Complejidad algor´ıtmica, resoluci´on de ecuaciones y algoritmos b´ıo-inspirados Presentaci´ on de la l´ınea investigaci´ on

Cruz Enrique Borges Hern´andez1

22 de septiembre de 2010

Este trabajo esta sujeto a la licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0. 1

DeustoTech, Universidad de Deusto, 48007 Bilbao, Espa˜ na. [email protected]

C.E. Borges

DeustoTech

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Contenidos

1

Actividad formativa.

2

Actividad investigadora. Test de Primalidad. El problema XVII de Smale. Algoritmos Bioinspirados.

3

L´ıneas Futuras.

C.E. Borges

DeustoTech

2/37

´Indice

1

Actividad formativa.

2

Actividad investigadora. Test de Primalidad. El problema XVII de Smale. Algoritmos Bioinspirados.

3

L´ıneas Futuras.

C.E. Borges

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Actividad formativa

Actividad formativa Licenciado en Matem´aticas por la Universidad de La Laguna. Estancia (SICUE) de un a˜ no en la Universidad de Cantabria. Trabajo Fin de Carrera: Test de Primalidad. D.E.A.: Hacia la resoluci´ on del Problema XVII de Smale en el caso real. Tesis: Sobre el Problema XVII de Smale en el Caso Real: una Soluci´on Bioinspiradaa . a

Fecha tentativa de lectura: Septiembre

C.E. Borges

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Actividad formativa

Actividad formativa Licenciado en Matem´aticas por la Universidad de La Laguna. Estancia (SICUE) de un a˜ no en la Universidad de Cantabria. Trabajo Fin de Carrera: Test de Primalidad. D.E.A.: Hacia la resoluci´ on del Problema XVII de Smale en el caso real. Tesis: Sobre el Problema XVII de Smale en el Caso Real: una Soluci´on Bioinspiradaa . a

Fecha tentativa de lectura: Septiembre

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Actividad formativa

Actividad formativa Licenciado en Matem´aticas por la Universidad de La Laguna. Estancia (SICUE) de un a˜ no en la Universidad de Cantabria. Trabajo Fin de Carrera: Test de Primalidad. D.E.A.: Hacia la resoluci´ on del Problema XVII de Smale en el caso real. Tesis: Sobre el Problema XVII de Smale en el Caso Real: una Soluci´on Bioinspiradaa . a

Fecha tentativa de lectura: Septiembre

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Actividad formativa

Actividad formativa Licenciado en Matem´aticas por la Universidad de La Laguna. Estancia (SICUE) de un a˜ no en la Universidad de Cantabria. Trabajo Fin de Carrera: Test de Primalidad. D.E.A.: Hacia la resoluci´ on del Problema XVII de Smale en el caso real. Tesis: Sobre el Problema XVII de Smale en el Caso Real: una Soluci´on Bioinspiradaa . a

Fecha tentativa de lectura: Septiembre

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Actividad formativa

Actividad formativa Licenciado en Matem´aticas por la Universidad de La Laguna. Estancia (SICUE) de un a˜ no en la Universidad de Cantabria. Trabajo Fin de Carrera: Test de Primalidad. D.E.A.: Hacia la resoluci´ on del Problema XVII de Smale en el caso real. Tesis: Sobre el Problema XVII de Smale en el Caso Real: una Soluci´on Bioinspiradaa . a

Fecha tentativa de lectura: Septiembre

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Actividad investigadora I (Revistas)

Revistas C.E. Borges y L.M. Pardo, On the Probability Distribution of Data at Points in Real Complete Intersection Varieties, Journal of Complexity 24 (2008), no. 4, 492–523. C.L. Alonso, J.L. Monta˜ na, J. Puente y C.E. Borges, A New Linear Genetic Programming Aproach Based on Straight Line Programs: Some Theoretical and Exeperimental Aspects, International Journal on Artificial Intelligence Tools 18 (2009), no. 5, 757–781.

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Actividad investigadora II (Congresos)

Congresos 2009 J.L. Monta˜ na, C.L. Alonso, C.E. Borges y J.L. Crespo, Adaptation, Performance and Vapnik-Chervonenkis Dimension of Straight Line Programs, Genetic Programming, EuroGP 2009. LNCS 5481, 315–326 C.L. Alonso, J.L. Monta˜ na y C.E. Borges, Evolution Strategies for Constants Optimization in Genetic Programming, ICTAI 2009, IEEE Computer Society, 702–707. J.L. Monta˜ na y C.E. Borges, Lower Bounds for Approximation of Some Classes of Lebesgue Measurable Functions by Sigmoidal Neural Networks, IWANN 2009. LNCS 5517, 1–8

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Actividad investigadora II (Congresos)

Congresos 2010 C.L. Alonso, J.L. Monta˜ na y C.E. Borges, Model Selection in Genetic Programming, GECCO 2010. Por aparecer en ACM Proceedings, 2010. C.E. Borges, C.L. Alonso, J.L. Monta˜ na, A.O. de la Puente y M.C. Echeandia, Coevolutionary Architectures with Straight Line Programs for solving the Symbolic Regression Problem, Enviado a ICEC 2010.

