Forschungsberichte aus dem Institut für Nachrichtentechnik der Universität Karlsruhe (T.H.)
Gunnar Wetzker
Maximum-Likelihood Akquisition von Direct Sequence Spread-Spectrum Signalen
Band 3
Forschungsberichte aus dem Institut fr Nachrichtentechnik der Universitt Karlsruhe (T.H.) Herausgeber: Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Jondral Band 1 Marcel Kohl
Simulationsmodelle fr die Bewertung von Satellitenbertragungsstrecken im 20/30 GHz Bereich
Band 2 Christoph Delfs
Zeit-Frequenz-Signalanalyse: Lineare und quadratische Verfahren sowie vergleichende Untersuchungen zur Klassi kation von Klaviertnen
Band 3 Gunnar Wetzker
Maximum-Likelihood Akquisition von Direct Sequence Spread-Spectrum Signalen
Vorwort des Herausgebers Mit der Einfhrung der Mobilfunksysteme der dritten Generation wird Code Division Multiple Access (CDMA) breit chig als Zugri sverfahren auf die Funkressource eingefhrt. Damit nimmt auch die Bedeutung der Direct Sequence Spread-Spectrum (DSSS) Technik fr kommerzielle Anwendungen zu. Ein wichtiger Teilaspekt dieses bertragungsverfahrens ist die sichere, schnelle und aufwandsgnstige Synchronisation der im Empf nger erzeugten Codefolge auf die Codefolge des empfangenen Nutzsignals. Die vorliegende Arbeit besch ftigt sich haupts chlich mit der Grobsynchronisation (Akquisition) von DSSS-Signalen auf der Basis von Maximum-Likelihood-Sch tzern. Insbesondere ergeben sich Signalverarbeitungsstrukturen zur ezienten Berechnung der Sch tzergebnisse. Darber hinaus wird eine Diskussion der Feinsynchronisation (Tracking) notwendig, da aus ihr die Anforderungen an die Akquisition abgeleitet werden knnen. Zum technisch-wissenschaftlichen Fortschritt tragen die folgenden Ergebnisse bei: Die Darstellung der durch einen Regelkreis erster Ordnung implementierten Feinsynchronisation mit Hilfe absorbierender Markov-Ketten. Die ausfhrliche Diskussion der Maximum-Likelihood-Sch tzung fr Zeitund Frequenzverschiebung, wobei sowohl nicht datenmodulierte Signale als auch datenmodulierte Signale betrachtet werden, sowie die Erweiterung der Untersuchungen auf den Fall des frequenzselektiven Mehrwegekanals. Die systematische Untersuchung der Maximum-Likelihood-Akquisition bezglich Mittelwert und Varianz der als Zufallsvariable zu interpretierenden Akquisitionsdauer und der Vergleich mit den entsprechenden Ergebnissen fr die Schwellwert-Akquisition. Die Arbeit stellt fr den additiven weien Gauschen Rauschkanal und fr den nicht frequenzselektiven Mehrwegekanal analytische Resultate und Simulationsergebnisse gegenber. Fr den frequenzselektiven Mehrwegekanal erweist sich die analytische Behandlung als zu kompliziert, so da in diesem Fall ausschlielich auf Simulationen zurckgegri en werden mu. Eine generelle berlegenheit der Maximum-Likelihood-Akquisition ber die Schwellwert-Akquisition l t sich aus den Untersuchungen nicht ableiten. Allerdings verh lt sich der ML-Detektor gerade in den fr Dircet Sequence Spread-Spectrum CDMA-Signale wichtigen Bereichen des Signal-zu-Rauschverh ltnisses gnstiger als der Schwellwert-Detektor. Karlsruhe, im November 1998 Friedrich Jondral
Copyright: Institut fr Nachrichtentechnik Universit t Karlsruhe, 1998 Druck:
Druckerei Peter Rohrhirsch, Kaiserstr. 61, 76131 Karlsruhe, Tel. 0721/373596
ISSN:
1433-3821
Maximum-Likelihood-Akquisition von Direct Sequence Spread-Spectrum Signalen Zur Erlangung des akademischen Grades eines
DOKTOR-INGENIEURS von der Fakult t fr Elektrotechnik der Universit t Fridericiana Karlsruhe genehmigte
DISSERTATION von
Dipl.-Ing. Gunnar Wetzker aus
Hamburg Tag der mndlichen Prfung: Hauptreferent: Korreferent:
10.11.1998 Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Jondral Prof. Dr.-Ing. Jrgen Lindner
Danksagung
Mein Dank gilt all denen, die direkt und indirekt zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Dies tri t in ganz besonderer Weise auf Herrn Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Jondral zu, der durch das entgegengebrachte Vertrauen und die gew hrten Freiheiten hinsichtlich der Themenndung und Gestaltung die vorliegende Arbeit berhaupt erst ermglicht hat. Auf keinen Fall unerw hnt bleiben darf an dieser Stelle die tatkr ftige Mitarbeit der Herren Diplom-Ingenieure Matthias Behnke, Martin Busser, Jrgen Dietz, Martin Dukek, Martin Eberle, Daniel Eichert, Harald Ernst, Harald Flory, Christian Hartmann, Holger Hasenaug, Jochen Hirschinger, Carl Josenhans, Martin Knig, Wolfgang Pauler, Wolfgang Schneider, Christian Siebrger und Tillmann Wurst, die mir mit ihren Diplom- und Studienarbeiten wertvolle Dienste geleistet haben. Ferner mchte ich meinen Kollegen der ersten Stunde Christoph Delfs und Marcel Kohl fr eine schne, gemeinsame Zeit, sowie Marc Ihle fr viele anregende Gespr che, Anne Wiesler fr das Erzeugen der den Bildern 2.6 und 2.7 zugrunde liegenden Daten, Dirk Barty fr perfekte elektromechanische Arbeiten, Frau Gabriele Kuntermann und Axel Hbner meinen Dank aussprechen. Ebenso bedanken mchte ich mich bei Herrn Prof. Dr.-Ing. Jrgen Lindner fr die bernahme des Korreferates und die sehr wertvolle Untersttzung. Uli Kaage, Ralf Machauer und ganz besonders Holger J kel sei fr die sorgf ltige Durchsicht der Arbeit gedankt. Mein grtes Dankeschn geht an Kerstin fr die geduldige Rcksichtnahme auch bei grter Arbeitsbelastung und an Svenja fr ertr gliche N chte im richtigen Augenblick.
Zusammenfassung Der Anwendungsbereich von direct sequence spread-spectrum (DSSS) Verfahren ist in den letzten Jahren st ndig grer geworden. Neben dem bekannten Navigationssystem GPS gibt es einen ersten Mobilfunkstandard, der den Vielfachzugri ber DSSS-Signale in Form von Codemultiplex festschreibt. Weitere Anwendungsgebiete sind schnurlose Telefone oder drahtlose Rechnernetze sowie Satellitenkommunikationssysteme. Der Kern dieser Arbeit besteht darin, das Thema der Anfangssynchronisation unter dem Aspekt der mittlerweile sehr vielf ltigen Anwendungsgebiete von DSSS-Signalen und einer heute blichen digitalen Empf ngertechnologie aufzuarbeiten. Die angestrebte Breite der Arbeit erfordert zun chst ein umfassendes Kanalmodell, das die E ekte Zeit- und Frequenzverschiebung sowie Mehrwegeausbreitung bercksichtigt. Eine wesentliche Voraussetzung fr die Diskussion der Anfangssynchronisation ist das Verst ndnis der Funktionsweise der auf die Anfangssynchronisation folgenden Feinsynchronisation, da die Anfangssynchronisation auf die Feinsynchronisation abgestimmt sein mu. Ein einfacher Ansatz zur Feinsynchronisation in einem digitalen System wird vorgestellt und mittels absorbierender Markov-Ketten untersucht. Aus Sicht der Feinsynchronisation mu das Ergebnis der Anfangssynchronisation eine Sch tzung von Zeit- und Frequenzverschiebung sein, die mit grtmglicher Wahrscheinlichkeit in den Regelbereichen der Feinsynchronisation liegt. Daher erfolgt eine eingehende Betrachtung von Maximum-Likelihood-Ans tzen zum gemeinsamen Sch tzen von Zeit- und Frequenzverschiebung unter den Randbedingungen des Kanalmodells. Neu an diesen Betrachtungen ist die gleichzeitige Bercksichtigung aller wesentlichen Ein sse einschlielich der Mehrwegeausbreitung. Aufbauend auf den Maximum-Likelihood-Sch tzern wird ein Maximum-Likelihood-Anfangssynchronisationsverfahren angegeben und analysiert. Es ergibt sich, da die bislang kaum untersuchte Anfangssynchronisation von DSSS-Signalen auf der Basis des Maximum-Likelihood-Ansatzes deutliche Vorteile gegenber dem normalerweise verwendeten Schwellwertverfahren aufweist. Ferner werden Methoden beschrieben und untersucht, die eine voneinander unabh ngige Anfangssynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung ermglichen.
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung
1
2 Signal- und Kanalmodelle
9
1.1 Prinzip eines DSSS-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Anwendungsgebiete von DSSS-Systemen . . . . . . . . . . . . 1.3 Synchronisation in DSSS-Systemen . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Signalmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Kanalmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Zeitverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Mehrwegeausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Frequenzverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Kanalrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Abtastung und Darstellung des Empfangssignals . . . . . . . 2.3.1 Bandbegrenzung und Diskretisierung des Empfangssignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Prozegewinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Vektorsignalverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung 3.1 Digitale Feinsynchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Nicht-koh rentes Tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Fehlersignalerzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Ein u von frequenzselektiver Mehrwegeausbreitung 3.2.3 Ein u des Kanalrauschens . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Regelkreis erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Anforderungen an die Akquisition . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung 4.1 Maximum-Likelihood-Sch tzung . . . . . . . . 4.1.1 Nicht-frequenzselektiver Mehrwegekanal 4.1.2 Frequenzselektiver Mehrwegekanal . . . 4.1.3 Wichtige Sonderf lle der ML-Sch tzung
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . .
1 4 5
9 13 13 14 23 25 26 26 28 32 35
37
37 39 39 43 46 52 58 59
61 61 66 71 73
xii 4.2 N herungen der ML-Sch tzung . . . . . . . . . . . 4.2.1 Signalangepate Filterung . . . . . . . . . . 4.2.2 Signalangepate Filterung fr max 1=TC 4.3 Sch tzung der Zeitverschiebung . . . . . . . . . . . 4.4 Sch tzung der Frequenzverschiebung . . . . . . . . 4.4.1 Sch tzung der Phase . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 ML-Sch tzer der Frequenzverschiebung . . 4.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Akquisitionsverfahren
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
5.1 Ambiguity-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Prinzipielle Akquisitionsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Allgemeine Berechnung der mittleren Akquisitionszeit . . . . 5.3.1 Detektions- und Falschalarmwahrscheinlichkeiten . . . 5.3.2 Mittlere Akquisitionszeit des ML-Detektors . . . . . . 5.3.3 Mittlere Akquisitionszeit des Schwellwertdetektors . . 5.3.4 Asymptotisches Verhalten der mittleren Akquisitionszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Gemeinsame Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung 5.4.1 AWGN-Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Nicht-frequenzselektiver Mehrwegekanal . . . . . . . . 5.4.3 Frequenzselektiver Mehrwegekanal . . . . . . . . . . . 5.5 Getrennte Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung . 5.5.1 Akquisition der Zeitverschiebung . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Akquisition der Frequenzverschiebung . . . . . . . . . 5.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Absorbierende Markov-Ketten B Gauapproximation C 2-Verteilung Abkrzungen, Notation und Formelzeichen Literaturverzeichnis Lebenslauf
77 77 81 83 86 88 89 89
91
91 99 102 104 105 107 108 109 109 119 123 126 126 131 133
135 139 141 143 151 161
1 Einleitung Die ursprnglich aus der Milit rtechnik stammende Technologie des Bandspreizens hat in den letzten Jahren in starkem Mae an Bedeutung gewonnen. Dies gilt insbesondere fr zivile Kommunikationssysteme. Das Prinzip eines bandspreizenden Systems besteht darin, ein zu bertragendes Informationssignal mittels eines pseudozuf lligen Signals, das eine sehr viel grere Bandbreite als das Informationssignal aufweist, zu modulieren. Das aus dieser Modulation resultierende Signal wird zur bertragung verwendet. Der Begri des Bandspreizens rhrt daher, da die Bandbreite des gesendeten Signals deutlich grer ist als die des Informationssignals. Da das Spreizsignal sowohl im Sender als auch im Empf nger generiert werden mu, kann es sich nur um ein deterministisches Signal handeln. Fr einen Betrachter, der die Erzeugungsvorschrift nicht kennt, sieht dieses Signal zun chst zuf llig aus, was einen Hinweis auf die Bezeichnung pseudozuf lliges Signal gibt.
1.1 Prinzip eines DSSS-Systems Von den verschiedenen Mglichkeiten, die Bandbreite eines Informationssignals mittels Modulation zu spreizen, wird in dieser Arbeit ausschlielich der Fall einer linearen Modulation des Informationssignals mit dem spreizenden Signal behandelt. Diesem als direct sequence spread-spectrum (DSSS) bezeichneten Ansatz kommt aus heutiger Perspektive die grte Bedeutung zu. Systeme wie das Global Positioning System (GPS) 35, S. 425 ], der Mobilfunkstandard IS95 (Interim Standard 95) 75, S.519 ] oder das Satellitenkommunikationssystem Globalstar 76] bauen auf DSSS-Signalen auf. Dergleichen gilt fr das zur Zeit noch in der Standardisierung bendliche europ ische Mobilfunksystem der dritten Generation UMTS (Universal Mobile Telecommunication System) 79], 21], 66]. Gemein ist allen diesen Systemen, da sie bei Tr gerfrequenzen in der Grenordnung von einem Gigahertz und darber arbeiten. Systeme, die Tr gerfrequenzen deutlich oberhalb von einem Gigahertz aufweisen, sind beispielsweise zur Zeit in der Planung bendliche auf niedrig iegenden Satelliten basierende Satellitenkommunikationssysteme 56]. Das Ausweichen moderner Systeme auf hohe bertra-
2
1 Einleitung
gungsfrequenzen verdeutlicht die Knappheit der Ressource Frequenz sowie den Bedarf nach groen bertragungskapazit ten. B
T
1
t
-1
1
C
T
t
-1
Informationssignal
pseudozuflliges Spreizsignal
= =
1
t
DSSS-Signal
-1
Abb. 1.1 Erzeugung eines DSSS-Signals Eine weitere Mglichkeit ein Informationssignal zu spreizen, bietet das Frequenzspringen 69], 80]. W hrend der bertragung wird in Intervallen die bertragungsfrequenz ver ndert, so da sich, ber die gesamte Verbindungsdauer betrachtet, der verwendete Frequenzbereich entsprechend der Anzahl der verwendeten bertragungsfrequenzen verbreitert. Die Abfolge der bertragungsfrequenzen wird durch das pseudozuf llige Spreizsignal vorgegeben. Bei der zur Spreizung verwendeten Modulation handelt es sich somit um eine Frequenzmodulation. Diese Methode kommt vor allem in milit rischen Systemen zum Einsatz. Ein Beispiel fr eine zivile Anwendung ist das im Global System for Mobile Communications (GSM) denierte langsame Frequenzspringen 65]. Im Gegensatz zum Frequenzspringen bleibt bei DSSS-Systemen die bertragungsfrequenz konstant. Die Spreizung des Informationssignals entsteht in diesem Fall durch eine lineare Modulation. Abb. 1.1 zeigt das Schema zur Erzeugung eines DSSS-Signals. Aus der Multiplikation des Informationssignals mit einem pseudozuf lligen Spreizsignal ergibt sich das breitbandige Sendesignal. In dem gezeigten Beispiel wiederholt sich der Spreizcode
1.1 Prinzip eines DSSS-Systems
3
B
T
1
t
-1
1
C
T
t
-1
DSSS-Signal
pseudozuflliges Spreizsignal
= =
1
t
Informationssignal
-1
Abb. 1.2 Rckgewinnung der Information periodisch mit der Symboldauer des Informationssignals, was jedoch nicht notwendigerweise der Fall sein mu. Die Entspreizung eines DSSS-Signals verl uft komplement r zur Spreizung. Um aus dem DSSS-Signal das Informationssignal zurckzugewinnen, ist das DSSS-Signal mit einer Kopie des pseudozuf lligen Spreizsignals, dem Spreizcode, zu berlagern. Abb. 1.2 zeigt den entsprechenden Vorgang. In realen Situationen liegt der Entspreizung des Signals meist eine gestrte Version des DSSS-Signals zugrunde. Im einfachsten Fall handelt es sich bei der Strung um additives weies Gausches Rauschen. Die Multiplikation mit dem pseudozuf lligen Signal im Empf nger hat keinen Ein u auf eine solche Strung. Hinsichtlich der Signalkomponente ergibt sich nach der Multiplikation mit dem Spreizsignal jedoch eine Konzentration der Signalenergie im Spektralbereich. Abb. 1.3 verdeutlicht diese Zusammenh nge. Der Signalanteil tritt in der spektralen Leistungsdichte des mit dem Spreizcode multiplizierten Signals EE (f ) deutlich st rker hervor als in der spektralen Leistungsdichte RR(f ) des Empfangssignals. Der E ekt der Konzentration der Signalenergie l t sich mittels eines auf das Informationssignal angepaten Filters ausnutzen, um einen Groteil der Strung zu unterdrcken.
4
1 Einleitung EE (f ) Tiefpa RR(f )
f f
⊗
Tiefpa
entspreiztes Signal
gestrtes Empfangssignal Spreizcode
Abb. 1.3 Entspreizung
1.2 Anwendungsgebiete von DSSS-Systemen Je grer das Verh ltnis zwischen Spreizsignal- und Informationssignalbandbreite, der Spreizfaktor, ist, desto breiter und acher wird das Leistungsdichtespektrum des gespreizten Signals im Verh ltnis zum entspreizten. Fr sehr groe Spreizfaktoren sind solche Signale im Kanalrauschen nicht mehr aufzunden, was die Bedeutung fr milit rische Anwendungen unterstreicht. Dieser E ekt ist aus Sicht der elektromagnetischen Vertr glichkeit wichtig. DSSS-Systeme sind vor allem fr solche Anwendungen von Interesse, bei denen es entweder ungnstig ist, schmalbandig mit hoher Leistungsdichte zu bertragen, oder gesetzliche Einschr nkungen bezglich des Leistungsdichtespektrums existieren. In die erste Klasse l t sich das Mehrfachzugri sverfahren des code division multiple access (CDMA) einordnen. In einem Codemultiplexsystem knnen die einzelnen Nutzer mittels nutzerspezischer pseudozuf lliger Signale ihr Informationssignal spreizen und so mit einer konstanten niedrigen Leistungsdichte auf das bertragungsmedium zugreifen. In Zeitmultiplexsystemen hingegen ist hierfr w hrend eines kurzen Zeitschlitzes eine hohe Leistungsdichte erforderlich. Beschr nkungen hinsichtlich des Leistungsdichtespektrums gibt es beispielsweise in den ISM-B ndern (ISM steht fr industrial, scientic and medical) 75, S.544]. In Navigationssystemen bestimmt die Gre des Spreizfaktors, wie gut sich mit einem gespreizten Signal Laufzeitmessungen durchfhren lassen. Je
1.3 Synchronisation in DSSS-Systemen
5
grer der Spreizfaktor, desto genauer ist eine Laufzeitmessung und eine damit verbundene Entfernungsbestimmung, was sich wiederum auf eine aus mehreren Entfernungsmessungen errechnete Positionsbestimmung auswirkt. Dies erkl rt, wieso das Global Positioning System neben dem allgemein zug nglichen Code (C/A-Code) ber einen nur mit entsprechender Genehmigung zug nglichen Code (P-Code) mit einer im Vergleich zum C/A-Code 10fachen Bandbreite verfgt. DSSS-Systeme weisen gegenber schmalbandigen Systemen eine erhhte Strfestigkeit bezglich bandbegrenzter Strer auf. Im Gegensatz zu weiem Rauschen wird die spektrale Leistungsdichte eines bandbegrenzten Strers durch die Multiplikation des Empfangssignals mit der Kopie des Spreizcodes ver ndert. Die Leistung des Strers wird auf eine um die Bandbreite des Spreizcodes grere Bandbreite verteilt, so da ein Groteil der Strung von dem nachfolgenden Tiefpa beseitigt wird.
1.3 Synchronisation in DSSS-Systemen Um ein gespreiztes DSSS-Signal entspreizen zu knnen, mssen Sender und Empf nger aufeinander synchronisiert sein. Die Synchronisation mu sehr genau sein, denn nur eine zeitrichtig zugesetzte Kopie des pseudozuf lligen Spreizsignals l t eine Entspreizung des Informationssignals zu. Da das Spreizsignal breitbandig ist, sind die Anforderungen an die Synchronisation strenger als bei einer schmalbandigen nicht-spreizenden bertragung. Insbesondere die Anfangssynchronisation wird dadurch erschwert, da die Energie des Empfangssignals ber einen groen Frequenzbereich mit geringer spektraler Leistungsdichte verteilt ist. Die Synchronisation in einem DSSS-System l t sich in drei Phasen unterteilen. Am Beginn einer jeden Synchronisation steht die Anfangssynchronisation, die Akquisition. Ihre Aufgabe besteht darin, die Synchronit t soweit herzustellen, da in einem zweiten Schritt zur Feinsynchronisation, dem Tracking, bergegangen werden kann. W hrend der Feinsynchronisation erfolgt eine Verbesserung der Synchronit t zwischen Sender und Empf nger. Verliert der Empf nger die Synchronit t, setzt die dritte Phase, die Reakquisition, ein. Sie unterscheidet sich von der Akquisition darin, da ein grober Sch tzwert der zu synchronisierenden Parameter bereits bekannt ist. Geeignete Methoden zur Reakquisition lassen sich direkt aus den Akquisitionsverfahren ableiten. Erst bei nicht erfolgreicher Reakquisition setzt wieder die Akquisition ein. Abb. 1.4 stellt die Abfolge der einzelnen Synchronisationsphasen dar.
6
1 Einleitung Synchronisation
Akquisition
Erfolg der Akquisition/ Reakquisition
Versagen der Reakquisition
Reakquisition Verlust der Feinsynchronisation
Feinsynchronisation Abb. 1.4 Phasen der Synchronisation eines DSSS-Signals Von den in Abb. 1.4 dargestellten Synchronisationsschritten werden in dieser Arbeit die Akquisition und die Feinsynchronisation behandelt. Der Schwerpunkt der Betrachtungen liegt auf der Synthese von Anfangssynchronisationsverfahren und deren Analyse. Untersuchungen zur Feinsynchronisation erfolgen soweit, wie es fr die Ausfhrungen zur Akquisition erforderlich ist. Denn nur aus den Bedingungen, unter denen eine Feinsynchronisation erfolgreich sein kann, lassen sich die Anforderungen, die an die Akquisition zu stellen sind, ableiten. Vor den Betrachtungen zur Feinsynchronisation in Kapitel 3 und den Herleitungen von geeigneten Akquisitionsmethoden und deren Analyse in Kapitel 4 und Kapitel 5 werden im n chsten Kapitel geeignete Signal- und Kanalmodelle eingefhrt. Geeignet bedeutet in diesem Zusammenhang, da es diese Modelle erlauben mssen, die genannte
1.3 Synchronisation in DSSS-Systemen
7
relevante Anwendungsbreite von DSSS-Systemen abzubilden. Daraus folgt, da die Kanalmodelle sowohl fr Satellitenkan le als auch fr terrestrische bertragungskan le fr Tr gerfrequenzen ab einem Gigahertz geeignet sein mssen. Aus wissenschaftlicher Sicht ist die Auseinandersetzung mit der Anfangssynchronisation vor dem Hintergrund, da es DSSS-Systeme bereits seit vielen Jahren gibt, aus verschiedenen Grnden wichtig. Eine geschlossene Darstellung von Methoden zur Anfangssynchronisation fr die gesamte genannte Einsatzbreite von DSSS-Systemen existiert nicht. Viele ltere Arbeiten basieren auf kontinuierlichen Signaldarstellungen. Heutige Empf nger sind meist digital. Eine durchg ngige zeitdiskrete Modellierung ist daher notwendig. Der Fall der Anfangssynchronisation bei frequenzselektiver Mehrwegeausbreitung ist in der Literatur bislang nicht ausreichend behandelt. Dies gilt ebenso fr einen Vergleich der in lteren Arbeiten stets verwendeten Schwellwertakquisition mit Maximum-Likelihood-Verfahren. Hinter den Betrachtungen im Rahmen dieser Arbeit steht darber hinaus stets die Zielsetzung, zu Ans tzen zu gelangen, die eine schnelle Akquisition bei geringer Komplexit t ermglichen.
8
1 Einleitung
2 Signal- und Kanalmodelle Inhalt dieses Kapitels sind die fr die Betrachtung der Synchronisation von DSSS-Signalen notwendigen Signal- und Kanalmodelle. Zielsetzung bei der Modellbildung ist es, eine einfache und umfassende Beschreibung zu entwickeln. Die Gliederung dieses Kapitels orientiert sich an dem Aufbau eines bandspreizenden bertragungssystems. An die Modellierung der Sendesignale schliet die Modellierung des Ausbreitungskanals an. Der letzte Abschnitt dieses Kapitels besch ftigt sich mit der Vorverarbeitung und Darstellung des Empfangssignals sowie dem Prozegewinn eines DSSS-Signals.
2.1 Signalmodelle Drei prinzipielle Signalmodelle ergeben sich bei der Betrachtung von DSSSSystemen. Das erste Modell ist das des nicht mit Daten modulierten, periodisch wiederkehrenden Spreizsignals. Das zweite Modell ergibt sich durch Hinzufgen der Datenmodulation und das dritte fr den Fall von zeitbegrenzten Signalen. Teil des Signalmodells ist in jedem der drei F lle die Impulsantwort des impulsformenden Filters.
Impulsformung Welche Impulsform in einem DSSS-System Verwendung ndet, wird durch das Gesamtkonzept bestimmt. Fr ein Navigationssystem wie GPS 35], 97] eignen sich Impulsformen, die den ideal zeitbegrenzten Impuls mit
p 1 t TC 1 = g(t) = pT rect T = 0 C C
fur fur
jtj < TC =2 jtj > TC =2
(2.1)
ann hern. Die Autokorrelationsfunktion dieses Impulses hat einen dreieckigen Verlauf, der sich sehr gut fr eine Signallaufzeitbestimmung eignet und damit eine genaue Positionsbestimmung zul t. Fr Mobilfunksysteme wie IS95 74] oder Globalstar 76] bieten sich aus Grnden der spektralen Ezi-
10
2 Signal- und Kanalmodelle
enz Impulsformen an, die einen ideal bandbegrenzten Impuls mit
g(t) = p1 sin (tBt) B = 1=TC B
(2.2) p
p
approximieren. Die etwas ungewhnlichen Faktoren 1= TC und 1= B in (2.1) und (2.2) dienen zur Energienormierung der impulsformenden Filter und vereinfachen die weiteren Betrachtungen. Weitere zeitbegrenzte Impulsformen, deren zeitliche L ngen die Dauer TC eines Codechips nicht berschreiten, diskutieren 7], 14], 60]. 1
;;; ;;
p
g(t)= B
0,8 0,6
IS95 (2.2)
0,4 0,2 0
;0 2
;5 ;4 ;3 ;2 ;1
0
1
2
3
4
t=TC Abb. 2.1 IS95-Impulsform im Vergleich zu (2.2)
5
Die in (2.1), (2.2) angegebenen Impulsformen lassen sich in realen Systemen aufgrund ihrer idealen Eigenschaften bezglich Zeit- und Bandbegrenzung nur approximieren. Da sich reale Signale nur im Rahmen der verfgbaren Megenauigkeit erfassen lassen, sind (2.1) und (2.2) als Modelle s(t) fr alle realen Signale sW (t) geeignet, fr die
Z1
;1
2
js(t) ; sW (t)j
dt
(2.3)
gilt 81], wobei die Energie des Mefehlers bezeichnet. Ist (2.3) erfllt, werden die Signale s(t) und sW (t) in 81] als eindeutig nicht unterscheidbar bezglich des Niveaus bezeichnet. Abb. 2.1 zeigt den ideal bandbegrenzten
2.1 Signalmodelle
11
Impuls im Vergleich mit der im IS95-Standard angegebenen Impulsantwort. Die Auswertung von (2.3) ergibt mit B = 1 fr diesen Fall einen Wert von 002
(2.4)
so da fr ein Mesystem mit einem Mefehler > 002 der ideal bandbegrenzte Impuls nicht von der im IS95-Standard verwendeten Approximation zu unterscheiden ist. Da die Energie der impulsformenden Filter mit den Impulsantworten nach (2.1) und (2.2) auf 1 normiert ist, bedeutet dies, da fr ein Mesystem mit einem Mefehler von 2 Prozent bezogen auf die Energie ein IS95-Impuls und ein ideal bandbegrenzter Impuls nicht zu unterscheiden sind.
Nicht mit Daten moduliertes DSSS-Signal Ein nicht mit Daten moduliertes, periodisches Spreizsignal wird beispielsweise im Mobilfunkstandard IS95 als Synchronisationssignal und fr die Sch tzung der Kanalparameter im Downlink verwendet. Das Signalmodell x(t) ergibt sich durch Faltung der Impulsantwort des impulsformenden Filters mit der periodischen Spreizfolge
b(t) =
1 X
n=;1
bn mod N (t ; nTC )
zu
x(t) = b(t) g(t) =
1 X
n=;1
bn mod N g(t ; nTC ):
(2.5)
(2.6)
bn , n = 0 ::: N ; 1, stellt hierbei eine Periode des Spreizcodes dar. Ein Element bn des Spreizcodes sei als Chip mit der Chipdauer TC bezeichnet. Die Wahl des Spreizcodes h ngt von der konkreten Anwendung ab. Einen guten berblick ber bekannte Codefolgen gibt 62]. Fr bertragungssysteme sind vor allem uniforme Spreizcodes 62, S.82], fr die jbn j = 1 8n 2 Z gilt, wichtig.
Mit Daten moduliertes DSSS-Signal Eine geeignete Modellierung des Datensignals ergibt sich in Form eines diskreten komplexwertigen Zufallsprozesses Di , i 2 Z. Die Art der Modulation
12
2 Signal- und Kanalmodelle
bestimmt, welche Realisierungen di fr die Zufallsvariablen Di auftreten knnen und mit welcher H ugkeit dies geschieht. Vektoriell l t sich schreiben
D = (::: D;1 D0 D1 :::)T :
(2.7)
Wird das Spreizsignal aus (2.6) mit dem diskreten stochastischen Proze Di , i 2 Z, moduliert, ergibt sich ein stochastischer Proze X (D t), von dem x(d t) eine Realisierung ist. Fr X (D t) l t sich mit 102]1
X (D t) =
1 X
n=;1
Dbn=M c bn mod N g(t ; nTC )
(2.8)
schreiben. Der Parameter M gibt an, wieviele Codechips mit einem Informationssymbol di moduliert werden, so da MTC = TB die Symboldauer ist. Fr das Navigationssystem GPS gilt beispielsweise M = 20N , so da ein Datensymbol 20 Codeperioden moduliert. Anders als beim nicht mit Daten modulierten hat das modulierte Signal zuf lligen Charakter. Die Modellierung erfolgt daher als stochastischer Proze.
Zeitbegrenztes, mit Daten moduliertes DSSS-Signal Der Klasse der zeitbegrenzten DSSS-Signale knnen im weitesten Sinne Signale von Pulskompressionsradaren 62], DSSS-Signale in Kombination mit Zeitmultiplex, wie fr UMTS vorgeschlagen 2], 21], 51], 52], oder zeitlich begrenzte Aussendungen hinzugerechnet werden 84]. Ein geeignetes Modell ergibt sich durch zeitliche Begrenzung mit
bS(t) =
SX ;1 n=0
zu
XS(D t) =
bn mod N (t ; nTC ) SX ;1 n=0
(2.9)
Dbn=M c bn mod N g(t ; nTC )
(2.10)
wobei xS(d t) eine Realisierung dieses stochastischen Prozesses ist. Fr das nicht mit Daten modulierte, zeitbegrenzte DSSS-Signale folgt aus (2.10) das 1 bxc
bezeichnet den ganzzahligen Teil von
x x
2 IR
2.2 Kanalmodelle
13
deterministische Signalmodell
xS(t) =
SX ;1 n=0
bn mod N g(t ; nTC ):
(2.11)
Fr ideal bandbegrenzte Impulsformung sind die Signalmodelle nach (2.10) und (2.11) nicht zeitbegrenzt. Die Zeitbegrenzung l t sich in diesem Fall durch eine Multiplikation mit rect((t ; 05 STC )=(STC )) oder einer anderen zeitbegrenzten Fensterfunktion erzwingen. Mit (2.10) und (2.11) lassen sich so Signale modellieren, die nur im Intervall 0 STC ] Werte ungleich Null aufweisen. Wichtig ist, da die Gre S stets mit der Zeitdauer eines Chipintervalls verknpft ist.
