DERIVACIÓN BAJO EL SIGNO INTEGRAL 1. Hallar el punto del intervalo [0,2] en el que la función F( x ) =
∫
x
0
t −1
·dt t 2 +1
alcanza su valor mínimo. Solución. El mínimo de una función se alcanza en los puntos donde su primera derivada es nula y su segunda derivada es mayor que cero. Para calcular la derivada de la función F(x) se tiene en cuenta el teorema fundamental del calculo integral. “Sí F el la primitiva de f, entonces la derivada de F es f.” x −1 0 −1 x −1 F ′( x ) = ⋅ (x )′ − ⋅ (0 )′ = 2 2 x +1 0 +1 x 2 +1 igualando a cero la derivada es obtienen los posibles extremos relativos x −1 = 0 ⇒ x −1 = 0 : x = 1 x 2 +1 para comprobar si es un mínimo, se sustituye en la segunda derivada F ′′( x ) =
(
)
1 ⋅ x 2 + 1 − (x − 1) ⋅ 2 x
(x + 1)
2
2
=
− x 2 + 2x + 1
(x + 1)
2
2
: F ′′( x ) =
− 12 + 2 ⋅ 1 + 1
(1 + 1)
2
2
=
1 >0 2
en x = 0, F(x) alcanza un mínimo relativo. 2. Sea F( x ) =
∫
2x
0
2
e t ⋅ dt . Hallar el valor de F'(0).
Solución. Aplicando el teorema fundamental de cálculo integral, se obtiene F’(x), y con esta expresión se particulariza para x = 0. 2 2 2 F ′( x ) = e (2 x ) (2 x )′ − e 0 (0)′ = 2 ⋅ e 4 x 2
F′(0) = 2 ⋅ e 4⋅0 = 2 ⋅1 = 2 3. Sea F( x ) =
∫ (t x2
1
2
)
− 1 ⋅ dt . Hallar los posibles puntos extremos de dicha función.
Solución. La condición necesaria y suficiente para una función alcance un extremo relativo en un punto, es que en ese punto la primera derivada sea cero y la segunda derivada sea distinta de cero, con el siguiente criterio. f ′′(x o ) < 0 ⇒ MÁXIMO f ′(x o ) = 0 : f ′′(x o ) > 0 ⇒ MÍNIMO
Para calcular F’(x) se tiene en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral. 2 ′ F ′(x ) = x 2 − 1 ⋅ x 2 − 12 − 1 ⋅ (1)′ = 2 x ⋅ x 4 − 1
( )
( ) (
)
(
)
igualando a cero la derivada se localizan los posibles extremos relativos. 2x = 0 ⇔ x = 0 2x ⋅ x 4 − 1 = 0 : 4 x − 1 = 0 ⇔ x = ±1
(
)
para comprobar si son extremos relativos se sustituyen en la segunda derivada. F ′′(− 1) = 10 ⋅ (− 1)4 − 2 = 8 > 0 F ′(x ) = 2 x ⋅ x 4 − 1 = 2x 5 − 2x ⇒ F ′′(x ) = 10 x 4 − 2 : F ′′(0) = 10 ⋅ 0 4 − 2 = −2 < 0 F ′′(1) = 10 ⋅14 − 2 = 8 > 0
(
)
En x = ±1, la función presenta mínimos relativos, en x = 0 máximo relativo.
4. Sea. F( x ) =
∫
x3
0
2
e t ⋅ dt . Calcular F'(x).
