Matemática II Ingeniería Civil Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga Junio – 2013
Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga
Definición: Una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si F'(x) = f(x) para toda x en I. Ejemplos: Determine las anti derivadas de las siguientes funciones
a) f ( x)
3x2
b) f ( x)
c) f ( x)
cos 2x
d ) f ( x) 3e
3 2x
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Definición: El conjunto de todas las anti derivadas de indefinida de f con respecto a x, denotada mediante
∫f(x)dx Donde: ∫: signo de la integral f: función integrando x: variable de integración
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f es la integral
a ) [ f ( x)
g ( x)]dx
b) k . f ( x)dx c) f ( x)dx
k f ( x)dx, k F ( x ) c, x
cte I
Ejemplos: Determine las integrales indefinidas de las siguientes funciones.
a) ( x 2
b)
1 x
sen 2 x 5)dx
2 1 x
e
3x
c) (3 cos 3x 2e 2 x
dx 8)dx Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga
Sea u = u(x) una función integrable, entonces:
1) dx
x c
6) cos(ax)dx
1 sen(ax) c a
xn 1 2) x dx c, n 1 1 n 1 7) tg (ax)dx Ln(sec ax) c a n 1 u 1 3) u n du c, n 1 2 8 ) sec ( ax ) dx tg (ax) c n 1 a 1 4) eaxdx eax c du 9) Ln(u) c a u 1 5) sen(ax)dx cos(ax) c du u a 10) 2 Arctg c 2 a u a n
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A. Integración por Sustitución o Cambio de Variable. Si u = g(x) es una función diferenciable entonces.
f [ g ( x)]g ( x)dx
f (u )du
Ejemplos : Determine las siguientes integrales
x3 1 1) 4 dx x 4x 1 3 xLn(1 x 2 ) 4) dx 2 1 x
2)
xdx x
5)
2
3) e x sen(4e x
1
ex e
x
senx
dx
cos x
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2)dx
B. INTEGRACIÓN POR PARTES Consideremos u = u(x) y v = v(x) dos funciones diferenciables en la variable x entonces su producto también es diferenciable. Es decir:
d (uv) udv udv
udv vdu d (uv) vdu d (uv)
udv uv
vdu
vdu (*)
A la expresión (*) se denomina formula de integración por partes
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Determine las siguientes integrales indefinidas
1) x cos 3 xdx
2) (3 x 2
3) x 3 Ln 2 xdx
4) arccos xdx
5) xarctgxdx
6) e3 x sen 4 xdx
7 x 1)e x dx
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C) INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS A) Integrales del tipo:
sen m x. cosn xdx
donde
m, n
Z
CASOI: “m” o “n” es impar y positivo
Si m es impar, separe un factor de senx. Luego reemplace cualquier factor de sen²x por 1- cos²x y haga la sustitución u = cosx.
Si n es impar, separe un factor de cosx. Luego reemplace cualquier factor de cos²x por 1- sen²x y haga la sustitución u = senx. EJEMPLOS: calcular las siguientes integrales
a ) sen 4 x. cos5 xdx
b)
cos x .sen 3 xdx
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Caso II: m y n son pares y positivos o nulos. En este caso puede utilizar las identidades.
1 cos 2 A sen A 2 2
1 cos 2 A cos A 2 2
Con el fin de reducir las potencias en el integrando. Ejemplos: Calcular
(a ) sen 4 xdx (b) cos4 x.sen 2 xdx
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B) Integrales del tipo:
tg m x. sec n xdx
donde
m, n
Z
CASO I: si m impar y positivo. Separa un factor de secx.tgx. Luego reemplace cualquier factor de tg²x por sec²x - 1 y haga la sustitución u = secx.
Ejemplo: Calcular
tg 3 x. sec 3 xdx CASO II: Si n es impar, separe un factor de sec²x. Luego reemplace cualquier sec²x por 1+ tg²x y haga la sustitución u = tgx. Ejemplo: Calcular
tg 2 x. sec 4 xdx
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C) Integrales del Tipo: ctg m x. csc n xdx donde m, n Z Estas integrales se tratan de forma similar a las del tipo anterior.
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Caso I: Integrando que contiene un término de la forma: hacer :
u
asen ,
,
2 2
Ejemplos: Calcular
a)
x 1 9 x
2
dx
b)
dx x 25 4 x 2
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a2
u2 , a
0
Caso II: Integrando que contiene un término de la forma: Hacer :
u
atg ,
dx (1 x 2 ) x 2 1
a sec ,
x 2 dx b) (9 4 x 2 ) 5 / 2
0,
2
,
u2
2
Ejemplos: Calcular
a)
x
0
2 2
Caso III: Integrando que contiene un término de la forma: Hacer: 3
u
u2 , a
,
Ejemplos: Calcular
a)
a2
2
36dx x
x 2 dx b) ( x 2 9)3 / 2
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a2 , a
0
Caso I: Todos los factores del Q(x) son lineales y ninguno se repite.