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Actividad formativa.

2

Actividad investigadora. Test de Primalidad. El problema XVII de Smale. Algoritmos Bioinspirados.

3

L´ıneas Futuras.

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Actividad formativa.

2

Actividad investigadora. Test de Primalidad. El problema XVII de Smale. Algoritmos Bioinspirados.

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L´ıneas Futuras.

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El problema Primes. Definici´on (N´umero primo) Un n´ umero natural n es primo si los u ´nicos divisores que posee son 1 y n.

Problema (Primes) Dado un n´ umero natural n decidir si es primo o no.

Definici´on (M´aquina de Turing: modelo bit) Modelo matem´atico abstracto que formaliza el concepto de algoritmo.

...

Cinta 0

0

0

e

0

0

1

...

Cabezal

Programa C.E. Borges

DeustoTech

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El problema Primes. Definici´on (N´umero primo) Un n´ umero natural n es primo si los u ´nicos divisores que posee son 1 y n.

Problema (Primes) Dado un n´ umero natural n decidir si es primo o no.

Definici´on (M´aquina de Turing: modelo bit) Modelo matem´atico abstracto que formaliza el concepto de algoritmo.

...

Cinta 0

0

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e

1

0

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Cabezal

Programa C.E. Borges

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Importancia del problema Primes. ¿Por qu´e es importante? Desaf´ıo matem´atico. God may not play dice with the universe, but something strange is going on with the prime numbersa . Paul Erd¨ os (1913–1996) Imprescindible en los protocolos criptogr´aficos actuales. a Puede que Dios no est´e jugando a los dados con el universo, pero algo muy raro est´ a sucediendo con los n´ umero primos.

Complejidad Algor´ıtmica.

C.E. Borges

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Importancia del problema Primes. ¿Por qu´e es importante? Desaf´ıo matem´atico. God may not play dice with the universe, but something strange is going on with the prime numbersa . Paul Erd¨ os (1913–1996) Imprescindible en los protocolos criptogr´aficos actuales. a Puede que Dios no est´e jugando a los dados con el universo, pero algo muy raro est´ a sucediendo con los n´ umero primos.

Complejidad Algor´ıtmica.

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Importancia del problema Primes. ¿Por qu´e es importante? Desaf´ıo matem´atico. God may not play dice with the universe, but something strange is going on with the prime numbersa . Paul Erd¨ os (1913–1996) Imprescindible en los protocolos criptogr´aficos actuales. a Puede que Dios no est´e jugando a los dados con el universo, pero algo muy raro est´ a sucediendo con los n´ umero primos.

Complejidad Algor´ıtmica.

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Importancia del problema Primes. ¿Por qu´e es importante? Desaf´ıo matem´atico. God may not play dice with the universe, but something strange is going on with the prime numbersa . Paul Erd¨ os (1913–1996) Imprescindible en los protocolos criptogr´aficos actuales. a Puede que Dios no est´e jugando a los dados con el universo, pero algo muy raro est´ a sucediendo con los n´ umero primos.

Complejidad Algor´ıtmica.

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Complejidad Algor´ıtmica. Definici´on (Complejidad Algor´ıtmica) Relaci´on entre el tama˜ no de la entrada de un problema con el n´ umero de operaciones que tiene que realizar una m´aquina de Turing para la peor de las instancias.

Reducci´ on polinomial. Problemas completos.

Clasificaci´on P: relaciones acotadas por un polinomio. no − P: resto de relaciones.

C.E. Borges

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Complejidad Algor´ıtmica. Definici´on (Complejidad Algor´ıtmica) Relaci´on entre el tama˜ no de la entrada de un problema con el n´ umero de operaciones que tiene que realizar una m´aquina de Turing para la peor de las instancias.

Reducci´ on polinomial. Problemas completos.

Clasificaci´on P: relaciones acotadas por un polinomio. no − P: resto de relaciones.

C.E. Borges

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Complejidad Algor´ıtmica. Definici´on (Complejidad Algor´ıtmica) Relaci´on entre el tama˜ no de la entrada de un problema con el n´ umero de operaciones que tiene que realizar una m´aquina de Turing para la peor de las instancias.

Reducci´ on polinomial. Problemas completos.

Clasificaci´on P: relaciones acotadas por un polinomio. no − P: resto de relaciones.

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Complejidad Algor´ıtmica. Definici´on (Complejidad Algor´ıtmica) Relaci´on entre el tama˜ no de la entrada de un problema con el n´ umero de operaciones que tiene que realizar una m´aquina de Turing para la peor de las instancias.

