ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 1) Resolver las siguientes ecuaciones: a) senx = tgx Solución.
senx =
senx cos x
sen x = 0 sen x ⋅ cos x = sen x : sen x ⋅ cos x − sen x = 0 : sen x ⋅ (cos x − 1) = 0 : cos x − 1 = 0
Casos:
i) Si senx = 0 ⇒ x = 0; x = π = 180º son soluciones de la ecuación. ii) Si senx ≠ 0 ⇒ cos x = 1 ⇒ x = 0 es la única solución de la ecuación, que además senx = 0 , luego no puede ser.
x b) 6 cos 2 + cos x + 1 = 0 2 Solución.
cos x + 1 x 6 cos 2 + cos x + 1 = 6 + cos x + 1 = 0 2 2 3 cos x + 3 + cos x + 1 = 0 4 cos x + 4 = 0 cos x = −1 ⇒ x = π + 2πk = 180º +360º k
c) 2 senx + 2 cos x = 2 Solución.
2senx + 2 cos x = 2 2 2
senx + cos x =
elevando al cuadrado y desarrollando
(senx + cos x )2 = 1
: sen 2 x + cos 2 x + 2senx cos x =
2 teniendo en cuenta que sen2x + cos2x = 1, y despejando
2senx cos x = −
mediante la definición de ángulo doble sen (2x ) = −
teniendo en cuenta los ángulos asociados
1 2
1 2
1 2
implicaría
d) cos(2 x ) = senx Solución.
cos(2x ) = senx por la definición de coseno del ángulo doble cos 2 x − sen 2 x = senx
teniendo en cuenta la ecuación fundamental se despeja el cos2x en función del sen2x 1 − sen 2 x − sen 2 x = senx
(
)
ordenando se obtiene una ecuación de segundo grado en función del sen x 2sen 2 x + senx − 1 = 0 ⇒ senx =
1 − 1 ± 1 + 8 − 1 ± 3 senx = = : 2 4 4 senx = −1
Teniendo en cuenta los ángulos asociados
e) senx − cos x = 0 Solución.
senx − cos x = 0
senx = cos x dividiendo ambos miembros de la igualdad por cos x tgx = 1 Teniendo en cuenta los ángulos asociados
f) cos(2 x ) = 2 sen(2 x ) Solución.
cos(2 x ) = 2sen (2x )
dividiendo toda la ecuación por 2cos(2x) tg (2 x ) =
1 2
g) 2sen 2 x + 3 cos x = 0 Solución. Se transforma en una ecuación de segundo grado en función del cos x 2sen 2 x + 3 cos x = 0
(
)
2 1 − cos 2 x + 3 cos x = 0
2 cos 2 x − 3 cos x − 2 = 0 : cos x =
3 ± 9 + 16 3 ± 5 cos x = 2 −1 : = 4 4 cos x = 2
cos x = 2 no tiene sentido ya que el coseno está acotado en [−1, 1]
h) senx − 3 cos x = 0 Solución. Se transforma a tg x senx − 3 cos x = 0 ÷cos x senx = 3 cos x →
senx 3 = cos x cos x
tgx = 3
i) cos(2 x ) + 1 = cos x Solución. Se transforma en una ecuación de segundo grado en función del cos x cos(2x ) + 1 = cos x 2
cos x − sen 2 x + 1 = cos x
(
)
cos 2 x − 1 − cos 2 x + 1 = cos x 2
2 cos x = cos x ; 2 cos 2 x − cos x = 0 x = 0 = 360º k = 2πk cos x = 0 ⇒ 3π x= + 2πk = 270º +360º k cos x ⋅ (2 cos x − 1) = 0 : 2 1 2 cos x − 1 = 0 ⇒ cos x = 2
j) cos(2 x ) + senx = sen(3 x ) Solución. Aplicando transformaciones de sumas en producto se obtiene una ecuación equivalente. cos(2x ) + senx = sen (3x ) cos(2x ) = sen (3x ) − senx
3x − x 3x + x cos(2x ) = 2 cos ⋅ sen 2 2 cos(2x ) = 2 cos 2 x ⋅ sen x cos(2x ) − 2 cos 2 x ⋅ sen x = 0
cos(2 x ) = 0 cos(2x ) ⋅ (1 − 2sen x ) = 0 : 1 − 2sen x = 0 π cos x = 0 ⇒ x = + πk = 90º +180º k 2
