Zusammenh¨ ange auf Prinzipalb¨ undeln und Instantonen auf S4

Frank Klinker

Diplomarbeit Universit¨at Osnabr¨ uck Februar 2000

Diese Arbeit ist meiner Nichte

Jaqueline gewidmet

Besonders bedanken m¨ochte ich mich bei Herrn Prof. Dr. Heinz Spindler und Herrn PD Dr. Matei Toma die als Betreuer dieser Arbeit alle meine Fragen ernst genommen haben und mit mir in anregenden Diskussionen viele dieser Fragen gekl¨art haben. F¨ ur das Korrektur lesen m¨ochte ich mich ganz herzlich bei Peter Albers und Andre P¨onopp bedanken.

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Abstract In the first part of this diploma thesis the different concepts of connections in differential geometry are investigated. It is shown that connections on manifolds and connections on vector bundles are in one-to-one correspondence with connections on principal bundles. The second part is on a special class of connections, the self dual connections on SU (2)-principal bundles over the four-sphere S 4 with integral second chern class c2 = −k. These are the k-instantons.

Contents Einleitung

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1 Der Begriff des Zusammenhangs in der Differentialgeometrie 1.1 Zusammenh¨ ange auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Der Levi-Civita-Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Zusammenh¨ ange auf Vektorb¨ undeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Die invariante Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Die lokale Darstellung des Zusammenhangs . . . . . . . . . . 1.2.3 Konstruktion von Zusammenh¨angen . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Zusammenh¨ ange auf Prinzipalb¨ undeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Zwei ¨ aquivalente Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Die lokale Darstellung des Zusammenhangs und das totale außere Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨

5 5 5 9 10 10 11 13 17 17 20

¨ 2 Die Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe auf Prinzipal- und Vektorb¨ undeln 24 2.1 Assoziierte B¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Konstruktion assoziierter B¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Beispiel: Das Rep`ereb¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.3 Die affine Struktur der Zusammenh¨ange . . . . . . . . . . . . 30 ¨ 2.2 Die Aquivalenz der verschiedenen Zusammenhangsbegriffe . . . . . . 31 3 Yang-Mills-Theorie 3.1 Die Kr¨ ummung . . . . . . 3.2 Eichtransformationen . . . 3.3 Der Hodge-Operator . . . 3.4 Die Yang-Mills-Gleichung

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41 41 45 48 56

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4 Die 4.1 4.2 4.3

Struktur des Modulraums Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Parametrisierung der Instantons . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 61 71 85

Anhang Grundlagen der Differentialgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlagen der Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 87 92

Literaturverzeichnis

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Einleitung Der vorliegende Text besteht im Wesentlichen aus zwei Teilen. Der erste Teil befasst sich mit den verschiedenen Begriffen des Zusammenhangs in der Differentialgeometrie und dem Beweis der Tatsache, dass all diese Begriffe ¨aquivalent sind, bzw. auseinander hervorgehen. Es ergibt sich dann ein u ¨bergeordnetes Konzept, das des Zusammenhangs auf einem Prinzipalb¨ undel. Der Begriff des Zusammenhangs in seiner urspr¨ unglichen Form macht Aussagen u ¨ber die M¨ oglichkeit des Vergleichs von Vektoren in verschiedenen lokalen Koordinatensystemen eines affin zusammenh¨angenden Raumes (vgl. [We1], [We2] oder [We3]). In der Physik liefert das eine mathematische Beschreibung der allgemeinen Relativit¨ atstheorie. Dort beschreibt der Zusammenhang die relative Orientierung zweier lokaler Rahmungen der (gekr¨ ummten) vierdimensionalen Raumzeit. Die Idee Hermann Weyls, formuliert in [We2], war es, die elektromagnetischen Potentiale mit der L¨ angenmessung auf der Raumzeit zu identifizieren. Das Transformationsverhalten der L¨ angen bei Umskalierung der Metrik entspricht optisch der Freiheit in der Wahl des Potentials bis auf die Hinzunahme eines totalen Differentials. Diese Interpretation u ¨ber die Skalierung wurde jedoch rasch widerlegt, da sie mit bekannten physikalischen Tatsachen kollidierte. Mit Entwicklung der Quantenmechanik wurde der Idee Weyls neuer Boden geliefert. Statt die L¨ angen von Vektoren zu betrachten, betrachtet man nun die Phase einer ¨ Wellenfunktionen ψ als neue Variable und statt einer Anderung der Skalierung −iλ ¨ ¨ nun eine Anderung der Phase ψ 7→ ψe . Die Anderung der Phase ¨andert die beobachtete physikalische Gr¨ oße, die Observable, nicht, vorausgesetzt das elektromagnetische Potential transformiert sich gem¨aß Aµ 7→ Aµ − ∂µ λ. Das elektromagnetische Potential l¨ aßt sich als Zusammenhang interpretieren, der die Phasen der Wellenfunktion an verschiedenen Orten der Raumzeit miteinander vergleicht. Der neuartige Aspekt hierbei ist die Idee der inneren Struktur eines physikalischen Systems. Dem System wird in jedem Punkt der Raumzeit eine Phase zugeordnet, und bewegt sich das System (etwa ein freies Teilchen), so ¨andert sich die Phase und ¨ die Anderung wird durch den Zusammenhang beschrieben. Der zugrundeliegende Raum ist also die Raumzeit, der in jedem Punkt eine Version der Gruppe U (1), der Phasenraum, zugeordnet ist. Ein Teilchen liefert somit einen Schnitt in diesem

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Einleitung

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”Faserb¨ undel”, der durch den Zusammenhang, das elektromagnetische Potential, beschrieben wird. Man spricht dann von einer Eichtheorie (hier U (1)-Eichtheorie). Der Erfolg dieser Sichtweise veranlasste C.N. Yang und R.L. Mills (vgl. [YM]) dazu, auch die starke Wechselwirkung mit diesen Mitteln zu beschreiben. Der Phasenraum in diesem Fall ist der Raum aller m¨oglichen Ausrichtungen des Isospins und entspricht der Gruppe SU (2). Man bekommt somit eine SU (2)-Eichtheorie. Die Probleme in der physikalischen Interpretation der mathematischen Ergebnisse dieses Ansatzes wurden u ¨ber einen Zeitraum von mehr als 25 Jahren nach und nach beseitigt und das Konzept der Eichtheorie wurde in dieser Zeit zu einem fundamentalen Hilfsmittel in der mathematischen Beschreibung physikalischer Theorien (schwache Wechselwirkung, starke Wechselwirkung, Gravitation, Unified Theories). Mit der Entwicklung der Eichtheorien und ihrer physikalischen und mathematischen Aspekte besch¨ aftigen sich z.B. folgende B¨ ucher und Artikel: [Mo], [BL] oder [Bo]. Die mathematische Beschreibung der Eichtheorien liefert den Begriff des Faserb¨ undels und dabei speziell den des Prinzipalb¨ undels. Die Theorie der Zusammenh¨ange entwickelt, wie hier im ersten Teil beschrieben, seine ganze Eleganz (vgl. [KN], [SW], [GS]) Mit der Idee von Yang und Mills besch¨aftigt sich dann der zweite Teil dieser Arbeit. Es wird ein Ansatz ausgearbeitet, der selbstduale Zusammenh¨ange einer SU (2)Eichtheorie u ¨ber der vierdimensionalen Sph¨are S 4 liefert, die so genannten Instantons. Auf die Notwendigkeit einer euklidischen statt einer Lorentz-Mannigfaltigkeit soll hier nicht n¨ aher eingegangen werden. Sie hat ihre Begr¨ undung in Resultaten aus der Quantenfeldtheorie. Seit Anfang der siebziger Jahre ist das Interesse an konkreten Instanton- (oder Pseudoteilchen-) L¨ osungen der Yang-Mills-Gleichung immer weiter gestiegen. So erschienen viele Konstruktionsans¨atze (z.B. [CWS], [DM], [BCW], [JR] oder [tHo]) und auch das Interesse an der Struktur der Menge der L¨osungen (modulo Eichtransformationen) wuchs (vgl. [AHS], [At], [GP] oder [Si]). Dieser Raum spielt auch eine Rolle bei der Untersuchung differenzierbarer Strukturen auf vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten (vgl. [FU], [Do]). Vor allem S. K. Donaldson lieferte durch mehrere Arbeiten in den Achtzigerjahren einen großen Beitrag zur L¨osung bis dahin ¨ ungel¨ oster Probleme in diesem Bereich. Eine Ubersicht u ¨ber die Ergebnisse liefert [Do]. Das erste Kapitel der vorliegenden Arbeit gliedert sich in drei Abschnitte, in denen die drei Konzepte des Zusammenhangs auf Mannigfaltigkeiten, auf Vektorb¨ undeln und auf Prinzipalb¨ undeln erl¨ autert werden. Dabei wird besonderen Wert auf die ¨ lokale Darstellung der Zusammenh¨ange gelegt, da durch sie die Ahnlichkeit der verschieden Konzepte augenscheinlich wird. Dar¨ uberhinaus werden Beispiele von Zusammenh¨ angen aufgef¨ uhrt, von denen mehrere im sp¨ateren Text weitere Verwendung finden. Nachdem man im ersten Kapitel schon gesehen hat, dass der Zusammenhang auf

Einleitung

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der Mannigfaltigkeit nur ein Spezialfall des Zusammenhangs auf Vektorb¨ undeln ist, ¨ ist das zweite Kapitel der Aquivalenz der letzten beiden Konzepte gewidmet. Dazu wird im ersten Abschnitt die Definition und Konstruktionen assoziierter B¨ undel anund durchgef¨ uhrt. Als Beispiel folgt die konkrete Berechnung des Rep`ereb¨ undels als zum Tangentialb¨ undel assoziiertes Prinzipalb¨ undel. Zus¨atzlich liefert der Begriff des assoziierten B¨ undels die M¨oglichkeit die Menge der Zusammenh¨ange elegant zu beschreiben. Anschließend an diese Definitionen, folgt dann der Beweis der ¨ Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe. Das dritte Kapitel ist als Vorbereitung f¨ ur das vierte zu sehen. Es werden hier in den ersten drei Abschnitten die Kr¨ ummung eines Zusammenhangs, der Begriff der Eichtransformation und der Hodge-Operator auf Mannigfaltigkeiten mit metrischer Struktur eingehend erl¨ autert. Dabei wird neben der koordinatenfreien Beschreibung der Objekte, sei es als Schnitte in gewissen B¨ undeln oder als B¨ undelmorphismen, auch die lokale Beschreibung in den Vordergrund gestellt, da sie die Grundlage der konkreten Berechnungen im vierten Kapitel ist. Die Yang-Mills-Gleichung ist das Thema des letzten Abschnitts dieses Kapitels. Mit Hilfe der vorher entwickelten Begriffe, liefert diese Gleichung als L¨osungsmenge eine Teilmenge der Zusammenh¨ange eines SU (2)-Prinzipalb¨ undels u ¨ber der Sph¨are S 4 . Das vierte Kapitel besch¨ aftigt sich mit der expliziten L¨osung der Yang-Mills-Gleichung. Der erste Abschnitt beschreibt den Modulraum mit Hilfe eines Satzes von Atiyah, Hitchin und Singer, der auf den hier behandelten Spezialfall angewendet wird. Im zweiten Abschnitt wird ein Ansatz von Atiyah, Hitchin, Drinfield und Manin benutzt, um die Menge der Instantons zu parametrisieren, der so genannte ADHM-Ansatz. Das heißt, es wird eine explizite Berechnungsmethode f¨ ur die L¨osungen der Yang-Mills-Gleichung zur Verf¨ ugung gestellt. Wie anschließend gezeigt wird, ergeben sich im Fall der 1-Instantons genau die L¨osungen von G. t´Hooft. Zum Abschluss folgt dann noch ein kleiner Ausblick. Der Anhang dient der Erl¨ auterung einiger grundlegender Begriffe aus der Differentialgeometrie und der Topologie, die im vorliegenden Text ben¨otigt werden. Ihre Beschreibung im Text w¨ urde zum Verst¨andnis der dort behandelten Sachverhalte nicht beitragen, und somit den Lesefluss beeintr¨achtigen. Da der Anhang somit eher den Charakter einer Fussnote hat, wird hier auf Beweise und auf Vollst¨andigkeit zugunsten von Literaturhinweisen verzichtet. Es folgen noch einige Konventionen, von denen im Text Gebrauch gemacht wird. Die im Text behandelten Mannigfaltigkeiten und B¨ undel verstehen sich allesamt ∞ ∞ als C -Mannigfaltigkeiten und C -B¨ undel. Ebenfalls als beliebig oft differenzierbar zu verstehen sind Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten, B¨ undelmorphismen und Schnitte in B¨ undeln wie z.B. Vektorfelder, Tensorfelder sowie k-Formen. Abweichungen von dieser Regel, sofern sie auftreten, werden ausdr¨ ucklich erw¨ahnt. Durchgehend im Text gilt die so genannte Einsteinsche Summenkonvention. Das bedeutet, dass in einem Produkt indizierter Gr¨oßen u ¨ber den gesamten Indexbere-

Einleitung

4

ich summiert wird, falls ein Index doppelt und der nicht auf X vorkommt XIndex ij ij ij ij kl der gleichen Stufe steht. Z.B. ai b = ai b , Rkl gim g = Rkl gim g kl oder i

x = xi σi =

X

ikl

xi σi , aber die Summierung entf¨allt bei xi xi . Abweichungen, wie

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etwa die Einschr¨ ankung des Indexbereiches oder die Summation u ¨ber einen Index der gleichen Stufe, werden durch das Summenzeichen gekennzeichnet.

