Resolución del examen final de RRP – 28-05-2012 Aclaración: no se incluyen todos los pasos necesarios para resolver cada ejercicio o problema ni tampoco los cálculos auxiliares ni la verificación de las soluciones de las ecuaciones.

1) a) Resuelve la siguiente operación combinada utilizando propiedades (sin calculadora). b) Indica todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenece el resultado. 2  1  2 1  −1 − 2 6  1  ⋅  −  ⋅ 7 +  +   ⋅ 144 = 7  9  4  7 4 

Solución: 2  1  2 1  −1 − 2 6   1  8 − 7  −1 1 6  1 1 a)  ⋅  −  ⋅ 7 +  +   ⋅ 144 =  ⋅  +  + ⋅ 12 =  ⋅ 7  9  4  7 4   4  28  49 7  9

1 6 4 1 6 4 4 7 1  4 ⋅ 28 ⋅ 49 + 7  + 3 =  7 + 7  + 3 = 1 + 3 = 3 b) 7/3 pertenece al conjunto de los números racionales y de los reales.

2) Resuelve la siguiente inecuación, y luego grafica la solución obtenida en la recta real:

x 2 − 2x + 3 > x + 1 Solución:

x 2 − 2 x + 3 > x + 1
x 2 − 3 x + 2 > 0
( x − 1)( x − 2) > 0 La solución es: S = ( −∞;1) ∪ ( 2,+∞)

3) Resuelve el siguiente problema planteando la ecuación, inecuación o sistema de ecuaciones, según corresponda: Al ser preguntado por el dinero que llevaba, un señor contesta: “si gasto la cuarta parte más la tercera parte, lo gastado es igual a 1000 más la sexta parte". ¿Cuánto dinero llevaba? Solución: Llamamos x al dinero que llevaba el señor. Entonces:

1 1 1 x + x = 1000 + x
x = 2400 4 3 6

Luego, el señor llevaba 2400$.

4) Resuelve la siguiente ecuación, y verifica la o las soluciones halladas:

Solución:

( x + 1)( x + 2) + 2 x( x − 2) + 2( x 2 − 4) x +1 2x =0
+ +2=0
( x − 2)( x + 2) x−2 x+2 5x 2 − x − 6 =0 ( x − 2)( x + 2)




5x2 − x − 6 = 0




x=

6 ó x = −1 5

5) Resuelve el siguiente problema planteando previamente la ecuación, inecuación o sistema de ecuaciones, según corresponda: En un cierto país un automóvil marca A consume nafta común de $1,1 el litro, y su rendimiento es 12 l cada 100 km. Otro de marca B consume nafta especial de $1,3 el litro, y rinde 10 l cada 100 km. Un día, la suma de los kilómetros recorridos por ambos fue de 50 km, y gastaron $58 de nafta. ¿Cuántos kilómetros recorrió cada uno? Solución: Es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: Llamamos: x: distancia en km recorrida por el auto A y: distancia en km recorrida por el auto B Entonces:

 x + y = 50  1,1x + 1,3 y = 58 Resolviendo el sistema por alguno de los métodos (igualación, sustitución) se llega a que: x=35 ; y=15. Luego, el auto A recorrió 35 kilómetros y el auto B recorrió 15 kilómetros.

6)

a) Indica cuál es la variable independiente y cuál la dependiente. Justifica. b) El máximo de esta función es el punto (60 ; 10). Explica claramente el significado de este punto. c) ¿En qué puntos la función corta al eje X? ¿Qué significan estos puntos? d) ¿Cuál es el dominio de esta función? Solución: a) La variable dependiente es la altura y la independiente el tiempo. Esto se debe a que la altura alcanzada por el agua en el depósito depende del tiempo que va pasando. b) Este punto indica que la altura del agua en el depósito es de 10 metros, se cierra la válvula que permite el ingreso de agua y se abre la que permite la salida de la misma. c) La función corta al eje x en el punto (0;0) y en el punto (120;0). Es decir, cuando x= 0 y cuando x=120. El primer punto significa que el depósito está vacío y se abre la válvula que permite el ingreso del agua, entonces el depósito comienza a llenarse. El segundo punto indica que el depósito está vacío porque se terminó de vaciar.