Instituto San Marcos MATEMATICA 3° Año Funciones Docente responsable: Fernando Aso Funciones La matemática nos brinda las herramientas para entender otras ramas de la ciencia. Nos permite analizar variables económicas, físicas, biológicas, etc. En este caso, las funciones facilitan el análisis de las relaciones entre variables y la interpretación de situaciones. Interpretación de gráficos Un gráfico cartesiano es un sistema de ejes en el cual están representados los valores de las variables relacionadas. Un sistema de ejes cartesianos está determinado por dos rectas perpendiculares: la horizontal representa al eje de las abscisas, designada con la letras “x” y la vertical, el eje de las ordenadas, con la letra “y”. En cada eje se representan los valores de cada una de las variables: en el eje horizontal, la variable independiente y en el vertical la variable dependiente. Las escalas utilizadas en cada eje pueden ser distintas, pero siempre respetando en cada uno de ellos la unidad elegida.

(x; y ) = (20;100) Cada punto en el gráfico corresponde a un par ordenado (x ; y), en el cual la primera componente corresponde a la variable independiente y la segunda a la variable dependiente. Interpretar un gráfico es analizar los cambios de la variable dependiente en relación con los de la variable independiente.

El gráfico muestra la variación de la temperatura ambiente entre las 9:00 y las 16:00 de un día del mes de Septiembre. Del análisis del gráfico se obtienen las siguientes conclusiones: La temperatura a las 9:00 era de 17º C, la cual aumentó con el transcurso del tiempo, hasta llegar a 21º C a las 12:00; luego de mantenerse constante durante 1 h, disminuyo 1º C la siguiente hora y se mantuvo constante nuevamente durante las siguientes 2 h. La temperatura a las 16:00 era de 20º C. El análisis del gráfico nos permite observar los cambios en la temperatura ambiente en relación al tiempo transcurrido. Concepto de función Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la variable independiente le corresponde siempre un único valor de la variable dependiente.

Instituto San Marcos MATEMATICA 3° Año Funciones Docente responsable: Fernando Aso En el gráfico, la relación representada es una función, ya que para todos los valores de x que pertenecen al intervalo [-9 ; 8], siempre existe un único valor de y perteneciente al intervalo [-3 ; 9]. Los intervalos antes mencionados son conjuntos de valores de cada una de las variables que intervienen en la función; dichos intervalos determinan el dominio y el codominio de la función.

Dominio de la función: D f = [− 9;8]

Codominio de la función: C f = [− 3;9]

Una función es un conjunto de pares ordenados (x ; y), f = {(8;9 ), (− 9;3), (0;5), (− 4;0 ),...}; cada para ordenado indica las valores de abscisa y ordenada de cada uno de los puntos de la función. A las funciones se las puede representar de diferentes maneras: mediante una tabla, un gráfico, un diagrama de Venn y en algunos casos también mediante una fórmula.

La función tiene infinitos puntos; en la tabla y en el diagrama de Venn solo se representa algunos de ellos. Estudio de funciones

El estudio de una función permite analizar su comportamiento a partir de la variación de los valores de la variable independiente. Intervalos de crecimiento y decrecimiento Una función es creciente en un cierto intervalo de su dominio cuando al aumentar los valores de la variable independiente, aumentan los valores de la variable dependiente. Una función es decreciente cuando al aumentar los valores de la variable independiente disminuyes los valores de la variable dependiente. Ceros o raíces de una función El cero o raíz de una función es el valor de la variable independiente para el cual la función corta al eje de las abscisas o eje x. La función f (x ) tiene tres raíces: x1 = 8 ; x2 = 3 ; x3 = 14 f (− 8) = 0 f (3) = 0 f (14 ) = 0 Ordenada al origen Se llama ordenada al origen de una función al punto donde la función corta al eje de ordenadas o eje y. En la función f (x ) la ordenada al origen es y = 6

Instituto San Marcos MATEMATICA 3° Año Funciones Docente responsable: Fernando Aso Máximos y mínimos relativos El máximo relativo de una función es el punto donde esta para de ser creciente a decreciente. El mínimo relativo es el punto donde la función pasa de ser decreciente a ser creciente.

Una función puede tener más de un máximo o mínimo relativo. Función afín

Florencia todos los días para ir al trabajo toma un taxi. El taxista le cobra $ 1,20 por el solo hecho de llevarla (bajada de bandera) y $0,40 por cuadra recorrida. Entre las magnitudes relacionadas, cantidad de cuadras y dinero ($), existe una función que asigna a la cantidad de cuadras recorridas una cantidad de dinero, más un predio fijo por la bajada de bandera. Si se recorren 10 cuadras, el costo es: 10 ⋅ $0,40 + $1,20 = $5,20 . Al recorrer “x” cuadras, el costo del viaje se expresa mediante la siguiente fórmula: y = 0,40 ⋅ x + 1,20

Una función afín es aquella cuya representación gráfica es una recta. La fórmula general de una función afín es: y = a ⋅ x + b , donde a y b son números reales, llamados pendiente y ordenada al origen, respectivamente. La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al eje y. Ejemplos:

Función cuadrática

La siguiente tabla y gráfico representan la superficie de un cuadrado en función de la longitud del lado del mismo.

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La fórmula que permite calcular la superficie de cada cuadrado, en función de la longitud del lado, está dada por la expresión: y = x 2 . La variable x aparece elevada al cuadrado. Este tipo de expresiones son funciones cuadráticas y la gráfica de la misma se denomina parábola. La fórmula general de una función cuadrática está dada por la expresión: y = ax 2 + bx + c , donde a , b y c son números reales, con a ≠ 0