Análisis de Señales y Sistemas FRBA – UTN Año 2009/2010 TP: TRANSFORMADA DE LAPLACE 1) Calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones temporales a) x(t ) = 5δ (t )
f) x(t ) = e
b) x(t ) = u (t )
− at
sen(ω 0 t )u (t ), a〉 0
g) x(t ) = t u (t ) 3
x(t ) = (t − 1)u (t − 1) − at d) x(t ) = e u (t ), a 〉 0 e) x(t ) = sen(ω 0 t )u (t )
c)
h) x(t ) = t e u (t ) 2 3t
i) x(t ) = t cos(ω 0 t )u (t )
2) Dibujar en el plano s, los polos y la región de convergencia de las siguientes funciones:
x(t ) = e − at u (t ), a 〉 0 , x(t ) = e at u (t ), a 〉 0 , x(t ) = sen(ω 0 t )u (t ) , x(t ) = sen(2ω 0 t )u (t ) , x(t ) = e − at sen(ω 0 t )u (t ), a〉 0 , x(t ) = e 2 at sen(2ω 0 t )u (t ), a〉 0 Analizar la ubicación de los polos con la forma temporal de las funciones. 3) Calcular la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones: a) X ( s ) =
(s − 1) (s + 1)(s − 3)
b) X ( s ) =
d) X ( s ) =
3s 2 + s + 1 (s + 1)
e) X ( s ) =
s
(s + 1)
2
+4
2
c) X ( s ) =
5s + 1 (s + 1)(s − 1)2
d 3 ⎡ (s − 1) ⎤ ds 3 ⎢⎣ (s + 1)(s − 3) ⎥⎦
4) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales a) y (t ) + 3 y (t ) + 2 y (t ) = 0 y (0 ) = 3 y (0 ) = 1 ´´
'
'
b) y (t ) + 5 y (t ) + 6 y (t ) = f (t ) + f (t ) ´´
'
'
y (0 ) = 2 y ' (0) = 1 f (t ) = e −4t u (t )
⎧⎪ y ' + 2 z ' = t y (0 ) = 3 y ' (0 ) = −2 z(0 ) = 0 '' −t ⎪⎩ y − z = e
c) ⎨
5) Dado el siguiente sistema:
x(t)
1 s+3
+ -
y(t)
2 s
1
Análisis de Señales y Sistemas FRBA – UTN Año 2008/2009 a) Hallar la función del sistema H(s) b) A partir de H(s) encontrar la respuesta al impulso h(t) 6) Dado el siguiente sistema continuo y causal
x(t)
y(t)
H(s)
+
H ( s) =
+
1
(s − 1)(s + 3)
g a) El sistema es inestable para g = 0. Justifique b) ¿Para que valores de g el sistema es estable? Graficar el movimiento de los polos del sistema realimentado para los valores de g obtenidos. c) Si en la entrada se coloca una señal u(t), encontrar la señal de salida y(t) para g = 5. 7) Dado el siguiente sistema:
a x(t)
-
c
+
y(t)
∫
∫
+ -
b a) Encontrar la ecuación diferencial que lo describe b) Resolver el sistema para una entrada x(t) = δ(t), con a = 4 , b =3 y c = 1. 8) Dado el siguiente circuito, en t = 0 se cierra la llave k. Siendo R1 = 10 ohm, R2 = 5 ohm, L = 0,02 Hy y V = 100 V. Calcular las corrientes de mallas i1(t) e i2(t).
R1
k V
i1
L
i2
R2
2
Análisis de Señales y Sistemas FRBA – UTN Año 2008/2009 9) Encontrar la función transferencia H(s) del siguiente sistema.