Solución. Teniendo en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral 3 2 2 6 ′ F ′( x ) = e (x ) ⋅ x 3 − e 0 ⋅ (0 )′ = 3x 2 ⋅ e x
( )
∫
sen x
5. Sea F( x ) = arcsen t ⋅ dt . Calcular F'(x). 0
Solución. Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral F ′( x ) = arcsen(sen x ) ⋅ (sen x )′ − arcsen 0 ⋅ (0)′ = x ⋅ cos x teniendo en cuenta que arcsen(sen x ) = x 6. Sea la función F( x ) =
∫
x2
o
2
e − t dt
a) Calcular F’(x), estudiar el crecimiento de F(x) y hallar los máximos y mínimos. Solución. Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral se obtiene la expresión de F’(x). 2 2 2 4 ′ F ′( x ) = e − (x ) ⋅ x 2 − e −0 ⋅ (0 )′ = 2x ⋅ e − x
( )
El estudio de la monotonía de la función se asocia al estudio del signo de su derivada con el Sí F ′(x) < 0 , F(x) es decreciente siguiente criterio: Sí F ′(x) > 0 , F(x) es creciente Para estudiar el signo de la derivada, se debe tener en cuenta que la función exponencial siempre es mayor que cero, por lo que el signo solo depende de la parte polinómica. Sí x < 0 ⇒ 2x < 0 ⇒ F ′(x ) < 0 ⇒ F( x ) es decreciente Signo(F ′( x ) ) = Signo(2x ) : Sí x > 0 ⇒ 2x > 0 ⇒ F ′(x ) > 0 ⇒ F( x ) es creciente b) Calcular F’’(x) y estudiar la concavidad y convexidad de F(x). Esbozar la gráfica con los datos obtenidos. Solución. 4
4
4
(
)
4
(
)
F ′( x ) = 2x ⋅ e − x : F ′′( x ) = 2 ⋅ e − x + 2x ⋅ e − x ⋅ − 4 x 3 = 2e − x 1 − 4x 4 Para estudiar el signo de F’’(x) se resuelve la ecuación ± 2 1 − 4x4 = 0 : x = 2 sobre una recta real se colocan estos valores y se estudia el signo de la segunda derivada en los tres intervalos que se generan 2 : F ′′(x ) < 0 F(x) es concava ∩ Sí x ∈ − ∞,− 2 4 2 2 F ′′( x ) = 2e − x 1 − 4x 4 : Sí x ∈ − , : F ′′(x ) > 0 F(x) es convexa ∪ 2 2 Sí x ∈ 2 ,+∞ : F ′′(x ) < 0 F(x) es concava ∩ 2
(
)
∫ 7. Calcular el siguiente límite: Lím
x
0
(
)
t 2 ·log 1 + 4t 2 ·dt
x5 nota: el símbolo log representa al logaritmo neperiano. Solución. x →0
x 2
∫t Lím 0 x →0
llamando F(x ) =
x 2
∫0 t
(
)
0 2
∫t = 0
·log 1 + 4 t 2 ·dt x5
(
(
)
·log 1 + 4 t 2 ·dt 05
)
a 0 = f ( x )dx = 0 = = ? a 0
∫
⋅ log 1 + 4 t 2 ⋅ dt y aplicando el teorema de L´hopital x 2
∫t Lím 0
(
)
·log 1 + 4 t 2 ·dt
= Lím
5
F(x )
= Lím
F′(x )
x 5x 4 Para calcular F´(x) se recurre al teorema fundamental del cálculo integral que dice que si F es la primitiva de f, entonces, la derivada de F es igual a f x →0
x →0
Sí F(x ) =
x 2
∫0 t
(
)
x 5 L´H x →0
∫ f = F ⇒ F' = f
(
)
(
)
(
log 1 + 4t 2 ⋅ dt ⇒ F ′(x ) = x 2 log 1 + 4x 2 ⋅ (1) − 0 2 log 1 + 4 ⋅ 0 2 ⋅ (0 ) = x 2 log 1 + 4 x 2
sustituyendo en el límite Lím
F ′(x )
= Lím
(
x 2 log 1 + 4 x 2
) = Lím log(1 + 4x ) = log(1 + 4 ⋅ 0 ) = 0 2
)
2
0 x →0 5x 4 x →0 5x 4 5x 2 5⋅ 02 aplicando de nuevo el teorema de L´hopital 8x 2 log 1 + 4x 2 8x 8 8 8 4 Lím = Lím 1 + 4x = Lím = Lím = = = 2 2 2 2 10 5 x →0 L´H x →0 10 x x →0 10 x ⋅ 1 + 4 x x →0 10 ⋅ 1 + 4 x 5x 10 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0 x →0
