Matemática 1 – EMyE     2° Parcial        4 de junio de 2014    Ejercicio 1: Supongamos que de una función continua en todo R se sabe lo siguiente respecto de  su signo y el de sus derivadas primera y segunda, además de ceros y valores donde no existen:      ‐6          ‐4            ‐2           0            2             4            6        f    + + + +0‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐0+ + + + + + + + + + + + + + + + + 0 ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐      f’  ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ∄+ + + + + + + + + + + + + + + + + +0‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐      f”‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ∄‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐0+ + + + + + 0‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ 0+ + + + + + + + + +  Realizar un bosquejo de una función que cumpla con estos datos    Ejercicio  2:  Dada  la  función  a  continuación,  complétela  cuando  sea  posible  de  modo  que  en  el  punto x = 1  resulte  (a) continua, (b) discontinua evitable, (c) discontinua esencial de salto finito   (d) discontinua esencial de salto infinito. Justifique cada elección y muestre que el ejemplo elegido  es adecuado. 

 1  x2           si x  1   2 x x 2    f(x)  ............                si x  1   ............                si x  1   Ejercicio 3: Realizar el estudio completo de la siguiente función llegando a su gráfico aproximado.

f(x) 

4x     (x  2)2

f (x) 

x  10  2x  32             f (x)  3 x  2 x  24

Ejercicio 4: Calcular la derivada primera de f(x)  e posible.

1 x 2

llegando a la expresión más simplificada

Ejercicio 5: a) Dada la función f(x) = 4x  2x2 determinar la ecuación de las tangentes que pasan por  (3,0). Graficar  Ejercicio 6: a) Dada la siguiente afirmación interprétela gráficamente y justifique: “Sea f(x) una función continua en R tal que f(0) = 2 y f(1) = 1, entonces existen al menos un punto c1  R tal que f(c1) = 0,5 y un punto c2  R tal que f(c2)= 0.” b) En el caso de la función anterior, ¿es posible afirmar que para algún elemento del dominio será  f(x) = 10?  Ejercicio 7: Una mesa rectangular se construye con dos tipos de madera, un centro de una madera  oscura de 120$/m2 y un borde de madera más clara de 220$/m2 según el diseño de la figura. Los  bordes deben tener un ancho de 0,3 m y 0,2 m en los lados largo y corto respectivamente. Si la  mesa tiene que tener una superficie de 4m2, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la mesa para  que el costo sea mínimo?