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Geometría en el plano

Para empezar Muchas veces nos encontramos con imágenes que parecen una cosa pero en realidad son otra, o que nos confunden y parecen cambiar según cómo se las mire.

Imagen 1

Imagen 2

Imagen 3

Responde las siguientes preguntas y explica cómo puedes hacer para verificar tus respuestas. ¿La imagen 1 está compuesta por circunferencias concéntricas o por espirales?

¿En la imagen 2 la curva central es una circunferencia?

¿Cuántos óvalos y cuántas circunferencias hay en la imagen 3?

D

1 a. Se dibujó una circunferencia de centro O y se trazaron varios A segmentos. Nombra un radio, un diámetro y una cuerda.

O

C

B

b. Juan dice que sin agregar más segmentos a la figura puede nombrar más de un radio y más de una cuerda, pero solo un diámetro. ¿Por qué? ¿Cuáles pueden ser?

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© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

CirCunferenCiA

2 Indica cuál es la posición relativa de cada una de las rectas respecto de la circunferencia de esta figura. u r

O

v

r →

w →

v →

u →

w

3 Deduce la posición relativa de una circunferencia de radio r y una recta que se halla a una distancia d de su centro, en los siguientes casos. a. r = 6 cm, d = 4 cm → b. r = 6 cm, d = 6 cm → c. r = 4 cm, d = 6 cm → 4 Lucía encontró esta figura con circunferencias de distintos colores. a. ¿Cómo son las circunferencias azules entre sí? ¿Y con respecto a las celestes?

b. ¿Cómo es la circunferencia anaranjada respecto de las celestes?

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c. ¿Cómo es la circunferencia verde con respecto a la anaranjada? 5 Mati quiere dibujar dos circunferencias, una de 3 cm de radio y la otra de 4 cm de radio, de manera que la distancia entre sus centros sea de 4 cm. a. ¿Pueden ser tangentes interiores? ¿Y tangentes exteriores?

b. Para verificar tu respuesta haz las circunferencias usando GeoGebra o con el compás y la regla. ¿Qué posición relativa ocupan?

c. ¿Qué relación hay entre los radios de dos circunferencias tangentes interiores y la distancia entre sus centros? ¿Y si son tangentes exteriores?

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ÁnGuLoS en LA CirCunferenCiA 6 a. Indica si el ángulo señalado en verde es inscripto o semiinscripto. Si no es ninguno de los dos explica por qué.

b. Señala con rojo los arcos de circunferencia que abarcan los ángulos inscriptos o semiinscriptos de la parte anterior. 7 a. En cada una de las siguientes circunferencias se trazó un ángulo inscripto. Traza el ángulo central correspondiente. E F

M A

O

O

O

G

T

P

I

B

O

J

R

S

N E

H

F

I

P

O

M 1

O

O

J

4 G 3 O 2

N b. Con ayuda de un semicírculo conjetura una relación entre las amplitudes del ángulo inscripto y el central que abarcan el mismo arco. P

M 1

8

A

4 3 O

T

2 3 4 O 12

C N

R

O

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H

C

E

H

F

I O

O

J

G

8 Te proponemos que demuestres la conjetura a la que habrás llegado en el ejercicio anterior en el caso particular de que el centro de la circunferencia pertenezca a uno de los lados de ángulo inscripto. P M

E F

1E 4 I3 O

F O

G

I

2

O

J

O

O

ˆ= 1

N

G

H

H

Analiza la figura y completa la demostración.

J

ˆ= 1

ˆ+3 ˆ= ˆ +2 1

ˆ= 1 ˆ+3 ˆ= ˆ +2 1

ˆ+3 ˆ= ˆ +2 1 ˆ .+ 4 ˆ= ˆ = 3 , en consecuencia 1 ˆ +4 ˆ= 3 T ˆ +4 ˆ+3 ˆ = ˆ= ˆ +2 (ii) Como 1 pues y 3 P P ˆ= = ˆ1 ˆ2 ˆ+ +3 ˆ A 1+2 ˆ ˆ M M entonces . pues C 1+2 = 3 4 ˆ +4 ˆ ˆ ˆ =1 3 1 R 4 4 O O1 +ˆ2 =ˆ ˆ De las igualdades de los pasos (I) y (II) se deduce que el ángulo central MOP (el 3 + 4 4=) 3 O 3 O ˆ 12 4 ˆ ˆ= 2 ˆ +2 es 1 4 2 ˆ= ˆ +2 B S 1 ˆ= 1 (i) El triángulo MON es isósceles pues

N

N

ˆ 4 9 En tu cuaderno demuestra que la relación entre las amplitudes del ángulo inscripˆ 4 to y el central que abarcan el mismo arco es válida en todos los casos. Para ello puedes usar las siguientes figuras de análisis T A

A 3 4 O

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T

C 3 4 O

12

12

B

B

C R

OR

S

O

S



9

10 Halla la amplitud del ángulo a en cada caso sin usar el semicírculo.

α

α

O

β

β

β=124º

O α

β=65º

β

O

β=105º

11 Halla la amplitud del ángulo a2 en cada caso.  = 15°; ω  = 20°; ω +ω  = 70°.  =2 ω . a. α b. α 1 1 2 1 2 1 D

D

O

O A

A

C

B

C B

12 Halla la amplitud del ángulo a. Usa los datos de la figura. C A

O P

R

B β

64º O

13 El triángulo ABC es isósceles con AC = BC. Halla la amplitud del ángulo a. Q

C O

B 80º

A

β

10

A O

α

B

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α

S

α

α

O

β

β

O α

14 a. Traza un diámetro de la circunferencia. Llama A y B a sus extremos.β=124º Marca otro punto de la circunferencia y llámalo P. Dibuja el ángulo con vértice en P cuyos lados pasan por A y B. ¿Es un ángulo inscripto? ¿Cuál es su amplitud?

β=65º

β

O

β=105º

b. Si hubieras marcado cualquier otro punto de la circunferencia (diferente de A y B), ¿ocurriría lo mismo? Explica. P S α R

β

64º

O c. Completa. Cualquier ángulo inscripto en una circunferencia que abarque un diámetro Q

15 PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O. El ángulo SRQ es de 64º Calcula la amplitud de los ángulos señalados con a y b. A P

β

S

α R

O

64º O

α

β B Q



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A

16 Halla el valor de x y la amplitud de cada ángulo del triángulo. Considera que β  = (2 x + 10) ° y que AC es un diámetro de la circunferencia.  = ( x + 20) ° y C A O

B

α

B A

O

C

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