Mathematik FOS/BOS Bayern Jahrgangsstufe 11 Ausbildungsrichtung ABU, G, S, W, GH, IW Agrarwirtschaft, Bio- und Umwelttechnologie Gestaltung Sozialwesen Wirtschaft und Verwaltung Gesundheit Internationale Wirtschaft
Bearbeitet von Lehrern und Ingenieuren an beruflichen Schulen (Siehe nächste Seite)
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten Europa-Nr.: 87478
Autoren des Buches „Mathematik FOS/BOS Bayern Jahrgangsstufe 11, Ausbildungsrichtung ABU, G, S, W, GH, IW“ Josef Dillinger Bernhard Grimm Dr. Frank-Michael Gumpert Gerhard Mack Thomas Müller Bernd Schiemann
München Sindelfingen, Leonberg Stuttgart-Birkach Esslingen Ulm Durbach/Ortenau
Lektorat: Bernd Schiemann Bildentwürfe: Die Autoren Bilderstellung und -bearbeitung: Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Ostfildern
1. Auflage 2017 Druck 5 4 3 2 1 Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind.
ISBN: 978-3-8085-8747-8 Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. © 2017 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten http://www.europa-lehrmittel.de Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, Radevormwald unter Verwendung einer Grafik von © Peter HermesFurian – fotolia.com Satz: Daniela Schreuer, 65549 Limburg/Lahn Druck: Konrad Triltsch Print und digitale Medien GmbH, 97199 Ochsenfurt-Hohestadt
Vorwort Dieses Lehrbuch setzt das Kompetenzstrukturmodell des ab Schuljahr 2017/18 geltenden LehrplanPLUS um. Die Inhalte sind exakt an den Lehrplan der 11. Jahrgangsstufe der Fachoberschule und der Berufsoberschule, Ausbildungsrichtung ABU, G, S, W, GH, IW, angepasst. Sie enthalten auch zu jedem Lernbereich Vertiefungen für besonders interessierte Schüler und Lehrer. Es werden alle Pflicht- und Wahl-Lernbereiche behandelt. Zielgruppen: Lehrer und Schüler der FOS – Ausbildungsrichtung ABU, G, S, W, GH, IW Lehrer und Schüler der BOS – Ausbildungsrichtung ABU, G, S, W, GH, IW Inhalte: • Ganzrationale Funktionen • Differenzialrechnung bei ganzrationalen Funktionen • Zufallsexperiment und Ereignis • Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit • Grundlagen der Kombinatorik Die Inhalte werden durch konkrete Beispiele anhand von Eingangsbeispielen dargestellt und veranschaulicht. Alle im Lehrplan geforderten Kompetenzen werden durch entsprechende Aufgaben gefördert. In jedem Teilkapitel wird die Kompetenz durch Aufgaben getestet. Diese Aufgaben beziehen sich direkt auf die Texte, Abbildungen und Beispiele des vorangegangenen Teilkapitels und überprüfen, ob die Schüler die Inhalte des Abschnitts verstanden haben. Die meisten dieser Aufgaben liegen in den Kompetenz-Anforderungsstufen I (Schlüsselbegriffe: benennen, beschreiben, skizzieren, …) oder II (Schlüsselbegriffe: erläutern, erörtern, analysieren, …). Anschließend an wichtige Abschnitte folgt eine „Ich kann…“-Seite zur Prüfung der eigenen Kompetenz: Jedes Hauptkapitel wird abgeschlossen mit einer Aufgabensammlung „Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!“ mit ansteigenden Anforderungsstufen (Kompetenz-Anforderungsstufen I – III).
Ergänzend zu diesem Lehrbuch werden erscheinen: • Lehrerband mit Lösungsvorschlägen für alle Aufgaben des Buches • Kompetenzchecklisten zur Überprüfung des Lernfortschrittes als PDF online ladbar.
Ihre Meinung interessiert uns! Teilen Sie uns Ihre Verbesserungsvorschläge, Ihre Kritik aber auch Ihre Zustimmung zum Buch mit. Schreiben Sie uns an die E-Mail-Adresse:
[email protected]
Die Autoren und der Verlag Europa-Lehrmittel
Herbst 2017
3
Kompetenzchecklisten Auf dem Verlagsserver finden Sie Checklisten zur Überprüfung Ihres Lernfortschrittes. Sie gelangen über den QR-Code zur entsprechenden Serverseite. Hier sehen Sie die Seite 1 der Kompetenzlisten Kompetenzen für Kapitel 1 Kompetenzen im Kapitel Ganzrationale Funktionen
Aufgaben
Ich kann mit Steigungen arbeiten
1.2.1
Ich kann mit Geraden rechnen
1.2.2
Ich kann Gleichungssysteme lösen
1.3.1.2-3
Ich kann Parabelarten auswerten
1.4.1
Ich kann Parabeln verschieben
1.4.2
Ich kenne die Normalform und kann Nullstellen berechnen
1.4.3
Ich kann quadratische Gleichungen auf verschiedene Arten lösen
1.4.4
Ich kann Wurzelfunktionen und quadratische Wurzelfunktionen berechnen
1.5.2
Ich kann Funktionsterme von Parabeln bestimmen
1.5.3
Ich kann mit Funktionsgleichungen 3. Grades arbeiten
1.6.1
Ich kann Nullstellen von Funktionen 4. Grades berechnen
1.6.2
Ich Nullstellen mit Näherungs verfahren berechnen
1.6.5
Ich kann Symmetrien von Funktionen auswerten
1.7.1
Ich kann Monotonien zuordnen und Monotonie-Intervalle ermitteln
1.7.2
Ich kann Umkehrfunktionen erstellen
1.7.3
Ich kann Lösungsmengen für Ungleichungen bestimmen
1.7.8
beherrsche ich schon
muss ich noch üben
Hier sehen Sie den Anfang der Seite 2 der Kompetenzlisten Kompetenzen für Kapitel 2 Differenzialrechnung bei ganzrationalen Funktionen
Aufgaben
…
…
4
Aufgaben habe ich gelöst
Kompetenzbegriff Kompetent ist eine Person, wenn sie bereit ist, • neue Aufgaben- oder Problemstellungen zu lösen, und • dieses auch kann. Hierbei muss sie Wissen bzw. Fähigkeiten • erfolgreich abrufen, • vor dem Hintergrund von Werthaltungen reflektieren, • sowie verantwortlich einsetzen. nach Weinert Im Buch verwenden wir die sechs prozessbezogenen Kompetenzen.
Fachkompetenzraster im Buch Prozessbezogene Kompetenzen
Das bezieht sich auf:
K1
• Fragen stellen, die für die Mathematik charakteristisch sind („Gibt es …?“, „Wie verändert sich ... ?“, „Ist das immer so ... ?“) und Vermutungen begründet äußern,
Argumentieren
• mathematische Argumentationen entwickeln (wie Erläuterungen, Begründungen, Beweise), • Lösungswege beschreiben und begründen.
K2
Probleme lösen
• vorgegebene und selbst formulierte Probleme bearbeiten, • geeignete heuristische Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien zum Problemlösen auswählen und anwenden, • die Plausibilität der Ergebnisse überprüfen sowie das Finden von Lösungsideen und die Lösungswege reflektieren.
K3
Modellieren
• den Bereich oder die Situation, die modelliert werden soll, in mathe matische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen, • in dem jeweiligen mathematischen Modell arbeiten, • Ergebnisse in dem entsprechenden Bereich oder der entsprechenden Situation interpretieren und prüfen.
K4
Darstellungen verwenden
• verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten und Situationen anwenden, interpretieren und unterscheiden, • Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen, • unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und zwischen ihnen wechseln.
K5
Mit Elementen der Mathematik umgehen
• mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diabellen arbeiten, • symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt, • Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen, • mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, Software) sinnvoll und verständig einsetzen.
K6
Kommunizieren
• Überlegungen, Lösungswege bzw. Ergebnisse dokumentieren, verständlich darstellen und präsentieren, auch unter Nutzung geeigneter Medien, • die Fachsprache adressatengerecht verwenden, • Äußerungen von anderen und TeXte zu mathematischen Inhalten verstehen und überprüfen. 5
Inhaltsverzeichnis K
Kompetenzen Übersicht............................................4
1
Ganzrationale Funktionen
1.1
Zuordnungen in einem Koordinatensystem........11
1.2
Lineare Funktionen..................................................12
1.2.1
Ursprungsgeraden...................................................12
1.2.2
Allgemeine Geraden................................................13
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!...........................14
1.2.3
Vom Funktionsgraphen auf den Funktionsterm schließen........................................15
1.3
Lineare Gleichungssysteme (LGS).........................16
1.3.1 Lösungsverfahren....................................................17 1.4
Quadratische Funktionen....................................... 20
1.4.1
Parabeln mit dem Scheitel im Ursprung.............. 20
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!...........................21
1.4.2
Verschieben von Parabeln .................................... 22
1.4.3
Normalform und Nullstellen von Parabeln.......... 23
1.4.4
Zusammenfassung der Lösungsarten ................ 24
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.......................... 25
K
Ich kann … ............................................................... 27
1.5
Potenzfunktionen.................................................... 28
1.5.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten.............................................................. 28 1.5.2 Potenzfunktionen mit gebrochenen Exponenten.............................................................. 29 1.5.3
Vom Graphen auf den Term schließen..................31
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.......................... 33
1.6
Ganzrationale Funktionen höheren Grades........ 34
1.6.1
Funktion dritten Grades......................................... 34
1.6.2
Funktion vierten Grades......................................... 35
1.6.3
Nullstellenberechnung........................................... 35
1.6.4
Arten von Nullstellen.............................................. 39
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.......................... 40
1.6.5
Numerische Methoden........................................... 42
1.7
Eigenschaften von Funktionen.............................. 44
1.7.1
Symmetrie bei Funktionen.................................... 44
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.......................... 45
1.7.2
Monotonie................................................................ 46
1.7.3
Umkehrfunktionen.................................................. 48
1.8 Ungleichungen........................................................ 50
2.3
Änderungsraten...................................................... 62
2.4
Stetigkeit von Funktionen...................................... 63
2.5
Sätze zur Stetigkeit von Funktionen..................... 64
2.6
Differenzierbarkeit von Funktionen...................... 65
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.......................... 66
2.7
Ableitungsregeln.................................................... 67
2.7.1
Nachweis der Ableitungsregeln............................ 69
2.7.2
Anwendung der Ableitungsregel von ganzrationalen Funktionen............................. 70
2.7.3
Höhere Ableitungen.................................................71
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.......................... 73
2.8
Newton'sches Näherungsverfahren (Tangentenverfahren)..............................................74
2.9
Hochpunkte und Tiefpunkte...................................76
2.10
Wendepunkte.......................................................... 77
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.......................... 78
K
Ich kann … ............................................................... 79
2.11
Tangenten und Normalen...................................... 80
2.11.1
Tangenten und Normalen in einem Kurvenpunkt............................................................ 80
2.11.2
Tangenten parallel zu einer Geraden....................81
2.11.3
Anlegen von Tangenten an G f von einem beliebigen Punkt aus.................................. 82
2.11.4
Zusammenfassung Tangentenberechnung........ 83
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.......................... 84
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.......................... 86
2.12
Einparametrige Funktionenschar......................... 87
2.13
Ermittlung von Funktionsgleichungen................. 90
2.13.1 Ganzrationale Funktion mit Symmetrieeigenschaft........................................... 93 Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.......................... 94
K
Ich kann … ............................................................... 95
3 Stochastik 3.1
Zufallsexperiment und Ereignis............................ 97
3.1.1
Anwendungen der Stochastik............................... 97
3.2 Zufallsexperiment................................................... 98 3.2.1
Einstufige Zufallsexperimente.............................. 98
3.2.2
Mehrstufige Zufallsexperimente.......................... 99
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!........................ 100
3.3 Ereignisse............................................................... 102
1.9
Betragsfunktion........................................................51
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.......................... 52
1.10
Verhalten von Funktionen für große x-Werte...... 53
1.11
Graphen ganzrationaler Funktionen analysieren.. 55
1.12
Von den Eigenschaften der Funktion auf den Graphen schließen................................... 56
K
Ich kann … ............................................................... 57
4 Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
2
Differenzialrechnung bei ganzrationalen Funktionen
4.1 Häufigkeit............................................................... 108
2.1
Erste Ableitung f'(x)................................................ 59
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.........................110
Differenzialquotient................................................ 60
4.3
Klassische Wahrscheinlichkeit............................. 111
2.2
6
3.3.1 Ereignisarten......................................................... 102 3.3.2
Logische Verknüpfung von Ereignissen............ 103
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!........................ 104
K
Ich kann … ............................................................. 106
4.2
Statistische Wahrscheinlichkeit.......................... 109
4.3.1 Wahrscheinlichkeit von verknüpften Elementarereignissen...........................................112 4.3.2 Wahrscheinlichkeit von verknüpften Ereignissen.............................................................113 Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.........................114
4.3.3 Baumdiagramm......................................................116 4.3.4 Pfadregeln bei mehrstufigen Zufallsexperimenten..............................................117 Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.........................119
4.4
Bedingte Wahrscheinlichkeit................................121
4.4.1
Satz von Bayes.......................................................121
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.........................122
4.4.2
Unabhängige und abhängige Ereignisse............123
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.........................124
4.4.3
Zusammenhang zwischen Baumdiagramm und der Vierfeldertafel..........................................125
4.4.4
Inverses Baumdiagramm......................................126
K
Ich kann … ..............................................................127
5 Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Gesetzen der Kombinatorik 5.1
Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen.............129
5.2
Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen......... 130
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!.........................132
5.3
Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen..... 133
5.4
Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen....... 134
Ü
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!........................ 135
5.5
Zusammenfassung Stichproben......................... 136
K
Ich kann … ............................................................. 137
Anhang Mathematische Fachbegriffe............................................. 138 Mathematische Zeichen, Abkürzungen und Formelzeichen.............................................................. 140 Literaturverzeichnis.............................................................142 Unterstützende Firmen....................................................... 143 Sachwortverzeichnis........................................................... 144
7
Analysis Die Analysis (von griechisch Auflösung) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton als Infinitesimalrechnung unabhängig voneinander entwickelt wurden. Als eigenständiges Teilgebiet der Mathematik neben den klassischen Teilgebieten der Geometrie und der Algebra existiert die Analysis seit Leonhard Euler. Grundlegend für die gesamte Analysis sind die beiden Körper {ℝ} (der Körper der reellen Zahlen) und {ℂ} (der Körper der komplexen Zahlen) mit ihren geometrischen, arithmetischen, algebraischen und topologischen Eigenschaften. Zentrale Begriffe der Analysis sind die des Grenzwerts, der Folge, der Reihe sowie in besonderem Maße der Begriff der Funktion. Die Untersuchung von reellen und komplexen Funktionen hinsichtlich Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit zählt zu den Hauptgegenständen der Analysis. Die hierzu entwickelten Methoden sind in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung.
Gottfried Wilhelm Leibniz Deutscher Mathematiker, Physiker, Philosoph und Bibliothekar. 1672 konstruierte er eine Rechenmaschine, die multiplizieren, dividieren und Quadratwurzeln ziehen konnte. Leibniz entwickelte in den Jahren 1672 bis 1676 unabhängig von Isaac Newton die Infinitesimalrechnung. Auf Leibniz gehen die heute übliche Differendy zialschreibweise ___ und das Integralzeichen ∫ dx zurück. dx Die Leibniz-Formel dient zur Berechnung von Determinanten bei Matrizen.
„Beim Erwachen habe ich schon so viele Einfälle, dass der Tag nicht ausreicht, sie niederzuschreiben.“
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* 1. 7. 1646 in Leipzig † 14. 11. 1716 in Hannover
Sir Isaac Newton Englischer Physiker, Mathematiker, Astronom und Verwaltungsbeamter. Er erhielt schon als 27-Jähriger einen Lehrstuhl. Newton und Leibniz entwickelten unabhängig voneinander die Infinitesimalrechnung, um Differenzialrechnung und Integralrechnung zu betreiben. Er hat das Binomische Theorem auf beliebige reelle Exponenten mittels unendlicher Reihen verallgemeinert. Als Physiker fand er das Gravitationsgesetz und legte mit den Bewegungsgesetzen den Grundstein für die klassische Mechanik.
„Ich kann die Bewegung der Himmelskörper berechnen, aber nicht das Verhalten der Menschen.“
8
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* 25. 12. 1642 in Woolsthorpe † 20. 3. 1726
Häufigkeit, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Kombinatorik Die relative Häufigkeit ist ein Maß der beschreibenden Statistik. Sie gibt den Anteil der Elemente einer Menge wieder, bei denen eine bestimmte Merkmalsausprägung vorliegt. Sie wird berechnet, indem die absolute Häufigkeit eines Merkmals in einer zugrundeliegenden Menge durch die Anzahl der Objekte in dieser Menge geteilt wird. Die relative Häufigkeit ist also eine Bruchzahl und hat einen Wert zwischen 0 und 1. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik, das Zufallsgeschehen anhand von Modellen untersucht. Zusammen mit der mathematischen Statistik, die anhand von Beobach-tungen zufälliger Vorgänge Aussagen über das zugrunde liegende Modell trifft, bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik. Die zentralen Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind zufällige Ereignisse, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse. Die Kombinatorik ist eine Teilgebiet der Mathematik, die sich mit endlichen (abzählbaren) Strukturen beschäftigt. Beispiele dafür sind: Graphen, geordnete Mengen, Permutationen von Objekten, Partitionen.
Blaise Pascal * 19. 06. 1623 in Clermont-Ferrand † 19. 8. 1662
© ullstein bild – Lombard
Französischer Mathematiker, Physiker, Literat und Philosoph. Er konstruierte 1642 eine Rechenmaschine, die addieren und später auch subtrahieren konnte (Zweispeziesrechner). Er beschäftigte sich mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung und untersuchte besonders Würfelspiele. Nach ihm ist das Pascal'sche Dreieck zur geometrischen Darstellung der Binomialkoefizienten benannt.
Thomas Bayes „P (AlB)“ * um 1702 in London, England † 17. 4. 1761 Thomas Bayes, englischer Mathematiker und Pfarrer. Nach ihm ist der „Satz von Bayes“ benannt, der angibt, wie man mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnet. „Bayes’sches Filter“. Von charakteristischen Wörtern, z. B. in einer E-Mail (Ereignis) wird auf die Eigenschaft Spam (Ursache) geschlossen.
Thomas Bayes (wohl nicht authentisch)
9
Kapitel I Analysis
1 Ganzrationale Funktionen
1 Zuordnung in einem Koordinatensystem
2 Lineare Funktionen
3 Lineare Gleichungssysteme
4 Quadratische Funktionen
5 Potenzfunktionen
6 Ganzrationale Funktionen höheren Grades
7 Eigenschaften von Funktionen
8 Ungleichungen
9 Betragsfunktion
10 Verhalten von Fnktionen für große x-Werte
11 Graphen ganzrationaler Funktionen
12 Von den Eigenschaften der Funktionen auf den Graphen schließen
10
1.1 Zuordnungen in einem Koordinatensystem
1 Ganzrationale Funktionen 1.1 Zuordnungen in einem Koordinatensystem Auf einer Glasplatte mit Karomuster sind nach einem Regenschauer beliebig verteilte Tropfen zu sehen (Bild 1). Begründen Sie, dass die Tropfen entlang der Laserstrahlen a) einer Relation oder b) einer Funktion zugeordnet werden können. c) Finden Sie weitere Graphen linearer Funktionen. Lösung: a) grüne Linie, b) blaue Linie, c) rote Linien.
y 8 7
H1
i G
h
4
R
F
3
F1
0
D1 A
L1
1
2
3
V P
L
B
U
C
g
Z
G1 J1
2 1
A1
O
H
E1
N M
K1
B1
E
5
S
Q C1
K
6
f
T
J
5 j 6
4
W I1
I
7
8
Zuordnungen können durch Pfeildiagramme, Wertetabellen, Graphen oder Gleichungen dargestellt werden (Bild 2). Alle Pfeilspitzen, die z. B. in einem Element enden, fasst man als neue Menge, die Wertemenge, zusammen. Kann man jedem Element einer Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zuordnen, nennt man diese Zuordnung eine Funktion. Eine Relation ist eine Zuordnung, bei der ein Element der Ausgangsmenge mit ein, zwei oder mehreren Elementen der Zielmenge verknüpft sein kann. Funktionen werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet, z .B. f, g oder h. Die Elemente der Wertemenge lassen sich dann nach derselben Vorschrift berechnen. Dies wird z. B. oft bei physikalischen Gesetzen angewendet. Die graphische Darstellung einer Funktion heißt Funktionsgraph G, Schaubild S oder Kurve K (Bild 3). Für die Zuordnungsvorschrift einer Funktion verwendet man auch symbolische Schreibweisen (Bild 4). Konstante Geschwindigkeit Ein Motorrad fährt mit einer konstanten Gem. schwindigkeit v = 20 __ s a) Werten Sie mit einer Wertetabelle den Weg s als Funktion der Zeit t mit der Funktionsgleichung s(t) = v · t aus. b) Ermitteln Sie den Graphen der Funktion im Koordinatensystem. Lösung: a) Tabelle 1, b) Bild 3
10
x
Bild 1: Glasplatte mit Regentropfen Definitionsmenge D
Nun soll eine mathematische Zuordnung der Elemente vorgenommen werden.
9
Wertemenge W
(Ausgangsmenge)
(Zielmenge)
0s
0m
1s
20 m
2s
40 m
3s
s=v·t Weg = Geschwindigkeit · Zeit Definitionsmenge mit v = 20 m s
t, x unabhängige Variable
60 m 80 m 100 m
s = v · t Zuordnungsvorschrift s, y abhängige Variable
Bild 2: Elementezuordnung in Mengen mit dem Pfeildiagramm Tabelle 1: Wertetabelle für das Weg-ZeitDiagramm x ≙ t in s
0
1
2
3
4
5
y ≙ s in m
0
20
40
60
80
100
y; s in m
G
80 70 60 50 s(2) 30 20 10 0
1
2
3
x; t in s
Bild 3: Wertetabelle und Graph des Weg-ZeitDiagramms Zuordnungsvorschrift
f: x
f(x) ; x D f(x) W
Funktionsterm Argumentvariable Funktionsname Funktion als Gleichung
f mit f(x) = y; x D f(x) W Bild 4: Allgemeine Zuordnungsvorschrift 11
1
Ganzrationale Funktionen
1.2 Lineare Funktionen
∆y
Bei der Darstellung proportionaler Zusammenhänge in der Physik und der Mathematik kommen lineare Funktionen vor, z. B. in der Form g(x) = m · x. Der Funktionsgraph einer linearen Funktion heißt Gerade.
m
y –y
2 1 m = ______ x –x
m = ___ ∆x
g: g(x) = m · x
1.2.1 Ursprungsgeraden
2
1
Steigung
g(x) Funktionswert an der Stelle x ∆x Differenz der x-Werte
x 1, y 1 Koordinaten von P 1
∆y Differenz der y-Werte
x 2, y 2 Koordinaten von P 2
Ursprungsgerade Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Funktionsgleichung g(x) = 1,5 · x und zeichnen Sie den Funktionsgraph von g.
Tabelle 1: Wertetabelle x
–4
Lösung:
g(x)
–6 –4,5 –3 –1,5
Bild 1
–3
–2
–1
Überprüfen Sie durch Punktprobe, ob der Punkt P 1 (2|3) auf der Geraden g mit g(x) = 1,5 · x liegt. Dazu setzt man x 1 = 2 in die Funktion ein und erhält y 1 = g(2) = 3. Der Punkt P (2|3) liegt also auf der Geraden g.
