Temas sobre los que avanzaremos  Cantidades angulares  Movimiento circular de una partícula  Dinámica de rotación  Oscilaciones

 Centro de gravedad  Estática  Condiciones de equilibrio

Cantidades angulares  Movimiento rotacional puro: es tal que el movimiento de un objeto alrededor de un eje fijo significa que todos los puntos en el objeto se mueven en círculos y que los centros de tales círculos se encuentran sobre una línea llamada eje de rotación.

Cantidades angulares  Todo punto de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo se mueve en un

círculo, cuyo centro está sobre el eje de rotación y cuyo radio es R. Un alinea recta dibujada del eje a cualquier punto en el objeto barre el mismo ángulo  en el mismo intervalo de tiempo.

Visto desde arriba

Cantidades angulares  Entonces para indicar la posición angular del objeto especificamos el ángulo  de alguna línea en particular en el objeto con respecto a una línea de referencia, aquí el eje x. Así, un punto en el objeto que se mueve un ángulo  recorre una distancia l medida a lo largo de la circunferencia de sus trayectoria. Normalmente los ángulos se indican en grados, pero la descripción del movimiento circular es más sencilla si se emplea el radián. Un Radián: se define como el ángulo subtendido por una arco cuya longitud es igual al radio.

l

Válida si el ángulo se expresa en 𝜽= radianes 𝑹 De esta manera, se tiene que una radián es aproximadamente igual a 57,3°.

Cantidades angulares: velocidad angular y tangencial • Para la cinemática rotacional, usamos cantidades angulares, como la velocidad angular y la aceleración angular. Éstas son análogas a las del movimiento lineal. Desplazamiento Angular: ∆𝜽 = 𝜽2 - 𝜽1 .

∆𝜽 Velocidad Angular promedio está dada por, 𝒘 = ∆𝒕 𝒅𝜽 Velocidad Angular instantánea está dada por, 𝒘 = 𝒅𝒕 Aceleración Angular promedio está dada por, Aceleración Angular promedio está dada por,

Cuando 𝛼 es constante

𝒘 𝒕 = 𝒘𝟎 + 𝜶 𝒕

𝜶=

𝜶=

∆𝒘 ∆𝒕

𝒅𝒘 𝒅𝒕

𝟏 𝟐 𝜽 𝒕 = 𝜽𝟎 + 𝒘𝟎 𝒕 + 𝜶 𝒕 𝟐

Cantidades angulares: velocidad angular, aceleración angular y tangencial

𝜽=

l 𝑹

dl = 𝑹 𝒅𝜽

 Si derivamos en ambos miembros

tenemos:

𝒅l 𝒅𝜽 =𝑹 𝒅𝒕 𝒅𝒕

𝒗=𝑹𝒘  Si la velocidad angular cambia en el tiempo tenemos: 𝒅𝒗 𝒅𝒘 =𝑹 𝒅𝒕 𝒅𝒕

𝒂𝑻 = 𝑹 𝜶

Cantidades angulares: velocidad angular, aceleración angular y tangencial

 Tenemos que la aceleración tangencial está dada por: 𝒂𝑻 = 𝑹 𝜶

Si 𝜶=0 y 𝒘 ≠ 0, entonces 𝒂𝑻 = 0

¿El cuerpo está sometido a alguna fuerza externa?

Si

No

Cantidades angulares: aceleración centrípeta

r r r v d v a  lim  t  0 t dt

Cantidades angulares: aceleración centrípeta Un objeto que se mueve en un círculo de radio 𝑹 con rapidez constante 𝒗 tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro del círculo y cuya magnitud es 2

v ar  R

Finalmente tenemos que: La aceleración lineal de un objeto que se encuentra en movimiento circular tiene, en general una aceleración dada por: 





a total  a tan  a R

Cantidades angulares: Frecuencia y Periodo

Frecuencia 𝒇: es el número de revoluciones por segundo

w f  2

Período 𝐓: tiempo requerido para completar una revolución.

1 T f

Cinemática rotacional ¿Son la velocidad angular y la aceleración angular cantidades vectoriales? Si

Ecuaciones de movimiento

La dirección está determinada por el eje de rotación y el sentido por la regla de la

mano derecha

El objeto que gira está siempre acelerado.

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME • Si un objeto está acelerado debe haber una fuerza no nula actuando sobre él

r r  Fneta  m a • Un objeto que se mueve en un círculo debe tener una fuerza aplicada para seguir moviéndose en ese círculo

v2  FR  m aR  m r

“Esta fuerza debe ser aplicada por otros objetos.”

