatorio X – 0,11 a X + 0,11, es de esperar que el 95 % de estos intervalos contengan la media verdadera µ. Tenemos pues, una gran confianza de que el intervalo 11,99 a 12,21 cubra la media verdadera. Es posible obtener intervalos con cualquier grado de confianza. En nuestro ejemplo, si se desea obtener un intervalo confidencial del 99 %, será: P( - 2,58 ≤ z ≤ 2,58 = 0,99 3.6.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL
CASO 1) Con σ conocido: TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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Sea
donde µ es desconocido y σ conocido.
Sea x1, x2, ... , xn una muestra aleatoria de la variable aleatoria X y sea muestral.
Se sabe que límite.
la media
independientemente del valor de n, por el teorema central del
Luego, tipificando:
Se plantea:
entonces:
Observaciones: - Si las muestras se toman sin reposición de una población finita de tamaño N, debe emplearse el factor de corrección por finitud y el intervalo será:
- Si la población es sólo aproximadamente normal, la igualdad sigue siendo válida en forma aproximada.
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Ejemplo 1: Un grupo de investigadores en Medicina desea estimar el cambio medio de presión sanguínea por paciente en un sanatorio. Se ha seleccionado una muestra al azar de 30 pacientes y se halló que puls/seg. Los investigadores saben que la desviación estándar de los cambios de presión sanguínea para todos los pacientes es σ = 3 puls/seg según estudios anteriores. Ellos desean estimar el cambio medio de la presión sanguínea por paciente con un intervalo del 95% de confianza, suponiendo que la variable aleatoria "cambios de presión sanguínea" tiene asociada una distribución normal de probabilidad. Respuesta: X = cambio en la presión sanguínea por paciente del sanatorio (en pulsaciones por segundo) n = 30
σ = 3 1 - ά = 0.95
Por tabla:
Entonces:
Límite inferior (LI) =
Límite superior (LS) = Por lo tanto resulta el Intervalo del 95% de confianza para la media: ICM0,95 = (3,9 ; 6,1) Luego, puede decirse que el cambio medio en la presión sanguínea por paciente, pertenece al intervalo (3,9 ; 6,1) pulsaciones, con un nivel de confianza del 95%. Observación: Nótese que se cae en un abuso de lenguaje pues se debería decir que el intervalo (3,9 ; 6,1) pulsaciones pertenece a la sucesión que ofrece un nivel de confianza del 95% para estimar el cambio medio de presión sanguínea, pero se simplifica la expresión para hacerla menos engorrosa o extensa.
En cuanto al tamaño óptimo de muestra, = e determina el error máximo admitido de muestreo e indica la precisión de la estimación. Lógicamente se pretende que sea lo más pequeño posible. Por otra parte, (1 - ά ) es el coeficiente de confianza y se pretende que sea lo más grande posible. Pero
depende del valor de ά y al hacer mayor el coeficiente
de confianza (1 - ά ), el valor será mayor y por lo tanto el error aumentará. Esto se puede regular aumentando el tamaño de la muestra con lo que el error disminuirá.
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Para el ejemplo 1,
con un nivel de confianza del 95%.
Si se desea elevar el nivel de confianza a 99%, pero sin aumentar el error e de estimación, el tamaño de la muestra debería ser:
O sea que debe tomarse una muestra de aproximadamente 52 pacientes en lugar de 30. Por el contrario, si el investigador deseara un error de estimación menor, por ejemplo 1 puls/seg, manteniendo el nivel de confianza en 95%, el tamaño de la muestra requerido será: pacientes. CASO 2) Con σ desconocido Para estimar σ se debe utilizar el desvío estándar muestral corregido.
, ya que según se ha visto, es un estimador insesgado del correspondiente parámetro poblacional σ . Reemplazando en la variable tipificada
por
resulta:
Por lo tanto:
=1-ά Ejemplo 2: Una muestra de 15 aves tomadas al azar en un establecimiento con 5000 aves, (que elabora alimentos balanceados), permitió establecer un aumento de peso promedio de 90 g por semana y por ave, y un desvío típico de 10 g. Se busca estimar el incremento de peso promedio para las 5000 aves del establecimiento con un intervalo de confianza del 90%. TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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Respuesta: X = aumento de peso por ave n = 15
= 90 g S = 10 g ¿ICM0,90?
Por tabla: y el intervalo resulta:
Interpretando este resultado, se dice que el aumento de peso por ave por semana en el establecimiento está entre 85,5 y 94,6 gramos, con un 90% de confianza. 3.7.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS
CASO 1: Poblaciones normales
y
con
y
conocidos.