2
3
4
0
1,5
3
4,5
6
6
Gg
Ursprungsgerade
5 4 y1 3
–6 –5 –4
P1 (2|3)
2 P2 (1|1,5) x =1 1 O
x2
–2 –1
–1
1
2 x1
–2 –3 –4
Steigung m
P3 (–3|– 4,5)
Bestimmen Sie die Steigungen der Geraden f, g und h in Bild 2 mit jeweils einem Punkt P1 und dem Ursprung.
1
y
P 1 (x 1|y 1) liegt auf g, wenn y 1 = g(x 1) ist. Geraden durch den Ursprung O (0|0) heißen Ursprungsgeraden. Die Funktionsgraphen aller Ursprungsgeraden unterscheiden sich durch das Verhältnis von y-Wert ∆y zu x-Wert ∆x. Dieses Ver∆y hältnis ___ wird als Steigung m bezeichnet. Die Stei∆x gung m lässt sich aus dem Steigungsdreieck mit ∆y m = ___ berechnen. ∆x
0
y =1,5
3
4
x
5
Steigungsdreieck y = 1,5 m= x
y2
–6
Bild 1: Funktionsgraph Ursprungsgerade
Lösung: 3 g: m = __ =1 3
2 = 0,4 f: m = __ 5
y
5 h: m = __ =5 1
4
∆y
Das Verhältnis ___ wird auch Differenzenquotient ∆x genannt. ∆y und ∆x sind die Differenzen der Koordinatenwerte von P 1 (x 1|y 1) und P 2 (x 2|y 2).
Lösung: 2 – 1 = 0,4 f: m = ______ 5 – 2,5
4–3 g: m = ____ =1 4–3
2
1. Bestimmen Sie die Steigung für die Ursprungsgerade durch den Punkt P 3 in Bild 1. 2. Berechnen Sie die Steigung der Geraden durch P 2 (3|6) und P 1 (1|1). 12
∆y
∆y
–6 –5 ∆ x –3 –2 –1 –1 ∆y –2 ∆x ∆x ∆y
∆y
–4
f
∆x
∆x
∆y
1 0
5 – 2,5 h: m = ______ = 5 1 – 0,5
Aufgaben:
g
3
Steigung aus Punktepaaren Bestimmen Sie die Steigungen der Geraden f, g und h mit den Steigungsdreiecken (Bild 2).
h
5
∆x 1
2
3
4
f: y = 2 · x 5 g: y = 1 · x h: y = 5 · x
–5
Bild 2: Ursprungsgeraden und Steigungen Lösungen:
– 4,5 1. m = ____ = 1,5 –3
5
2. m = 2,5
x
1.2 Lineare Funktionen
1.2.2 Allgemeine Geraden Wasserbecken Ein Wasserbecken mit der Füllhöhe h 1 = 3 m wird geleert (Bild 1). Die Abflussmenge sei konstant. Ermitteln Sie die Geradengleichung mit der Steigung m aus den Punkten H 1 und H 2 und dem Achsenabschnitt b.
mit g ⊥ h m = tan α
g: g(x) = m · x + b g, h Geraden
m
Geradenschar
Achsenabschnitt auf der y-Achse
α
Winkel zwischen Gerade und x-Achse
Bild 2 enthält die Gerade für die Füllhöhe h 1. a) Zeichnen Sie von dieser Geraden ausgehend, die Geraden für die Füllhöhen h 2 = 1,5 m und h 3 = 6 m durch Parallelverschieben in ein Schaubild. b) Wie lauten die Gleichungen der Geraden für die Füllhöhen h 2 und h 3? Lösung: a) Bild 2
3 1 x + __ 1x + 6 b) g 2: y = –__ und g 3: y = – __ 3 2 3
h2
1
Lösung: –2 x + 3 ⇒ x = 4,5 ⇒ t = 4,5 min a) 0 = __ 3 –1 x + 3 ⇒ x = 18 ⇒ t = 18 min b) 0 = __ 6
Orthogonale Geraden Den Winkel zwischen einer Geraden und der x-Achse erhält man mit m = tan α. Die Gerade g 6 (Bild 3) hat die Steigung m = 1, also ist tan α = 1 ⇒ α = arctan (1) ⇒ α = 45°. Zur Prüfung, ob zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, verwendet man die Formel m 1 · m 2 = –1. Orthogonale Geraden Zeigen Sie, dass die Geraden g 6 mit y = x + 3 und g 7 mit y = –x + 3 in Bild 3 senkrecht aufeinander stehen. Lösung: m 6 = 1, m 7 = –1 ⇒ m 6 · m 7 = 1 · (–1) = –1
H2 (3|2)
0 1
t1 = 0
t
3 min 5 t2 = 3
2
Bild 1: Entleerung eines Wasserbeckens y h3 6
y – Achsenabschnitt von g3
5
g3
4 h1 3 h2
g1
2
Nullstelle von g1
g2
1 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Bild 2: Geradenschar y= h m
Unterschiedliche Abflussmenge im Wasserbecken Die Abflussmenge wird a) verdoppelt, b) halbiert. Berechnen Sie die Auslaufzeiten für beide Fälle.
h 4 m H1(0|3) y1 =3 ∆h y2 =2 ∆t 1
0
Geradenscharen mit parallelen Geraden haben die gleiche Steigung m aber unterschiedliche Achsenabschnitte und unterschiedliche Nullstellen. Geraden mit verschiedenen Steigungen und einem gemeinsamen Schnittpunkt S nennt man auch Geradenbüschel.
h1
h1=3 m 2
Je nach Füllhöhe h des Wasserbeckens ist die Entleerungszeit t unterschiedlich. Geradenschar
Steigung
b
2 – 3 __ ∆h = ____ 1t + 3 Lösung: m = ___ = –1 ; b = 3 ⇒ h(t) = – __ ∆t 3 3–0 3
Durch Verlängern der Geraden (Bild 1) erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) und damit die 1 t + 3 ⇔ t = 9 ⇒ t = 9 min. Entleerungszeit t in min. 0 = – __ 3
m g · m h = –1
y=x+3
3
y=
2 g6
1 0 –2 –1 –1
g7 1
g8 2
3
4
y=–x+3
–1 x+3 6
g9 5
y=
–1 x+3 3
6 7 8 9 t x= y = –2 x + 3 min 3
Bild 3: Geradenbüschel und orthogonale Gerade Aufgaben: 1. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Geraden –1 x + 3 mit der x-Achse (Bild 3). g 9: y = __ 3
2. Analysieren Sie die Wirkung einer Halbierung der Auslaufmenge (Bild 3) auf die Gleichung der Geraden. Lösungen: 1 x + 3 = 0 ⇔ t = 9 ⇒ N(9|0) 1. g 9(x) = 0 ⇒ – _ 3
2. Die Steigung wird halb so groß, die Auslaufzeit verdoppelt.
13
1
Ganzrationale Funktionen
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y
Ursprungsgeraden
7 6
1. Bestimmen Sie a) aus der Wertetabelle die Gleichung der Geraden.
D
5
C
4 3
x
0
1
2
3
4
5
…
2
f(x)
0
–2
–4
–6
–8
–10
…
1
b) Welche Werte y ergeben sich für x = –1, – 2, – 3? 2. Prüfen Sie, ob die Punkte P (2|–3) und Q (–3|– 4,5) 3 ·x auf der Geraden g mit der Gleichung y = __ 2 liegen. Allgemeine Geraden 3. Ermitteln Sie den Funktionsterm der linearen Funktion, dessen Graphen a) die Steigung 5 hat und durch den Punkt (2|–4) geht; b) durch die Punkte P (–1|–5) und Q (4|7) geht. 4. Die Gerade g geht durch die Punkte P (2|3) und Q (4|2), die Gerade h durch den Punkt A (2|1) mit der Steigung m = 2. a) Bestimmen Sie die Funktionsterme der zugehörigen Funktionen. b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen. c) Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Geraden g und h. 5. Das Koordinatensystem Bild 1 zeigt ein Parallelogramm mit den Eckpunkten A, B, C, D.
1
2
3 4
P (1|4) geht. 7. Ein Auto, das für 16 000 € beschafft wurde, wird mit 15 % jährlich linear abgeschrieben. a) Stellen Sie die Funktionsgleichung auf, die den Buchwert des Autos in Abhängigkeit von seinem Alter beschreibt. b) Ermitteln Sie, nach wie viel Jahren ist das Auto ganz abgeschrieben ist. c) Bestimmen Sie die Zeit bis der Buchwert 24 % des Beschaffungswertes beträgt.
8
9 10
x
b) Ergänzen Sie den Graphen mithilfe der parallelen Geraden g und h zur Geradenschar, dass g eine Einheit oberhalb und h eine Einheit unterhalb von f verläuft. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden i(x), die senkrecht auf der Geraden f steht und durch den Punkt Q (3|2) geht. d) Berechnen Sie die Schnittpunkte von i(x) mit den Geraden g und h. Lösungen: 1. a) y = – 2 ∙ x b) x = –1 ⇒ y = 2; x = –2 ⇒ y = 4; x = –3 ⇒ y = 6 3. a) f(x) = 5 ∙ x – 14
2
7
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für den Graphen.
b) Bestimmen Sie die Funktionsterme der Funktionen der Diagonalen.
2
6
8. Die Gerade f hat die Steigung m = 0,5 und geht durch den Punkt P (1|1).
2. P nein; Q ja
6. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die auf der Geraden mit der Funktionsgleichung 3 5 f(x) = __ x + __ senkrecht steht und durch den Punkt
5
Bild 1: Parallelogramm
a) Ermitteln Sie die vier Geradengleichungen durch die benachbarten Eckpunkte.
c) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Diagonalen.
14
–1 –1
B
A
b) g(x) = 2,4 ∙ x – 2,6
4. a) g(x) = – 0,5 ∙ x + 4; h(x) = 2 ∙ x – 3 b) g(x) = 0 ⇒ x = 8; für h(x) = 0 ⇒ x = 1,5 c) S (2,8|2,6) 5. a) f: y = 5, g: y = 1, h: y = 4 · x – 7; i: y = 4 · x – 31 37 4·x–_ 1 , d (x) = – _ 4·x+_ b) d 1(x) = _ 7 7 2 5 5
c) S (5,5|3)
2 ∙ x + ___ 14 6. h(x): y = –__ 3 3
7. a) k(x) = –2 400 ∙ x + 16 000 2 Jahre b) x = 6__ 3
8. a) f(x) = 0,5 ∙ x + 0,5; h(x) = 0,5 ∙ x – 0,5
c) x = 5,06 Jahre b) g(x) = 0,5 ∙ x + 1,5; c) y = – 2 ∙ x + 8
d) g(x) ⇒ x = 2,6; y = 2,8; h(x) ⇒ x = 3,4; y = 1,2
1.2 Lineare Funktionen
1.2.3 Vom Funktionsgraphen auf den Funktionsterm schließen
In den folgenden Beispielen ist der Graph von konstanten und linearen Funktion g gegeben. Anhand charakteristischer Merkmale und Eigenschaften ist der Funktionsterm zu bestimmen.
y 30 Lufttemperatur in °C
Bei einer Aufzeichnung der Lufttemperatur wird im Verlauf eines Tages alle vier Stunden gemessen. Verbindet man die Messpunkte, so entsteht der Verlauf wie wir sie bei einem Funktionsgraphen vorfinden (Bild 1). Wenn der Funktionsgraph der Kurve bekannt ist, können mithilfe der Mathematik weitere Erkenntnisse, z. B. Momentan- und Durchschnittstemperatur gewonnen werden.
24
G
18 12 6 0
Konstante Funktion: Beim Graph von f (Bild 2) bleibt der Funktionswert 2 für alle x ∈ ℝ gleich. Es handelt sich also um eine konstante Funktion mit m = 0. Der Funktionsterm heißt: f(x) = 2 . Lineare Funktionen: a) Beim Graph von g (Bild 3) ändert sich der Funktionswert proportional zum x-Wert. Es handelt sich also um eine lineare Funktion die durch den Ursprung geht. Aus dem Koordinatensystem kann die Steigung m = 0,5 abgelesen werden.
4
8
16 20 24 12 Uhrzeit in Stunden
x
Bild 1: Temperaturverlauf Charakteristische Merkmale bei konstanten Funktionen sind: • Funktionsgleichung: g(x) = c • Steigung m = 0 • Schnittpunkt mit der y-Achse • Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen • Graph ist eine waagrechte Gerade
Der Funktionsterm heißt: g(x) = 0,5 · x . b) Beim Graph von h (Bild 4) erhöht sich der Funktionswert proportional zum x-Wert. Es handelt sich also um eine lineare Funktion die durch den Punkt (0|–2) geht. Aus dem Koordinatensystem kann die Steigung m = 2 abgelesen werden. Der Funktionsterm heißt: h(x) = 2 · x – 2 . c) Beim Graph von i (Bild 5) verringert sich der Funktionswert proportional zum x-Wert. Es handelt sich also um eine lineare Funktion die durch den Punkt (0|1,5) geht. Aus dem Koordinatensystem kann die Steigung m = – 0,5 abgelesen werden. Der Funktionsterm heißt: i(x) = – 0,5 · x + 1,5 . Alternativ können auch die Punkte A und B in die Funktionsgleichung eingesetzt werden und über das entstandene LGS die Variablen m und c bestimmt werden. Mithilfe der Funktionsgleichung und Einsetzen der Koordinaten von z. B. Punkt B erhält man: i(x) = – 0,5 · x + c ⇒ 0 = – 0,5 · 3 + c ⇔ c = 1,5 ⇒ i(x) = – 0,5 · x – 1,5 Der Funktionsterm einer linearen Funktion kann auch mithilfe zweier beliebig aus dem Koordinatensystem ausgelesen Punkte bestimmt werden. Wählt man z. B. aus dem Graph von i die Punkte A(1|1) und B(3|0) aus, so kann man daraus die Steigung m bestimmen. y –y
0–1 B A 1 ____ m = ______ = – __ x –x = B
A
3–1
2
Charakteristische Merkmale bei linearen Funktionen sind: • Funktionsgleichung hat die Form: g(x) = mx + c • Steigung m ≠ 0 • y-Achsenabschnitt c • Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen • Graph ist eine Gerade y
y
4 3 2 1
4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4
f
1 2 3 4 5 6 x
Bild 2: Konstante Funktion
–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4
–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4
1 2 3 4 5 6 x
Bild 3: Lineare Funktion
y 4 3 2 1
g
y h
i
4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 x
Bild 4: Lineare Funktion
–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4
1 2 3 4 5 6 x
Bild 5: Lineare Funktion 15
1
Ganzrationale Funktionen
1.3 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Situation: Befüllung eines Schwimmbeckens Ein Schwimmbecken soll durch zwei verschiedene Pumpen P1 und P2 mit Wasser befüllt werden (Bild 1). Die unterschiedlichen Pumpleistungen sind nicht bekannt. Durch Zeitmessungen hat man festgestellt, dass beide Pumpen das Becken in 60 Minuten füllen, wobei die Pumpe P2 nur halb so viel arbeitet wie P1. Als technischer Angestellter im Freibad sollten sie wissen, in welcher Zeit jede Pumpe allein das Becken befüllt.
P2 P1
Beispiel: Möglicher Ansatz für obengenanntes Problem ist: x gibt die Beckenfüllung in % pro Stunde von P1 an. y gibt die Beckenfüllung in % pro Stunde von P2 an. Da die Füllmenge in Liter nicht bekannt ist, muss die Beckenfüllung prozentual angesetzt werden. Gesamte Beckenfüllung beträgt 100 % = 1 Beide Pumpen P1(x) und P2(y) befüllen das Becken in einer Stunde zu 100 %. Dies drückt die Gleichung I aus. Dass die Pumpe 2 (y) zweimal schneller arbeitet, wird in Gleichung II beschrieben. x+y=1 I: x + y = 1 I: Gleichungen: bzw. y = 2x II: { II: ∧ y = 2x
Bild 1: Befüllung eines Schwimmbeckens Tabelle 1: Lineares Gleichungssystem (LGS) Art
Darstellung
LGS
a 1x + b 1y = c 1 {a 2x + b 2y = c 2
Variablen Koeffizienten Lösungsformen
Art
Die Gleichungen sind linear und bilden deshalb ein lineares Gleichungssystem (LGS).
Einsetzungsverfahren
II: y = 2x
I in II eingesetzt:
I:
1 x = __ 3
2 II: ∧ y = __ 3
Angabe der Lösungsmenge (Tabelle 1): 1 __ 2 Lösungsmenge: L = {(__ 3 3 )}
|
Die Lösungsmenge muss nun noch interpretiert werden. Ergebnis: 1 (33,¯ In 60 Minuten befüllt die Pumpe P1 __ 3 %) 3
des Beckens, die Pumpe P2 befüllt in der 2 (66,¯ gleichen Zeit __ 6 %) des Beckens. Für die 3 einzelnen Pumpen ergeben sich damit folgende Füllzeiten: P1 alleine: 60 Minuten · 3
= 180 Minuten
P2 alleine: 60 Minuten · (3/2) = 90 Minuten.
16
x L = {(x|y)} bzw. L = {(y)}
LGS-Form a1 c ⎧y = – __ x + __1 (1) b1 b1 ⎨ b2 c2 ⎪ __ __ ⎩x = – a y + a (2) ⎪
Lösung mit dem Einsetzverfahren (Tabelle 2):
1 I: x = __ 3 ⇔
a 2, b 2, c 2
Tabelle 2: Lösungsvariante
Dass die Gleichungen (Aussageformen) zusammengehören, wird durch die Klammer bzw. durch die UND (∧)-Verknüpfung dargestellt.
I: x + 2x = 1 |: 3 x+y=1 I: II in I eingesetzt: II: { y = 2x II: ∧ y = 2x
x, y bzw. x 1, x 2 a 1, b 1, c 1
2
2
(1) in (2) einsetzen oder umgekehrt (2) in (1)
Definition: Als lineares Gleichungssystem (LGS) bezeichnet man ein System aus linearen Gleichungen, die mehrere unbekannte Größen (Variable) enthalten. Linear heißt ein Gleichungssystem (LGS), wenn in allen Gleichungen die Variablen nur in der 1. Potenz auftreten. Variablen werden auch Unbekannte oder Leerstellen genannt. Gleichungen aufstellen Mathematisch kann man den beiden unbekannten Fülleistungen jeweils eine Variable zuordnen. Mithilfe der beiden Angaben können dann zwei Gleichungen aufgestellt werden. Zusammengehörige Gleichungen werden auch als Gleichungssystem bezeichnet. Eine besondere Form dieser Gleichungssysteme sind die linearen Gleichungssysteme. Gleichungssysteme werden eingesetzt, um Zusammenhänge zu modellieren und interessierende Größen zu bestimmen.
1.3 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
1.3.1 Lösungsverfahren
Erlaubte Rechenoperationen:
Lineare Gleichungssysteme löst man in der Regel mit einem der drei folgenden Verfahren:
• Multiplikation (Division) einer Gleichung mit einer reellen Zahl ungleich 0 (Null).
Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren (Tabelle). Jedes Verfahren hat das Ziel, die Variablen schrittweise zu eliminieren 2.
• Addition (Subtraktion) einer Gleichung mit einer reellen Zahl. • Vertauschen von Gleichungen
1. Einsetzungsverfahren Schritte beim Einsetzungsverfahren:
Liegt ein lineares Gleichungssystem so vor, dass eine Gleichung schon nach einer Variablen umgestellt ist, empfiehlt sich das Einsetzungsverfahren. Die Gleichung mit der umgestellten Variable z. B. y wird in die zweite Gleichung eingesetzt aus der dann die andere Variable hier x berechnet werden kann. Durch Einsetzen des x-Wertes in die erste Gleichung erhält man dann den y-Wert.
• Eine Gleichung nach einer Variable umstellen. • Den Term dieser Variablen für diese Variable in die zweite (bzw. weiteren) Gleichung(en) einsetzen. • Den Wert für die andere(n) Variable(n) berechnen (und gegebenenfalls in die weiteren Gleichungen einsetzen). • Verfahren solange anwenden, bis jeder Wert der Variable angegeben werden kann.
Einsetzungsverfahren Bestimmen Sie die Lösungsmenge der LGS 1. mit dem Einsetzungsverfahren und 2. mit dem Gleichsetzungsverfahren.
Tabelle 1: Lösungsverfahren
1.
Art
(I): –x + 3y = 3 { (II): 2x + 3y = 12
2.
(I): y = –3x + 1 { (II): 3x – 2y = 25
LGS-Form ⎧y = – __1 x + __1 (1) b1 b1 ⎨ b2 c2 ⎪ __ __ ⎩x = – a y + a (2) ⎪
Einsetzungsverfahren Lösung für 1: Bestimmen Sie die Lösungsmenge über G = ℝ × ℝ des folgenden Gleichungssystems mithilfe des Einsetzungsverfahrens. (I): –x + 3y = 3 { (II): 2x + 3y = 12 Lösung:
Lösung für 2:
1. Schritt:
Lösung:
Die Gleichung (I) kann einfach nach x umgestellt werden und wird dann in Gleichung (II) eingesetzt. (I): –3 + 3y = x { (II): 2x + 3y = 12
1.Schritt:
a
2
c
2
(1) in (2) einsetzen oder umgekehrt (2) in (1)
(I): y = – 3x + 1 {(II): 3x – 2y = 25
Die Gleichung (I) ist schon nach y umgestellt. Somit kann der Term –3x + 1 gleich in Gleichung (II) für y eingesetzt werden. (I): y = –3x + 1 (I): y = –3x + 1 ⇔ { (II): 3x – 2 (–3x + 1) = 25 { (II): 3x + 6x – 2 = 25
2. Schritt: Nun wird in der Gleichung (II) die Variable durch denTerm – 3 + 3y ersetzt. Damit besteht die Gleichung (II) nur noch aus der Variablen y. (I): – 3 + 3y = x {(II): 2 3 3y + 3y = 12
⇔
(I): y = –3x + 1 (I): y = –3x + 1 ⇔ { (II): 9x = 27 { (II): x = 3
2.Schritt:
3. Schritt:
Nun wird in der Gleichung (I) die Variable x durch die Zahl 3 ersetzt. Die Gleichung (I) enthält nur noch die y-Variable. (I): y = –3x + 1 (I): y = –3 · 3 + 1 ⇔ (II): x = 3 (II): x = 3
Berechnen von y aus der Gleichung (II). (I): –3 + 3y = x (I): –3 + 3y = x ⇔ { (II): 6 6y + 3y = 12 { (II): y = 2 4. Schritt:
3.Schritt:
Den y-Wert von Gleichung (II) in Gleichung (I) einsetzen und die Lösungsmenge angeben. (I): –3 + 3 · 2 = x x = 3 ⇔ ⇒ L = {(3|2)} {(II): y = 2 y=2
Berechnen von y aus der Gleichung (I) und Angabe der Lösungsmenge. (I): y = –5 ⇔ L = {(3|5)} (II): x = 3 2
eliminieren: entfernen, beseitigen
17
1
Ganzrationale Funktionen
2. Gleichsetzungsverfahren Das Gleichsetzungsverfahren empfiehlt sich, wenn das Gleichungssystem schon so vorliegt, dass eine Seite nach der gleichen Variablen oder einem gleichen Term von Variablen umgestellt sind. Werden diese Gleichungen gleichgesetzt, kann man die zweite Variable berechnen bzw. eine Aussage über den Restterm machen. Durch Einsetzen der berechneten Variablen in die erste Gleichung, kann auch diese berechnet werden.
Schritte beim Gleichsetzungsverfahren: • Beide Gleichungen nach der gleichen Variable bzw. dem gleichen Term umstellen. • Gleichsetzen der Variablen (bzw. der Terme) und die zweite Variable (bzw. den Term) berechnen. • Den berechneten Wert in die erste Gleichung einsetzen und die weitere(n) Variable(n) berechnen. • Verfahren solange anwenden, bis jeder Wert der Variablen angegeben werden kann.