Reducci´ on polinomial. Problemas completos.

Clasificaci´on P: relaciones acotadas por un polinomio. no − P: resto de relaciones.

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Importancia de la Complejidad Algor´ıtmica. ¿Por qu´e es importante? Predecir la cantidad de recursos necesarios para resolver una instancia del problema. Diferenciar algoritmos practicables de impracticables. . . . je n’aurai rien `a y faire que de vous indiquer le moyen de r´epondre `a votre question, sans vouloir charger ni moi ni personne de le faire. En un mot, les calculs sont impraticablesa . ´ Evariste Galois (1811–1832) Santo Grial criptograf´ıa: Funciones de un solo sentido. a

. . . s´ olo necesito indicarte el m´etodo para responder a tus preguntas, sin esperar que yo u otra persona pueda llevarlo a cabo. En resumen, los c´ alculos son imposibles.

C.E. Borges

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Importancia de la Complejidad Algor´ıtmica. ¿Por qu´e es importante? Predecir la cantidad de recursos necesarios para resolver una instancia del problema. Diferenciar algoritmos practicables de impracticables. . . . je n’aurai rien `a y faire que de vous indiquer le moyen de r´epondre `a votre question, sans vouloir charger ni moi ni personne de le faire. En un mot, les calculs sont impraticablesa . ´ Evariste Galois (1811–1832) Santo Grial criptograf´ıa: Funciones de un solo sentido. a

. . . s´ olo necesito indicarte el m´etodo para responder a tus preguntas, sin esperar que yo u otra persona pueda llevarlo a cabo. En resumen, los c´ alculos son imposibles.

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Importancia de la Complejidad Algor´ıtmica. ¿Por qu´e es importante? Predecir la cantidad de recursos necesarios para resolver una instancia del problema. Diferenciar algoritmos practicables de impracticables. . . . je n’aurai rien `a y faire que de vous indiquer le moyen de r´epondre `a votre question, sans vouloir charger ni moi ni personne de le faire. En un mot, les calculs sont impraticablesa . ´ Evariste Galois (1811–1832) Santo Grial criptograf´ıa: Funciones de un solo sentido. a

. . . s´ olo necesito indicarte el m´etodo para responder a tus preguntas, sin esperar que yo u otra persona pueda llevarlo a cabo. En resumen, los c´ alculos son imposibles.

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Importancia de la Complejidad Algor´ıtmica. ¿Por qu´e es importante? Predecir la cantidad de recursos necesarios para resolver una instancia del problema. Diferenciar algoritmos practicables de impracticables. . . . je n’aurai rien `a y faire que de vous indiquer le moyen de r´epondre `a votre question, sans vouloir charger ni moi ni personne de le faire. En un mot, les calculs sont impraticablesa . ´ Evariste Galois (1811–1832) Santo Grial criptograf´ıa: Funciones de un solo sentido. a

. . . s´ olo necesito indicarte el m´etodo para responder a tus preguntas, sin esperar que yo u otra persona pueda llevarlo a cabo. En resumen, los c´ alculos son imposibles.

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Algoritmos no − P. Algoritmo (Criba de Erat´ostenes) Input: un n´ umero natural n 1

Escribir todos los n´ umeros hasta n.

2

Tachar el 1 pues es una unidad. Repetir desde i = 2 hasta n

3

Si i no est´a tachado, tachar los m´ ultiplos de i excepto el propio i.

Output: Los n´ umeros tachados son compuestos y los no tachados son primos.

Tama˜ no Entrada: O(log n). N´ umero de Pasos: O(n2 ). La relaci´ on NO es polinomial!!!! C.E. Borges

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Algoritmos no − P. Algoritmo (Criba de Erat´ostenes) Input: un n´ umero natural n 1

Escribir todos los n´ umeros hasta n.

2

Tachar el 1 pues es una unidad. Repetir desde i = 2 hasta n

3

Si i no est´a tachado, tachar los m´ ultiplos de i excepto el propio i.

Output: Los n´ umeros tachados son compuestos y los no tachados son primos.

Tama˜ no Entrada: O(log n). N´ umero de Pasos: O(n2 ). La relaci´ on NO es polinomial!!!! C.E. Borges

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Algoritmos no − P. Algoritmo (Criba de Erat´ostenes) Input: un n´ umero natural n 1

Escribir todos los n´ umeros hasta n.

2

Tachar el 1 pues es una unidad. Repetir desde i = 2 hasta n

3

Si i no est´a tachado, tachar los m´ ultiplos de i excepto el propio i.

Output: Los n´ umeros tachados son compuestos y los no tachados son primos.