Chapter 1

Der Begriff des Zusammenhangs in der Differentialgeometrie Der Begriff des Zusammenhangs, beziehungsweise der kovarianten Ableitung, tritt in der Differentialgeometrie an verschiedenen Stellen auf. Zum Beispiel st¨oßt man bei der Untersuchung der inneren Struktur von Fl¨achen im dreidimensionalen euklidischen Raum bei der Berechnung der Ableitungsgleichungen von Gauss und Weingarten auf die so genannten Christoffelsymbole. Diese entpuppen sich bei n¨aherer Betrachtung als Koeffizienten des (eindeutigen) Levi-Civita-Zusammenhangs auf der betrachteten Fl¨ ache. In der Elementarteilchenphysik liefert die Untersuchung der inneren Geometrie der Teilchen den Begriff des Eichfeldes. Eine mathematische Untersuchung zeigt, dass es sich bei den Eichfeldern um die lokalen Darstellungen von Zusammenh¨ angen in Prinzipalb¨ undeln handelt. Im Folgenden wird gekl¨ art, was man unter einem Zusammenhang auf einer Mannigfaltigkeit M , beziehungsweise einem Zusammenhang auf einem Vektorb¨ undel E (M, π, V, G) versteht, und was ein Zusammenhang auf einem Prinzipalb¨ undel P (M, π, G) ist. Es werden wichtige Eigenschaften beschrieben und Beispiele bearbeitet. Bei den Eigenschaften werden insbesondere die lokalen Darstellungen und ihre Transformationsverhalten eine wichtige Rolle spielen.

1.1 1.1.1

Zusammenh¨ ange auf Mannigfaltigkeiten Definition und Eigenschaften

Im euklidischen Raum Rn stehen nat¨ urliche Begriffe zum Vergleich verschiedener Vektoren zur Verf¨ ugung: so etwa die L¨ange eines Vektors, oder die Parallelverschiebung zur Kl¨ arung der gegenseitigen Lage. Auf einer beliebigen Mannigfaltigkeit M hat man in jedem Punkt x ∈ M einen Vektorraum Tx M , den Tangentialraum, 5

Der Begriff des Zusammenhangs

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und es gibt auf M eine Riemannsche Metrik, so dass Tx M ein euklidischer Raum wird (vgl. [GHL]). Diese Metrik liefert einen nat¨ urlichen Begriff der L¨ange von Vektoren und auch der Begriff der Parallelit¨at innerhalb eines Tangentialraumes ist gekl¨ art. Um Vektoren verschiedener Tangentialr¨aume vergleichen zu k¨onnen, gibt es das Prinzip des Paralleltransports (l¨angs eines Weges zwischen zwei Punkten in M ). Grundlage hierf¨ ur ist eine zus¨atzliche Struktur auf M , die durch einen Zusammenhang auf M vermittelt wird. Definition 1.1. Ein Zusammenhang auf einer Mannigfaltigkeit M ist eine Abbildung D von der Menge der Vektorfelder auf M in die Menge der (1, 1)-Tensoren auf M D : Γ (T M ) −→ Γ (T ∗ M ⊗ T M ) mit (i) D (X + Y ) = DX + DY (ii) D (f · X) = df ⊗ X + f · DX f¨ ur Funktionen f und Vektorfelder X und Y . DY X = DX (Y ) nennt man die kovariante Ableitung von X in Richtung Y . Der Operator D ist ein lokaler Operator in dem Sinne, dass wenn X oder Y auf einer offenen Menge U ⊂ M verschwinden, dort auch DY X verschwindet. Zum Beweis verschwinde zun¨ achst X auf U und x sei ein Punkt aus U Dann gibt es eine abgeschlossene Umgebung V von x mit V ⊂ U und eine Funktion f , so ˜ = f X = 0 auf dass f = 1 auf V und f = 0 ausserhalb von U ist. Damit ist X ˜ = D(0X) ˜ = 0 und wieder wegen (ii) 0 = M . Wegen der Eigenschaft (ii) ist DX (DY (f X))x = df (Y )(x)Xx + f (x)(DY X)x und es folgt DY X = 0 auf U , da x ein beliebiger Punkt aus U war. Nun verschwinde Y auf U , und man setzt mit den vorigen Bezeichnungen Y˜ = f Y = 0 auf M . Das liefert das Verschwinden von DY˜ X und mit der Gleichung 0 = (Df Y (X))x = f (x)(DY X)x das Verschwinden von DY X auf U . Der Operator D l¨ aßt sich nun auf offene Teilmengen U von M einschr¨anken, also D : Γ(T U ) → Γ(T ∗ U ⊗ T U ). Dazu definiert man die kovariante Ableitung f¨ ur zwei Vektorfelder X und Y auf U ˜ und Y˜ f¨ ˜ x . Wegen u ¨ber zwei Erweiterungen X ur x ∈ U durch (DY X)x = (DY˜ X) der Lokalit¨ atseigenschaft, h¨ angt das nicht von der gew¨ahlten Erweiterung ab. Diese Einschr¨ ankung liefert dann auf einer Koordinatenumgebung U mit den Koor∂ dinaten (x1 , ..., xn ) f¨ ur den Zusammenhang in der lokalen Rahmung {ei = ∂x i } des

Der Begriff des Zusammenhangs

7

Tangentialb¨ undels die Darstellung Dei ej = Γkij ek . Die so definierten Koeffizienten Γkij nennt man Christoffelsymbole. Sie sind die Koeffizienten der lokalen Zusammenhangsformen Akj = Γkij dxi auf U . Insbesondere gilt f¨ ur ein Vektorfeld X = X k ek auf U :   DX = D X k ek = dX k ⊗ ek + X k Dek   = dX k ⊗ ek + X k Γjik dxi ⊗ ej = dX k + X j Γkij dxi ⊗ ek   = dX k + X j Akj ⊗ ek oder mit der abk¨ urzenden Matrixschreibweise X = X 1 , ..., X n   A = Aji DX = dX + A · X.


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und

Mit Hilfe des Zusammenhangs kann man den Begriff der Parallelverschiebung von Vektoren aus dem Rn (der durch die Standardableitung D einen kanonischen Zusammenhang erh¨ alt) auf M u ¨bertragen. Ein Vektorfeld Y auf dem Rn (also eine Abn bildung vom R in den Rn ) besteht aus parallelen Vektoren, d.h. ist parallel, wenn es konstant ist. Das ist gleichbedeutend damit, dass die Ableitung des Vektorfeldes l¨angs jeden Weges γ verschwindet, DY (γ 0 ) = 0. Analog definiert man Definition 1.2. Ein Vektorfeld Y auf M heißt parallel l¨ angs des Weges γ : I → M , wenn f¨ ur alle t ∈ I gilt: Dγ 0 Y = 0. In lokalen Koordinaten mit Y k (t) = Y k ◦ γ(t) ist das gleichbedeutend mit (Y k )0 (t) = −Akj (γ 0 (t))Y j (t). Insbesondere gibt es zu jedem Weg γ und zu jedem t0 ∈ I und v ∈ Tγ(t0 ) M genau ein paralleles Vektorfeld Y l¨ angs γ mit Y (t0 ) = v (vgl. [Wa]). Im Rn mit der Standardableitung sind das gerade die konstanten Vektorfelder. Unter der Parallelverschiebung eines Vektors v ∈ Tx M l¨angs eines Weges γ von x = γ(t0 ) nach y = γ(t) versteht man den Wert des parallelen Vektorfeldes zu v und t0 zum Zeitpunkt t. Dabei stimmen im Allgemeinen Parallelverschiebungen l¨angs verschiedener Wege nicht u ¨berein. Insbesondere erh¨alt man auf geschlossenen Wegen nicht notwendigerweise den Ausgangsvektor zur¨ uck. Dies f¨ uhrt dann zum Begriff der Holonomie (vgl [Na]).

Der Begriff des Zusammenhangs

8

Bemerkung 1.3. Der Zusammenhang D l¨ aßt sich eindeutig zu einer Abbildung auf der Menge der Tensorfelder auf M D : Γ(T (M )) → Γ(T (M )) erweitern, wenn man folgende Eigenschaften fordert: 1. F¨ ur ein Tensorfeld K und ein Vektorfeld X ist DX K vom gleichen Typ wie K. 2. F¨ ur Funktionen f auf M ist Df = df . 3. F¨ ur zwei Tensorfelder K und L gilt D (K ⊗ L) = DK ⊗ L + K ⊗ DL. 4. D vertauscht mit allen Kontraktionen. Beweis. Existenz: Sei ω ein (0, 1)-Tensor und X ein Vektorfeld auf M . Dann gilt f¨ ur ein beliebiges Vektorfeld Y auf M mit der Kontraktion K(ω ⊗ X) = ω(X): 2.

d(ω(X))(Y ) = DY (ω(X)) = DY (K(ω ⊗ X)) 4.

= K(DY (ω ⊗ X)) 3.

= K((DY ω) ⊗ X + ω ⊗ DY X) = (DY ω)(X) + ω(DY X) Also liefert das die Wirkung des Zusammenhangs auf (0,1)-Tensoren zu DY ω(X) = d(ω(X))(Y ) − ω(DY X). Wegen der Eigenschaft 3. hat man damit die Wirkung auf beliebige Tensoren. Eindeutigkeit: Dazu ben¨ otigt man die folgenden kleinen Aussagen. (i) Die obige Abbildung D mit den Eigenschaften 1. - 4. hat die Lokalit¨atseigenschaft, d.h.: Ist U ⊂ M offen und ist K ≡ 0 auf U , so ist DY K ≡ 0 f¨ ur jedes Vektorfeld Y auf U . Insbesondere folgt dann aus K ≡ L auf U dort auch sofort DK ≡ DL. Diese Ausage ist analog zur Bemerkung nach Definition 1.1 und zum Beweis ersetzt man nur X durch K. (ii) Zwei Abbildungen D, D0 mit den obigen Eigenschaften stimmen auf Γ(T (M )) u ¨berein, wenn sie auf allen Funktionen und allen Vektorfeldern u ¨bereinstimmen. Wegen (i) ist dies eine lokale Aussage und man kann sich auf eine Koordinatenumgebung zur¨ uckziehen. Wegen der Eigenschaft 3. muß man nur zeigen, dass D auf den (0, 1)-Tensoren verschwindet, wenn D dies auf den Vektorfeldern und auf den Funktionen tut. Wegen der Wirkung von D auf den (0, 1)-Tensoren gem¨aß des Existenzbeweises, folgt dies aber sofort. 

Der Begriff des Zusammenhangs

1.1.2

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Der Levi-Civita-Zusammenhang

Als Beispiel eines Zusammenhangs auf einer Mannigfaltigkeit, M , betrachte man im Folgenden den Fall einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik g. Auf M gibt es einen ausgezeichneten Zusammenhang, den Levi-Civita-Zusammenhang, der mit der Metrik in der folgenden Weise vertr¨aglich ist. Satz 1.4. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es auf M einen eindeutig definierten Zusammenhang D, den Levi-Civita-Zusammen- hang, so dass f¨ ur alle Vektorfelder X, Y und Z auf M gilt: 1. d(g(X, Y ))(Z) = g(DZ X, Y ) + g(X, DZ Y ) 2. DX Y − DY X = [X, Y ] Beweis. Wegen 1. gilt d(g(X, Y ))(Z) = g(DZ X, Y ) + g(X, DZ Y ), d(g(X, Z))(Y ) = g(DY X, Z) + g(X, DY Z) und d(g(Z, Y ))(X) = g(DX Z, Y ) + g(Z, DX Y ). Addiert man die ersten zwei Gleichungen, und subtrahiert die dritte, so ergibt sich nach Umsortierung und Anwenden von 2. 2g(DY Z, X) = d(g(X, Y ))(Z) + d(g(X, Z))(Y ) − d(g(Z, Y ))(X) − g(Y, [Z, X]) − g(Z, [Y, X]) − g(X, [Z, Y ]). Wegen des durch g vermittelten Isomorphismus zwischen T ∗ M und T M wird DY Z eindeutig durch diese Darstellung definiert, und man rechnet leicht nach, dass D die Eigenschaften eines Zusammenhangs und nat¨ urlich die Eigenschaften des LeviCivita-Zusammenhangs erf¨ ullt.  Mit der obigen Bemerkung und der Einf¨ uhrung des Torsionstensors T (X, Y ) = DX Y − DY X − [X, Y ] schreiben sich die Bedingungen als 1. Dg = 0

und

2. T = 0.

In lokalen Koordinaten lauten sie 1.

∂gij = Γlki glj + gil Γlkj ∂xk

und

2. Γkij = Γkji ,

wobei gij = g(ei , ej ) = gji ist. Damit ergeben sich die Christoffelsymbole des LeviCivita-Zusammenhangs zu   ∂gij 1 ∂gkj ∂gik l + − . gkl Γij = 2 ∂xi ∂xj ∂xk

Der Begriff des Zusammenhangs

10

Wie oben erw¨ ahnt, spielt der Levi-Civita-Zusammenhang eine große Rolle in der klassischen Untersuchung der inneren Struktur der Fl¨achen im R3 . Das f¨ uhrt zu der bekannten Tatsache, dass die Eigenschaft einer Fl¨ache gekr¨ ummt zu sein, ganz durch die Metrik auf der Fl¨ ache, also durch L¨angenmessung, bestimmt wird. Das spiegelt sich darin wider, dass die Christoffelsymbole, als Maß f¨ ur die Abweichung der Tangentialr¨ aume vom ”Parallelsein”, durch die Koeffizienten der Metrik bestimmt sind. Bemerkung. Handelt es sich bei M um eine Riemannsche Untermannigfaltigkeit von N mit Levi-Civita-Zusammenhang DN , so ist der entsprechende Levi-CivitaZusammenhang auf M durch DM = P ◦ DN gegeben. Dabei ist P die Orthogonalprojektion von T N auf T M . Ist M speziell eine Hyperfl¨ache, so ist N der euklidische Raum, DN die gew¨ ohnliche Ableitung und P die gew¨ohnliche Projektion (vgl. [GHL]).