Gleichsetzungsverfahren Bestimmen Sie die Lösungsmenge über G = ℝ × ℝ des folgenden Gleichungssystems mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens. (I): –x + 3y= 3 { (II): 2x + 3y = 12
Tabelle 1: Lösungsverfahren Art
Eine Lösung, 1. Möglichkeit: 1. Schritt: Die Gleichungen (I) und (II) z. B. nach x umstellen. (I): –x + 3y = 3 (I): x = 3y – 3 ⇔ { (II): 2x + 3y = 12 {(II): x = 1,5y + 6
Gleichsetzungsverfahren
LGS-Form a1 c ⎧y = – __ x + __1 (1) b1 b1 ⎨ a2 c2 ⎪ __ __ (2) ⎩y = – x + ⎪
b2
b2
Gleichsetzen: „(1) = (2)“
2. Schritt: Beide Gleichungen gleichsetzen und eine Gleichung beibehalten (wegen Äquivalenz). (I): x = 3y – 3 3y – 3 = 1,5y + 6 4,5y = 9 ⇔ ⇔ {(II): x = 1,5y + 6 x = 3y – 3 x = 3y –3
Tabelle 2: Lösungsmengen von LGS (2,2)-System Anzahl der Lösungselemente
Lösungsmenge
3. Schritt:
ein Lösungselement
L = {(x|y)}
kein Lösungselement
L={ }
Berechnen von y aus der Gleichung (I) und einsetzen des y-Wertes in Gleichung (II). (I): 4,5y = 9 y=2 ⇔ { (II): x = 3y – 3 x=3·2–3 4. Schritt Die Lösungsmenge kann nun abgelesen werden und als Paar (2-tupel) siehe Tabelle 2 angegeben werden. ⇒ L = {(3|2)}
unendlich viele Lösungselemente
L = (x|y)|a · x + b · y = c ∧ (x|y) ∈ ℝ × ℝ
Lösungsmöglichkeiten: Ein LGS mit zwei Variablen (n = 2) hat immer eine der in Tabelle 2 angegebenen Lösungsmenge.
Aufgaben: Lösen Sie die folgenden LGS mit dem Einsetzungsverfahren. 1. a)
4x – 2y = 8 { y = 6x – 16
2. a)
x=y–2 {x = 7 – 2y
b) 3,75x + 6y = 13,5 { x = 14 – 4y b) y = 2x – 4 { –3x – 2y = 1
3. a)
b) x – y = y + 2x {x = 2 – y
4. a) ⎧ x1 + x2 =0 ⎪ ⎨ x2 + x3 = 1 ⎪ ⎩x 1 + 2x 2 + x 3 = 2
b) ⎧x 1 + x 2 + x 3 = 7 ⎪ ⎨ x2 + x3 = 3 ⎪ x3 = 1 ⎩
a + 4b = 14 {b = 6,5 – 1,75a
18
Oft können LGS mit 3 Variablen auf LGS mit 2 Variablen zurückgeführt werden, z. B. in Aufgabe 4. Lösungen: 1. a) L = {(3|2)}
39 20 ___ b) L = {(___ 7 14 )}
2. a) L = {(1|3)}
b) L = {(1|–2)}
3. a) L = {(2|3)}
b) L = {(4|–2)}
4. a) L = { }
b) L = {(4|2|1)}
|
1.3 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 3. Additionsverfahren Das Additionsverfahren ist das meist angewendete Lösungsverfahren und erweist sich besonders bei mehr als 2 Variablen als sehr übersichtlich. Additionsverfahren Gegeben ist über G = ℝ × ℝ das LGS ⎧ Spalte 1 ⎪ ⎨ Gleichung I: (Zeile 1) –x ⎪ ⎩ Gleichung II: (Zeile 2) 2x
Spalte 2 +3y = 3 +3y = 12
Bestimmen Sie die Lösungsmenge mithilfe des Additionsverfahrens.
• Alle Gleichungen müssen untereinander nach den Variablen angeordnet sein. • Gleichungen Den Term dieser Variablen für diese Variable in die zweite (bzw. weiteren) Gleichunge(n) einsetzen. • Den Wert für die andere(n) Variable(n) berechnen (und gegebenenfalls in die weiteren Gleichungen einsetzen) • Verfahren solange anwenden, bis jeder Wert der Variable angegeben werden kann.
Lösung:
Tabelle 1: Lösungsverfahren
1. Schritt:
Art
Gleichung (I) wird mit „–1“ multipliziert und zur Gleichung (II) addiert. Damit wird die Variable y in Gleichung (II) eliminiert. ⎧
⎧ ⎪ I +3y = 3 · (–1) ↓ ⎨ ⎪ ⎩ II +3y = 12
Sp1
⎪
Sp2
⎨(Z1) –x ⎪ ⎩(Z2) 2x ⎧
⎪
⇒ ⎨(I) ⎪
⎩ (II)
Sp1 x
Sp1 x 2x
Sp2 –3y = –3 +3y = 12
LGS-Form a 1x + b 1y = c 1
1 {a 2x + b 2y = c 2 · – __ a2
Additionsverfahren
a 1x
+
b 1y
= c1
a1 a1 __ {0 + y · (b 1 – b 2 · __ a2) = –a2 · c2 + c1
⇔
= 9 : (3) | · (–1) ↑
+0
= c1
a1 a1 __ {–a 1x – b 2 · __ a2y = –a2 · c2
⇔
Sp2 –3y = –3
3x
a 1x + b 1y
a
2. Schritt:
Lösung: Aufgabe 1
Gleichung (II) mit „3“ dividiert und anschließend mit „–1“ zur Gleichung (I) addiert. ⎧ Sp1 Sp2 ⎧ Sp1 Sp2
1. Schritt: Beide Gleichungen nach den Variablen x und y ordnen:
⎪
⎨(I) ⎪
x
⎩ (II) 3x
⎨(I) x ⎪ +0 = 9 : (3) | · (–1) ↑ ⎩ (II) x ⎪
–3y = –3
⎧
–3y = –3 +0 = 3
⎧ Sp1 Sp2 ⎪ ⎨(I) 0 –3y = –6 ⎪ +0 = 3 +0 = 3 | · (–1) ↑ ⎩ (II) x
Sp1 Sp2 ⎪ –3y = –3 ← ⇒ ⎨(I) x ⎪
⎩ (II) x
3. Schritt: Gleichung (1) wird mit (–3) dividiert. {x + 0 = 3
0 –3y = –6
⇒
2. Schritt: Gleichung II mit (–1) multiplizieren und das Ergebnis zur Gleichung I addieren.
{–2x + y = 0 | · (–1) ↑
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des LGS mithilfe des Additionsverfahrens. 2.
2x – y = 4 { –4x + 2y = –8
⎧ x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 14 ⎪ 3. ⎨3x 1 – x 2 + 2x 3 = 7 ⎪ ⎩ x 1 – 5x 2 + 3x 3 = –21
⇔
{ –2x + y = 0
3x
=1
3. Schritt: Gleichung I mit (2/3) multiplizieren und zur Gleichung II addieren. 3x = 1 · (2/3) 2x = 2/3 ↓ ⇔ { –2x + y = 0 {–2x + y = 0 ↵ ⇔
{ 0 + y = 2/3
2x
= 2/3
4. Schritt: Gleichung I durch 2 dividieren. Nun kann x aus Gleichung I und y aus Gleichung II abgelesen werden. {0 + y = 2/3
x
Aufgaben:
←
x+y=1
0+y=2
⇒ Lösungsmenge L = {(3|2)}
4x + 2y = 8 { 6x – 2y = 2
x+y=1 (I): x + y = 1 ⇔ {–2x + y = 0 {(II): y = 2x
{x + 0 = 3
Die Lösung des LGS kann abgelesen werden und in der entsprechenden Form (Tabelle 1) angegeben werden.
1.
Schritte beim Additionsverfahren:
= 1/3
1 __ 2 ⇔ L = {(__ 3 3 )}
|
Lösungen: 1. L = {(1/2)}
2. L = {(x|y)|2x – y = 4} ℝ × ℝ 3. L = {(4|5|0)}
19
1
Ganzrationale Funktionen
1.4 Quadratische Funktionen Bild 1 und Bild 2 zeigen parabelförmige Brückenbögen. Auswerten von Bildern und Funktionen
© V. V. Rosbach
a) Welche Funktionen kann man den Parabeln in Bild 1 und Bild 2 zuordnen? b) Welche Parabeleigenschaften von Tabelle 1 werden in den Bildern unterschieden? Suchen Sie in Ihrem Umfeld Geräte, Bauten mit ähnlichen Eigenschaften und dokumentieren Sie diese z. B. mit Tablet oder Smartphone.
Bild 1: Große-Beitbrücke Dänemark
c) Analysieren Sie die Gegenstände mit Ihren Mitschülern. Lösung: a) Quadratische Funktionen b) die Öffnungsrichtungen.
© Bundesbahn
1.4.1 Parabeln mit dem Scheitel im Ursprung Funktionen, bei denen die Variable x in einem Funktionsterm mit dem Exponent 2 vorkommt, nennt man quadratische Funktionen. Die Funktionsgraphen von quadratischen Funktionen heißen Parabeln. Der gemeinsame Punkt der beiden zueinander symmetrischen Parabeläste auf der Symmetrieachse ist der Scheitel S der Parabel (Bild 3). Bei Parabeln der Form f(x) = a · x 2 hat der Scheitelpunkt die Koordinaten S (0|0).
Bild 2: Fehmarnsund-Brücke
a
Koeffizient, a ≠ 0 f
Gh
y
Gg
y = 12 x2
4 3
1 , b) a = 1, c) a = 2. y = a · x 2 für a) a = __ 2
2
Lösung: a), b) und c) Bild 3
20
Normalparabel y = x2
5
Zeichnen Sie die Parabeln mit der Gleichung
Ist bei einer quadratischen Funktion mit f(x) = a · x 2 der Koeffizient a > 0, ist die Parabel nach oben geöffnet (Tabelle 1). Bei nach oben geöffneten Parabeln ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt. Für a < 0 ist die Parabel nach unten geöffnet.
y=2 x 2
6
Gf
Funktionsgraphen gestreckter und gestauchter Parabeln
Für die Normalparabel gilt f(x) = x 2.
Funktion
f(x) Funktionswert an der Stelle x
Diese Parabeln sind achsensymmetrisch zur y-Achse.
Der Koeffizient a wird als Krümmungsfaktor oder Öffnungsweite bezeichnet (Tabelle 1). Ist 0 < a < 1, ergibt sich ein „flacher“ Verlauf, die Parabel ist gestaucht. Für |a| > 1 wird der Kurvenverlauf „steiler“, die Parabel ist gestreckt. Für a = 1 wird f(x) = x 2. Dieser Sonderfall wird als Normalparabel bezeichnet.
x∈ℝ
f: f(x) = a · x 2
1 –4
–3
–2
–1 0 S 1
Scheitel S 2
3
4
5
x
Bild 3: Gestreckte und gestauchte Parabeln Tabelle 1: Parabeleigenschaften Art
Koeffizient a
Eigenschaft
Streckung
a > 1; a < –1
gestreckte Parabel
a=1
Normalparabel
0 0: bedeutet eine Verschiebung der Parabel nach oben. y S < 0 bedeutet eine Verschiebung der Parabel nach unten. Verschieben von Parabeln in x-Richtung
3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2
y
4
5
x
g (x) = 0,5·(x + 1)2 f (x) = 0,5·x2
4 3
a) Verschieben Sie die Parabel f(x) = 0,5 · x 2 um die Werte –1und +2 in x-Richtung. b) Geben Sie die Funktionsgleichungen und die Scheitelpunkte an.
2
b) g(x) = 0,5 · (x + 1) 2 mit S 2 (–1|0) h(x) = 0,5 · (x – 2) mit S 3 (2|0) 2
Verschieben in y-Richtung und in x-Richtung Fügt man an die Form f(x) = a · (x – x S) 2 den Koeffizienten y S an, erhält man die Scheitelform der Parabel: f(x) = a · (x – x S) 2 + y S.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 S (-1|0)
y
2 g(x)= 0,5(x + 2,5)2 – 2 –6 –5
–4 –3 –2 –1
h(x) = 0,5 · (x – 2) 2 + 1,5
2. Berechnen Sie die Scheitelkoordinaten für f(x) = 0,5 · (x – 4) 2 + 5.
5
x
3
Lösung:
1. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung für die nach unten geöffnete Parabel h(x) von Beispiel 3.
4
4
a) S 2 (–2,5|–2) und S 3 (2|1,5) entstehen.
Aufgaben:
2 3 S (2|0)
f(x)= 0,5 · x2
5
Verschieben Sie graphisch die Parabel mit f(x) = 0,5 · x 2 so, dass die Scheitelpunkte
b) g(x) = 0,5 · (x + 2,5) 2 – 2
1
Bild 2: Funktionsgraphen in x-Richtung verschobener Parabeln
Beliebiges Verschieben von Parabeln
b) Geben Sie die Funktionsgleichungen an.
h (x) = 0,5·(x – 2)2
1
Lösung:
22
3
5
Verschieben in x-Richtung
a) Bild 3
2 S (0|–1)
Bild 1: Funktionsgraphen in y-Richtung verschobener Parabeln
Ersetzt man in der Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = a · x 2 die Variable x durch (x – x S), erhält man die Funktionsgleichung der in x-Richtung verschobenen Parabel: f(x) = a · (x – x S) 2.
a) Bild 2
0 –1
S (0|1,5)
S2
h(x) = 0,5(x – 2)2+1,5 S3
1 0 –1
1
2
3
4
5
x
–2
Bild 3: Funktionsgraphen in x-Richtung und y-Richtung verschobener Parabeln Lösungen: 1. f(x) = – 0,5 · (x – 2) 2 + 1,5
2. S (4|5)
1.4 Quadratische Funktionen
1.4.3 Normalform und Nullstellen von Parabeln Je nach Lage der Parabel kann es Schnittpunkte mit der x-Achse geben. Nullstellen bestimmen für (D > 0) Die Nullstellen der Funktion mit g(x) = 0,5 · (x + 2,5) 2 – 2 (Bild 3, vorhergehende Seite) sind zu bestimmen. a) Formen Sie die Scheitelform in die Normalform um. b) Berechnen Sie die Schnittpunkte N x mit der x-Achse. Lösung: a) g(x) = 0,5 · (x + 2,5) 2 – 2 = 0,5 · (x 2 + 5 · x + 6,25) – 2 = 0,5 · x 2 + 2,5 · x + 1,125
Allgemeine quadratische Funktionsgleichung (Normalform): f(x) = ax 2 + bx + c Normierte Form der quadratischen Gleichung: c b __ a(x 2 + __ a x + a) = 0
Lösungsformel:
___________
b ± √b 2 – 4 · a · c x 1, 2 = –_______________ 2·a c b b f(x) = a[(x + ___ – ___ + __ 2 a] 2a )
Quadratische Ergänzung (Scheitelform):
2
___________________
–2,5 ± √ 6,25 – 4 · 0,5 · 1,125 –2,5 ± 2 b) x 1, 2 = ______________________ = _______ 1 2 · 0,5
x 1 = – 0,5 oder x 2 = – 4,5 ⇒ N 1 (–0,5|0); N 2 (–4,5|0)
Der Ausdruck unter der Wurzel der Lösungsformel („Mitternachtsformel“) heißt Diskriminante D. Der Wert von D kann < 0, = 0 oder > 0 sein. Man erhält für die drei Fälle 0, 1 oder 2 Lösungen (Tabelle 1). D 0 und a > 0 hat die beiden Nullstellen x 1 = 2 und x 2 = 4. Für D = 0 liegt der Scheitel der Parabel auf der x-Achse.
2
4a 2 –b b2 ___ ___ = a(x – 2a ) – 4a + c
Diskriminante:
Scheitelkoordinaten: –b S (____ |y 2 · a S)
D = b2 – 4 · a · c
b y S = – ___ +c 4a 2
a, b, c Koeffizienten; x 1, x 2 Nullstellen D Diskriminante; x S, y S Koordinaten des Scheitelpunktes
Tabelle 1: Nullstellen von Parabeln D0
keine Nullstelle
eine doppelte Nullstelle
zwei Nullstellen
y
y
1
x
y
x
1
x1 = x2 = 3
keine Lösung
x
1
x1 = 2; x2 = 4
D=0 y
a) Berechnen Sie die Nullstellen der Parabel mit f(x) = 0,5 · (x – 2) 2 = 0,5 · x 2 – 2 · x + 2. b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. Lösung: a) D = 4 – 4 · 0,5 · 2 = 0 __
x1 –6 –5
x2
y = 2 +x – 4
1
x2
0 –3 –2 –1 –1
__
± √0 ± √0 _______ _______ x 1, 2 = +2 = +2 =2 1 2 · 0,5 x 1 = +2, x 2 = +2; N 1|2 (2|0)
1
2
3
4
5
x
–2 –3 –4
b) Bild 2, vorhergehende Seite S (–1|–4,5)
Die Lösung erhält man auch durch Faktorisieren: Aus der Funktionsgleichung p = 0,5 · (x – 2) 2 = 0,5 · (x – 2) · (x – 2) ergibt sich für p = 0 ⇔ (x – 2) · (x – 2) = 0 ⇒ x = x 1 = x 2 = 2.
Bild 2: Funktionsgraph der Parabel
Aufgabe:
Lösungen:
1. Eine Parabel p hat die Funktionsgleichung f(x) = 0,5 · x 2 + x – 4. Berechnen Sie a) die Nullstellen, b) den Scheitel. c) Prüfen Sie, ob der Punkt (4|2,5) auf der Parabel liegt. d) Zeichnen Sie den Graphen mithilfe einer Wertetabelle im Intervall [–5; 3].
1. a) x 1 = – 4 ; x 2 = 2
b) S (–1|– 4,5)
? c) Probe durch Einsetzen: 2,5 __ = 0,5 · 16 + 4 – 4, (f) der Punkt liegt nicht auf der Parabel, P ∉ p.
d) Bild 2 23
1
Ganzrationale Funktionen
1.4.4 Zusammenfassung der Lösungsarten____
√
y
S Die Gleichung a · x 2 + y S = 0 hat die Lösung x 1,2 = –__ a (Tabelle 1, Art 1).
Tabelle 1: Nullstellenberechnung Art
Lösen mit
a · x + ys = 0
Umformen, Wurzelziehen
2
1
Wurzelziehen
Gleichungsform a ≠ 0 a · (x – x S) 2 + y S = 0
Berechnen Sie durch Wurzelziehen 2
a) 2 · x 2 – 8 = 0 b) 2 · x 2 = 0 c) 2 · x 2 + 8 = 0.
a · x2 + b · x + c = 0
Lösung: a) 2 · x 2 – 8 = 0 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x 1, 2 = ± 2 b) 2 · x 2 = 0 ⇔ x 2 = 0 ⇔ x 1, 2 = 0 c) 2 · x 2 + 8 = 0 ⇔ x 2 = – 4, keine Lösung.
x Ausklammern, x und Klammer gleich null setzen.
a · x2 + b · x = 0
3
Lösungsformel oder quadratische Ergänzung
b a · x · (x + __ a) = 0
Faktorisieren oder Klammern Null- a · (x – x ) · (x – x ) = 0 gleich null setzen. 1 2 stellenSonderfall ⇒ geht form nicht immer! 4
Das Aufstellen der Parabelgleichung ist oft mit der Scheitelform am einfachsten. Wurfparabel Bild 1 zeigt die Bahn einer Silvesterrakete. a) Stellen Sie die Parabelgleichung mithilfe der Scheitelform dar. b) Wandeln Sie diese in die Normalform um. c) Berechnen Sie, wie weit die Auftreffstelle von der Abschussstelle in x-Richtung entfernt ist.
a, b, c x 1, x 2 x S, y S
Koeffizienten der Normalform Nullstellen der Parabel Koordinaten des Scheitelpunktes
y 32
Lösung:
S
m
a) f(x) = – a · (x – x S) 2 + y S ⇒ y = – a · (x – 8) 2 + 32; P (0|0) ⇒ a = 0,5 ⇒ y = – 0,5 · (x – 8) 2 + 32. b) f(x) = – 0,5 · (x 2 – 16 · x + 64) + 32 = – 0,5x 2 + 8 · x
0
m
8
x
40 m
c) f(x) = – 40 ⇔ – 40 = – 0,5 · (x – 8) 2 + 32 ⇔ (x – 8) 2 = 144 ⇔ |x – 8| = 12 ⇒ x 1 = – 4 m, entfällt oder x 2 = 20 m Stahlbrücken bestehen oft aus parabelförmigen Bögen, die auf Stützpfeiler gelagert werden, sowie senkrechten Stützstreben s für die Fahrbahn (Bild 2). Stahlbrücke Die Stützstreben der Brücke (Bild 2) sind im Abstand von einem Meter angeordnet. a) Berechnen Sie die Länge der Stützstreben. Ermitteln Sie die Gleichung der Parabel des ersten Bogens auf. b) Berechnen Sie die Längen s der verschiedenen Streben.
Bild 1: Flugbahn einer Silvesterrakete y 10
S
Lösung:
m
a) f(x) = – a(x – x s) 2 + y s ⇒ y = – a(x – 4) 2 + 10; P 1(0|6) ⇒ a = 0,25; f(x) = – 0, 25 · (x – 4) 2 + 10
6
x b) s(x) = 10 – y ⇒ s(x)
0
1
4 2,25
Strebe s
2
3
4
1
2
0
Eine weitere Form der Parabelgleichung ist die Nullstellenform der Parabel y = a · (x – x 1) · (x – x 2).
0
Faktorisierung Eine Parabel mit a = 0,5 hat die Nullstellen (3|0) und (5|0). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Lösung: f(x) = 0,5 · (x – 3) · (x – 5) = 0,5 · (x 2 – 8x + 15) = 0,5 · x 2 – 4x + 7,5; x ∈ ℝ 24
4
8
12
m
16 x
Bild 2: Stahlbrücke mit Parabelbögen Aufgabe: 1. Ermitteln Sie die Nullstellen von 2x 2 – 4x = 0. Lösungen: 1. 2x · (x – 2) = 0 ⇔ x 1 = 0 oder x 2 = 2
1.4 Quadratische Funktionen
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!
3
Bild 1 zeigt Graphen von Parabeln. 1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichungen der Parabeln p 1 bis p 4.
P1 (1|3)
p2 P2 (2|3)
p3 p4
2 1
2. Verschieben Sie die Parabeln p 1 und p 2 von Bild 1 um 2 Einheiten nach rechts. 3. Verschieben Sie die Parabeln p 3 und p 4 um 1 Einheit nach links.
p1
y
Verschieben von Parabeln
P3 (2|1)
P4 (4|1)
O –5
–4
–3
–2
–1
0 –1
1
2
3
x
4
Bild 1: Parabeln Ermitteln Sie die Scheitelformen der Parabeln 4. a) p 1(x) = x 2 – 4 · x + 1 c) p 3(x) = x + 6 · x + 11 2
b) p 2(x) = x 2 + 6 · x + 8 h
d) p 4(x) = –2x 2 – 8 · x + 1
Berechnen Sie die Lösungen von quadratischen Gleichungen durch Wurzelziehen 5. a) 1 – x 2 = 0 3 __ c) __ – 1x2 = 0 2 2
3 2 b) __ x = x2 4
Lösen von quadratischen Gleichungen mit der Lösungsformel und der quadratischen Ergänzung. Ermitteln Sie die Nullstellen. 6. a) 2 · x 2 + 2 · x – 24 = 0 c) 2 · x 2 + 4 · x – 16 = 0
hmax
6 1 x 2 – __ d) __ =0 5 2
O
xS
s
Bild 2: Brückenbogen
b) – 3 · x 2 – 5 · x + 8 = 0 d) –x 2 + 5 · x + 14 = 0
60
60
v=0 a= 3m s2
v = 144 km = konst. h
Nullstellenform von Parabeln 7. Bestimmen Sie Funktionsterme für a) a = 0,25 und die Nullstellen 4 und 6 b) a = 1 und die Nullstellen –6 und –2
s = 0m
s = 100 m
Bild 3: Verfolgungsjagd
1 und die Nullstellen –4 und 2 c) a = __ 2
Lösungen: Gemischte Aufgaben 8. Die Höhe h eines parabelförmigen Brückenbogens (Bild 2) kann durch die Gleichung h(s) = 5 1 s 2 + __ s beschrieben werden. – ___ 4 20
a) Berechnen Sie die Spannweite. b) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt des Bogens. 9. Eine Polizeistreife steht im Baustellenbereich einer Autobahn, als plötzlich ein Auto mit einer konstanten Geschwindigkeit von 144 km/h vorbeifährt (Bild 3). Als die Polizeistreife die Verfolgung aufnimmt, Zeitpunkt t = 0, hat der Temposünder 100 m Vorsprung. Analysieren Sie die Situation, wenn der Temposünder mit konstanter Geschwindigkeit m weiter fährt und die Polizei konstant mit a = 3 __ s2 beschleunigt.