Tama˜ no Entrada: O(log n). N´ umero de Pasos: O(n2 ). La relaci´ on NO es polinomial!!!! C.E. Borges

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Algoritmos Probabilistas. Definici´on (Algoritmos Probabilistas) Algoritmo cuya respuesta depende del azar. Hay de diversos tipos: Monte Carlo (BPP): Pueden dar respuestas incorrectas pero con probabilidad baja. Las Vegas (ZPP): Nunca dan respuestas incorrectas pero tienen probabilidad de fallar. ...

Cinta 1

0

0

e

0

1

1

...

Cabezal

Programa

Ejemplos de Test de Primalidad Probabilistas Algoritmos de Solovay–Strassen y Miller–Rabin. C.E. Borges

DeustoTech

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Algoritmos Probabilistas. Definici´on (Algoritmos Probabilistas) Algoritmo cuya respuesta depende del azar. Hay de diversos tipos: Monte Carlo (BPP): Pueden dar respuestas incorrectas pero con probabilidad baja. Las Vegas (ZPP): Nunca dan respuestas incorrectas pero tienen probabilidad de fallar. ...

Cinta 1

0

1

e

1

1

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Cabezal

Programa

Ejemplos de Test de Primalidad Probabilistas Algoritmos de Solovay–Strassen y Miller–Rabin. C.E. Borges

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Conjuntos Cuestores y Algoritmos P. Definici´on (Conjunto Cuestor) Sea C un subconjunto de un conjunto universal U. Se dice que C es un conjunto cuestor para la propiedad P siempre que, si se cumple la propiedad P en todos los elementos del conjunto C, entonces se cumple para todos los elementos del conjunto universal U.

Conjunto Cuestor para la propiedad ser primo

√ Comprobar (n m´od i) 6= 0 para todo i en el conjunto C = {1, · · · , n}. El tama˜ no del conjunto NO es polinomial!!!!

En 2002 Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena publican un conjunto cuestor de tama˜ no polinomial para Prime y por lo tanto un test de primalidad en la clase P. C.E. Borges

DeustoTech

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Conjuntos Cuestores y Algoritmos P. Definici´on (Conjunto Cuestor) Sea C un subconjunto de un conjunto universal U. Se dice que C es un conjunto cuestor para la propiedad P siempre que, si se cumple la propiedad P en todos los elementos del conjunto C, entonces se cumple para todos los elementos del conjunto universal U.

Conjunto Cuestor para la propiedad ser primo

√ Comprobar (n m´od i) 6= 0 para todo i en el conjunto C = {1, · · · , n}. El tama˜ no del conjunto NO es polinomial!!!!

En 2002 Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena publican un conjunto cuestor de tama˜ no polinomial para Prime y por lo tanto un test de primalidad en la clase P. C.E. Borges

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Conjuntos Cuestores y Algoritmos P. Definici´on (Conjunto Cuestor) Sea C un subconjunto de un conjunto universal U. Se dice que C es un conjunto cuestor para la propiedad P siempre que, si se cumple la propiedad P en todos los elementos del conjunto C, entonces se cumple para todos los elementos del conjunto universal U.

Conjunto Cuestor para la propiedad ser primo

√ Comprobar (n m´od i) 6= 0 para todo i en el conjunto C = {1, · · · , n}. El tama˜ no del conjunto NO es polinomial!!!!

En 2002 Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena publican un conjunto cuestor de tama˜ no polinomial para Prime y por lo tanto un test de primalidad en la clase P. C.E. Borges

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Conjuntos Cuestores y Algoritmos P. Definici´on (Conjunto Cuestor) Sea C un subconjunto de un conjunto universal U. Se dice que C es un conjunto cuestor para la propiedad P siempre que, si se cumple la propiedad P en todos los elementos del conjunto C, entonces se cumple para todos los elementos del conjunto universal U.

Conjunto Cuestor para la propiedad ser primo

√ Comprobar (n m´od i) 6= 0 para todo i en el conjunto C = {1, · · · , n}. El tama˜ no del conjunto NO es polinomial!!!!

En 2002 Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena publican un conjunto cuestor de tama˜ no polinomial para Prime y por lo tanto un test de primalidad en la clase P. C.E. Borges

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´Indice

1

Actividad formativa.

2

Actividad investigadora. Test de Primalidad. El problema XVII de Smale. Algoritmos Bioinspirados.

3

L´ıneas Futuras.

C.E. Borges

DeustoTech

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Resoluci´on simb´olica de sistemas de ecuaciones

Problema (Resoluci´on simb´olica de ecuaciones) Buscamos los puntos ζ ∈ Kn , con K ∈ {R, C}, tales que   f1 (ζ)   f (ζ) :=  ...  = 0, fm (ζ) donde f1 , . . . , fm son polinomios multivariados de grados d1 ,. . . ,dm . ¡La complejidad de este problema es no − P! (Castro y col. 2003)

C.E. Borges

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Resoluci´on simb´olica de sistemas de ecuaciones

Problema (Resoluci´on simb´olica de ecuaciones) Buscamos los puntos ζ ∈ Kn , con K ∈ {R, C}, tales que   f1 (ζ)   f (ζ) :=  ...  = 0, fm (ζ) donde f1 , . . . , fm son polinomios multivariados de grados d1 ,. . . ,dm . ¡La complejidad de este problema es no − P! (Castro y col. 2003)

C.E. Borges

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¿Por qu´e es importante?