2.2 Kanalmodelle Abb. 2.2 zeigt das den weiteren Betrachtungen zugrunde liegende Kanalmodell, dessen Elemente in diesem Abschnitt erl utert werden. Das Kanalmodell setzt sich zusammen aus einer Zeitverschiebung , einer zeitvarianten Impulsantwort h( t) zur Modellierung von Mehrwegeausbreitungen, einer Frequenzverschiebung um und additivem Rauschen z(t).
z(t) x(d t)
h( t)
⊗ ⊕ r(t) ej2t
Abb. 2.2 Kanalmodell
2.2.1 Zeitverschiebung
Die Realisierung der Zufallsvariablen T ist, falls Sender- und Empf ngeruhr der Basisbandverarbeitung exakt gleich gehen, identisch mit der Signallaufzeit vom Sender zum Empf nger, wenn es nur einen Ausbreitungspfad des Signals vom Sender zum Empf nger gibt. Ohne zus tzliche Information kann der Empf nger aufgrund der endlichen L nge eines Spreizcodes die Zeitverschiebung nur fr die Signallaufzeiten bestimmen, die krzer als die Periodendauer des Spreizcodes sind. Ist die Zeitverschiebung grer als
14
2 Signal- und Kanalmodelle
eine Spreizcodeperiode, l t sich nur der bei einer Division der Zeitverschiebung durch die Periodendauer NTC resultierende Rest bestimmen. Dies ist fr die Akquisition von DSSS-Signalen unabh ngig vom System vollkommen ausreichend. Fr T wird daher eine Gleichverteilung im Intervall 0 NTC ) angenommen. Weisen die Uhren von Sender und Empf nger einen absoluten Fehler auf, so geht dieser ebenfalls in T ein. Die Zeitverschiebung setzt sich dann aus diesem absoluten Fehler und der Signallaufzeit zusammen.
2.2.2 Mehrwegeausbreitung
Der Proze H ( t), dessen Realisierung h( t) ist, modelliert die Ausbreitung eines Signals in einem Mehrwegeumfeld. Eine geeignete Beschreibung des Prozesses H ( t) ist das WSSUS-Modell. WSSUS steht fr wide-sense stationary uncorrelated scattering 4]. Dieses Modell umfat die Beschreibung von zeitvarianten frequenzselektiven und nicht-frequenzselektiven Mehrwegeausbreitungen. Die Herleitung des WSSUS-Modells erfolgt in 4] zun chst ber eine deterministische Beschreibung der zeitvarianten Mehrwegeausbreitung. In einem zweiten Schritt werden die deterministischen Funktionen als Realisierungen stochastischer Prozesse aufgefat und mittels Korrelationsfunktionen n herungsweise beschrieben. Ausgangspunkt der berlegungen ist die Gleichung2
w(t) =
Z1
;1
x(t ; )h( t) d
(2.12)
wobei h( t) eine zeitvariante Impulsantwort ist. h( t) l t sich interpretieren als die Antwort des Mehrwegeumfeldes zum Zeitpunkt t auf einen um Sekunden zurckliegenden Impuls 4]. Unter der Annahme, da x(t) auf jf j B=2 bandbegrenzt ist, l t sich fr X (f ) schreiben 48]
8 X >< 1 1 x(l=B)e;j2fl=B fr jf j B=2 X (f ) = > Bl=;1 :
(2.13)
0 sonst . Da reale Systeme stets bandbegrenzend wirken, stellt die Annahme der Bandbegrenzung keine Einschr nkung dar. (d ) ist aus Grnden der bersichtlichkeit zu ( ) gesetzt
2x
t
x t
2.2 Kanalmodelle
15
Die Fourier-Transformation von h( t) bezglich ergibt die zeitvariante bertragungsfunktion
T (f t) =
Z1
;1
h( t)e;j2f d :
(2.14)
Mittels der inversen Fourier-Transformation, des Faltungssatzes, (2.14) und (2.13) l t sich fr (2.12) schreiben 4]
w(t) =
Z1
X (f )T (f t)ej2ft df
;1 1 1 X
Z B=2
x(l=B) T (f t)ej2f (t;l=B ) df: = B ;B=2 l=;1
(2.15)
Mit der Denition
h0( t) =
Z B=2 ;B=2
B ) h( t) T (f t)ej2f df = sin(
(2.16)
folgt 73, S.796]
1 X 1 x(l=B)h0(t ; l=B t) w(t) = B l=;1
1 X = B1 x(t ; l=B)h0(l=B t): l=;1
(2.17)
Im Grenzbergang fr B ! 1 gilt 30, S.346] sin(B ) = ( ) lim B !1
(2.18)
so da sich (2.17) mit (2.18) fr groes B durch
1 X 1 x(t ; l=B)h(l=B t) w(t) B l=;1
(2.19)
16
2 Signal- und Kanalmodelle
L L=1
Kanalmodell AWGN
nicht-frequenzselektiver L = 1 Mehrwegekanal frequenzselektiver L>1 Mehrwegekanal
jh(0 t)j = 1 argfh(0 t)g = '0
h(0 t) ist Realisierung des Prozesses H (0 t) h(l=B t) ist Realisierung des Prozesses H (l=B t)
Tab. 2.1 Kanalmodelle ann hern l t 99], 101]. Aufgrund seiner diskreten Struktur eignet sich (2.19) besonders gut fr simulative Untersuchungen. In Abb. 2.3 ist die sich fr zeitbegrenzte Impulsantworten h( t) ergebende kanonische Struktur fr L au sbare Mehrwege dargestellt. In Abh ngigkeit von L und der Modellierung der Koezienten h(l=B t) lassen sich einschlielich der brigen Kanalein sse verschiedene Kanalmodelle unterscheiden. In der Literatur wird zwischen den F llen L = 1 und L > 1 unterschieden 53], 73]. Fr die nachfolgend diskutierte Modellierung der Funktionen h(l=B t) l 2 Z, als Realisierung komplexwertiger Gauprozesse H (l=B t), ergibt sich fr L = 1 das Kanalmodell des nicht-frequenzselektiven und fr L > 1 das des frequenzselektiven Mehrwegekanals. Der Fall L = 1 mit jh(0 t)j = 1 und argfh(0 t)g = '0 wird im Rahmen dieser Arbeit als das Kanalmodell des additiven weien Gauschen Rauschens (AWGN) bezeichnet. In Tab. 2.1 sind die Kanalmodelle zusammengefat.
x(t)
1
h(0 t)
; ⊗ h B1 t
1
=B
=B
; ⊗ h LB;1 t
⊗
⊕
⊕
B w(t)
Abb. 2.3 Au sbare Mehrwege Fr die Nachbildung realer Kan le ist die Kenntnis der Funktionen
h(l=B t) l = 0 ::: L ; 1
2.2 Kanalmodelle
17
notwendig. Metechnisch lassen sich diese Funktionen mit einigem Aufwand erfassen 11], 23]. Die Verwendung gemessener Impulsantworten zur Simulation zeitvarianter Mehrwege wird in 6] verfolgt. In der Regel stehen keine Messungen zur Verfgung. Eine stochastische Modellierung hingegen erlaubt die Simulation von Mehrwegekan len, auch wenn keine Messungen von Impulsantworten zur Verfgung stehen. Eine vollst ndige stochastische Beschreibung einer Mehrwegeausbreitung erfordert die Kenntnis der mehrdimensionalen Verteilung
fH(0t):::H((L;1)=Bt)(h(0 t) ::: h((L ; 1)=B t)) 8t 2 IR:
(2.20)
In Anwendungen ist es gewhnlich schwierig, mehrdimensionale Zufallsvariablen zu untersuchen. Vielfach kann man aus dem Beobachtungsmaterial nur die Momente der Zufallsvariablen berechnen 26, S.372]. Eine n herungsweise Beschreibung erfolgt daher h ug anhand der Momente des Prozesses H (l=B t). Um aus Beobachtungen zumindest die ersten beiden Momente gewinnen zu knnen, wird von der Stationarit t im weiteren Sinne (wide-sense stationary = WSS) ausgegangen. Der Proze H ( t) ist im weiteren Sinne station r, wenn fr den Mittelwert gilt 67]
Z1
;1
h( t) fHH(h( t)) dh( t) = ( )
(2.21)
und die Autokorrelationsfunktion nur von der Zeitdi erenz abh ngt EfH ( t1)H ( 0 t2)g = EfH ( t)H ( 0 t + )g :
(2.22)
Die zweite wesentliche Annahme des WSSUS-Modells betri t die Korrelation zwischen am Empf nger einfallenden Wellen. Fr diese Wellen wird davon ausgegangen, da der Ein u des Mehrwegeumfeldes auf eine Welle unkorreliert zu dem Ein u auf alle anderen erfolgt (uncorrelated scattering = US). Die Autokorrelationsfunktion des WSSUS-Modells vereinfacht sich unter dieser Annahmen weiter zu 4] EfH ( t)H ( 0 t + )g = 'HH ( ) ( ; 0):
(2.23)
(2.19) zieht nach sich, da sich fr bandbegrenzte Signale nur zeitdiskrete Mehrwege au sen lassen. Jeder au sbare Mehrweg in Abb. 2.3 repr sentiert die Mehrwege, die ungef hr die gleiche Signallaufzeit aufweisen. Mit der Annahme, da jeder dieser physikalischen Mehrwege einer in Be-
18
2 Signal- und Kanalmodelle
zug auf die anderen physikalischen Mehrwege unabh ngigen D mpfung und Phasendrehung unterliegt, lassen sich die stochastischen Prozesse H (l=B t), l 2 Z, aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes durch Gauprozesse ann hern 67, S.214]. Das sich ergebende Modell wird in der Literatur als GWSSUSbezeichnet 38]. Da es sich um komplexwertige Gauprozesse handelt, ist die Verteilung aus (2.20) durch den Mittelwert (2.21) und die Autokorrelationsfunktion (2.23) auch fr das GWSSUS-Modell nur in Sonderf llen vollst ndig beschrieben (vgl. 67, S.198]). Eine wesentliche Konsequenz der in (2.19) gemachten N herung ist, da die au sbaren Mehrwege in Abb. 2.3 unkorreliert sind. Bei einer n herungsfreien Rechnung folgt eine Korrelation der Mehrwege 4]3. Messungen 68, S.248] und theoretische Auswertung 56, S.36] zeigen, da die Korrelation gering ist und mit wachsender Bandbreite entsprechend (2.18) abnimmt. Da bandspreizende Systeme in der Regel breitbandig sind, gilt die Unkorreliertheit der au sbaren Mehrwege in guter N herung.
Scatterfunktion Die Fourier-Transformation von 'HH ( ) aus (2.23) bezglich ergibt HH ( ) =
Z1
;1
'HH ( )e;j2 d:
(2.24)
(2.24) wird als Scatterfunktion bezeichnet 4]. Anschaulich betrachtet, beschreibt die Variable in (2.24) die zeitdispersive und die frequenzdispersive Wirkung der Mehrwegeausbreitung. und bewirken im Gegensatz zu und keine Dispersion sondern nur eine reine Verschiebung in Zeit oder Frequenz.
Doppler Spektrum Im weiteren Verlauf wird stets von einer endlichen Anzahl L au sbarer Mehrwege ausgegangen. Fr das Kanalmodell aus (2.19) ist daher die Kenntnis der Scatterfunktion fr = l=B , l = 0 ::: L ;1, erforderlich. Die weiteren Betrachtungen vereinfachen sich durch die Darstellung der Scatterfunktion fr = l=B als Produkt zweier Funktionen, so da sich die E ekte von Zeitund Frequenzverschiebung getrennt betrachten lassen HH (l=B ) = P (l=B)Ql() l = 0 ::: L ; 1: 3
(2.25)
in der entsprechenden Gleichung (130) in 4] fehlt der Term sinc(Wi ( ; n Wi ))
=
2.2 Kanalmodelle
19
P (l=B ) bestimmt die mittlere Leistung der Mehrwege. Die Funktionen Ql() sind die normalisierten spektralen Leistungsdichten der Prozesse H (l=B t), l = 0 ::: L ; 1. Mittels theoretischer berlegungen lassen sich fr diese Leistungsdichtespektren prinzipielle Verl ufe angeben, die nachfolgend diskutiert werden. Tritt nur ein physikalischer Ausbreitungspfad (L = 1) auf und bewegen sich weder Sender noch Empf nger, gilt Q0() = (). Bewegen sich Sender oder Empf nger, folgt Q0() = ( ; m )
(2.26)
wobei m die durch die Eigenbewegung von Sender oder Empf nger hervorgerufene Dopplerverschiebung ist. Bei bertragungsfrequenzen von 1 GHz und hher ist eine Mehrwegeausbreitung auf Umgebungsein sse wie Streuungen an Gel nderauhigkeiten, Vegetation und Bauwerken sowie auf Re exionen an Bergh ngen oder H userfronten zurckzufhren 63, Seite H.28]. Eine zeitvariante Mehrwegeausbreitung wird daher vor allem durch die Bewegung eines Nutzers innerhalb eines Mehrwegeumfeldes hervorgerufen. Die Betrachtungen der Auswirkungen eines zeitvarianten Mehrwegeumfeldes auf die Funktionen Ql(), l = 0 ::: L ; 1, erfolgt nun am Beispiel einer Verbindung vom ortsfesten Sender zum mobilen Empf nger. Es wird davon ausgegangen, da die Sendeantenne frei steht und die Empfangsantenne aufgrund von Mehrwegeausbreitungen das Sendesignal aus unterschiedlichen Richtungen empf ngt. Die spektralen Leistungsdichten Ql(), l = 0 ::: L ;1, sind abh ngig von den Dopplerverschiebungen der verschiedenen Einfallsrichtungen. Fr die weiteren Betrachtungen ist die Elevation und der Azimut einer am Empf nger einfallenden Welle (siehe Abb. 2.4). Ausgehend von den Annahmen, da fr gegebenes die Wellen bezglich des Azimuts gleichverteilt einfallen und die Richtcharakteristik F ( ) der Empfangsantenne rotationssymmetrisch ist, l t sich unter Verwendung der Ergebnisse aus 1], 56], 92] schreiben
Z =2
rect 2mcos
E 0 2( )p ( ) d: r Ql() = F l
2 ;=2 4m cos 1 ; m cos
(2.27)
Die Konstante E0 dient zur Normierung von Ql(). Die Bercksichtigung der Leistung eines au sbaren Mehrwegs erfolgt durch die Funktion P (l=B ) aus (2.25). pl( ) ist die Dichtefunktion der hier als Zufallsvariablen interpre-
20
2 Signal- und Kanalmodelle
z
Empf nger
y
x
Abb. 2.4 Elevation und Azimut einer einfallenden Welle tierten Elevation . Fr pl( ) = ( ) und F (0) = 1 ergibt sich aus (2.27)
E0 r Ql() = 4
2 : m 1; rect 2m
(2.28)
m
(2.28) wird in der Literatur auch als Clarke oder Jakes Spektrum 45], 68] bezeichnet. Die hohe Akzeptanz dieses bezglich der Elevation wenig realistischen Ansatzes - nur die Elevation = 0 ist zul ssig - h ngt mit der guten bereinstimmung mit Meergebnissen 12] und der einfachen analytischen Darstellung zusammen. Bei einem gleichm igen Einfall der Wellen aus allen Raumrichtungen folgt 92]
pl( ) = cos2 j j 2 :
(2.29)
Nimmt man eine Verteilung gem (2.29) an, begrenzt jedoch die Einfallswinkel der Wellen auf das Intervall ;m m], so folgt fr pl( )
j j j j : pl( ) = 2 cos m sin 2 m
(2.30)
2.2 Kanalmodelle
21
Fr eine ideale Kugelcharakteristik der Antenne, das heit F ( ) = 1, resultiert in diesem Fall das von Aulin angegebene Spektrum 1]
8 >> C ; C arcsin 2 cos2 m;1;(2m )2 jj < m cos m 1;( m ) >< 2 Ql() = > C (2.31) cos j j m m m >> :0 m < jj
mit
C = 8 Esin0 : m m 12
10 log Ql(=m )
10
m = 12
8 6
m = 8
4
m = 4
2 0
;1
;0 5
0
05
=m Abb. 2.5 Clarke und Aulin Spektrum
1
Abb. 2.5 zeigt (2.28) und (2.31) im Vergleich. Der Vorteil von (2.31) besteht darin, da im Gegensatz zu (2.28) keine Singularit ten bei j=m j = 1 auftreten. Fr m = =2, was einem gleichm igen Einfall aus allen Raumrichtungen gem (2.29) entspricht, ergibt sich ein rechteckiges Dopplerspektrum
E 0 Ql() = 8 sin rect 2 : m m m
(2.32)
22
2 Signal- und Kanalmodelle
Mit Hilfe der Dopplerspektren ist es mglich, eine Aussage ber die Zeitkonstanz des Mehrwegekanals zu tre en. Durch die inverse Fourier-Transformation von beispielsweise (2.32) folgt die Autokorrelationsfunktion eines entsprechenden Koezientenprozesses H (l=B t) zu
m ) : 'HH (l=B ) = P (l=B ) 8 Esin0 sin (2 m m
(2.33)
Ausgehend von der Annahme, da der Kanal fr ein Verh ltnis von
'HH (l=B ) > 09 'HH (l=B 0) als konstant zu betrachten ist, folgt eine Dauer von konst 0787=(2m ), fr die diese Annahme zutri t. Bei einer Tr gerfrequenz von 1 GHz und einer Geschwindigkeit des Empf ngers von 200 km/h resultiert eine maximale Dopplerverschiebung von ungef hr
m = 185 Hz
(2.34)
so da
konst = 068 ms
(2.35)
gilt. Dieser Wert entspricht im IS95-Standard mit TC = 1=12288 MHz 836 Chipintervallen TC . Eine von (2.27) verschiedene Darstellung von Ql(), welche auch die Bercksichtigung anderer Verteilungen als der Gleichverteilung fr den Azimut erlaubt, wird in 92] untersucht. Ferner wird in 92] gezeigt, da bei gleichzeitig bewegtem Sender und Empf nger die Ein sse QSl() der Senderantenne und der Empfangsantenne QEl() gem
Ql() = QSl() QEl()
(2.36)
miteinander verknpft sind. Aus (2.36) folgt, da Eigenbewegungen von Sender und Empf nger unterschiedliche Auswirkungen zeigen knnen. W hrend ein in einem Mehrwegeumfeld bewegter Empf nger eines Satellitensystems eine Frequenzdispersion des Empfangssignals verursacht, fhrt eine Eigenbewegung des Satelliten zu einer reinen Dopplerverschiebung des Signals 33], 92], wie durch (2.26) beschrieben.
2.2 Kanalmodelle
23
System GPS
Orbit Umlaufzeit Inklination Tr gerfrequenz zirkular 718,7 min 55 1,57542 GHz 20200 km (L1 Frequenz) Globalstar zirkular 113 min 52 2,5 GHz 1414 km
Tab. 2.2 Systemparameter fr GPS und Globalstar
2.2.3 Frequenzverschiebung Da ein Frequenzfehler durch Oszillatorungenauigkeiten und ein Frequenzversatz gem (2.26) bezglich des Empfangssignals r(t) die gleiche Wirkung entfalten, werden sie summarisch durch die Frequenzverschiebung V , deren Realisierung ist, erfat. Voneinander abweichende Empf nger- und Senderoszillatoren fhren zu einer Frequenzablage des Empfangssignals. Entscheidend fr die Frequenzablage sind die Oszillatoren, die empf ngerseitig die Frequenz fr das Heruntermischen des Signals vorgeben. Kostenfaktoren bestimmen die Gte der verwendeten Produkte. W hrend beispielsweise in den Basisstationen eines Netzes der Einsatz genauer, teurer Oszillatoren gerechtfertigt ist, sind bei den Endger ten gnstige Produkte mit einem guten Preis-Leistungsverh ltnis gefordert. Verwendung nden in der Regel temperaturkompensierte Oszillatoren (TCXO) 90]. Die erreichbare Genauigkeit dieser Bauteile liegt zwischen 10;6 und 2 10;6 20]. Die Genauigkeit ist jedoch einem Alterungsproze unterworfen 34], der mit einer Ver nderung des relativen Fehlers von bis zu 10;5 pro Jahr anzusetzen ist 13]. W hrend in terrestrischen bertragungssystemen die Dopplerverschiebung m , hervorgerufen durch Eigenbewegungen von Sender und Empf nger, gering ist (vgl. (2.34)), nimmt sie in Satellitensystemen zum Teil sehr groe Werte an. Abb. 2.6 und Abb. 2.7 zeigen die durch die Eigenbewegung der Satelliten in den Systemen GPS und Globalstar hervorgerufene Dopplerverschiebung, wenn ein Nutzer auf dem !quator steht und der Satellit, zu dem die Verbindung besteht, direkt ber den Nutzer hinweg iegt. Es sei angenommen, da der Nutzer auf dem Niveau des Meeresspiegels steht und er die Signale des Satelliten bereits bei einem Elevationswinkel von 0 Grad empfangen kann. Die in Abb. 2.6 und Abb. 2.7 gezeigten Verl ufe lassen sich mit den Systemparametern aus Tab. 2.2 anhand der Ausfhrungen in 49] berechnen. Der Unterschied im prinzipiellen Verlauf der beiden Kurven ist im wesentlichen durch die Flughhe der Satelliten bestimmt. Die Flughhe
24
2 Signal- und Kanalmodelle
hat zudem deutlichen Ein u auf die St rke der Dopplerverschiebung, da mit zunehmender Flughhe die Geschwindigkeit eines Satelliten in Richtung eines Nutzers auf der Erde abnimmt. Die maximale vom System bedingte Dopplerverschiebung ist grer als die Maxima in Abb. 2.6 und Abb. 2.7. Fr das Global Positioning System betr gt die maximal mgliche Dopplerverschiebung beispielsweise 4,3 kHz 35, S.450]. 3
m kHz]
2 1 0
-1 -2 -3
0
100
200
300
400
0
5
10
15
20
t min] Abb. 2.6 m fr einen Nutzer auf dem !quator fr GPS 45
m kHz]
30 15 0
-15 -30 -45
t min] Abb. 2.7 m fr einen Nutzer auf dem !quator fr Globalstar Da eine allgemeingltige Aussage ber die Verteilung der Frequenzverschiebung V nicht mglich ist, sei angenommen, da sie auf dem Intervall
; max max] gleichverteilt ist. max ist hierbei die maximal zu erwartende Frequenzverschiebung.
2.2 Kanalmodelle
25
Die Relativbewegung von Sender und Empf nger fhrt neben der Dopplerverschiebung zu einer Dopplerstauchung beziehungsweise Dopplerstreckung des Signalspektrums und beein ut daher die Basisbandsignalverarbeitung. Der relative Ein u dieses E ektes ist durch das Verh ltnis von vr =c der Relativgeschwindigkeit vr zwischen Sender und Empf nger und der Lichtgeschwindigkeit c gegeben, sofern vr c gilt 47]. Fr das System Globalstar l t sich vr aufgrund der geringen Orbithhe (siehe Tab. 2.2) n herungsweise gleich der Satellitengeschwindigkeit setzen, so da vr =c = 2 4 10;5 folgt. Dieser Wert besitzt ungef hr die Grenordnung des relativen Oszillatorfehlers und ist diesem additiv hinzuzurechnen. Mit Ausnahme von Systemen mit tie"iegenden Satelliten wie Globalstar ist die Dopplerstauchung beziehungsweise die Dopplerstreckung zu vernachl ssigen.
2.2.4 Kanalrauschen Fr den additiven Rauschproze Z (t) aus Abb. 2.2 sei angenommen, da es sich um einen station ren weien Gauproze handelt. Ferner soll
'ZZ () = N0 ()
(2.37)
VarfRefZ (t)gg = VarfImfZ (t)gg
(2.38)
und gelten. Neben dem Kanalrauschen modelliert der Proze Z (t) das durch die Abtastung entstehende Quantisierungsrauschen. Erfolgt die Abtastung vor der Entspreizung, ist fr die Dichtefunktion des Quantisierungsrauschens nach der Entspreizung mit dem zentralen Grenzwertsatz in guter N herung von einer Gauverteilung auszugehen. E ekte der Quantisierung auf unterschiedliche DSSS-Systeme werden eingehend in 16] und 17] untersucht. Fr IS95 folgt mit 16], da sich bei einer Quantisierung mit 4 Bit ungef hr ein Signalzu-Rauschverh ltnisverlust nach der Entspreizung von 0,5 dB ergibt, w hrend er fr 8 Bit zu vernachl ssigen ist. Gleichkanalstrungen lassen sich ebenfalls mit Z (t) bercksichtigen. Die berlagerung vieler Strsignale approximiert wiederum eine Gauverteilung. Ist die Anzahl der Strer klein, greift der zentrale Grenzwertsatz nicht. Genau wie bei der Quantisierung ist aber sp testens nach der Entspreizung von einem Gauverteilten Strsignal auszugehen. Die Gltigkeit dieser Betrachtungsweise belegen die Untersuchungen in 70] und 50].
26
2 Signal- und Kanalmodelle
2.3 Abtastung und Darstellung des Empfangssignals In diesem Abschnitt wird die Abtastung eines kontinuierlichen Empfangssignals fr bandbegrenzte und fr zeitbegrenzte Impulsformung diskutiert. Die weiteren Betrachtungen befassen sich mit dem Prozegewinn eines DSSSSystems, der daraus resultierenden Denition eines Signal-zu-Rauschverh ltnisses und der Darstellung zeitdiskreter Signale in vektorieller Form. Insbesondere der Prozegewinn und die vektorielle Darstellung der Signale sind fr die Untersuchungen zur Anfangssynchronisation wichtig. Voraussetzung fr die vektorielle Beschreibung ist jedoch zun chst die Abtastung des Empfangssignals.
2.3.1 Bandbegrenzung und Diskretisierung des Empfangssignals Um die Realisierung r(t) des Prozesses R(t) aus Abb. 2.2 abzutasten, ist sie einer Bandbegrenzung zu unterziehen. Diese Bandbegrenzung wird als ideal angenommen, so da fr die Impulsantwort gTP (t) des bandbegrenzenden Filters TP t gTP (t) = p 1 sin B BTP t
(2.39)
gilt. Bei der Bestimmung der Bandbreite BTP sind die Bandbreite B des gespreizten Signals und die maximal mgliche Frequenzverschiebung max so zu bercksichtigen, da
BTP 2
B+ 2
max
(2.40)
erfllt ist.
Zeitbegrenzung Der durch eine Bandbegrenzung mit (2.39) aus dem Empfangssignal R(t) entstehende Proze RTP (t) l t sich mittels des Abtasttheorems fr stocha-
2.3 Abtastung und Darstellung des Empfangssignals
27
stische Prozesse 73] auf einen zeitdiskreten Proze Rk , k 2 Z, abbilden
RTP (t) =
1 X
k=;1
Rk 'k(t)
(2.41)
mit (BTP (t ; kTS )) T = 1=B : 'k(t) = sinB S TP TP (t ; kTS )
(2.42)
Ein digitales System wertet das Empfangssignal fr ein begrenztes Intervall 0 t < KTS aus. Da ein zeitbegrenztes Signal nicht gleichzeitig bandbegrenzt sein kann, stellen die Funktionen 'k(t), k 2 Z, nkeine vollst no 2 2 dige Basis im Sinne von 73, S.73] dar. Dies l t sich mit E jRk j = R und EfRk Rl g = 0, k 6= l, in einfacher Weise mit
8 29 KX ;1 < = EfF (t)g = E: R(t) ; R(kTS )'k(t) k=0 X 2 ;1 = R2
sin BTP (t ; kTS ) k=;1 BTP (t ; kTS )
1 sin BTP (t ; kTS ) 2 ! X k=K
BTP (t ; kTS )
+ (2.43)
zeigen. Da alle Summanden von (2.43) grer gleich Null sind und die erste Summe der rechten Seite nicht von K abh ngt, gilt stets EfF (t)g 6= 0, so da die Bedingung der Vollst ndigkeit nicht erfllt ist. Die daraus resultierende Unsch rfe des zeitdiskreten Signals l t sich durch eine Verkleinerung des Abtastintervalls TS bei konstanter Bandbreite BTP eingrenzen.
