ACTIVIDADES PARA LA SESIÓN PRIMERA AUTOR: Begoña Soler de Dios1

Máster en Profesor de Educación Secundaria Esp. Matemáticas Universidad de Valencia

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Enero 2014

Sesión 1 1. Los poliedros regulares convexos: ¿Cuántos hay? Este apartado se encuentra resuelto en el informe de poliedros regulares convexos.

2. Una nueva situación: Se requiere convertir en rígidos los armazones de algunos sólidos Enunciar una situación en la que puedan encajar las cuestiones siguientes:

a) Cuando se intenta convertir en rígido un armazón del cubo añadiendo una diagonal a cada cara, ¿en qué sólidos se puede descomponer el cubo? ¿Cómo se han de colocar las diagonales de las caras? ¿Cómo se pueden describir los sólidos obtenidos?

Cuando se intenta convertir en rígido un armazón del cubo añadiendo una diagonal a cada cara nos aparece un tetraedro inscrito en el cubo. Las diagonales, que serán las aristas del tetraedro, se colocaran de forma que coincidan de tres en tres en los vértices del tetraedro. De este modo, los cuatro vértices del tetraedro coincidirán con cuatro de los ocho vértices del cubo mientras que los cuatro vértices del cubo opuestos a estos se corresponderán con centros de caras del tetraedro.

Por lo tanto, una vez inscrito el tetraedro dentro del cubo podemos ver que nuestro cubo inicial se puede descomponer en el tetraedro inscrito y cuatro pirámides triangulares con la misma base que el tetraedro inscrito. Es decir, tendremos el tetraedro ya descrito anteriormente y cuatro pirámides que tendrán como base cada una de las caras del tetraedro y como altura la distancia entre el centro de las caras del tetraedro y su vértice correspondiente.

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b) Cuando se convierte en rígido un armazón del cubo añadiendo todas las diagonales del cubo (las diagonales de las caras y las diagonales del espacio) que salen de un vértice, en qué sólidos se descompone el cubo? ¿Cómo se pueden describir los sólidos obtenidos?

En este caso el cubo se podrá dividir en seis pirámides cuadradas iguales. Evidentemente, cada pirámide tendrá como base cada una de las caras del cubo, situándose su ápice en el centro del cubo. Respecto a las medidas de las aristas de estas pirámides podremos decir que medirán la mitad de lo que mide la diagonal que une vértices opuestos del cubo.

c) ¿Qué ocurre cuando se intenta convertir en rígido un armazón del cubo añadiendo diagonales en el espacio? ¿Cómo puede describirse el modelo resultante?

El modelo descrito en el primer apartado.

d) ¿Cómo podemos describir los modelos del tetraedro inscrito en el cubo y el cubo inscrito en el dodecaedro? ¿Cómo se corresponden los elementos de ambos poliedros? ¿Cómo se pueden hallar las relaciones numéricas que hay entre las aristas de los sólidos implicados en los modelos T-C y C-D?

El caso del tetraedro inscrito en el cubo ha sido descrito en el apartado a.

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El cubo inscrito en el dodecaedro aparece en la imagen anterior. En este caso nos basaremos en que coincide el número de aristas del cubo con el número de caras del dodecaedro. Situaremos los cuatro pares de vértices opuestos del cubo sobre cuatro pares de vértices opuestos del dodecaedro. Las aristas del cubo corresponderán a diagonales de caras del dodecaedro, habiendo una diagonal en cada cara y juntándose de tres en tres como es propio del cubo. Finalmente, las caras del cubo corresponderán a los tres pares de aristas del dodecaedro que forman rectángulos perpendiculares entre sí.

Relacionando ambas configuraciones, es decir, inscribiendo el cubo en el dodecaedro y a su vez el tetraedro dentro de este cubo, podemos deducir que los vértices del tetraedro estarán situados en vértices del dodecaedro y que las aristas del tetraedro unirán pares de vértices del dodecaedro no consecutivos. Destacar que a cada cara del tetraedro corresponderá a cuatro vértices del dodecaedro y uno del cubo, mientras que cada cara del cubo corresponderá a dos vértices del dodecaedro.

Finalmente, podemos hallar las relaciones numéricas que hay entre las aristas de los sólidos implicados teniendo en cuenta que en el caso del C-D el cubo tiene sus aristas situadas en caras del dodecaedro, por lo tanto el número de aristas del cubo corresponderá al número de caras del dodecaedro, es decir, doce. Siguiendo con el mismo procedimiento, sabiendo que cada arista del tetraedro es una diagonal de las caras del cubo, podemos decir que el tetraedro tendrá el mismo número de aristas que caras tiene el cubo. Es decir seis. También podemos establecer la relación de que cada arista del tetraedro, que es diagonal de una de las caras del cubo, corresponde a cinco aristas del dodecaedro, por lo tanto, si el dodecaedro tiene treinta aristas el tetraedro tiene seis.

e) ¿Cuántos tetraedros se pueden inscribir en el cubo? ¿Y cubos en un dodecaedro?