k) 2 cos 2 x + 3 cos x = 2 Solución. 2 cos 2 x + 3 cos x = 2 2 cos 2 x + 3 cos x − 2 = 0
cos x =
[ ] − 3 ± 9 + 16 − 3 ± 5 cos x = −2 ∉ − 1, 1 no tiene sentido 1 : = cos x = 4 4 2
l) cos 2 x − 3sen 2 x = 0 Solución. cos 2 x − 3sen 2 x = 0 2
÷3 cos x → cos 2 x = 3sen 2 x
tg 2 x =
m) sen 2 x − 3senx cos x + 2 cos 2 x = 0
3sen 2 x 3 cos 2 x
1 3 ⇒ tgx = ± 3 3
=
cos 2 x 3 cos 2 x
Solución. Se transforma en una ecuación de segundo grado dividiendo todos los términos de la ecuación por cos2x. sen 2 x − 3senx cos x + 2 cos 2 x = 0 sen 2 x cos 2 x
−
3senx cos x cos 2 x
tg 2 x − 3tg x + 2 = 0 : tg x =
+
2 cos 2 x cos 2 x
− (− 3) ±
=0
(− 3)2 − 4 ⋅1⋅ 2 2 ⋅1
=
3 ±1 2
n) tg (2 x ) = −tgx Solución. Se transforma la igualdad en función de sen x y cos x. tg (2 x ) = − tgx
sen (2x ) sen x =− cos(2 x ) cos x 2senx cos x senx =− 2 2 cos x cos x − sen x
2sen x ⋅ cos 2 x = −sen x ⋅ cos 2 x + sen 3 x sen 3 x − 3sen x ⋅ cos 2 x = 0 sen 3 x − 3sen x ⋅ 1 − sen 2 x = 0
(
3
)
4sen x − 3sen x = 0 sen x = 0 : x = 0 = πk = 180º k 3 ± 3 sen x ⋅ 4sen 2 x − 3 = 0 : 4sen 2 x − 3 = 0 : sen x = ± = 4 2
(
)
o) sen 2 x − cos 2 x =
1 2
Solución. Teniendo en cuenta la definición de coseno del ángulo doble, se transforma la expresión 1 sen 2 x − cos 2 x = 2 1 − cos(2x ) = 2 1 cos(2x ) = − 2
p) tgx·sec x = 2 Solución. tgx sec x = 2 senx 1 · = 2 cos x cos x senx = 2 1 − sen 2 x 2sen 2 x + senx − Ecuación de segundo grado en función de sen x 2 senx = = − 1 ± 1 + 8 − 1 ± 3 2 2 senx = : = 2 2 2 2 senx = − 4 = 2 2
2 =0
2 2 −2 2
= − 2 ∉ [− 1, 1] ⇒ No válida
q) cos(2 x ) − cos(6 x ) = sen(5 x ) + sen(3 x ) Solución.
cos(2x ) − cos(6x ) = sen (5x ) + sen (3x )
Aplicando a los dos miembros de la ecuación las transformaciones de sumas en producto se obtiene una expresión equivalente de la que se pueden obtener soluciones. 5x + 3x 5x − 3x ⋅ cos = 2sen (4x ) ⋅ cos x sen (5x ) + sen (3x ) = 2sen 2 2 cos(2 x ) − cos(6 x ) = −2sen 2x + 6 x ⋅ sen 2 x − 6 x = −2sen (4 x ) ⋅ sen (− 2 x ) 2 2 igualando
−2sen (4 x ) ⋅ sen (−2 x ) = 2sen (4x ) ⋅ cos(x )
Teniendo en cuenta las razones trigonométricas de ángulos opuestos (sen (− α ) = −sen α ) sen (4 x ) ⋅ sen (2x ) = sen (4 x ) ⋅ cos x sen (4 x ) ⋅ sen (2 x ) − sen (4 x ) ⋅ cos x = 0
sen(4 x ) = 0 sen(4 x ) ⋅ (sen(2 x ) − cos x ) = 0 : sen (2x ) − cos x = 0 sen (4 x ) = 0 : 4x = 0 = πk = 180º k ⇒ x = 0 = sen (2 x ) − cos x = 0
π k = 45º k 4
2sen x cos x − cos x = 0 π cos x = 0 : x = 90º +180º k = 2 + πk cos x ⋅ (2sen x − 1) = 0 : 1 2sen x − 1 = 0 : sen x = 2
r) 2tgx − 3 cot gx − 1 = 0 Solución.
2tg x − 3cotg x − 1 = 0
1 −1 = 0 tg x Multiplicando la igualdad por tg x, se transforma en una ecuación de segundo grado en función de tg x 2tg 2 x − tg x − 3 = 0 2tg x − 3
tg x =
1 ± 1 + 24 4
3 tg x = : 2 tg x = −1
s) 3 cos x = 2 sec x − 5 Solución.