Se fija el nivel de confianza (1 - ά ), se extraen dos muestras independientes de X1 y X2 de tamaño n. Ya se ha visto que:
y el estadístico tipificado tiene la siguiente distribución:
(1)
Además,
(2)
Reemplazando en (2), a Z por la expresión (1), se obtiene:
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Donde:
Ejemplo 3: Al determinar la superficie en miles de hectáreas de las explotaciones agrícologanaderas de cierta zona, una muestra de 40 explotaciones dio una superficie media de 900 ha, con una desviación típica de 300 ha. En otra zona, al muestrear también 40 explotaciones, la superficie media fue de 600 ha con una desviación típica de 150 ha. Suponiendo que en ambas zonas la variable "superficie en ha por explotación" se distribuye normalmente, estimar por un intervalo de confianza del 90%, la diferencia entre las superficies medias de las explotaciones de ambas zonas. Respuesta: X1 = superficie de cada explotación agrop. de la primera zona X2 = superficie de cada explotación agrop. de la segunda zona , Por tabla:
n = 40 ¿ICDM0,90? Luego:
= = 300 ± 87,24 = (212,76 ; 387,24) = (212,8 ; 387,2) Interpretando este resultado, se dice que la diferencia entre las superficies medias de las explotaciones agrícola-ganaderas de ambas zonas, se encuentra entre 212,8 y 387,2 ha, con un 90% de confianza. Observación: En la fórmula también puede utilizarse considerarse
y en ese caso debe
en lugar de
CASO 2: Poblaciones normales
y
con
y
desconocidos
Se extraen dos muestras independientes (una de cada población) de tamaños n1 y n2 respectivamente, se fija (1 - α ), se calculan
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y
su diferencia.
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103
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a) Si σ
1
y σ
2
son desconocidos pero estadísticamente pueden considerares iguales (σ
σ2), se estiman por amalgamada o mancomunada) b) Si σ 1 y σ σ 2),
2
1
=
y se procede como en el caso 1. (Sa es la variancia
son desconocidos pero estadísticamente no pueden considerarse iguales (σ 1 ≠
Se fija (1 - ±), se extraen dos muestras independientes, se calcula distribución en el muestreo del estadístico de prueba, ya tipificado, es:
y la
donde el número de grados de libertad de la distribución t de Student viene dado por la fórmula:
De manera análoga al primer caso, se deduce que:
Ejemplo 4: Las variables aleatorias X1 y X2 distribuidas normalmente, representan las edades al morir de tuberculosis de los individuos en dos ciudades. Una muestra de 10 individuos que murieron por tal enfermedad en la primera ciudad dio una edad media de 48 años y una desviación típica de 5 años. En la segunda ciudad, una muestra de 12 individuos dio una edad media de 41 años y una desviación típica de 3 años. Se desea estimar por intervalos con un 95% de confianza, la diferencia entre las edades medias de los muertos por tuberculosis en ambas ciudades, sabiendo que investigaciones anteriores no permiten tomar las desviaciones típicas de ambas variables como iguales. X1 = edad al morir de tuberculosis en la ciudad A. X2 = edad al morir de tuberculosis en la ciudad B. TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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n1 = 10,
, S1 = 5
n2 = 12,
, S2 = 3, σ 1 ≠ σ 2 ¿ICDM0,95?
Respuesta:(corresponde al item b) del caso 2) Con estos datos, reemplazamos en la fórmula para calcular los grados de libertad:
grados de libertad. Luego, por tabla, t0,05; 15 = 2,1315 y finalmente el intervalo resulta:
ICDM0,95 = = 7 ± 3,843 = (3,157; 10,843) ~ (3 ; 11) Interpretando el resultado se puede decir que la diferencia entre las edades medias de las personas que murieron de tuberculosis en ambas ciudades, se encuentra entre 3 y 11 años, con una confianza del 95%. 3.8.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANCIA POBLACIONAL
Suponemos: Población normal X ~ N( µ , σ ) Se fija (1 - ±) y el estadístico tipificado de prueba tiene una distribución muestral:
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(1) donde Ã2 es la variancia poblacional.
Además:
(2)
Reemplazando (1) en (2) resulta:
Invirtiendo fracciones:
Multiplicando miembro a miembro por (n - 1) .S2 para despejar Ã2, se obtiene:
Invirtiendo la desigualdad: Ejemplo 5: Un productor de fertilizantes, para controlar el buen embolsado de sus productos, pesa 15 bolsas del mismo, obteniendo una desviación típica de 0,50 kg. ¿Qué varianza puede inferirse con un 98% de confianza que tendrá la producción total? Respuesta: X = peso de cada bolsa de fertilizante n = 15 S = 0,50 kg. ¿ICV0,98?
