Matemática 1 – EMyE 2° Parcial 4 de junio de 2014 Ejercicio 1: Supongamos que de una función continua en todo R se sabe lo siguiente respecto de su signo y el de sus derivadas primera y segunda, además de ceros y valores donde no existen: ‐6 ‐4 ‐2 0 2 4 6 f + + + +0‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐0+ + + + + + + + + + + + + + + + + 0 ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ f’ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ∄+ + + + + + + + + + + + + + + + + +0‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ f”‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ∄‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐0+ + + + + + 0‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ 0+ + + + + + + + + + Realizar un bosquejo de una función que cumpla con estos datos Ejercicio 2: Dada la función a continuación, complétela cuando sea posible de modo que en el punto x = 1 resulte (a) continua, (b) discontinua evitable, (c) discontinua esencial de salto finito (d) discontinua esencial de salto infinito. Justifique cada elección y muestre que el ejemplo elegido es adecuado.
1 x2 si x 1 2 x x 2 f(x) ............ si x 1 ............ si x 1 Ejercicio 3: Realizar el estudio completo de la siguiente función llegando a su gráfico aproximado.
f(x)
4x (x 2)2
f (x)
x 10 2x 32 f (x) 3 x 2 x 24
Ejercicio 4: Calcular la derivada primera de f(x) e posible.
1 x 2
llegando a la expresión más simplificada
Ejercicio 5: a) Dada la función f(x) = 4x 2x2 determinar la ecuación de las tangentes que pasan por (3,0). Graficar Ejercicio 6: a) Dada la siguiente afirmación interprétela gráficamente y justifique: “Sea f(x) una función continua en R tal que f(0) = 2 y f(1) = 1, entonces existen al menos un punto c1 R tal que f(c1) = 0,5 y un punto c2 R tal que f(c2)= 0.” b) En el caso de la función anterior, ¿es posible afirmar que para algún elemento del dominio será f(x) = 10? Ejercicio 7: Una mesa rectangular se construye con dos tipos de madera, un centro de una madera oscura de 120$/m2 y un borde de madera más clara de 220$/m2 según el diseño de la figura. Los bordes deben tener un ancho de 0,3 m y 0,2 m en los lados largo y corto respectivamente. Si la mesa tiene que tener una superficie de 4m2, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la mesa para que el costo sea mínimo?