Aplicaciones Pr´acticas. Problema cl´asico de las matem´aticas. Problemas b´asico a resolver en problemas de optimizaci´on que surgen de modelos no lineales. C´alculo de Equilibrios de Nash.

C.E. Borges

DeustoTech

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¿Por qu´e es importante?

Aplicaciones Pr´acticas. Problema cl´asico de las matem´aticas. Problemas b´asico a resolver en problemas de optimizaci´on que surgen de modelos no lineales. C´alculo de Equilibrios de Nash.

C.E. Borges

DeustoTech

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¿Por qu´e es importante?

Aplicaciones Pr´acticas. Problema cl´asico de las matem´aticas. Problemas b´asico a resolver en problemas de optimizaci´on que surgen de modelos no lineales. C´alculo de Equilibrios de Nash.

C.E. Borges

DeustoTech

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Modelo de computaci´on

Definici´on (M´aquina de Turing: modelo real) Modelo matem´atico abstracto que formaliza el concepto de algoritmo num´erico.

...

Cinta 0.87161

e

-1.04587

-2.88121

0.0227

-4.86488

-3.22595

...

Cabezal

Programa

C.E. Borges

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Resoluci´on num´erica de sistemas de ecuaciones Resoluci´on num´erica de ecuaciones Buscamos una sucesi´on de puntos {xi }∞ i=0 con las siguientes propiedades 1. ∀i, xi ∈ Kn ,

2. K ∈ {R, C},

3. l´ım xi = ζ,

4. f (ζ) = 0.

i→∞

M´etodo de Newton ( x0 xi+1 = xi − Dx−1 (f )f (xi ) i ¿Q´ ue punto inicial cogemos?

C.E. Borges

DeustoTech

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Resoluci´on num´erica de sistemas de ecuaciones Resoluci´on num´erica de ecuaciones Buscamos una sucesi´on de puntos {xi }∞ i=0 con las siguientes propiedades 1. ∀i, xi ∈ Kn ,

2. K ∈ {R, C},

3. l´ım xi = ζ,

4. f (ζ) = 0.

i→∞

M´etodo de Newton ( x0 xi+1 = xi − Dx−1 (f )f (xi ) i ¿Q´ ue punto inicial cogemos?

C.E. Borges

DeustoTech

20/37

Resoluci´on num´erica de sistemas de ecuaciones Resoluci´on num´erica de ecuaciones Buscamos una sucesi´on de puntos {xi }∞ i=0 con las siguientes propiedades 1. ∀i, xi ∈ Kn ,

2. K ∈ {R, C},

3. l´ım xi = ζ,

4. f (ζ) = 0.

i→∞

M´etodo de Newton ( x0 xi+1 = xi − Dx−1 (f )f (xi ) i ¿Q´ ue punto inicial cogemos?

C.E. Borges

DeustoTech

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γ-Teorema de Smale

Teorema (γ-Teorema de Smale (Blum y col. 1998)) Existe una constante α0 tal que, si el condicionamiento no lineal µ(f , x) del sistema en el punto x es menor que α0 entonces, el m´etodo de Newton aplicado al sistema f , con punto inicial x, converge. ¿C´omo encontramos dichos puntos?

C.E. Borges

DeustoTech

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γ-Teorema de Smale

Teorema (γ-Teorema de Smale (Blum y col. 1998)) Existe una constante α0 tal que, si el condicionamiento no lineal µ(f , x) del sistema en el punto x es menor que α0 entonces, el m´etodo de Newton aplicado al sistema f , con punto inicial x, converge. ¿C´omo encontramos dichos puntos?

C.E. Borges

DeustoTech

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Algoritmos de deformaci´on homot´opica Pn (C) (ζ, f )

ζ

f

C ) P(H(d)

Si K = C, la complejidad del problema2 es P (Beltr´an y Pardo 2009). ¿Qu´e pasa en el caso K = R?

2

En realidad es ZPP C

C.E. Borges

DeustoTech

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Algoritmos de deformaci´on homot´opica Pn (C) (ζ, f )

ζ

ζ0

x0 g

f

C ) P(H(d)

Si K = C, la complejidad del problema2 es P (Beltr´an y Pardo 2009). ¿Qu´e pasa en el caso K = R?