1 x 2 + 1; p = __ 1 x 2; p = __ 1x2 – 1 1. p 1 = x 2 + 2; p 2 = __ 3 4 4 2 1 (x – 2) 2 + 1 2. p 1 = (x – 2) 2 + 2; p 2 = __ 2
8
1 (x + 1) 2; p = __ 1 (x + 1) 2 – 1 3. p 3 = __ 4 4 8
4. a) p 1(x) = (x – 2) 2 – 3 b) p 2(x) = (x + 3) 2 –1 c) p 3(x) = (x + 3) 2 + 2 d) p 4(x) = –2 · (x + 2) 2 + 9 5. a) x 1 = 1, x 2 = –1
b) x = 0
c) x 1 = 1,732, x 2 = –1,732 ___ ___ 12 = 1,55, x = – ___ 12 = –1,55 d) x 1 = ___ 2 5 5
√
√
6. a) x 1 = – 4, x 2 = 3
c) x 1 = – 4, x 2 = 2
b) x 1 = –2,67, x 2 = 1
d) x 1 = –2, x 2 = 7
7. a) f(x) = 0,25 · x 2 – 2,5 · x + 6 b) g(x) x 2 + 8 · x + 12 1 · x2 + x – 4 c) h(x) __ 2
8. a) s = 25 m b) S (12,5 m|7,81 m) m · t + 100 m; 9. Temposünder: s 1(t) = 40 __ s m · t2 Polizei: s 2(t) = 1,5 __ 2 s
25
1
Ganzrationale Funktionen
Quadratische Funktionen
x
10. Ermitteln Sie den Funktionsterm und den Scheitelpunkt der Parabel mit f(x) = a · x 2, wenn
5
a) die Parabel um 2 in positive x-Richtung und um 2 in positive y-Richtung verschoben wird,
e) a = 2 ist und die Parabel an der x-Achse gespiegelt wird und um –2 in x-Richtung und um –1,5 in y-Richtung verschoben wird?
1 0 –5
–1 –1 y = a(x–b) +c –2
–4
–3
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
h
Scheitelformen von Parabeln
c) p(x) = x + 4x – 12
1 x 2 – 3x + 4 b) p(x) = __ 2
d) p(x) = x 2 – 6x – 11
Lösen von quadratischen Gleichungen durch Wurzelziehen 13. Berechnen Sie. a) 1 – x 2 = 0 5 __ c) __ – 1x2 = 0 2 2
9 2 b) __ x = x2 4
9 1 x 2 – __ d) __ =0 5 5
Lösen von quadratischen Gleichungen mit der Lösungsformel 14. Berechnen Sie. a) 2x 2 + 2x – 12 = 0
b) 3x 2 + 5x – 8 = 0
c) –2x 2 – 4x + 16 = 0
d) x 2 – 5x – 14 = 0
Lösen von quadratischen Gleichungen mit quadratischer Ergänzung
5
x
g
0
–10 –9 –8 –7–6 –5 –4 –3 –2 –1 –2 –3 –4 –5 –6 – 7 i –8
01 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 x
Bild 2: Parabeln Lösungen: 10. a) f(x) = a(x – 1) 2 + 2 b) f(x) = a(x + 3) 2 – 1 c) f(x) = –a(x + 2) 2 1 (x + 3) 2 – 2 d) f(x) = __ 3
e) f(x) = –2(x + 2) 2 – 1,5 11. Parabel a) nach unten, b) nach oben geöffnet c) f(x) = 0,5(x – 2,5) 2 – 2; g(x) = 0,5(x + 2) 2 + 1,5; h(x) = 0,5x 2 + 1
a) 2x 2 + 2x – 12 = 0
b) 3x 2 + 5x – 8 = 0
2 1 b) p(x) = __ 1 (x – 3) 2 – __ 1 12. a) p(x) = –3(x – __ + __ 3) 3 2 2 2 2 c) p(x) = (x + 2) – 16 d) p(x) = (x – 3) – 20
c) –2x 2 – 4x + 16 = 0
d) x 2 – 5x – 14 = 0
13. a) x 1,2 = ±1
15. Berechnen Sie.
Nullstellen von Parabeln 16. Analysieren Sie die vier Parabeln in Bild 2 und bestimmen Sie deren Funktionsgleichungen.
2
__
c) x 1,2 = ±√ 5
14. a) x 1,2 = –3, x 2 = 2 c) x 1,2 = –4, x 2 = 2 15. a) L = {–3; 2} c) L = {–4; 2}
b) x 1,2 = 0 d) x = ±3
8 b) x 1 = – __ ,x =1 3 2
d) x 1 = 7, x 2 = –2 8 b) L = {– __ ;1 3 }
d) L = {–2; 7}
16. a) f(x) = 0,125 · (x – 3) · (x – 6) b) g(x) = 2 · (x – 1) · (x – 5) c) h(x) = 0,5 · (x – 2) · (x + 6) d) i(x) = –0,25 · (x + 3) · (x – 5) 26
4
y
f
c) Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen der drei Parabeln von Bild 1.
2
3
Bild 1: Graphen verschobener Parabeln
b) g(x) = (x – 1)(2 + x)
a) p(x) = –3x 2 + 4x – 1
2
2
a) f(x) = (x + 3)(2 – x)
12. Ermitteln Sie die Scheitelform für die Funktionsgleichungen.
1
–2
Eigenschaften von Parabeln auswerten 11. Begründen Sie die Öffnungsrichtung der Parabeln folgender Funktionen.
f(x)
2
c) die Parabel an der x-Achse gespiegelt und um –2 in x-Richtung verschoben wird, und um –2 in y-Richtung verschoben wird,
h(x)
3
b) die Parabel um 3 in negative x-Richtung und um –1 in y-Richtung verschoben wird,
1 ist und die Parabel um –3 in x-Richtung d) a = __ 3
g(x)
4
1.4 Quadratische Funktionen Ich kann Zuordnungen als Punkte in einem Koordinatensystem darstellen. y 8 7
H1
i G
6
Q
h
4
R
F
3
F1
g
D1
U
C
A
L1
0
1
2
3
4
0m 20 m
A1
2s
40 m
Z
3s
P
L
B
J I1
7
8
9
t, x unabhängige Variable
x
10
Ich kann Ursprungsgeraden und Steigungen analysieren. y
g ∆y ∆x
Ich kann die Schreibweise einer Funktion und ihre Bezeichnungen erklären.
Funktionen werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet, z .B. f, g oder h.
∆y
1
2
3
4
5
x
f: y = 2 · x 5 g: y = 1 · x
–4
h: y = 5 · x
Ich kann Gleichungssysteme LGS, z. B. mit dem Einsetzverfahren, lösen. a1 c ⎧y = – __ x + __1 (1) b1 b1 ⎨ b2 c2 ⎪ __ __ ⎩x = – a y + a (2) ⎪
Einsetzungsverfahren
2
Ich kenne die Eigenschaften von Parabeln der Form f(x) = a · x 2. Gh
y
y = 2 x2
Ich kann die Verschiebung der Parabeln der Form f(x) = a (x – x s) 2 + y s im Koordinatensystem angeben. y
Normalparabel y = x2
6
Gf
5
4
y = 12 x2
3 2
3
g(x)= 0,5(x + 2,5)2 – 2
2
–4
–3
–2
–1 0 S 1
Scheitel S 2
3
4
–6 –5
–4 –3 –2 –1
x
5
S2
Ich kann vom Funktionsgraphen auf Funktionsterme schließen. y
y
y
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4
f
1 2 3 4 5 6 x
f(x)= 0,5 · x2
5
4
1
2
(1) in (2) einsetzen oder umgekehrt (2) in (1)
–5
Gg
s = v · t Zuordnungsvorschrift s, y abhängige Variable
∆x
–6 –5 ∆ x –3 –2 –1 –1 ∆y ∆ x –2 ∆x ∆y
f
∆x
1 0
∆y
100 m
∆y
3 2
80 m
Kann man jedem Element einer Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zuordnen, nennt man diese Zuordnung eine Funktion.
h
5 4
60 m
s=v·t Weg = Geschwindigkeit · Zeit mit v = 20 m s
W
I
5 j 6
(Zielmenge)
1s
V
J1
2 1
O G1
H
E1
Wertemenge W
0s
N M
K1
B1
E
5
S
C1
K
Definitionsmenge D (Ausgangsmenge)
f
T
Ich kann den Unterschied Relation-Funktion angeben.
–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4
g
1 2 3 4 5 6 x
–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4
h(x) = 0,5(x – 2)2+1,5 S3
1 0 –1
1
2
3
4
5
x
–2
y h
i
4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 x
–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4
1 2 3 4 5 6 x
27
1
Ganzrationale Funktionen
1.5 Potenzfunktionen n ∈ ℤ*; x > 0
f(x) = a · x n
1.5.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten
x
unabhängige Variable (Basis)
n Exponent
f(x) Funktionswert an der Stelle x
In der Klasse wird diskutiert, wie der Luftwiderstand F, die Geschwindigkeit v und die Motorleistung P eines Autos zusammenhängen. Im Internet wurden die Gleichungen F(v) = k · v 2, P(v) = F · v 1 und P(v) = k · v 3 gefunden (Bild 1). Um welche Art Funktionen handelt es sich?
a Koeffizient
Tabelle 1: Potenzfunktionen mit a = 1 Exponent n
Funktionsterm
Symmetrien, Eigenschaften
positiv und ungerade
x 1; x 3; x 5 ...
Zum Ursprung symmetrische Gerade und Parabeln.
Funktionen mit dem Funktionsterm a · x n heißen Potenzfunktionen. Die Graphen von Potenzfunktionen nennt man Parabeln oder Hyperbeln. Potenzfunktionen haben einen ganzzahligen Exponenten.
positiv und gerade
x 2; x 4; x 6 ...
Zur y-Achse symmetrische Parabeln.
Die Funktionsgraphen sind entweder zur y-Achse oder zum Ursprung symmetrisch (Tabelle 1).
negativ und x –2; x –4; x –6... Zur y-Achse symmetgerade rische Hyperbeln.
Lösung: Potenzfunktionen
negativ und x –1; x –3; x –5 ... Zum Ursprung symungerade metrische Hyperbeln.
Ungerade Potenzfunktion mit a = 1 und positivem Exponenten
P = k · v3
v
Stellen Sie die Graphen der Potenzfunktionen f(x) = x 1, g(x) = x 3 und h(x) = x 5 dar. F = k · v2
Lösung: Bild 2, linke Hälfte
P = F · v1
Für f(x) = x 1 ist der Graph der Funktion eine Gerade. P = F · v1 = k · v2 · v1 = k · v3
Ungerade Potenzfunktion mit a = 1 und negativem Exponenten
Bild 1: Luftwiderstand und Leistung
Stellen Sie die Graphen der Potenzfunktionen mit f(x) = x –1, g(x) = x –3 , h(x) = x –5 dar.
y
y
h(x) = x5
4
Lösung: Bild 2, rechte Hälfte
4
g(x) = x3
3
Ist der Exponent bei Potenzfunktionen ungerade, ergeben sich Funktionsgraphen mit einer Punktsymmetrie zum Ursprung (Bild 2). Ist der Exponent negativ, besteht der Funktionsgraph allerdings aus zwei nicht zusammenhängenden Ästen (gebrochenrationale Funk tion).
1
–2
–1 –1 –2
–3
–3
–4
–4
1
2
x
Bild 2: Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten y
g(x) = x4
y
6
6 g(x) = x –4
5 f(x) = x2
4
Gerade Potenzfunktion mit negativem Exponenten und a = 1
28
x
2
–2
Ist der Exponent positiv und gerade, z. B. f(x) = x , ergeben sich Parabeln mit einer Achsensymmetrie zur y-Achse (Bild 3).
Lösung: Bild 3, rechte Hälfte
f(x) = x –1
0
–1
2
Stellen Sie die Potenzfunktionen mit f(x) = x –2 und g(x) = x –4 als Graphen dar.
1
0 –1
h(x) = x –5
2
f(x) = x1
1
Graphen von Potenzfunktionen mit negativen Exponenten heißen Hyperbeln. Bei ungeraden Potenzfunktionen mit positivem Exponenten liegen die Funktionsgraphen im 1. Quadranten und im 3. Quadranten. Für negatives Vorzeichen liegen die Graphen im 2. Quadranten und im 4. Quadranten.
3
2
–2
g(x) = x –3
3
3
2
2
1
1
0 –2
–1
f(x) = x –2
0 1
2
x
–2
–1
1
2
x
Bild 3: Potenzfunktionen mit geradem Exponenten
1.5 Potenzfunktionen
1.5.2 Potenzfunktionen mit gebrochenen Exponenten
__
1 __
__
n f(x) = a · x n oder f(x) = a · √ x
√x
Allgemeine Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen mit ge1 __ brochenem Exponenten f(x) = a · x n . Bei geraden Wurzelfunktionen ist der Definitionsbereich D = ℝ +.
f (x) Funktionswert an der Stelle x a x
Gerade Wurzelfunktion mit a = 1
y
a) Stellen Sie__die Graphen __ der Wurzelfunktionen 4 mit f(x) = √ x und f(x) = √ x im Koordinatensystem dar.
2
b) Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen in der Potenzschreibweise an.
1
Lösung:
0
__
a) Bild 1
1 __
4
__
1 __
2
1
Graphen von Wurzelfunktionen mit geradem n verlaufen nur im 1. Quadranten. Das Ergebnis einer geraden Wurzel ist stets positiv.
Koeffizient
n Wurzelexponent
unabhängige Variable
b) √ x = x 2 und √ x = x 4
n ∈ ℕ* 2 __ = √ x a ∈ ℝ* x ∈ ℝ+
4
3
5
x
6
Bild 1: Wurzelfunktionen mit geradem n und a = 1 y 2
n ungerade mit a = 1 a) Stellen Sie __die Graphen __ der Wurzelfunktionen 3 5 mit f(x) = √ x und f(x) = √ x dar.
1
b) Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen in der Potenzschreibweise an.
0
Lösung: 3
a) Bild 2
__
1 __
5
__
4
3
5
x
6
1 __
b) √ x = x 3 und √ x = x 5
Bild 2: Wurzelfunktionen mit ungeradem n und a = 1
Graphen von Wurzelfunktionen mit ungeradem n haben Funktionswerte im 1. Quadranten und im 3. Quadranten und sind symmetrisch zum Ursprung. Der Definitionsbereich ist D = ℝ.
d 3 mm 2
Aufgaben:
0
4 · π · r 3. 2. Das Kugelvolumen ist V = __ 3
5
1
a) Ermitteln Sie die Gleichung d(A).
b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion d(A) für A = 1 mm bis A = 16 mm.
d(A)
1
1. Für den elektrischen Leiter wird der Leiterquerd2 schnitt als Kreisfläche A = π · __ angegeben. 4
10
mm2
15 A
Bild 3: Durchmesser d als Funktion der Fläche A r
a) Ermitteln Sie die Gleichung r(v).
b) Bestimmen Sie die Werte von r für V(r) ≥ 0. c) Erstellen Sie eine Wertetabelle. d) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion r = f(V).
1
r(V)
cm 0,6
Lösungen:
__
√ _____
d A 1. a) A = π · __ ⇒ d = 2 __ π 4
b) Bild 3.
0,4
3 __ π · r 3 ⇒ r = 3 __ ·V 2. a) V = 4 · __ 4 π 3 c) V 0 1 2 3 4
b) Für r ≥ 0.
0,2
2
√
r
2
1
5
6
7
0 1
2
3
4
5
6
cm3
8
V
0 0,62 0,78 0,89 0,98 1,06 1,12 1,18
d) Bild 4.
Bild 4: Radius r einer Kugel als Funktion des Volumens V 29
1
Ganzrationale Funktionen
Quadratische Wurzelfunktionen
__
Quadratische Wurzelfunktionen der Form f(x) = a √ x sind nur für x > 0 definiert, also für 0 ≤ x 1 gestreckt, __ 2 z. B. f(x) = 1,5 · √ x (Bild 1).
y 4 Gh
gestreckt
Gg 2
Stauchen und Strecken von Wurzelfunktionen
Gf
Ermitteln Sie die Graphen der Funktionen mit __ __ 1 √__ √ x , h(x) = 1,5√ x und f(x) = __ x , g(x) = 2 __ i(x) = 2√ x dar. Lösung:
gestaucht 0 2
Bild 1
4
6
–1
Verschieben der Wurzelfunktionen an der y-Achse __
Gg
–2
Funktionen mit der Form f(x) = √ x + a haben einen Zweig. Für a > 0 hat dieser Zweig nur positive Werte für y. Für a ≤ 0 entstehen Zweige mit negativen und positiven Werten für y.
x
8
Gf
Gh
–3 –4
Verschieben an der y-Achse Ermitteln Sie die Zweige der Funktionen mit __ __ __ √ x + 1, g(x) = √ x , h(x) = √ x – 1 und i(x) = f(x) = __ √ x – 2 in einem Graphen dar. Lösung:
Bild 2
Verschieben der Wurzelfunktionen an der x-Achse _____
Bei Funktionen mit der Form f(x) = √ x + a sind die Graphen in x-Richtung verschoben. Für a > 0 sind die Graphen nach links verschoben. Das Schaubild besteht aus einem Parabelzweig mit dem Scheitel S (–a|0) auf der negativen x-Achse.__ Der Parabelzweig schneidet die y-Achse bei (√ a |0). Für a < 0 sind die Schaubilder nach rechts verschoben, d. h., der Scheitel S (–a|0) liegt auf der positiven x-Achse. Verschieben an der x-Achse Ermitteln Sie die Zweige _____der Funktionen _____ mit _____ g(x) = √_____ x + 1 , h(x) = √ x + 2 , i(x) = √ x + 4 und j(x) = √ x – 1 in einem Schaubild dar. Lösung:
Bild 1: Graphen von Wurzelfunktionen
Bild 3
3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 4
–0,5
6
–1 –1,5 –2
Bild 2: Graphen an der y-Achse verschobener Wurzelfunktionen
Aufgaben:
y
1. Ermitteln Sie die Graphen der Funktionen mit ______
a) f(x) = √ 2x – 1, ______ c) h(x) = √ 1 – 2x
4
______
b) g(x) = √ 2x + 1 und
3
dar und geben Sie den Definitionsbereich an. 2. Zeichnen Sie die Kurvenschar der Funktion mit ________ f(x) = √ 4 – b · x für b = 1, 2, 3, 4. 3. Zeichnen Sie alle Kurven der Relationen und geben Sie an. ___ die Definitionsbereiche ______ f(x) = √ 2x ± 1 und g(x) = √ 1 ± 2x Lösungen: 1. bis 3. siehe Lösungsbuch
30
2
j i
g
h
1 0
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
x
Bild 3: Graphen an der x-Achse verschobener Wurzelfunktionen mit positiven Zweigen
1.5 Potenzfunktionen
1.5.3 Vom Graphen auf den Term schließen Vom Funktionsgraph zum Funktionsterm Wie kann der Funktionsterm des Bürohauses (Bild 1) mit der Höhe 36 m und der Breite 72 m bestimmt werden? Welche charakteristischen Merkmale und Eigenschaften müssen bekannt sein?
Charakteristische Merkmale bei quadratischen Funktionen sind: • • • • •
Graph ist eine Parabel Koordinaten des Scheitels S Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Öffnung der Parabel (a > 0 bzw. a < 0) Streckungsfaktor a der Parabel (|a| < 1, |a| > 1)
Bürohaus Aus dem Text zu Bild 1 können folgende Eigenschaften der Parabel entnommen werden: S (0|36) sowie die Punkte A (–36|0) und B (36|0). Lösung: Ansatz: Mit f(x) = a · x 2 + b · x + c; a ≠ 0 und f(–36) = 0; f(0) = 36 und f(36) = 0 folgt das LGS: 1296 a
– 36 b + c = 0 1 |0|36 c = 36 ⇔ L = {(– ___ )} 36 1296 a + 36 b + c = 0 1 x 2 + 36. Der gesuchte Funktionsterm heißt: f(x) = – ___
…competitionline
Bestimmen Sie aus den gegebenen Graphen jeweils den quadratischen Funktionsterm mithilfe charakteristischer Merkmale und Eigenschaften von quadratischen Funktionen. Bild 1: Bürohaus „Berliner Bogen“ in Hamburg Tabelle 1: Auswerten von Graphen Gegeben:
Ansatz:
Zwei Nullstellen und a
f(x) = a · (x – x 1) · (x – x 2)
Zwei Nullstellen und ein Punkt P
f(x P) = a · (x P – x 1) · (x P – x 2) ∧ P (x P|f(x P))
Scheitelkoordinaten und a
f(x) = a · (x – x S) 2 + y S ∧ S (x S|y S)
Scheitelkoordinaten und ein Punkt P
f(x P) = a · (x P – x S) 2 + y S ∧ P (x P|f(x P))
Drei verschiedene Punkte, die auf der Parabel liegen
f(x) = a · x 2 + b · x + c; a≠0
y
Gg
36
Erkenntnis:
4
Mit der Scheitelform als Ansatz wäre die Bestimmung des Funktionsterms einfacher und schneller gewesen.
3
Gf
2 1
Merke: Der Funktionsterm einer Parabel lässt sich am einfachsten mit der Scheitelform bestimmen, sofern der Scheitel bekannt ist. Der Streckungsfaktor a lässt sich dann mithilfe eines weiteren Punktes aus dem Graphen bestimmen.