Bandbegrenzung Da die Diskretisierung des Empfangssignals durch Abtasten stets eine Bandbegrenzung des Empfangssignals erfordert, stellt sich die Frage nach dem Energieverlust von ideal zeitbegrenzten Impulsen, die einer idealen Bandbegrenzung unterworfen werden. Das Verh ltnis der unterdrckten Energie zur
28
2 Signal- und Kanalmodelle
Gesamtenergie des Impulses ergibt sich zu
Z ;BTP =2 sin(TC f ) 2 Z 1 sin(TC f ) 2 df + df f f B = 2 ;1 TP r = Z 1 sin(TC f ) 2 = 2TC = 2
Z1
Z1
BTP =2
BTP TC =2
;1
sin(TC f ) TC f sin(f ) f
2
2
f
df
df
df:
(2.44)
Abb. 2.8 zeigt (2.44). Selbst bei einer Bandbegrenzung, die dem Vierfachen der Chiprate entspricht, unterdrckt das Empfangslter noch ungef hr 5 Prozent der Energie. 0,25
r
0,2 0,15 0,1 0,05 1
2
3
4
5
BTP TC Abb. 2.8 Relativer Anteil der unterdrckten Energie
2.3.2 Prozegewinn
Der Prozegewinn ist eine der elementaren Kenngren eines DSSS-Systems. In Verbindung mit der Anfangssynchronisation ist der Prozegewinn vor allem in Zusammenhang mit der Analyse von Akquisitionsverfahren von Bedeutung. Ausgangspunkt der berlegungen ist zun chst das in Abb. 2.9 ge-
2.3 Abtastung und Darstellung des Empfangssignals
29
zeigte Signal udiagramm. Auf die Bandbegrenzung des Empfangssignals folgt eine auf die Impulsformung angepate Filterung mit der Impulsantwort g(;t). nTC gTP (t) yn r(t) g(;t)
Abb. 2.9 Signal udiagramm Im Gegensatz zu den Ausfhrungen in 2.3.1 erfolgt die Abtastung des Signals erst hinter dem zweiten Filter und nur mit dem Abtastintervall TC . Auerdem wird von idealer Synchronisation zwischen Sender und Empf nger ausgegangen und BTP so gro gew hlt, da der Ein u von gTP (t) auf eine zeitbegrenzte Impulsform zu vernachl ssigen ist (vgl. Abb. 2.8). Unter diesen Voraussetzungen gilt fr ein nicht mit Daten moduliertes Sendesignal
yn = gTP (t) g(;t) r(t)jt=nTC
g| (;t) {z x(t)jt=nTC} + g| (;t) {z z(t)jt=nTC} : Signalkomponente
(2.45)
St orkomponente
Fr die Autokorrelationsfunktion des Strprozesses zg(t) = g(;t) z(t) folgt mit g(;t) = g(t) und (2.37)
'Zg Zg () =
Z1
;1
= N0
ZZ (f ) jG(f )j2 ej2f df
Z1
;1
2 ej 2f df:
jG(f )j
(2.46)
Fr ideal bandbegrenzte Impulsformung resultiert (2.46) zu (B) B = 1=T : 'Zg Zg () = N0 sinB C
(2.47)
Abb. 2.10 zeigt die Autokorrelationsfunktion nach (2.46) fr zeit- und bandbegrenzte Impulsformung. In beiden F llen gilt fr die Varianz des Rauschprozesses nach der Filterung Varfg(t) Z (t)g jt=nTC = N0 :
30
2 Signal- und Kanalmodelle 1
;;; zeitbegrenzt ;; bandbegrenzt
'Zg Zg ()=N0
0,8 0,6 0,4 0,2 0
;0 2
;3
;2
;1
0
1
2
3
=TC Abb. 2.10 'Zg Zg () fr zeit- und bandbegrenzte Impulsformung Fr die Signalkomponente aus (2.45) x(t) g(;t) folgt mit den Modellen aus 2.1
g(;t) x(t)jt=nTC = bn n 2 Z
(2.48)
so da sich nach der Filterung mit g(;t) = g(t) und jbn j2 = 1 das Signalzu-Rauschverh ltnis SNRC = N1 (2.49) 0 ergibt.
yn
⊗
SX ;1
SX ;1
n=0
n=0
()
yn bn
bn
Abb. 2.11 Signal udiagramm Wird Abb. 2.9 um die in Abb. 2.11 gezeigte Multiplikation des zeitdis-
2.3 Abtastung und Darstellung des Empfangssignals
31
kreten Signals yn mit einer konjugiert komplexen Kopie des Spreizcodes und einer anschlieenden Summation ber S Werte erweitert, folgt mit (2.48) fr die Energie der Signalkomponente nach der Summation
SX 2 ;1 2 ;1 (g(t) x(t)jt=nTC ) bn = SX 2 jbn j = S 2 : n=0 n=0
(2.50)
Fr die Varianz der Strkomponente nach der Summation gilt
8 S;1 29= < X E: Zg(nTC ) bn = n=0 SX ;1 n=0
(2.51)
E
n
;2 SX ;1 o 2 SX 2 jZg(nTC )j jbn j + 2 E Zg(nTC )Zg(mTC ) bn bm n=0 m=n+1
= S'Zg Zg (0) + 2
SX ;2 SX ;1 n=0 m=n+1
'Zg Zg ((n ; m)TC ) bn bm :
Die Doppelsumme in (2.51) wird mit der Autokorrelationsfunktion aus Abb. 2.10 gleich Null, so da fr das Signal-zu-Rauschverh ltnis nach der Summation folgt 2 SNR = S S N = NS : 0 0
(2.52)
(2.52) ist um den Faktor S , den Prozegewinn, grer als SNRC aus (2.49). Fr STC = TB und BPSK-Modulation entspricht (2.52) dem in der Literatur verwendeten Verh ltnis Eb=N0 . Streng genommen ist Eb =N0 fr BPSK nicht als Signal-zu-Rauschverh ltnis zu bezeichnen, da dieses durch Eb=(N0 =2) gegeben ist 53, S.176].4 Fr die weiteren Betrachtungen sei wieder von einem komplett digitalen Empf nger ausgegangen, das heit, die Abtastung des Signals erfolgt direkt hinter dem Filter gTP (t) mit dem Abtastintervall TS , nicht, wie in Abb. 2.9 gezeigt, erst nach einem an die Impulsform angepaten Filter. 4N
0
hat die Dimension einer Energie 0 ] = N
W=H z
=
Ws
32
2 Signal- und Kanalmodelle
2.3.3 Vektorsignalverarbeitung Eine Vektordarstellung zeitdiskreter Signale erlaubt eine sehr viel einfachere Synthese und Analyse von Akquisitionsverfahren als die zun chst eingefhrte zeitkontinuierliche Modellierung. Mit den Abtastwerten des Empfangssignalprozesses Rk = RTP (kTS ) innerhalb des Beobachtungsintervalls 0 KTS ) ergibt sich der Empfangsvektor
R = (R0 ::: RK ;1 )T :
(2.53)
Wichtig ist, da die Ganggenauigkeit von Sender- und Empf ngeroszillator abzglich des durch die Dopplerstauchung oder Dopplerstreckung verursachten Fehlers fr das Beobachtungsintervall
KTS = STC
(2.54)
einen absoluten Zeitfehler kleiner als TC gew hrleistet. Diese Bedingung schliet den Fall des codeslip aus. Sie ist erfllt, solange S < 1= r gilt 98], wobei r der relative Fehler des Gangunterschiedes der Oszillatoren der Basisbandverarbeitung in Sender und Empf nger einschlielich der Dopplerstauchung beziehungsweise der Dopplerstreckung ist. Fr r = 10;4 folgt S < 10000, was fr die Betrachtung der Akquisition vollkommen ausreicht. Es sei darauf hingewiesen, da S quivalent zu dem Parameter S des zeitbegrenzten Signalmodells aus 2.1 ist. Auch die anderen in diesem Kapitel eingefhrten zeitkontinuierlichen Gren lassen sich in zeitdiskreter Form vektoriell zusammenfassen. Fr das Kanalrauschen nach der Tiefpalterung folgt
Z = (Z0 ::: ZK ;1 )T
(2.55)
wobei fr die Realisierungen zk , k = 0 ::: K ; 1, gilt
zk = gTP (kTS ) z(kTS ):
(2.56)
Die Zufallsvariablen Zk , k = 0 ::: K ; 1, sind mit (2.37), (2.39) und (2.46) mittelwertfrei und Gauverteilt mit der Varianz VarfZk g =
Z1
;1
ZZ(f ) jGTP
=0
(f )j2 ej2f df
2.3 Abtastung und Darstellung des Empfangssignals = N0
Z1
;1
jGTP
=0
33
(f )j2 ej2f df
= N0
(2.57)
die sich gleichm ig auf Real- und Imagin rteil gem VarfRefZk gg = VarfImfZk gg = N20
(2.58)
verteilt. ~ (D ) bezeichnet, Die Signalkomponente des Prozesses RTP (t) sei mit X wobei D durch (2.7) gegeben ist. Der Vektor fat die Ein sse des Kanals fr t = 0 gem
= (T V H (0 0) ::: H ((L ; 1)TS 0))T
(2.59)
zusammen. S mtliche Mehrwegeein sse sind in als nicht zeitvariante Gren angenommen, so da die Beobachtungsdauer KTS nur so gro sein darf, wie diese Annahme zumindest n herungsweise erfllt ist (siehe (2.35)). Eine Realisierung des Empfangsprozesses folgt mit diesen Denitionen zu
r = x~(d ) + z:
(2.60)
Die Vektoren d, und z sind jeweils Realisierungen von D, und Z. Die Signalkomponente x~(d ) einer Realisierung des Empfangsprozesses l t sich mit dem Signalvektor
x(d ) = (x0(d ) ::: xK;1(d ))T
(2.61)
mit xk(d ) = x(d kTS ; ), der Signalvektormatrix
X(d ) = (x(d ) x(d + TS ) ::: x(d + (L ; 1)TS ))
(2.62)
dem Kanalvektor
h = (h0 ::: hL;1)T hl = h(lTS t = 0) l = 0 ::: L ; 1
(2.63)
34
2 Signal- und Kanalmodelle
und einer Matrix E( ), die den Ein u der Frequenzverschiebung beschreibt,
01 0 BB ej2TS E( ) = B ... @ 0
ej2(K ;1)TS
1 C C C A
(2.64)
durch
x~(d ) = E( )X(d )h
(2.65)
darstellen. Eine zu (2.65) weitesgehend hnliche Signaldarstellung wird in 64, S.637] verwendet. Abschlieend wird anhand der Denitionen dieses Kapitels die sp ter bentigte bedingte Dichte fRjD (rjd ) in Abh ngigkeit der Vektoren r und x~(d ) angegeben. Mit
fRjD (rjd ) = fRjX~(D )(rjx~(d ))
(2.66)
ergibt sich fRjD (rjd ), indem fZ(z) einer linearen Transformation 67] ~ (D ) gem unter der Bedingung X
Z = R ; X~ (D )
(2.67)
unterzogen wird. Mit (2.66) und (2.67) folgt
fRjD (rjd ) = fRjX~(D )(rjx~(d )) = fZ(r ; x~(d )):
(2.68)
Mit (2.37) und (2.39) sind die Zufallsvariablen Zk , k = 0 ::: K ; 1, unabh ngig, so da
fRjD (rjd ) = fZ(r ; x~(d )) =
1 e; kr ; x~(d )k2 =N0 (N0 )K
(2.69)
2.4 Zusammenfassung
35
gilt. Da die Bandbreite des Filters aus (2.39) den Abtasttakt TS = 1=BTP vorgibt, ist (2.69) unabh ngig von TS stets gltig. Das bedeutet, da sich das Verh ltnis TC =TS beliebig einstellen l t, ohne eine Ver nderung der auf fRjD (rjd ) aufbauenden Algorithmen zu bewirken.
2.4 Zusammenfassung Es werden die Signalmodelle des zeitlich unbegrenzten und des zeitlich begrenzten Sendesignals, in beiden F llen mit oder ohne Datenmodulation und ideal zeit- oder bandbegrenzter Impulsformung, eingefhrt. Die Kanalmodellierung bercksichtigt die fr die Akquisition von DSSSSignalen wesentlichen Gren der Zeit- und Frequenzverschiebung sowie nicht-frequenzselektive und frequenzselektive Mehrwegeausbreitung. Aus der Zeitvarianz der au sbaren Mehrwege l t sich folgern, da eine Mehrwegeausbreitung fr die Dauer der Akquisition als n herungsweise zeitinvariant anzusetzen ist. Die Ursachen und Grenordnungen der unterschiedlichen Kanalein sse werden untersucht. Es folgt, da vor allem die Frequenzverschiebung sehr stark von dem zu betrachtenden System abh ngt. W hrend in einem terrestrischen System die Frequenzverschiebung im wesentlichen durch Oszillatorungenauigkeiten bestimmt ist, knnen in Systemen mit tief iegenden Satelliten erhebliche Dopplerverschiebungen hinzutreten. Des weiteren wird die in einem digitalen System vor dem Abtasten notwendige Tiefpalterung in ihrer Auswirkung auf das Empfangssignal untersucht und ein fr die weiteren Betrachtungen geeignetes Vektorsignalmodell angegeben.
36
2 Signal- und Kanalmodelle
3 Feinsynchronisation von Zeitund Frequenzverschiebung Die Denition eines Anforderungsprols an die Akquisition erfordert die Kenntnis der Funktionsweise und des Regelverhaltens der nachfolgenden Feinsynchronisation, des Trackings. Die Aufgabe der Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung besteht darin, die Anfangssch tzungen der Akquisition zu verbessern, die Abweichungen von Sender- und Empf ngeroszillatoren auszuregeln und zeitliche Ver nderungen der bertragungsstrecke zu bercksichtigen. In einem digitalen Empf nger lassen sich die notwendigen Regelkreise komplett digital, das heit ohne Rckkopplung zum Analogteil des Empf ngers, implementieren. Der wesentliche Unterschied zur Akquisition besteht darin, da die zu synchronisierenden Parameter nicht mehr beliebige Werte annehmen drfen, sondern sich in engen Intervallen bewegen mssen. Werden die Intervallgrenzen berschritten, mu der Empf nger dies erkennen und zur Reakquisition umschalten. In diesem Kapitel wird zun chst das generelle Prinzip der Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung in digitalen DSSS-Systemen erl utert und am Beispiel des nicht-koh renten Trackings fr die Zeitverschiebung genauer betrachtet. Aus den Ergebnissen lassen sich die Anforderungen, denen die Akquisition gengen mu, ableiten.
3.1 Digitale Feinsynchronisation W hrend der Akquisitionsphase wird eine erste Sch tzung von Frequenzund Zeitverschiebung erzeugt. Ziel der Feinsynchronisation ist es, auf der Basis dieser ersten Sch tzung entweder durch eine neue Sch tzung oder durch Verbessern der ersten Sch tzung den Sch tzfehler der Akquisition sukzessiv zu verkleinern. Die Feinsynchronisation von Frequenz- oder Zeitverschiebung kann entweder mittels einer Rckkopplung (feedback), die auf einen geschlossenen Regelkreis fhrt, oder einer Vorw rtsstruktur (feedforward) mit der Konsequenz eines o enen Regelkreises erfolgen 64, S.80]. Abb. 3.1 zeigt die rckgekoppelte Struktur eines Frequenzverschiebungsreglers. Der
38
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung ^
e;j2^kTS rTP (kTS ) = rk
Sch tzung von
rk e;j2^kTS
⊗
Abb. 3.1 Prinzip der rckgekoppelten Frequenzverschiebungsregelung klassische Ansatz zur Feinsynchronisation der Zeitverschiebung ist eine ebensolche rckgekoppelte Struktur. Bei dem rckgekoppelten Signal handelt es sich normalerweise um ein das Vorzeichen des Sch tzfehlers anzeigendes Fehlersignal. r0 r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7
...
NTC d0 ^ >
rk NTC d1
TS
^ <
TC NTC d2
Abb. 3.2 Prinzip der Zeitverschiebungsregelung (K = 8, TB = 8TS ) Das Nachfhren der Zeitverschiebung ist in einem digitalen System ohne Rckkopplung zum Analogteil nicht so einfach umzusetzen wie fr die Frequenzverschiebung. Abb. 3.2 verdeutlicht das Prinzip fr K = 8, TB = 8TS und beispielsweise TC =TS = 2, das heit N = 4. Unter der Annahme, da sich die Zeitverschiebung innerhalb einer Codeperiode nur geringfgig ndert, ist der fr die Entspreizung zu verwendende Ausschnitt des Empfangssignals jeweils um TS bezglich des vorangegangenen Ausschnitts zu verschieben. Wie in Abb. 3.2 fr das Datensymbol d1 gezeigt, mu bei einer zu groen Zeitverschiebungssch tzung ^ ein bereits verarbeiteter Abtastwert nochmals zur Entspreizung herangezogen werden. In Abb. 3.2 ist der Abtastwert r7 fr die Entspreizung der Datensymbole d0 und d1 notwendig.
3.2 Nicht-kohrentes Tracking
39
Ist die Zeitverschiebungssch tzung ^ kleiner als , ist bei der Auswertung zwischen den Datensymbolen ein Abtastwert zu berspringen. Abb. 3.2 zeigt diesen Fall fr die Datensymbole d1 und d2 . Soll eine grere Zeitverschiebung, zum Beispiel direkt nach der Akquisition, schnell ausgeregelt werden knnen, ist eine Korrektur der Zeitverschiebungssch tzung um ein Vielfaches von TS zuzulassen. Voraussetzung fr die beschriebene Regelung ist ein hinreichend kleines Abtastintervall TS . TC =TS = 4 ist als ausreichend zu betrachten. Der Ansatz aus Abb. 3.2 zum Tracken der Zeitverschiebung unterscheidet sich im wesentlichen durch die fehlende Rckkopplung zum Analogteil von den in der Literatur untersuchten Regelkreisen 18], 61], 78], 87]. In 15] wird die Rckkopplung zum Analogteil durch einen Interpolator im Digitalteil des Empf ngers ersetzt. Die in Abb. 3.2 vorgestellte Methode zum Tracken der Zeitverschiebung entspricht prinzipiell solch einem Interpolator, allerdings mit der Einschr nkung, da diesem Interpolator nur eine Interpolation an den durch den Abtasttakt TS vorgegebenen Stellen mglich ist. Die Erzeugung des Fehlersignals fr die Korrektur der Zeitverschiebungssch tzung sowie das Verhalten der sich daraus ergebenden Regelung soll nun fr den Regelkreis erster Ordnung und den Fall des nicht-koh renten Trackens genauer betrachtet werden.
3.2 Nicht-kohrentes Tracking Von den bekannten Trackingverfahren 69] sind die nicht-koh renten fr praktische Anwendungen von der grten Bedeutung, da sie gegenber Phasenverschiebungen unempndlich sind, die durch den bertragungskanal, nicht ideale Phasensynchronisation oder Datenmodulation entstehen. Fr den nicht-koh renten delay-lock loop (DLL) 69, S.164] soll beispielhaft fr das Tracken der Zeitverschiebung untersucht werden, wie sich die Gre eines nach der Akquisition verbleibenden Sch tzfehlers auswirkt. Eine Aussage hierber ist von Interesse, um das Ergebnis der Akquisition, die erste Zeitund Frequenzverschiebungssch tzung, geeignet bewerten zu knnen.
3.2.1 Fehlersignalerzeugung Ein DSSS-Signal l t sich, ideale Frequenzsynchronisation vorausgesetzt, bezglich der Zeitverschiebung tracken, sobald der Empf nger ber eine Laufzeitsch tzung ^ des Empfangssignals verfgt, die nicht mehr als max von
40
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung
der tats chlichen Laufzeit abweicht. Es soll also gelten j j = j ^ ; j max :
(3.1)
max bezeichnet den maximal zul ssigen Sch tzfehler und den Sch tzfehler. Grundlegend fr die Berechnung des fr die Regelung bentigten Fehlersignals des nicht-koh renten delay-lock loops ist die Auswertung des Innenproduktes zwischen dem nicht mit Daten modulierten Sendesignal x(t ; ) (siehe 2.1) und einer um ^ verschobenen und gem 2.1 zeitlich begrenzten Version xS(t ; ^) des Sendesignals. In zeitdiskreter Schreibweise und mit der Denition des Innenproduktes aus Anhang B folgt in vektorieller Schreibweise mit (2.61)1 Rb ( ) = TS hx( )jx(^ )i = TS hx( )jx( + )i = TS hx(0)jx( )i = TS = TS
KX ;1 k=0
x(kTS )x(kTS ; )
1 X
k=;1
xS(kTS )x(;( ; kTS ))
= xS( ) x(; )
= g( ) g(; ) bS( ) b(; ):
(3.2)
Rb ( ) bezeichnet den Wert des Innenproduktes in Abh ngigkeit von . Zur Gltigkeit der Gleichsetzung der zeitdiskreten mit der zeitkontinuierlichen Faltung fr auf BTP = 1=TS bandbegrenzte Signale wird auf 64, S.239f] oder 91, S.151 ] verwiesen. (3.2) l t sich auch als Korrelationsfunktion der Signale xS(t ; ) und x(t ; ^) interpretieren. Ausgehend von der idealen Annahme, bezglich der Korrelationsfunktion zwischen der Spreizfolge bn , n 2 Z, und der Folge bn , 1 Die Bezeichnung b ( ) ist an die blicherweise in der Literatur verwendete angelehnt (vgl. z.B. 69]) R
3.2 Nicht-kohrentes Tracking
41
n = 0 ::: S ; 1,
1 X bS( ) b (; ) = S ( ; iNTC ) i=;1
(3.3)
folgt fr die Auswertung von (3.2)
Rb ( ) = TS hx(0)jx( )i =
1 X
i=;1
S g( ; iNTC ) g(; + iNTC ):
(3.4)
Mit der Annahme aus (3.3), weist Rb ( ) in Abh ngigkeit von der Impulsformung den gleichen Verlauf auf, wie die in Abb. 2.10 gezeigten Autokorrelationsfunktionen. Fr das Maximum von Rb ( ) gilt
Rb (0) = max R ( ) = S: 2IR b
(3.5)
1 = 2TC
s( )
0,5 0
;0 5
= TC =2
;1
;2
;1
= TC 0
1
2
=TC Abb. 3.3 s( ) fr ideal zeitbegrenzte Impulsformung
42
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung 1 = 2TC
s( )
0,5 = TC =2 0
;0 5
;1
;2
;1
= TC 0
1
2
=TC Abb. 3.4 s( ) fr ideal bandbegrenzte Impulsformung Das Fehlersignal s( ) fr das Tracken der Zeitverschiebung ist durch die normierte Di erenz 69, S.169]
s( ) =
R ; ; 2 ; R ; + 2 b b 2 2
(3.6) S2 gegeben. Abb. 3.3 zeigt s( ) fr ideal zeitbegrenzte und Abb. 3.4 fr ideal bandbegrenzte Impulsformung parametriert ber . Ist der Sch tzfehler gleich Null, wird kein Fehlersignal erzeugt. Fr > 0 zeigt das Fehlersignal eine zu groe Laufzeitsch tzung an, w hrend fr < 0 die gesch tzte Laufzeit zu klein ist. Entsprechend sind, wie in Abb. 3.2 dargestellt, fr > 0 bereits bercksichtigte Abtastwerte nochmals zu verwenden und fr < 0 Werte auszulassen. s( ) l t sich auch als Approximation der Ableitung @ jR ( )j2 @ b interpretieren. Mit 59, S.111 ] stellt (3.6) das einfachste zeitdiskrete System zur Ableitung von jRb ( )j2 dar. An dieser Stelle ist eine Bemerkung zum Nachregeln der Frequenzverschiebung angebracht, da sich prinzipiell ein hnlicher Ansatz wie fr die Zeitverschiebung formulieren l t. Mit der Schreibweise
Rb (#) = TS hx(0)jE(#)x(0)i
(3.7)
3.2 Nicht-kohrentes Tracking
43
h0 = 0,707 h8 = 0,5 h1 = 1,0 h12 = 0,4 h3 = 0,794 h25 = 0,316
Tab. 3.1 Typisch st dtische Mehrwegeausbreitung wobei E(#) durch (2.64) gegeben ist, ergibt sich unter der Voraussetzung idealer Zeitsynchronisation ein Fehlersignal mit dem Frequenzsch tzfehler #, ^ = + # zu
s(#) =
R ;# ; 2 ; R ;# + 2 b b 2 2
: (3.8) S2 entspricht hierbei dem Parameter aus (3.6). Mittels (5.17) ist es mglich zu zeigen, da das resultierende Fehlersignal aus (3.8) n herungsweise den gleichen Verlauf aufweist wie das aus (3.6) fr bandbegrenzte Impulsformung. Mglichkeiten zur Sch tzung der Frequenzverschiebung werden in 4.4 diskutiert.
3.2.2 Einu von frequenzselektiver Mehrwegeausbreitung
Fr eine zeitinvariante Mehrwegeausbreitung beschreibt der Vektor h den Kanalein u (siehe (2.63)). Die Bercksichtigung der zeitinvarianten frequenzselektiven Mehrwegeausbreitung in (3.2) ergibt mit der Darstellung aus (2.65) und der Voraussetzung idealer Frequenzsynchronisation,
Rb ( ) = TS hX(0)hjx( )i
1 X
i=;1
(3.9)
S g( ; iNTC ) h( ; iNTC t = 0) g(; + iNTC ):
Die Impulsantwort h( t = 0) hat somit einen entscheidenden Ein u auf das Fehlersignal s( ) aus (3.6). Der Ein u einer Zweiwegeausbreitung auf einen delay-lock loop ist ausfhrlich in 77] untersucht. Bereits eine Zweiwegeausbreitung beein ut nach 77] das Fehlersignal deutlich. Abb. 3.5 veranschaulicht den Ein u einer frequenzselektiven Mehrwegeausbreitung fr den in Tab. 3.1 angegebenen Kanalvektor h. Mit VarfHi g = h2i , i = 0 ::: 25,
44
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung
entsprechen die Werte in Tab. 3.1 den mittleren Leistungen der au sbaren Mehrwege einer typisch st dtischen Ausbreitung bei 900 MHz nach 11]. Bei der in Tab. 3.1 angegebenen Impulsantwort handelt es sich um eine Realisierung dieses stochastischen Kanalmodells. Fr das Fehlersignal in Abb. 3.5 gilt TC =TS = 4 und TS = 02 s. Die Chipdauer TC = 08 s entspricht ungef hr dem Chipintervall des IS95-Standards. 1 = 2TC
s( )
0,5 0
;0 5
= TC
;1 ;4
;3
;2
;1
0
1
2
3
4
=TC Abb. 3.5 s( ) fr typisch st dtische Mehrwegeausbreitung
Aufgrund der frequenzselektiven Mehrwegeausbreitung verschiebt sich der Nulldurchgang des Fehlersignals. Dies hat zur Folge, da der Sch tzfehler selbst im strungsfreien Fall stets einen O set aufweist. Der O set fhrt zu einer Verschiebung des Regelbereichs, so da ;max +
< < max +
(3.10)
folgt. selber h ngt von h und ab. Des weiteren entsteht fr = TC ein weiterer durch den Pfeil in Abb. 3.5 gekennzeichneter Regelpunkt. In Tab. 3.2 ist eine Realisierung einer schlechten st dtischen Ausbreitung nach 11] angegeben. Abb. 3.6 zeigt die resultierenden Kurven des Fehlersignals. Sehr deutlich ist in diesem Fall die Abh ngigkeit des O sets von . Ans tze fr eine Bercksichtigung einer frequenzselektiven Mehrwegeausbreitung bei der Fehlersignalerzeugung werden in 61], 78] diskutiert. Diese Ans tze basieren darauf, Rb ( ) an mehr als nur zwei Stellen wie in (3.6) auszuwerten und die Ergebnisse geeignet zu kombinieren, sollen aber ebenso wie die in 42], 43] auf erweiterten Kalman-Filtern aufbauenden Tracking-
3.2 Nicht-kohrentes Tracking
45
h0 = 0,707 h8 = 0,566 h2 = 1,0 h25 = 0,794 h5 = 0,707 h33 = 0,632
Tab. 3.2 Schlechter st dtischer Ausbreitungskanal nach COST 207 verfahren hier nicht Gegenstand weiterer Betrachtungen sein. Zusammenfassend l t sich festhalten, da sowohl die Parametrierung des Trackingverfahrens als auch die konkrete Mehrwegeausbreitung die Gre und vor allem die Lage des Bereichs des Sch tzfehlers beein ussen, der das Tracken des Empfangssignals bei einer Erzeugung des Fehlersignals nach (3.6) ermglicht. 1 = 2TC
s( )
0,5 0
;0 5
;1
= TC
;4
;3
;2
;1
0
1
2
3
4
=TC Abb. 3.6 s( ) fr schlechte st dtische Mehrwegeausbreitung Da eine Frequenzdispersion in merklichem Ausma nur bei Mehrwegeausbreitung und sehr schnell bewegten Empf ngern auftritt (siehe 2.2.2), ist ein anhand von (3.8) erzeugtes Fehlersignal der Frequenzverschiebung vergleichsweise unempndlich gegenber einer frequenzselektiven Mehrwegeausbreitung. Die zeitliche Dispersion des Signals bewirkt, da eine Berechnung des Fehlersignals der Frequenzverschiebung auch fr andere Zeitverschiebungen als fr = 0 sinnvoll ist.
46
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung
3.2.3 Einu des Kanalrauschens Alle bisherigen Betrachtungen erfolgten fr den Fall einer rauschfreien bertragung mit z(t) = 0 8t 2 IR. Eine additive Strung des Kanals gem 2.2.4 ; erzeugt bei der Berechnung von Rb 2 mit
;
TS hrjx 2
i = T hx(0)jx; i + T hzjx; i S S 2 2 ; ; = R + T hzjx i b
eine Strkomponente
;
2
S
2
z = TS hzjx 2 i:
(3.11) (3.12)
Analog zu (3.2) l t sich fr diese Strkomponente schreiben
x ;; ; ; S 2 ; ; ; ; ; = z 2 g ; 2 bS ; 2 :
z = z 2
(3.13)
Mit der idealen Annahme
bS(;) bS() = S ()
(3.14)
und 'Zg Zg () aus (2.46) folgt fr die Autokorrelationsfunktion der Strkomponente
'Z Z () = 'ZZ () g(;) g() S () = N0S g(;) g() = S 'Zg Zg ():
(3.15)
Fr die Varianz VarfZ g gilt mit (3.15) und Abb. 2.10 VarfZ g = 'Z Z (0) = SN0:
(3.16)
Der Mittelwert EfZ g der Strkomponente ist Null. Die Berechnung der Betragsquadrate nach (3.6) erfordert die Betrachtung
3.2 Nicht-kohrentes Tracking
47
des Ausdrucks
R ; + z 2 = b 2 R ; 2 + 2ReR ; z + jz j2 : b b 2 2
(3.17)
Da Z Gauverteilt ist - die Summe ber K Gauverteilte Zufallsvariable Zk xk , k = 0 ::: K ; 1, ergibt wieder eine Gauverteilung - folgt mit Anhang C, da (3.17) die Realisierung einer Zufallsvariablen mit nichtzentraler 2Verteilung mit zwei Freiheitsgraden ist. Mit der Normierung aus (3.6) auf S 2 und (3.16) folgt fr die Zufallsvariable
;
N = Rb 2 + Z 2 =S 2 eine Verteilung mit der Dichte
fN
;
(3.18)
n = Rb 2 + z 2 =S 2 =
; ! n + Rb 2 2 =S 2 ; p ! exp ; N0=S 2 Rb 2 =S n I0 N0 =S N0 =S n 0:
(3.19)
Das Fehlersignal nach (3.6) ergibt sich somit unter Bercksichtigung des Kanalrauschens aus der Di erenz zweier Zufallsvariablen, deren Dichten durch (3.19) gegeben sind. Das Fehlersignal ist daher selbst eine Zufallsvariable S ( ). Aus (3.15) und daraus, da es sich bei Z um eine Gauverteilte Zufallsvariable handelt, folgt die stochastische Unabh ngigkeit von N+ und N;, sofern ein Vielfaches von TC ist. Die Dichte des Fehlersignals S ( ) berechnet sich, wenn die Unabh ngigkeit der Zufallsvariablen N+ und N; gegeben ist, aus
fS ( )(s( )) =
Z1
s( )
fN+(x ; s( ))fN;(x) dx:
(3.20)
(3.20) l t sich mit der Ausnahme = 0 nur numerisch lsen. Die analytische Berechnung von Varianz und Mittelwert des Fehlersignals S ( ) ist dagegen
48
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung
mglich. Hierzu wird zun chst der Strterm aus (3.17)
; z0 = 2Re Rb 2 z + jz j2
(3.21)
betrachtet.
Mittelwert und Varianz von Z0 Da Z eine mittelwertfreie, komplexwertige2 Gausche Zufallsvariable ist, gilt fr die Dichte der Zufallsvariablen jZ j mit Anhang C
x=(SN0 )) x 0 fX x = jZ j2 = exp (;SN
(3.22)
; E 2Re Rb 2 Z = 0
(3.23)
0
so da fr den Mittelwert E Z0 des durch (3.21) beschriebenen Strterms mit und (3.22)
n o Z1 2 0 E Z = E jZ j = xfX(x) dx = SN0
(3.24)
0
folgt. Z 0 des Strterms aus (3.21) wird Zur Berechnung der Varianz Var n; 0 2o zun chst E Z bestimmt. Mit
n
o
n
o
E Z jZ j2 = E Z jZ j2 = 0 E Z2 = 0 und der Beziehung
(2Refa b g)2 = (a b + a b)2 = 2Re a2 b2 + 2 jaj2 jbj2 gilt
o n ; 0 2 o n; ; 2o n 4 + E jZ j E Z = E 2Re Rb 2 Z
(3.25) (3.26)
3.2 Nicht-kohrentes Tracking
49
; = 2E Re R2b 2 Z2 n ;
2 jZ j2 o + EnjZ j4o o n o ; 2 n 2 4 = 2 Rb 2 E jZ j + E jZ j : n o 4 +2E Rb 2
Fr den Term E jZ j
n
E jZ
j4
o
=E
(3.27)
l t sich mit (3.22) schreiben
jZ
2 Z 2 j =
1 0
x2fX (x) dx = 2 (SN0 )2 (3.28)
so da die Varianz Var Z0 des zu untersuchenden Strterms mit (3.27) und (3.24) zu n; o Var Z0 = E Z0 2 ; E Z0 2
; 2 SN + 2 (SN )2 ; (SN )2 0 0 0 ; = 2 Rb 2 2 SN0 + (SN0 )2 = 2 Rb 2
(3.29)
folgt.
Mittelwert und Varianz des Fehlersignals S ( ) Fr die gesamte bei der Berechnung des Fehlersignals nach (3.6) auftretende Strung gilt mit (3.21) 1 ;z0 ; z0 = 1 2ReR ; ; z + jz j2 ; b ; 2 ; S 2 ; + S2
; 2 2Re Rb + 2 z+ ; jz+ j :
(3.30)
Fr den Mittelwert dieser gesamten Strung folgt mit (3.23) und (3.24) 1 ;EZ 0 ; EZ 0 = 0: + ; S2
(3.31)
50
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung
Da der Mittelwert der aufsummierten Strterme mit (3.31) Null ergibt, ist der Mittelwert des gestrten Fehlersignals EfS ( )g durch das ungestrte Fehlersignal aus (3.6) gegeben, so da EfS ( )g =
R ; ; 2 ; R ; + 2 b b 2 2
(3.32)
S2
folgt. Wird gleich einem Vielfachen von TC gew hlt, l t sich mittels (3.15) 0 zeigen, so da die Unkorreliertheit von Z;0 und Z+
0 Z 0 = EZ 0 EZ 0 E Z+ ; + ;
(3.33)
gilt. Da der Kreuzkorrelationskoezient in diesem Fall gleich Null ist 67, S.155], ergibt sich die Varianz des Fehlersignals VarfS ( )g mit (3.29) und 0 unter Berck(3.30) durch die Summe der Varianzen von Z;0 und Z+ sichtigung der Normierung des Fehlersignals auf S 2 zu
;
;
Var Rb ; 2 + Z; + Var Rb + 2 + Z+ VarfS ( )g = S4 ; 0 (3.34) = S14 Var Z;0 + Var Z+ =
;
2 Rb ; 2
2 + R ; + 2 SN + 2 (SN )2 b 0 0 2 S4
:
Mit der Denition des Signal-zu-Rauschverh ltnisses aus (2.52) SNR = NS
0
(3.35)
folgt durch Einsetzen in (3.34)
R ; ; 2 + R ; + 2 1 + 2 1 : (3.36) b 2 2 VarfS ( )g = 2 b 2 SNR SNR2 S
Abb. 3.7 zeigt die simulative berprfung von (3.36) fr Werte von im Abstand von TS = 025TC fr bandbegrenzte Impulsformung, einer Maxi-
3.2 Nicht-kohrentes Tracking
51
VarfS ( )g
0,25 0,2 0,15 0,1
= 2TC
0,05
;3
;2
= TC
;1
0
1
=TC Abb. 3.7 Verlauf von VarfS ( )g
2
3
malfolge der L nge 127 als Spreizcode und den AWGN-Kanal. Das SNR der Simulation in dB betr gt fr = TC 10,035 dB und fr = 2TC 9,9435 dB. Fr = TC ergibt sich selbst fr kleine Sch tzfehler eine groe Eigenstrung. Diese wird durch ein greres deutlich herabgesetzt. Die Eigenstrung ist im Bereich von = stets am grten. In 15] wird VarfS ( )g fr den speziellen Fall der raised-cosine Impulsformung anhand des Leistungsdichtespektrums der Strung an der Stelle Null bestimmt. (3.36) schliet diesen Fall ein.