1.2 1.2.1

Zusammenh¨ ange auf Vektorb¨ undeln Die invariante Definition

Die Definition des Paralleltransports im Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit, gesehen als Vektorb¨ undel T M (M, π, Rn , GLn R), l¨aßt sich direkt auf beliebige Vektorb¨ undel E(M, π, V, G) verallgemeinern. Dazu ben¨otigt man wie oben den Begriff des Zusammenhangs oder der kovarianten Ableitung. Die Grundlage wird im Folgenden ein Vektorb¨ undel mit Strukturgruppe G ⊂ GLn R sein, die auf den Vektorraum V per Multiplikation von links operiert (Eine Verallgemeinerung auf andere Gruppen und andere Operationen wird sich in Kapitel 2 automatisch ergeben). Mit Γ(E) werden die Schnitte in E bezeichnet, das sind die Abbildungen s : M → E mit der Eigenschaft
π ◦ s = id. Γ(T M ) ist wie oben die Menge der Vektorfelder auf M und Γ Λ1 T ∗ M = Γ (T ∗ M ) ist die Menge der 1-Formen auf M . Definition 1.5. Ein Zusammenhang auf einem Vektorb¨ undel E(M, π, V, G) ist eine Abbildung D : Γ(E) → Γ(T ∗ M ⊗ E), so dass f¨ ur alle Schnitte t und s in E und f¨ ur alle Funktionen f auf M folgendes erf¨ ullt ist: (i) D(s + t) = Ds + Dt (ii) D(f · s) = df ⊗ s + f · Ds DX s ≡ Ds(X) heißt die kovariante Ableitung von s in Richtung X. Aus der Definition folgt sofort, dass f¨ ur alle Funktionen f , Vektorfelder X, Y und Schnitte s die kovariante Ableitung die Eigenschaft D(f ·X+Y ) s = f · DX s + DY s hat.

Der Begriff des Zusammenhangs

11

V¨ollig analog zum Fall des Tangentialb¨ undels kann man den Paralleltransport von Vektoren erkl¨ aren, um damit die Verbindung zweier Fasern im Vektorb¨ undel zu beschreiben. Beispiel. Im trivialen B¨ undel M × Rn hat ein Schnitt die einfache Gestalt s(x) = (s1 (x), ..., sn (x)) mit Funktionen si : M → R. 1. Ein Zusammenhang D auf E kann man definieren durch Ds mit (Ds)i = dsi . Dieser Zusammenhang heißt flacher Zusammenhang auf E. 2. Einen anderen Zusammenhang D0 auf M × Rn kann mit Hilfe einer (n × n)
Matrix A, deren Eintr¨ age 1-Formen auf M sind, das heißt Aji ∈ Γ Λ1 T ∗ M , definieren. Dazu setzt man f¨ ur i = 1, ..., n
D0 s i = dsi + Aji sj oder kurz D0 s = ds + A · s. A heißt dann die Zusammenhangsmatrix zum Zusammenhang D0 . Bemerkung 1.6. Mit Hilfe der Konstruktion aus Beispiel 2. bekommt man alle Zusammenh¨ ange auf dem trivialen B¨ undel. Beweis. Zu zeigen ist, dass mit einem Zusammenhang D auf E der Operator D −d die Form D − d = A hat, mit einer Matrix A deren Eintr¨age 1-Formen auf M sind. Das heißt, der Operator DX − dX ist f¨ ur jedes Vektorfeld X ein linearer Operator A(X). Daf¨ ur reicht es zu zeigen, dass f¨ ur Schnitte s und t und f¨ ur Funktionen f die folgende Relation erf¨ ullt ist: (DX − dX ) (f · s + t) = f · (DX − dX ) s + (DX − dX ) t. Das folgt allerdings sofort aus den Eigenschaften (i) und (ii) f¨ ur die Zusammenh¨ange D und d.  Man sieht an dieser Bemerkung, dass die Menge A aller Zusammenh¨ange auf dem trivialen B¨ undel ein affiner Raum ist. W¨ahlt man einen Nullpunkt, etwa d, so ist A ' {1-Formen auf M mit Werten in Mn R}.

1.2.2

Die lokale Darstellung des Zusammenhangs

Das Beispiel 2 zeigt, dass die matrixwertigen 1-Formen bei der Beschreibung der Zusammenh¨ ange auf einem Vektorb¨ undel E eine wichtige Rolle spielen. Deutlich

Der Begriff des Zusammenhangs

12

wird das bei der Betrachtung des lokalen Verhaltens des Zusammenhangs, insbesondere bei einem Wechsel der B¨ undelkarte. ¨ Ist {Uα } eine Uberdeckung von M mit B¨ undelkarten (Uα , ϕα ) von E, das heißt, die ϕα sind fasertreue Diffeomorphismen von π −1 (Uα ) ⊂ E auf Uα × Rn , bzw. f¨ ur x ∈ Uα lineare Isomorphismen ϕα : π −1 (x) → Rn , so kann man jedem Schnitt s in E den lokalen Schnitt sα : Uα → Rn

mit sα (x) = ϕα ◦ s(x)

zuordnen. Ist D ein Zusammenhang auf E, so hat die Einschr¨ankung von D auf das triviale B¨ undel E|Uα wegen der Bemerkung 1.6 die Gestalt (Ds)α = dsα + Aα · sα

mit einer Matrix Aα ∈ Mn Γ Λ1 T ∗ Uα . Diese Matrix heißt lokale Zusammenhangsmatrix des Zusammenhangs D. ¨ Beim Ubergang zu einer anderen Karte (Uβ , ϕβ ) wird die lokale Zusammenhangs¨ matrix im Allgemeinen auch eine andere sein. Schreibt man die Ubergangsfunktion zwischen den Karten als gαβ : Uα ∩Uβ → G, so gilt (Ds)α = gαβ ·(Ds)β und deshalb (Ds)α = gαβ (dsβ + Aβ sβ ) = gαβ d(gβα sα ) + gαβ Aβ gβα · sα = gαβ gβα dsα + (gαβ dgβα + gαβ Aβ gβα )sα −1 −1 = dsα + (gαβ dgαβ + gαβ Aβ gαβ )sα .

Das heißt, es gilt der folgende Satz 1.7. Die lokalen Zusammenhangsmatrizen Aα eines Zusammenhangs D auf ¨ einem Vektorb¨ undel E gen¨ ugen bei einem Kartenwechsel mit der Ubergangsfunktion gαβ : Uα ∩ Uβ → G der Transformationsformel −1 −1 Aα = gαβ dgαβ + gαβ Aβ gαβ .

Umgekehrt ist ein Zusammenhang auf E durch seine lokale Darstellung schon bestimmt. Satz 1.8. Zum Vektorb¨ undel E gebe es zum Atlas {(Uα , ϕα )} eine Familie von matrixwertigen 1-Formen

 , Aα ∈ Mn Γ Λ1 T ∗ Uα die bei einem Kartenwechsel das Transformationsverhalten aus Satz 1.7 haben. Dann gibt es genau einen Zusammenhang auf E, der die Aα als lokale Zusammenhangsmatrizen hat.

Der Begriff des Zusammenhangs

13

Beweis. Man definiert D u ¨ber seine lokale Darstellung. Man setzt also (Ds)α = dsα + Aα sα f¨ ur einen Schnitt s in E in der Karte Uα . Damit ist DX s f¨ ur X ∈ Γ(T M ) ein Schnitt in E, denn es liegt das ben¨otigte Transformationsverhalten (Ds)α = gαβ · (Ds)β vor (dazu verfolgt man die obige Rechnung zur¨ uck). Außerdem gilt (D(f s + t))α = d(f s + t)α + Aα (f s + t)α = d((f s)α + tα ) + Aα ((f s)α + tα ) = d(fα sα ) + fα Aα sα + (Dt)α = dfα ⊗ sα + fα (dsα + Aα sα ) + (Dt)α = (df )α ⊗ sα + fα (Ds)α + (Dt)α = (df ⊗ s)α + (f Ds)α + (Dt)α = (df ⊗ s + f Ds + Dt)α , so dass die Bedingungen (i) und (ii) f¨ ur einen Zusammenhang auch erf¨ ullt sind. Dabei sind f¨ ur Formen und Funktionen auf M die indizierten Gr¨oßen einfach die Einschr¨ ankungen auf die jeweilige Karte. Die Eindeutigkeit folgt sofort aus der Tatsache, dass die Differenz zweier Zusammenh¨ ange mit denselben Zusammenhangsmatrizen u ¨berall verschwindet. 

Mit den Abk¨ urzungen Ωk = Γ Λk T ∗ M und Ωk (E) = Γ Λk T ∗ M ⊗ E - f¨ ur k = 0 sind das gerade die Schnitte in E - ist ein Zusammenhang auf E per Definition eine Abbildung von Ω0 (E) nach Ω1 (E). Diese Abbildung l¨aßt sich auf nat¨ urliche Weise erweitern. Bemerkung 1.9. Ein Zusammenhang D auf E l¨ aßt sich f¨ ur alle k ∈ zu einer Abbildung D : Ωk (E) → Ωk+1 (E)

N eindeutig

erweitern, wenn man f¨ ur alle ϑ ∈ Ωk und s ∈ Γ (E) die folgende Produktregel fordert: D (s ⊗ ϑ) = s ⊗ dϑ + Ds ∧ ϑ. Auf einen Beweis dieser Bemerkung wird an dieser Stelle verzichtet, da sich diese Erweiterung in einem sp¨ ateren Kontext nicht als eine solche erweist, sondern der Zusammenhang auf dem Vektorb¨ undel, also k = 0, dann eher als Spezialfall zu sehen ist (vgl. Kapitel 2). Es wird sich zeigen, dass diese Erweiterung bei der Einf¨ uhrung der Kr¨ ummung eine wichtige Rolle spielt.

1.2.3

Konstruktion von Zusammenh¨ angen

Aus Vektorb¨ undeln E(M, π, V, G) und F (M, π 0 , W, G0 ), mit G ⊂ GLn R und G0 ⊂ GLm R, kann man durch naheliegende Operationen neue Vektorb¨ undel konstruieren

Der Begriff des Zusammenhangs

14

(vgl. Anhang). Auf diesen kann man dann mit Hilfe von Satz 1.8 und mit Hilfe der Zusammenh¨ ange D auf E bzw. D0 auf F neue Zusammenh¨ange definieren. Dazu bezeichnen im Folgenden {(Uα , ϕα )} bzw. {(Uα , ψα )} Atlanten und gαβ bzw. hαβ ¨ die Ubergangsfunktionen sowie Aα bzw. A0α die lokalen Zusammenhangsmatrizen von E bzw. F . 1. Ein Zusammenhang auf dem zu E dualen B¨ undel E ∗ . Behauptung. Durch die Matrizen ∗

T

Aα = −Aα wird auf E ∗ ein Zusammenhang D∗ definiert. Beweis. Das B¨ undel E ∗ hat gem¨aß der Ausf¨ uhrungen im Anhang die ∗ −1> ¨ g αβ = gαβ . Man hat also zu zeigen, dass f¨ Ubergangsfunktionen ur die Ma∗

trizen Aα das geforderte Transformationsverhalten haben. Es gilt: ∗

−1 −1 > −1> > −1> > > > Aα = −Aα = −(gαβ dgαβ + gαβ Aβ gαβ ) = −(dgαβ )gαβ − gαβ Aβ gαβ ∗

∗ −1

∗

∗

∗ −1

∗

∗ −1

∗

∗

∗ −1

= −(d g αβ ) g αβ + g αβ Aβ g αβ = g αβ d g αβ + g αβ Aβ g αβ . Die letzte Gleichung folgt aus der Identit¨at −1 −1 −1 . + gαβ dgαβ ) = (dgαβ )gαβ 0 = d (id) = d(gαβ gαβ

Das beweist, dass die Matrizen einen Zusammenhang auf E ∗ definieren.



2. Ein Zusammenhang auf der Summe E ⊕ F zweier Vektorb¨ undel. Behauptung. Durch die Matrizen   Aα 0 ˆ Aα = 0 A0α wird auf E ⊕ F ein Zusammenhang D⊕ definiert. ¨ Beweis. Das B¨ undel  E ⊕ F hat  die Ubergangsfunktionen gˆαβ : Uα ∩ Uβ → g 0 GLn+m R mit gˆαβ = αβ . Damit bleibt wieder das gew¨ unschte Trans0 hαβ formationsverhalten der Zusammenhangsmatrizen zu zeigen. Das ist aber klar, −1 −1 denn die Gleichung Aˆα = gˆαβ dˆ gαβ + gˆαβ Aˆβ gˆαβ hat komponentenweise die Gestalt !   −1 −1 gαβ dgαβ + gαβ Aβ gαβ 0 Aα 0 = , 0 −1 0 A0α 0 hαβ dh−1 αβ + hαβ Aβ hαβ und das sind gerade die Transformationen in E bzw. F .