3 cos x = 2 sec x − 5 2 3 cos x = −5 cos x Multiplicando toda la ecuación por cos x se obtiene una ecuación de segundo grado 3 cos 2 x + 5 cos x − 2 = 0 1 − 5 ± 25 + 24 cos x = cos x = : 3 6 cos x = −2 ∉ [− 1, 1] ⇒ No válida
t) cos(2 x ) = 5 − 6 cos 2 x Solución.
cos(2 x ) = 5 − 6 cos 2 x cos 2 x − sen 2 x = 5 − 6 cos 2 x
(
)
cos 2 x − 1 − cos 2 x = 5 − 6 cos 2 x 8 cos 2 x = 4 cos 2 x =
1 2 ⇒ cos x = ± 2 2
u) cos ecα ⋅ secα ⋅ cos 2 α + tgα = cot gα Solución. cos ec x ⋅ sec x ⋅ cos 2 x + tg x = cotg x 1 1 ⋅ ⋅ cos 2 x + tg x = cotg x sen x cos x cos x + tg x = cotg x sen x cotg x + tg x = cotg x tg x = 0 ⇒ x = 0 = 180º k = πk
v) 2 senx + 1 = cos ecx Solución.
2sen x + 1 = cosec x 1 2sen x + 1 = sen x 2sen 2 x + sen x − 1 = 0 1 sen x = − 1 ± 1 + 8 2 senx = : 4 sen x = −1 ⇒ x = 3π + 2πk = 270º +360º k 2
w) sec x + tgx = 2 Solución.
sec x + tg x = 2 1 senx + =2 cos x cos x 1 + senx =2 cos x 1 + senx = 2 cos x 1 + 2senx + sen 2 x = 4 cos 2 x
(
1 + 2senx + sen 2 x = 4 1 − sen 2 x
)
5sen 2 x + 2senx − 3 = 0 − 2 ± 4 + 60 senx = 10
x) senx + cos ecx =
6 3 senx = 10 = 5 : senx = −1 ⇒ x = 3π + 2πk = 270º +360º k 4
13 6
Solución.
13 6 1 13 senx + = senx 6 13 sen 2 x − senx + 1 = 0 6 13 169 13 25 13 5 ± −4 ± ± 6 36 6 36 6 6 = 13 ± 5 .Casos : senx = = = 2 2 2 12 18 senx = 12 ⇒ no tiene solución senx = 2 ⇒ x ≅ 23π = 41º 48´37´´; x ≅ 77π = 138º11´23´´ 3 100 100 senx + cos ecx =
y) cos(2 x ) = senx Solución.
cos(2 x ) = senx cos 2 x − sen2 x = senx
(1 − sen x ) − sen x = senx 2
2
2sen 2 x + senx − 1 = 0 −1± 1+ 8 −1± 3 .Casos : = 4 4 1 5π π senx = 2 ⇒ x = 6 = 30º ; x = 6 = 150º senx = −1 ⇒ x = 3π = 270º 2 senx =
z) tg 2 x + 3 = 4tgx Solución.
tg 2 x + 3 = 4tgx tg 2 x − 4tgx + 3 = 0 4 ± 16 − 12 4 ± 2 = .Casos : 2 2 7π 2π tgx = 3 ⇒ x ≅ 5 = 71º33´54´´; x ≅ 5 = 251º33´54´´ tgx = 1 ⇒ x = π = 45º ; x = 5π 225º 4 4
tgx =
aa) cos x − 2 senx·cos x = 0 Solución.
cos x − 2senx·cos x = 0
cos x(1 − 2 senx ) = 0.Casos : 3π π cos x = 0 ⇒ x = 2 = 90º ; x = 2 = 270º 1 − 2senx = 0 ⇒ senx = 1 ⇒ x = π = 30º ; x = 5π = 150º 2 6 6
bb) cos x + cos(3 x ) = cos(2 x ) Solución.
cos x + cos(3 x ) = cos(2 x ) A+ B A− B Utilizamos : cos A + cos B = 2 cos cos 2 2 cos x + cos(3 x ) = cos(2 x ) 2 cos(2 x ) cos(− x ) = cos(2 x ).Casos :
3π π cos(2 x ) = 0 ⇒ x = 4 = 45º ; x = 4 = 135º cos(− x ) = 1 ⇒ cos x = 1 ⇒ x = π = 60º ; x = 5π = 300º 2 2 3 3
cc) 2 cos 2 x + 4sen 2 x = 3 SOLUCIÓN: 2 cos 2 x + 4sen 2 x = 3
(
)
2 1 − sen 2 x + 4sen 2 x = 3 2sen 2 x = 1 1 sen 2 x = 2 senx = ±
2 3π 5π 7π π ⇒ x = = 45º ; x = = 135º ; x = = 225º ; x = = 315º 2 4 4 4 4
dd) sec x + 4 cos x = 5 Solución.
sec x + 4 cos x = 5 1 + 4 cos x = 5 cos x 4 cos 2 x − 5 cos x + 1 = 0 5 ± 25 − 16 5 ± 3 = .Casos : 8 8 cos x = 1 ⇒ x = 0 1 21π − 21π cos x = 4 ⇒ x ≅ 50 = 75º31´21´´; x ≅ 50 = −75º31´21´´
cos x =