–5 –4 –3 –2
–1 0 –1
1
2
3
4
5
x
3 4
5
x
–2
Bild 2: Quadratische Funktionen
Aufgaben: Bestimmen Sie jeweils den Funktionsterm 1. Die Parabel f hat den Scheitel im Punkt (0|–2) und a = 1 (Bild 2). 2. Eine Normalparabel g hat den Scheitel im Punkt (–1|0) (Bild 2). 3. Der Scheitel S einer Parabel f liegt bei S (3|2), der Faktor a = –1 (Bild 3). 4. Eine Parabel geht durch die Punkte z. B. A (0|1), B (2|–1) und C (3|–0,5) (Bild 3). Lösungen: 1. f(x) = x 2 – 2
2. g(x) = (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1
3. f(x) = –(x – 3) 2 + 2; x ∈ ℝ
1 x 2 – 2x + 1 4. g(x) = __ 2
Gg
y 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
–2
Gf
Bild 3: Quadratische Funktionen 31
1
Ganzrationale Funktionen
Bestimmen Sie jeweils die Funktionsterme zu den folgenden Graphen:
6. b) Quadratische Funktionen von f 5 bis f 8
5. Lineare Funktionen f 1 bis f 4
y 4
y 2
f5 2
1 –3 –2
–1 0 –1
1
3
2
4
x
5
–4
f1
–2
0 –1
–2
2
x
4
y
–3 –2
2
y
1
1
–1 0 –1
1
3
2
4
x
5
–3
–2 –1 0 –1
f2
–2
f6
1
2
3
4
5
x
–2 –3
y f3
10
y
5 –3 –2
4
–1 0 –1
1
3
2
4
2
–2
1 –1 0 –1
–3 –2
y 1 –8
–6
–4
f7
3
x
5
–2
2
3
x
4
4 x
2
0
1
y
–2
1
–4
f4
–4
–2
0
2
4
6
8
x
–1
6. a) Graph G p einer quadratische Funktion p
–2
y 6
–3
f8
Gf
5 4 3
Lösungen:
2
5. f 1(x) = –0,25x f 3(x) = 2x + 5
1 –5 – 4
32
–3 –2 –1 0 –1
f 2(x) = –0,5x + 2 f 4(x) = –0,5x – 4
6. a) f(x) = –0,4 (x – 1) 2 + 10 1
2
3
4
5
6
x
b) f 5(x) = –0,25x 2 + 4 f 7(x) = –2 (x – 2) 2 + 4
f 6(x) = 0,25 (x – 1) 2 – 3 f 8(x) = 0,125 (x – 2) 2 – 3
1.5 Potenzfunktionen
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz! Aufgaben zu Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponenten: 1. Leiten Sie die Lage der Graphen im Koordinatensystem bei geraden Potenzfunktionen ab für a) a > 0 und b) a < 0.
r 1
0,6
Bestimmen Sie die gemeinsamen Schnittpunkte der Graphen
0,4
2. a) f(x) = x 1; g(x) = x 3; h(x) = x 5
0,2
b) f(x) = x –1; g(x) = x –3
r(V)
cm
0 1
3. f(x) = x 2; g(x) = x 4; h(x) = x 6 4. a) f(x) = −x ; g(x) = −x ; 4
2
b) f(x) = −x –2; g(x) = −x –4
2
3
4
5
6
cm3
8
V
Bild 1: Durchmesser d als Funktion der Fläche A
5. Analysieren Sie die Funktion f(x) = x n für a) b) c) d)
große negative ungerade Werte von n, große negative gerade Werte von n, große positive ungerade Werte von n, große positive gerade Werte von n.
Aufgaben zu Potenzfunktionen mit gebrochenem Exponenten: Allgemeine Wurzelfunktionen 6. Für den elektrischen Leiter wird der Leiterquerd2 schnitt als Kreisfläche A = π · __ angegeben. 4 a) Lösen Sie die Gleichung nach d auf.
b) Zeichnen Sie den Graph d(A) für A = 1 mm 2 bis A = 16 mm 2. 7.
d
3
d(A)
mm 1 0 1
3
5
7
9
11
13 mm2 16 A
Bild 2: Radius r einer Kugel als Funktion des Volumens V
4 · π · r 3. Das Kugelvolumen ist V = __ 3
a) b) c) d)
Lösen Sie die Gleichung nach r auf. Für welche Werte r ist V(r) ≥ 0? Erstellen Sie eine Wertetabelle. Zeichnen Sie das Schaubild der Funktion r in Abhängigkeit von V.
Quadratische Wurzelfunktionen 8. Stellen Sie die Graphen der Wurzelfunktionen f, g und h mit ______
a) f(x) = √ 2x – 1
______
0,5
Bild 3: Wurzelfunktionen
b) g(x) = √ 2x + 1 und ______
c) h(x) = √ 1 – 2x
3. S1 (1|1), S2 (–1|1) und S3 (0|0)
in einem Graphen dar und geben Sie jeweils D an.
4. a) S1 (1|1), S2 (–1|1)
9. Zeichnen Sie die Kurvenschar der Funktion ________ f(x) = √ 4 – b · x für b = 1, 2, 3, 4. 10. Zeichnen der Funktionen f mit ___ Sie alle Graphen ______ f(x) = √ 2x + 1 und g(x) = √ 1 + 2x . Lösungen: 1. a) Die Graphen liegen im 1. Quadranten und im 2. Quadranten. b) Die Graphen erhält man durch Spiegelung an der x-Achse im 3. Quadranten und im 4. Quadranten. 2. a) S1 (–1|–1), S2 (0|0) und S3 (1|1) b) S1 (–1|–1), S2 (1|1)
b) S1 (1|–1), S2 (–1|–1) 5. a) bis d) Siehe Lösungsbuch __
√
d2 A 6. a) A = π · __ ⇒ d = 2 __ π 4
b) Bild 1
√
_____
3 __ π · r 3 ⇒ r = 3 __ 7. a) V = 4 · __ ·V 4 π 3 b) Für r ≥ 0. c) V 0 1 2 3 4
r
5
6
7
0 0,62 0,78 0,89 0,98 1,06 1,12 1,18
d) Bild 2 Arten von quadratischen Wurzelfunktionen 8. Bild 3
9., 10. siehe Lösungsbuch 33
1
Ganzrationale Funktionen
1.6 Ganzrationale Funktionen höheren Grades
Ganzrationale Funktion n-ten Grades f(x) = a n · x n + a n – 1 · x n – 1 + ... + a 1 · x 1 + a 0
1.6.1 Funktion dritten Grades Ein Möbelhaus verkauft Aufbewahrungsschachteln. Ein Set besteht aus fünf verschieden großen Schachteln, die ineinander untergebracht sind (Bild 1). Die Breite der Schachteln ist immer um 3 cm kürzer als die Länge x und die Höhe ist immer halb so groß wie die Länge. Die Herstellerfirma interessiert die Abhängigkeit des Schachtelvolumens von der Länge x.
f(x) = a 3 · x 3 + a 2 · x 2 + a 1 · x + a 0
3. Grades: oder
f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
x
Variable; x ∈ ℝ
n
Exponent; n ∈ ℕ
Volumenfunktion
ai
Koeffizienten; a i ∈ ℝ, 0 ≤ i ≤ n
Stellen Sie die Funktionsgleichung für das Schachtelvolumen in Abhängigkeit von x auf.
f(x) Funktionswerte der Stellen x
Lösung: f(x) = x · (x – 3) · 0,5x = 0,5 · x 3 – 1,5 · x 2
V= l·b·h
l =x 15 20 30
b=x–3 h= x 2
Das Schachtelvolumen hängt somit nur von der Länge x ab. Die beiden Summanden der Funktionsgleichung stellen Potenzfunktionen dar.
40
Addiert man verschiedene Potenzfunktionen, deren Exponenten natürliche Zahlen sind, erhält man ganzrationale Funktionen. Der Wert des größten Exponenten bestimmt den Grad der Funktion, d. h. die Funktion für das Schachtelvolumen ist dritten Grades.
x–3 x
Bild 1: Schachteln
Graph der Volumenfunktion
y
Zeichnen Sie den Graphen für die Funktion des Schachtelvolumens im Intervall [–1; 3,5]. Lösung:
2
Man erkennt, dass die Funktion für das Volumen nur für Werte x > 3 sinnvoll ist, da sich sonst negative Volumenwerte ergeben würden. Bild 1 zeigt, dass die Schachteln für x = 3 die Breite null besitzen. Es gilt:
0 –2
–1
1 –1
Stellen Sie eine Wertetabelle für das Schachtelvolumen in Abhängigkeit der Schachtellängen aus Bild 1 auf. Eine Längeneinheit beträgt 1 cm.
–2
Tabelle 1
= 0,5 · x3 – 1,5 · x2
1
Wertetabelle der Volumenfunktion
Lösung:
f(x) = x · x · (x – 3)
2
Bild 2
f(x) = 0,5 · x 3 – 1,5 · x 2 mit x > 3
x 2
50
2
x
3
Bild 2: Funktionsgraph für das Schachtelvolumen
Aufgabe:
Tabelle 1: Schachtelvolumen
1. Eine Serie von Dosen ist ab einer Höhe h von 10 cm zu erhalten. Der Durchmesser d ist immer um 5 cm kleiner als die Höhe. Geben Sie für das Volumen V die Funktionsgleichung mit Definitionsbereich
Länge x in cm
15
20
30
40
50
Volumen V in l
1,35
3,4
12,15
29,6
58,75
a) in Abhängigkeit von d, b) in Abhängigkeit von h an. c) Berechnen Sie mit beiden Funktionsgleichungen das Volumen für die Höhen 10 cm und 20 cm. 34
Lösung: π · d 3 + 5 · __ π · d 2 mit d ≥ 5 1. a) V(d) = __ 4 4
π · h 3 – 10 · __ π · h 2 + 25 · __ π · h mit h ≥ 10 b) V(h) = __ 4 4 4
c) V(10) = 62,5 · π cm 3; V(20) = 1 125 · π cm 3
1.6 Ganzrationale Funktionen höheren Grades
1.6.2 Funktion vierten Grades
2 4 f(x) = – x + x + 8,1
In der Gebirgsschlucht Bild 1 führt eine doppelbögige Brücke über den Bach. Der untere Rand der Brückenbögen entspricht dem Graphen der Funktion mit
360
8
y
x + __ x + 8,1 mit x ∈ ℝ f(x) = – ____ 4
2
360
8
und 1 LE = 1 m. Die Wasseroberfläche hat die Höhe null (y = f(x) = 0). Gebirgsbrücke Berechnen Sie die Brückenhöhe an den Stellen 0, 2, 4, 6 und 8. Lösung:
Tabelle 1
1.6.3 Nullstellenberechnung 1.6.3.1 Nullstellenberechnung bei biquadratischen Funktionen Um die Breite der gesamten Brücke auf der Höhe der Wasseroberfläche zu erhalten, muss man die Nullstellen der Funktion 4. Grades berechnen. Ersetzt man in der Funktionsgleichung f(x) für die Brückenbögen das Quadrat der Variablen x, also x 2, durch die Variable u, so erhält man u u f(u) = – ____ + __ + 8,1 mit u ∈ ℝ 2
360
8
f(u) ist die Gleichung einer quadratischen Funktion. Ganzrationale Funktionen vierten Grades mit nur geraden Exponenten von x heißen biquadratisch. Das Ersetzen von x 2 durch u nennt man in der Mathematik auch Substituieren oder Substitution. Substituieren ist das Ersetzen einer Größe durch eine andere zur Vereinfachung mathematischer Ausdrücke. Die durch Substitution vereinfachte Funktionsgleichung lässt sich einfacher berechnen. Nullstellen von f(u)
x1
x2 x
0
Bild 1: Gebirgsbrücke Tabelle 1: Brückenhöhe Stelle x Brückenhöhe in m
0
2
4
6
8
8,1
5 8,¯
9,39
9
4,72
___
Für u 1 erhält man x 1, 2 = ±√ 81 = ±9. Für u 2 hingegen erhält man keine Lösungen für x, da Wurzeln aus negativen Zahlen über ℝ nicht definiert sind. Die Richtigkeit des Ergebnisses zeigt die folgende Rechenprobe. Nullstellen von f(x) Berechnen Sie die Funktionswerte f(x) an den Stellen x 1 = –9 und x 2 = 9. Lösung:
–( ±9) 4 f(±9) = _____ + (±9) 2/8 + 8,1 360
f(±9) = –18,225 + 10,125 + 8,1 = 0
Nullstellenberechnung bei biquadratischen Funktionen erfolgt durch Substituieren von x 2 und Rücksubstituieren mit x 2.
Berechnen Sie die Nullstellen von f(u). Aufgabe:
Lösung: –u u 0 = ____ + __ + 8,1 | · (– 360) 2
360
8
= u – 45u – 2 916
1. Berechnen Sie die Nullstellen (x ∈ ℝ): 5 2 x – __ x +1 a) f(x) = __ 4 4 4
2
______________
± √ 45 2 + 4 · 2 916 ________________ u 1, 2 = (x 2) 1, 2 = 45 2
u 1 = 81 ± 117 _______ u 1, 2 = 45 ⇒ 2 {u 2 = –36 u 1 = 81 oder u 2 = –36
x – 10x 2 + 81 b) f(x) = __ 9 4
c) f(x) = x 4 – 4,25x 2 + 1 x – x 2 – 12 d) f(x) = ___ 27 4
Lösung: Die Nullstellen von f(x) erhält man durch Rücksubstituieren, d. h. u wird durch x 2 ersetzt: u 1 = (x 2) 1 = 81 oder u 2 = (x 2) 2 = –36
1. a) –2; –1; 1; 2 c) –2; –0,5; 0,5; 2
b) –9; –3; 3; 9 d) –6; 6
35
1
Ganzrationale Funktionen
1.6.3.2 Nullstellenberechnung mit dem Satz vom Nullprodukt
f(x) = 0
Ein Fachbuchverlag plant den Verkauf eines Fachbuches über einen Zeitraum von drei Jahren. Der Verlag ermittelt eine Gewinnkurve (Bild 1). Dabei ist x die Anzahl der gedruckten Bücher in tausend Stück und y ist der Gewinn G in tausend €. Die Funktionsgleichung der Gewinnkurve G lautet
⇒ x = 0 oder (ax 2 + bx + c) = 0 ⇒ 1. Faktor: x 1 = 0 ________ ± √ b 2 – 4ac ____________ ⇒ 2. Faktor: x 2, 3 = –b 2a
⇒ N 1 (x 1|0); N 2 (x 2|0); N 3 (x 3|0)
G(x) = –3 · x 3 + 24,3 · x 2 – 29,7 · x mit x ≥ 0. Werden nur sehr wenig Bücher verkauft, sind die Unkosten für den Verlag höher als die Verkaufseinnahmen. Er macht Verluste. Die Schnittpunkte von G(x) mit x-Achse markieren den Beginn und das Ende der Gewinnzone. Werden deutlich mehr Bücher gedruckt, als verkauft werden, müssen sie zu Schleuderpreisen verramscht oder gar vernichtet werden. Um die Grenzen der Gewinnzone zu berechnen, muss G(x) gleich null gesetzt werden.
0 = x · (ax 2 + bx + c)
f(x) = a · (x – x 1) · (x – x 2) · (x – x 3) Satz vom Nullprodukt: Das Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. x 1; x 2; x 3 Nullstellen von f
G+V 100
G(x) = –3x3 + 24,3x2 – 29,7x
Setzen Sie G(x) gleich null und ermitteln Sie das Nullprodukt für die Nullstellen von G, (Bild 1). Lösung: 0 = –3 · x 3 + 24,3 · x 2 – 29,7 · x | : (–3) 0 = x 3 – 8,1 · x 2 + 9,9 · x | Ausklammern von x
Verlustzone
Gewinnzone 60 40 20
Bü
0 2
0 = x · (x 2 – 8,1 · x + 9,9)
3 4 5 Gewinnzone
–20
Um die Nullstellen zu berechnen, darf auf gar keinen Fall durch x geteilt werden, denn x = 0 ist eine Nullstelle der Kurve und somit Lösung der Gleichung (Bild 1). Das Produkt ist dann null, wenn einer der Faktoren null ist.
Grenzen der Gewinnzone Berechnen Sie die Nullstellen von G. Lösung: 0 = x · (x 2 – 8,1 · x + 9,9) 1. Fall: x = 0 ⇒ Die Verlustzone beginnt bei x 1 = 0. 2. Fall: Klammer = 0 0 = x 2 – 8,1 · x + 9,9 | · 10 0 = 10x 2 – 81x + 99
Tsd. St.
G + V … Gewinn + Verlust; Bü … Bücher
Bild 1: Gewinnkurve Bei ganzrationalen Funktionen, die durch den Koordinatenursprung verlaufen, wird bei der Nullstellenberechnung das Nullprodukt gebildet. Die Gewinnkurve G kann mithilfe ihrer Nullstellen wieder aus Linearfaktoren gebildet werden. Es gilt G(x) = a · (x – x 1) · (x – x 2) · (x – x 3), wobei a der erste Koeffizient der Gleichung G(x) ist. Gleichung der Gewinnkurve Bilden Sie G(x) aus Linearfaktoren. Lösung: G(x) = –3 · (x – 0) · (x – 1,5) · (x – 6,6) = –3 · x 3 + 24,3 · x 2 – 29,7 · x
_______________
81 ± √ 81 2 – 4 · 10 · 99 x 1, 2 = __________________ 20
x 1, 2
x 1 = 1,5 ± 51 ______ = 81 ⇒ 20 {x 2 = 6,6
Aufgabe: 1. Berechnen Sie die Nullstellen (x ∈ ℝ): a) f(x) = 0,5 · x 3 – 3 · x 2 + 4 · x x – 24 · x b) f(x) = __ 3
Die Gewinnzone beginnt bei 1 500 gedruckten Büchern und endet bei 6 600 gedruckten Büchern. Wird die Gleichung G(x) null gesetzt, kann x nur deshalb ausgeklammert werden, weil der y-Achsenabschnitt null ist. 36
7
6
x – 3 · x2 c) f(x) = __ 3
Lösung: 1. a) 0; 2; 4 c) 0; 0; 9
b) 0; –12; 12
3
1.6 Ganzrationale Funktionen höheren Grades 1.6.3.3 Nullstellenberechnung durch Abspalten von Linearfaktoren
f(x) 2 RP(x) = _____ x – x = ax + bx + c 1
Aufgrund von entstandenen Fixkosten hat der Fachbuchverlag die Gewinnkurve aus Bild 1, vorhergehende Seite, korrigiert (Bild 1). Die untere Grenze der Gewinnkurve bleibt jedoch mit 1 500 gedruckten Büchern bestehen. Damit ist eine der drei Nullstellen von G mit der x-Achse bekannt. Für die Nullstellen gilt G(x) = 0 –3 · x + 21 · x – 15,75 · x – 13,5 = 0 2
Die linke Gleichungsseite enthält eine Nullstelle bei x 1 = 1,5 (Bild 1). Deshalb muss sie den Linearfaktor (x – 1,5) besitzen. Es gilt somit:
f(x) = a · (x – x 1) · (x – x 2) · (x – x 3) RP(x)
Restpolynom
a, b, c
Koeffizienten
(x – x 1)
Linearfaktor
x 1, x 2, x 3
Nullstellen von f
G +V 100
(x – 1,5) · (a · x + b · x + c) = 0 2
Die rechte Klammer der linken Gleichungsseite enthält die beiden weiteren Nullstellen von G(x). Man nennt den Klammerausdruck auch Restpolynom RP(x). Damit gilt:
60 40
(x – 1,5) · RP(x) = G(x) Bringt man den Linearfaktor (x – 1,5) auf die andere Gleichungsseite erhält man: RP(x) = G(x) : (x – 1,5) RP(x) = –3 · x 3 + 21 · x 2 – 15,75 · x – 13,5 : (x – 1,5) Wird das Polynom G(x) durch einen Linearfaktor (x – x 1) dividiert, spricht man von einer Polynomdivision.
20
G(x) = –3x3 + 21x2 – 15,75x – 13,5 Verlustzone
3
RP(x) = a · (x – x 2) · (x – x 3)
Bü
0 1,5
–20
2
3 4 5 Gewinnzone
6
7
G + V … Gewinn + Verlust; Bü … Bücher
Bild 1: Korrigierte Gewinnkurve Entsteht bei der Polynomdivision dennoch ein Rest, so enthält der Linearfaktor keine Nullstelle x 1 oder es liegt ein Rechenfehler vor.
Restpolynom Berechnen Sie das Restpolynom RP(x).
Nullstellen
Lösung:
Berechnen Sie die im Restpolynom enthaltenen Nullstellen von G(x).
–3x 3 : x = –3x 2 (–3x 3 + 21x 2 – 15,75x – 13,5) : (x – 1,5) = –3x 2 + 16,5x + 9
Lösung: 0 = –3 · x 2 + 16,5 · x + 9 | : (–3)
– (–3x + 4,5x ) 3
2
(x – 1,5) · (–3x ) 2
_________
16,5x 2 – 15,75x – 13,5 16,5x 2 : x = 16,5x – (16,5x – 24,75x) 2
9x – 13,5 – (9x – 13,5) 0
= x 2 – 5,5 · x – 3
(x – 1,5) · 16,5x 9x : x = 9 (x – 1,5) · 9
Den ersten Summanden des Restpolynoms erhält man durch Division des ersten Summanden von G(x) durch den ersten Summanden des Linearfaktors. Danach wird der Linearfaktor mit dem ersten Summanden des Restpolynoms multipliziert und das Produkt von G(x) abgezogen. Man verfährt so weiter, bis von G(x) null übrig bleibt. Die Polynomdivision geht genau auf, d. h. es entsteht kein Rest.
5,5 ± √ 5,5 2 + 12 x 2, 3 = _____________ 2 5,5 ± 6,5 ⇒ x 2, 3 = _______ 2
x 2 = –0,5 { x3 = 6
⇒ G(x) = –3 · (x – 1,5) · (x + 0,5) · (x – 6) Die Gewinnzone endet damit bei 6 000 gedruckten Büchern. Aufgabe: 1. Berechnen Sie die Nullstellen x 2 und x 3 für a) f(x) = x 3 – 2,5 · x 2 – 8,5 · x + 10 mit x 1 = 1 x – 7 · x – 12 b) f(x) = __ 4 3
mit x 1 = –2.
Lösung: 1. a) –2,5; 4
b) –4; 6
37
1
Ganzrationale Funktionen
Die Linearabspaltung mit Polynomdivision ist eine ausführliche Division von Hand, die sehr übersichtlich ist. Sie kann aber in der Schreibarbeit abgekürzt werden, wenn man bei der Linearabspaltung nur mit den Koeffizienten von G(x) rechnet. Diese Art der Linearabspaltung nennt man Hornerschema. Bei der Linearabspaltung nach dem Hornerschema wird nur mit Koeffizienten gerechnet.
Hornerschema an · x 1
…
a1x 1 + … + anx n1
x = x1 an
0
an–1 + anx1
ai
Koeffizienten von f(x) mit 0 ≤ i ≤ n; n ∈ ℕ
x1
Nullstelle von f(x)
Hornerschema Spalten Sie von der Gleichung G(x) von Bild 1, vorhergehender Seite, den Linearfaktor (x – x 1) nach dem Hornerschema ab.
y
4 2 f(x) = x – x – 1;
8
4
Lösung:
0
x1
Der erste Koeffizient –3 von G(x) wird mit x 1 = 1,5 multipliziert und das Produkt –4,5 unter den zweiten Koeffizienten von G(x) geschrieben. Die beiden Werte werden addiert 21 + (–4,5) = 16,5. Man wiederholt diesen Rechenvorgang so lange, bis sich in der letzten Spalte in der Summe der Wert null ergibt. Dies zeigt, dass die Linearabspaltung ohne Rest aufgeht und x 1 = 1,5 tatsächlich Nullstelle von G(x) ist. Die Zahlenwerte links von der Null sind die Koeffizienten des Restpolynoms RP(x) = –3x 2 + 16,5x + 9. Mit ihm werden wie auf der vorhergehenden Seite die weiteren Nullstellen berechnet. Der Rand des Weinkelchs aus Bild 1 verläuft nach der Funktion f mit f(x) = 0,125 · x 4 – 0,25 · x 2 – 1. Um einen Linearfaktor von f(x) abspalten zu können, benötigt man eine Nullstelle. Da keine Nullstelle gegeben ist, muss sie durch Probieren ermittelt werden. Durch Probieren erhält man die Werte x 1 = –2 und x 2 = 2.
x2
x
Bild 1: Weinkelch Da die Rechnung restfrei aufgeht, werden die Nullstellen bestätigt. Weitere Nullstellen Zeigen Sie, dass die Kurve aus Bild 1 keine weiteren Nullstellen besitzt. Lösung: 0,125 · x 2 + 0,25 = 0 x2 = –2 L={ } Neben den gezeigten Verfahren lassen sich die Nullstellen auch über Substitution oder mit dem Taschenrechner oder einem Mathematikprogramm auf dem Computer ermitteln.