Der Begriff des Zusammenhangs

15

3. Ein Zusammenhang auf dem durch f : N → M zur¨ uckgeholten B¨ undel f ∗ E u ¨ber der Mannigfaltigkeit N . Behauptung. Durch die Matrizen A˜α = f ∗ Aα gebildet aus den komponentenweise zur¨ uckgeholten Differentialformen, wird ∗ ∗ auf f E ein Zusammenhang f D definiert. ¨ Beweis. Im B¨ undel f ∗ E haben die Ubergangsfunktionen die Gestalt ∗ g˜αβ = f gαβ = gαβ ◦ f . Deshalb gilt: −1 −1 A˜α = f ∗ Aα = f ∗ (gαβ dgαβ + gαβ Aβ gαβ ) −1 −1 ◦ f) = (gαβ ◦ f )d(gαβ ◦ f ) + (gαβ ◦ f )f ∗ Aβ (gαβ = g˜αβ d˜ g −1 + g˜αβ A˜β g˜−1 . αβ

αβ

Dies ist das gem¨ aß Satz 1.8 geforderte Transformationsverhalten zur Definition eines Zusammenhangs.  4. Ein Zusammenhang auf einem zu E isomorphen B¨ undel E 0 Behauptung. Durch die Matrizen A0α = Aα ◦ Φ−1 ist auf E 0 ein Zusammenhang gegeben (dabei ist Φ die unten angegebene Abbildung). Beweis. Zu den B¨ undeln E(M, π, V ) bzw. E 0 (M 0 , π 0 , V ) induziert der B¨ undelisomorphismus f einen Diffeomorphismus Φ zwischen M und M 0 und lineare Isomorphismen fx zwischen den Fasern π −1 (x) und π 0−1 (Φ(x)). Zu den Karten ¨ (Uα , ϕα ) und den Ubergangsfunktionen gαβ von E, konstruiert man Karten 0 0 ¨ (Uα , ϕa ) und Ubergangsfunktionen hαβ mit Uα0 = Φ(Uα ), ϕ0α,x = ϕα,Φ−1 (y) und ˙ hαβ (y) = gαβ (Φ−1 (y )). Dann folgt das ben¨otigte Transformationsverhalten einfach durch Ersetzen der entsprechenden Gr¨oßen. Ist speziell M = M 0 , und Φ = id, so sind die Matrizen identisch.  5. Ein Zusammenhang auf dem Tensorb¨ undel E ⊗ F der B¨ undel E und F . Behauptung. Durch die Produktregel D⊗ (s ⊗ t) = Ds ⊗ t + s ⊗ D0 t wird ein Zusammenhang auf E ⊗ F definiert, der die lokale Darstellung (D⊗ r)α = drα + A⊗ α rα

Der Begriff des Zusammenhangs

16

0 f¨ ur r ∈ Γ(E ⊗ F ) mit A⊗ α = Aα ⊗ 1 + 1 ⊗ Aα besitzt. ¨ Beweis. Die Ubergangsfunktionen im Tensorb¨ undel haben die Gestalt

kαβ (x) = gαβ (x) ⊗ hαβ (x) ∈ G ⊗ G0 . Die lokale Darstellung von D⊗ ergibt sich zu (D⊗ (s ⊗ t))α = (Ds)α ⊗ tα + sα ⊗ (D0 t)α = dsα ⊗ tα + sα ⊗ dtα + Aα sα ⊗ tα + sα ⊗ A0α tα = d(s ⊗ t)α + (Aα ⊗ 1 + 1 ⊗ A0α )(s ⊗ t)α und entspricht somit der Behauptung. Außerdem gilt 0 A⊗ α = Aα ⊗ 1 + 1 ⊗ Aα −1 −1 0 −1 ) ⊗ 1 + 1 ⊗ (hαβ dh−1 + gαβ Aβ gαβ = (gαβ dgαβ αβ + hαβ Aβ hαβ ) −1 −1 0 −1 = gαβ dgαβ ⊗ 1 + 1 ⊗ hαβ dh−1 αβ + gαβ Aβ gαβ ⊗ 1 + 1 ⊗ hαβ Aβ hαβ −1 −1 −1 −1 −1 ⊗ hαβ h−1 = gαβ dgαβ αβ + gαβ gαβ ⊗ hαβ dhαβ + gαβ Aβ gαβ ⊗ hαβ hαβ −1 + gαβ gαβ ⊗ hαβ A0β h−1 αβ −1 −1 −1 = (gαβ ⊗ hαβ )(dgαβ ⊗ h−1 αβ + gαβ ⊗ dhαβ ) −1 −1 0 −1 ⊗ h−1 + (gαβ ⊗ hαβ )(Aβ gαβ αβ + gαβ ⊗ Aβ hαβ ) −1 −1 −1 0 = kαβ d(gαβ ⊗ h−1 αβ ) + kαβ (Aβ ⊗ 1 + 1 ⊗ Aβ )(gαβ ⊗ hαβ ) −1 −1 + kαβ A⊗ = kαβ dkαβ β kαβ .

Also erf¨ ullen die Matrizen A⊗ α die notwendige Transformationsregel.



Die Konstruktion der obigen Zusammenh¨ange, und die Wirkung der lokalen Zusammenhangsmatrizen Aα auf die Schnitte in den aus E konstruierten B¨ undeln, wird durch die Einbeziehung einer linearen Darstellung ρ der Liegruppe G und der zugeh¨origen adjungierten Darstellung ρ∗ der Liealgebra g, sowie des Begriffs des assoziierten B¨ undels in Kapitel 2, weiter vertieft. Wie im Anhang beschrieben, liefert ∗ zum Beispiel die Darstellung ρ von G auf dem Vektorraum V die Darstellung ρ von G auf dem dualen Raum V ∗ mit ∗

ρ (g) = (ρ(g)> )−1

f¨ ur alle g ∈ G.

Ist ρ∗ die adjungierte Darstellung zu ρ auf V, dann ist die adjungierte Darstellung ∗ zu ρ gegeben durch ∗ ρ∗ (A) = −ρ∗ (A)> f¨ ur alle A ∈ g. Diese Beziehung spiegelt sich in der Konstruktion 1. gerade wider. Bezeichnung: Ein Zusammenhang auf E mit Strukturgruppe G, wobei G eine

Der Begriff des Zusammenhangs

17

echte Teilmenge von GLn R ist, etwa O(n), heißt mit der durch G vermittelten Struktur auf E vertr¨ aglich, falls die lokalen Zusammenhangsmatrizen ihre Werte in der zugeh¨ origen Lialgebra g ⊂ Mn R annehmen, etwa g = o(n). Ein Beispiel f¨ ur einen solchen Zusammenhang, mit G = O(n) ist der Levi-CivitaZusammenhang auf der Mannigfaltigkeit M . W¨ahlt man n¨amlich als lokale Rahmung des Tangentialb¨ undels eine Orthonormalbasis, so sieht man aus der Bedingung 1. an diesen Zusammenhang, dass die Koeffizienten die Symmetriebedingung Γijk = −Γkji erf¨ ullen, d.h. die zugeh¨origen Matrizen sind schiefsymmetrisch, also aus o(n).

1.3 1.3.1

Zusammenh¨ ange auf Prinzipalb¨ undeln Zwei ¨ aquivalente Definitionen

Betrachtet wird im Folgenden ein Prinzipalb¨ undel P (M, π, G) mit dem Totalraum P und der Rechtsoperation R : P × G → P mit R(z, g) = Rg (z) = zg. Durch jeden Punkt z der Mannigfaltigkeit P verl¨auft die Faser π −1 (π(z)) des B¨ undels, die u ¨ber eine lokale Karte ψα : π −1 (Uα ) → Uα × G diffeomorph zu G ist, dabei wird die Einschr¨ ankung von ψα auf eine Faser ebenfalls mit ψα : π −1 (π(z)) → G bezeichnet. F¨ ur ψα (z) = (x, h) ist ψα (zg) = (x, hg) und Rg entspricht auf den Fasern der Rechtsoperation von G auf sich. Die Operation R ist auf den Fasern also frei und transitiv und liefert dort f¨ ur jedes g ∈ G einen Automorphismus. Im Punkt z ∈ P gibt es in nat¨ urlicher Weise einen Unterraum Vz des Tangentialraums Tz P . Vz heißt die Menge der vertikalen Vektoren in z. Definiert wird diese Menge gem¨aß der Anschauung als Tangentialraum an die Faser durch z Vz = Tz π −1 (π(z)). Es gilt dann insbesondere π∗ v = 0 f¨ ur alle Vektoren v aus Vz , da π eingeschr¨ankt auf die Faser konstant ist, und somit Vz =kerπ∗ . Die Dimension von Vz ist gleich der Dimension der Liealgebra Te G ∼ = g von G, denn wegen der Identifizierung G ∼ = −1 −1 (π(z)) und somit die Isomorphie g ∼ V . π (π(z)) folgt die Isomorphie Te G ∼ T π = z = z Außerdem gilt f¨ ur alle g ∈ G und z ∈ P Vzg = (Rg )∗ Vz , da, weil Rg ein Automorphismus der Faser ist, (Rg )∗ einen Isomorphismus zwischen den Tangentialr¨ aumen zweier Punkte der Faser liefert. Die Zuordnung z 7→ Vz ist glatt in dem Sinne, dass es zu jedem Punkt z aus P eine Umgebung U von z in P und Vektorfelder X1 , ..., Xdimg ∈ Γ(T U ) gibt, so dass X1 (y), ..., Xdimg (y) f¨ ur alle y aus U eine Basis von Vy bilden. Um das zu sehen, reicht es aus, einen Homomorphismus von g nach Γ(T P ) zu finden, dessen Bild aus Vektorfeldern X mit Werten X(z) in Vz ⊂ Tz P besteht, und der ein

Der Begriff des Zusammenhangs

18

Isomorphismus auf das Bild ist. Betrachtet wird dazu die Abbildung λz : G → P

mit

λz (g) = zg

und die daraus resultierende Abbildung λ : g → Γ(T P )

mit

(λA)(z) = (λz )∗ A

f¨ ur alle z ∈ P.

Diese Abbildung ist offensichtlich ein Homomorphismus, und außerdem gilt π∗ (λz )∗ A = (π ◦ λz )∗ A = 0 , da π ◦ λz : G → M konstant ist. Deshalb ist (λA)(z) f¨ ur alle z ein vertikaler Vektor. Außerdem ist λ ein Isomorphismus auf das Bild, da G durch λz bijektiv auf die Faser π −1 (π(z)) abgebildet wird und G transitiv und frei auf ihr operiert. Man sieht insbesondere, dass U = P gew¨ahlt werden kann, und dass das vertikale B¨ undel S Vz ein triviales Unterb¨ undel von T P ist. VP = z∈P

Definition 1.10. Zu A aus g ist das Fundamentalvektorfeld (λA) aus Γ(T P ) definiert durch (λA)(z) = (λz )∗ A f¨ ur alle z aus P . Dabei ist λz : G → P mit λz (g) = zg. Man hat ganz nat¨ urlich den Begriff des vertikalen Vektors und der vertikalen Vektorfelder, als Schnitte in dem vertikalen B¨ undel, erhalten. Was einem die Anschauung nicht mehr liefert, ist der horizontale Vektor. Dieses Manko motiviert die folgende Definition 1.11. Ein Zusammenhang auf P ist eine Zuordnung H von P in die Menge der Unterr¨ aume von T P mit den Eigenschaften (i) Die Zuordnung H : z 7→ Hz ⊂ Tz P ist glatt (ii) Hz ⊕ Vz = Tz P f¨ ur alle z ∈ P (iii) Hzg = (Rg )∗ Hz f¨ ur alle z ∈ P und g ∈ G Die Elemente aus Hz heißen wegen der Eigenschaft (ii) horizontale Vektoren. S HP = z∈P Hz ist wegen Eigenschaft (i) ein Unterb¨ undel von T P und es gilt T P = HP ⊕ V P . Man nennt HP das horizontale B¨ undel. F¨ ur die horizontalen Vektoren ist π∗ : Hz → Tπ(z) M ein Isomorphismus, da π∗ surjektiv und auf Vz Null ist. Die faserweisen Projektionen von T P auf HP bzw. V P werden mit pH bzw. pV bezeichnet. Sie vertauschen mit allen Rechtsoperationen (Rg )∗ , denn es gilt pH ◦ (Rg )∗ v = pH ((Rg )∗ ◦ pH (v) + (Rg )∗ ◦ pV (v)) = pH ◦ (Rg )∗ ◦ pH (v) = (Rg )∗ ◦ pH (v) (analog auch f¨ ur pV statt pH ) - die zweite und dritte Gleichheit folgt dabei aus der

Der Begriff des Zusammenhangs

19

Eigenschaft (iii) des Zusammenhangs H und der analogen Eigenschaft der vertikalen R¨aume. Zum Zusammenhang H gibt es eine 1-Form ω auf P mit Werten in der Liealgebra g von G. Sie ist f¨ ur alle z ∈ P und v ∈ Tz P definiert durch ωz (v) = (λz )−1 ∗ (pV (v)) und heißt die Zusammenhangsform zum Zusammenhang H auf P . Es gilt der folgende Satz 1.12. Ist H ein Zusammenhang auf P und ist ω ∈ Γ(Λ1 T ∗ P ⊗g) die zugeh¨ orige Zusammenhangsform, so hat diese die Eigenschaften (1) ωz (Hz ) = 0 f¨ ur alle z ∈ P (2) ωz ((λB)(z)) = B f¨ ur alle z ∈ P und B ∈ g ur alle g ∈ G (3) (Rg )∗ ω = Adg−1 ◦ ω f¨ Ferner gibt es zu jeder 1-Form ω ∈ Γ(Λ1 T ∗ P ⊗ g) mit den Eigenschaften (2) und (3) genau einen Zusammenhang H auf P mit ω als Zusammenhangsform. Dabei ist Ad die adjungierte Darstellung von G auf g: Adg = (autg )∗ mit autg (h) = ghg −1 und (Adg )−1 = Adg−1 . Beweis. Ist H ein Zuammenhang auf P und ω die Zusammenhangsform, so folgen die Eigenschaften (1) und (2) direkt aus der Definition von ωDie (3) Aussage folgt aus λzg = Rg ◦ λz ◦ αg , denn damit gilt ((Rg )∗ ω)z (v) = ωzg ((Rg )∗ v) = (λzg )−1 ∗ ◦ pV ((Rg )∗ v) = (Rg ◦ λz ◦ αg )−1 ∗ ◦ pV ((Rg )∗ v) −1 = (Adg )−1 ◦ (λz )−1 ∗ ◦ (Rg )∗ ◦ pV ((Rg )∗ v) −1 = Adg−1 ◦ (λz )−1 ∗ ◦ (Rg )∗ ◦ (Rg )∗ ◦ pV (v)

= Adg−1 ◦ (λz )−1 ∗ ◦ pV (v) = Adg−1 ωz (v). Ist umgekehrt ω ∈ Γ(Λ1 T ∗ P ⊗ g) mit den Eigenschaften (2) und (3) gegeben, so sei H definiert durch Hz = kerωz . Diese R¨ aume erf¨ ullen wegen der Eigenschaft 2. die Eigenschaft (ii) f¨ ur Zusammenh¨ ange. Die Bedingung (iii) gilt, denn f¨ ur v ∈ Hz ist ωzg ((Rg )∗ v) = ((Rg )∗ ω)z (v) = Adg−1 ◦ ωz (v) = 0 , also (Rg )∗ v ∈ Hzg . Das heißt also (Rg )∗ Hz ⊂ Hzg . Die Gleichheit folgt wegen (Rg )∗ Vz = Vzg und Tz P = Hz ⊕ Vz aus der Tatsache, dass (Rg )∗ ein Isomorphismus

Der Begriff des Zusammenhangs

20

ist.