Gausche Nherung der Dichte des Fehlersignals S ( ) Mit dem Mittelwert EfS ( )g aus (3.32) und der Varianz VarfS ( )g aus (3.36) l t sich die Dichte fS ( )(s( )) aus (3.20) durch eine Gaudichte ann hern. Abb. 3.8 zeigt die Dichtefunktion nach (3.20) im Vergleich zu einer Gauschen N herung und simulativ ermittelten relativen H ugkeiten. Fr den in Abb. 3.8 gezeigten Fall = 0, folgt aus (3.20) mit EfS ( = 0)g = 0 eine Laplacedichte
fS ( )(s( )) =0 = 05 NS exp 0
S ; N0 js( )j =0 :
(3.37)
In Ver entlichungen wie 15], 87] und 103] wird stets von einer Gauschen N herung fr die Verteilung der Zufallsvariablen S ( ) ausgegangen. Je grer EfS ( )g ist, desto besser tri t diese N herung zu, aber selbst wenn
52
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung
EfS ( )g = 0 gilt, l t sich die Gausche N herung verwenden.
fS ( )(s( ))
5
(3.35),(3.20), = 0
4 3
Gaudichte
2
(3.20), = 075TC
1 0
0
1
2
s( ) Abb. 3.8 Dichtefunktionen des Fehlersignals S ( ) fr = TC
3.3 Regelkreis erster Ordnung Ziel der weiteren berlegungen zum nicht-koh renten Tracking ist es, eine Aussage ber den Ein u des Sch tzfehlers auf die mittlere Dauer bis zum Verlust der Regelung (mean time to lose lock, MTLL) zu erhalten. Eine der wichtigsten Arbeiten bezglich der Analyse des Regelverhaltens des delay-lock loops ist 71]. Ausgangspunkt der berlegungen in 71] ist die Annahme, da sich der Sch tzfehler als zeitkontinuierlicher Markov-Proze darstellen l t, was die Lsung stochastischer Di erentialgleichungen erfordert. Die Arbeiten 15], 87], 103] gehen hingegen von einem zeitdiskreten Markov-Proze aus, so da die Chapman-Kolmogoro -Gleichung zu lsen ist. Die im folgenden eingefhrte Modellierung als zeit- und zustandsdiskreter Markov-Proze ermglicht die Analyse des Regelverhaltens mittels absorbierender Markov-Ketten. Das Prinzip des delay-lock loops erster Ordnung besteht darin, parallel zur Entspreizung der Daten das Fehlersignal zu erzeugen und mit diesem Fehlersignal die Zeitverschiebungssch tzung fr die Entspreizung des n ch-
3.3 Regelkreis erster Ordnung
r0 r0 r1 r2 r3 r4 r5
...
53
r2
r1
rk
STC STC
TS
TC STC
bG1 S (0 )=TS cTS
bG1 S (1 )=TS cTS
Abb. 3.9 Prinzip der Zeitverschiebungsregelung (S = 4, K = 8) sten Datensymbols zu verbessern. Es entsteht also bei der Verwendung des Fehlersignals eine Verzgerung um einen Takt. Der delay-lock loop versucht stets das Fehlersignal zu minimieren und die Regelung in lock, das heit, im Regelbereich zu halten. Abb. 3.9 zeigt nochmals Abb. 3.2 in leicht abgewandelter Form, um dieses Vorgehen zu verdeutlichen. Der Vektor r0 dient zur Entspreizung des Datensymbols d0 und zur Berechnung von S (0). Der ganzzahlige Anteil des mit einer Konstanten G1 gewichteten Fehlersignals bezglich einer Division durch TS gibt Richtung und Gre der Korrektur der Zeitverschiebungssch tzung an. Mit der Konstanten G1 l t sich die Empndlichkeit der Regelung einstellen. Je grer G1 ist, desto st rker reagiert die Regelung auf das Fehlersignal. Das Verhalten des Regelkreises erster Ordnung wird fr gegebenes i vollst ndig durch die Rekursion ;i = i;1 ; bG1 S (i;1)=TS c TS i 2 IN0
(3.38)
beschrieben. Da eine Anpassung des Sch tzfehlers jeweils nur in diskreten Schritten mglich ist, verbleibt im ungnstigsten Fall ein Restsch tzfehler von rest = 05TS . berschreitet der Betrag des Sch tzfehlers jij den Wert max, ist der Regelkreis nicht mehr eingerastet und eine Reakquisition der Zeitverschiebung ist durchzufhren. Die mittlere Zeitdauer bis zum Regelungsverlust ist die mean time to lose lock (MTLL). Die MTLL in Abh ngigkeit des
54
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung
Sch tzfehlers der Akquisition l t sich unter der Bedingung einer konstanten Zeitverschiebung des Kanals mit Hilfe absorbierender Markov-Ketten berechnen. Ist die Zeitverschiebung des Kanals wie angenommen konstant, kann i mit (3.38) nur die Werte
i 2 f;RTS + rest ::: rest ::: RTS + restg rest TS =2
(3.39)
annehmen. Jeder dieser mglichen Werte aus (3.39) soll nun einem Zustand entsprechen. Mit diesen Zust nden l t sich das Verhalten des Sch tzfehlers i, i 2 IN0 , auf eine absorbierende Markov-Kette (siehe Anhang A) abbilden. Der Zustand sn soll den Zusammenhang bezeichnen, da (n ; 05)TS < i (n + 05)TS
(3.40)
erfllt ist. Den diskreten Werten aus (3.39) werden auf diese Art 2R + 1 Zust nden sn , n = ;R ::: R, zugeordnet. Die bergangswahrscheinlichkeit P (sm jsn ) von dem Zustand sn in den Zustand sm ist durch
P (sm jsn ) =
Z (m+05)TS (m;05)TS
f;ij;i;1(ijnTS + rest) di
(3.41)
gegeben. Die Dichte f;ij;i;1 (i ji;1) ist im wesentlichen durch fS ( i)(s(i)) bestimmt. Da, wie bereits diskutiert, eine Bestimmung der Dichte fS ( i)(s(i)) nur numerisch erfolgen kann, wird fr S (i) von einer Gauverteilung mit Mittelwert und Varianz nach (3.32) und (3.36) ausgegangen. Fr die bedingte Dichte f;ij;i;1(iji;1) folgt so ebenfalls eine Gaudichte mit dem bedingten Mittelwert Ef;iji;1g = i;1 ; G1
R ; ; 2 ; R ; + 2 b i;1 2 b i;1 2 S2
(3.42)
und der bedingten Varianz Varf;iji;1g = G21 VarfS (i;1)g
;
;
2 + Rb i;1 + 2 2 G21 Rb i;1 ; 2 = SNR S2
(3.43)
2 2 G21 + : SNR2
3.3 Regelkreis erster Ordnung
55
Fr die Berechnung der MTLL ist mindestens ein absorbierender Zustand erforderlich. Der Regelkreis soll sich in diesem Zustand benden, wenn j j > max gilt. Aus der Matrix
0 P (s js ) ;R ;R B .. Q=@ .
1
: : : P (sR js;R ) C .. ... A . P (s;R jsR ) : : : P (sR jsR )
(3.44)
folgt mit (A.7) die fundamentale Matrix N. Die fundamentale Matrix erlaubt die Berechnung der MTLL mittels (A.9) fr einen gegebenen Anfangszustand. Fr R = 3, = TC , TC =TS = 4 und ein SNR von 8 dB lautet beispielsweise die Matrix Q mit der Gauschen N herung
2 0299 66 0007 66 66 0 6 Q = 66 0 66 0 66 64 0 0
0589 0198 0018 0003 0001 0 0
0099 059 0334 018 0088 0007 0
0001 0198 0559 0634 0559 0198 0001
0 0007 0088 018 0334 059 0099
3
0 0 7 0 0 77 7 0001 0 77 7 0003 0 77 : 7 0018 0 77 7 0198 0007 75 0589 0299
(3.45)
Aus (3.45) ist zu erkennen, da mit Ausnahme des Zustandes s0 stets die Wahrscheinlichkeit in den n chsten besseren Zustand berzugehen am grten ist (die Zeile gibt jeweils den Ausgangszustand an und die Spalte den Zustand in den das System berwechselt). Fr den besten Zustand s0 ist die Wahrscheinlichkeit am grten, in diesem Zustand zu verbleiben. Ist die Summe ber alle Elemente einer Zeile kleiner eins, so besteht die Mglichkeit des berganges in einen absorbierenden Zustand. Dies tri t in (3.45) auf die erste und letzte Zeile zu, so da nur von den ungnstigsten Zust nden aus ein bergang in einen absorbierenden Zustand erfolgen kann.
56
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung Die fundamentale Matrix N lautet fr das gegebene Beispiel
2 39 66 38 66 66 38 N = 666 38 66 38 66 64 38
3019 3070 3069 3069 3069 3069 37 3018
82501 83893 83907 83906 83906 83892 82500
254587 258883 258925 258926 258925 258883 254587
82500 83892 83906 83906 83907 83893 82501
3
3018 3069 3069 3069 3069 3070 3019
37 7 38 77 7 38 77 7 38 77 : 7 38 77 7 38 75 39
(3.46)
Die Summe ber die Elemente einer Zeile der fundamentalen Matrix (siehe (A.9)) entspricht der MTLL fr den der entsprechenden Zeile zugeordneten Anfangszustand. 107 106 MTLL NTC ]
105
= 2TC 0
104
=0
103
= TC
102 101 1
0
;2 ;1
0
1
2
3
4
= RTS
SNR dB] Abb. 3.10 MTLL fr G1 = 1
5
6
7
Abb. 3.10 und Abb. 3.11 zeigen die MTLL fr bandbegrenzte Impulsformung in Abh ngigkeit vom SNR fr = 2TC und = TC fr G1 = 1 und G1 = 05, jeweils fr einen Sch tzfehler der Akquisition von 0 = 0 und 0 = RTS . Diese Sch tzfehler entsprechen den Anfangszust nden s0 und sR . Abb. 3.10 und Abb. 3.11 liegen die Annahmen
3.3 Regelkreis erster Ordnung
57
107 106
= 2TC
MTLL NTC ]
105
0
104
=0 = TC
103 0
102
= RTS
101 1
;2 ;1
0
1
2
3
4
SNR dB] Abb. 3.11 MTLL fr G1 = 05
5
6
7
AWGN-Kanal
TC =TS = 4 max = 55TS (R = 5) fr = 2TC und max = 35TS (R = 3) fr = TC . rest = 0 zugrunde. Die eingezeichneten Punkte geben mit einer Maximalfolge der L nge N = 127 als Spreizcode mit dem Generatorpolynom g(x) = x7 + x6 + 1 erzeugte Simulationsergebnisse wieder. Bei den Ergebnissen handelt es sich um empirische Mittelwerte, wobei jeder Wert das Mittel aus 1000 simulierten Zeitdauern bis zum Regelungsverlust unter der Bedingung eines vorgegebenen Anfangszustandes si ist. Aus Abb. 3.10 und Abb. 3.11 geht hervor, da die Abh ngigkeit der MTLL von dem Anfangssch tzfehler im wesentlichen durch und durch das SNR bestimmt ist. Ein zunehmendes SNR bewirkt, da der Ein u des Anfangssch tzfehlers abnimmt. Dieser Zusammenhang wird durch die simulativ ermittelten als Punkte eingezeichneten Werte best tigt. Die Simulationsergebnisse deuten sogar auf einen schneller verschwindenden Ein u des Anfangssch tzfehlers hin als im Falle der berechneten Werte. Der Grund fr
58
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung
die geringfgige Abweichung von den theoretischen Werten ist in der Gauschen N herung der Zufallsvariablen S (i ) zu suchen. Abb. 3.12 zeigt die MTLL fr ausgew hlte SNRs fr = 2TC , R = 5 und G1 = 1 in Abh ngigkeit vom Anfangszustand. Die MTLL ist in Abb. 3.12 stets auf den Wert der MTLL fr den Anfangszustand s0 normiert. Der schwindende Ein u des Anfangszustandes mit zunehmendem SNR wird hierbei nochmals besonders deutlich.
MTLLj0=MTLLj0 = 0
1
0,9 0,8
-2,5 dB 0,5 dB 3,5 dB
0,7
6,5 dB
0,6
;5 ;4 ;3 ;2 ;1
0
1
2
3
4
5
0 =TS Abb. 3.12 Normierte MTLL in Abh ngigkeit vom Anfangsfehler
3.4 Anforderungen an die Akquisition Von den Kanalein ssen Mehrwegeausbreitung, Zeit- und Frequenzverschiebung mssen die letzten beiden bekannt sein, damit sich das Signal tracken l t. Die Mehrwegeausbreitung ver ndert zwar das Fehlersignal, sie mu im Gegensatz zu den anderen beiden Parametern jedoch nicht bekannt sein, um das Signal tracken zu knnen. Die Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung ist daher als erfolgreich zu werten, wenn j ^ ; j 2 ;max + max + ]
(3.47)
3.5 Zusammenfassung j ^ ; j 2 ;#max #max]
59 (3.48)
gilt. Die Werte max und #max h ngen von dem verwendeten Trackingverfahren ab. Fr die Sch tzung der Zeitverschiebung ist die Lage des Intervalls der zul ssigen Sch tzwerte durch die Ausbreitungssituation in Form des Parameters bestimmt. Die Verschiebung ist wiederum vom verwendeten Trackingverfahren abh ngig. Das SNR und das Trackingverfahren bestimmen ferner, wie sich ein Sch tzfehler der Akquisition auf die MTLL auswirkt. Fr zunehmendes SNR ist davon auszugehen, da der Ein u der Anfangssch tzung auf die MTLL zu vernachl ssigen ist.
3.5 Zusammenfassung Das Grundprinzip der Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung wird erl utert und fr den in praktischen Anwendungen bedeutsamen Fall des nicht-koh renten Trackens der Zeitverschiebung mittels des delaylock loops beispielhaft untersucht. Die Auswirkungen einer frequenzselektiven Mehrwegeausbreitung auf das Fehlersignal des delay-lock loops werden aufgezeigt und der Ein u des Kanalrauschens wird berechnet. Es wird ein in digitalen Systemen einfach zu implementierender Trackingalgorithmus eingefhrt und sowohl theoretisch als auch simulativ untersucht. Aus den Ergebnissen zur Feinsynchronisation eines DSSS-Signals folgt, da die Genauigkeit der Anfangssynchronisation mit zunehmendem Signalzu-Rauschverh ltnis einen vergleichsweise geringen Ein u auf die nachfolgende Feinsynchronisation hat. Die fr die Akquisition wesentlichen Parameter sind die Zeit- und Frequenzverschiebung. Die Intervalle, in denen sich die Sch tzwerte dieser Parameter im Falle einer erfolgreichen Akquisition bewegen drfen, h ngen wesentlich von dem verwendeten Trackingalgorithmus sowie einer mglichen frequenzselektiven Mehrwegeausbreitung ab.
60
3 Feinsynchronisation von Zeit- und Frequenzverschiebung
4 Schtzung von Zeitund Frequenzverschiebung Erst wenn ein Empf nger in einem direct sequence spread-spectrum System die Zeit- und Frequenzunsch rfe des Empfangssignals soweit eingegrenzt hat, da sich das Empfangssignal tracken l t, kann eine Demodulation der Information erfolgen. W hrend der Akquisition hat daher eine im Sinne der im Empf nger verwendeten Feinsynchronisationsverfahren optimale Sch tzung der Zeit- und Frequenzverschiebung zu erfolgen. Die Kenntnis der Parameter einer Mehrwegeausbreitung ist hierbei von untergeordneter Bedeutung, da die fehlende Kenntnis allenfalls das Tracken beein ut (siehe 3.2.2), aber nicht verhindert. Inhalt dieses Kapitels ist der Entwurf von Sch tzern fr die Zeit- und Frequenzverschiebung. Der Schwerpunkt der Ausfhrungen liegt auf der Betrachtung von Maximum-Likelihood-Verfahren. In der Literatur ist die Maximum-Likelihood-Methode im Zusammenhang mit der Akquisition von DSSSSignalen nur in sehr geringem Umfang untersucht. In 86] ndet die Maximum-Likelihood-Sch tzung der Zeitverschiebung Erw hnung, wird jedoch nicht weiter ausgefhrt. 80, S.755] apostrophiert diesen Ansatz mit brute force und geht nicht weiter darauf ein. In 40], 9] hingegen wird die Verwendung der Maximum-Likelihood-Methode fr den Fall der nicht-frequenzselektiven Mehrwegeausbreitung in Zusammenhang mit der Implementierung eines GPS-Empf ngers untersucht. W hrend in 40] der Fall der Datenmodulation nicht betrachtet wird, erfolgt in 9] die Bercksichtigung der Datenmodulation fr die reine Zeitverschiebungssch tzung. Diese berlegungen werden in diesem Kapitel insbesondere fr den frequenzselektiven Mehrwegekanal erweitert. An die Betrachtungen zur Maximum-Likelihood-Sch tzung schlieen sich berlegungen zum voneinander unabh ngigen Sch tzen von Zeit- und Frequenzverschiebung an.
4.1 Maximum-Likelihood-Schtzung Mit den in 3.4 zusammengefaten Anforderungen an die Anfangssynchronisation eines DSSS-Systems ist es mglich, einen bezglich des Trackings
62
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
optimalen Ansatz zur Akquisition zu formulieren. Da diese berlegungen prinzipieller Natur sind, wird der einfache Fall des nicht mit Daten modulierten Sendesignals im AWGN-Kanal als Ausgangspunkt der Betrachtungen gew hlt. Das Sch tzproblem reduziert sich so auf die Zeit- und die Frequenzverschiebung. Ein optimaler Sch tzer fr und in Abh ngigkeit von r ergibt sich mittels des Bayessch tzers. Bezeichnet ^(r) = (^ (r) ^(r))T
(4.1)
den Sch tzer, so ist fr seine Bestimmung zun chst die Denition einer geeigneten Kostenfunktion erforderlich. Diese Kostenfunktion h ngt von den Sch tzfehlern und # ab, so da
C ^(r) ; ( )T = C ( #)T
(4.2)
gilt. Die Art der Kostenfunktion folgt aus der Sch tzaufgabe und somit aus den in 3.4 zusammengefaten Ergebnissen. Eine Sch tzung ist unabh ngig vom Sch tzfehler als geeignet zu bewerten, wenn sie innerhalb des Regelbereichs der Feinsynchronisation liegt. Sch tzwerte auerhalb des Regelbereichs sind generell ungeeignet. Als Kostenfunktion resultiert somit die der konstanten Gewichtung groer Fehler 8]
8 0 fur j ^(r) ; j ^ j ^(r) ; < max C ( #)T = : 1 sonst:
j #max
(4.3)
Abb. 4.1 zeigt (4.3). Der Bayessch tzer ist der Sch tzer, der den Erwartungswert der Kostenfunktion, das Risiko R
n
o
R = E C ^(R) ; = (T V )T
(4.4)
minimiert 57, S.303]. Hierbei werden und als stochastische Parameter aufgefat, die durch die Zufallsvariablen T und V charakterisiert sind. Fr das Risiko R l t sich mit = ( )T und mit (4.4) schreiben
R=
Z Z
IRK IR
C ^(r) ; fR (r ) d dr: 2
(4.5)
;
C ( #)T
4.1 Maximum-Likelihood-Schtzung
63
1 0 ;#max
#
0
;max
#max
0
max
Abb. 4.1 Zweidimensionale Kostenfunktion Mit (4.3), dem Zusammenhang 73]
fR (r ) = fRj (rj )f ( )
(4.6)
und der Annahme, da T und V einer Gleichverteilung folgen, sofern keine n here Information ber die stochastischen Eigenschaften von T und V vorliegen (siehe auch 2.2), folgt wegen
8 1 1 2 0 NT ) ^ < NTC 2max C f ( )=: 0 sonst
2 ; max max]
(4.7)
fr (4.5)
Z Z ^(r)+#max 1 1 R = 1 ; NT 2 C max IRK ^(r);#max Z ^(r)+ max
^(r); max
fRjTV (rj ) d d dr :
(4.8)
Die Integrationsgrenzen der inneren beiden Integrale in (4.8) ergeben sich gem der Kostenfunktion aus j ^(r) ; j = max und j^(r) ; j = #max.
64
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
(4.8) l t sich nun mittels
R
Z 1 1 2max2#max 1 ; NT 2 C max IRK max
20NTC ) 2;maxmax]
fRjTV (rj ) dr
(4.9)
nach unten absch tzen. Die rechte Seite von (4.9) kann, obwohl R aufgrund der gew hlten Kostenfunktion stets positiv ist, Werte kleiner Null annehmen. Auerdem l t sich die Konvergenz des Integrales nicht in jedem Fall gew hrleisten. Aus (4.9) lassen sich jedoch wesentliche Schlsse ziehen. Wenn es einen Sch tzer gibt, fr den in (4.9) die Gleichheit gilt, dann sind diese Sch tzwerte durch den Maximum-Likelihood-Sch tzer (ML-Sch tzer) (^ (r) ^(r)) = arg
max
20NTC ) 2;maxmax]
fRjTV (rj )
(4.10)
gegeben. Die Gleichheit tritt ein, wenn fRjTV (rj ) fr beliebiges r im Bereich des Maximums in -Richtung ber einem Intervall der L nge 2max und in -Richtung ber einem Intervall der L nge 2#max konstant ist. Hieraus l t sich ableiten, da je acher der Verlauf von fRjTV (rj ) im Bereich des globalen Maximums ist oder je kleiner max oder #max werden, desto besser n hert der Maximum-Likelihood-Sch tzer den optimalen Sch tzwert an. Vergleichende Simulationen zur Akquisition von DSSS-Signalen haben best tigt, da ein mittels (4.8) approximierter optimaler Sch tzer keinen Gewinn gegenber einem Maximum-Likelihood-Sch tzer ergibt. Alle weiteren Untersuchungen bauen daher auf dem Maximum-Likelihood-Sch tzer aus (4.10) auf. Neben den Parametern und sind im allgemeinen Fall der Ein u des Kanals und einer Datenmodulation zu bercksichtigen. Die Aufgabe besteht dann darin, fRjD (rjd ) in Abh ngigkeit dieser Parameter fr ein gegebenes r zu maximieren. Aus der Parameterkombination, fr die das Maximum resultiert, folgen die Sch tzwerte ^(r) und ^(r). Eine Mglichkeit, die Maximierung durchzufhren, besteht darin, fRjD (rjd ) partiell nach abzuleiten und die Ableitung gleich Null zu setzen. Ein explizites Au sen der Ableitung nach oder ist fr die zu lsende Sch tzaufgabe nicht
4.1 Maximum-Likelihood-Schtzung
65
mglich, so da dieser Ansatz nicht sinnvoll ist. In jedem Fall ist eine Suche des Maximums durch eine n herungsweise Berechnung des Funktionsverlaufs von fRjD (rjd ) in Abh ngigkeit von d und fr gegebenes r mglich, was zun chst sehr aufwendig ist. Handelt es sich bei fRjD (rjd ) um eine unimodale Funktion, lassen sich rekursive Suchverfahren zur Bestimmung des globalen Maximums verwenden. Verfahren zur Maximumsuche von Funktionen, die von mehreren Variablen abh ngen, nden sich in 5], 72]. Im Zusammenhang mit der Maximum-Likelihood-Sch tzung gibt es darberhinaus speziell entwickelte Algorithmen wie expectation-maximization (EM) 22] oder space-alternating generalized expectation-maximization (SAGE) 24], 29]. Ist die Unimodalit t nicht gegeben, besteht bei einem rekursiven Ansatz stets die Mglichkeit nur ein lokales und nicht das globale Maximum zu nden. Die Frage nach der Unimodalit t von fRjD (rjd ) soll exemplarisch fr den AWGN-Kanal mit '0 = 0 untersucht werden. Die bedingte Dichte fRjD (rjd ) ergibt sich mit h0 = 1 und (2.69) fr ein nicht mit Daten moduliertes Signal zu
fRj (rj ) =
1 e; kr ; E( )x( )k2 =N0 (N0)K
1 e; = (N0)K
r2
(4.11)
r E( )x( )ig + kx( )k2 =N0 :
k k ; 2Refh j
Mit der Annahme kx( )k2 = konst 8 2 0 NTC ) ist (4.11) bezglich der Parameter und fr gegebenes r = E( 0 )x( 0) + z proportional zu
fRj (rj )
e2RefhrjE( )x( )ig
(4.12)
( 0)jE( )x( )ig e2RefhzjE( )x( )ig : = e|2RefhE( 0 )x{z }| {z } Signalkomponente
St orkomponente
Fr z = (0 ::: 0)T folgt aus (4.12), da der Term 2RefhE( 0)x( 0)jE( )x( )ig die Anzahl der Maxima von fRj (rj ) bestimmt. Ohne Beschr nkung der Allgemeinheit gengt es, den Ausdruck 2Refhx(0)jE( )x( )ig
66
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
zu betrachten. In 5.1 erfolgt die Auswertung dieses Ausdrucks in Form der Ambiguity-Funktion A( ). Anhand von (5.17) sowie Abb. 5.4 und Abb. 5.5 ist leicht einzusehen, da mit (4.12), solange die Strkomponente nicht zuf llig die Nebenmaxima der Signalkomponente kompensiert, fRj (rj ) mehrere Maxima aufweist. Rekursive Verfahren zur Maximierung der bedingten Dichte fRj (rj ) sind daher fr die Anfangssynchronisation von DSSS-Signalen ungeeignet, da die Unimodalit t in der Regel nicht gegeben ist. Die nachfolgenden Ausfhrungen bauen aus diesem Grund darauf auf, den Funktionsverlauf von fRjD (rjd ) zumindest n herungsweise zu berechnen und das globale Maximum anschlieend zu bestimmen. Dieser auf den ersten Blick sehr aufwendige Ansatz l t sich schrittweise soweit vereinfachen, da letztlich fr Anwendungen interessante Strukturen zur Sch tzung von und resultieren. Voraussetzung ist, da die Dimension L des Vektors h bekannt ist. Wie L zu w hlen oder zu bestimmen ist, wird in 5.4.3 erl utert. Um einige grundlegende Aspekte zur Bestimmung der ML-Sch tzwerte von Zeit- und Frequenzverschiebung zu diskutieren, erfolgt als erstes die Betrachtung des nicht-frequenzselektiven Mehrwegekanals und anschlieend der allgemeinere Fall des frequenzselektiven Mehrwegekanals.
4.1.1 Nicht-frequenzselektiver Mehrwegekanal Im Fall der nicht-frequenzselektiven Mehrwegeausbreitung mit h = h0 lautet der Parametervektor = ( h0 )T. Fr den Signalanteil x~(d ) des Empfangssignals folgt aus (2.60) mit (2.65)
x~(d ) = h0 E( )x(d ):
(4.13)
Die Maximierung von fRjD (rjd ) zur Bestimmung der Maximum-Likeli 2 hood-Sch tzwerte l t sich, da exp ; kx k eine in kx k2 streng monoton fallende Funktion ist, auf die Maximierung des Exponenten in (2.69) oder alternativ auf die Minimierung von
r x~(d )k2 = kr ; h0 E( )x(d )k2
k ;
(4.14)
4.1 Maximum-Likelihood-Schtzung
67
beschr nken. Fr nicht bekanntes h0 ist (4.14) mit (B.7) aus Anhang B minimal, wenn h0 durch
h^ 0( d r) = hrjE( )x(d2 )i kx(d )k
(4.15)
gesch tzt wird. Mit der Besselschen Gleichung (B.8) folgt mit (4.15) aus (4.14) 2 r x~(d )k2 = krk2 ; jhrjEkx( (d)x ( d)k 2 )ij :
k ;
(4.16)
Unter der Voraussetzung, da nur nicht zeitbegrenzte Signalmodelle (siehe 2.1) als Sendesignal mit jbn j = 1, n = 0 ::: N ; 1, Verwendung nden, ist der Betrag des Vektors x(d ) 8 2 0 NTC ) konstant. Unter dieser Randbedingung reduziert sich die Sch tzaufgabe auf
^(r) ^(r) d^ (r) = arg
max
20NTC ) 2;maxmax]
r E( )x(d )ij2 :
jh j
(4.17)
2D
d
ist die Menge aller zul ssigen Datenvektoren d und d^ (r) der Sch tzer der bertragenen Daten. Die Maximum-Likelihood-Sch tzung von Zeit- und Frequenzverschiebung ist mit (4.17) nur in Verbindung mit einer Sch tzung der bertragenen Daten mglich. Der Kanalparameter h0 ist ebenfalls zu sch tzen. Da sich der resultierende Sch tzer h^ 0( d r) explizit in Abh ngigkeit von , , d und r angeben l t (siehe (4.15)), tritt er in (4.17) nicht auf. Fr das Innenprodukt aus (4.17) folgt mit (B.1) und (2.61) D
r E( )x(d )i =
h j
KX ;1 k=0
rk x(d kTS ; )e;j2kTS :
(4.18)
Wie bereits ausgefhrt, ist eine geeignete Bestimmung der MaximumLikelihood-Sch tzwerte anhand von (4.17) nur mit Suchverfahren mglich, die nicht rekursiv sind. Als Suchverfahren eignet sich die gleichm ige Suche 5], da Zeit- und Frequenzverschiebung die Annahme einer Gleichverteilung
68
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
zugrunde liegt. Fr die gleichm ige Suche sind und gem
= uTS u = 0 ::: bNTC =TS c ; 1 und
= QTv v = ;vmax ::: vmax mit vmax = b C
(4.19) max QTC c
(4.20)
zu diskretisieren. Der Parameter Q erlaubt das Einstellen der Au sung der Frequenzverschiebung. Die gleichm ige Suche dient zum Aunden der ungef hren Lage des globalen Maximums mit einer Genauigkeit, welche die Diskretisierung in (4.19) und (4.20) vorgibt. Gengt die so durch die gleichm ige Suche erzielbare Genauigkeit, beispielsweise zur exakten Laufzeitbestimmung in Navigationssystemen, nicht, ist eine nachfolgende Verfeinerung mit rekursiven Suchverfahren 5], 72] oder mit dem EM-Algorithmus 22] mglich. Einsetzen von und aus (4.19) und (4.20) in (4.18) ergibt mit der Notation
W = e;j2TS =(TC Q) den Ausdruck
r E(v=(QTC ))x(d uTS )i =
h j
(4.21) KX ;1 k=0
rk x(d (k ; u)TS )W vk :
(4.22)
(4.22) entspricht der Denition der diskreten Fourier-Transformation (DFT) 59, S.154], wenn QTC =TS = K 2 IN erfllt ist. Ist K zudem gleich einer Zweierpotenz, l t sich die schnelle Fourier-Transformation zur ezienten Auswertung von (4.22) verwenden 59, S.166]. Fr ein nicht mit Daten moduliertes Sendesignal zeigt Abb. 4.2 die aus (4.22) resultierende Struktur, mit der sich alle u v-Kombinationen auswerten lassen. Handelt es sich um ein System mit Datenmodulation, so ist die Abh ngigkeit des Sendesignals von den Daten zu bercksichtigen. Fr ideal bandbegrenzte Impulsformung ist, sofern TS < TC gilt, aus theoretischer Sicht der gesamte Vektor d zur Darstellung des Vektors x(d ) notwendig. Da d unendlich viele Elemente hat, scheidet diese Mglichkeit aus. Fr TS = TC sind hingegen nur so viele Datensymbole zur Darstellung ntig, wie innerhalb der Beobachtungsdauer KTS dem Signal aufmoduliert sind. Entspricht die
4.1 Maximum-Likelihood-Schtzung r0
r1
⊗ x (0)
r
69
K ;1
⊗ x (TC )
D F T
hrjE(; 1)x(0)i hrjx(0)i hrjE( 1 )x(0)i
D F T
hrjE(; 1)x( C )i hrjx( C )i hrjE( 1 )x( C )i
⊗ ((K;1)TC)
x
⊗ (;TC )
x
⊗ x (0)
⊗
T
T
T
((K ; 2)TC )
x
⊗ x
(;(N;1)TC )
D F T
⊗
(;(N;2)TC )
x
x
⊗
hrjE(; 1)x(( ;1) C )i hrjx(( ;1) C )i hrjE( 1 )x(( ;1) C )i
N
N
T
T
N
T
(;(N ; K )TC )
Abb. 4.2 Eziente Berechnung der inneren Produkte ( 1 = 1=(QTC )) Beobachtungsdauer genau einer Datensymboldauer, sind dies aufgrund einer mglichen Zeitverschiebung des Beobachtungsintervalls zum Symbolintervall maximal zwei Datensymbole. Vereinfachend knnen nun auch fr TS < TC nur die Datensymbole zur Signaldarstellung herangezogen werden, die fr TC = TS notwendig sind. Bei ideal zeitbegrenzter Impulsformung gilt dieser Zusammenhang ohnehin. Ist die Beobachtungsdauer KTS gleich Tder Datensymboldauer TB , folgt somit fr BPSK-Modulation d = (d0 d1 ) . Die in Abb. 4.2 gezeigte Struktur deckt hierbei fr TS = TC , KTS = TB die Berechnung der Innenprodukte frT T d = (1 1) und durch Negation der Ergebnisse ebenfalls fr d = (;1 ;1) ab. Da fr die Bestimmung der Sch tzwerte nach (4.17) aufgrund der Be-
70
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
tragsquadrate die Bedeutung Tdes Vorzeichens entf llt, ist keine gesonderte Berechnung fr d = (;1 ;1) erforderlich. Die Sch tzung der Datensymbole im Zusammenhang mit der Akquisition erlaubt fr den betrachteten Fall nur eine Aussage darber, ob beide Datensymbole das gleiche Vorzeichen haben oder nicht. Die verbleibende Berechnung der Innenprodukte fr T d = (1 1) ist in Abb. 4.3 gezeigt. r0
r1
⊗ x(0)
r
K ;1
⊗ x(TC )
hrjE(; 1)x(1 1 0)i hrjx(1 1 0)i hrjE( 1 )x(1 1 0)i
D F T
hrjE(; 1)x(1 1 C )i hrjx(1 1 C )i hrjE( 1 )x(1 1 C )i
⊗
⊗ x (;TC )
D F T
⊗ x(0)
((K;1)TC)
x
N
C)
T
T
T
T
hrjE(; 1)ix(1 1 ( ;1) C ) hrjx(1 1 ( ;1) C )i hrjE( 1 )x(1 1 ( ;1) C )i
D F T
⊗ N
⊗ x((K ; 2)TC )
(;( ;2) x
x
⊗
(;( ;1)
C)
T
⊗
(;( ; x
N
)
N
N
T
T
N
T
C)
K T
Abb. 4.3 Innenprodukte fr d = (1 1)T ( 1 = 1=(QTC ), N < K )
4.1 Maximum-Likelihood-Schtzung
71
4.1.2 Frequenzselektiver Mehrwegekanal Fr eine frequenzselektive Mehrwegeausbreitung sind neben h0 die Koezienten der au sbaren Mehrwege h1 ::: hL;1 zu bercksichtigen. Mit h = (h0 ::: hL;1 )T lautet der Parametervektor daher = ( h)T :
(4.23)
Die Bestimmung des Maximum-Likelihood-Sch tzers erfolgt zun chst ohne Bercksichtigung von Datenmodulation, um die Darstellung zu vereinfachen. Der ML-Sch tzer fr den Fall der Datenmodulation, dessen Herleitung in gleicher Weise erfolgt, wird anschlieend angegeben. Fr die Maximierung von fRj (rj ) ist wie in (4.14) der Ausdruck k
e( )k2 = kr ; x~( )k2 = kr ; E( )X( )hk2 = kE( )r ; X( )hk2
(4.24)
zu minimieren. Der letzte Schritt in (4.24) gilt, da es sich bei E( ) um eine unit re Matrix handelt. Neben den zu sch tzenden Parametern und h ngt (4.24) von dem Vektor h ab. Dies bedeutet, da zus tzlich zur Sch tzung von und eine Sch tzung von h erfolgen mu. Aufgrund der Linearit t des Ansatzes bezglich h ergibt sich die Maximum-Likelihood-Sch tzung von h in Abh ngigkeit von und mittels der Methode der kleinsten Quadrate 72], wenn XT( )X( ) eine regul re Matrix ist, zu
h^( r) = ;XT( )X( ) ;1 XT( )E( )r: (4.25) Wird h^( ! r) durch die Methode der kleinsten Quadrate bestimmt, ist die ! ! ! Di erenz !e ^h( r) ! aus (4.24) minimal und es folgt unmittelbar 57]
e ^h( r) ? x~ ^h( r) :
(4.26)
Fr gegebenes und folgt mit (4.25) die Projektion von E( )r in Richtung des Vektors x~ ^h( r) . Abb. 4.4 veranschaulicht diesen Zusammenhang.