Restpolynom Ermitteln Sie das Restpolynom von f(x) mithilfe des Hornerschemas. Lösung: Grad
IV 0,125
x 1 = –2 0,125 x2 = 2 0,125
III
II
I
38
1. Berechnen Sie die fehlenden Nullstellen mithilfe des Hornerschemas (x ∈ ℝ): a) f(x) = x 3 – 9 · x 2 + 26 · x – 24 mit x 1 = 2
0
0
–0,25
0
–1
–0,25
0,5
–0,5
1
–0,25
0,25
–0,5
0
0,25
0
0,5
0
0,25
0
Restpolynom RP(x) = 0,125 · x 2 + 0,25
Aufgabe:
b) f(x) = x 3 – 3 · x 2 + 7 · x – 21 mit x 1 = 3 c) f(x) = 4 · x 4 – 8 · x 3 – 33 · x 2 + 2 · x + 8 mit x 1 = –0,5; x 2 = 0,5.
Lösung: 1. a) 3; 4
b) { }
c) –2; 4
1.6 Ganzrationale Funktionen höheren Grades
1.6.4 Arten von Nullstellen
y
Die Funktion f mit f(x) hat die Nullstelle x 1 = –2 und berührt die x-Achse für x > 0 (Bild 1). Durch Abspalten des Linearfaktors (x + 2) erhält man: Grad
III
II
0,25 x 1 = –2:
I
f(x)
0
–1
–0,75
4,5
–0,5
3
–4,5
–1,5
2,25
0
0,25
g(x)
0
f(x) =
Restpolynom RP(x) = 0,25 · x 2 – 1,5 · x + 2,25
x
xB
xSP
x1 = –2
g(x) =
x3 4
– x2 – 43 x +
x4 2
–
x3 2
–
3 2 x 2
9 2
+ 25 x – 1
Setzt man das Restpolynom null, erhält man: 0 = 0,25 · x 2 – 1,5 · x + 2,25
|·4
Bild 1: Kurven mit Berührpunkten auf der x-Achse
0 = x2 – 6 · x + 9 0 = (x – 3) 2
Tabelle 1: Linearfaktorzerlegung von Kurven 4. Grades
0 = (x – 3) · (x – 3) ⇒ x B = 3 Für den Berührpunkt B (3|0) erhält man den Achsenabschnitt x B = 3 doppelt. An einer doppelten Nullstelle liegt ein Berührpunkt mit der x-Achse (y = 0). Die Funktion g mit g(x) = 0,5 · x 4 – 0,5 · x 3 – 1,5 · x 2 + 2,5 · x – 1 berührt ebenfalls die x-Achse für x > 0, hat aber im Berührpunkt einen Vorzeichenwechsel (Bild 1). Ein Berührpunkt auf der x-Achse mit Vorzeichenwechsel heißt Sattelpunkt oder Terrassenpunkt. Spaltet man von g(x) den Linearfaktor (x + 2) erhält man:
Nullstellen 4 Schnittpunkte
Funktionsgraph, Gleichung y
x x1 x2 x3 x4 f(x) = a · (x – x1) · (x – x2) · (x – x3) · (x – x4)
2 Schnittpunkte, 1 Berührpunkt
IV 0,5
x 1 = –2: RP(x)
0,5
III
II
I
–0,5
–1,5
2,5
–1
–1
3
–3
1
–1,5
1,5
–0,5
0
0
Sattelpunkt Berechnen Sie die x-Koordinate des Sattelpunktes.
2 Berührpunkte
x2
x3
x
2
f(x)
y x1
x
x2
f(x) = a · (x – x1)2 · (x – x2)2
Sattelpunkt und Schnittpunkt keine Schnittpunkte
f(x)
y 0
x1
|·2
x
x2
f(x) = a · (x – x1)3 · (x – x2) y f(x) 0
Lösung: 0 = 0,5 · x 3 – 1,5 · x 2 + 1,5 · x – 0,5
x1
f(x) = a · (x – x1) · (x – x2) · (x – x3)
0
Restpolynom RP(x) = 0,5 · x 3 – 1,5 · x 2 + 1,5 · x – 0,5
f(x)
y
0
Grad
f(x)
0
x
Linearfaktorzerlegung ist nicht möglich
0 = x3 – 3 · x2 + 3 · x – 1 0 = (x – 1) 3 0 = (x – 1) · (x – 1) · (x – 1)
Aufgaben: ⇒
x SP = 1
Für den Sattelpunkt SP (1|0) erhält man den Achsenabschnitt x SP = 1 dreifach. An einer dreifachen Nullstelle liegt ein Sattelpunkt. Je nach Art der Nullstellen lassen sich ganzrationale Funktionen aus Linearfaktoren darstellen (Tabelle 1).
1. Berechnen Sie den Berührpunkt mit y = 0 von f(x) = x 3 – 9 · x 2 + 26,25 · x – 25 mit x 1 = 4 (x ∈ ℝ). 2. Berechnen Sie den Sattelpunkt von x 4 – __ x 3 – x 2 + ___ 14 x – 4 mit x = –3 (x ∈ ℝ). f(x) = __ 1 2 3 6
Lösungen: 1. B (2,5|0)
2. SP (2|0)
39
1
Ganzrationale Funktionen
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!
3 f(x) = x – 0,3x2 + 9x
y
400
1. Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen durch Substituieren. a) f(x) = x 4 – 6,25x 2 + 9 b) f(x) = x 4 – 10,44x 2 + 12,96
e) f(x) = –x 4 + 34x 2 – 225
80 m
c) f(x) = 4x 4 – 89x 2 + 400 d) f(x) = x 4 – 76,25x 2 + 784
Kf
f) f(x) = –x 4/125 + x 2 – 20
0
2. Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen mit dem Nullprodukt. 2
x + x 2 – 40x b) f(x) = __ 2 3
x
D
a) f(x) = x – 7x + 12x 3
Bild 1: Brücke
x 3 – 4x 2 + 9x c) f(x) = __ 3
d) f(x) = –x 3 + 4x 2 – 4x
y
e) f(x) = x 4 – 25x 2 x4 + x f) f(x)= ____ 125
6
3. Folgende Funktionen besitzen die Nullstelle x 1 = 2. Berechnen Sie die anderen mithilfe des Hornerschemas und geben Sie alle Nullstellen an.
Gh Gg
5 4
a) f(x) = 3x 2 – 27x + 42
3
x + 8x – 18 b) f(x) = __ 2 2
c) f(x) = 2x 3 – 16x 2 + 42x – 36
1
x + 1,5x 3 – 53,5x 2 + 142,5x – 91 d) f(x) = __ 2 4
4. Folgende Funktionen besitzen die Nullstelle x 1 = –3. Berechnen Sie die anderen mithilfe der Polynomdivision und geben Sie alle Nullstellen an.
0 –4
b) f(x) = 3x – 3x – 36x 3
3
4
5
6
x
–3
Gf
2
Bild 2: Funktionsgraphen
c) f(x) = –x 3 – x 2 + 4x – 6 d) f(x) = x 3 – 7x + 6 5. Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse bei x 1 = 2 und schneidet die x-Achse bei x 2 = 4. a) Geben Sie die Funktionsgleichung für die Schar aller Kurven an. Ansatz: f(x) = a · (x – x 1) 2 · (x – x 2) b) Ein Graph verläuft durch den Punkt (0|8). Geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an. 6. Über eine 80 m tiefe Schlucht führt eine Brücke (Bild 1). Der Profilverlauf der Schlucht unterhalb der Brücke entspricht der Funktion f mit f(x) = 0,002 5x 3 – 0,3x 2 + 9x. Eine Längeneinheit entspricht 1 m. Bestimmen Sie den Definitionsbereich für die Funktion und bestimmen Sie die Länge der Brücke. 7. Berechnen Sie die exakten Werte der Nullstellen bei folgenden Funktionen.
40
2
–2
a) f(x) = x 2 – 24x – 81 4
1
–3 –2 –1 –1
a) f(x) = x 2 – 3
b) f(x) = 1 – x 2
c) f(x) = 5x 3 – 15x
d) f(x) = 0,5x 3 – 1
e) f(x) = x 4 – 4x 2 + 4
f) f(x) = x 4 – 225
8. Gegeben sind die Graphen von ganzrationalen Funktionen 3. Grades (Bild 2). Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen von a) G f, b) G g und c) G h. Lösungen: 1. a) –2; –1,5; 1,5; 2
b) –3; –1,2; 1,2; 3
c) –4; –2,5; 2,5; 4
d) –8; –3,5; 3,5; 8
e) –5; –3; 3; 5
f) –10; –5; 5; 10
2. a) 0; 3; 4
b) –10; 0; 8
d) 0; 2 3. a) 2; 7
e) –5; 0; 5 b) –18; 2
4. a) –3; 27 b) –3; 0; 4
c) 0; 3; 9 f) –5; 0
c) 2; 3
d) –13; 1; 2; 7
c) –3
d) –3; 1; 2
5. a) f(x) = a · (x 3 – 8x 2 + 20x – 16) x + 4x 2 – 10x + 8 b) f(x) = – __ 2 3
6. Definitionsbereich: x ∈ [20; 80]; b = 60 m __ __ __ __ 7. a) –√ 3 ; √ 3 b) –1; 1 c) 0; –√ 3 ; √ 3 3
__
d) √ 2
__
__
e) –√ 2 ; √ 2
8. a) f(x) = –0,2x 3 + 1,2x 2 – 1,6x b) g(x) = 0,5x 3 + 3x 2 + 5,5x + 3 c) h(x) = x 3 – 9x 2 + 27x – 27
___
___
f) –√ 15 ; √ 15
1.6 Ganzrationale Funktionen höheren Grades 1. Prüfen Sie, ob der Graph folgender Funktion einen Berührpunkt mit der x-Achse hat. a) f(x) = 2x 2 – 6x + 4,5
b) f(x) = x 2 – 3x + 3,25
c) f(x) = –4x 2 – 20x – 25
d) f(x) = –0,5x · (x 2 –2,25)
2. Prüfen Sie, ob der Graph folgender Funktion einen Sattelpunkt auf der x-Achse hat. a) f(x) = x 3 – 8
b) f(x) = x – 23
Funktionen f und g
g(x)
4
B(1|3)
1
0
d) f(x) = x – 3x + 3x – 1 f) f(x) = –x 3 + 9x 2 – 27x + 27
3. Zeigen Sie, dass der Graph folgender Funktion einen Berührpunkt mit der x-Achse hat.
–2
d(x)
3
1
2
e) f(x) = –x 3 + 27
5
2
c) f(x) = –0,25x · (x – 2,5) 3 3
y
5
3
f(x)
Differenzfunktion d
y
B(1|0)
0
–1
1
2
x
–2
–1
1
2
3
x
Bild 1: Graphen der Funktionen f, g und d ≙
y
a) f(x) = 2x 3 – 6x 2 – 7,5x + 25 an der Stelle x = 2,5
7
x + ___ 11 x 2 – x – 10 an der Stelle x = –4 b) f(x) = __ 4 3
8
c) f(x) = 5x 3 + 13x 2 – 52,8x + 36 an der Stelle x = 1,2 4. Zeigen Sie, dass der Graph folgender Funktion einen Sattelpunkt mit der x-Achse hat. a) f(x) = 2x 3 + 15x 2 + 37,5x + 31,25 an der Stelle x = –2,5 x + 3x 2 – 12x – 16 b) f(x) = __ 4 3
f(x) =
6 5 s(x) = 4
x3 2
2
–3x + 6x
Befestigung
h(x) = 6x – 16
4
an der Stelle x = –4
2 c) f(x) = 6x 3 – 6x 2 + 2x – __
9 1 an der Stelle x = __ 3 4 3 3 x – __ d) f(x) = __ x – 1,5x 2 + 7x – 6 4 4
3
Sitzfläche
2
an der Stelle x = 2
5. Die Graphen von f mit f(x) = –x 2 + 4 und g mit g(x) = –2x + 5 berühren sich im 1. Quadranten im Punkt B (1|3) (Bild 1).
1
1
a) Zeigen Sie, dass beide Graphen durch den Punkt B gehen. b) Geben Sie die Funktionsgleichung d(x) = g(x) – f(x) der Differenzfunktion d (Bild 1). c) Zeigen Sie, dass an der gleichen Stelle x, an welcher sich die Funktionen f und g berühren, die Differenzfunktion d einen Berührpunkt mit der x-Achse hat. 6. Die Funktion f mit f(x) = x 2 – 2 und die Funktion g mit g(x) = –x 2 + 4x – 4 berühren sich im 4. Quadranten. Bestimmen Sie mithilfe der Differenzfunktion den Berührpunkt B. 7. Die Seitenteile des Stuhles aus Bild 2 sind aus Metall gefertigt. Die Profillinien f, g und h entsprechen im Intervall [0; 4] den Graphen der Funktionen mit • •
x – 3x 2 + 6x f(x) = __ 2 3
h(x) = 6x – 16.
•
g(x) = 1,5x und
1 LE ≙ 1 dm.
g(x) =1,5x
0 2
Bild 2: Stuhl mit Metallgestell 8. Die Sitzfläche s des Stuhls aus Bild 2 mit s(x) = 4 ist in der Höhe 40 cm an dem Metallrohr f befestigt. Zeigen Sie mithilfe der Differenzfunktion d(x) = f(x) – s(x), dass der Graph von f in Höhe der Sitzfläche einen Sattelpunkt hat. Lösungen: 1. a) B (1,5|0) c) B (–2,5|0)
b) keine Nullstellen c) kein Berührpunkt
2. a) kein Sattelpunkt
b) SP (2|0)
c) SP (–2,5|0)
c) SP (1|0)
d) kein Sattelpunkt
e) SP (3|0)
3. a) B (2,5|0)
b) B (–4|0)
4. a) SP (–2,5|0)
b) SP (–4|0)
d) SP (2|0)
Berechnen Sie die Berührstelle und den Schnittpunkt
5. a) f(1) = 3 und g(1) = 3
a) der Funktionen f und g
6. B (1|–1)
b) der Funktionen f und h.
x
4
3
b) d(x) = x 2 – 2x + 1 7. a) B (3|4,5)
c) B (1,2|0)
10 c) SP (__ ) 3
|
c) B(1|0) b) B (4|8)
8. SP (2|0) 41
1
Ganzrationale Funktionen
1.6.5 Numerische Methoden
mn ≙ xn
an
Nullstellenproblem: Die Schülerin Amelie sieht am Graph einer Funktion, dass er an einer Stelle die x-Achse schneidet. Beim Ablesen der Nullstelle kommen ihr Bedenken, ob der Wert die geforderte Genauigkeit hat. Nicht immer sind rechnerische Lösungen von Gleichungen möglich. Aus diesem Grund verwendet man Verfahren, mit denen man die Lösung einer Gleichung näherungsweise durch Umformen berechnen kann. Definition: Schneidet der Funktionsgraph die x-Achse, dann gilt der Nullstellensatz (Bild 1). Welche Berechnungen sind notwendig? Gibt es eine Methode, die benötigte Genauigkeit zu bestimmen?
bn
f(m n)
–1,5234375 –1,5214844
–1,515625 –0,00062218
–1,5214844 –1,5205078
–1,515625 +0,00517889
a n Untere Intervallgrenze des Intervalls l n = [a n; b n] b n Obere Intervallgrenze des Intervalls l n = [a n; b n] m n Intervallmitte des Intervalls l n = [a n; b n]
Nullstellensatz Hat der Graph von f in dem Intervall [a; b] keine Unterbrechungen (Lücken), dann nennt man die Funktion stetig. Haben zudem die Funktionswerte f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, dann gibt es mindestens eine Nullstelle zwischen a und b.
Allgemein gibt es verschiedene Verfahren, die sich sowohl im Ansatz als auch im Rechenaufwand unterscheiden.
Intervallhalbierungsverfahren
Intervallhalbierungsverfahren
a+b für den Funktionswert: f(m) = f(_____ . 2 )
Halbiert man das bestimmte Intervall [a; b] in der Intervallmitte m, dann muss die Nullstelle entweder links oder rechts von m liegen. Anhand des Funktionswertes von f(m) kann nachgeprüft werden, in welcher Intervallhälfte sich die gesuchte Nullstelle befindet. Auf gleiche Weise werden alle weiteren Intervalle halbiert, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Nullstellenermittlung Die Funktion f(x) = x 3 – x + 2; x ∈ ℝ soll auf Nullstellen untersucht werden. Die zu bestimmende Gleichung f(x) = 0 ⇔ x 3 – x + 2 = 0 ist rechnerisch nicht lösbar.
Gilt in einem Intervall [a; b] f (a) < 0 und f (b) > 0 a+b und für die Intervallmitte m: m = _____ , dann folgt 2
Ist f(m) < 0, dann ersetze a durch m. Ist f(m) > 0, dann ersetze b durch m. m f(m)
Intervallmitte von [a; b] Funktionswert der Intervallmitte
Beim Intervallhalbierungsverfahren sind viele Berechnungen notwendig um zu einen brauchbaren Näherungswert zu erhalten; d. h. dieses Verfahren konvergiert sehr langsam.
y
Lösung: Gf
Berechnet man Funktionswerte an verschiedenen Stellen, kann die Nullstelle „eingekreist“ werden. x
–2
–1,5
–1
f(x)
–4
+0,125
+2
Vorzeichen
f(x) < 0
f(x) > 0
f(x) > 0
2 X0 –2,5
–2
an
–1,5
–1 bn
–0,5
m = x 0 ∈ –1,5214844 (siehe Berechnungsschema) Berechnungsschema für das Intervallhalbierungsverfahren: an
mn ≙ xn
bn
f(m n)
–2
–1,75
–1,5
–1,609
–1,75
–1,625
–1,5
–0,666
–1,625
–1,5625
–1,5
–0,2521
–1,5625
–1,53125
–1,5
–0,05911
–1,53125
–1,515625
–1,5
+0,0340538
–1,53125 42
–1,5234375 –1,515625
–0,0122504
x
–2
Vorzeichenwechsel der Funktionswerte im Intervall x 0 ∈ ]–2; –1,5[, d. h. die Nullstelle muss zwischen –2 und –1,5 liegen. Ergebnis:
0
–4
Bild 1: Nullstellenermittlung Aufgaben: 1. Bestimmen Sie ein Intervall, in dem die Funktion eine Nullstelle hat mithilfe einer Wertetabelle. Berechnen Sie die Nullstelle näherungsweise mit dem Intervallhalbierungs-verfahren auf drei Stellen nach dem Komma genau. a) f(x) = 2 x – x 3 c) f(x) = ln x + x; x ∈
b) f(x) = x 3 – 3x – 3 ℝ *+
Lösungen: 1. a) I 1 = [1; 2]; x 1 = 1,373 oder I 2 = [9; 10]; x 2 = 9,939 b) I = [2 ;3]; x = 2,103
c) l = ]0; 1[; x = 0,5671
1.6 Ganzrationale Funktionen höheren Grades Sekantenverfahren Bei allen Näherungsverfahren muss in der ersten Näherung das Intervall bestimmt werden, in dem sich die gesuchte Nullstelle befindet. Die Punkte auf dem Graphen der Funktion f an den Randstellen des Intervalls sind dann P (a| f(a)) und Q (b|f(b)). Die Gerade s durch die Punkte P und Q „schneidet“ den Graphen von f und ist deshalb die Sekante zu K f (Bild 1). Die Schnittstelle der Sekante s mit der x-Achse liegt im Intervall a; b und wird erster Näherungswert x s genannt. Die Steigung m s der Sekante lässt sich nun auf zwei Arten berechnen: y s – f(a) f(b) – f(a) ________ m s = _______ x – a ∧ ms =
Gilt für eine im Intervall [a; b] stetige Funktion f: f(a) < 0 und f(b) > 0, dann hat f mindestens eine Nullstelle x 0 und die Sekante s durch die Punkte P und Q die Nullstelle x s. P (a|f(a)); Q (b|f(b))
Punkte
f(b) – f(a) m s = ________
Sekantensteigungen
Durch Gleichsetzen erhält man:
bzw.
b–a
y – f(a)
s m s = _______ x –a s
(b – a) f(b) – f(a)
x s = a – ________ · f(a)
Sekantengleichungen
b–a
s
Tabelle 1: Sekantenverfahren
a · f(b) – b · f(a) x s = _____________ f(b) – f(a)
y s – f(a) ________ f(b) – f(a) _______ mit y s = 0 folgt: xs – a = b – a
ms x0
–f(a) · (b – a) = (f(b) – f(a)) · (x s – a)
Sekantensteigung Nullstelle von f
xs
Nullstelle der Sekante
Wird die Gleichung nach x s aufgelöst, so ergibt sich: a · f(b) – b · f(a) x s = _____________ f(b) – f(a)
Je nachdem, ob f(x s) > 0 oder f(x s) < 0 ist, wird entweder a oder b durch x s ersetzt. Sekantenverfahren Die Nullstelle der Funktion f(x) = x 3 – x + 2; x ∈ ℝ soll mithilfe des Sekantenverfahrens näherungsweise bestimmt werden (Bild 1).
Beim Sekantenverfahren erhält man in der Regel eine schnellere Konvergenz, d. h. die Nullstelle ist mit weniger Rechenschritten bei einem brauchbaren Näherungswert. Das Sekantenverfahren ist auch unter dem Namen „regula falsi“ (die falsche Regel) bekannt.
Lösung:
y
Aus Beispiel 1 beim Intervallhalbierungsverfahren entnehmen wir, dass die Nullstelle im Intervall x ∈ [–1; 0] liegen muss. Ähnlich wie beim Intervallhalbierungsverfahren wird aus Übersichtsgründen ein Berechnungsschema aufgestellt. Anhand des Funktionswertes von f(x s) kann nachgeprüft werden, in welcher Intervallhälfte sich die gesuchte Nullstelle befindet. Auf gleiche Weise werden alle weiteren Näherungswerte von x s ermittelt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Berechnungsschema: a
an bn f(x s)
xs
b
f(x s)
–2
–1,3333
–1
0,96296
–2
–1,46267
–1,3333
0,3333
–2
–1,504014
–1,46267
0,101847
–2
–1,516329 –1,504014 0,029903
–2
–1,519918 –1,516329 0,0086777
–2
–1,52095
–1,519918
0,002509
Untere Intervallgrenze des Intervalls I n = [a n; b n] Obere Intervallgrenze des Intervalls I n = [a n; b n] Funktionswert an der Sekantennullstelle x s im [a n; b n]
Q
Gf 2
x0 –2,5
–1,5
–2 a
–1 b
xs
–0,5
0
x
–2
Sekante s –4
Bild 1: Sekantenverfahren
Aufgaben: 1. Bestimmen Sie die Nullstelle näherungsweise mit dem Sekantenverfahren auf drei Stellen nach dem Komma genau. a) f(x) = 2 x – x 3 b) f(x) = x 3 – 3x – 3 Lösungen: 1. a) x s1 = 1,373; x s2 = 9,039 b) x s = 2,103
43
1
Ganzrationale Funktionen
1.7 Eigenschaften von Funktionen
y
y
1.7.1 Symmetrie bei Funktionen
6
6
Ein Schüler behauptet eine Symmetrie bei Funktionsgraphen mit dem bloßen Auge erkennen zu können (Bild 1). Seine Mitschülerin entgegnet, dass dieses aber noch nicht als Beweis angenommen werden kann.
4
4
2
2
0 –2
–1
Lösung:
x
2
–2
–1
–4
Achsensymmetrie zur y-Achse Zeigen Sie, dass der Graph (Bild 2, links) der 1 x 2 + 1; x ∈ ℝ achsensymFunktion f mit f(x) = __ 2 metrisch zur y-Achse ist.