Man hat jetzt die folgende zu Definition 1.11 ¨aquivalente Definition 1.13. Ein Zusammenhang auf einem Prinzipalb¨ undel P ist eine 1-Form ω auf P mit Werten in g, so dass die Eigenschaften (2) und (3) aus dem letzten Satz erf¨ ullt sind. ¨ Wegen der Aquivalenz werden im Folgenden, wenn von einem Zusammenhang auf einem Prinzipalb¨ undel gesprochen wird, die Begriffe horizontale Vektoren und Zusammenhangsform parallel benutzt.

1.3.2

Die lokale Darstellung des Zusammenhangs und das totale ¨ außere Differential

Die Definition eines Zusammenhangs auf einem Prinzipalb¨ undel P (M, π, G) ist vom Ansatz her eine andere als die Definition im Fall eines Vektorb¨ undels. Eine gewisse ¨ Ahnlichkeit wird sich bei der Betrachtung der lokalen Darstellung des Zusammenhangs und speziell bei der Untersuchung des Verhaltens bei einem Kartenwechsel ¨ herausstellen. Wie im anschließenden Kapitel erl¨autert wird, ist diese Ahnlichkeit nicht u ¨berraschend. ¨ Zur Basismannigfaltigkeit M ist {Uα } eine Uberdeckung mit B¨ undelkarten −1 (Uα , ψα ). Dabei ist, ψα : π (Uα ) → Uα × G ein fasertreuer Diffeomorphismus, dessen Einschr¨ ankung auf die Faser, gesehen als Abbildung von π −1 (x) nach G, ebenfalls mit ψα bezeichnet wird. Zu jedem α gibt es einen ausgezeichneten lokalen Schnitt sα : Uα → π −1 (Uα ) durch P , den trivialen lokalen Schnitt. Dieser ist, wenn e das neutrale Element in G bezeichnet, gegeben durch sα (x) = ψα−1 (x, e). Bemerkung 1.14. Die trivialen lokalen Schnitte sα transformieren sich bei einem ¨ Kartenwechsel mit den Ubergangsfunktionen gαβ : Uα ∩ Uβ → G gem¨ aß sα (x) = sβ (x)gβα (x)

f¨ ur alle x ∈ Uα .

¨ Beweis. Die Ubergangsfunktionen sind definiert durch gαβ (x) · h = ψα ◦ ψβ−1 (x, h) f¨ ur alle x ∈ Uα ∩ Uβ und h ∈ G. Damit folgt sα (x) = ψα−1 (x, e) = ψβ−1 ◦ ψβ ◦ ψα−1 (x, e) = ψβ−1 (x, gβα (x)e) = ψβ−1 (x, egβα (x)) = Rgβα ◦ ψβ−1 (x, e) = Rgβα sβ (x) = sβ (x)gβα . Das beweist die Bemerkung.



Der Begriff des Zusammenhangs

21

Mit Hilfe dieser Schnitte sα definiert man zur Zusammenhangsform ω ∈ Γ(Λ1 T ∗ P ⊗ g) die lokalen Zusammenhangsformen Aα als 1-Formen auf Uα mit Werten in der Liealgebra g durch Aα = s∗α ω. ¨ Dies zeigt die erste Ahnlichkeit zu der Definition eines Zusammenhangs auf einem Vektorb¨ undel, denn ist G eine Matrixgruppe, und g eine Unteralgebra der Matrizen, so haben die lokalen Zusammenhangsformen hier und dort die gleiche Gestalt. Das Transformationsverhalten der lokalen Darstellungen der Form ω wird gekl¨art durch den folgenden Satz 1.15. Ist s : M → P ein Schnitt in P und g : M → G eine G-wertige Funktion auf M , so gilt f¨ ur den Schnitt t = s · g t∗ ω = Adg−1 (s∗ ω) + g −1 dg. Dabei ist g −1 dg(v) = (lg−1 )∗ g∗ (v) f¨ ur alle v ∈ Tx M , mit der Linksoperation l von G auf sich selbst, also lg h = gh. Analog schreibt man f¨ ur die Rechtsoperation r von G auf sich rg h = hg. Beweis. R ist die Rechtsoperation von G auf P , das heißt R : P × G → P mit R(z, g) = Rg (z) = λz (g). F¨ ur den Schnitt t(x) = s(x)g(x) gilt wegen der Produktregel t∗ = (Rg )∗ s∗ +(λz )∗ g∗ . Außerdem gilt λz = λz ◦rg ◦rg−1 = Rg ◦λz ◦rg−1 . Faßt man das zusammen, so rechnet man f¨ ur x ∈ M und v ∈ Tx M :   (t∗ ω)x (v) = ωt(x) (t∗ v) = ωt(x) (Rg )∗ (s∗ v + (λs(x) )∗ (rg−1 )∗ g∗ v) . Da (rg−1 )∗ g∗ v ∈ Te G kann man die Definition des Fundamentalvektorfeldes anwenden und das liefert dann weiter 

 (t∗ ω)x (v) = ωt(x) (Rg )∗ s∗ v + λ (rg−1 )∗ g∗ v (s(x))

= ((Rg )∗ ω)s(x) s∗ v + λ (rg−1 )∗ g∗ v (s(x)) . Wegen der Eigenschaften (2) und (3) der Zusammenhangsform und wegen Adg−1 ◦ (rg−1 )∗ = (autg−1 ◦ rg−1 )∗ = (lg−1 )∗ folgt:


(t∗ ω)x (v) = Adg−1 ωs(x) (s∗ v) + ωs(x) λ (rg−1 )∗ g∗ v (s(x))
= Adg−1 (s∗ ω)x (v) + (rg−1 )∗ g∗ v
= Adg−1 s∗ ω + (lg−1 )∗ g∗ x (v). Insgesamt hat man t∗ ω = Adg−1 s∗ ω + (lg−1 )∗ g∗ , also die Behauptung.



Der Begriff des Zusammenhangs

22

Als Folgerung erh¨ alt man somit das Transformationsverhalten der lokalen Zusammenhangsformen des Zusammenhangs ω auf P zu −1 . Aα = Adgαβ (Aβ ) + gαβ dgαβ

Dazu setzt man in Satz 1.15 t = sα , s = sβ und g = gβα . An dieser Stelle ist die Analogie der Zusammenhangsbegriffe augenscheinlich: Die lokalen Zusammenhangsformen auf Prinzipal- und Vektorb¨ undeln haben das gleiche Aussehen und auch das gleiche Transformationsverhalten. Diese Analogie geht aber noch weiter, denn im n¨ achsten Kapitel wird sogar gezeigt, dass die zwei Begriffe ¨ ¨aquivalent sind. Um diese Aquivalenz beschreiben zu k¨onnen, ben¨otigt man noch einige Bezeichnungen und Schreibweisen. Ist V ein R-Vektorraum, so kann man die k-Formen auf P mit Werten in V betrachten. Ist T so eine k-Form  und S eine l-Form mit Werten  in eventuell einem anderen Vektorraum W , und ist v i eine Basis von V und wj eine Basis von W , so kann man T und S mit geeigneten k-Formen Ti und l-Formen Sj auf P in der Form T = Ti v i und S = Sj wj darstellen. Das ¨ außere Produkt T ∧ S ist dann eine (k + l)-Form auf P mit Werten in V ⊗ W mit T ∧ S = Ti ∧ Sj v i ⊗ wj . Spezialf¨ alle sind hierbei: k=l=0

T ∧S =T ⊗S

k = 0, dimV = 1

T ∧ S = TS

dimV = dimW = 1

T ∧S =T ∧S

Zwei Eigenschaften, die so eine Differentialform besitzen kann, werden noch eine wichtige Rolle spielen, deshalb widmet man ihnen die Definition 1.16. Ist ρ eine Darstellung von G auf V , so sagt man die k-Form T auf P mit Werten in V ist vom Typ ρ, wenn f¨ ur alle g ∈ G gilt (Rg )∗ T = ρ(g −1 )T . Das heißt f¨ ur z ∈ P und v1 , ..., vk ∈ Tz P ist dann Tzg ((Rg )∗ v1 , ..., (Rg )∗ vk ) = ρ(g −1 )Tz (v1 , ..., vk ). Außerdem nennt man eine solche k-Form horizontal, wenn f¨ ur z ∈ P und v1 , ..., vk ∈ Tz P gilt Tz (v1 , ..., vk ) = 0, falls einer der Eintr¨ age ein vertikaler Vektor ist.

Der Begriff des Zusammenhangs

23

Ist σ eine Darstellung von G auf W und sind T und S wie oben, dann gilt 1. Ist T vom Typ ρ und S vom Typ σ, so ist T ∧ S vom Typ ρ ⊗ σ. 2. Sind T und S horizontal, so auch T ∧ S. Beispiel. Die Zusammenhangsform ω auf P ist eine 1-Form mit Werten in dem Vektorraum g und ω ist vom Typ Ad. Es folgt die wichtige Definition 1.17. Ist V ein Vektorraum und T eine k-Form auf P mit Werten in V , so ist das totale a ¨ußere Differential von T zum Zusammenhang H auf P definiert als die (k + 1)-Form DT auf P mit Werten in V die gegeben ist durch DTz (v0 , ..., vk ) = dTz (pH (v0 ), ..., pH (vk )) f¨ ur alle z ∈ P und v0 , ..., vk ∈ Tz P . Sind T und S wie oben, so hat das totale ¨außere Differential die Eigenschaften A) D(T + S) = DT + DS und D(T ∧ S) = DT ∧ S + (−1)k T ∧ DS B) Ist T vom Typ ρ, so ist DT horizontal und vom Typ ρ. Die Eigenschaften in A) und die Eigenschaft horizontal zu sein, folgen direkt aus der Definition, da diese D auf d zur¨ uckf¨ uhrt, und wegen der Tatsache, dass pH angewendet auf vertikale Vektoren Null ist. Um zu sehen, dass DT vom Typ ρ ist, falls das f¨ ur T der Fall ist, ist zu zeigen, dass f¨ ur g ∈ G (Rg )∗ DT = ρ(g −1 )DT gilt. Dazu rechnet man f¨ ur z ∈ P und v0 , ..., vk ∈ Tz P : ((Rg )∗ DT )z (v0 , ..., vk ) = DTzg ((Rg )∗ v0 , ..., (Rg )∗ vk ) = dTzg (pH ◦ (Rg )∗ v0 , ..., pH ◦ (Rg )∗ vk ) = dTzg ((Rg )∗ ◦ pH (v0 ), ..., (Rg )∗ ◦ pH (vk )) = ((Rg )∗ dT )z (pH (v0 ), ..., pH (vk )) = (d((Rg )∗ T ))z (pH (v0 ), ..., pH (vk )) = (d(ρ(g −1 )T ))z (pH (v0 ), ..., pH (vk )) = ρ(g −1 )(dT )z (pH (v0 ), ..., pH (vk )) = ρ(g −1 )(DT )z (v0 , ..., vk ). Dieses Differential bildet gemeinsam mit den lokalen Zusammenhangsformen Aα die Grundlage f¨ ur die weiteren Untersuchungen.

Chapter 2

¨ Die Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe auf Prinzipal- und Vektorb¨ undeln Das Ziel dieses Kapitels ist es, die verschiedenen Zusammenhangsbegriffe, auf die im vorigen Paragraphen eingegangen wurde, zu vereinen. Man hat schon gesehen, dass ein Zusammenhang auf einer Mannigfaltigkeit ein Spezialfall eines Zusammenhangs auf einem Vektorb¨ undel ist, n¨ amlich dem Tangentialb¨ undel dieser Mannigfaltigkeit. Im Folgenden wird gezeigt, dass der Begriff des Zusammenhangs auf einem Prinzipalb¨ undel vertauschbar ist mit dem auf einem Vektorb¨ undel. Genauer heißt das, dass man jedem Prinzipalb¨ undel P und jedem Zusammenhang auf P ein Vektorb¨ undel E und einen Zusammenhang auf E zuordnen kann, und umgekehrt. Dazu wird im ersten Abschnitt gekl¨ art, wie einem Prinzipal- ein Vektorb¨ undel zuzuordnen ist. Das liefert dann den Begriff des assoziierten Vektorb¨ undels. Umgekehrt wird auch gekl¨ art, wie man einem Vektor- ein Prinzipalb¨ undel zuordnet, was zum Begriff des Rahmenb¨ undels f¨ uhrt. Dazu wird das Beispiel des Tangentialb¨ undels ausf¨ uhrlich ¨ behandelt. Anschließend wird dann der Zusammenhang in die Uberlegungen einbezogen. Die grundlegenden Objekte in diesem und den folgenden Abschnitten sind ein Prinzipalb¨ undel P (M, π, G) mit Rechtsoperation R, ein n-dimensionaler Vektorraum V und eine lineare Darstellung ρ : G → GL(V ) der Liegruppe G auf V . Ferner ist g die Liealgebra zur Liegruppe G.