2

En realidad es ZPP C

C.E. Borges

DeustoTech

22/37

Algoritmos de deformaci´on homot´opica Pn (C) x5 (ζ, f )

ζ

ζ0

x0 g

x1

x2

x3

x4

ft1 ft2 ft3 ft4

f

C ) P(H(d)

Si K = C, la complejidad del problema2 es P (Beltr´an y Pardo 2009). ¿Qu´e pasa en el caso K = R?

2

En realidad es ZPP C

C.E. Borges

DeustoTech

22/37

Algoritmos de deformaci´on homot´opica Pn (C) x5 (ζ, f )

ζ

ζ0

x0 g

x1

x2

x3

x4

ft1 ft2 ft3 ft4

f

C ) P(H(d)

Si K = C, la complejidad del problema2 es P (Beltr´an y Pardo 2009). ¿Qu´e pasa en el caso K = R?

2

En realidad es ZPP C

C.E. Borges

DeustoTech

22/37

Algoritmos de deformaci´on homot´opica Pn (C) x5 (ζ, f )

ζ

ζ0

x0 g

x1

x2

x3

x4

ft1 ft2 ft3 ft4

f

C ) P(H(d)

Si K = C, la complejidad del problema2 es P (Beltr´an y Pardo 2009). ¿Qu´e pasa en el caso K = R?

2

En realidad es ZPP C

C.E. Borges

DeustoTech

22/37

¿Por qu´e no valen los resultados del caso K = C?

Problemas relacionados con el caso real. Rn

es un espacio de medida nula en Cn .

La geometr´ıa de las soluciones reales muy retorcida. Hay m´as de una componente conexa. Hay que reescribir todos los resultados desde cero y desarrollar nuevas ideas (Borges y Pardo 2008).

C.E. Borges

DeustoTech

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¿Por qu´e no valen los resultados del caso K = C?

Problemas relacionados con el caso real. Rn

es un espacio de medida nula en Cn .

La geometr´ıa de las soluciones reales muy retorcida. Hay m´as de una componente conexa. Hay que reescribir todos los resultados desde cero y desarrollar nuevas ideas (Borges y Pardo 2008).

C.E. Borges

DeustoTech

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´Indice

1

Actividad formativa.

2

Actividad investigadora. Test de Primalidad. El problema XVII de Smale. Algoritmos Bioinspirados.

3

L´ıneas Futuras.

C.E. Borges

DeustoTech

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Problemas de optimizaci´on

Problema (Optimizaci´on) m´ın

f (x)

sujeto a g (x) = 0 h(x) ≤ 0

C.E. Borges

DeustoTech

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Problemas de Regresi´on Problema (Regresi´on Simb´olica) Dada una muestra de puntos encontrar la funci´ on que mejor los aproxima dentro de un conjunto de funciones dado. y

f (x)

x C.E. Borges

DeustoTech

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Problemas de Regresi´on Problema (Regresi´on Simb´olica) Dada una muestra de puntos encontrar la funci´ on que mejor los aproxima dentro de un conjunto de funciones dado. y

x10 f (x) x6

x3 x4 x0

x1x2

x5

x7 x8

x9

x C.E. Borges

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Problemas de Regresi´on Problema (Regresi´on Simb´olica) Dada una muestra de puntos encontrar la funci´ on que mejor los aproxima dentro de un conjunto de funciones dado. y

g (x)

x C.E. Borges

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Si conoces el espacio de b´usqueda. . .

. . . y es un espacio vectorial3 Muestra sin errores =⇒ Interpolaci´ on. Muestra con errores =⇒ M´ınimos Cuadrados.

. . . y NO es un espacio vectorial Muestra sin errores =⇒ Interpolaci´ on no lineal. Muestra con errores =⇒ Descenso de Gradiente.

3

de dimensi´ on finita

C.E. Borges

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Si conoces el espacio de b´usqueda. . .

. . . y es un espacio vectorial3 Muestra sin errores =⇒ Interpolaci´ on. Muestra con errores =⇒ M´ınimos Cuadrados.

. . . y NO es un espacio vectorial Muestra sin errores =⇒ Interpolaci´ on no lineal. Muestra con errores =⇒ Descenso de Gradiente.

3

de dimensi´ on finita

C.E. Borges

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Si conoces el espacio de b´usqueda. . .

. . . y es un espacio vectorial3 Muestra sin errores =⇒ Interpolaci´ on. Muestra con errores =⇒ M´ınimos Cuadrados.

. . . y NO es un espacio vectorial Muestra sin errores =⇒ Interpolaci´ on no lineal. Muestra con errores =⇒ Descenso de Gradiente.

3

de dimensi´ on finita

C.E. Borges

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Si conoces el espacio de b´usqueda. . .

. . . y es un espacio vectorial3 Muestra sin errores =⇒ Interpolaci´ on. Muestra con errores =⇒ M´ınimos Cuadrados.

. . . y NO es un espacio vectorial Muestra sin errores =⇒ Interpolaci´ on no lineal. Muestra con errores =⇒ Descenso de Gradiente.