72
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
e ^h( r)
E( )r
x~ ^h( r) Abb. 4.4 Projektion von E( )r auf den Signalmodellvektor Mit der verkrzenden Schreibweise der Pseudoinversen 39]
A( ) = ;XT( )X( ) ;1 XT( )
(4.27)
vereinfacht sich (4.24) unter Beachtung von (4.25) mit dem Satz von Pythagoras aus (B.9) zu k
E( )r ; X( )A( )E( )rk2 = krk2 ; kX( )A( )E( )rk2 : (4.28)
Da die rechte Seite in (4.28) nicht negativ werden kann, gengt es
X( )A( )E( )rk2
k
zu maximieren. Somit ergeben sich die Maximum-Likelihood-Sch tzwerte durch (^ (r) ^(r)) = arg
max
20NTC ) 2;maxmax]
k
X( )A( )E( )rk2 :
(4.29)
Soll Datenmodulation bercksichtigt werden, folgt fr den ML-Sch tzer 100]
^(r) ^(r) d^ (r) = arg
max
20NTC ) 2;maxmax] d
2D
X(d )A(d )E( )rk2 : (4.30)
k
4.1 Maximum-Likelihood-Schtzung
73
Solange die Beobachtungsdauer KTS nicht grer ist als die Datensymboldauer abzglich der maximalen Mehrwegelaufzeit (L ; 1)TS , gilt n herungsweise fr den Datenvektor d = (d0 d1 )T. Damit (4.30) einen robusten Sch tzer ergibt, ist auf eine gute Konditionierung der Matrix XT(d )X(d ) zu achten. Je schlechter die Konditionierung, desto grer der Ein u einer Strung auf den Sch tzer h^( d r) 44, S.231 ] und damit auf die Sch tzung der Zeit- und Frequenzverschiebung. Zur Messung der Konditionierung werden in 44] verschiedene Konditionszahlen deniert. Hier sei nur die folgende Konditionszahl
; XT(d )X(d ) = max 1 min
(4.31)
angegeben. max und min sind der grte und der kleinste Eigenwert der Matrix XT(d )X(d ). Die Gleichheit in (4.31) - die gnstigste Konditionierung - ergibt sich, wenn die Zeilen von X(d ) orthonormal zueinander sind. Die Orthonormalit t der Zeilen l t sich nur fr einen idealen Spreizcode nach (3.3) erreichen. Zudem mu TS = TC aufgrund der Impulsformung des Sendesignals erfllt sein. Mit 88, S.193] und der zeitdiskreten Darstellung in 58, S.60 ] folgt, da die Matrix XT(d )X(d ) fr auf B = 1=TC bandbegrenzte Signale maximal B KTS +1 = B STC +1 = S +1 signikante Eigenwerte aufweist. Gilt TS = TC , folgt fr XT(d )X(d ) die Dimension S S . Fr TS = TC =2 folgt die Dimension 2S 2S . Da es maximal nur S + 1 signikante Eigenwerte gibt, geht fr TS = TC =2 der kleinste Eigenwert gegen Null, so da die Konditionszahl nach (4.31) gegen unendlich geht, sofern ein Eigenwert ungleich Null ist. Fr einen Sch tzer nach (4.30), der mglichst robust gegenber einer Strung ist, mu daher TS = TC gelten. Weitere Anmerkungen zum Sch tzerentwurf erfolgen in 5.4.3.
4.1.3 Wichtige Sonderf lle der ML-Sch tzung Der verh ltnism ig komplexe ML-Sch tzer aus (4.30) l t sich fr ein nicht mit Daten moduliertes Signal in zwei F llen geeignet vereinfachen. Die Ergebnisse dieser Vereinfachungen bilden die Grundlage fr die im n chsten Abschnitt diskutierten N herungen des ML-Sch tzers.
74
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
1.Fall: Orthonormale Signalvektoren mit XT ( )X( ) = I Handelt es sich bei dem Sendesignal um ein nicht mit Daten moduliertes Signal und sind die Vektoren x( + lTS ), l = 0 ::: L ; 1 orthonormal, gilt mit der Denition der Matrix X( ) aus (2.62)
XT( )X( ) = I
(4.32)
so da fr (4.29) mit (4.25), (4.27) und dem Satz des Pythagoras folgt k
! !2 X( )A( )E( )rk2 = !!X( )h^( r)!! !!2 !!LX ; 1 = !!! ^hl( r)x( + lTS )!!! l=0 !! !!2 ^ = !h( r)! :
(4.33)
Fr die Maximum-Likelihood-Sch tzwerte l t sich durch Einsetzen von (4.25) und (4.32) in (4.33) schreiben (^ (r) ^(r)) = arg = arg
max
!! !!2 ^ !h( r)!
max
!!XT( )E( )r!!2
20NTC ) 2;maxmax]
20NTC ) 2;maxmax]
!!0 1!!2 h E ( ) r j x ( ) i !!B hE( )rjx( + T )i C!! S !!B !! C = arg max B C . . A!! .
20NTC ) !!@ ! hE ( )rjx( +(L ; 1)TS )i ! 2;maxmax] = arg
max
LX ;1
20NTC ) l=0 2;maxmax]
r E( )x( + lTS )ij2 :
jh j
(4.34)
4.1 Maximum-Likelihood-Schtzung
75
Mit der Diskretisierung von und aus (4.19), (4.20) und der Notation aus (4.21) folgt fr (4.34) LX ;1 l=0
r E(v=(QTC ))x((u + l)TS )ij2
jh j
LX ;1 KX ;1
2 = rk x((k ; u ; l)TS )W vk : l=0 k=0
(4.35)
Die Berechnung der Innenprodukte in (4.35) zur Suche des globalen Maximums l t sich mit der gleichen Struktur, wie in Abb. 4.2 gezeigt, umsetzen. Fr den frequenzselektiven Mehrwegekanal ist jedoch die Berechnung zus tzlicher L ; 1 DFT-Zweige fr die zeitlichen Verschiebungen u = KTS KTS + TS ::: KTS + (L ; 2)TS erforderlich.
2.Fall: Beobachtungsdauer KTS entspricht der Codeperiode NTC Sind die Vektoren x((u + l)TS ), l = 0 ::: L ; 1, nicht orthonormal, l t sich die ML-Sch tzung der Kanalkoezienten aus (4.25) fr K = NTC =TS mit Hilfe der unit ren Matrix
00 BB 1 XD = B BB 0. @ ..
1
0 0 1 0 0 0 C C 1 0 0 C C .. . . . .. .. C . . .A 0 0 1 0
(4.36)
geeignet umformen. Gilt K = NTC =TS , wird mit
X(uTS ) = XuD X(0)
(4.37)
(4.27) zu
A(uTS ) = ;XT(0)XuDT XuD X(0) ;1XT(0)XuDT = A(0)XuDT :
(4.38)
76
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
Fr die Sch tzung von h^(uTS r) aus (4.25) gilt somit
h^(uTS r) = A(0)XuDT E( )r:
(4.39)
Unter Verwendung der Schreibweise
0 BB u T A(uTS ) = A(0)XD = B @
aT0T 1 a1 C uT X C .. C . A D aTL;1
(4.40)
mit
al = (al0 ::: alK ;1 )T
(4.41)
resultiert das Betragsquadrat des Vektors h^(uTS r) zu
!! !!2 ^ !h(uTS r)! = kA(uTS )E( )rk2 = =
LX ;1 l=0
LX ;1 l=0
X a E( )r ij2
jh uD l j
r E( )XuD al ij2 :
(4.42)
jh j
Die Maximierung von (4.42) liefert in Anlehnung an (4.34) den Ansatz (^u(r) ^(r)) = arg
n
max j NT
k
o
LX ;1
u2 0::: TSC ;1 l=0 2;maxmax]
r E( )XuD al ij2
jh j
(4.43)
zur Sch tzung der Zeit- und Frequenzverschiebung des Kanals. Der wesentliche Unterschied zwischen (4.34) und (4.43) besteht in den Vektoren x((u + l)TS ) und XuD al: Die Konsequenz ist, da fr jeden zus tzlich bercksichtigten Mehrweg nicht nur ein weiterer DFT-Zweig in Abb. 4.2 sondern die gesamte Struktur mit anderen Koezienten alk neu zu berechnen ist.
4.2 Nherungen der ML-Schtzung
77
Es !sei angemerkt, !! da die Suche nach dem maximalen Betragsquadrat der ! Norm !h^( r)! anhand von (4.43) nicht mehr einer Maximum-LikelihoodSch tzung fr und entspricht. Aufgrund der fehlenden Orthogonalit t der Vektoren x((u + l)TS ), l = 0 ::: L ; 1, gilt
!! !2 ! !2 !X( )h^( r)!! 6= !!h^( r)!! :
(4.44)
Der direkte Zusammenhang der ML-Sch tzung aus (4.33) und der !! !!zwischen 2 Maximierung von !h^( r)! besteht daher nicht mehr.
4.2 Nherungen der ML-Schtzung Aus 4.1 geht hervor, da die in Abb. 4.2 gezeigte Struktur zur Bestimmung der Maximum-Likelihood-Sch tzwerte sowohl fr den Fall des nichtfrequenzselektiven als auch fr den des frequenzselektiven Mehrwegekanals von zentraler Bedeutung ist. Im folgenden werden N herungen fr die Auswertung der Abb. 4.2 zugrunde liegenden Innenprodukte untersucht, die mit nur einem DFT-Zweig im Vergleich zu den N Zweigen aus Abb. 4.2 auskommen. Die parallele Verarbeitung aller Zeitverschiebungssch tzungen ist hierfr in eine serielle Verarbeitung umzuformen. Es l t sich zeigen, da diese Approximationen des ML-Sch tzers bezglich der Zeitverschiebungssch tzung auf das Prinzip der signalangepaten Filterung fhren. Die Betrachtungen erfolgen fr den Fall des frequenzselektiven Mehrwegekanals (L>1).
4.2.1 Signalangepate Filterung Ausgehend von (4.35) l t sich unter Bercksichtigung von Datenmodulation mit der Denition des Drehoperators W aus (4.21) sowie den Signalmodellen aus (2.8) und (2.10) die N herung LX ;1 l=0
r E(v=(QTC ))x(d (u + l)TS )ij2
jh j
=
;1 LX ;1 KX
l=0 k=0
2 1 X rk W vk dbn=M c bn g((k ; u ; l)TS ; nTC ) n=;1
(4.45)
78
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung LX ;1
2 1 SX ;1 X rk W vk dbn=M c bn g((k ; u ; l)TS ; nTC ) n=0 l=0 k=;1
mit (siehe (2.54))
S = bKTS =TC c
(4.46)
angeben. In 64, S.251] ist eine entsprechende N herung ohne Herleitung fr nicht gespreizte Signale angegeben. Der wesentliche Schritt bei dieser N herung besteht darin, da an Stelle des zeitlich nicht begrenzten Sendesignals das zeitlich begrenzte und anstelle des begrenzten Empfangssignals ein unbegrenztes Signal verwendet wird. Um diese N herung zu verdeutlichen, soll (4.45) an einem Beispiel eines nicht mit Daten modulierten gespreizten Signals mit L = u = 1, = 0, TC = TS und K = N = 5 erl utert werden. Aus (4.45) folgt fr dieses Beispiel mit den Impulsformen aus (2.1) und (2.2) 4 X 1 p r b TC k=0 k k;1 mod 5
5 X 1 p r b : TC k=1 k k;1
(4.47)
Abb. 4.5 verdeutlicht die Zuordnung der Folgenelemente fr die Produktterme in (4.47). Ein Unterschied zwischen linker und rechter Seite besteht in (4.47) hinsichtlich der Terme r0 b;1 und r5 b4 . Mit N = 5 gilt b;1 = b4 . Daraus folgt, da sich r0 und r5 hinsichtlich ihres additiven Rauschanteils unterscheiden. Fr station re Ausbreitungsverh ltnisse ergibt sich daher aus stochastischer Sicht kein Unterschied zwischen den beiden Produkttermen r0 b;1 und r5 b4 . Der Aspekt der signalangepaten Filterung wird durch die folgenden Umformungen von (4.45) unter Verwendung der Signalmodelle aus (2.8) und (2.10) deutlich1 LX ;1 l=0
r E(v=(QTC ))x(d (u + l)TS )ij2
R1 Zur Notation der Faltung: ;1 () ( + ) (; ) ( ) 1
x
x
(4.48)
jh j
y
t y t
dt
t==;t0
R1
;1 (; 0 ) ( ; 0 ) 0 = x
t
y
t
dt
4.2 Nherungen der ML-Schtzung
r0
r1
r2
r3
r4
. . . b;2 b;1 b0
b1
b2
b3
b4
b5
...
r6
:::
79
: : : r;1 r0
;1
0
r1
r2
r3
r4
r5
b0
b1
b2
b3
b4
1
2
3
4
5
6
-k
Abb. 4.5 Beispiel fr (4.47) mit K = 5 und u = 1 LX ;1
2 1 X ;j2vkTS =(QTC ) xS((k ; u ; l)TS ) r ( kT ) e TP S l=0 k=;1 2 LX ;1 X 1 = rTP ((k + u + l)TS )e;j2v(k+u+l)TS =(QTC ) xS(kTS ) l=0 k=;1 2 LX ;1 X 1 = rTP ((k + u + l)TS ) xS(kTS )e;j2vkTS =(QTC ) l=0 k=;1 2 LX ;1 1
j 2 v ( u + l ) T = ( QT ) S C = T rTP ((u + l)TS ) xS(;(u + l)TS )e S l=0 Aufgrund der Tatsache, da die Signale rTP (t) und xS(t) als bandbegrenzt bezglich BTP = 1=TS anzusehen sind (siehe 2.3.1), ist der bergang in der letzten Zeile von (4.48) zur Darstellung mittels der kontinuierlichen Faltung mglich (vgl. 91, S.151 ] oder 64, S.239f]). Aus (4.48) folgt, da sich die n herungsweise Berechnung der Innenprodukte fr gegebenes aus einer an das Sendesignal angepaten Filterung mit anschlieender Betragsquadratbildung und Summation ber L aufeinanderfolgende Werte am Filterausgang ergibt. Abb. 4.6 zeigt die Struktur, die fr jede zu untersuchende Frequenzverschiebung eine signalangepate Filterung
80
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
zur n herungsweisen Berechnung der Innenprodukte realisiert. Anschaulich betrachtet wird bei der angepaten Filterung eine Signalform des Sendesignals festgehalten und das Empfangssignal variiert. Bei der n herungsfreien Maximum-Likelihood-Sch tzung hingegen wird der Empfangsvektor festgehalten und mit allen zul ssigen Sendesignalformen verglichen. Ein deutlicher Vorteil der angepaten Filterung entsteht im Hinblick auf Signale, die mit Daten moduliert sind. Wird die Kopie des Sendesignals genau so gew hlt, da sie einer Datensymboldauer entspricht, ist n herungsweise nur ein Datensymbol zur Darstellung des Sendesignals erforderlich. Fr BPSKModulation resultiert dann beispielsweise mit und ohne Datenmodulation der gleiche Ansatz zur Sch tzung von Zeit- und Frequenzverschiebung. TP ((u + l + K ; 1)TS ) TS TS
r
TP ((u + l)TS )
r
hrjE(; 1)x(( v
x ((K ; 1)TS )
hrjx((
u
u
+ l)TS )i
hrjE( 1)x((
((K ; 2)TS )
v
x
+ l)TS )i
u
+ l)TS )i
(0)
x
Abb. 4.6 Signalangepates Filter (v1 = 1=(QTC )) Im Vergleich zum ML-Sch tzer nach (4.30), der im gnstigsten Fall in einem Taktintervall TS K Abtastwerte auf alle Zeit- und Frequenzverschiebungen untersucht, ergibt die N herung der signalangepaten Filterung fr jeden Abtastwert eine Auswertung ber alle Frequenzverschiebungen und einen Wert der Zeitverschiebung. Ein wesentlicher Unterschied hinsichtlich der Akquisitionsgeschwindigkeit entsteht, wenn KTS NTC gilt, das heit, die Beobachtungsdauer sehr viel kleiner als die Codeperiode ist. In diesem Fall bentigt das signalangepate Filter das Zeitintervall NTC ; KTS zus tzlich zur Auswertung aller Zeitverschiebungen. Ist der hieraus entstehende Zeitverlust zu gro, besteht die Mglichkeit mehrere auf verschiedene Codephasen angepate Filter parallel zu betreiben. Dieser Ansatz wird in 82], 83] und 104] diskutiert. Weitere Untersuchungen zur signalangepaten Filterung nden sich in 41], 70], 98].
4.2 Nherungen der ML-Schtzung
81
Fr den zweiten Sonderfall der ML-Sch tzung aus (4.43) l t sich in der gleichen Art und Weise eine N herung mit k
A(uTS )E( )rk2 2 LX ;1 KX ;1 r((k + u + l) TS )alk e;j2vkTS =(QTC ) l=0 k=0
(4.49)
angeben. Der wesentliche Unterschied zu (4.45) besteht darin, da L Filter mit den Koezientens tzen al anstatt eines angepaten Filters mit nachfolgender Summation ber L Werte zur Implementierung erforderlich sind.
4.2.2 Signalangepate Filterung f r Fr
max 1=TC
1=T
max
C
l t sich durch die N herung
g(uTS )W ;vu = g(uTS )ej2vuTS =(QTC ) g(uTS )
(4.50)
der Ansatz der angepaten Filterung weiter vereinfachen. Mit (4.50) folgt
xS(uTS )W ;vu = (bS(uTS ) g(uTS )) W ;vu
= bS(uTS )W ;vu g(uTS )W ;vu
bS(uTS )W ;vu g(uTS )
(4.51)
so da sich fr die letzte Zeile in (4.48) schreiben l t LX ;1
2 1 rTP ((u + l)TS ) xS(;(u + l)TS )W ;v(u+l) l=0 TS
;1 max 1=TC LX
l=0
T1S rTP ((u + l)TS ) g(;(u + l)TS ) 2
b(;(u + l)TS )W ;v(u+l) :
(4.52)
82
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung jG(f )j jX (f )j
;BTP =2
0 0
BTP =2
f
Abb. 4.7 Auswirkung einer Frequenzverschiebung
0
Das Empfangssignal ist mit (4.52) zun chst einer an die Impulsformung angepaten Filterung zu unterziehen. Diese erste Filterung wird jedoch nur fr die Frequenzverschiebung = 0 ausgewertet. Daher ist ein solcher Ansatz nur fr geringe Frequenzverschiebungen sinnvoll, da sonst zuviel Signalenergie verloren geht. Abb. 4.7 zeigt diesen Zusammenhang im Frequenzbereich anhand der frequenzverschobenen spektralen Leistungsdichte des gesendeten Signals X (f ) im Vergleich zum Frequenzgang des auf die Impulsform angepaten Filters G(f ). Nach der Filterung mit g(;t) erfolgt eine an die Codefolge angepate Filterung, die fr unterschiedliche Frequenzverschiebungen ausgewertet wird. Der untere Zweig in Abb. 4.8 veranschaulicht diese zweifache Filterung im Vergleich zu dem Ansatz aus (4.48).
xS(;uTS )W ;vu
r E(v=(QTC ))x(uTS )i
rTP (uTS )
TS h j
g(;uTS )
bS(;uTS )W ;vu
Abb. 4.8 Vergleich von (4.48) und (4.52) Der Vorteil der N herung aus (4.52) fr max 1=TC besteht in der Komplexit t der notwendigen Multiplikationen. Die erste Filterung kann ge-
4.3 Schtzung der Zeitverschiebung
83
gebenenfalls analog erfolgen. Da die zweite auf die Codefolge angepat ist und im allgemeinen bin re Spreizcodes Verwendung nden, sind nur Multiplikationen mit 1 zu berechnen. Ferner reduziert sich die Anzahl der Multiplikationen einer auf bn , n = 0 ::: N ; 1, angepaten Filterung im Vergleich zu einer auf xS(t) angepaten um den Faktor TC =TS - ohne den Aufwand der vorausgehenden auf die Impulsform angepaten Filterung zu bercksichtigen. Der Energieverlust, der durch die N herung aus (4.50) entsteht, w chst linear mit max. Fr max=B = max TC = 01 folgt beispielsweise bei bandbegrenzter Impulsformung am Ausgang des an die Impulsform angepaten Filters ein maximaler Signalenergieverlust von 10 Prozent fr 0 = max.
4.3 Schtzung der Zeitverschiebung Ziel dieses Abschnitts ist es, Mglichkeiten zum separaten Sch tzen von Zeitund Frequenzverschiebung zu untersuchen. Dies kann, je nach Verfahren, zu einem deutlich geringeren Aufwand der Sch tzung bei gleichzeitig l ngerer Akquisitionszeit fhren. Der einfachste Zeitverschiebungssch tzer ergibt sich, wenn in Abb. 4.6 der DFT-Block durch eine Summation ersetzt wird. Dieses Vorgehen ist quivalent zu einer Auswertung von (4.48) fr = 0. Nachteilig hierbei ist, da die Gte der Zeitverschiebungssch tzung mit zunehmender Frequenzverschiebung des Kanals 0 abnimmt 32], 98]. Das Maximum am Ausgang des angepaten Filters, das die korrekte Sch tzung bezeichnet, ergibt sich fr = uTS = 0. Gilt ferner jbn j = 1, n 2 Z, und z(t) = 0 8t 2 IR, folgt aus (4.48) fr dieses Maximum im Fall des nicht-frequenzselektiven Mehrwegekanals 1 r(uT ) x (;uT ) = 1 r(0) g(0) b (0) (4.53) S S S S u=0 TS TS =
;1 1 SX j 20 nTC h e 0 TS n=0
=
h0 ej0 (S;1)TC sin ( 0STC ) TS sin ( 0TC )
0 1=TC
h0 ej0 (S;1)TC sin ( 0STC ) : TS 0TC
84
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
Mit (4.53) nimmt der Maximalwert, der die korrekte Sch tzung bezeichnet, fr wachsendes 0 ab. Somit erhht sich der Ein u der Strung, da diese von 0 unabh ngig ist. Wie die Summationsl nge S fr ein gegebenes 0 geeignet zu w hlen ist, ergibt sich aus folgender berlegung 98]. Fr z(t) 6= 0 ist am Ausgang des angepaten Filters fr u = 0 neben der Signalkomponente aus (4.53) gem (2.51) eine additive Rauschkomponente mit der Varianz SN0 =TS2 zu bercksichtigen. Somit lautet das Signal zu Rauschverh ltnis SNR =
jh0
2 j
sin ( 0STC ) 2 0TC : SN0
Gesucht ist der Wert fr S , der (4.54) fr gegebenes es ist die Gleichung
(4.54) 0 maximiert. Das heit,
@ SNR = 0 @S zu lsen. Einsetzen von (4.54) in (4.55) fhrt auf @ sin2 ( 0STC ) = 0: @S S Die Auswertung von (4.56) ergibt die Gleichung
2 0TC S = tan 2 02TC S
(4.55)
(4.56)
(4.57)
deren numerisch bestimmte Lsung 64, S.372] 2 0TC S 233 ist. Fr gegebenes
0 = max
" 233 # Smax = 2
maxTC
(4.58) sollte somit S den Wert (4.59)
nicht berschreiten. Ist der durch Smax erzielbare Korrelationsgewinn nicht gro genug, ergibt
4.3 Schtzung der Zeitverschiebung
85
sich eine geeignete Methode zur Sch tzung der Zeitverschiebung durch die Summation der Betragsquadrate mehrerer Summationen der L nge Smax. Abb. 4.9 zeigt eine entsprechende Anordnung basierend auf der angepaten Filterung fr eine Summation ber die Betragsquadrate von vier Summationsperioden der L nge Smax. Die Filter xi(kTS ), i = 1 ::: 4, sind jeweils auf aufeinanderfolgende Abschnitte der L nge SmaxTC des gesendeten Signals angepat.
rTP (kTS )
2
x1(kTS )
jj
x2(kTS )
j j2
x3(kTS )
j j2
x4(kTS )
jj
⊕
y(kTS )
2
Abb. 4.9 Summation ber die Betr ge von vier Summationsperioden Eine weitere in 10] beschriebene Methode besteht darin, die Dopplerverschiebung im Empfangssignal mittels einer di erentiellen Vorverarbeitung zu beseitigen. Abb. 4.10 zeigt den Ansatz aus 10] in auf komplexwertige Signale erweiterter Form. Nach der Abtastung wird das Empfangssignal zun chst einer auf die Impulsformung angepaten Filterung oder einer der maximal zul ssigen Frequenzverschiebung angepaten Tiefpalterung unterzogen. Die anschlieende multiplikative berlagerung des Filterausgangssignals mit einer um TC verzgerten und konjugiert komplexen Kopie dieses Signals kompensiert eine konstante Frequenzverschiebung. Im rauschfreien Fall gilt mit TS = TC beispielsweise fr kleines 0 und bandbegrenzte Impulsformung
rTP (nTC ) g(nTC ) bn ej20 nTC
(4.60)
so da
bn ej20 nTC bn;1 e;j20 (n;1)TC = bn bn;1 ej20 TC
(4.61)
folgt. Das Signal aus (4.61) weist nurmehr eine von n unabh ngige Phasen-
86
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
drehung auf. Im Anschlu an die di erentielle Verarbeitung des Empfangssignals erfolgt eine an die Codefolge
an = bn bn;1 n = 0 ::: N ; 1
(4.62)
angepate Filterung (MF) mit nachfolgender Betragsquadratbildung zur Beseitigung des Phasenein usses. Maximalfolgen als Spreizcodes sind fr solch ein Akquisitionsverfahren von besonderem Interesse, da aufgrund der shift and add Eigenschaft 62, S.44] durch die di erentielle Vorverarbeitung die gleiche, allerdings phasenverschobene, Maximalfolge entsteht.
kTS
rTP (t)
(
⊗
S)
g kT
TC
MF
y(kTS )
( )
Abb. 4.10 Di erentielle Akquisition der Zeitverschiebung
4.4 Schtzung der Frequenzverschiebung Die Verfahren zur Sch tzung der Frequenzverschiebung, die ohne ein Vorwissen ber die Zeitverschiebung auskommen, beruhen auf dem Ansatz, da das gespreizte, mit Daten modulierte Signal nur eine endliche Anzahl M an Phasenzust nden aufweist. Streng genommen ist diese Voraussetzung nur fr ideal zeitbegrenzte Impulsformung erfllt. Zur Vereinfachung der weiteren Betrachtungen wird die Bandbreite des Empfangslters als so gro angenommen, da die Signalkomponente des Empfangsprozesses R(t) ungestrt passieren kann. Somit folgt fr den nichtfrequenzselektiven Mehrwegekanal
RTP (t) = h0 X (D t)ej20 t gTP (t) + Z (t) gTP (t)
wobei h0 und
h0 X (D t)ej20 t + ZTP (t) 0
(4.63)
als nicht zuf llige Parameter zu betrachten sind. Fr den
4.4 Schtzung der Frequenzverschiebung Mittelwert von RTP (t) gilt
EfRTP (t)g = E h0 X (D t)ej20 t + ZTP (t) = 0:
87 (4.64)
Fr die M -te Potenz, M sei die Anzahl der Phasenzust nde des ungestrten Sendesignals, von RTP (t) folgt mit m (t)g = 0 m = 1 ::: M EfZTP
(4.65)
wenn Strung und Signal unkorreliert sind,
n; Mo M j 2 t 0 E RTP (t) = E h0 X (D t)e + ZTP (t) = hM E X M (D t) ej2M0 t: 0
(4.66)
Es sei angemerkt, da eine stochastische Modellierung des Parameters h0 auf den Mittelwert Null fhren kann 31]. Der Mittelwert Null folgt, wenn H0 als mittelwertfreie und zur Signal- und Rauschkomponente unkorrelierte Zufallsvariable angenommen wird. Fr ein rauschfreies Empfangssignal (Z (t) = 0) folgt die Autokorrelationsfunktion des mit M potenzierten Empfangsprozesses zu
'RMTP RMTP (t1 t2) = jh0 j2M E
X M (D t )X M (D t ) ej2M0 (t1;t2) : 1
2
(4.67)
Von der vereinfachenden Annahme ausgehend, da X M (D t) schwach station r ist, so da
E X M (D t) = konst 6= 0 8t 2 IR und
E X M (D t1)X M (D t2) = 'X M X M ( )
(4.68) (4.69)
gilt, lassen sich aus
(t) = M arg h + 2M t arg E RM 0 0 TP
(4.70)
88
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
und arg 'RMTP RMTP ( ) = 2M 0
(4.71)
Frequenzverschiebungssch tzer konstruieren. Die Phasen- und Frequenzsch tzung sind somit in erster Linie Sch tzungen der Momente eines Zufallsprozesses 31]. Sch tzer basierend auf (4.70) nden sich in 3], 19] und 27]. Ans tze, die auf (4.71) beruhen, werden beispielsweise in 28], 54, S.419 ] und 85] diskutiert.