24

¨ Die Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe

2.1 2.1.1

25

Assoziierte B¨ undel Konstruktion assoziierter B¨ undel

¨ Konstruiert wird ein Vektorb¨ undel E(M, πE , V ) mit Standardfaser V , dessen Ubergangsfunktionen hαβ bis auf die Wirkung der Darstellung ρ die Gleichen sind, wie ¨ die Ubergangsfunktionen gαβ des Prinzipalb¨ undels P , also hαβ = ρ(gαβ ). Dazu betrachte man die Produktmannigfaltigkeit P × V und auf ihr die Rechtsoperation ˜ von G gegeben durch R ˜ :P ×V ×G→P ×V R

mit

˜ v, g) = (zg, ρ(g −1 )v). R(z,

Dividiert man diese Operation heraus, so bezeichne P ×ρ V die Menge der entstehenden Orbits. Das heißt, man identifiziert Elemente (z, v) und (y, w) aus P × V , wenn es ein g aus G gibt mit zg = y und ρ(g −1 )v = w. Bezeichnet man mit π ˆ und p die Projektionen π ˆ : P × V → P ×ρ V

und p : P × V → P

so liefert das eine Abbildung πE : P ×ρ V → M , die das folgende Diagramm kommutativ macht. π ˆ P × V −−−−→ P ×ρ V    π py y E π

P −−−−→ M Gezeigt wird mit Hilfe dieser Konstruktion der Satz 2.1. In dem obigen Diagramm gilt: 1) P ×ρ V (M, πE , V ) ist ein Vektorb¨ undel. 2) π ˆ ist eine fasertreue Abbildung, und die Einschr¨ ankung auf eine Faserˆ πz : −1 {z} × V → πE (π(z)) ist ein Diffeomorphismus. ˜ 3) P × V (P ×ρ V, π ˆ , G) ist ein Prinzipalb¨ undel mit Rechtsoperation R. 4) p ist ein Homomorphismus zwischen Prinzipalb¨ undeln. Bevor der Beweis dieses Satzes geliefert wird, notiert man die Definition 2.2. Das B¨ undel E = P ×ρ V heißt ein u ¨ber ρ assoziiertes Vektorb¨ undel zum Prinzipalb¨ undel P mit Standardfaser V .

¨ Die Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe

26

Beweis. 1) Mit Hilfe des Satzes 2 aus dem Anhang konstruiert man einen B¨ undel¨ atlas auf E = P ×ρ V . Dazu sei {Uα } eine Uberdeckung von M mit B¨ undelkarten von P . Ferner seien (sα ) die lokalen trivialen Schnitte in P . Sie sind mit den ¨ Ubergangsfunktionen gαβ u ¨ber sβ (x) = sα (x)gαβ (x) miteinander verbunden. Man definiert −1 ϕ˜α : Uα × V → πE (Uα ) mit ϕ˜α (x, v) = π ˆ (sα (x), v). Dann gilt wegen πE ◦ π ˆ = π ◦ p nun π(ϕ˜α (x, v)) = x, und ϕ˜α l¨aßt sich zu einer Ab−1 bildung zwischen den Fasern ϕ˜α,x : V → πE (x) einschr¨anken. Außerdem existiert ˜ genau ein v ∈ V , so dass (sα (x), v) in dem Orbit enthalten zu jedem Orbit von R ˜ frei auf den Fasern operiert. Also ist ϕ˜α,x ist. Das folgt aus der Tatsache, dass R bijektiv und somit auch ϕ˜α . Es gilt (a) π ˆ (zg, v) = π ˆ (z, ρ(g)v) f¨ ur alle z ∈ P , g ∈ G und v ∈ V (b) ϕ˜−1 ˜β (x, v) = (x, ρ(gαβ (x))v) f¨ ur alle (x, v) ∈ Uα ∩ Uβ × V α ϕ Die Behauptung (a) folgt sofort, wenn man bemerkt: π ˆ (zg, v) = π ˆ (z, ρ(g)v), falls es ein h ∈ G gibt mit zgh = z und ρ(h−1 )v = ρ(g)v. Man w¨ahlt also h = g −1 . Die Behauptung (b) folgt aus (a), denn es gilt ϕ˜α (x, ρ(gαβ (x))v) = π ˆ (sα (x), ρ(gαβ (x))v) = π ˆ (sα (x)gαβ (x), v) =π ˆ (sβ (x), v) = ϕ˜β (x, v). Mit gαβ , ist auch ϕ˜−1 ˜β glatt, und ein Diffeomorphismus. α ϕ Aus dem oben zitierten Satz folgt, dass E ein Faserb¨ undel mit B¨ undelkarten (Uα , ϕα ) ist, dabei ist ϕα = ϕ˜−1 . Insbesondere haben die B¨ u ndel E und P (bis auf die α ¨ Darstellung ρ) die gleichen Ubergangsfunktionen. E ist ein Vektorb¨ undel, da es −1 auf π ˆ (x) eine lineare Struktur gibt, so dass die Abbildungen π ˆz mit (vgl (2)) −1 (x), π(z) = x, Isomorphismen sind. Man setzt also f¨ ur Z und Z 0 aus π ˆz : V → πE −1 πE (x) mit π(z) = x : Z + Z 0 = π ˆz (ˆ πz−1 (Z) + π ˆz−1 (Z 0 )). 3) Man betrachte das folgende Diagramm: ψ˜α ×id

Uα × G × V −−−−→ π −1 (Uα ) × V     id×ρy yπˆ Uα × V

ϕ ˜α

−−−−→

−1 πE (Uα )

Es kommutiert, wenn man die Abbildung ψ˜α definiert durch ψ˜α (x, g) = sα (x)g, denn dann gilt π ˆ ◦ (ψ˜α × id)(x, g, v) = π ˆ (sα (x)g, v) = π ˆ (sα (x), ρ(g)v) = ϕ˜α (x, ρ(g)v) = ϕ˜α ◦ (id × ρ)(x, g, v).

¨ Die Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe

27

−1 Man setzt Vα = πE (Uα ) ⊂ P ×ρ V und sieht, dass damit −1 π ˆ −1 (Vα ) = p−1 ◦ π −1 ◦ πE (Vα ) = (π ◦ p)−1 (Uα ) = π −1 (Uα ) × V

gilt. Es gibt somit Bijektionenen χ ˜α : Vα × G → π ˆ −1 (Vα ), die definiert sind durch χ ˜α (ϕ˜α (x, v), g) = (ψ˜α (x, g), ρ(g −1 )v). Diese haben die Eigenschaften (c) π ˆ◦χ ˜α (Z, g) = Z, f¨ ur alle Z ∈ Vα und g ∈ G ˜ (χ (d) χ ˜α (Z, gh) = R ˜α (Z, g), h), f¨ ur alle Z ∈ Vα und g, h ∈ G Aussage (c) gilt mit Z = ϕ˜α (x, v) wegen π ˆ◦χ ˜α (Z, g) = π ˆ◦χ ˜α (ϕ˜α (x, v), g) = π ˆ (ψ˜α (x, g), ρ(g −1 )v) (a)

=π ˆ (sα (x)g, ρ(g −1 )v) = π ˆ (sα (x), v) = ϕ˜α (x, v) = Z. Aussage (d) folgt mit einer ¨ ahnlich einfachen Rechnung aus χ ˜α (Z, gh) = χ ˜α (ϕ˜α (x, v), gh) = (ψ˜α (x, gh), ρ((gh)−1 )v)
˜ sα (x)g, ρ(g −1 )v, h = (sα (x)gh, ρ(h−1 )ρ(g −1 )v) = R   ˜ ψ˜α (x, g), ρ(g −1 )v, h = R ˜ (χ =R ˜α (ϕ˜α (x, v), g), h) ˜ (χ =R ˜α (Z, g), h) . (c) bedeutet, dass es sich bei χα = χ ˜−1 unschten B¨ undelkarten handelt, α um die gew¨ und (d) zeigt die Vertr¨ aglichkeit mit der Rechtsoperation. Es gilt mit Z = ϕ˜α (x, v): −1 −1 ˜ χ−1 β (Z, g) = (ψβ (x, g), ρ(g )v) = (sβ (x)g, ρ(g )v) = (sα (x)gαβ (x)g, ρ(g −1 )v) = (ψ˜α (x, gαβ (x)g), ρ(g −1 )v) (b)

= χ−1 ˜α (x, ρ(gαβ (x))v), gαβ (x)g) = χ−1 ˜β (x, v), gαβ (x)g) α (ϕ α (ϕ = χ−1 α (Z, gαβ (x)g). ¨ Dies zeigt, dass die Ubergangsfunktionen kαβ : Vα ∩ Vβ → G mit χα χ−1 β (Z, g) = (Z, kαβ (Z)g) glatt sind, denn es gilt kαβ (Z) = gαβ (πE (Z)). 2) π ˆ ist eine fasertreue Abbildung zwischen P × V und P ×ρ V , in dem Sinne, dass f¨ ur (z, v) ∈ π −1 (x) × V , wegen der Kommutativit¨at des ersten Diagramms πE ◦ π ˆ (z, v) = x gilt. Wegen des zweiten Diagramms, ist die Einschr¨ankung π ˆz von −1 π ˆ auf {z} × V ein Diffeomorphismus auf das Bild πE (π(z)).

¨ Die Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe

28

4) Diese Aussage folgt direkt aus dem ersten Diagramm und der Tatsache, dass p mit den Rechtsoperationen vertr¨aglich ist, denn es gilt ˜ g (z, v)) = p(zg, ρ(g −1 )v) = zg = Rg (z) = Rg (p(z, v)) . p(R  Wie oben angek¨ undigt, kann man umgekehrt zu einem gegebenem Vektorb¨ undel E(M, πE , V ) ein Prinzipalb¨ undel P konstruieren. Dazu betrachtet man zu x ∈ M −1 die Menge der linearen Isomorphismen von V nach Vx = πE (x), L(V, Vx ). Der Totalraum des zu konstruierenden B¨ undels P ist [ P = L(V, Vx ), x∈M

und die Projektion von P auf die Basismannigfaltigkeit M ist die Abbildung π mit π(z) = x ⇐⇒ z ∈ L(V, Vx ). ¨ Das so konstruierte B¨ undel hat die gleichen Ubergangsfunktionen wie das Ausgangsb¨ undel E. Mit diesen Bezeichnungen gilt dann der S L(V, Vx ) mit der Projektion π ist ein Prinzipalb¨ undel Satz 2.3. Die Menge P = x∈M

u ¨ber M mit Standardfaser GL(V ). −1 ¨ (Uα ) → Beweis. Ist {(Uα , ϕα )} eine Uberdeckung von M mit B¨ undelkarten ϕα : πE Uα × V , so ist der eingeschr¨ ankte Diffeomorphismus ϕα,x : Vx → V ein linearer Isomorphismus. Dieser liefert eine Bijektion ψα,x : GL(V ) → L(V, Vx ) durch ψα,x (Φ) = ϕ−1 α,x ◦ Φ. Diese Abbildungen liefern ihrerseits ebenfalls bijektive Abbildungen ψα : Uα × GL(V ) → π −1 (Uα ) durch ψα (x, Φ) = ψα,x (Φ). Dabei gilt ψα−1 ψβ (x, Φ) = −1 ¨ (x, ϕα,x ◦ ϕ−1 β,x ◦ Φ) und die Ubergangsfunktionen ψα ψβ (x, Φ) = (x, gαβ (x)Φ) sind ¨ glatt, insbesondere sind das auch gerade die Ubergangsfunktionen von E. Wegen des Satzes 2 aus dem Anhang ist somit P (M, π, GL(V )) ein Faserb¨ undel mit Strukturgruppe GL(V ). Eine Operation von GL(V ) auf P ist gegeben durch RΦ (Ψx ) = Ψx ◦ Φ, f¨ ur Φ aus GL(V ) und Ψx aus der Faser L(V, Vx ). Auf diese Weise operiert GL(V ) von rechts, und es gilt nat¨ urlich RΦ ◦ ψα (x, Ψ) = ψα (x, Ψ ◦ Φ). R macht P zu einem Prinzipalb¨ undel. 

Als Folgerung kann man grob sagen: Ein Vektorb¨ undel und ein Prinzipalb¨ undel sind ¨ assoziiert, wenn sie die gleichen Ubergangsfunktionen haben. Bemerkung. Man kann statt eines Vektorraumes V in der ersten Konstruktion eine beliebige Mannigfaltigkeit F verwenden, auf die G u ¨ber eine Darstellung σ : G → Aut(F ) operiert. Man erh¨alt dann ein zu P assoziiertes B¨ undel P ×σ F , das dann in der Regel kein Vektorb¨ undel ist.