–2
0 1
1
–2
2
–4
Bild 1: Sind diese Graphen symmetrisch? Tabelle 1: Symmetriearten Art
Bedingungen
Achsensymmetrie zur y-Achse x = 0
f(–x) = f(x) für alle x ∈ D
Achsensymmetrie zu einer parallelen Gerade zur y-Achse
Achsensymmetrie zur Geraden x = x s
f(x s – x) = f(x s + x) für alle x ∈ D
Zeigen Sie, dass der Graph (Bild 2, rechts) der Funktion f mit f(x) = (x – 2) 2 + 3; x ∈ ℝ achsensymmetrisch zur Geraden x = 2 ist.
Punktsymmetrie zum Ursprung O (0|0)
f(–x) = – f(x) für alle x ∈ D
1 (–x) 2 + 1 = __ 1 x 2 + 1 = f(x) für x ∈ ℝ erfüllt. f(–x) = __ 2
2
Lösung: f(x s – x) = f(2 – x) = –(2 – x – 2) 2 + 3 = –x 2 + 3 f(x s + x) = f(2 + x) = –(2 + x – 2) 2 + 3 = –x 2 + 3 ⇒ f(x s – x) = f(x s + x) für x ∈ ℝ erfüllt.
Punktsymmetrie zu einem f(x s – x) – f(x s) beliebigen Punkt = f(x s) – f(x s + x) S (x s|f(x s)) für alle x ∈ D
y
Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f mit 1 x 3; x ∈ ℝ punktsymmetrisch zu O (0|0) ist. f(x) = __ 2 2
f(x)
3
4
2
3
1
xs
1
–1
0 –1
f(x)
0
1 –2
4
5
2
Bild 3
2
y
6
Punktsymmetrie zum Ursprung O (0|0)
1 (–x) 3 = – __ 1 x 3 = –f(x) für x ∈ ℝ erfüllt. f(–x) = – __
Symmetrie zu x = xs
Symmetrie zu x = 0
Haben ganzrationale Funktionen nur gerade Exponenten von x, so sind sie achsensymmetrisch zur y-Achse (x = 0).
Lösung:
x
1
2
x
2
–2
3
x
xs
Bild 2: Achsensymmetrie Punktsymmetrie zum Punkt S (x s|y s) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g mit 1 (x – 2) 3 + 1; x ∈ ℝ punktsymmetrisch g(x) = – __ 2 zum Punkt S(2|1) ist. Lösung:
y
f(x)
3
Bild 3
2
Mit x s = 2 und g(x s) = 1 für x ∈ ℝ ist zu zeigen: g(x s – x) + g(x s + x) – 2 · g(x s) = 0 g(2 – x) g(2 + x)
1 (2 – x – 2) 3 + 1 = __ 1x3 + 1 = – __ 2 2 1 (2 + x – 2) 3 + 1 = – __ 1x3 + 1 = – __ 2 2
g(2) = 1
1 x 3 + 1 + – __ 1 3 ⇒ (__ ) ( 2 x + 1) – 2 · (1) = 0 erfüllt. 2
1
–3
–2
Symmetrie zu O (0|0)
–1
O
g(x) Symmetrie zu S (2|1) S (2|1)
2
3
4
x
–1 –2
Untersuchungen von Funktionen werden erheblich vereinfacht, wenn man erkennt, dass der Graph symmetrisch ist (Tabelle 1).
44
Bild 3: Punktsymmetrie zum Ursprung O (0|0) und Punktsymmetrie zum Punkt S (2|1)
1.7 Eigenschaften von Funktionen
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!
y
1. Zeigen Sie, dass der Graph von f in Bild 1 achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
3
2. Zeigen Sie, dass der Graph von f in Bild 2 punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
2
3. Zeigen Sie, dass der Graph von f in Bild 3 achsensymmetrisch zur Geraden x = –1 ist.
1
4. Zeigen Sie, dass der Graph von f in Bild 4 punktsymmetrisch zum Punkt S (1|–1) ist.
0 –3
–2
a) f(x) = 2x
b) f(x) = x 2
c) f(x) = –x 3
e) f(x) = x – 1
f) f(x) = 3x + 2
g) f(x) = 2
h) f(x) = x 2 + 1
i) f(x) = –2x 4 + 1
S (0|0)1
–1
2
3
4
x
–1
5. Welche der folgenden ganzrationalen Funktionen haben zur y-Achse (zum Ursprung) symmetrische Graphen? d) f(x) = 0,5x 4
f(x) = –x3 + 4x
–2 –3
Bild 2: Punktsymmetrie zum Ursprung O (0|0)
6. Welche Symmetrieart liegt bei den Graphen der Funktionen vor? Begründen Sie Ihre Aussage. a) f(x) = –x 4 + 2x 2 – 1
b) f(x) = 3x 3 – x
y 3
Lösungen:
f(x) = –x2 – 2x + 2
1. f ist eine „gerade“ Funktion.
2
2. f ist eine „ungerade“ Funktion. 3. Für alle x ∈ ℝ gilt: f(–1 + x) = f(–1 – x).
1
4. Für alle x ∈ ℝ gilt: f(1 – x) + f(1 + x) + 2 = 0.
0
5. Symmetrie zur y-Achse: b), d), g), h), i); zum Ursprung O: a), c).
–3
–1
x = –1
6. a) Symmetrie zur y-Achse wegen gerader Exponenten. b) Symmetrie zum Ursprung O wegen ungerader Exponenten.
y
–2
1
2
3
4
x
–1
Bild 3: Achsensymmetrie zur Geraden x = –1
y
f(x) = x4 – 4x2 + 2
2
f(x) = 0,5x3 – 1,5x2
2 1 1
0
0 –3
–2
–1
–3 1
2
3
4
x
–2
–1
1 –1
–1 x=0
2
3
4
x
S(1| –1)
–2
–2
Bild 1: Achsensymmetrie zur y-Achse
Bild 4: Punktsymmetrie zum Punkt S (1|–1)
45
1
Ganzrationale Funktionen
1.7.2 Monotonie Neben der Differenzierbarkeit von Funktionen ist eine weitere Eigenschaft von Funktionen die Monotonie. Die Monotonie einer Funktion ist wie folgt definiert: Streng monoton wachsend Gilt in einem Intervall D einer Funktion für zwei beliebige Werte x 1 < x 2 stets f(x 1) < f(x 2), so ist die Funktion in diesem Definitionsintervall streng monoton wachsend (Bild 1). Ersetze x durch t und f(x) durch Uc(t)
Streng monoton fallend Gilt in einem Intervall D einer Funktion für zwei beliebige Werte x 1 < x 2 stets f(x 1) > f(x 2), so ist die Funktion in diesem Definitionsintervall streng monoton fallend (Bild 2).
Bild 1: Aufladen eines Kondensators
Wird zusätzlich das Gleichheitszeichen zwischen den Funktionswerten f(x 1) und f(x 2) zugelassen, so spricht man nur von monoton wachsend bzw. monoton fallend. monoton wachsend x 1 < x 2
⇒
f(x 1) ≤ f(x 2)
x1 < x2
⇒
f(x 1) ≥ f(x 2)
monoton fallend
Ersetze x durch t und f(x) durch N(t)
In Ihrem Definitionsbereich zeigen viele Funktionen keine einheitliche Monotonie-Eigenschaften. Diese Funktionen sind nur in bestimmten Teilintervallen monoton wachsend oder monoton fallend.
Bild 2: Zerfallsvorgang beim radioaktiven Zerfall –∞ ≤ x < 0
0≤x≤2
y
Monotonie-Eigenschaften einer Funktion
f(x) = 1 x3 – 3 x2 + 2 2 2
H
3 2 1 x 3 – __ Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = __ x + 2, 2 2
x ∈ ℝ. Ihr Funktionsgraph ist G f (Bild 3). Untersuchen Sie f auf ihre Monotonie-Eigenschaften. Lesen Sie dazu geeignete Werte aus dem Graph G f ab. Lösung:
Der Funktionsgraph G f ist streng monoton wachsend für x > – ∞ bis zum Hochpunkt H (0|2), also streng monoton wachsend im Bereich {x ≤ 0} ℝ. Der Funktionsgraph G f ist streng monoton fallend zwischen dem Hochpunkt H (0|2) und dem Tiefpunkt T (2|0), also streng monoton fallend im Teilintervall 0 ≤ x ≤ 2. Der Funktionsgraph G f ist streng monoton wachsend vom Tiefpunkt T (2|0) bis x → ∞, d. h. streng monoton wachsend im Teilintervall {x ≥ 2}
2 < x ≤∞
1
Gf
T
0 –1 steng monoton wachsend
1
2
steng monoton fallend
3
x
steng monoton wachsend
Bild 3: Monotonie-Eigenschaften einer Funktion 2. Untersuchen Sie folgende Funktionen f über ℝ auf ihre Monotonie-Eigenschaften und tragen Sie die Lösungen in den Funktionsgraphen von G f ein. 3 1 x 2 – __ a) f(x) = – __ x 2 2
c) f(x) = x 3 – 3x + 3
1 x3 + 1 b) f(x) = __ 8
1 x 4 – __ 2x3 – 1 d) f(x) = __ 4 3
Lösungen: 1. a), c) streng monoton wachsend (= st. m. w.) b), d) streng monoton fallend (= st. m. f.)
Aufgaben: 1. Analysieren Sie, welche Funktionen über D = ℝ streng monoton wachsend sind und welche Funktionen streng monoton fallend sind. a) f(x) = mx + b; m ∈ ℝ *+ b) f(x) = mx + b; m ∈ ℝ *– c) f(x) = ax 3; a ∈ ℝ *+ 46
d) f(x) = ax 3; a ∈ ℝ *–
2. a) x < –1,5 st. m. w., x > –1,5 st. m. f. b) x ∈ ℝ st. m. w. c) x < –1 st. m. w., –1 < x < 1 st. m. f., x > 1 st. m. w. d) x < 2 st. m. f., x > 2 st. m. w.
1.7 Eigenschaften von Funktionen Ermittlung der Monotonie-Intervalle mit der ersten Ableitung Bei einer differenzierbaren Funktion f kann man Intervalle bestimmen, in denen die Funktion f, für alle x-Werte aus diesem Bereich, streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ist. In diesen Monotonieintervallen entspricht das Monotonieverhalten von f dem Steigungsverhalten von G f.
y 5
3 f (x) = 1 x +1,5x 2 32 0
Im Bild 1 ist G f von – ∞ bis zum Tiefpunkt bei x = –4 fallend und G f' liegt in diesem Intervall im negativen Bereich. E kann mit der ersten Ableitung also das Monotonie-Intervall ermittelt werden.
–6
–4
–2
2
6
x
Gf
x
–4 T (–4|4) y
Ist die Funktion f im untersuchten Intervall differenzierbar, gilt:
2
f'(x) > 0, f ist streng monoton wachsend.
Aus Bild 1 ist also ersichtlich, dass die lokalen Extremstellen der Funktion f die Nullstellen der Ableitungsfunktion f' darstellen und damit auch die Grenzen der Monotonieintervalle bilden. Zur Berechnung dieser Extremstellen wird daher die Gleichung der ersten Ableitung gleich null gesetzt und die x-Werte berechnet.
4
–2
Monotoniesatz:
f'(x) < 0, f ist streng monoton fallend.
H (4|4)
4 3
Gf
1 2 f (x) = 3 x +1,5 32
streng monoton fallend
–1
streng monoton wachsend
streng monoton fallend
M1 = ]-∞;-4[
M2 = ]-4;4[
M3 = ]4;∞[
f (x) < 0
f (x) > 0
f (x) < 0
Bild 1: Monotonie-Intervalle einer Funktion f y
Monotonie-Intervall einer Funktion
6
Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 0,4x 3 + 3, x ∈ ℝ.
5
Ihr Funktionsgraph ist G f (Bild 2). Untersuchen Sie f auf ihre Monotonie-Eigenschaften und geben Sie die Monotonie-Intervalle an.
4
Lösung:
2
f'(x) = 1,2x
3
2
Diese Funktion ist für alle x-Werte, außer für x = 0, immer positiv, d. h.: f ist in ]– ∞; 0[ und in ]0; ∞[ streng monoton wachsend. Die Stelle x = 0 mit f'(0) = 0 beeinflusst das Monotonieverhalten nicht ⇒ Monotonie-Intervalle: M 1 = ] – ∞; 0] und M 2 = ]0; ∞[
1 0 –2,5
–2 –1,5 –1 –0,5 –1
0,5
1
1,5
2
2,5
x
Bild 2: Monotonie-Verhalten einer Funkton f Lösungen: 1. a) M 1 = ]– ∞; –2[ st. m. w., M 2 = ]–2; 2[ st. m. f. M 3 = ]2; + ∞[ st. m. w. b) M 1 = ]– ∞; – 0,732[ st. m. w., M 2 = ]–0,732; 2,73[ st. m. f. M 3 = ]2,73; + ∞[ st. m. w.
Aufgaben: 1. Ermitteln Sie die Monotonie-Eigenschaften und die Monotonie-Intervalle folgender Funktionen. 1 x 3 – 4x a) f(x) = __ 3
b) f(x) = x 3 – 3x 2 – 6x +8 c) f(x) = 0,1x 4 – 4 d) f(x) = 0,25x 4 – 0,25x 3 – 2x 2 + 3x +3 e) f(x) = – 0,3x 4 + 0,2x 3 + 3,2
c) M 1 = ]– ∞; 0[ st. m. f., M 2 = ]0; + ∞[ st. m. w. d) M 1 = ]– ∞; –2[ st. m. f., M 2 = ]–2; 0,75[ st. m. w. M 3 = ]0,75; 2[ st. m. f., M 4 = ]2; ∞[ st. m. w. e) M 1 = ]– ∞; 0,5[ st. m. w., M 2 = ]0,5; + ∞[ st. m. f. 47
1
Ganzrationale Funktionen
1.7.3 Umkehrfunktionen
Tabelle 1: Schrittweises Vorgehen
Notenschlüssel
Schritt
Ein Lehrer erklärt nach einem Test, dass er die Noten mit einem linearen Notenschlüssel errechnet hat. Die Schüler wollen wissen, wie viele Punkte sie erreichen müssen, damit sie z. B. die Note zwei (2) bekommen.
Vorgang
Schreibweise
1
Die Variablen x und y vertauschen
y = f(x) ⇒ x = ¯f(y)
2
Gleichung nach y umformen
x = ¯f(y) ⇒ ¯ y = ¯f(x)
Gerade und ihre Umkehrfunktion Bei einem linearen Notenschlüssel wird jedem Notenpunkt p die entsprechende Note n zugeordnet. Die Note n lässt sich mit einer linearen Funktion n berechnen. Für die Funktion n mit 5 n = – __ m · p + 6 ∧ p ∈ [0; m];
m>0
bedeutet m die maximal erreichbare Anzahl von Punkten und p die tatsächlich vergebenen Punkte. Ihr Schaubild stellt eine Gerade bzw. eine Strecke bei beschränkter Definitionsmenge dar. Häufig interessiert es, welche Punktzahl für eine bestimmte Note nötig ist. Dazu wird die Gleichung nach p umgestellt. Es entsteht die Funktion p von n, die Umkehrfunktion p. m ∧ n ∈ [0; 6]; m > 0 (Tabelle 1). p = (6 – n) · __ 5
Tabelle 2: Funktionen und ihre Umkehrfunktionen Funktion f(x) =
D f; W f
Umkehrfunktion ¯f(x) =
D ¯f; W ¯f
a·x+b
D f = ℝ;
b 1 · x – __ __ a a;
D ¯f = ℝ;
Wf = ℝ x
a≠0 __
D f = ℝ +;
2
D ¯f = ℝ +;
√x
Wf = ℝ+
Wf = ℝ+
π ; __ π ; D f = [– __ 2 2]
sin x
arcsin x
D ¯f = [–1; 1];
ln x
D ¯f = ℝ *+;
W f = [–1; 1]
Notenfunktion 5 Die Notenfunktion mit n = – __ m · p + 6 ∧ p ∈ ℚ + stellt die Note n abhängig von der Punktzahl p dar.
D f = ℝ;
ex
W ¯f = ℝ
W f = ℝ* +
π ; __ π W ¯f = [– __ 2 2]
W ¯f = ℝ
a) Geben Sie den Term für die Notenfunktion n sowie eine realistische Definitionsmenge und Wertemenge an, wenn zur Vereinfachung m = 10 angenommen wird. b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion ¯ n.
n(p)
c) Zeichnen Sie die Schaubilder von n und ¯ n.
8
Lösung:
7
1 · p + 6 ∧ p ∈ {0; 10} a) Notenfunktion: n(p) = – __ ℚ
⇒ D p = {0 ≤ p ≤ 10} ℚ;
2
W n = {n(p)|1 ≤ n ≤ 6} ℚ
b) Funktionsterm von p(n): Tabelle 2 1. Umstellen nach p: p(n) = 2 · (6 – n) = –2n + 12 ∧ D p = {n|1 ≤ n ≤ 6} ℚ; W p = {p|0 ≤ p ≤ 10} ℚ 2. Vertauschen der Variablen: ¯ n(p) = 2 · (6 – p) = – 2p + 12 ∧ D ¯n = {p|0 ≤ p ≤ 10} ℚ; W ¯n = {¯ n|1 ≤ ¯ n ≤ 6} ℚ
n(p) = –2 · p + 12
g(x) = x
6 5 4 3
n(p) = – 1 · p + 6
2
2
1 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
p
c) Bild 1 Bild 1: Notenfunktion und ihre Umkehrfunktion Vertauscht man bei einer umkehrbaren Funktion f die Zuordnung der Variablen, so erhält man die Umkehrfunktion (Tabelle 1, Schritt 1). Aufgabe: Will man als unabhängige Variable wieder x, muss die Funktionsgleichung nach y umgestellt werden (Tabelle 1, Schritt 2). Die Gleichung der Umkehrfunktion liegt dadurch in der Form ¯ y = ¯f(x) vor. Die Umkehrfunktion ¯f erhält man grafisch durch Spiegelung des Graphen von f an der ersten Winkelhalbierenden y = x (Spiegelachse). 48
1. Bestimmen Sie für f(x) = x + 2; x ∈ ℝ die Umkehrfunktion ¯f(x) und nennen Sie die Definitionsmenge und die Wertemengen. Lösungen: 1. f(x) = x + 2; D f = ℝ; W f = ℝ ⇒ ¯f(y) = x = y + 2 (1) ⇒ ¯f(x) = x – 2 (2); D ¯f = W ¯f = ℝ;
1.7 Eigenschaften von Funktionen Die Parabel und ihre Umkehrfunktion Können alle Funktionen umgekehrt werden? Welche Voraussetzungen müssen vorliegen, damit eine Funktion umgekehrt werden kann?
y
el ac hs
3
x =
Vertauscht man die Variablen, so erhält man die Gleichung einer Umkehrrelation x = y 2 (Bild 1). Diese Zuordnung stellt aber keine Funktion dar. Schneidet eine zur x-Achse parallele Gerade das Schaubild der umzukehrenden Funktion mehr als einmal, so ist diese nicht umkehrbar.
ie g
y = x2
Sp
Die Gleichung einer Parabel stellt keine umkehrbar eindeutige Zuordnung dar. Dies kann an ihrem Graphen gezeigt werden.
e
4
y
2
x = y2 1 0 –2
–1
1
2
3
4
5
x
–1
Durch Beschränkung der Definitionsmenge kann eine streng monotone Funktion umkehrbar gemacht werden.
Bild 1: Parabel und ihre Umkehrrelation
Quadratische Funktion
y
Gegeben ist über D = ℝ die Gleichung der Funk1 x 2 + 1. tion f mit f(x) = __ 2
7
Sp
ie
ge
la
5 4
d) Geben Sie die zweite mögliche Umkehrfunktion an.
3
Lösung:
2
a) Die Funktion f ist für D = ℝ nicht umkehrbar, da ihre Zuordnung nicht umkehrbar eindeutig ist. Durch Einschränkung der Definitionsmenge auf positive reelle Zahlen wird diese Funktion umkehrbar und es gilt:
ch s
e
6
x
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Umkehrfunktion ¯f und geben Sie deren Definitionsmenge D f und Wertemenge W f an. c) Zeichnen Sie die Schaubilder von f und ¯f mithilfe der Spiegelgeraden y = x.
y
a) Untersuchen Sie, ob f umgekehrt werden kann und geben Sie die Wertemenge W an.
f(x) = 0,5x2 + 1
=
Wird bei der Parabel in Bild 1 die Definitionsmenge auf ℝ + oder ℝ – eingeschränkt, ist die Zuordnung eineindeutig und die Umkehrfunktion existiert (Bild 2).
–2
2 · (x – 1)
1 0 1
1 x 2 + 1 ∧ D = ℝ ; W = {y|y ≥ 1} f(x) = __ f + f ℝ 2
2
3
4
5
6
x
b) Umkehrfunktion von f in drei Schritten: 1. Vertauschen der Variablen: 1 x 2 + 1 ⇒ ¯f(y) = x = __ 1 y2 + 1 f(x) = __ 2
2
Bild 2: Parabel und ihre Umkehrfunktion
2. Umstellung der Gleichung nach y: _________ y –2 = 2 · (x – 1) ⇔ |¯f(x)| = √ 2 · (x – 1)
Aufgaben:
3. Auswahl der entsprechenden Umkehrfunktion: Wegen D f = {x|x ≥ 1} ℝ = W f und W ¯f = D f = ℝ + _________ folgt, ¯f(x) = √ 2 · (x – 1) ist die gesuchte Umkehrfunktion.
1x2 + 1 ∧ D = ℝ ; 1. f 1(x) = __ f – 2
_________
_________
⇔ ¯f(x) = √ 2 · (x – 1) ∨ ¯f(x) = –√ 2 · (x – 1)
c) die grafische Umkehrung von f entspricht der Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden y = x (Bild 2). d) Aus b) _______ Punkt 2 folgt: ¯f(x) = √ 2(x – 1) ; D ¯f = {x|x ≥ 1} ℝ; W ¯f = ℝ
Bestimmen Sie für die Funktionen die Umkehrfunktionen und nennen Sie jeweils die maximale Definitions- und Wertemenge an. 1x2 – 1 ∧ D = ℝ 2. f 2(x) = __ f + 2 _____
3. f 3(x) = √ x – 3 – 2 ∧ D f = {x|x ≥ 3} ℝ Lösungen: _______ 1. ¯ f 2(x) = –√ 2(x – 1) ∧ D ¯f = {x|x ≥ 1} ℝ; W f = ℝ – ________ 2. ¯ f 2(x) = √ 2(x + 1) ∧ D ¯f = {x|x ≥ –1} ℝ; W f = ℝ +
3. ¯ f 3(x) = (x + 2) 2 + 3 ∧ D ¯f= {x|x ≥ –2} ℝ; W ¯f = ℝ + 49
1
Ganzrationale Funktionen
1.8 Ungleichungen Der Inhalt einer Farbsprühdose reicht für eine Fläche von maximal A max = 1000 cm 2 (Bild 1). Bei einer zu lackierenden Fläche von A > 1000 cm 2 wird das Brett unvollständig lackiert und muss weggeworfen werden. Im Längen-Breiten-Schaubild (Bild 1) ist der Bereich, in dem das Brett unvollständig lackiert wird, rot dargestellt. Der rote Bereich wird durch die Ungleichung A > l · b ausgedrückt. Ungleichungen bestehen wie Gleichungen aus einem Linksterm T l, einem Rechtsterm T r und können auch wie Gleichungen umgeformt werden. Wenn aber die Ungleichung mit einem negativen Term multipliziert oder dividiert wird, kehrt sich die Ordnungsrelation um (Tabelle 1). Eine Ungleichung darf mit einem beliebigen negativen Term multipliziert oder dividiert werden, wenn gleichzeitig das Ungleichheitszeichen der Ungleichung umgekehrt wird. Das heißt:
aus < wird >, aus > wird 0
A –b > – __ l
x+4 –12
5x < 10
|:5
5 10 __ x < ___ 5 5
x ___ –5 –5
x > –2
A = 1000 cm2
Breite b
bl au
50 40
| · (–1)
30
A b < __ l
000 cm 2 b < 1________ = 20 cm
20
b < 20 cm
10
A > 1000 cm2
A < 1000 cm2
50 cm
Länge l
0 10
Aufgaben: 1. Bestimmen Sie die Lösungsmenge für folgende Ungleichungen: a) x + 6 < 7
b) 33 + x ≤ 50
c) 8x – 20 ≥ 3x – 10
d) 22x > 110
e) 7x + 21 + a > 7
3 7 f) __ – x ≤ ___
g) 5(x + 9) ≥ 20
30
40
50
Bild 1: Holzbrett lackieren Lösungen: 1. a) x < 1
b) x ≤ 17
c) x ≥ 2
d) x > 5
h) 16(2x – 4x) > 6x + 8
g) x ≥ –5
4 h) x < – ___ 19
i) –3(4x – 2) > –18
j) 27(x – 3) > x(4 – a)
i) x < 2
k) 0,5x + 20 < 4x + 10
5 ≤ –(3 + 4x) – 6 l) 4x + __ 2
6 k) x > 2__ 7
8
16
3 6 (2x – 8)+ __ x – 8 < 10(2 – x) – 4x – 13 m) __ 4 8
50
20
a e) x > –2 – __ 7
17 m) x < ___ 65
1 f) x ≥ – ___ 16
81 j) x > _____ 23 + a 23 l) x ≤ – ___ 16
60
cm
80
90
1.9 Betragsfunktion
1.9 Betragsfunktion
Der Betrag einer Zahl a ist immer positiv oder null.