4.4.1 Sch tzung der Phase Das Prinzip der Phasensch tzung ist in Abb. 4.11 dargestellt 19], 95]. An das Bilden der M -ten Potenz des Empfangsprozesses schliet sich ein gleitendes Mittelwertlter (MA) an, das den empirischen Mittelwert bestimmt. Anschlieend erfolgt die Berechnung des Argumentes und eine Division durch M . Als Ergebnis resultiert eine Sch tzung fr die durch h0 und 0 bewirkte Phasendrehung
'(t) = arg h0 + 2 0t:
(4.72)
( )M
rTP (kTC )
MA
arg ( )
( )
M
'^(kTC )
Abb. 4.11 Prinzip der Phasensch tzung Diese Art der Phasensch tzung weist zwei inh rente Nachteile auf. Der erste besteht in der Division durch M , die eine Mehrdeutigkeit hinsichtlich der Phasendrehung erzeugt 3], 19]. Durch die Mehrdeutigkeit knnen Phasensprnge in der Grenordnung von 2=M auftreten. Dieses Problem l t sich durch Pr ambelsymbole oder mittels eines Pilotsignals beseitigen 27]. Der zweite Nachteil betri t die L nge des gleitenden Mittelwertlters (MA) in Abb. 4.11. Mit den berlegungen in 19] und 64, S.372] folgt, da die Varianz der Phasensch tzung fr gegebenes max und groes SNR minimal wird, wenn fr die L nge des gleitenden Mittelwertlters gilt
"
#
Smax = 2M233 T : max C
(4.73)
4.5 Zusammenfassung
89
Aus (4.73) geht hervor, da die maximale Summationsl nge im Vergleich zu (4.59) zus tzlich durch den Faktor M verkrzt wird. Der durch die Summation erzielte Prozegewinn verringert sich daher deutlich und die Sch tzfehlervarianz nimmt zu. Eine Akquisition der Frequenzverschiebung mittels des in Abb. 4.11 gezeigten Phasensch tzers ist demnach nur fr kleines max sinnvoll.
4.4.2 ML-Sch tzer der Frequenzverschiebung Von den Frequenzverschiebungssch tzern sei an dieser Stelle nur der Maximum-Likelihood-Sch tzer 28]
SX 2 ;1 M (kTC )e;j 2MkTC ^(r) = arg 2;max ] rTP max max k=0
(4.74)
angegeben. Weitere Sch tzer der Frequenzverschiebung, die auf einer Sch tzung der Autokorrelationsfunktion aufbauen, nden sich in 28], 54, S.419 ] und 85].
4.5 Zusammenfassung Als erstes wird der Maximum-Likelihood-Sch tzer fr den Fall des nichtfrequenzselektiven Mehrwegekanals hergeleitet. Die resultierende Struktur zur Bestimmung der Sch tzwerte von Zeit- und Frequenzverschiebung erweist sich als grundlegend fr alle weiteren Sch tzer. In einem zweiten Schritt erfolgt die Erweiterung des Maximum-Likelihood-Sch tzers auf den Fall des frequenzselektiven Mehrwegekanals. In zwei Sonderf llen ist es mglich, den fr den frequenzselektiven Mehrwegekanal resultierenden Sch tzer zu vereinfachen. Es l t sich zeigen, da mittels der signalangepaten Filterung die MLSch tzung der Zeitverschiebung in geeigneter Weise angen hert wird. Aufbauend auf den zwei angegebenen Sonderf llen zur ML-Sch tzung folgen mittels der angepaten Filterung im Hinblick auf eine Implementierung geeignete Ans tze zum Sch tzen von Zeit- und Frequenzverschiebung. Abschlieend werden Methoden fr das voneinander unabh ngige Sch tzen von Zeit- und Frequenzverschiebung diskutiert. W hrend die Ans tze zur alleinigen Sch tzung der Frequenzverschiebung auf einer Vereinfachung des ML-Sch tzers aufbauen, erfordert die alleinige Sch tzung der Frequenz-
90
4 Schtzung von Zeit- und Frequenzverschiebung
verschiebung zun chst die Bearbeitung des Empfangssignals mit einer Nichtlinearit t und hat somit ein anderes Vorgehen zur Folge.
5 Akquisitionsverfahren Der Schwerpunkt der Betrachtungen dieses Kapitels liegt auf der Analyse der Maximum-Likelihood-Anfangssynchronisation. Die Analyse eines solchen Verfahrens ist in der entsprechenden Literatur bislang nicht eingehend erfolgt. Als Kriterien fr die Bewertung des Akquisitionsverhaltens werden die mittlere Akquisitionszeit und die Varianz der Akquisitionszeit verwendet. Basierend auf diesen beiden Gren erfolgt ein Vergleich der MaximumLikelihood-Akquisition mit der konventionellen Schwellwertakquisition. Sowohl der AWGN-Kanal als auch der nicht-frequenzselektive Mehrwegekanal erlauben eine analytische Betrachtung. Bezglich der analytischen Ergebnisse erfolgt stets eine simulative Verikation. Es wird ferner aufgezeigt, wie sich die Akquisition im Falle eines frequenzselektiven Mehrwegekanals mittels der in Kapitel 4 abgeleiteten Verfahren verbessern l t. Des weiteren wird untersucht, inwieweit eine Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung unabh ngig von der jeweils anderen Gre mittels der in 4.3 und 4.4 angegebenen Verfahren durchfhrbar ist. Den genannten Untersuchungen vorangestellt sind Ausfhrungen zur AmbiguityFunktion, die fr alle weiteren Betrachtungen von Bedeutung sind.
5.1 Ambiguity-Funktion Wie in 4.2 gezeigt, ist die angepate Filterung fr die Sch tzung von Zeitund Frequenzverschiebung von groer Bedeutung. Fr einen Kanal, der nur eine Zeit- und Frequenzverschiebung des Empfangssignals verursacht, ergibt sich am Ausgang eines angepaten Filters im Idealfall stets der Wert Null, wenn das Empfangssignal und die Kopie des Sendesignals in Form der Koezienten des Filters nicht bereinstimmen. Bei bereinstimmung folgt ein Wert ungleich Null. Die von 93] eingefhrte Ambiguity-Funktion 89, S.279] beschreibt die Abweichung vom Idealfall in Form des Signalverlaufs am Ausgang des angepaten Filters in Abh ngigkeit von und . Eine Filterbank, die das Empfangssignal fr alle Zeit- und Frequenzverschiebungen untersucht, berechnet daher die Ambiguity-Funktion. Die in Abb. 4.6 gezeigte Struktur stellt eine N herung einer solchen Filterbank dar. Im Falle einer additiven Gauschen Strung durch den bertragungskanal beschreibt die
92
5 Akquisitionsverfahren
Ambiguity-Funktion den Signalanteil am Ausgang einer derartigen Filterbank. Ihren Ursprung hat die Ambiguity-Funktion in der Radartechnik 62]. In der Radartechnik besteht stets das Bestreben, eine mglichst hohe zeitliche Au sung zur Entfernungsmessung und eine mglichst hohe Au sung der Frequenz zur Geschwindigkeitsmessung zu erzielen. Die Ambiguity-Funktion gibt die Unsch rfe, die Ambiguit t, eines Signals in Zeit und Frequenz an und erlaubt daher eine Bewertung, ob eine Signalform fr eine Radaranwendung geeignet ist. DSSS-Systeme weisen, wenn auch mit anderer Zielrichtung, das gleiche Funktionsprinzip wie Pulskompressionsradare auf. Der Begri der Ambiguity-Funktion ist nur mit nicht mit Daten modulierten Signalen verknpft. Fr die Ambiguity-Funktion l t sich mit 62], 98] und den Signalmodellen aus (2.6) und (2.11) schreiben
; A( ) = x( ) xS(; )ej2 :
(5.1)
Durch Umformen von (5.1) folgt mit (2.5) und (2.9)
;
A( ) = g( ) b( ) (g(; ) bS(; )) ej2
; ; = g( ) g(; )ej2 b( ) bS(; )ej2
= Agg( ) AbS b( ):
(5.2)
Wie aus (5.2) zu ersehen ist, l t sich die Ambiguity-Funktion als Faltung zweier Ambiguity-Funktionen Agg( ) und AbS b( ) bezglich der Zeitverschiebung darstellen. Die Funktion Agg( ) beschreibt die Zeit- und Frequenzunsch rfe der Impulsformung und AbS b( ) die des Spreizcodes. Agg( ) l t sich sowohl fr band- als auch zeitbegrenzte Impulsformung analytisch berechnen. Aus der Beziehung
Agg ( ) =
Z1
g(t)g(t + )e;j2t dt
;1 Z1 G(f )G(f + )ej2 (f +) df = ;1
(5.3)
5.1 Ambiguity-Funktion
jAgg (
93
B = 1=TC
)j
1
0,5 0
0,9 0,5 0,5
=B
1
1,5
2
;3
;2
;1
0
1
2
3
=TC
Abb. 5.1 jAgg ( )j fr ideal zeitbegrenzte Impulsformung gem (5.4) folgt fr zeitbegrenzte Impulsformung mit (2.1)
j e Agg ( ) = T sin( (TC ; j j)) rect 2T C C
(5.4)
und fr bandbegrenzte Impulsformung mit (2.2) j
Agg ( ) = e B sin( (B ; j j)) rect 2B :
(5.5)
Abb. 5.1 zeigt den Betrag von Agg ( ) fr zeitbegrenzte und Abb. 5.2 fr bandbegrenzte Impulsformung. Zus tzlich sind jeweils die Projektionen der Hhenlinien fr jAgg ( )j = 05 und jAgg ( )j = 09 eingezeichnet. Da b(t) und bS(t) Impulsk mme sind (siehe (2.5) und (2.9)), ergeben sich fr AbS b( ) nur Werte ungleich Null fr = uTC , u 2 Z. Fr AbS b( )
94
5 Akquisitionsverfahren
jAgg (
B = 1=TC
)j
1
0,5 0
0
0,9 0,5 0,5
=B
1
1,5
2
;3
;2
;1
0
1
2
3
=TC
Abb. 5.2 jAgg ( )j fr ideal bandbegrenzte Impulsformung gem (5.5) gilt 62, S.171]
1 SX ;1 X AbS b( ) = bn bn+u e;j2nTC ( ; uTC ): u=;1 n=0
(5.6)
Da bn , n 2 Z, periodisch mit der Periode N ist, ist (5.6) ebenfalls periodisch in mit der Periode NTC . Es gengt daher, den Verlauf von (5.6) fr u 2 f0 ::: N ; 1g zu betrachten. Hinsichtlich der Akquisition von Zeitund Frequenzverschiebung sind das betragsgrte Nebenmaximum und das globale Maximum des Ausdrucks SX ;1 n=0
bn bn+u e;j2nTC
fr u 2 f0 ::: N ; 1g von Bedeutung. Allgemein auswerten l t sich dieser Term nur fr u = i N i 2 Z, wenn jbn j = konst, n = 0 ::: N ; 1, gilt. Fr
5.1 Ambiguity-Funktion jbn j = 1
SX ;1 n=0
95
folgt analog zu (4.53)
bn bn e;j2nTC
STC e;jTC (S;1) sin sin T
=
C
1=TC
e;jTC (S;1) sin TSTC : C
(5.7)
Fr = 0 ergibt sich das globale Maximum. Fr das betragsgrte Nebenmaximum fr u 2 f1 ::: N ; 1g ist es mglich, eine obere Schranke anzugeben. Die Hhe des betragsgrten Nebenmaximums ist fr die Akquisition wichtig, da mit zunehmender Gre bei einer gestrten bertragung die Wahrscheinlichkeit einer Verwechslung mit dem globalen Maximum zunimmt. Mit der Schreibweise aun = bn bn+u n = 0 ::: S ; 1 folgt SX ;1 n=0
SX ;1 ; j 2 nT C bn bn+u e = aun e;j2nTC : n=0
(5.8)
Die Funktion 'au au(mTC ) sei nun die aperiodische Autokorrelationsfunktion der Folge aun , n = 0 ::: S ; 1,
'au au(mTC ) =
SX ;1 n=0
aun aun+m :
(5.9)
Fr das Betragsquadrat von (5.8) gilt fr u 2 f1 ::: N ; 1g mit (5.9) und 62, S.18, (2.15)]
2 SX SX ; 1 ; 1 aun e;j2nTC = ; j 2mTC ' ( mT ) e m=;(S;1) au au C n=0 SX ;1
m=;(S ;1)
= 2
SX ;1
m=1
j'au au (mTC )j
j'au au (mTC )j + S:
(5.10)
96
5 Akquisitionsverfahren Mit der Denition des Meritfaktors 46] MFu =
2
'au au(0) = PS;1 S P S ; 1 2 2 m=1 j'auau(mTC )j 2 m=1 j'au au(mTC )j2 2
(5.11)
und der Schwarzschen Ungleichung 37, S.108] folgt (5.10) weiter zu 2
SX ;1 m=1
j'au au (mTC )j + S
v u SX ;1 u p t j'au au (mTC )j2 + S 2 S ;1 m=1
0s 1 S ; 1) + 1A = S @ 2(MF u
(5.12)
so da sich fr u 2 f1 ::: N ; 1g schreiben l t
s SX p v u ; 1 u aun e;j2nTC S t1 + 2(S ; 1) : n=0 MFu
(5.13)
Die Normierung von (5.13) auf das globale Maximum AbS b(0 0) = S ergibt
SX ; 1 aun e;j2nTC n=0 AbS b(0 0)
v s u u 1 2(S ; 1) : p t1 + S
MFu
(5.14)
Aus (5.14) folgt nun, da sich das betragsgrte Nebenmaximum mit dem kleinsten Meritfaktor MFmin = u2f1min MFu :::N ;1g
(5.15)
eingrenzen l t. Nachteilig ist, da sich fr jede Zeitverschiebung uTC , u = 1 ::: N ; 1, eine neue Sequenz aun , n = 0 ::: S ; 1, und damit ein neuer Meritfaktor ergibt. Eine geeignete Absch tzung des betragsgrten Nebenmaximums ergibt sich, wenn MFu einen konstanten Wert annimmt. Soweit nicht anders vermerkt, wird fr die weitere Betrachtung von (5.14) davon ausgegangen, da die Summationsl nge S gleich der L nge N der verwende-
5.1 Ambiguity-Funktion
97
ten Spreizfolge ist. Sehr gute Meritfaktoren endlicher bipolarer Folgen liegen bei 10 62, S.117]. Fr l ngere Sequenzen werden jedoch nurmehr kleinere Werte erreicht. Der asymptotisch beste Meritfaktor bipolarer Folgen geht fr N ! 1 gegen 6 46]. Fr beliebige Maximalfolgen betr gt der asymptotische Meritfaktor 3 46]. Dies ist insofern von Bedeutung, da fr eine Maximalfolge mit der shift and add Eigenschaft dieser Folgen 62, S.44] fr aun , n = 0 ::: S ;1, mit S = N die gleiche jedoch verschobene Maximalfolge resultiert. 1
;;;
0,8
rechte Seite von (5.14), MFu = 3
0,6 0,4 0,2 0
50
100
150
200
250
N Abb. 5.3 Rechte Seite von (5.14) fr S = N
Fr greres N ergibt sich mit MFu = 3 eine geeignete Absch tzung fr das betragsgrte Nebenmaximum fr u 2 f1 ::: N ; 1g, wenn Maximalfolgen Verwendung nden. Abb. 5.3 zeigt den Verlauf der rechten Seite von (5.14) fr MFu = 3. Die eingezeichneten Punkte sind die Betr ge der grten Nebenmaxima fr Maximalfolgen verschiedener L nge. Die zugehrigen Generatorpolynome lauten in oktaler Darstellung 7,13,23,45,103,211.1 Aus Abb. 5.3 folgt, da (5.14) die Grenordnung des betragsgrten Nebenmaximums fr kleine und mittlere N und u 2 f1 ::: N ; 1g sehr gut wiedergibt. W hrend bei bipolaren Folgen je nach Folgentyp der Meritfaktor fr wachsendes N gegen einen Grenzwert oder gegen Null geht 46], ist fr komplexwertige Folgen eine Verbesserung des Meritfaktors proportional zu 1 45 entspricht beispielsweise in binrer Darstellung 100 101 und somit dem Generatorpolynom ( ) = 5 + 2 + 1 g x
x
x
98
5 Akquisitionsverfahren
p
N zu beobachten 62, S.132]. Fr N ! 1 wird das Verh ltnis des betragsgrten Nebenmaximums zum Hauptmaximum jedoch nicht Null, da mit (5.7) unabh ngig von der Folge fr u = 0 und STC = 15 mindestens ein Verh ltnis des betragsgrten Nebenmaximums zum Hauptmaximum von 1=(15) = 021 folgt. Entscheidend aus Sicht der Akquisition ist selbstverst ndlich, ob das entsprechend betragsgrte Nebenmaximum im Bereich der Unsicherheitsregion liegt. Zudem ist zu bercksichtigen, da Nebenmaxima, die bei hheren Frequenzverschiebungen liegen, nach (5.2) eine zus tzliche D mpfung durch Agg( ) erfahren. Ob ein Spreizcode hinsichtlich der Akquisition geeignet ist, ist somit durch den Verlauf der Ambiguity-Funktion im Bereich der Unsicherheitsregion bestimmt, fr den 2 ; max max] 2 0 NTC ) gilt. Von Interesse ist in diesem Zusammenhang die Breite der Unsicherheitsregion in Frequenzverschiebungsrichtung, da hinsichtlich der Zeitverschiebung in DSSS-Systemen normalerweise keine Einschr nkung erfolgen kann. Da die Breite in Frequenzverschiebungsrichtung vom System abh ngt, ist keine allgemeine Aussage ber die Eignung bestimmter Codes mglich. Abschlieend sei eine N herung fr die komplette Ambiguity-Funktion angegeben. Fr groes S und einen geeignet gew hlten Spreizcode folgt mit (5.7) und der Annahme, da (5.8) fr u 6= iNTC , i 2 Z, stets n herungsweise Null ist, Abs b( )
1 X STC ( ; iNT ) e;jTC (S;1) sin C sin TC
i=;1
(5.16)
so da fr die gesamte Ambiguity-Funktion gilt
A( )
1 X STC A ( ; iNT ): e;jTC (S;1) sin C sin TC gg
i=;1
(5.17)
Abb. 5.4 und Abb. 5.5 zeigen den Betrag der rechten Seite von (5.17) fr zeitbegrenzte und bandbegrenzte Impulsformung, S = 10, B = 1=TC und S N . Im Gegensatz zu der fr ideal bandbegrenzte Impulsformung resultierenden Ambiguity-Funktion, die in Zeit- und Frequenzverschiebungsrichtung Nebenmaxima aufweist, besitzt die ideale Ambiguity-Funktion der
5.2 Prinzipielle Akquisitionsmethoden
jA(
99
= 10 B = 1=TC S
)j =S
1
0,5 0
0,9 0,1
0,5 0,2
=B
0,3
0,4
0,5
;3
;2
;1
0
1
2
3
=TC
Abb. 5.4 jA( )j fr ideal zeitbegrenzte Impulsformung gem (5.17) zeitbegrenzten Impulsformung nur Nebenmaxima in Richtung der Frequenzverschiebung.
5.2 Prinzipielle Akquisitionsmethoden Wie bereits in 3.4 ausgefhrt, ist die Akquisition als beendet anzusehen, wenn im Augenblick des Umschaltens auf das Tracking die Anfangssch tzung von Zeit- und Frequenzverschiebung im Regelbereich der Trackingregelung liegt. Unabh ngig davon, ob Zeit- und Frequenzverschiebung getrennt oder gemeinsam gesch tzt werden, lassen sich zwei prinzipielle Akquisitionsverfahren unterscheiden. Beide Verfahren beruhen auf einer Auswertung der Unsicherheitsregion in diskreten Schritten. Dies liegt, wie in 4.1.1 beschrieben, daran, da sich kein expliziter Sch tzer fr und angeben l t. Durch die Diskretisierung der Unsicherheitsregion wandelt sich die Sch tzung in eine Detektion. Aus diesem Grund ist in Verbindung mit der Anfangssynchronisation von Detektionsverfahren und nicht von Sch tzverfahren die Rede. Der bergang zwischen Detektion und Sch tzung ist jedoch ieend, da durch
100
5 Akquisitionsverfahren
jA(
= 10 B = 1=TC S
)j =S
1
0,5 0
0
0,9 0,1
0,5 0,2
=B
0,3
0,4
0,5
;3
;2
;1
0
1
2
3
=TC
Abb. 5.5 jA( )j fr ideal bandbegrenzte Impulsformung gem (5.17) eine Verfeinerung der Au sung der Unsicherheitsregion ein Sch tzer von Zeit- und Frequenzverschiebung zunehmend genauer durch den entsprechenden Detektor angen hert wird. Das klassische Akquisitionsverfahren, die Schwellwertdetektion 69], 80], beruht darauf, die Unsicherheitsregion solange schrittweise zu untersuchen, bis das Ergebnis dieser Untersuchung einen vorgegebenen Schwellwert berschreitet. berschreitet kein Wert die Schwelle, beginnt die Suche von neuem. Die zweite Methode leitet sich direkt aus den Ans tzen zur ML-Sch tzung aus 4.1 ab und wird daher als ML-Detektion bezeichnet. Das Prinzip besteht darin, nach einem schrittweisen Durchlauf durch die Unsicherheitsregion aus der Zeit- und Frequenzverschiebungskombination, die den grten Wert ergibt, die Startwerte fr das Tracking zu bestimmen. Tab. 5.1 zeigt eine Gegenberstellung der beiden Ans tze. Nach der Detektion der Zeit- und Frequenzverschiebung ist das weitere Vorgehen fr beide Methoden gleich. Sind Zeit- und Frequenzverschiebung hinreichend gut bestimmt, ist die Akquisition beendet. Ist sie falsch, bentigt die Erkennung dieser Tatsache eine gewisse Zeit. Ist die falsche Entscheidung
5.2 Prinzipielle Akquisitionsmethoden
101
ML-Detektion Schwellwertdetektion Auswertung der gesamten Unsi- Schrittweise Auswertung der Uncherheitsregion und Auswahl des sicherheitsregion$ bei berschreiMaximums ten einer Schwelle erfolgt die Akquisitionsdetektion Bei Falschalarm, erneuter Beginn der Akquisition$ bei korrekter Detektion bergang zum Tracking Abbruch, wenn nur Falschalarme auftreten
Tab. 5.1 Gegenberstellung der Akquisitionsverfahren erkannt, erfolgt eine erneute Bestimmung der Anfangssch tzung. Ergibt sich innerhalb einer vorgegebenen Zeit keine korrekte Detektion, ist davon auszugehen, da kein Empfang mglich ist und es erfolgt der Abbruch der Akquisition. Ob die Akquisition erfolgreich war, l t sich daraus ersehen, ob sich das Signal tracken l t oder nicht. Detektoren, die eine entsprechende Aussage ermglichen, nden sich in 64, S.405 ]. Weitere Akquisitionsverfahren ergeben sich durch die Verwendung von Sequentialtests, wie beispielsweise die multiple dwell Verfahren 69], sollen hier aber nicht weiter betrachtet werden. Das Untersuchen der Unsicherheitsregion erfolgt fr die ML- und die Schwellwertdetektion anhand der in Kapitel 4 entwickelten Methoden. Alle Ans tze bauen auf der Auswertung von Innenprodukten der Form (siehe 4.1)
y = hrjE( )x( + lTS )i
(5.18)
auf, deren Auswertung sich mittels angepater Filter geeignet implementieren l t (siehe 4.2). Da die Auswertung der Unsicherheitsregion fr beide Detektoren in der gleichen Art und Weise erfolgt, ergeben sich hinsichtlich einer Implementierung nur geringfgige Unterschiede. Im Gegensatz zum Schwellwertdetektor, der mit nur einem lesbaren Speicher fr den Schwellwert auskommt, bentigt der ML-Detektor zwei les- und beschreibbare Speicher. Diese zwei Speicher sind notwendig, um w hrend eines Durchlaufs durch die Unsicherheitsregion st ndig Position und Betrag der vorl ug betragsgrten Auswertung festzuhalten. Die Betrachtungen zur mittleren Akquisitionszeit lassen sich mit einer
102
5 Akquisitionsverfahren
Normierung der Innenprodukte aus (5.18) auf
x(0)jx(0)i = T1S x( ) xS(; ) =0 = S=TS S = bKTS =TC c (5.19)
h
deutlich kompakter darstellen (zur Berechnung von (5.19) siehe (3.5)). Fr den im folgenden wichtigen Fall = = l = 0 gilt mit r = x(0) + z und mit der Normierung aus (5.19) fr (5.18)
y = TSS hrjx(0)i = TSS hx(0) + zjx(0)i = 1 + TSS hrjx(0)i: (5.20) Bei TS hZjx(0)i handelt es sich um eine mittelwertfreie komplexwertige Gausche Zufallsvariable mit der Varianz (vgl. (3.16)) VarfTS hZjx(0)ig = SN0 :
(5.21)
Die Normierung auf S=TS ergibt so eine Zufallsvariable mit der Varianz
T
N 1 = S0 = SNR
S hZjx(0)i
Var S
(5.22)
wobei SNR das Signal-zu-Rauschverh ltnis aus (2.52) ist. Mit der Normierung geht der Parameter S in das Signal-zu-Rauschverh ltnis ein, was zu einer Parameterreduktion und damit einfacheren Darstellung fhrt.
5.3 Allgemeine Berechnung der mittleren Akquisitionszeit Wie in 3.3 gezeigt wurde, nimmt der Ein u des Sch tzfehlers der Anfangssch tzung auf das Trackingverhalten mit zunehmendem SNR rasch ab. Da der Anfangssch tzfehler einer Sch tzung, die das Tracken des Signals ermglicht, fr die Bewertung eines Verfahrens von untergeordneter Bedeutung ist, verbleibt als Bewertungskriterium die mittlere Akquisitionszeit
5.3 Allgemeine Berechnung der mittleren Akquisitionszeit
103
EfTAKQ g. Ein weiteres Bewertungskriterium ist die Varianz der Akquisitionszeit VarfTAKQg. Die Verwendung der Cram%r-Rao Grenze 64, S.55] ist nicht sinnvoll, da die Varianz der Anfangssch tzung von Zeit- und Frequenzverschiebung im Vergleich zur Sch tzfehlervarianz w hrend des Trackings deutlich grer ist, aber allenfalls w hrend des Trackings die Cram%r-Rao Grenze erreicht wird. Daher ist die Cram%r-Rao Grenze vor allem ein Kriterium zur Bewertung von Trackingverfahren (vgl. hierzu 64, S.325]).
max 0
0
; max
0
0
NTC
Abb. 5.6 Diskretisierte Unsicherheitsregion EfTAKQg und VarfTAKQg h ngen von der Detektionswahrscheinlichkeit und Falschalarmwahrscheinlichkeit, der Gre der Unsicherheitsregion und der Zeit, die zur Erkennung eines Detektionsfehlers notwendig ist, ab. Die theoretischen Betrachtungen zur Akquisitionszeit basieren auf zwei wesentlichen Voraussetzungen. Die erste besteht darin, da die Unsicherheitsregion in diskreten Schritten ausgewertet wird, und die zweite, da s mtliche Auswertungen voneinander stochastisch unabh ngig sind. Die Diskretisierung der Unsicherheitsregion kommt einer Aufteilung der Unsicherheitsregion in Quadrate gleich. Der Mittelpunkt eines jeden Quadrates entspricht dem Punkt, an dem die Auswertung der Unsicherheitsregion erfolgt. Die Quadrate lassen sich unterteilen in solche, die einer zul ssigen Sch tzung entsprechen und solche, bei denen dies nicht der Fall ist. Abb. 5.6 zeigt ein Beispiel fr nur ein zul ssiges Quadrat.
104
5 Akquisitionsverfahren
5.3.1 Detektions- und Falschalarmwahrscheinlichkeiten Die Begri e Detektions- und Falschalarmwahrscheinlichkeit haben fr den ML- und den Schwellwertdetektor unterschiedliche Bedeutungen. Im Fall des ML-Detektors geben diese beiden Gren an, mit welcher Wahrscheinlichkeit nach einem kompletten Durchgang durch die Unsicherheitsregion ein richtiges Quadrat beziehungsweise ein falsches ausgew hlt wird. Im Fall des Schwellwertdetektors beziehen sich diese beiden Gren auf die Auswertung eines Quadrates. Die Detektionswahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein richtiges Quadrat als solches erkannt wird. Die Falschalarmwahrscheinlichkeit gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit nach der Auswertung eines Quadrates, das nicht einer zul ssigen Zeit- und Frequenzverschiebung entspricht, eine falsche Entscheidung getroffen wird. Um zwischen ML- und Schwellwertdetektor deutlich zu trennen, sind die Detektions- beziehungsweise Falschalarmwahrscheinlichkeiten des ML-Detektors mit PD und PF und die des Schwellwertdetektors mit PD
und PF bezeichnet. Wenn es nur ein zul ssiges Quadrat gibt und f1(x) die Dichtefunktion ist, welche die Auswertung des korrekten Quadrates beschreibt, und f0(x) fr ein nicht zul ssiges Quadrat resultiert, dann folgt, stochastisch unabh ngige Auswertungen der Quadrate vorausgesetzt, die Detektionswahrscheinlichkeit des ML-Detektors zu 40], 102]
PD =
Z1 0
f1(x)
Zx 0
f0(y) dy
C ;1
dx
(5.23)
wobei C die Anzahl aller Quadrate ist. Die unteren Integrationsgrenzen in (5.23) sind gleich Null, da gem 4.1 die Auswertung eines Quadrates stets mit der Bildung eines Betragsquadrates verbunden ist. (5.23) entspricht der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit bei nicht-koh renter Demodulation orthogonaler Signale 73, S.311]. Die Falschalarmrate des ML-Detektors folgt zu PF = 1 ; PD . Die Detektions- und Falschalarmwahrscheinlichkeit fr den Schwellwertdetektor lauten 69, S.245]
PD =
Z1
f1(x) dx
(5.24)
5.3 Allgemeine Berechnung der mittleren Akquisitionszeit und
PF =
Z1
f0(x) dx:
105
(5.25)
5.3.2 Mittlere Akquisitionszeit des ML-Detektors Die mittlere Akquisitionszeit und die Varianz der Akquisitionszeit des MLDetektors berechnen sich wie folgt. Bentigt der ML-Detektor i Durchl ufe durch die aus C Quadraten bestehende Unsicherheitsregion, bis ein zul ssiges Quadrat erkannt wird, so ist die Zeit
TAKQ0 = i C d
(5.26)
zur Auswertung der Quadrate der Unsicherheitsregion bis zur korrekten Detektion erforderlich. d ist die zur Auswertung eines Quadrates notwendige Zeitdauer. Bis zur Detektion im iten Durchlauf durch die Unsicherheitsregion kommt es zu i ; 1 Falschentscheidungen, deren Erkennung die Zeitdauer
TAKQ1 = (i ; 1) A d
(5.27)
in Anspruch nimmt. A gibt an, wieviele Intervalle der L nge d die Erkennung einer Falschentscheidung erfordert. Die gesamte Akquisitionszeit TAKQ ist gleich der Summe aus TAKQ0 und TAKQ1
TAKQ = TAKQ0 + TAKQ1 = (i C + (i ; 1) A) d :
(5.28)
Da fr den Maximum-Likelihood-Detektor PF = 1 ; PD gilt, folgt die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entscheidung im iten Durchgang zu
P (i) = PD PFi;1 = PD (1 ; PD )i;1 :
(5.29)
Die mittlere Akquisitionszeit ergibt sich mit (5.28) und (5.29) zu EfTAKQg =
1 X i=1
TAKQP (i) =
1 X i=1
= C + AP(1 ; PD ) d : D
(i C + (i ; 1) A) d PD (1 ; PD )i;1 (5.30)
106
5 Akquisitionsverfahren
In gleicher Weise l t sich fr die Varianz schreiben
2 VarfTAKQg = E TAKQ
=
1 X i=1 ;
; (EfT
AKQ g)
2
(C i + (i ; 1)A)2 d2PD (1 ; PD )i;1
C + A (1 ; PD ) PD
2
2 (1 ; P ) ( C + A ) D 2: = d PD2
d2 (5.31)
Die Ergebnisse aus (5.30) und (5.31) ergeben sich mit den in 80, S.771f] angegebenen Beziehungen
1 X i=1
iPD (1 ; PD )i;1 = P1
(5.32)
D
und
1 X 2 i=1
i PD (1 ; PD )i;1 = P22
D
;
1: PD
(5.33)
Alternativ lassen sich (5.30) und (5.31) auch ber die in Abb. 5.7 gezeigte absorbierende Markov-Kette (siehe Anhang A) bestimmen. s0 ist der Ausgangszustand, s1 entspricht einer Fehlentscheidung und s2 ist der absorbierende Endzustand der gelungenen Detektion. Es ist jedoch zu beachten, da den Zust nden s0 und s1 unterschiedliche Zeitdauern zugrunde liegen. Eine geeignete Bercksichtigung unterschiedlicher Zeitdauern in Verbindung mit Markov-Ketten ndet sich in 69, S.257 ].
5.3 Allgemeine Berechnung der mittleren Akquisitionszeit
PD
s0
1 ; PD
107
s2
1
s1
1
Abb. 5.7 Markov-Kette zur ML-Akquisition
5.3.3 Mittlere Akquisitionszeit des Schwellwertdetektors Fr die mittlere Akquisitionszeit EfTAKQg und die Varianz der Akquisitionszeit VarfTAKQg des Schwellwertdetektors gilt 69, S.227], 80] EfTAKQg = 2 + (2 ; PD )2(PC ; 1) (1 + APF ) d
(5.34)
D
und 69, S.229] VarfTAKQg =
C 2 ; 1 ; (C ; 1)2 + (C ; 1)2 2 12 PD
PD
+ 1 ;P 2PD (2C ; 1 + 2(C ; 1)APF ) D
!