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Por tabla: Luego, el intervalo buscado es:
Se interpreta este resultado diciendo que existe un 98% de confianza de que la variancia del peso por bolsa en toda la producción de bolsas de fertilizantes de ese productor esté entre 0,12 y 0,75 Observaciones: 1) Del intervalo de confianza visto para la variancia, se deduce el correspondiente para el desvío típico:
Para el ejemplo 5: 2) Si n > 100 , los valores ya no se encuentran en la tabla de la distribución Chi cuadrado, y por lo tanto se la aproxima a una normal, utilizando para aproximar percentiles en esta distribución: Luego, el intervalo buscado es:
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TEMA No 6 PRUEBAS DE HIPÓTESIS COMPETENCIA DE TEMA: HABILIDAD: Aplica CONTENIDO: Las pruebas de hipótesis para la toma de decisiones en situaciones de incertidumbre. PROCESO: Resolviendo casos reales planteados en el proyecto de curso. CONTEXTO: En el aula y la comunidad.
4.1. DEFINICIÓN.- Una hipótesis estadística es una afirmación o conjetura que se hace acerca de la distribución de una o más poblaciones. Las hipótesis estadísticas se pueden contrastar con la información extraída de las muestras, con el propósito de saber si los resultados de la muestra, contradicen o no a tal conjetura. La hipótesis formulada con intención de rechazarla se llama hipótesis nula y se representa por H0. Rechazar H0 implica aceptar una hipótesis alternativa (H1). 4.2. TIPOS DE PRUEBAS DE HIPÓTESIS El tipo de prueba depende básicamente de la hipótesis alternativa (o alterna) H1. Se denomina prueba de una cola a toda prueba de hipótesis donde la alternativa H1 es unilateral. Si la alternativa es bilateral, la prueba se denomina prueba de dos colas. Entonces, tenemos las siguientes situaciones: 1)
Ho : θ = θo
y
H1: θ ≠ θo
De dos colas o bilateral
2)
Ho : θ ≤ θo
y
H1: θ > θo
De una cola unilateral derecha
3)
Ho : θ ≥ θo
y
H1: θ < θo
De una cola unilateral izquierda
4.3. ERRORES DE TIPO I Y II, Y NIVEL DE SIGNIFICACIÓN Se denomina error de tipo I, al error que se comete al rechazar una hipótesis nula Ho, cuando ésta es realmente VERDADERA. Se denomina error de tipo II, al error que se comete al aceptar una hipótesis nula Ho, cuándo en realidad es FALSA.
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Nivel de significación: La probabilidad e cometer un error de tipo I se denota por α. Entonces: α = P(error de tipo I) = P(rechazar Ho cuando Ho es verdadera) La probabilidad de cometer un error de tipo II, se denota por β. Entonces: β = P(error de tipo II) = P(aceptar Ho cuando Ho es Falsa) Se denomina Nivel de significación de una prueba de hipótesis a la probabilidad de cometer un error de tipo I. 4.4. POTENCIA DE UNA PRUEBA La potencia de una prueba se define como la probabilidad de rechazar Ho cuándo es realmente FALSA, o de aceptar H1 cuando ésta es VERDADERA. La potencia de una prueba es calculada por 1 – β. El nivel de significación se fija previamente por lo general en α = 0,05 ó α = 0,01. En la vida real ocurre que, cuanto menos es la posibilidad de alcanzar una meta perseguida, cuanto más es la satisfacción si se la alcanza. En estadística ocurre algo análogo; así, tanto más grande sea el riesgo que se corre en una prueba, tanto más significativo será el resultado del experimento si coincide con lo esperado. Por ejemplo, si con α = 0,05 se llega a rechazar Ho, diremos que los resultados maestrales son significativamente diferentes de Ho. Por esto, cuando la hipótesis nula se rechaza con un nivel de significación del 5 %, se dice que el resultado de la prueba es significativo; y es más, si se rechaza Ho con α = 0,01 se dice que el resultado de la prueba es altamente significativo. El concepto nivel de significación se usa para señalar que una prueba estadística evalúa la “significación” de la diferencia entre el valor hipotético de un parámetro comparado con el resultado de la muestra. 4.5. REGIÓN CRÍTICA Y REGLA DE DECISIÓN Una vez planteada la hipótesis nula Ho y la hipótesis alterna H1, referidas a un parámetro θ, y especificado el nivel de significación α de la prueba Ho contra H1, se deberá determinar una estadística ( o estadígrafo) Ф correspondiente al parámetro, cuya distribución muestral se conozca. Por ejemplo, si la si las Ho y H1 se expresan en términos de la media poblacional (µ), entonces se seleccionará la media muestral ( ) como la estadística apropiada para efectuar la prueba. Si se supone que la Ho: θ = θo es verdadera; entonces, la distribución de probabilidad de TEXTO GUÍA DE ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II Preparado por el Lic. René Mamani Quisbert