(a1x b1 )(a2 x b2 )(an x bn )
Q( x) Entonces:
P( x) Q( x)
A1 a1 x b1
A2 a2 x b2
An an x bn
Donde Ai son constantes reales por determinar. Ejemplos: Calcular
a)
x3
x 1 dx 2 x 6x
b)
4x 2 dx x ( x 1)( x 2)
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Caso II: Todos los factores del Q(x) son lineales y algunos se repiten. Entonces:
P( x) Q( x)
Q( x)
(ax b)n
C1 ax b
C2 (ax b) 2
Cn (ax b) n
Donde Ci son constantes a determinar Ejemplos: Calcular
4 x 2 5x 3 a) dx 2 x( x 1)
b)
2 y 2 11y 8 dy 3 2 y 4y 4y
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Caso III: Todos los factores del Q(x) son lineales y cuadráticos y ninguno se repiten. Al factor cuadrático ax2 bx c del denominador le corresponde la fracción parcial de la forma :
mx n ax2 bx c Ejemplos: Calcular
2x2 5x 2 a) dx 3 x x
b)
x3 x 2 x 2 dx 4 2 x 3x 2
Caso III: Todos los factores del Q(x) son cuadráticos y algunos se repiten. Si la fracción es:
P( x) (ax2 bx c) n
A1 x B1 ax2 bx c
A2 x B2 (ax2 bx c) 2
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An x B2 (ax2 bx c) n
Definición: La integral definida de a hasta b es : b
n
f ( x)dx a
Lim n
f (ci ) x i 1
Para cualquier f continua es [a,b] para la cual exista el límite y este sea el mismo para cualquier elección de los puntos de evaluación c1,c2,…., cn Cuando este límite exista, se dice que f es integrable en [a,b]
Ejemplos: calcule las siguientes integrales exactamente 2
a) ( x 0
2
2 x)dx
5
b) (2 x 5)dx -3 Lic. Mat. Edinson Idrogo Burga
Cuando f y g son integrables, la integral definida satisface las siguientes reglas. b a 1) Orden de integración: f ( x)dx f ( x)dx, a b a
2) Intervalo de ancho cero: 3) Múltiplo constante:
b a
f ( x)dx
b
b
a
kf ( x)dx
0
k f ( x)dx k
a
a
b
4) Suma y Diferencia: b
b
[ f ( x) a
a
g ( x)]dx
c
f ( x)dx
5) Aditividad:
cte
c
f ( x)dx b
b
f ( x)dx a
f ( x)dx a
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g ( x)dx a
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (TFC) Si f es continua en [a,b] y sea x un punto variable en . Entonces: x
d f (t )dt dx a
f ( x)
Generalización Del Primer Teorema Fundamental Si f es continua en [a,b], Entonces:
d dx
g ( x)
f (t )dt
f ( g ( x)) g ( x)
a
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SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO (TFC) Si f es continua en [a,b] y F(x) es una antiderivada de f. Entonces b
f ( x)dx
F (b) F (a)
a
Ejemplos: e
Lnxdx
1) Calcula 1
t
2) Si la velocidad de un paracaidista esta dado por v(t ) 30(1 e )m / s Para los primeros 5 segundos de un salto, calcule la distancia recorrida.
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ÁREA DE REGIONES PLANAS CASO I: Consideremos una función y f (x) continua en el intervalo [a,b] y además f ( x) 0, x [a, b]. El área de la región R limitada f (x) el eje X y las rectas verticales x = a y x = b por la curva y esta dado por la expresión: b
A( R)
f ( x)dx a
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Ejemplos: 1) Calculemos el área de la región R limitada por las graficas de:
y
1
x2
6x 9
,y
0, x
5, x
0.
2) Calculemos el área de la región R limitada por las graficas de:
y
Lnx, y
0, x
e.
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CASO II: Consideremos dos funciones f , g continuas en el intervalo [a,b] tal que f ( x) g ( x), x [a, b]. El área de la región R limitada por las curvas y f ( x), y g ( x)y las rectas verticales x = a y x = b esta dado por la expresión: b
A( R)
[ f ( x) g ( x)]dx a
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Ejemplos: 1) Determina el área de la región R limitada por las graficas de las ecuaciones: ( x 2) 2 2
y
9
1, y
5
x, x
4.
2) Calcular el área de la región R señalada en la figura adjunta.
3) Calcular el área de la región R limitada por las graficas de las ecuaciones: 2
y
x, y
x 2
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1) Temas: Secciones de columnas Aplicaciones: Mecánica de sólidos Para una columna su sección transversal está dada por:
x2
4 y2
1600
Determina el área transversal.
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2) Temas: Cargas distribuidas Aplicaciones: Mecánica de sólidos Una viga recibe una carga distribuida de la siguiente forma, debido a un extraño diseño arquitectónico:
La parte superior de la carga tiene como fórmula:
y
1 2 x 10
3x
Es decir, al lado izquierdo la carga es de 0 KN y al extremo derecho es de 40 KN al ser la viga, un elemento de 10m. Calcular la carga total que recibirá la viga en KN.
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