In der Physik interessiert oft nur der positive Zahlenwert (Betrag), z. B. die Länge eines Vektorpfeils, die zurückgelegte Wegstrecke oder der Temperaturunterschied.
Definiton:
a für a ≥ 0 |a| = { –a für a < 0}
Betrag einer Zahl Stellen Sie den Betrag der Zahlen +55, –55 dar.
km 111
Lösung: |55| = 55; |–55| = 55
km 93
Zurückgelegte Wegstrecke Auf der Autobahn Ulm- München stockt der Verkehr im Stau (Bild 1). Am Fahrbahnrand ist die Länge der Autobahn mit blauen Schildern gekennzeichnet. Der Stau begann beim Kilometerschild 111 und löste sich bei Kilometer 93 auf.
Bild 1: Zurückgelegte Wegstrecke 93
111
18 km
a) Welchen Weg s hat der Fahrer im Staubereich zurückgelegt? b) Stellen Sie s auf einer Zahlengeraden dar. 90
Lösung: a)
s = |111 km – 93 km| = 18 km oder s = |93 km – 111 km| = 18 km
100
120 s
km
Bild 2: Zahlenabstand auf der Zahlengeraden
b) siehe Bild 2
y
Der Abstand a zweier Zahlen b und c auf der Zahlengeraden wird mit den Betragsgleichungen a = |b – c| oder a = |c – b| berechnet. Der Betrag |x|; x ∈ ℝ kann auch als eine Funktion von x dargestellt werden. Man nennt f(x) = |x| dann die Betragsfunktion von x. Ihr Funktionsgraph ist G f (Bild 3). Die Betragsfunktion lässt sich abschnittsweise darstellen, indem man die Stelle x mit dem Funktionswert f(x) = 0 ermittelt. Betragsfunktion Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = |0,5x – 1|. Ihr Funktionsgraph ist G g. a) Erstellen Sie für g(x) im Intervall –3 ≤ x ≤ 5 eine Wertetabelle.
3
Gf Gg
f(x) = |x|
2 g(x) = |0,5x – 1| 1
–2
–1
0
1
2
3
4
5
x
Bild 3: Betragsfunktion 1. b) Ermitteln Sie die Gleichung der Betragsfunktion. c) Geben Sie von f die Gleichung abschnittweise an. d) Zeichnen Sie den Graphen der Betragsfunktion in das Koordinatensystem ein.
b) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen G g. Lösung:
2. Eine Betragsfunktion f hat die Gleichung f(x) = |x 2 – 4x|. Ihr Funktionsgraph ist G f.
a) g(x) = 0,5x – 1 = 0 ⇔ x = 2
a) Geben Sie von f die Gleichung abschnitt weise an.
Die abschnittsweise Darstellung lautet: 0,5x – 1 für x ≥ 2 g(x) = |0,5x – 1| = { –(0,5x – 1) für x < 2 x
110
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
g(x) 2,5
2
1,5
1
0,5
0
0,5
1
1,5
b) Bild 3
b) Zeichnen Sie G f in ein geeignetes Koordinatensystem. Bereich: –1 ≤ x ≤ 5. Lösungen: 1. a), d) siehe Lösungsbuch b) f(x) = |–4x – 2| oder f(x) = |4x + 2|
Aufgaben: 1. Gegeben sind die Punkte A (–2|6), C (– 0,5|0) und B (1|6) einer Betragsfunktion f der Form |a x + b|. Ihr Funktionsgraph ist G f. a) Zeichnen Sie die Punkte A und B in ein Koordinatensystem, Bereich: –3 ≤ x ≤ 3, ein.
für x ≥ –0,5 für x < –0,5 } x 2 – 4x für x ≤ 0 ∨ x ≥ 4 2. a) f(x) = { –(x 2 – 4x) für 0 < x < 4 } c) f(x) =
{ –(4x + 2)
4x + 2
b) siehe Lösungsbuch 51
1
Ganzrationale Funktionen
Überprüfen Sie Ihre Kompetenz!
y 4
Jede beliebige ganzrationale Funktion kann man in eine Betragsfunktion umwandeln, indem man den Funktionsterm zwischen Betragsstrichen schreibt.
3
Überprüfen Sie diese Behauptung, indem Sie einige Beispiele entwickeln und Ihre Mitschüler analysieren lassen, welche ganzrationale Funktion sich zwischen den Betragsstrichen befindet. Beginnen Sie mit einer Betragsfunktion 1. Grades und steigern Sie nach und nach den Grad der Funktion.
2
1 0 −2
−3
Aufgaben: 1. Folgende Betragsfunktion ist gegeben mit f(x) = |5x – 2|.
y
j(x) = f(x) . g(x)
4
a) Wie sieht der Funktionsgraph dieser Funktion aus, wenn man den Betrag bildet? Erstellen Sie eine Wertetabelle.
2 0 −1
1
2
3
i(x) = f(x) – g(x) und j(x) = f(x)
g(x)?
1. a) siehe Lösungsbuch b) f(x) = |5x – 2| =
52
7
2 für x ≥ __ 5
{ –(5x – 2) für x < __25
8
x
0,75 0,5
0,25 0 −3
−2
−1
1
2
3
Bild 3: Dritter Graph 2. a) siehe Lösungsbuch b) f(x) = |(x – 1)(x – 5)|
⎧ (x – 1)(x – 5) für x≤1 = ⎨ –(x – 1)(x – 5) für 1 < x < 5 ⎩ (x – 1)(x – 5) für x≥5 ⎪ ⎪
c) g(x) = f(x) + 2 3. a) Bild 1: f(x) = |–0,2 (x + 2) (x + 0,5) (x – 1) (x – 2,5)|
Lösungen: 5x – 2
6
y 1
b) Erstellen Sie eine Wertetabelle und überprüfen Sie anhand der errechneten Werte Ihren Lösungsvorschlag.
b) Betragsfunktionen können auch verknüpft werden. Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen h, i und j anhand ihrer Funktionsgleichungen h(x) = f(x) + g(x);
5
Bild 2: Zweiter Graph
a) Bestimmen Sie die Gleichungen und begründen Sie Ihren Lösungsvorschlag Ihrem Mitschüler.
a) Zeichnen Sie die Graphen G f und G g in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
4
−2
3. Bild 1 bis Bild 3 zeigen die Graphen verschiedener ganzrationale Betragsfunktionen.
4. Folgende Betragsfunktionen sind gegeben mit f(x) = |x – 2| und g(x) = |x – 6| Ihre Graphen lauten G f und G g.
x
3
6
2. Eine ganzrationale Funktion 2. Grades hat bei x 1 = 1 und bei x 2 = 5 je eine Nullstelle.
c) Schreiben Sie deFunktionsterm der Betragsfunktion als abschnittweise definierte Gleichung.
2
8
b) Schreiben Sie den Funktionsterm als den einer abschnittweise definierten Funktion.
c) Wie müssen Sie die Gleichung der Betragsfunktion verändern, damit sie die x-Achse nicht berührt?
1
Bild 1: Erster Graph
a) Zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
b) Schreiben Sie die Gleichung der Betragsfunktion als die einer abschnittweise definierten Funktion.
−1
Bild 2: f(x) = |x 2 – 2| Bild 3: f(x) = |–0,25 (x + 2) 3 (x – 1)| 3. b), 3. c), 4. siehe Lösungsbuch
x
1.10 Verhalten von Funktionen für große x-Werte
1.10 Verhalten von Funktionen für große x-Werte Die Graphen von ganzrationalen Funktionen können im normalen Zeichenbereich nicht über den gesamten Definitionsbereich dargestellt werden. Um sich einen Überblick zu verschaffen, wird dies durch mathematische Überlegungen versucht. Im üblichen Koordinatensystem gibt es bei vier Quadranten auch vier unterschiedliche Möglichkeiten (Tabelle 1).
Tabelle 1: Von der Gleichung zur Funktion Fall 1. Fall:
In den folgenden Beispielen werden die Fälle a n > 0 und a n < 0 und n gerade sowie n ungerade unterschieden.
y II
a>0
1 0 –4
–3
–2
y
a>0
3
II
n ungerade
f(x)
2
–2
1
–1
VI
–3
3. Fall:
y
a 0; n = 4 gerade
f(x) = 0,5x – 2x + 1; a = 0,5 > 0; n = 3 ungerade
f(x)
2
1. Fall: a n > 0 und n gerade (Bild 1):
3
I
3
n gerade
Für eine Funktion f:f(x) = a n · x n + … + a 0; (a n ≠ 0) mit hat a n · x n den höchsten Exponenten und bestimmt maßgeblich das Verhalten für sehr große x-Werte. Deshalb genügt es für das Verhalten von sehr betragsgroßen x-Werten, nur diesen Term zu untersuchen. Das Verhalten für betragsgroße x-Werte wird bei ganz-rationalen Funktionen durch den Term mit dem höchsten Exponenten bestimmt.
Graph
–2 III
–3
VI
Bild 4: Ganzrationale Funktion 3. Grades a: Koeffizient vor x n n: Wert des höchsten Exponenten von x
53
1
Ganzrationale Funktionen
Die Gleichungen ganzrationale Funktionen 3. Grades und 4. Grades liegen Ihnen vor. Analysieren Sie mit Ihrem Mitschüler, welche Eigenschaften der Graphen man direkt aus den Funktionsgleichungen zu erkennen sind.
• Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse,
I. Quadrant f(x) = 2x3 + 4x2 + x + 2 1 0 –1,5
–2
Eine ganzrationale Funktion f vom 3. Grad ist gegeben durch die Funktionsgleichung
–1
–0,5
III. Quadrant
• Globaler Verlauf für x → ∞ bzw. x → –∞. In dem folgenden Abschnitt analysieren wir den globalen 1 Verlauf einer ganzrationalen Funktion.
3 2
Aus Gleichungen ganzrationaler Funktionen kann man direkt folgende Eigenschaften der Funktionsgraphen erkennen: • Schnittpunkt mit der y-Achse,
y
Gf
y II. Quadrant
3 2
f(x) = – 1 x3 – 1 x2 + x + 2 4
1 0 –4
–3
–2
–1
2
x
VI. Quadrant
Bild 2: Funktion 3. Grades, a negativ y 3
Der Graph G f verläuft vom III. Quadranten in den I. Quadranten (Bild 1).
a < 0:
1 –1
ax 3 hat für x → ∞ bzw. x → –∞ die größte Auswirkung auf den Funktionswert f(x). Das Vorzeichen des Koeffizienten a entscheidet über den Verlauf des Graphen. a > 0:
Gf
2
f(x) = g(x) + h(x) + i(x) + j(x) = 2x 3 + 4x 2 + x + 2 (Bild 1).
Lösung:
x
Bild 1: Funktion 3. Grades, a positiv
Ein Funktionsterm 3. Grades ist gegeben durch
Analysieren Sie mit Ihrem Mitschüler, welche der Teilfunktionen g, h, i und j für große x-Werte die größte Auswirkung auf den Funktionswert f(x) hat.
1
–1
f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d; a ≠ 0; x ∈ ℝ. Funktionsgleichung 3. Grades
0,5
2
Der Graph G f verläuft vom II. Quadranten in den IV. Quadranten (Bild 2).
Gf
f(x) = – 1 x4 + 1 x3 + 3 x2 − 1 x − 1 4 3 6 3 12 1 0
Funktionsgleichung 4. Grades Ein Funktion 4. Grades ist gegeben durch f(x) = g(x) + h(x) + i(x) + j(x) + k(x) 3 2 __ 1 x 4 + ___ 1 x 3 + __ 1 (Bild 3). f(x) = – __ x – 1 x – __ 4 6
12
3
–3
–2
–1
1 –1
III. Quadrant
2
x
IV. Quadrant
Bild 3: Funktion 4. Grades, a negativ
3
Analysieren Sie mit Ihrem Mitschüler, welche der Teilfunktionen g, h, i, j und k für große x-Werte die größte Auswirkung auf den Funktionswert f(x) hat.
y II. Quadrant Gf
Lösung:
I. Quadrant
3 2
ax hat für x → ∞ bzw. x → –∞ die größte Auswirkung auf den Funktionswert f(x). Das Vorzeichen des Koeffizienten a entscheidet über den Verlauf des Funktionsgraphen. 4
a > 0: a < 0:
1
Der Graph G f verläuft vom II. Quadranten in den I. Quadranten (Bild 4). Der Graph G f verläuft vom III. Quadranten in den IV. Quadranten (Bild 3).
global (lat.) = umfassend, allgemein
54
1 0 –3
–2
f(x) = 1 x4 − 3 x2 − 4 5 5 5
–1
1 –1
Bild 4: Funktion 4. Grades, a positiv
2
x
1.11 Graphen ganzrationaler Funktionen analysieren
1.11 Graphen ganzrationaler Funktionen analysieren Es sollen nun die Eigenschaften der abgebildeten Funktionsgraphen (Bild 1 bis Bild 5) analysiert werden. Versuchen Sie zuerst selbständig einige Eigenschaften von Funktionsgraphen ganzrationaler Funktionen herauszuarbeiten. Ordnen Sie diese Eigenschaften im Team den verschiedenen Funktionsgraphen zu. Nehmen Sie zu Ihrer Aussage in der Art Stellung, indem Sie einen ähnlichen Funktionsgraphen aufstellen und mit geeigneten Koeffizienten dimensionieren.
y 2 1 0 –4
–3
–2
–1
1
2
3
x
1
2
3
x
–1
Bild 1: Erster Graph y 2
Eigenschaften der ersten Funktion Bild 1 zeigt den Graph einer ganzrationalen Funktion. Welche Aussagen können Sie über diese Funktion treffen? Nennen und begründen Sie Ihre Aussagen Ihrem Mitschüler, ohne dass dieser den Funktionsgraphen sieht. Nachdem Ihr Mitschüler alle gefundenen Aussagen kennt, soll er eine Funktion mit entsprechendem Funktionsgraphen skizzieren. Lösung:
1 0 –4
–3
–2
–1
Bild 2: Zweiter Graph
1) Es liegt eine Funktion 4. Grades vor
y
f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e; a ≠ 0; x ∈ ℝ.
1
2) a ist positiv (a > 0), weil der Funktionsgraph G f vom II. Quadranten in den I. Quadranten verläuft. 3) Keine Symmetrie zur y-Achse und keine Punktsymmetrie zum Ursprung.
–1
0 –2
–1
1
3x
2
4) Schnittpunkt mit der y-Achse, d. h.: e = 2 5) Eine doppelte Nullstelle an der Stelle x = –2 und zwei einfache Nullstellen N 3 und N 4 bei x = 1 und x = 2. Der Funktionsterm könnte lauten:
–1
Bild 3: Dritter Graph
f(x) = (x – x 1/2) 2 (x – x 3) (x – x 4)
y 2
Eigenschaften der Funktionen
1
Lösung zu Bild 2: 4. Grades / a < 0 / keine sym. / e = –0,5 4 einfache Nullstellen, z. B. f(x) = –0,2 · (x + 2) (x + 0,5) (x – 1) (x – 2,5)
0 –4
–3
–2
–1
2
3
x
1
1 x 3 + __ 1 x2 – x + 1 z. B. f(x) = __ 4 2
1 (x + 2) 3 · (x – 1) z. B. f(x) = – __ 4
x
y 2
3. Grades / a > 0 / keine sym. / e = 1 eine einfache Nullstellen,
4. Grades / a < 0 / keine sym. / e = 2 eine dreifache und eine einfache Nullstellen
3
Bild 4: Vierter Graph
Lösung zu Bild 4:
Lösung zu Bild 5:
2
–1
Lösung zu Bild 3: 4. Grades / a < 0 / keine sym. / e < 0 eine vierfache Nullstellen, z. B. f(x) = – (x – 2) 4
1
0 –4
–3
–2
–1
1 –1
Bild 5: Fünfter Graph 55
1
Ganzrationale Funktionen
1.12 Von den Eigenschaften der Funktion auf den Graphen schließen. Ein Wasserspringer (Bild 1) springt vom ein Meter Brett (Punkt A), erreicht seinen höchsten Punkt (Scheitelpunkt S) und taucht dann ungefähr 2 Meter vom Sprungbrett in das Wasser ein (Punkt B). Sein Sprung lässt sich durch den Term einer Funktion beschreiben. Es lässt sich erkennen, dass der Funktionsgraph eine Parabel ist.
y
A (0|2)
B (2,3|0,62)
Eine ganzrationale Funktion wird beliebig in Richtung y-Achse verschoben und kann maximal drei Nullstellen besitzen. Ist es möglich diese Funktion so zu verschieben, dass sie keine Nullstelle besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort in der Art, dass Sie einen entsprechenden Funktionsgraphen dimensionieren. Lösung: • Erste Eigenschaft: 3 Nullstellen Es liegt eine Funktion 3. Grades vor f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d; a ≠ 0; x ∈ ℝ. • Wenn a positiv ist, verläuft der Funktionsgraph vom III. Quadranten in den II. Quadranten. Ist a negativ, verläuft der Funktionsgraph vom II. Quadranten in den VI. Quadranten. Somit wird die x-Achse immer geschnitten. • Ein möglicher Funktionsterm lautet: f(x) = (x – x 1) (x – x 2) (x – x 3) = (x + 2) (x – 1) (x – 3)
S (1|4)
4
0
1
x
Bild 1: Wasserspringer 5. Dimensionieren Sie den Term einer ganzrationalen Funktion, dessen Graph die y-Achse bei 3 schneidet und nur a) eine Nullstelle hat, b) zwei Nullstellen hat, c) keine Nullstellen hat und 4. Grades ist 6. Dimensionieren Sie den Term einer ganzrationalen Funktion, dessen Graph einem Rechteck ähnelt und oben offen ist. a) Das „Rechteck“ steht auf der x-Achse zwischen x = –1 und x = 1. b) Das „Rechteck“ steht auf der x-Achse zwischen x = 1 und x = 3.
Aufgaben: 1. Sammeln Sie mit ihren Mitschülern Beispiele, indem ein Schüler Eigenschaften einer Funktion nennt, ein anderer Mitschüler den Funktionsgraphen zeichnet und den allgemeinen Funktionsterm aufstellt. 2. Eine ganzrationale Funktion ist symmetrisch zur y-Achse. Zeichnen Sie 3 verschiedene Funktionsgraphen mit unterschiedlichem Funktionsgrad und begründen Sie Ihre Lösung. 3. Eine ganzrationale Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Zeichnen Sie 3 verschiedene Funktionsgraphen mit unterschiedlichem Funktionsgrad und begründen Sie Ihre Lösung. 4. Eine ganzrationale Funktion verläuft vom III. Quadranten in den I. Quadranten und kann maximal drei Nullstellen besitzen. Ist es möglich diese so zu verschieben, dass eine einfache und eine doppelte Nullstelle entsteht? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie einen entsprechenden Funktionsgraphen dimensionieren.
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Lösungen: 1. Individuelle Lösungen, z. B.: • Funktion 4. Grades, keine Nullstellen • f(x) = (x – 2) 2 (x + 2) 2 + 1 2. Alle Funktionsterme haben nur gerade Hochzahlen f(x) = ax 2 + c;
g(x) = ax 4 + cx 2 + e
h(x) = ax + cx + ex 2 + g 6
4
3. Alle Funktionsterme haben nur ungerade Hochzahlen. f(x) = mx + b;
g(x) = ax 3 + cx
h(x) = ax + cx + ex 5
3
4. Es ist möglich. f(x) = (x – x 1/2) 2 (x – x 3); a < 0 5. a) f(x) = mx + 3; m ≠ 0 b) g(x) = –x 2 + 3 c) h(x) = (x – 0) 2 (x – 4) 2 + 3 6. a) f(x) = x 1000 b) g(x) = (x – 2) 1000
1.12 Von den Eigenschaften der Funk tion auf den Graphen schließen. Ich kann Potenzfunktionen der Form f(x) = a · x n für ganzzahlige n auswerten. Tabelle 1: Potenzfunktionen mit a = 1 Exponent n
Funktionsterm
Symmetrien, Eigenschaften
positiv und ungerade
x 1; x 3; x 5 ...
Zum Ursprung symmetrische Gerade und Parabeln.
positiv und gerade
x 2; x 4; x 6 ...
Zur y-Achse symmetrische Parabeln.
Ich kenne den Unterschied zwischen Funktionen mit gebrochenem geradem und ungeradem Exponenten. y 2 1 0
negativ und x –1; x –3; x –5 ... Zum Ursprung symungerade metrische Hyperbeln.
2
1
4
3
5
x
6
negativ und x –2; x –4; x –6... Zur y-Achse symmetgerade rische Hyperbeln.
Ich kann einen Funktionsterm erstellen. • Erste Eigenschaft: 3 Nullstellen Es liegt eine Funktion 3. Grades vor f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d; a ≠ 0; x ∈ ℝ.
Ich kann mit Betragsfunktionen rechnen. y 3
Gf
• Wenn a positiv ist, verläuft der Funktionsgraph vom III. Quadranten in den II. Quadranten. Ist a negativ, verläuft der Funktionsgraph vom II. Quadranten in den VI. Quadranten. Somit wird die x-Achse immer geschnitten. • Der Funktionsterm lautet:
Gg
f(x) = |x|
2 g(x) = |0,5x – 1| 1
–2
0
–1
1
2
3
4
5
x
f(x) = a · (x – x 1) (x – x 2) (x – x 3)
Ich kann Nullstellen berechnen für biquadratische Funktionen, nach dem Satz vom Nullprodukt, durch Abspalten von Linearfaktoren, nach dem Hornerschema (Bild) und mit numerischen Methoden.
Ich kann das Monotonieverhalten von Funktionen beschreiben. –∞ ≤ x < 0
0≤x≤2
y
f(x) = 1 x3 – 3 x2 + 2 2 2
H
Hornerschema Spalten Sie von der Gleichung G(x) von Bild 1, vorhergehender Seite, den Linearfaktor (x – x 1) nach dem Hornerschema ab.
2 < x ≤∞
1
Gf
Lösung: T
0 –1 steng monoton wachsend
1 steng monoton fallend
2
3
x
steng monoton wachsend
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