Ejemplo: Autos y curvas

DINÁMICA ROTACIONAL ¿Por qué rotan los objetos? EJE DE ROTACIÓN FUERZA BRAZO DE MOMENTO O PALANCA

TORCA o MOMENTO DE UNA FUERZA

𝝉

Causa

Efecto

𝝉

𝜶

𝝉=𝑹𝑭

𝝉 = 𝑹 𝑭⊥ = 𝑹 𝑭 𝐬𝐞𝐧 𝜽 𝝉=𝑹 ×𝑭

𝝉 es perpendicular al plano definido por 𝑹 y 𝑭. 𝜽 es el ángulo medido en sentido antihorario desde 𝑹 hasta 𝑭.

DINÁMICA ROTACIONAL • Sabemos que la aceleración angular de un objeto en rotación es proporcional al torque

𝜶 con la segunda ley de Newton, 𝑎 neto aplicado sobre él, es decir,

. Análogamente, se ésta se corresponde

F/m. ¿Qué papel juega la

masa en el caso rotacional?

F  ma Dada la relación entre aceleración tangencial y la angular tenemos:

F  mR

Si multiplicamos a ambos miembros por R:

RF  R (mR )

  mR  2

DINÁMICA ROTACIONAL

  mR  2

Esta cantidad representa la inercia rotacional de la partícula y se la llama momento

de

inercia. En términos generales podemos escribir : 2   m R  i   i i 

La inercia esta da por :

Combinando las ecuaciones finalmente tenemos:

I   mi R

  I

2 i

DINÁMICA ROTACIONAL

OSCILACIONES Muchos objetos vibran u oscilan,

Cuando un objeto vibra u oscila, yendo y viniendo, sobre la misma trayectoria, cada oscilación toma la misma cantidad de tiempo y el movimiento es periódico.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

𝐅 = −𝑘 𝒙 Ley de Hooke Período (T): tiempo requerido para efectuar un ciclo completo. Frecuencia (f): cantidad de ciclos por segundo.

1 𝑇= 𝑓

Amplitud (A): desplazamiento máximo, mayor distancia desde el punto de equilibrio.

Segunda Ley de Newton

𝑚𝐚=

𝑭

𝑑2 𝑥 𝑚 2 = −𝑘 𝑥 𝑑𝑡 2

𝑑 𝑥 𝑘 + 𝑥=0 2 𝑑𝑡 𝑚 Porque el movimiento es periódicio

𝑤 𝑇 = 2𝜋

𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝑤𝑡 + 𝜙 𝑘 𝑤 = 𝑚 2

𝑥 0 =𝑥 𝑇 2𝜋 𝑤= = 2𝜋𝑓 𝑇

EL PÉNDULO

Un péndulo simple consiste en un objeto pequeño suspendido del extremo de una cuerda ligera.

El péndulo oscila a lo largo del arco de un círculo con igual amplitud a cada lado de su punto de equilibrio.

El desplazamiento del péndulo a lo largo del arco es

𝑥=𝑙𝜃

La fuerza restauradora es la fuerza neta sobre la masa que oscila y es igual a la componente del peso tangente al arco:

𝐹 = − 𝑚𝑔 sen 𝜃

La 2º Ley de Newton es: Como

𝑥=𝑙𝜃

y

𝑑2 𝑥 𝑚 2 =𝐹 𝑑𝑡 𝐹 ≈ − 𝑚𝑔 𝜃

𝜃 𝑡 ≈ 𝜃𝑚𝑎𝑥 cos 𝑤𝑡 + 𝜑

𝑤=

𝑔 𝑙

1 𝑔 𝑓= 2𝜋 𝑙

Es un Movimiento Armónico Simple

1 𝑇= 𝑓

Solución Ejemplo 1: Si el rotor gira a 50000 rpm, entonces la partícula en el extremo del tubo también lo hará a la misma razón 50000 rpm = 50000

rev rev 1 min rev = 50000 = 833 min min 60 s s

Esta es la cantidad de vuelta que da en 1 segundo, entonces el tiempo que tarda en dar una vuelta, es decir, el período de 1 rotación, es: 𝑇 = = 1.20 × 10−3 s 833 rev/s

En un giro cubre una distancia igual a 2𝜋𝑟 = 2𝜋 0.06 m = 0.377 m, entonces la rapidez de la partícula para cubrir esta distancia en el tiempo T es 2𝜋𝑟 0.377 m m 2 𝑣=

𝑇

=

1.20 × 10−3 s

= 3.14 × 10

Entonces, la aceleración centrípeta es Para comparar,

s

𝑣2 3.14 × 102 m/s 2 m 𝑎𝑅 = = = 1.64 × 106 2 𝑟 0.06 m s m 1.64 × 106 2 s 𝑔 = 167000 𝑔 𝑎𝑅 = 𝑔

Es decir, la aceleración de la partícula es 167000 veces la aceleración de la gravedad.

Ejemplo 1: Ultracentrifugadora Fuerza ejercida por el líquido

El rotor gira a 50000 rpm. La partícula en el extremo del tubo está a 6 cm del eje de rotación. Calcular la aceleración.