+
+
4
-6
y(t)
2 1 s
+
x(t)
1 s -3
-2
+ 10) A partir del siguiente sistema, encontrar las transferencias entre la salida Y(s) y la entrada R(s), y entre Y(s) y X(s)
d(t) r(t)
10
+
2 s
+
y(t) +
-
11) Para el motor de Corriente Continua que se muestra a continuación, considerando como entrada del mismo la tensión de armadura va(t) y salida la velocidad angular del rotor ω(t), hallar el diagrama en bloques (Transformada de Laplace) del modelo eléctrico del motor y encuentre la relación entre la salida y la entrada transformada, es decir Ω(s)/Va(s). Tenga en cuenta que tanto el sistema eléctrico como mecánico del Motor de CC están relacionados, es decir, la tensión dependiente es función de la velocidad angular del motor y la cupla aplicada de la corriente de armadura. El motor inicialmente estaba detenido (CIN). Ra
La va
ia
Td(t)=kt.ia(t) + -
J
vb(t)=kb.ω(t)
ω(t)
B
3
Análisis de Señales y Sistemas FRBA – UTN Año 2008/2009 Respuestas: 1) a) 5
f)
ω0
(s + a )2 + ω0 2
3)
[
1 s
c)
1 −s e s2
g)
6 s4
h)
2 (s − 3)3
]
1 3t e + e −t u (t ) 2
a) x(t ) =
[
c) x(t ) = − e
e)
b)
x(t ) = −
d)
i)
1 s+a
e)
s 2 − ω0
2
+ ω0
2
(s
2
ω0 2 s + ω0 2
)
17 −t e cos(4t + 0,245)u (t ) 4 d (δ (t ) ) − 2δ (t ) + 3e −t u (t ) d) x(t ) = 3 dt
b) x(t ) =
]
−t
+ 3te t + e t u (t )
[
]
t 3 3t e + e −t u (t ) 2
4)
[
]
a)
y (t ) = 7e −t − 4e −2t u (t )
b)
3 ⎡13 ⎤ y (t ) = ⎢ e −2t − 3e −3t − e − 4t ⎥u (t ) 2 ⎣2 ⎦
⎡2 ⎤ 4 ⎛ 1 ⎞ 10 ⎛ 1 ⎞ y (t ) = ⎢ e −t − t ⎟ + cos⎜ t ⎟ − 1 + t 2 ⎥u (t ) 2 sen⎜ 3 ⎝ 2 ⎠ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎣3 ⎦ c) 1 ⎡3 1 ⎤ z (t ) = ⎢ + t 2 − y (t )⎥u (t ) 2 ⎦ ⎣2 4 5) a)
H (s) =
s s + 3s + 2
b)
h(t ) = 2e −2t − e − t u (t )
[
]
2
6) a) Polo s=1 , la ROC no incluye el eje jw b) g < -3
4
Análisis de Señales y Sistemas FRBA – UTN Año 2008/2009
Root Locus 1.5
1
Imaginary Axis
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 -3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Real Axis
c) 7)
1⎤ ⎡ y (t ) = ⎢0,0417e − 4t + 0,0833e 2t − ⎥u (t ) 8⎦ ⎣
y ´´ (t ) + ay ' (t ) + by (t ) = cx ⎡ 1 − t 1 − 3t ⎤ b) h(t ) = ⎢ e − e ⎥u (t ) 2 ⎣2 ⎦
a)
8) 500 ⎡ 10 − 3 t ⎤ i1 (t ) = ⎢10 − e ⎥u (t ) , 3 ⎣ ⎦
9)
H (s) =
10)
t⎤ ⎡ 20 − 500 i2 (t ) = ⎢ e 3 ⎥u (t ) ⎣3 ⎦
2s 2 + 4s − 6 s 2 + 3s + 2
20 Y ( s) s = 20 R( s) 1 +
, s
20 Y (s) = D( s) 20 + s
11)
Va(s)
1 I(s) kt R+Ls B+Js
+
Ω(s)
kb
5
Análisis de Señales y Sistemas FRBA – UTN Año 2008/2009
¡Pero jefe, estoy seguro de que los polos estaban en el semiplano izquierdo!
6