; 2 2: + 2 2;PPD (C ; 1)A2 PF ; PF
d D
(5.35)
Es sei angemerkt, da in (5.34) und (5.35) die Zeitdauern, die zur Annahme beziehungsweise Ablehnung der Hypothesen korrekte, bzw. nicht korrekte Zeit- und Frequenzverschiebung notwendig sind, als gleich lang angesetzt sind. Dies entspricht dem einfachsten Fall eines Schwellwertdetektors und tri t insbesondere fr Implementierungen mittels angepater Filter zu.
108
5 Akquisitionsverfahren
5.3.4 Asymptotisches Verhalten der mittleren Akquisitionszeiten Fr ein groes Signal-zu-Rauschverh ltnis gilt fr die Detektionswahrscheinlichkeiten PD = PD = 1 und fr die Falschalarmwahrscheinlichkeiten PF = PF = 0, so da aus (5.30) fr den ML-Detektor lim EfTAKQ g = C d
(5.36)
SNR!1
und aus (5.34) fr den Schwellwertdetektor
C + 1 lim E fTAKQ g = SNR!1 2 d
(5.37)
folgt. Diese Ergebnisse sind sofort einsichtig. Da der ML-Detektor stets die gesamte Unsicherheitsregion untersucht, bentigt er mindestens die Zeit C d zum Aunden des richtigen Quadrates. Treten alle Zeitverschiebungen gleichwahrscheinlich auf, schneidet der Schwellwertdetektor gnstiger ab, da er im Mittel bereits nach (C + 1)=2 Schritten das zul ssige Quadrat ndet. Ist das Signal-zu-Rauschverh ltnis sehr klein, gilt fr die Detektionswahrscheinlichkeit des ML-Detektors PD = 1=C , da das Rauschen die Signalkomponente berdeckt und jede Zelle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit den grten Wert annimmt. Fr die mittlere Akquisitionszeit folgt mit (5.30) fr C = A und SNR = S=N0
;
lim EfTAKQg = 2C 2 ; C d: SNR!0
(5.38)
Die Detektions- und Falschalarmwahrscheinlichkeiten des Schwellwertdetektors gehen fr sehr kleines Signal-zu-Rauschverh ltnis gegen eins, so da fr die mittlere Akquisitionszeit mit C = A aus (5.34)
C2 + 1 (5.39) lim E fTAKQ g = SNR!0 2 d folgt. In seinem asymptotischen Verhalten schneidet der Schwellwertdetektor sowohl fr kleines als auch groes SNR besser ab. Ziel ist es nun, das nicht asymptotische Verhalten der mittleren Akquisitionszeit von ML- und Schwellwertdetektion fr unterschiedliche Ausbreitungssituationen zu untersuchen und zu vergleichen.
5.4 Gemeinsame Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung
109
5.4 Gemeinsame Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung In diesem Abschnitt wird das Akquisitionsverhalten fr die gemeinsame Akquisition untersucht, das heit, die Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung erfolgt stets in Abh ngigkeit voneinander. Das Gegenstck hierzu ist die getrennte Akquisition, die eine Bestimmung der einen Gre ohne Bercksichtigung der anderen zul t. Die Grundlage der gemeinsamen Akquisition bilden die in 4.1 und 4.2 abgeleiteten Verfahren fr die Zeit- und Frequenzverschiebungssch tzung. Ausgangspunkt der Betrachtungen sind die allgemeinen Ans tze zur Berechnung der mittleren Akquisitionszeit aus (5.30) und (5.34). Die fr die Berechnung der Detektions- und Falschalarmwahrscheinlichkeiten notwendigen Dichten f1(x) und f0(x) (siehe (5.23), (5.24) und (5.25)) ergeben sich aus der Art der Kanalmodellierung. Sowohl fr den AWGN-Kanal als auch fr den nicht-frequenzselektiven Mehrwegekanal gelingt eine Berechnung der mittleren Akquisitionszeit. Der Fall des frequenzselektiven Mehrwegekanals l t sich dagegen nur simulativ untersuchen.
5.4.1 AWGN-Kanal
Fr h = h0 l t sich der bertragungskanal als AWGN-Kanal oder als nichtfrequenzselektiver Mehrwegekanal modellieren. Fr den AWGN-Kanal gilt jh0 j = 1 und argfh0 g = '0 , w hrend fr den frequenzselektiven Mehrwegekanal h0 die Realisierung einer komplexwertigen Gauschen Zufallsvariablen H0 ist (vgl. 2.2.2).
Auswertung der Quadrate der Unsicherheitsregion Den berlegungen zur mittleren Akquisitionszeit in 5.3 lag die Voraussetzung zugrunde, da die Auswertungen der einzelnen Quadrate der Unsicherheitsregion stochastisch unabh ngig sind. Ausgehend von der in (5.17) angegebenen N herung fr die Ambiguity-Funktion - die Ambiguity-Funktion ist als Repr sentant der Signalkomponente am Ausgang eines angepaten Filters zu betrachten - ist diese Voraussetzung fr eine Diskretisierung der Unsicherheitsregion mit
= uTC u = 0 ::: N ; 1 = STv v = ;vmax ::: vmax C
(5.40) (5.41)
110
5 Akquisitionsverfahren
erfllt, wenn die Laufzeit 0 und die Frequenzverschiebung 0 des Kanals ein Vielfaches von TC beziehungsweise 1=(STC ) betragen. Dieser Zusammenhang gilt sowohl fr bandbegrenzte als auch fr zeitbegrenzte Impulsformung. In diesem Fall entspricht genau ein Quadrat der Unsicherheitsregion einer korrekten Detektion, sofern fr die Regelbereiche der Trackingregelung max #max
TC 2 1 = 2ST C
=
(5.42)
gilt. Im strungsfreien Fall ergibt die Auswertung des korrekten Quadrates unter Bercksichtigung der in 5.2 eingefhrten Normierung den Wert 1 (siehe Abb. 5.4 und Abb. 5.5), so da fr das Ergebnis der Auswertung im gestrten Fall folgt 2 y = TSS2 jhrjx(0)ij2
T 2 S = 1 + S hzjx(0)i :
(5.43)
Die Zufallsvariable TS =S hZjx(0)i ist mit (5.22) durch eine mittelwertfreie Gauverteilung mit der Varianz N0 =S = 1=SNR charakterisiert, so da f1(y) gleich einer nichtzentralen 2 -Dichte mit 2L = 2 Freiheitsgraden (siehe Anhang C) mit 2 = 1 ist
f1(y) = SNR e;(y+1)SNR I0(2py SNR) y 0:
(5.44)
Fr alle anderen Quadrate gilt wegen der Voraussetzungen bezglich 0 und 0 und der Auswertungsabst nde im strungsfreien Fall fr die AmbiguityFunktion
A(uTC v=(STC )) = 0
(5.45)
so da die Auswertung im Falle einer Gauschen Strung durch eine expo-
5.4 Gemeinsame Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung
111
nentiell verteilte Zufallsvariable mit der Dichte
f0(y) = SNR e;SNR y y 0
(5.46)
beschrieben ist.
Detektions- und Falschalarmwahrscheinlichkeiten (5.44) und (5.46) erlauben mit (5.23), (5.24) und (5.25) die Bestimmung der Detektions- und Falschalarmwahrscheinlichkeiten. Hierbei ist insbesondere die eingehende Untersuchung der Detektionswahrscheinlichkeit des ML-Detektors interessant. Nomogramme, welche die Detektions- und die Falschalarmwahrscheinlichkeit des Schwellwertdetektors in Abh ngigkeit von der Schwelle angeben, nden sich beispielsweise in 69, S.246]. 1
PD
0,8 0,6
C = 127
0,4
C = 1023
0,2 0
;5
0
5
10
15
SNR dB] Abb. 5.8 Detektionswahrscheinlichkeit fr C = 127 und C = 1023
Abb. 5.8 zeigt die Detektionswahrscheinlichkeit des ML-Detektors fr C = 127 und C = 1023 aufgetragen ber dem SNR aus (2.52). Die Kurve fr C = 127 ist zus tzlich mit simulativ ermittelten Werten unterlegt. Zu diesen und allen weiteren Simulationsergebnissen sei angemerkt, da sie alle auf dem Prinzip der angepaten Filterung aus 4.2.1 aufbauen. Wie aus Abb. 5.8 zu ersehen ist, stimmen, wenn alle Voraussetzungen erfllt sind,
112
5 Akquisitionsverfahren
die analytisch errechneten Detektionswahrscheinlichkeiten in hohem Mae mit den simulativen Ergebnissen berein. Des weiteren ist aus Abb. 5.8 zu entnehmen, da sich die Detektionswahrscheinlichkeit mit wachsendem C fr ein gegebenes SNR erwartungsgem verschlechtert. Soweit nicht anders vermerkt, gilt fr die Simulationsergebnisse:
S = N , das heit, die Koezienten des angepaten Filters entsprechen genau einer Codeperiode Spreizcode der L nge 127$ Maximalfolge mit dem Generatorpolynom g(x) = x7 + x6 + 1 die Ergebnisse sind stets Mittelwerte ber eine Simulationsdauer von 10000 Codeperioden fr das Signal-zu-Rauschverh ltnis gilt SNR = S=N0 Eine der wesentlichsten Voraussetzungen der Ergebnisse in Abb. 5.8 besteht darin, da 0 und 0 nur bestimmte Werte annehmen drfen. In einem realen System sind 0 und 0 keine diskreten Gren. Dies fhrt dazu, da die Ambiguity-Funktion nicht mehr zwingend in ihrem Ursprung ausgewertet wird, das gesuchte Maximum am Ausgang des angepaten Filters damit kleiner ist und sich die Detektionswahrscheinlichkeit entsprechend verschlechtert. Der ungnstigste Fall ist der, bei dem 0 und 0 durch einen der Eckpunkte eines Quadrates aus Abb. 5.6 gegeben sind. In diesem Fall verteilt sich die Signalkomponente auf mehr als nur ein Quadrat der Unsicherheitsregion. Abb. 5.9 zeigt die anhand von Simulationen ermittelte Detektionswahrscheinlichkeit fr die reine Zeitverschiebungssch tzung bei bekannter Frequenzverschiebung des Kanals 0 im ungnstigsten Fall, d.h. fr die Zeitverschiebung des Kanals 0 gilt 0 mod TC = 05TC . Verglichen mit der ebenfalls eingezeichneten Kurve fr den gnstigsten Fall ist eine deutliche Verschlechterung zu erkennen. Durch eine feinere Au sung der Unsicherheitsregion als mit (5.40) und (5.41) l t sich der in Abb. 5.9 gezeigte Einbruch der Detektionswahrscheinlichkeit grtenteils kompensieren. Bei einer feineren Au sung ist zu beachten, da die Auswertungen der Quadrate in jedem Fall teilweise korreliert sind. Anhand von Simulationen l t sich zeigen, da es im gnstigsten Fall, das heit, 0 und 0 liegen genau im Mittelpunkt eines Quadrates, zu einer geringfgigen Verschlechterung der Detektionswahrscheinlichkeit kommt. Abb. 5.10 zeigt diesen E ekt fr N = 127, ausschlieliche Sch tzung der Zeitverschiebung bei bekannter Frequenzverschiebung fr bandbegrenzte
5.4 Gemeinsame Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung
113
1
PD
0,8 0,6
0 = 0
0,4
0 = 05TC
0,2 0
;5
0
5
10
SNR dB] Abb. 5.9 PD fr 0 = 0 und 0 = 05TC (C = 127)
15
und zeitbegrenzte Impulsformung und einer Au sung der Unsicherheitsregion in den Abst nden
= uTC =4 u = 0 ::: 4N ; 1:
(5.47)
Simulativ l t sich zeigen, da, wie auch aus Abb. 5.10 zu entnehmen ist, eine bandbegrenzte Impulsformung bei einer feineren Au sung der Unsicherheitsregion bessere Detektionswahrscheinlichkeiten ergibt als die zeitbegrenzte. Des weiteren l t sich anhand von Simulationen zeigen, da ab einer Verfeinerung der Au sung um den Faktor vier in Richtung der Zeitund Frequenzverschiebung die Detektionswahrscheinlichkeit in guter N herung unabh ngig von den Werten ist, die 0 und 0 annehmen. Abb. 5.11 zeigt die Detektionswahrscheinlichkeiten, die resultieren, wenn die gleichen Signale wie die zur Simulation der Ergebnisse aus Abb. 5.10 verwendeten mit einem BPSK-Datensignal im Codetakt moduliert werden. Im Falle der bandbegrenzten Impulsformung verschlechtert sich die Detektionswahrscheinlichkeit geringfgig. Fr den Fall der zeitbegrenzten Impulsformung l t sich kein Unterschied zu Abb. 5.10 feststellen. Eine exakte Berechnung der Detektionswahrscheinlichkeit des ML-Detektors in Abh ngigkeit der Au sung der Unsicherheitsregion, des Spreizcodes
114
5 Akquisitionsverfahren 1
PD
0,8 0,6
;; (5.23) 3
+
bandbegrenzte Impulsformung zeitbegrenzte Impulsformung
0,4 0,2 0
;5
0
5
10
15
5
10
15
SNR dB] Abb. 5.10 PD fr C = 127 und TC =TS = 4
1
PD
0,8 0,6
;; (5.23) 3
+
bandbegrenzte Impulsformung zeitbegrenzte Impulsformung
0,4 0,2 0
;5
0
SNR dB] Abb. 5.11 PD fr C = 127, TC =TS = 4 und BPSK-Modulation
5.4 Gemeinsame Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung
115
und des Ein usses der Datenmodulation ist nicht mglich. Es ist daher sinnvoll die Detektionswahrscheinlichkeit nach (5.23) zu verwenden und als obere Grenze zu betrachten. Die Detektions- und Falschalarmwahrscheinlichkeit des Schwellwertdetektors unterscheiden sich fr eine verfeinerte Au sung der Unsicherheitsregion ebenso von den theoretischen Werten, wie es fr die Detektionswahrscheinlichkeit des ML-Detektors der Fall ist. Abb. 5.12 zeigt die theoretischen und die simulativ bei einer verfeinerten Au sung der Unsicherheitsregion mit TC =TS = 4, = 095 und bandbegrenzter Impulsformung ermittelte Detektions- und Falschalarmwahrscheinlichkeit. Des weiteren sind die Simulationsergebnisse fr TC =TS = 1 eingezeichnet. Sowohl die Detektions- als auch die Falschalarmwahrscheinlichkeit nehmen fr TC =TS = 4 deutlich zu, w hrend fr TC =TS = 1 die Simulation sehr genau mit den theoretischen Werten bereinstimmt. 1
PD
0,8 0,6 0,4 0,2 0
;5
;;; ;;
PF
0
5
T T
C =TS = 1 C =TS = 4
10
SNR dB] Abb. 5.12 PD und PF bei Schwellwertdetektion ( = 095)
15
Mittlere Akquisitionszeit Abb. 5.13 zeigt die mittels (5.30) und (5.34) berechneten mittleren Akquisitionszeiten des ML-Detektors und des Schwellwertdetektors fr C = A = 127 aufgetragen ber dem SNR aus (2.52). Fr den Schwellwertdetektor sind die
116
5 Akquisitionsverfahren 35
EfTAKQg 103 d ]
30 25
ML-Detektor
20 15
Schwellwertdetektor
10
;;; ;;
= 095 = 071
5 0
;5 ;10 0 5 SNR dB] Abb. 5.13 Mittlere Akquisitionszeit fr C = 127
;25
;20
;15
10
50
EfTAKQg 103 d ]
40
ML-Detektor
30
;;; ;;
20 10 0
= 095 = 071
Schwellwertdetektor
;5 ;10 0 5 10 SNR dB] Abb. 5.14 Mittlere Akquisitionszeit fr C = 127 und A = 2C ;25
;20
;15
5.4 Gemeinsame Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung
117
Kurven fr die Schwellwerte = 095 und = 071 eingezeichnet. Abb. 5.14 zeigt die entsprechenden Kurven, die bei einer Verdoppelung der Strafzeit (A = 2C ) resultieren. Der Verlauf der Kurven in Abb. 5.13 fr kleines SNR best tigt die Ergebnisse bezglich des asymptotischen Verhaltens aus 5.3.4. Der Schwellwert ist mit Abb. 5.13 und Abb. 5.14 nahe bei 1 zu w hlen, da sich im interessanten SNR-Bereich von 0-10 dB so krzere Akquisitionszeiten ergeben. Ein Schwellwert grer 1 ist nicht sinnvoll, da im rauschfreien Fall keine Detektionen mehr mglich sind. Dieser Zusammenhang zwischen Signalamplitude und Schwellwert zeigt deutlich, wie wichtig fr eine optimale Parametrierung des Schwellwertdetektors die Kenntnis der Signalamplitude ist. Bezglich der Aussage, da im wesentlichen der SNR Bereich von 0-10dB interessant ist, sei hier nochmals angemerkt, da das SNR aus (2.52) das Signal-zu-Rauschverh ltnis nach der Entspreizung bezeichnet. 120
EfTAKQg 103 d ]
100 80
Schwellwertdetektor
60 40 20
ML
0 0
2
4
6
8
SNR dB] Abb. 5.15 Mittlere Akquisitionszeit fr C = 511 und A = C
10
Das wesentliche Ergebnis aus Abb. 5.13 und Abb. 5.14 besteht darin, da der ML-Detektor ber einen groen Bereich krzere mittlere Akquisitionszeiten aufweist als der Schwellwertdetektor. Neben der L nge der Strafzeit (siehe Abb. 5.14) h ngt die Gre dieses Bereichs von C ab. Abb. 5.15 und Abb. 5.16 geben den Bereich von 0 bis 10 dB fr C = 511 und C = 1023 wieder und zeigen deutlich den zunehmenden Gewinn des ML-Detektors. In
118
5 Akquisitionsverfahren 500
EfTAKQ g 103 d ]
400 300
Schwellwertdetektor
200 100 0
ML 0
2
4
6
8
SNR dB] Abb. 5.16 Mittlere Akquisitionszeit fr C = 1023 und A = C
10
Abb. 5.15 und Abb. 5.16 sind auerdem die Standardabweichungen der mittleren Akquisitionszeiten, also die Quadratwurzeln der Ergebnisse aus (5.31) und (5.35), eingezeichnet. Die L nge der in y-Richtung verlaufenden Linien entspricht stets dem zweifachen Wert der Standardabweichung. W hrend der Schwellwertdetektor eine vom SNR nahezu unabh ngige Standardabweichung aufweist, nimmt diese beim ML-Detektor mit kleiner werdendem SNR deutlich zu. Abb. 5.17 zeigt die simulative berprfung der theoretischen mittleren Akquisitionszeit fr den ML-Detektor und den Schwellwertdetektor mit = 095 fr bandbegrenzte Impulsformung und TC =TS = 4. W hrend beim MLDetektor der Unterschied zwischen Theorie und Simulation ungef hr dem relativ geringen SNR-Verlust der Detektionswahrscheinlichkeit aus Abb. 5.10 entspricht, ergibt sich fr den Schwellwertdetektor eine wesentlich gravierendere Verschlechterung. Wie aus Abb. 5.12 zu entnehmen ist, erhhen sich sowohl die Detektions- als auch die Falschalarmwahrscheinlichkeit gegenber den theoretischen Kurven erheblich. Der Gewinn der Detektionswahrscheinlichkeit ist jedoch nicht gro genug, um den durch die erhhte Falschalarmwahrscheinlichkeit auftretenden Zeitverlust im Bereich von 0 bis 10 dB zu kompensieren. Als weiteres Ergebnis l t sich fr den Schwellwertdetektor festhalten, da der asymptotische Wert in der Simulation fr kleines SNR wesentlich schneller erreicht wird.
5.4 Gemeinsame Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung
119
12
EfTAKQ g 103 d ]
10
Schwellwertdetektor ;;; (5.34) ;; Simulation
8 6 4 2 0
;5
ML
;;; (5.30) ;; Sim. 0
5
10
15
SNR dB] Abb. 5.17 Simulierte Akquisitionszeiten fr C = 127 und C = A
5.4.2 Nicht-frequenzselektiver Mehrwegekanal Ist der Parameter h0 die Realisierung einer komplexwertigen Gauschen Zufallsvariablen H0 , die eine nicht-frequenzselektive Mehrwegeausbreitung modelliert (siehe 2.2.2), so ergibt die Auswertung des korrekten Quadrates der Unsicherheitsregion 2 T S y = S 2 jhrjx(0)ij2 2 = TSS2 jhh0 x(0) + zjx(0)ij2
2 T S = h0 + S hzjx(0)i :
(5.48)
Da die Verteilung von H0 fr den nicht-frequenzselektiven Mehrwegekanal durch eine komplexwertige Gauverteilung gegeben ist und fr die Zufallsvariable TS hZjx(0)i=S eine ebenfalls komplexwertige mittelwertfreie Gauverteilung mit der Varianz N0 =S = 1=SNR folgt, ergibt die Summe innerhalb des Betragsquadrates in (5.48) eine Gauverteilung mit der Varianz
120
5 Akquisitionsverfahren
VarfH0 g + N0 =S , wenn H0 und Zk , k 2 Z, unkorreliert sind. Mit Anhang C gilt daher fr die Dichte des Betragsquadrates dieser Gauverteilten Zufallsvariablen f1(y) = VarfH g1+ 1=SNR exp (;y= (VarfH0 g + 1=SNR)) 0
y 0
(5.49)
wohingegen f0(y) unver ndert durch (5.46) gegeben ist. Abb. 5.18 - Abb. 5.21 zeigen die Abb. 5.13 - Abb. 5.16 entsprechenden Ergebnisse fr die mittleren Akquisitionszeiten fr VarfH0 g = 1. Insgesamt l t sich festhalten, da die Unterschiede der Kurven vergleichsweise gering ausfallen. Im Falle eines nicht-frequenzselektiven Mehrwegekanals vergrert sich der Bereich des ML-Detektors, in dem er dem Schwellwertdetektor berlegen ist. Hinsichtlich des Schwellwertdetektors ist im Vergleich zum AWGNKanal eine st rkere Abh ngigkeit von dem Schwellwert festzustellen (siehe Abb. 5.18). Dies ist von Bedeutung, da so ein Fehler der Amplitudenregelung des Empf ngers merklich das Detektionsverhalten beein ussen kann. Zum Tragen kommt dieser E ekt vor allem in Systemen, in denen der Empfangspegel starken Schwankungen unterworfen ist. Eine exakte Leistungsregelung des nicht synchronisierten Signals, die solche Schwankungen des Empfangspegels beseitigt, ist aufgrund der geringen Leistung eines DSSS-Signals und in CDMA-Systemen durch die zus tzliche berlagerung anderer Nutzsignale nur begrenzt mglich. Alle gezeigten Ergebnisse ergeben fr den AWGN-Kanal und den nichtfrequenzselektiven Mehrwegekanal, da fr ein SNR im Bereich von 0 bis 8 dB der ML-Detektor dem Schwellwertdetektor vorzuziehen ist. Zus tzlich zum besseren Detektionsverhalten in dem genannten Bereich entf llt bei der ML-Detektion die Abh ngigkeit von der Genauigkeit der Amplitudenregelung des Empf ngers und die Denition eines geeigneten Schwellwertes. ber 8 dB weist der Schwellwertdetektor fr die gezeigten Ergebnisse das asymptotisch bessere Verhalten auf, da er, wie sich durch einen Vergleich von (5.36) und (5.37) ergibt, im Mittel um den Faktor 2 schneller das korrekte Quadrat ndet.
5.4 Gemeinsame Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung 35
EfTAKQg 103 d ]
30 25
ML-Detektor
20 15 10
Schwellwertdetektor
;;; ;;
= 095 = 071
5 0
;5 ;10 0 5 10 SNR dB] Abb. 5.18 Mittlere Akquisitionszeit fr C = 127 und A = C ;25
;20
;15
50
EfTAKQg 103 d ]
40
ML-Detektor
30
;;; ;;
20 10 0
= 095 = 071
Schwellwertdetektor
;5 ;10 0 5 10 SNR dB] Abb. 5.19 Mittlere Akquisitionszeit fr C = 127 und A = 2C ;25
;20
;15
121
122
5 Akquisitionsverfahren 120
EfTAKQg 103 d ]
100 80
Schwellwertdetektor
60 40
ML
20 0 0
2
4
6
8
10
8
10
SNR dB] Abb. 5.20 Mittlere Akquisitionszeit fr C = 511 und A = C 500
EfTAKQg 103 d ]
400 300
Schwellwertdetektor
200
ML
100 0
0
2
4
6
SNR dB] Abb. 5.21 Mittlere Akquisitionszeit fr C = 1023 und A = C
5.4 Gemeinsame Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung
123
h0 = 0,707 h16 = 0,5 h2 = 1,0 h24 = 0,4 h6 = 0,794 h50 = 0,316
Tab. 5.2 Beispiel einer Kanalimpulsantwort
5.4.3 Frequenzselektiver Mehrwegekanal Die Anpassung eines Empf ngers im Sinne eines Maximum-Likelihood-Detektors an einen frequenzselektiven Mehrwegekanal erfordert eine Signalvorverarbeitung des Empfangssignals gem den in 4.1.2 hergeleiteten Ans tzen. Aus Sicht der Implementierung sind vor allem die Ergebnisse aus (4.34) und (4.43) beziehungsweise bei einer n herungsweisen Implementierung basierend auf der signalangepaten Filterung diejenigen aus (4.48) und (4.49) von Bedeutung. Ausgehend von (4.48) bleibt das Grundprinzip der Signalvorverarbeitung das gleiche wie fr L = 1. Es wird allerdings erg nzt um eine Summation der L nge L in Richtung der Zeitverschiebung. Diese Summation hat zur Folge, da aufeinanderfolgende Auswertungen der Unsicherheitsregion in jedem Fall korreliert sind. Eine analytische Betrachtung des Akquisitionsverhaltens wird hierdurch erheblich erschwert. Ein weiterer Umstand, der allgemeine analytische Aussagen verhindert, besteht in der Denition des Bereichs der Unsicherheitsregion, der einer korrekten Detektion entspricht. Wie in 3.2.2 gezeigt, ist die Denition dieses Bereichs wesentlich von den verwendeten Trackingverfahren sowie deren Parametrierung und der konkreten Mehrwegeausbreitung abh ngig. Da die Orthogonalit t der Vektoren x((u + l)TS ), l = 0 ::: L ; 1, normalerweise nicht gegeben ist, soll nun anhand eines konkreten Beispiels der Gewinn eines Ansatzes nach (4.49) gegenber (4.48) untersucht werden. Der Vorteil eines Ansatzes nach (4.49) besteht darin, da Korrelationen der Summanden in (4.48) aufgrund nicht orthogonaler Vektoren x((u + l)TS ), l = 0 ::: L ; 1, beseitigt werden. Der Preis ist ein erhhter Aufwand. Bei einer Implementierung mittels angepater Filter sind anstatt eines angepaten Filters mit nachfolgender Summation L Filter notwendig. Zur Berechnung der Matrix A(0) aus (4.40) sei angemerkt, da sie aus Grnden der Konditionierung von XT( )X( ), wie in 4.1.2 ausgefhrt, fr TS = TC erfolgen mu. Die Elemente der sich daher p Matrix X(0) ergeben T aus dem Zusammenhang x(nTC ) = bn = TC . Die Zeilen al , l = 0 ::: L ; 1, der Matrix A(0) entsprechen den Koezientens tzen der L Filter. Ein Ab-
124
5 Akquisitionsverfahren Lindnerfolge 1,1,1,1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,1,-1 Maximalfolge 1,1,1,1,-1,1,-1,1,1,-1,-1,1,-1,-1,-1
Tab. 5.3 Lindnerfolge (N = 14) 62, S.115] und Maximalfolge (N = 15) tastverh ltnis von TC =TS > 1 l t sich durch Einfgen von Nullen in den Koezientens tzen aTl , l = 0 ::: L ; 1, bercksichtigen. Von dem Ausgangssignal der L Filter ist jeweils das Betragsquadrat zu bilden und dieses fr TC =TS > 1 einer Summation der L nge TC =TS zu unterziehen. Bei der Umsetzung eines Akquisitionsdetektors fr einen frequenzselektiven Mehrwegekanal ist es ferner notwendig, L geeignet vorzugeben. Die Ans tze aus (4.48) oder (4.49) erlauben es nicht, L zu sch tzen, da aufgrund der Summation positiver Zahlen stets fr das grtmgliche L der maximale Wert folgt. Eine Sch tzung von L ist auf der Basis der Kovarianzmatrix des Vektors R anhand der in 96] diskutierten Methoden mglich. Erfolgt keine Sch tzung, ist L so zu w hlen, da im Mittel mglichst viel Signalenergie und mglichst wenig Rauschen erfat wird. Tab. 5.2 zeigt das Beispiel der untersuchten Kanalimpulsantwort, deren L nge 50TS betr gt. Die Koezienten h0 , h2 und h6 tragen die meiste Energie und konzentrieren sich auf ein Intervall der L nge 7TS . Aufgrund des zeitdispersiven Ein usses des auf die Impulsformung angepaten Filters zu Beginn der Empfangssignalverarbeitung, ist L etwas grer anzusetzen, so da L = 8 eine geeignete Wahl ist. Das Quadrat der Koezienten aus Tab. 5.2 entspricht jeweils der mittleren Leistung des Modells der typischen st dtischen Ausbreitung nach 11], wenn TS = 01 s gilt. Da eine umfassende Untersuchung anhand von Simulationen verh ltnism ig aufwendig ist, soll an dieser Stelle fr einen konkreten Fall untersucht werden, welcher Gewinn fr einen Ansatz mit einem angepaten Filter und nachfolgender Summation ber L Werte gem (4.48) im Vergleich zu L parallelen Filtern gem (4.49) resultiert. Eine weitere Vereinfachung ergibt sich, wenn die Betrachtungen auf die ML-Detektion beschr nkt bleiben, so da es gengt, die Detektionswahrscheinlichkeiten zu vergleichen. Abb. 5.22 zeigt Simulationsergebnisse fr die Spreizfolgen aus Tab. 5.3 und die Kanalimpulsantwort aus Tab. 5.2. Den Simulationsergebnissen liegt ein Intervall, das einer korrekten Detektion entspricht, von TC , bandbegrenzte Impulsformung und ein Abtastverh ltnis von TC =TS = 4 zugrunde. Das Signal-zuRauschverh ltnis entspricht der Signalleistung am Ausgang des Mehrwegekanals im Verh ltnis zur Rauschleistung. Der Ansatz nach (4.49) schneidet in diesem Fall eindeutig gnstiger ab. Der Gewinn gegenber einem Ansatz
5.4 Gemeinsame Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung 1
(4.49)
PD
0,8 0,6
(4.48)
;;; Lindnerfolge ; ; Maximalfolge
0,4
D im AWGN
;3;
0,2 0
kk
125
0
2
4
6
8
P
fr 10
N
= 14
12
14
SNR dB] Abb. 5.22 Vergleich der Ans tze aus (4.49) und (4.48) (C = N ) aus (4.48) h ngt allerdings von dem verwendeten Spreizcode ab und ist fr die Lindnerfolge ungef hr 0,5 dB grer. Trotz des vergrerten Detektionsintervalls von TC im Vergleich zu bisher TC =2 ergibt sich in jedem Fall eine schlechtere Detektionswahrscheinlichkeit als fr die ebenfalls in Abb. 5.22 eingezeichnete theoretische Akquisitionszeit des AWGN-Kanals. Abb. 5.23 zeigt den Vergleich der Detektionswahrscheinlichkeiten eines Detektors nach (4.49) parametriert mit L = 1 und L = 8 fr die Lindnerfolge, den AWGN-Kanal und die Mehrwegeausbreitung nach Tab. 5.2. Fr den AWGN-Kanal ergibt sich kein wesentlicher Unterschied fr die unterschiedliche Parametrierung. Im Vergleich zur theoretischen Kurve ist aufgrund der nicht idealen Autokorrelationsfunktion der verwendeten Spreizfolge und des Abtastverh ltnisses von TC =TS = 4 ein etwas schlechteres Verhalten festzustellen. Fr geringes SNR bersteigen die simulierten Werte die theoretische Kurve, was auf das vergrerte Detektionsintervall von TC im Vergleich zu TC =2 fr die theoretischen Werte zurckzufhren ist. Im Fall des frequenzselektiven Mehrwegekanals schneidet der mit L = 8 parametrierte Detektor deutlich besser ab. Inwieweit sich der zus tzliche Aufwand eines solchen Detektors lohnt, h ngt wesentlich von den Anforderungen an das System sowie den zu erwartenden Ausbreitungsverh ltnissen ab.
126
5 Akquisitionsverfahren 1
AWGN h=1
PD
0,8
k
h aus
0,6
Tab. 5.2
0,4
;;; ;;
0,2 0
;3;
0
2
4
6
8
=8 L = 1 L
D im AWGN
P
fr 10
N
= 14 12
SNR dB] Abb. 5.23 (4.49) fr L = 1 und L = 8 (C = N )
14
5.5 Getrennte Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung Wie in 4.3 und 4.4 gezeigt, lassen sich Verfahren angeben, die eine voneinander unabh ngige Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung ermglichen. Im folgenden sollen die verschiedenen Verfahren kurz diskutiert werden.