¨ Die Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe

2.1.2

29

Beispiel: Das Rep` ereb¨ undel

Ist M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Tangentialb¨ undel T M (M, πT , Rn ), so konstruiert man auf nat¨ urliche Weise ein zu T M assoziiertes Prinzipalb¨ undel. Dieses B¨ undel heißt das Rahmenb¨ undel oder das Rep`ereb¨ undel RM (M, πR , GLn R) von M . Die Konstruktion geht auf die ”Methode der bewegten Basen” nach E. Cartan zur¨ uck. Die Idee besteht darin das Verhalten der Mannigfaltigkeit M , beschrieben durch Paralleltransport, Kr¨ ummung, Torsion etc., durch eine Zusammenhangsform auf dem Rep`ereb¨ undel zu beschreiben. Die allgemeine G¨ ultigkeit dieses Konzeptes, zeigt der Abschnitt 2.2. Zur Konstruktion des Rep`ereb¨ undels definiert man die Faser, den Totalraum und die Projektion durch Rx M = {(b1 , ..., bn ) ∈ (Tx M )n [ RM = Rx M

; {b1 , ..., bn } ist eine Basis von Tx M }

x∈M

und πR : RM → M

Rx M 3 b 7→ π(b) = x.

mit

¨ Zu M hat man eine Uberdeckung (Uα ) mit Koordinaten x1α , ..., xnα . Diese liefern B¨ undelkarten (Uα , ϕα ) f¨ ur T M mit −1 n ϕ−1 α : Uα × R → πT (Uα )

mit

(x, (v 1 , ..., v n )) 7→ v i

∂ . ∂xiα

¨ Beim Ubergang von einer Karte (Uα , ϕα ) zu einer Karte (Uβ , ϕβ ) entsprechen die ¨ Ubergangsfunktionen gαβ nat¨ urlich den Matrizen des Koordinatenwechsels, denn f¨ ur (x, v) ∈ Uα ∩ Uβ × Rn ist i (x, gαβ (x)v) = ϕα ◦ ϕ−1 β (x, v) = ϕα (x, v

= ϕα (x, v i = (x,

∂ ) ∂xiβ x

∂xjα ∂ ∂x1 ∂xn (x) ) = (x, ( αi (x)v i , ..., αi (x)v i )) i j ∂xβ ∂xβ ∂xβ ∂xα x !

∂xiα ∂xjβ

· v).

(x) ij

Da jede Basis {bi } von Tx M lokal u ¨ber der Menge Uα nach der Basis ( entwickelt werden kann, hat sie die Form bi = bji

∂ ∂xjα x

∂ ) ∂xiα x

¨ Die Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe

30

mit einer Matrix B = (bji ), deren Determinante nicht verschwindet. Man bekommt so eine faserweise bijektive Abbildung j ∂ −1 j ∂ −1 φ−1 , ..., b ). α : Uα × GLn R → πR (Uα ) mit φα (x, B) = (b1 n ∂xjα x ∂xjα x ¨ Beim Wechsel der Karte ergeben sich folgende Ubergangsfunktionen hαβ : j (x, hαβ (x)B) = φα ◦ φ−1 β (x, B) = φα ((bi

=

∂ )i ) ∂xjβ x

∂xk ∂ φα (x, (bji αj (x) k )i ) ∂xα x ∂xβ

= (x,

∂xiα ∂xjβ

∂xjα = (x, bki k (x) ∂xβ

! ) ij

! · B) = (x, gαβ (x)B).

(x) ij

¨ Da hαβ mit gαβ u ¨bereinstimmt, sind die Ubergangsfunktionen nat¨ urlich glatt, und analog zur Argumentation in Satz 2.3 ist RM ein Faserb¨ undel mit Strukturgruppe und Faser GLn R. Die Rechtsoperation von GLn R auf RM ist gegeben durch die Zuordnung (C = (cji )ij , (b1 , ..., bn )) 7→ RC (b1 , ..., bn ) = (cj1 bj , ..., cjn bj ) und entspricht der Rechtsmultiplikation von Matrizen, denn nun gilt j ∂ j ∂ k j ∂ k j ∂ RC φ−1 (x, B) = R (b , ..., b ) = (c b , ..., c b ) C 1 α n 1 k n k ∂xjα x ∂xjα x ∂xjα x ∂xjα x −1 i k = φ−1 α (x, (bk cj )) = φα (x, BC). Damit ist gezeigt, dass das Rep`ereb¨ undel ein auf nat¨ urliche Weise zu T M assoziiertes Prinzipalb¨ undel ist.

2.1.3

Die affine Struktur der Zusammenh¨ ange

Ein spezielles zum Prinzipalb¨ undel P assoziiertes Vektorb¨ undel ist das B¨ undel u ¨ber M mit der Standardfaser g und der Operation Ad von G auf g. Dieses B¨ undel heißt das adjungierte B¨ undel zu P , und wird mit AdP = P ×Ad g bezeichnet. Die Schnitte in AdP sind lokal Funktionen auf M mit Werten in g, deren Transformationsverhalten bei Kartenwechsel gegeben ist durch −1 sα = gαβ sβ gαβ .

¨ Die Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe

31

Dabei sind sα und sβ die lokalen Darstellungen des betrachteten Schnittes, und gαβ ¨ ist die Ubergangsfunktion zwischen den entsprechenden Karten in P . Der Ausdruck −1 gsg steht hier f¨ ur Adg s, in Anlehnung an die Darstellung von Ad im Falle von Matrixgruppen. Sind ω und ω ˜ Zusammenh¨ ange auf P mit den lokalen Darstellungen Aα und A˜α und dem Transformationsverhalten −1 −1 Aα = gαβ Aβ gαβ + gαβ dgaβ ,

und analog f¨ ur A˜α , so sieht man, dass f¨ ur die lokalen Darstellungen Aα − A˜α der Differenz ω − ω ˜ , Folgendes gilt   −1 Aα − A˜α = gαβ Aβ − A˜β gαβ . Die restlichen Terme heben sich gerade gegenseitig auf. Das bedeutet, dass sich ω−ω ˜ als 1-Form mit undel AdP , also als Element aus Ω1 (AdP ) =
Werten in dem B¨ 1 ∗ Γ Λ T M ⊗ AdP , interpretieren l¨aßt. Das bedeutet weiter, dass die Menge A aller Zusammenh¨ange auf dem Prinzipalb¨ undel P ein affiner Raum ist. W¨ahlt man einen beliebigen Zusammenhang als Nullpunkt, so ist A ∼ = Ω1 (AdP ).

2.2

¨ Die Aquivalenz der verschiedenen Zusammenhangsbegriffe

Ist E(M, πE , V ) ein u ¨ber ρ zum Prinzipalb¨ undel P (M, π, G) assoziiertes Vektorb¨ un−1 del, so kann man zu z ∈ P die Abbildung [z] : V → πE (π(z)) betrachten. Diese ist u ¨ber eine Karte (Uα , ϕα ) von E und (Uα , ψα ) von P definiert durch [z]v = ϕ−1 α (ρ(ψα (z))v) Diese Definition ist von der Wahl der Karten unabh¨angig, denn f¨ ur zwei weitere Karten (Uβ , ϕβ ) und (Uβ , ψβ ) gilt: −1 −1 ϕ−1 β (ρ(ψβ (z))v) = ϕα ◦ (ϕα ◦ ϕβ )(ρ(ψβ (z))v)

= ϕ−1 α (ρ(gαβ (x))ρ(ψβ (z))v) −1 = ϕ−1 α (ρ(ψα ◦ ψβ ◦ ψβ (z))v)

= ϕ−1 α (ρ(ψα (z))v). Lokal bewirkt diese Abbildung f¨ ur ψα (z) = (x, g) gerade ϕα ([z]v) = ρ(g)v, und sie hat die Eigenschaft [zg]v = [z]ρ(g)v,

¨ Die Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe

32

denn [zg]v = ϕ−1 α (ρ(ψα (zg))v) = ϕ−1 α (ρ(ψα (z)g)v) = ϕ−1 α (ρ(ψα (z))ρ(g)v) = [z]ρ(g)v. Hat man eine k-Form S auf M mit Werten in E gegeben – das heißt, f¨ ur alle x ∈ M und alle w1 , ..., wk ∈ Tx M gilt gilt πE (Sx (w1 , ..., wk )) = x – so kann man dieser eine k-Form Sˆ auf P mit Werten in V wie folgt zuordnen. Man setzt f¨ ur z ∈ P und v1 , ..., vk ∈ Tz P Sˆz (v1 , ..., vk ) = [z]−1 Sπ(z) (π∗ v1 , ..., π∗ vk ). Diese hat die Eigenschaften (i) Sˆ ist vom Typ ρ, denn sind z ∈ P und v1 , ..., vk ∈ Tz P , so gilt f¨ ur g ∈ G ˆ z (v1 , ..., vk ) = Sˆzg ((Rg )∗ v1 , ..., (Rg )∗ vk ) ((Rg )∗ S) = [zg]−1 Sπ(zg) (π∗ (Rg )∗ v1 , ..., π∗ (Rg )∗ vk ) = ρ(g −1 )[z]−1 Sπ(z) (π∗ v1 , ..., π∗ vk ) = ρ(g −1 )Sˆz (v1 , ..., vk ). Dabei gilt die vorletzte Gleichheit wegen π ◦ Rg = π, also π∗ (Rg )∗ = π∗ . (ii) Sˆ ist horizontal, denn ist ein Eintrag vi von Sˆ vertikal, so ist π∗ vi = 0. Umgekehrt kann man auch zu jeder horizontalen k-Form Sˆ auf P vom Typ ρ mit Werten in V eine k-Form S auf M mit Werten in E finden. F¨ ur x ∈ M und w1 , ..., wk ∈ Tx M ist diese gegeben durch Sx (w1 , ..., wk ) = [z]Sˆz (v1 , ..., vk ) mit z ∈ π −1 (x) und v1 , ..., vk ∈ Tz P mit π∗ vi = wi . Diese Definition ist unabh¨ angig von der Wahl von v1 , ..., vk ∈ Tz P mit der Eigenschaft π∗ vi = wi , da nur der horizontale Anteil von vi einen Beitrag zum Argument von Sˆ liefert. Außerdem ist die Definition auch unabh¨angig von der Wahl von z ∈ π −1 (x). Um das zu sehen w¨ahlt man ein anderes Element zg ∈ π −1 (x) und dazu v˜1 , ..., v˜k ∈ Tzg P mit π∗ v˜i = wi , und rechnet: [zg]Sˆzg (˜ v1 , ..., v˜k ) = [z]ρ(g)Sˆzg (˜ v1 , ..., v˜k ) = [z]Sˆz ((Rg−1 )∗ v˜1 , ..., (Rg−1 )∗ v˜k ).

¨ Die Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe

33

Beachtet man nun noch π∗ (Rg−1 )∗ v˜i = π∗ v˜i = wi , so folgt die Unabh¨angigkeit von z aus der Unabh¨ angigkeit der Eintr¨age vi . Mit Hilfe der obigen Konstruktion hat man eine Bijektion hergestellt zwischen der Menge aller k-Formen auf M mit Werten in E, und der Menge aller horizontalen k-Formen vom Typ ρ auf P mit Werten in V . Speziell im Fall k = 0 bedeutet das 1:1

Γ (E) ←→ {ρ − equivariante V − wertige Funktionen auf P } . Equivariant meint dabei S(zg) = ρ(g −1 )S(z) f¨ ur alle z ∈ P und g ∈ G. Um den Zusammenhang auf P mit der kovarianten Ableitung auf E zu vergleichen ben¨ otigt man den Satz 2.4. Sei P (M, π, G) ein Prinzipalb¨ undel mit Zusammenhang ω, V ein Vektorraum auf den G u ¨ber eine lineare Darstellung ρ operiert und ρ∗ die zu ρ adjungierte Darstellung von g auf V . Dann gilt f¨ ur eine horizontale k-Form T vom Typ ρ auf P mit Werten in V DT = dT + ρ∗ (ω) ∧ T. Beweis. Um die Formel nachzuweisen, hat man f¨ ur z ∈ P und v0 , ..., vk ∈ Tz P die Gleichung DTz (v0 , ..., vk ) = dTz (v0 , ..., vk ) + ρ∗ (ω) ∧ T (v0 , ..., vk ) nachzuweisen. Wegen der Linearit¨at reicht es aus, dies f¨ ur die folgenden drei F¨alle zu tun. Fall 1. v0 , ..., vk sind horizontale Vektoren. In diesem Fall ist πH (vi ) = vi und ρ∗ (ω(vi )) = 0 f¨ ur alle i. Die Behauptung reduziert sich damit auf die Definition des totalen ¨außeren Differentials von T . Fall 2. Unter den Vektoren v0 , ..., vk befinden sich mindestens zwei vertikale Vektoren. Die zwei vertikalen Vektoren sind ohne Beschr¨ankung v0 und v1 . Zu diesen beiden w¨ahlt man die Fundamentalvektorfelder λA0 und λA1 mit (λA0 )z = v0 und (λA1 )z = v1 , sowie Vektorfelder X2 , ..., Xk um z mit Xi,z = vi f¨ ur i = 2, ..., k. Die linke Seite der Gleichung verschwindet, da das totale ¨außere Differential eine horizontale Form liefert. F¨ ur die rechte Seite rechnet man dTz (v0 , ..., vk ) = v0 (T (λA1 , X2 , ..., Xk )) − v1 (T (λA0 , X2 , ..., Xk )) +

k X ci , ..., Xk )) (−1)i vi (T (λA0 , λA1 , X2 , ..., X i=2

1 X k X cj , ..., Xk ) + (−1)i+j T ([λAi , Xj ], λA(i+1)mod2 , X2 , ..., X i=0 j=2

− T ([λA0 , λA1 ], X2 , ..., Xk )