3

de dimensi´ on finita

C.E. Borges

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Si NO conoces el espacio de b´usqueda. . .

¿? La fuerza bruta no es una opci´ on en un espacio de funciones. Explorar el espacio de funciones: Regresi´ on Simb´ olica. Programaci´on Gen´etica.

C.E. Borges

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Si NO conoces el espacio de b´usqueda. . .

¿? La fuerza bruta no es una opci´ on en un espacio de funciones. Explorar el espacio de funciones: Regresi´ on Simb´ olica. Programaci´on Gen´etica.

C.E. Borges

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Si NO conoces el espacio de b´usqueda. . .

¿? La fuerza bruta no es una opci´ on en un espacio de funciones. Explorar el espacio de funciones: Regresi´ on Simb´ olica. Programaci´on Gen´etica.

C.E. Borges

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Si NO conoces el espacio de b´usqueda. . .

¿? La fuerza bruta no es una opci´ on en un espacio de funciones. Explorar el espacio de funciones: Regresi´ on Simb´ olica. Programaci´on Gen´etica.

C.E. Borges

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Regresi´on Simb´olica mediante Programaci´on Gen´etica I. Idea General Emular los procesos de selecci´ on natural para explorar el espacio de funciones en busca de un ´ optimo.

Poblaci´ on de Individuos. Mecanismos de Evoluci´ on. Mecanismo de Calificaci´ on S´olo sobreviven los mejor calificados. El Teorema de los Esquemas (Holland 1992) garantiza la convergencia hacia un ´ optimo local.

C.E. Borges

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Regresi´on Simb´olica mediante Programaci´on Gen´etica I. Idea General Emular los procesos de selecci´ on natural para explorar el espacio de funciones en busca de un ´ optimo.

Poblaci´ on de Individuos. Mecanismos de Evoluci´ on. Mecanismo de Calificaci´ on S´olo sobreviven los mejor calificados. El Teorema de los Esquemas (Holland 1992) garantiza la convergencia hacia un ´ optimo local.

C.E. Borges

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Regresi´on Simb´olica mediante Programaci´on Gen´etica I. Idea General Emular los procesos de selecci´ on natural para explorar el espacio de funciones en busca de un ´ optimo.

Poblaci´ on de Individuos. Mecanismos de Evoluci´ on. Mecanismo de Calificaci´ on S´olo sobreviven los mejor calificados. El Teorema de los Esquemas (Holland 1992) garantiza la convergencia hacia un ´ optimo local.

C.E. Borges

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Regresi´on Simb´olica mediante Programaci´on Gen´etica I. Idea General Emular los procesos de selecci´ on natural para explorar el espacio de funciones en busca de un ´ optimo.

Poblaci´ on de Individuos. Mecanismos de Evoluci´ on. Mecanismo de Calificaci´ on S´olo sobreviven los mejor calificados. El Teorema de los Esquemas (Holland 1992) garantiza la convergencia hacia un ´ optimo local.

C.E. Borges

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Regresi´on Simb´olica mediante Programaci´on Gen´etica I. Idea General Emular los procesos de selecci´ on natural para explorar el espacio de funciones en busca de un ´ optimo.

Poblaci´ on de Individuos. Mecanismos de Evoluci´ on. Mecanismo de Calificaci´ on S´olo sobreviven los mejor calificados. El Teorema de los Esquemas (Holland 1992) garantiza la convergencia hacia un ´ optimo local.

C.E. Borges

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Regresi´on Simb´olica mediante Programaci´on Gen´etica I. Idea General Emular los procesos de selecci´ on natural para explorar el espacio de funciones en busca de un ´ optimo.

Poblaci´ on de Individuos. Mecanismos de Evoluci´ on. Mecanismo de Calificaci´ on S´olo sobreviven los mejor calificados. El Teorema de los Esquemas (Holland 1992) garantiza la convergencia hacia un ´ optimo local.

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Regresi´on Simb´olica mediante Programaci´on Gen´etica II.

No Paralelizable

Crear Poblacion Inicial

Poco inter´ es en Paralelizar Paralelizable

Calificar Poblacion Inicial generaciones Mientras no Fin

Calificar Nueva Poblaci´ on

Operadores Gen´ eticos

Validar Resultado

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Programaci´on Gen´etica con slp I.

Propiedades Grafo Ac´ıclico Dirigido que codifica una aplicaci´ on. Reutiliza c´alculos ya hechos. Equivalentes a M´aquina de Turing. F´aciles de Evaluar.

C.E. Borges

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Programaci´on Gen´etica con slp I.

Propiedades Grafo Ac´ıclico Dirigido que codifica una aplicaci´ on. Reutiliza c´alculos ya hechos. Equivalentes a M´aquina de Turing. F´aciles de Evaluar.