5.5.1 Akquisition der Zeitverschiebung
Die Akquisition der Zeitverschiebung erfolgt im einfachsten Fall anhand eines auf das Sendesignal angepaten Filters, dessen L nge S = Smax mittels (4.59) auf die maximal zu erwartende Frequenzverschiebung abgestimmt ist. Gengt der dabei erzielte Korrelationsgewinn nicht, l t sich durch die Summation ber die Betragsquadrate mehrerer Summationsperioden der L nge Smax, wie in Abb. 4.9 gezeigt, ein geeigneter Sch tzer konstruieren. Im Falle nur einer Summationsperiode der L nge Smax lassen sich die Detektions- und Falschalarmwahrscheinlichkeiten sowie die mittlere Akquisitionszeit analog zu den Herleitungen in 5.4 berechnen. Es ist jedoch zu bercksichtigen, da die Signalkomponente am Ausgang des angepaten Fil-
5.5 Getrennte Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung
127
ters von der Frequenzverschiebung gem (4.53) abh ngt, so da in (5.44) und in (5.46) VarfH0 g entsprechend anzupassen sind. Der genaue Wert der Signalkomponente folgt fr gegebenes Smax aus (4.53). Eine Summation ber die Betragsquadrate von M Summationsperioden der L nge Smax hat fr den AWGN und den nicht-frequenzselektiven Mehrwegekanal ver nderte Dichten f1(y) und f0(y) zur Folge. Fr die Dichte f0(y) folgt fr beide Kanalarten eine zentrale 2-Dichte mit 2M Freiheitsgraden nach (C.4) mit S = Smax. Fr f1(y) ergibt sich fr den AWGN-Kanal eine nichtzentrale 2-Dichte mit 2M Freiheitsgraden nach (C.2) mit S = Smax und dem Nichtzentralit tsparameter
2 = M2( 0)
(5.50)
wenn der Signalanteil fr jede Summationsperiode den Mittelwert ( 0 ) aufweist. Fr den nicht-frequenzselektiven Mehrwegekanal ergibt sich eine zentrale 2-Dichte mit 2M Freiheitsgraden, in der anstatt von N0=S in (C.4) 2( 0)VarfH0 g + N0 =Smax einzusetzen ist. 1
PD
0,8
; ; ;;
Theorie Simulation
0,6
0=0
0,4
Hz 0 = 14
0,2 0
;5
0
5
10
kHz
15
SNR dB] Abb. 5.24 Detektionswahrscheinlichkeit (C = 128 M = 1)
20
Ein Beispiel soll diese Zusammenh nge fr den AWGN-Kanal verdeutlichen. Als Spreizcode sei eine erweiterte Maximalfolge 25] der L nge 128 angenommen und fr die maximal mgliche Frequenzverschiebung soll max =
128
5 Akquisitionsverfahren
14 kHz gelten. Der Chiptakt sei gleich dem des IS95-Standards zu 1=TC = 12288 MHz gew hlt. Fr eine Summationsperiode der L nge S = 128 und 0 = 0 Hz ergibt sich das theoretische Verhalten analog zu den Betrachtungen in 5.4.1. Gilt 0 = 14 kHz, ist in der Dichte f1(y) eine andere Signalkomponente (siehe (C.3)) einzusetzen. Mit (4.53) folgt
14 kHz 128 2 1 sin 12288 MHz = 004685: 2 = 128 sin 14 kHz 12288 MHz
(5.51)
Aufgrund der schwachen Signalkomponente ergibt sich eine deutliche Verschlechterung der Detektionswahrscheinlichkeit. Abb. 5.24 zeigt die theoretische Detektionswahrscheinlichkeit des ML-Detektors im Vergleich mit simulativ fr bandbegrenzte Impulsformung und TC =TS = 4 ermittelte Werte aufgetragen ber dem Signal-zu-Rauschverh ltnis SNR = 128=N0 . Fr 0 = 0 Hz ergibt sich bedingt durch die berabtastung eine geringfgige Verschlechterung der Detektionswahrscheinlichkeit (vgl. Abb. 5.10). Der deutliche Unterschied zwischen Theorie und Simulation, der fr 0 = 14 kHz resultiert, erkl rt sich dadurch, da die bislang im Zusammenhang mit analytischen Betrachtungen stets vernachl ssigten Nebenmaxima der AmbiguityFunktion (siehe 5.1) fr die schwache Signalkomponente aus (5.51) nicht mehr zu vernachl ssigen sind. Der starke Einbruch der Detektionswahrscheinlichkeit in Abb. 5.24 fr 0 = 14 kHz l t sich durch eine Aufteilung der Summationsl nge von S = 128 geeignet au angen. Aus (4.59) folgt
Smax =
" 233 12288 MHz # 2 14 kHz
= 32:
(5.52)
Bei einer Summation ber die Betragsquadrate von vier Summationen der L nge Smax = 32 ergeben sich fr f0(y) und f1(y) jeweils 2 -Dichten mit 2M = 8 Freiheitsgraden. Fr f0(y) ist es eine zentrale 2-Dichte, in der S=N0 in (C.4) durch S=(4 N0) mit S = 128 zu ersetzen ist. Fr f1(y) ist ebenso S=(4 N0 ) einzusetzen und fr die Signalkomponente folgt fr 0 = 0 Hz
2 =
MX ;1 i=0
12 = 4
(5.53)
5.5 Getrennte Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung und fr
0 = 14
129
kHz
14 kHz 32 2 1 sin 12288 MHz = 2531: 2 = i=0 32 sin 14 kHz MX ;1
(5.54)
12288 MHz
Abb. 5.25 zeigt die theoretischen und simulativen Ergebnisse der Detektionswahrscheinlichkeiten. Das SNR bezeichnet das Signal-zu-Rauschverh ltnis, da sich fr 0 = 0 Hz und eine Summationsl nge von S = 128 nach der Entspreizung ergibt. Aus diesem Grund ist der direkte Vergleich mit Abb. 5.24 mglich. Im Vergleich zu Abb. 5.24 ergibt sich eine deutlich geringere Verschlechterung der Detektionswahrscheinlichkeit fr 0 = 14 kHz. Andererseits verschlechtert sich im Vergleich zu Abb. 5.24 das Akquisitionsverhalten fr 0 = 0 Hz. 1
PD
0,8
; ; ;;
Theorie Simulation
0,6
0=0
0,4
Hz 0 = 14
0,2 0
;5
0
5
10
15
kHz
SNR dB] Abb. 5.25 Detektionswahrscheinlichkeit (C = 128 M = 4)
20
Als weitere Alternative zur Akquisition der Zeitverschiebung wurde in 4.3 das in Abb. 4.10 dargestellte di erentielle Verfahren eingefhrt. Der groe Nachteil dieses Verfahrens besteht darin, da die di erentielle Vorverarbeitung des Empfangssignals das Signal-zu-Rauschverh ltnis erheblich verschlechtert. Die di erentielle Verarbeitung des Empfangssignals ist mit r(t) = rTP (t) durch die Berechnung von r(kTC ) r((k ; 1)TC ) beschrieben. Da
130
5 Akquisitionsverfahren
R(kTC ) und R((k ; 1)TC ) fr die untersuchten Signalformen unkorreliert sind, l t sich schreiben EfR(kTC )R((k ; 1)TC )g = EfR(kTC )g EfR((k ; 1)TC )g = 0: (5.55) Fr die Varianz VarfR(kTC )R((k ; 1)TC )g folgt mit
n
E jR(kTC
)j2
o
n
= E jR((k ; 1)TC
)j2
o
(5.56)
und (5.55) EfR(kTC )R((k ; 1)TC )R(kTC )R((k ; 1)TC )g
n
o n
= E jR(kTC )j2 E jR((k ; 1)TC )j2
n
= E jR(kTC
n
o2 2 )j
= E jX (kTC ) + Z (kTC = E
n
o
o2 2 )j
o2 n o n o 2 2 2 jX (kTC )j + 2E jX (kTC )j E jZ (kTC )j n
o2
+E jZ (kTC )j2 :
(5.57)
Im strungsfreien Fall ergibt sich aus (5.57) die Signalkomponente
n
n
o
o2
E jX (kTC )j2
n
o
so da mit E jX (kTC )j2 = 1 und E jZ (kTC )j2 = N0 das Signal-zuRauschverh ltnis auf Chipebene (siehe (2.49)) nach der di erentiellen Verarbeitung des Empfangssignals gleich SNRC = 2N 1+ N 2 0 0
(5.58)
ist. Abb. 5.26 zeigt (5.58) im Vergleich zu (2.49). Der Verlust des di erentiellen Verfahrens ist so markant, da ein Einsatz wenig sinnvoll ist. Mit
5.5 Getrennte Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung
131
SNRC dB]
0
;5 ;10 ;15 ;20 ;25 ;30 ;35 ;40 ;45
(2.49)
(5.58)
10
20
30
40
50
60
70
80
N0 Abb. 5.26 SNRC aus (5.58) und (2.49)
90
100
der Annahme, da das Signal nach der angepaten Filterung in Abb. 5.26 gem dem zentralen Grenzwertsatz durch eine Gauverteilung beschrieben ist, l t sich das Akquisitionsverhalten unter Bercksichtigung des SNRVerlustes anhand der Ergebnisse aus 5.4 bestimmen.
5.5.2 Akquisition der Frequenzverschiebung Den in 4.4 angegebenen Mglichkeiten zur Sch tzung der Frequenzverschiebung ist gemein, da das Empfangssignal mit einer an die Anzahl der Phasenzust nde des Sendesignals angepaten Nichtlinearit t zu bearbeiten ist. Diese Nichtlinearit t fhrt wie bereits bei der di erentiellen Akquisition der Zeitverschiebung und der Erzeugung des nicht-koh renten Fehlersignals beim Tracking zu einer markanten Verst rkung des Rauschanteils. Nachteilig an der Nichtlinearit t ist zudem die Tatsache, da die Strung nach der Nichtlinearit t nicht mehr Gauverteilt ist. Im Anschlu an die Nichtlinearit t kann das Signal einer Tiefpalterung unterzogen werden, deren Grenzfrequenz bei einer M -fachen Potenzierung des Empfangssignals M max nicht unterschreiten darf. Bei der Akquisition der Frequenzverschiebung ist zu beachten, da das Intervall, das eine gelungene Akquisition bezeichnet, von S abh ngt. Dieser Zusammenhang ist am deutlichsten an der N herung der Ambiguity-Funktion aus (5.17) sichtbar. ber den Parameter S l t sich einstellen, wie schnell der
132
5 Akquisitionsverfahren SNRC Varf ^(R)j 0 = 0g 2,887 dB 0,0 1,887 dB 0,0 0,887 dB 1389665,39 -0,113 dB 14912616,71 -1,11 dB 58503832,13 -2,11 dB 102126621,51
Tab. 5.4 Varianz des Sch tzfehlers Term sin( STC )= sin( TC ) und damit der Signalanteil am Ausgang eines angepaten Filters in Frequenzverschiebungsrichtung abklingt. Aus diesem Grund ist eine allgemeine Bewertung mittels der Detektionswahrscheinlichkeit schwierig und es empehlt sich anstatt dessen, die Varianz des verwendeten Sch tzers zu betrachten. Fr die Frequenzverschiebungssch tzung auf der Basis einer Phasensch tzung wurde bereits in 4.4.1 gezeigt, da sie fr grere 0 ungeeignet ist. Von allen weiteren in der Literatur angegebenen Sch tzern zur Bestimmung der Frequenz einer gestrten Schwingung hat der ML-Ansatz aus (4.74) stets die besten Ergebnisse hinsichtlich der Sch tzfehlervarianz ergeben. Ein Beispiel zur Akquisition eines IS95-Pilotsignals soll die Leistungsf higkeit des ML-Sch tzers verdeutlichen. Das IS95-Pilotsignal weist vier Phasenzust nde auf. Die Simulation eines Systems mit einem der Potenzierung mit M = 4 nachgeschalteten Tiefpa mit einer Grenzfrequenz von 4 38 4 kHz = 1536 kHz hat bei einem Abtastverh ltnis nach der Tiefpalterung von TC =TS = 025 fr eine L nge der Summation in (4.74) von K = 1024 die in Tab. 5.4 gezeigten Sch tzfehlervarianzen fr den AWGN-Kanal ergeben. Bis zu einem SNRC von 2 dB ist die empirische Varianz ber 1000 Realisierungen Null. Ab 2 dB nimmt sie in starkem Mae zu und die Sch tzwerte werden unbrauchbar. Fr die Akquisition eines DSSS-Signals ist solch ein Akquisitionsverhalten inakzeptabel, da das SNRC realer Systeme weit unter 0 dB liegt. Anders ist die Situation in einem CDMA System wie IS95. Im Downlink sind alle Signale synchron und das Downlinksignal kann unabh ngig von der Anzahl der Nutzer nur vier Phasenzust nde annehmen 74], 75, S.521]. Dies bedeutet, da sich die Energie aller Nutzsignale zur Akquisition der Frequenzverschiebung nutzen l t. Simulationen mit unterschiedlichen Nutzeranzahlen, sowie mit Nachbarzelleninterferenz und frequenzselektiver Mehrwegeausbreitung zeigen ein mit Tab. 5.4 vergleichbares Verhalten. Da-
5.6 Zusammenfassung
133
mit die Akquisition der Frequenzverschiebung unabh ngig von der Zeitverschiebung mit dem beschriebenen Ansatz in jedem Fall mglich ist, mu eine ausreichende Leistung des Pilotsignals garantiert sein, wenn dieses Signal als einziges von einer Basisstation abgestrahlt wird.
5.6 Zusammenfassung Die vergleichenden analytischen Untersuchungen zur ML- und Schwellwertdetektion zeigen deutlich, da der ML-Detektor in dem fr eine bertragung relevanten SNR-Bereich das bessere Verhalten aufweist. Vergrert sich die Unsicherheitsregion, oder wird die Strafzeit l nger, nimmt der Vorteil des ML-Detektors immer mehr zu. Dieser Vorteil wird zus tzlich durch den Umstand verst rkt, da die theoretischen Ergebnisse zur Schwellwertdetektion wesentlich optimistischere Ergebnisse liefern, als sich bei der Simulation eines realistischen Systems ergeben. Fr den ML-Detektor f llt dieser Unterschied vergleichsweise gering aus. Neben dem besseren Akquisitionsverhalten besitzt der ML-Detektor zudem den entscheidenden Vorteil, da die Denition eines Schwellwertes entf llt. Da eine geeignete Amplitudenregelung eines DSSS-Signals erst nach der Synchronisation erfolgen kann, ist dieser Vorteil bei zeitvarianter Mehrwegeausbreitung von doppelter Bedeutung. Eine zu erwartende frequenzselektive Mehrwegeausbreitung l t sich bei der Signalverarbeitung des Empfangssignals geeignet bercksichtigen, so da sich das Akquisitionsverhalten fr solch einen Fall deutlich verbessern l t. Ist die Frequenzverschiebung nicht zu gro, lassen sich geeignete Verfahren angeben, die eine Sch tzung der Zeitverschiebung ermglichen, ohne da eine gleichzeitige Frequenzsch tzung erforderlich ist. Des weiteren ist eine analytische Betrachtung dieser Verfahren auf der Basis der fr die gemeinsame Akquisition von Zeit- und Frequenzverschiebung angestellten Betrachtungen mglich. Eine reine Akquisition der Frequenzverschiebung von DSSS-Signalen ist hingegen als unrealistisch zu bewerten. Eine Ausnahme bilden unter der Voraussetzung eines leistungsstarken Pilotsignals CDMANetze.
134
5 Akquisitionsverfahren
A Absorbierende Markov-Ketten Endliche Markov-Ketten Eine Markov-Kette beschreibt eine Abfolge von Zustandsberg ngen, bei denen der kte bergang nur von dem Ergebnis des vorhergehenden bergangs k ; 1 abh ngt 26]. Die Anzahl R der mglichen Zust nde ist zudem hchstens abz hlbar. Die Betrachtungen beschr nken sich auf endliche Markov-Ketten. Fr endliche Markov-Ketten ist die bergangswahrscheinlichkeit P (sm jsn ) von einem Zustand sn in den Zustand sm unabh ngig von der Anzahl der bereits aufgetretenen Zustandsberg nge, das heit unabh ngig von k. Die bergangsmatrix einer endlichen Markov-Kette ist durch
0 P (s js ) BB P (s00 js10 ) P=B .. @ .
P (s1 js0 ) P (s1 js1 ) .. . P (s0 jsR;1 ) P (s1 jsR;1 )
1
: : : P (sR;1 js0 ) : : : P (sR;1 js1 ) C C C .. ... A . : : : P (sR;1 jsR;1 )
(A.1)
deniert. Bezeichnet (0) mit (0) = (P0(s0 ) P0(s1 ) ::: P0(sR;1 ))T
(A.2)
den Vektor, der angibt mit welchen Wahrscheinlichkeiten P0(sn ), n = 0 ::: R; 1, die Zust nde sn fr k = 0 eintreten, folgen die Wahrscheinlichkeiten Pk(sn ) nach dem kten bergang in die Zust nde sn , n = 0 ::: R ; 1, zu gelangen aus T(k ) = T(0)Pk
(A.3)
(k ) = (Pk(s0 ) Pk(s1 ) ::: Pk(sR;1 ))T :
(A.4)
mit
136
A Absorbierende Markov-Ketten
Absorbierende Markov-Kette Die im folgenden angegebenen Eigenschaften absorbierender Markov-Ketten sind 55] entnommen. Ein Zustand sn wird als absorbierend bezeichnet, wenn
P (sn jsn ) = 1 und P (sm jsn ) = 0 n 6= m
(A.5)
gilt. Weist die bergangsmatrix einer endlichen Markov-Kette absorbierende Zust nde auf, so bendet sich der Proze mit Wahrscheinlichkeit 1 fr k ! 1 in einem absorbierenden Zustand, wenn von jedem nicht absorbierenden Zustand aus nach einer endlichen Zahl an Versuchen mindestens ein absorbierender erreichbar ist. Ein solcher Proze wird als endliche absorbierende Markov-Kette bezeichnet.
Fundamentale Matrix Sind von R mglichen Zust nden Q nicht absorbierend, l t sich die bergangsmatrix durch geeignetes Anordnen der Zust nde in der kanonischen Form
I O P= R Q
(A.6)
schreiben. In (A.6) hat die Einheitsmatrix I die Dimension (R ; Q) (R ; Q) und Q die Dimension QQ. O ist eine Nullmatrix der Dimension (R;Q)Q. Mit Hilfe von (A.6) l t sich die fundamentale Matrix N angeben
N = (I ; Q);1
(A.7)
wobei I die Dimension Q Q hat. Ein Element nnm der Matrix N beschreibt die mittlere H ugkeit mit der sich der Proze bis zum Erreichen eines absorbierenden Zustandes in dem Zustand sm bendet, wenn sn der nicht absorbierende Ausgangszustand fr k = 0 ist. Die Anzahl der Versuche, die fr einen gegebenen nicht absorbierenden Anfangszustand sn notwendig sind, bis der Proze einen absorbierenden Zustand erreicht, beschreibt die Zufallsvariable Un . Der Mittelwert dieser
137 Zufallsvariablen folgt mit (A.7) zu 55, S.59]
un = EfUn g =
QX ;1 m=0
nnm :
(A.8)
Die Zusammenfassung der Mittelwerte ergibt den Vektor
u = (u0 u1 ::: uQ;1 )T :
(A.9)
Die Varianzen u2 n der Zufallsvariablen Un , n = 0 ::: Q ; 1, fr die
; u2 n
u2 n = E Un2
(A.10)
gilt, lassen sich in vektorieller Form gem
u2 = ;u2 0 u21 ::: u2Q;1 T zusammenfassen. Berechnen l t sich u2 mittels 55, S.59] u2 = (2N ; I) u ; uT I u :
(A.11) (A.12)
138
A Absorbierende Markov-Ketten
B Gau approximation Innenproduktraum Fr zwei Vektoren x = (x0 ::: xN ;1), y = (y0 ::: yN ;1) des CN ist das Innenprodukt durch
xy
h j i=
NX ;1 k=0
xk yk
(B.1)
und die Norm durch
v u NX ;1 2 u t jxk j kx k =
(B.2)
k=0
gegeben. Ein Vektorraum E ber einem Krper IK 37] heit Innenproduktraum, wenn jedem Paar (x y) von Elementen aus E eine Zahl hxjyi aus IK so zugeordnet ist, da gilt hx + y jz i hxjy i hxjy i hxjxi 0
= hxjzi + hyjzi
(B.3)
= hxjyi
(B.4)
= hyjxi
wobei hxjxi = 0 genau fur x = 0 gilt:
Mit (B.1) bis (B.6) folgt, da CN ein Innenproduktraum ist 37].
(B.5) (B.6)
140
B Gau approximation
Gau approximation und Besselsche Gleichung
Es sei S = fu0 ::: uM ;1g ein Orthonormalsystem in dem Innenproduktraum CN . Dann ist die Gausche Approximationsaufgabe, !! PMzu;1 gegebenem !! x 2 N C Zahlen 0 ::: M ;1 so zu bestimmen, da !x ; m=0 m um ! minimal wird, eindeutig durch
m = hx jum i
(B.7)
lsbar. Werden die gem der Gauschen Approximation bestimmt, gilt ferner die Besselsche Gleichung 36, S.255]
!! MX;1 !2 !!x ; hx jum ium !!! = kx k2 ; MX;1 jhx jumij2 : ! m=0 ! m=0
(B.8)
Satz des Pythagoras
Fr jedes endliche Orthogonalsystem S = fu0 ::: uM ;1g gilt 37]
!!u + ::: + u !!2 = ku k2 + ::: + !!u !!2 : 0 M ;1 0 M ;1
(B.9)
C 2-Verteilung Fr die Summe Y von M Betragsquadraten unabh ngiger komplexer Gauscher Zufallsvariablen Xi , i = 0 ::: M ; 1 gilt
Y = (RefX0 g)2 + (ImfX0g)2 + (RefX1 g)2 + (ImfX1 g)2 + ::: + (RefXM ;1 g)2 + (ImfXM ;1g)2 :
(C.1)
Weisen Real- und Imagin rteil der Zufallsvariablen Xi stets die gleiche Varianz N0=(2S ) auf und sind Real- und Imagin rteil jeweils unabh ngig, so ist Y durch eine nichtzentrale 2-Verteilung mit 2M Freiheitsgraden beschrieben 73, S.44], wenn mindestens einer der komplexen Mittelwerte i der Zufallsvariablen Xi ungleich Null ist. Die Dichte von Y lautet dann 73, S.44]
y S fY (y) = N 2 0
mit
2 =
MX ;1 i=0
M ;1 2
2 S e;( +y) N0 IM ;1 2py NS y 0 (C.2)
0
jij2 :
(C.3)
In(x) ist die modizierte Besselfunktion nter Ordnung. Es sei nochmals betont, da die Darstellung der Dichte aus (C.3) 2M Freiheitsgrade aufweist. Fr 2 = 0 geht die nichtzentrale in die zentrale 2-Verteilung mit 2M Freiheitsgraden ber, deren Dichte durch 94, S.73] M ;1e;y N0 y fY (y) = y 0 N0 M (M ; 1)! S S
(C.4)
gegeben ist. Wenn zus tzlich M = 1 gilt, folgt Y einer Exponentialverteilung.
142
C 2-Verteilung
Abk rzungen, Notation und Formelzeichen Abk rzungen AWGN BPSK CDMA DFT DLL DSSS EM ISM IS95 GPS GSM GWSSUS MF ML MTLL PSK UMTS SAGE SNR TCXO WSSUS
additives weies Gausches Rauschen binary phase shift keying code division multiple access diskrete Fourier-Transformation delay-lock loop direct sequence spread-spectrum expectation-maximization industrial, scientic and medical Interim Standard 95 Global Positioning System Global System for Mobile Communications Gaussian wide-sense stationary uncorrelated scattering Meritfaktor Maximum-Likelihood mean time to lose lock phase shift keying Universal Mobile Telecommunication System space-alternating generalized expectation-maximization Signal-zu-Rauschverh ltnis temperature-compensated crystal oscillator wide-sense stationary uncorrelated scattering
Notation x x X X x(t) X (t)
Index Variable Konstante Zufallsvariable Funktion stochastischer Proze
144
Abk rzungen, Notation und Formelzeichen
X (f )
x X X kx k hx jyi bxc
arg z arg max f (x) x Refzg Imfzg EfX g VarfX g
Fourier-Transformierte Vektor Zufallsvektor Matrix Norm Innenprodukt ganzzahliger Anteil einer reellen Zahl x Phase Argument, fr das f (x) maximal ist Realteil Imagin rteil Erwartungswert Varianz
Formelzeichen an A A( ) Agg( ) AbS b( )
aTl A( ) A(d )
n-tes Element einer allgemeinen Folge Parameter der Strafzeit eines Falschalarms Ambiguity-Funktion Ambiguity-Funktion der Pulsformung Ambiguity-Funktion der Codefolge l-te Zeile von A(d ) Pseudoinverse von X( ) Pseudoinverse von X(d )
bn b(t) bS(t) B BTP
n-tes Element der Codefolge Codefolge in zeitkontinuierlicher Darstellung auf STC zeitbegrenzte Codefolge Bandbreite des Sendesignals Bandbreite des Empfangslters
c C C (x)
Lichtgeschwindigkeit Anzahl der Quadrate in der Unsicherheitsregion Kostenfunktion des Bayessch tzers
di Di
i-tes Element von d i-tes Element von D Menge aller mglichen Datenvektoren
D
Abk rzungen, Notation und Formelzeichen
d d^ (r) D
Datenvektor Sch tzung von d Zufallsvektor der Datensymbole
Eb Ec E0 E( )
Energie eines Bits Energie eines Codechips Faktor zur Energienormierung Matrix zur zeitdiskreten Modellierung der Frequenzverschiebung
f fX (x;) fYjX yjx F ( )
Frequenz Dichtefunktion bedingte Dichtefunktion Richtcharakteristik einer Antenne
g(t) g(x) gTP (t) G1 G(f ) GTP (f )
Impulsantwort des pulsformenden Filters Generatorpolynom Empfangslterimpulsantwort Verst rkungsfaktor des Trackingregelkreises Fourier-Transformierte von g(t) Fourier-Transformierte von gTP (t)
l-tes Element von h zeitvariante Kanalimpulsantwort l-tes Element von h^ ( d r) Zufallsvariable des l-ten Mehrwegs Kanalproze h Kanalvektor h^ ( d r) Sch tzer des Kanalvektors
hl h( t) ^hl( d r) Hl H ( t) i I0(x)
I
allgemeiner Index modizierte Besselfunktion nullter Ordnung Einheitsmatrix
k K
Index der Abtastzeit Anzahl der Abastwerte
l L
Index der au sbaren Mehrwege Anzahl der au sbaren Mehrwege
145
146
Abk rzungen, Notation und Formelzeichen
m M M
allgemeiner Summationsindex Anzahl der Codechips pro Datensymbol Anzahl der mglichen Phasenzust nde
n N N0 IN IN0
Index der Codefolge L nge der Codefolge Rauschleistungsdichte Menge der natrlichen Zahlen Menge der natrlichen Zahlen einschlielich Null fundamentale Matrix einer Markov-Kette
pl( ) PD PF PD
PF
P (l=B ) P (smjsn)
Dichtefunktion der Elevation des l-ten Mehrwegs Detektionswahrscheinlichkeit des ML-Detektors Falschalarmwahrscheinlichkeit des ML-Detektors Detektionswahrscheinlichkeit des Schwellwertdetektors Falschalarmwahrscheinlichkeit des Schwellwertdetektors Leistung des l-ten Mehrwegs bergangswahrscheinlichkeit von sn nach sm bergangsmatrix einer Markov-Kette
Q Ql( )
Parameter der Au sung der Frequenzverschiebung normiertes Dopplerspektrum des l-ten Mehrwegs Teil der bergangsmatrix P einer Markov-Kette
rk r(t) rTP (t) rect(x) R
Abtastwert des Empfangssignal fr t = kTS Empfangssignal tiefpageltertes Empfangssignal normierte Rechteckfunktion Anzahl der nicht absorbierenden Zust nde einer Markov-Kette Risiko des Bayessch tzers Menge der reellen Zahlen Empfangsproze RTP (t) fr t = kTS Empfangsproze Hilfsgre zum Berechnen des Fehlersignals s( ) tiefpagelterter Empfangsproze Empfangsvektor Zufallsvektor des Empfangsprozesses
N
P
Q
R IR Rk R(t) Rb ( ) RTP (t)
r R
Abk rzungen, Notation und Formelzeichen
147
sn s( ) S Smax S ( ) SNR SNRC
n-ter Zustand einer Markov-Kette Fehlersignal Chipanzahl des zeitbegrenzten Signalmodells maximale Chipanzahl Fehlersignalproze Symbolenergie-zu-Rauschenergieverh ltnis Chipenergie-zu-Rauschenergieverh ltnis
t TAKQ TB TC TS T
Zeit Akquisitionszeit Symboldauer Chipdauer Abtastintervall Zufallsvariable der Zeitverschiebung
u
Parameter zur Diskretisierung der Zeitverschiebung
v V
Parameter zur Diskretisierung der Frequenzverschiebung Zufallsvariable der Frequenzverschiebung
w(t) W
Ausgangssignal des Mehrwegekanals Drehoperator
x(t) xS(t) x(d t) xS(d t) X (f ) X (D t) XS(D t)
zeitlich nicht begrenztes Signalmodell zeitlich begrenztes Signalmodell zeitlich nicht begrenztes mit Daten moduliertes Signalmodell zeitlich begrenztes mit Daten moduliertes Signalmodell Fourier-Transformierte von x(t) zeitlich nicht begrenzter mit Daten modulierter Signalproze zeitlich begrenzter mit Daten modulierter Signalproze
x( ) x(d ) ~x(d ) X~ (D ) XD X( ) X(d )
Signalvektor Signalvektor mit Datenmodulation Signalvektor vor der Gauschen Strung Zufallsvektor des Signals vor der Gauschen Strung Matrix zum zyklischen Verschieben der Elemente innerhalb der Spalten einer Matrix Matrix aus zeitverschobenen Signalvektoren x( ) Matrix aus zeitverschobenen Signalvektoren x(d )
148
Abk rzungen, Notation und Formelzeichen
y yn
Variable zeitdiskrete Variable
z(t) Z Zk Z (t) Zg(t) ZTP (t)
z Z
Strsignal Menge der ganzen Zahlen k-tes Element des Vektors Z Gauscher Rauschproze Z (t) nach der Filterung mit g(t) Z (t) nach der Filterung mit gTP (t) Strsignalvektor Zufallsvektor der Gauschen Kanalstrung
Azimut
m
Elevation Schwelle des Schwellwertdetektors maximale Elevation
max
Sch tzfehler der Zeitverschiebungssch tzung maximal zul ssiger Sch tzfehler der Zeitverschiebungssch tzung
(t)
Deltaimpuls Parameter des Fehlersignals s( ) O set des Fehlersignals
Zeitdispersion
# #max
Sch tzfehler der Frequenzverschiebungssch tzung maximal zul ssiger Sch tzfehler der Frequenzverschiebungssch tzung Parametervektor Zufallsvektor der Signalparameter
^(r)
Frequenzverschiebung des Kanalmodells maximale Dopplerverschiebung maximal mgliche Frequenzverschiebung Frequenzverschiebung des Kanals Frequenzverschiebungssch tzer
Di erenz zweier Zeitpunkte
m
max 0
Abk rzungen, Notation und Formelzeichen
d 0 ^(r)
Zeitverschiebung des Kanalmodells dwell time - Dauer zum Auswerten eines Quadrates der Unsicherheitsregion Zeitverschiebung des Kanals Zeitverschiebungssch tzer
Frequenzdispersion
'0 '(t) '^(t) 'HH ( ) 'ZZ () 'Zg Zg () HH( ) ZZ(f )
Phasendrehung zeitkontinuierliche Phasendrehung Sch tzung der Phasendrehung Autokorrelationsfunktion von H ( t) Autokorrelationsfunktion von Z (t) Autokorrelationsfunktion von Zg(t) Scatterfunktion Rauschleistungsdichte von Z (t)
149
150
Abk rzungen, Notation und Formelzeichen
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Literaturverzeichnis
Lebenslauf Persnliche Daten Name Geburtsdatum Geburtsort Staatsangehrigkeit
Gunnar Wetzker 26.9.68 Hamburg deutsch
Schulausbildung 1975-1979 1979-1988
Grundschule in Hamburg Gymnasium Sankt-Ansgar in Hamburg
Grundwehrdienst 1988-1989
Fernmelder in Heide in Holstein
Studium und Berufsweg 1989-1993 1994-1998
Studium der Elektrotechnik an der Universit t Karlsruhe wissenschaftlicher Angestellter am Institut fr Nachrichtentechnik der Universit t Karlsruhe