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la estadística (Ф) queda bien definida por esta hipótesis, ya que esta hipótesis especifica completamente la distribución. En la distribución de probabilidad fijada por la hipótesis Ho: θ = θo se establece la regla de decisión de acuerdo con la cual se rechazará o por el contrario se aceptará la hipótesis Ho. El rechazo de la hipótesis nula Ho implica la aceptación de H1. La regla de decisión implica la división de la distribución muestral del estadístico (Ф) de la prueba en dos partes mutuamente excluyentes: La región de rechazo o región crítica (RC) de Ho, y la región de aceptación (RA) o no rechazo de Ho. Esta división depende de H1, del nivel de significación (α) y de la distribución del estadístico. Ejemplo práctico: Supongamos que se tiene una población normal N(µ,9) con varianza conocida σ2 = 9 y que se trata de probar la hipótesis nula Ho: µ = 70 contra H1: µ > 70. Dado que es un buen estimador de µ utilizaremos esta estadística para determinar la región crítica y la región de decisión de esta prueba. Puesto que estamos interesados en la discriminación entre µ = 70 y los valores de µ >70, parece razonable que debamos rechazar Ho si - 70 es muy grande, esto es si > K, siendo K un valor crítico que vamos a determinar. Si se supone verdadera la hipótesis Ho: µ = 70, entonces la distribución de la media es normal con media µ = 70 y desviación estándar σ = 3. En consecuencia, la distribución de: Z= - 70 3/√n Es normal N(0,1). Para una muestra aleatoria de tamaño n = 40 y la probabilidad de error de tipo I, α = 0,05 se tiene: 0,05 = P (
-70 > K-70) = P [ Z > k -70]
3/√n
3/√n
0,474
De la tabla normal N(0,1) se obtiene: K – 70 = 1,645
Luego k = 70 + 1,645x0,474 = 70,78
0,474 Por lo tanto, la región crítica en el rango de la variación de
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es el intervalo:
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RC = [ 70,78; + ∞ ] La regla de decisión establece que: Si x es el valor de obtenido a partir de la muestra aleatoria de tamaño 40, se rechazará Ho si x > 70,78. 4.6. PROCEDIMIENTO DE LA PRUEBA DE HIPOTESIS Los pasos generales para efectuar una prueba de hipótesis, son las siguientes: 1) Formular Ho y H1. 2) Prueba estadística 3) Nivel de significación 4) Distribución muestral 5) Región de rechazo 6) Toma de decisiones. Ejemplo: Se conoce que un cierto proceso de manufactura utilizado en una fábrica, rinde una producción promedio de 155 unidades por hora, con una desviación estándar de 8 unidades. Aparece en el mercado un nuevo tipo de máquina que realiza el mismo producto. El gerente de la fábrica estima que si el rendimiento de producción de las nuevas máquinas es en promedio mayor que 155 unidades/hora, éstas deberían comprarse no obstante de ser más caras. Se experimenta con 35 máquinas del nuevo tipo, con miras a utilizarlas en el proceso de manufactura, en lugar de las antiguas. La decisión final se hará de acuerdo al procedimiento de toma de decisiones visto. SOLUCIÓN 1.- Hipótesis de Nulidad.- Asumamos que el gerente está inclinado a creer que el promedio de producción es mayor que 155 y que quiere evitar la posibilidad de cometer el error de comprarlas cuando en realidad no sería conveniente hacerlo; entonces las hipótesis son: Ho: µ = 155 unidades/hora
H1: µ > 155 unidades/hora
2.- Prueba estadística. Para este caso el estadístico de prueba más adecuado es: z=
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- µo σx
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Donde z tiene distribución Normal Estándar. 3.- Nivel de significación. En este caso rechazar la hipótesis nula si es verdadera conduciría a serias consecuencias, puesto que se tomaría la acción equivocada de comprar máquinas más costosas siendo así que la producción promedio no diferirá mayormente de las que actualmente se están usando. A fin de prever una decisión errada como ésta, el gerente decide utilizar un nivel de significación de α = 0,01, ósea una probabilidad pequeña de rechazar Ho siendo verdadera. 4.- Distribución Muestral. Supongamos que las 35 máquinas (N=35) del nuevo tipo, constituyen una muestra aleatoria, y que se ha obtenido una producción media de =160 unidades por hora. Por otro lado, asumamos que la σx al de las máquinas antiguas, entonces con N=35, tenemos: Tenemos:
σx = 8/√35= 1,35
Luego:
z= 160 – 155/1,35 = 3,7
5.- Región de rechazo. Para α=0,01 y para una prueba de extremo derecho, la regla de decisión es: Rechazar Ho siempre y cuando z > 2,33, en otro caso, aceptar Ho.(Recurrir a la tabla A). 6.- Decisión. Como z = 3,7 > 2,33 entonces z cae dentro de la región de rechazo, por tanto se rechaza Ho, lo que implica aceptar H1. Por tanto, es recomendable comprar las nuevas máquinas y para utilizarlas en lugar de las de tipo antiguo.
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