C.E. Borges

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Programaci´on Gen´etica con slp I.

Propiedades Grafo Ac´ıclico Dirigido que codifica una aplicaci´ on. Reutiliza c´alculos ya hechos. Equivalentes a M´aquina de Turing. F´aciles de Evaluar.

C.E. Borges

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Programaci´on Gen´etica con slp I.

Propiedades Grafo Ac´ıclico Dirigido que codifica una aplicaci´ on. Reutiliza c´alculos ya hechos. Equivalentes a M´aquina de Turing. F´aciles de Evaluar.

C.E. Borges

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La estructura de datos slp II: representaci´on gr´afica.

Figura: f1 como ´arbol.

f1 ≡

Figura: f1 como slp.

f1 ≡

+

∗

+

+ +

+ + ∗

∗

∗

∗

∗ ∗

∗

∗ x

x

C.E. Borges

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La estructura de datos slp III: codificaci´on.

Figura: f1 como ´arbol.

f1 ≡

                          

C.E. Borges

u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9

Figura: f1 como slp.

:= x ∗ x := x ∗ x := u1 ∗ u2 := x ∗ x := u4 ∗ x := x ∗ x := u6 + x := u5 + u3 := u8 ∗ u7

 u1 := x ∗ x     u2 := u1 ∗ u1    u3 := u1 ∗ x f1 ≡ u4 := u3 + x      u := u4 + u1   5 u6 := u5 + u4

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Resultados Experimentales. Resultados tras 300 repeticiones PR n [X ]: Muestra generada por un polinomio aleatorio de grado 5. SLPl (F, T ): Muestra generada por un slp aleatorio de longitud 16.

PR n [X ] slp arbol SLPl (F, T ) slp arbol

µ 2,55 · 10−2 2,69 · 10−2 µ 2,05 · 10−2 3,17 · 10−2

σ 2,3 · 10−2 2,07 · 10−2 σ 3,22 · 10−2 4,96 · 10−2

Figura: Estad´ısticos descriptivos. C.E. Borges

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PR n [X ] slp arbol SLPl (F, T ) slp arbol

slp 1 1 slp 1 1

arbol 8,07 · 10−2 1 arbol 7,16 · 10−3 1

Figura: Contraste de hip´otesis. 34/37

Resultados Experimentales. Resultados tras 300 repeticiones PR n [X ]: Muestra generada por un polinomio aleatorio de grado 5. SLPl (F, T ): Muestra generada por un slp aleatorio de longitud 16.

PR n [X ] slp arbol SLPl (F, T ) slp arbol

µ 2,55 · 10−2 2,69 · 10−2 µ 2,05 · 10−2 3,17 · 10−2

σ 2,3 · 10−2 2,07 · 10−2 σ 3,22 · 10−2 4,96 · 10−2

Figura: Estad´ısticos descriptivos. C.E. Borges

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PR n [X ] slp arbol SLPl (F, T ) slp arbol

slp 1 1 slp 1 1

arbol 8,07 · 10−2 1 arbol 7,16 · 10−3 1

Figura: Contraste de hip´otesis. 34/37

´Indice

1

Actividad formativa.

2

Actividad investigadora. Test de Primalidad. El problema XVII de Smale. Algoritmos Bioinspirados.

3

L´ıneas Futuras.

C.E. Borges

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Actividad Investigadora a desarrollar en DesutoTech

Proyecto e-nergia Modelado para predicci´ on de carga a corto plazo de edificios. Modelado para predicci´ on de fallos en equipamiento el´ectrico. Detecci´on de islas energ´eticas. Dise˜ no y optimizaci´on de catalizadores y procesos qu´ımicos.

C.E. Borges

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Actividad Investigadora a desarrollar en DesutoTech

Proyecto e-nergia Modelado para predicci´ on de carga a corto plazo de edificios. Modelado para predicci´ on de fallos en equipamiento el´ectrico. Detecci´on de islas energ´eticas. Dise˜ no y optimizaci´on de catalizadores y procesos qu´ımicos.

C.E. Borges

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Actividad Investigadora a desarrollar en DesutoTech

Proyecto e-nergia Modelado para predicci´ on de carga a corto plazo de edificios. Modelado para predicci´ on de fallos en equipamiento el´ectrico. Detecci´on de islas energ´eticas. Dise˜ no y optimizaci´on de catalizadores y procesos qu´ımicos.

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Actividad Investigadora a desarrollar en DesutoTech

Proyecto e-nergia Modelado para predicci´ on de carga a corto plazo de edificios. Modelado para predicci´ on de fallos en equipamiento el´ectrico. Detecci´on de islas energ´eticas. Dise˜ no y optimizaci´on de catalizadores y procesos qu´ımicos.

C.E. Borges

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¿Preguntas?

¿Preguntas?

¿?

¿? ¿Preguntas?

¿?

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