(
)
(
)
(
)
(
)
8. Calcular los puntos donde se anula la derivada de la función f ( x ) = −2 x +
∫
2x
0
e t ² −10 t + 24 ·dt
9. Sea f una función real de la variable real, continua y positiva, tal que x
∫ f (t)·dt = e 0
x
+ arctg(x ) + a
Determinar el valor de la constante a y hallar f (x) aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo. Solución. Derivando los dos miembros respecto de x d x d x f ( t )·dt = e + arctg(x ) + a dx 0 dx y teniendo en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral para resolver el primer miembro, se obtiene la expresión de f (x) d x f ( t ) ⋅ dt = f ( x ) ⋅ (x )′ − f (0) ⋅ (0 )′ = f ( x ) 1 dx 0 x : f (x) = e + d x 1 x 1+ x 2 e + arctg(x ) = e + 2 dx 1+ x
(
∫
∫
(
)
)
Para calcular la constante a, se tiene en cuenta el valor de la primitiva
F(t ) = e t + arctg(t ) siendo a el valor que toma la primitiva para el límite inferior(0), cambiado de signo a = −(e0 + arctg 0 ) = −1
10. Se consideran las funciones F( x ) =
∫
x
0
2
e t ·dt , g(x) = x2
Calcular las derivadas de las funciones compuestas ( F o g ) ‘ ( x ) y ( g o F ) ‘ ( x ). 11. Sea f ( x ) una función continua y derivable en toda la recta real, tal que f ( 0 ) = 0, f ( 1 ) =0, f ( 2 ) = 2, f ’ ( 0 ) = 1 , f ‘ ( 1 ) = 2. x a) Calcular g ‘ ( 1 ), siendo g ( x ) = f f (t + 1)·dt 1 Solución.
∫
x
∫1
Para calcular g ‘(1), previamente hay que calcular g ‘(x). Llamando F (x) a la función f ( t + 1)dt , la función g queda de la forma:
g ( x ) = f (F( x ) )
función compuesta que para derivar hay que utilizar la regla de la cadena g ′( x ) = f ′(F( x ) ) ⋅ F ′( x )
particularizando para x = 1 g ′(1) = f ′(F(1)) ⋅ F ′(1)
-1-
expresión de la que se calcula cada término por separado 1
F(1) = f ( t + 1)dt = 0
∫1
teniendo en cuenta la 1ª propiedades de la regla de Barrow. f ′(F(1)) = f ′(0 ) = 1 -2-
según los datos del enunciado Para calcular F’(1), es necesario calcular previamente F’(x), que teniendo en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral ( Sí F es la primitiva de f ⇔ F’ = f ) se expresa de la siguiente forma x
∫1
F( x ) = f ( t + 1)dt → F ′( x ) = f ( x + 1) ⋅ ( x ) ′ − f (1 + 1) ⋅ (1) ′ = f ( x + 1) ⋅1 − f (1 + 1) ⋅ 0 = f ( x + 1)
particularizando para 1
F ′(1) = f (1 + 1) = f (2) = 2
-3-
sustituyendo 2 y 3 en uno, se obtiene el valor de g’(1) g ′(1) = f ′(F(1)) ⋅ F ′(1) = 1 ⋅ 2 = 2
b) Calcular Lím x →1
g( x ) f (x)
Solución. 1 f f ( t + 1)dt 1 g( x ) g(1) f ( 0) 0 = = Lím = = f (1) f (1) f (1) 0 x →1 f ( x ) aplicando el teorema de L’Hopital g( x ) g ′( x ) g ′(1) 2 Lím = Lím = = =1 f ′(1) 2 x →1 f ( x ) x →1 f ′( x )
∫
12. Calcular F'(x) y simplificar el resultado, siendo F( x ) =
∫
arcsen x 2
0
e sen t ·dt , − 1 < x < 1
13. Hallar la raíz de la ecuación F'(x) = 0 que pertenece al intervalo [0, 1], siendo F( x ) = x −
∫ tg(t )⋅ dt x
2
0
14. Calcular F’(1), siendo F( x ) =
x
1
∫x −2 (t 2 + 2t + 2)2 dt