Se pueden inscribir dos tetraedros en un cubo, formando la llamada estrella octangular. En esta figura se situara en cada vértice del cubo un vértice de un tetraedro, situándose en vértices opuestos del cubo vértices de diferentes tetraedros. Universidad de Valencia

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Respecto a la inscripción de cubos en el dodecaedro, si los vértices del cubo se sitúan en ocho vértices del dodecaedro, quedando libres 12, solamente se podrán inscribir dos cubos. Esto también se puede ver si nos damos cuenta que las caras del dodecaedro son pentágonos que solamente pueden tener dos diagonales, por lo tanto, como las aristas del cubo son diagonales de las caras del dodecaedro, solamente pueden haber dos.

3. Los sólidos en el mundo del arte: ¿Encontramos una explicación para las siguientes inscripciones?

¿Qué relaciones destacamos entre los elementos de los poliedros que forman cada modelo? ¿Qué otras inscripciones podemos conjeturar? ¿Cómo describiremos los modelos resultantes?

En la primera figura podemos ver un tetraedro inscrito en otro tetraedro, en la segunda y la tercera un cubo inscrito en un octaedro y viceversa, en la cuarta un dodecaedro inscrito en un icosaedro y en la quinta dos tetraedros dentro de un cubo.

En la segunda y tercera imagen podemos ver que el número de caras del octaedro es igual al número de vértices del cubo y el número de caras del cubo es igual al número de vértices del octaedro. Tienen también el mismo número de aristas y añadir que cada uno de los vértices del cubo es de orden tres, el mismo número que lados tienen los polígonos que forman las caras del octaedro (triángulos equiláteros) y que en cada uno de los vértices del octaedro es de orden cuatro, el mismo número que lados tienen los polígonos que forman las caras del cubo.

En el caso de la penúltima figura podemos decir que estos dos poliedros están relacionados de forma análoga al cubo y al octaedro. El número de caras del dodecaedro es igual al número de vértices de icosaedro y a la inversa y también tienen el mismo número de aristas. Finalmente, en cada vértice del icosaedro se juntan cinco caras, es decir, cinco aristas, que es el mismo Universidad de Valencia

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número que lados tienen las caras que forman el dodecaedro (pentágonos regulares). Lo mismo sucede en el caso contrarío siendo el orden de los vértices y el número de lados tres.

Por lo tanto podemos decir que el tetraedro se relaciona consigo miso, el octaedro y el cubo entre ambos (C-O) y el dodecaedro con el icosaedro (D-I) también entre ambos intercambiando el número de caras y vértices, presentando el mismo número de aristas y teniendo el orden de los vértices de uno de ellos igual al número de lados de las caras del otro y a la inversa.

Estos tipos de relaciones se llaman relaciones de dualidad, siendo el cubo y el octaedro duales, el dodecaedro y el icosaedro duales también y el tetraedro dual de sí mismo.

Podemos describir los poliedros resultantes de la siguiente forma: -Respecto a las aristas: En cada arista del poliedro inscrito aparece una del circunscrito y se cruzan perpendicularmente, pasando también el eje de rotación que pasa por los puntos medios de las aristas del poliedro inscrito por los puntos medios de las aristas del poliedro circunscrito. -Respecto a las caras: Si contamos el número de lados de las caras de un poliedro veremos que coincide con el orden de los vértices del otro. -Respecto a los vértices: Los vértices del poliedro inscrito se sitúan en centros de caras del poliedro circunscrito mientras que los vértices del poliedro circunscrito se corresponden con caras del poliedro inscrito.

Finalmente, en la última imagen podemos ver que esta figura coincide con la ya descrita en el apartado e) del ejercicio anterior. Se trata de la estrella octangular con su envolvente (el cubo). La intersección de estos dos tetraedros formará un octaedro y las aristas de los dos tetraedros se cortan en su punto medio. Este caso se trata de una forma compuesta, que es el poliedro más su dual aumentado hasta que llega un momento que las aristas se cortan.

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Referencias:

Poliedros. Gregoria Guillén Soler. Ed. Síntesi http://linux.ajusco.upn.mx/~transpatricio/gregoria/GregoriaWebSite/ http://centros5.pntic.mec.es Poliedros Regulares. Proyecto Estalmat. Castilla y León

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