¨ Die Aquivalenz der Zusammenhangsbegriffe

34

(Dabei bedeutet b u ¨ber einem Eintrag, dass dieser fehlt). In dieser Summe verschwinden alle Summanden, da in T ein Argument immer vertikal ist. Bei dem letzten Summanden folgt das aus [λA, λB]z = [(λA)z , (λB)z ] = [(λz )∗ A, (λz )∗ B] = (λz )∗ [A, B] = (λ[A, B])z . Außerdem gilt ρ∗ (ω) ∧ T (v0 , ..., vk ) =

k X (−1)i ρ∗ (ω(vi ))T (v0 , ..., vbi , ..., vk ) = 0, i=0

da in T auch hier mindestens ein Eintrag vertikal ist. Fall 3. Einer der Vektoren v0 , ..., vk ist vertikal und die anderen sind horizontal. Dieser eine Vektor ist ohne Beschr¨ankung v0 . Zu diesem w¨ahlt man wieder das Fundamentalvektorfeld λA mit (λA)z = v0 Zu den horizontalen Vektoren vi w¨ahlt man lokale, horizontale, (Rg )∗ -invariante Vektorfelder Xi mit Xi,z = vi . Diese findet man, da es zu vi ∈ Hz ⊂ Tz P u ¨ber den Isomorphismus π∗ : Hz → Tx M , x = π(z), einen Vektor v˜i ∈ Tx M , und zu diesem in einer Umgebung ˜ i gibt mit X ˜ i,x = v˜i . Mit Hilfe des Isomorphismus U von x ein Vektorfeld X π∗ liefert das eindeutig eine Zuordnung Xi : π −1 (U ) → T P mit z 7→ Xi,z = ˜ i,π(z) . Es bleibt noch zu zeigen, dass Xi ein Vektorfeld, also glatt, ist. Ohne π∗−1 X Beschr¨ ankung ist U eine Kartenumgebung von z, also π −1 (U ) ∼ = U × G, bzw −1 ˜ i ein VekT π (U ) ∼ undelisomorphismus zu X = T U ⊕ T G. Dann liefert dieser B¨ −1 ˜ torfeld Yi auf π (U ) mit π∗ Yi = Xi , dessen horizontaler Anteil nat¨ urlich auch glatt ist und wegen der Eindeutigkeit gerade mit Xi u ¨bereinstimmt. Da (Rg )∗ horizontale Vektoren in ebensolche u ¨berf¨ uhrt, folgt die Invarianz von Xi aus der Eindeutigkeit ˜i. und aus π∗ ((Rg )∗ Xi ) = (π ◦ Rg )∗ Xi = π∗ Xi = X Die linke Seite der gew¨ unschten Gleichung verschwindet wie in Fall 2 und f¨ ur die rechte Seite rechnet man auch wie im Fall 2 dTz (v0 , ..., vk ) = v0 (T (X1 , ..., Xk )) +

+

k X

ci , ..., Xk )) (−1)i vi (T (λA, X1 , ..., X

i=1 k X

cj , ..., Xk ) (−1)j T ([λA, Xj ], X1 , ..., X

j=1

+

k X

ci , ..., X cj , ..., Xk ). (−1)i+j T ([Xi , Xj ], λA, X1 , ..., X

16i 0 minimieren das Yang-Mills-Funktional YM absolut. Beweis. Es gilt f¨ ur die Zerlegung F = F+ +F− der Kr¨ ummung des Zusammenhangs A in zwei orthogonale Anteile mit ∗F+ = F+ und ∗F− = −F− YM(A) = kF k2 = kF+ k2 + kF− k2 und Z

2

8π k = −

Spur(F ∧ F )

S4

Z =−

(Spur(F+ ∧ F+ ) + Spur(F− ∧ F− ) + 2Spur(F+ ∧ F− ))

S4

Z =−

Z (Spur(F+ ∧ ∗F+ ) +

S4

Z (Spur(F− ∧ ∗F− ) +

S4

2Spur(F+ ∧ ∗F− ) S4

= kF+ k2 − kF− k2 − 2 hF+ , F− i = kF+ k2 − kF− k2 . Damit ist also YM(A) = kF+ k2 + kF− k2 ≥ kF+ k2 − kF− k2 = 8π 2 k,

Die Struktur des Modulraums

69

mit Gleichheit genau dann, wenn F− verschwindet, also A selbstdual ist.



Mit Hilfe der obigen Charakterisierung der Prinzipalb¨ undel hat man den Satz 4.8. F¨ ur ein SU (2)-Prinzipalb¨ undel P u ¨ber S 4 mit Instantonzahl k gilt f¨ ur die Auswertung der ersten Pontrjaginklasse des komplexifizierten adjungierten B¨ undels von P Z p1 (AdP C ) = 8k. S4

Beweis. Es ist AdP = P ×Ad su(2) ∼ = su(2) ⊂ End(E) ∼ = E ⊗ E∗, mit E = P ×id C2 und den Bezeichnungen aus den vorigen Abschnitten. AdP ist ein reelles Vektorb¨ undel vom Rang 3 mit Standardfaser       i 0 0 i 0 1 . , , su(2) = spanR 0 −i i 0 −1 0 Das komplexifizierte B¨ undel AdP C ∼ = su(2)C ist komplex dreidimensional und hat die Standardfaser su(2) ⊗ C ⊂ gl2 C. Ein Element aus su(2) ⊗ C hat die Form   iz2 z1 + iz3 mit z1 , z2 , z3 ∈ C, es gilt also su(2) ⊗ C = sl2 C. Man sieht −z1 + iz3 −iz2 nun, undel T – interpretiert als triviales B¨ undel mit Standardfaser  triviales B¨  dass ein 1 0 – su(2)C zu C 0 1 su(2)C ⊕ T = End(E). erg¨ anzt. F¨ ur die Pontrjaginklasse des komplexifizierten reellen Vektorb¨ undels AdP gilt (vgl. Anhang) p1 (AdP C ) = −2c2 (AdP C ). Außerdem ist wegen der Eigenschaften der Chernklassen c(AdP C ) = c(AdP C )c(T ) = c(AdP C ⊕ T ) = c(End(E)) = c(E ⊗ E ∗ ). Die Spaltungseigenschaft erlaubt es, das B¨ undel E formal als Summe zweier komplexer Geradenb¨ undel L und K darzustellen. Mit L∗ = L−1 und K ∗ = K −1 ist E = L ⊕ K und E ∗ = L−1 ⊕ K −1 . Außerdem ist c(L) = 1 + c1 (L) und c1 (L−1 ) = −c1 (L), analog f¨ ur K, sowie c1 (L ⊗ K) = c1 (L) + c1 (K). Diese und weitere Regeln f¨ ur den Umgang mit Chernklassen sind im Anhang aufgef¨ uhrt. Damit und mit c(E) = c(L ⊕ K) = c(L)c(K) = (1 + c1 (L))(1 + c1 (K)) = 1 + (c1 (K) + c1 (L)) + c1 (K)c1 (L) = 1 + c1 (E) + c2 (E)

Die Struktur des Modulraums

70

folgt c(AdP C ) = c(E ⊗ E ∗ ) = c((L ⊕ K) ⊗ (L−1 ⊕ K −1 )) = c(T ⊕ (K ⊗ L−1 ) ⊕ (L ⊗ K −1 ) ⊕ T ) = c(T )c(K ⊗ L−1 )c(L ⊗ K −1 )c(T ) = c(K ⊗ L−1 )c(L ⊗ K −1 ) = (1 + c1 (K) − c1 (L))(1 + c1 (L) − c1 (K)) = 1 − (c1 (L) − c(K))2 = 1 − (c1 (L) + c1 (K))2 + 4c1 (L)c1 (K) = 1 − (c1 (E))2 + 4c2 (E). Schließlich gilt c2 (AdP C ) = c2 (E ⊗ E ∗ ) = −(c1 (E))2 + 4c2 (E) = 4c2 (E), 1 Spur(F ) = 0 f¨ ur die Kr¨ ummung F ∈ Ω2 (su(2)) eines SU (2)da c1 (E) = 2π Zusammenhangs auf E. Mit diesen Rechnungen gilt jetzt Z Z Z C C p1 (AdP ) = −2 c2 (AdP ) = −8 c2 (E) = 8k, S4

S4

S4

wenn man die erste Pontrjaginklasse auswertet. Man beachte hierbei, dass f¨ ur das Prinzipalb¨ undel und das assoziierte Vektorb¨ undel c(P ) = c(E) ist.  Das liefert schließlich den Satz 4.9. Der Modulraum Mk der selbstdualen Zusammenh¨ ange 4 SU (2)-Prinzipalb¨ undels u ¨ber S mit Instantonzahl k > 0 hat die Dimension

eines

dimMk = 8k − 3. Beweis. F¨ ur die Eulercharakteristik χ und die Signatur σ der 4-Sph¨are gilt χ(S 4 ) = 2

und

σ(S 4 ) = 0.

Deshalb ist Z dimMk =


1 p1 (AdP C ) − dimSU (2) χ(S 4 ) − σ(S 4 ) 2

M

1 = 8k − 3(2 − 0) = 8k − 3. 2 Insbesondere gilt f¨ ur den Fall k = 1 dimM1 = 5.



Die Struktur des Modulraums

4.2

71

Die Parametrisierung der Instantons

Wie angek¨ undigt befasst sich dieser Abschnitt mit der expliziten Berechnung der Instantons zur topologischen Ladung k, das sind die selbstdualen Zusammenh¨ange eines SU (2)-Prinzipalb¨ undels u ¨ber S 4 , dessen zweite Chernklasse ausgewertet −k ergibt. Das Ziel ist jedoch nicht die Berechnung aller Instantons, sondern die Bestimmung eines Repr¨ asentanten einer Eichklasse, also eine Parametrisierung des Modulraums. Dabei wird man im Allgemeinen nicht erwarten k¨onnen, dass der gesamte Modulraum parametrisiert wird, sondern das Ergebnis ist die Berechnung einer lokalen Karte von Mk . Wie der vorige Abschnitt gezeigt hat, ist der Modulraum (8k − 3)-dimensional, so daß eine entsprechende Zahl reeller Parameter in die Konstruktion einfliessen wird. Zur Beschreibung wird der Schiefk¨orper H der Quaternionen herangezogen, da er es zul¨ aßt, die Basismannigfaltigkeit (genauer ein Kartengebiet) wegen

R4 3 (x0 , x1 , x2 , x3 )  x0 + x1 I + x2 J + x3 K ∈ H und die Gruppe SU (2) mit ihrer Liealgebra su(2) wegen    v u ˆ ˆ ˆ ; u, v ∈ C SU (2) ⊂ H und su(2) ⊂ H mit H = −¯ u v¯   v u ˆ  Re(v) + Re(u)I + Im(u)J + Im(v)K ∈ H H3 −¯ u v¯ gleichzeitig zu beschreiben. Dabei gilt SU (2)  {x ∈ H | |x| = 1} = Sp(1) und su(2)  {x ∈ Hk Re(x) = 0} = ImH. Die Bezeichnungen       i 0 0 i 0 1 und 1, I, J, K , σ3 = , σ2 = σ0 = 1, σ1 = i 0 0 −i −1 0 werden simultan benutzt, also x = x0 +x1 I +x2 J +x3 K = xµ σµ (Zur Unterscheidung werden die Indizes, die sich auf die Zerlegung der Quaternionen beziehen, durch griechische Buchstaben gekennzeichnet). Es gelten die bekannten Rechenregeln −σ02 = σ12 = σ22 = σ32 = −1, und σµ σν = σκ f¨ ur (µ, ν, κ) ∈ {1, 2, 3}3 zyklisch, sowie σµ∗ = −σµ f¨ ur µ ∈ {1, 2, 3}. F¨ ur x = x0 + x1 I + x2 J + x3 K ist x ¯ = x0 − x1 I − x2 J − x3 K und es gilt damit ∗ xy = y¯x ¯Außerdem sieht man x ¯ = (xH ¯x = det(xH ˆ ) und x ˆ ).

Hn ist als Vektorraum u¨ber H zu verstehen. Dabei ist Hn mit der komponentenweisen Addition und der skalaren Multiplikation

H × Hn → Hn mit (a, x) = (a, (x1 , ..., xn )) 7→ (x1 a, ..., xn a) = xa versehen. Die Wirkung linearer Abbildungen ist durch

Hk×n × Hn → Hk mit (A, x) 7→ Ax

Die Struktur des Modulraums

72

erkl¨ art. F¨ ur eine Matrix A ∈ Hk×n ist A∗ ∈ Hn×k mit (A∗ )ij = A¯ji . Es gilt ∗ ∗ A B = (BA)∗ , wohingegen wegen der fehlenden Kommutativit¨at im Allgemeinen A> B > und (BA)> nicht gleich sind. Hat man eine Zuordnung

H2 3 (a, b) 7→ f (a, b),

die nur von dem Quotienten von x und y abh¨angt, f¨ ur y 6= 0 etwa f (x, y) = −1 2 g(xy ), so ist f¨ ur zwei Punkte (a, b) und (c, d) in H , die dieselbe Klasse in P1 H repr¨ asentieren, also (c, d) = (a, b)t mit t ∈ H \ {0} f (c, d) = g(cd−1 ) = g(at(bt)−1 ) = g(ab−1 ) = f (a, b). Da S 4 und P1 H diffeomorph sind, kann man ein solches f als Zuordnung mit Definitionsbereich S 4 betrachten. Eine Karte von S 4 bekommt man etwa durch die homogenen Koordinaten auf P1 H mit y = 1, die andere mit x = 1. Betrachtet wird die Abbildung

H2 3 (x, y) 7→ By − Cx = M (x, y) ∈ H(k+1)×k mit zwei Matrizen B, C ∈ H(k+1)×k derart, dass gilt: (1) M (x, y)∗ M (x, y) ist f¨ ur alle Paare (x, y) 6= (0, 0) eine invertierbare k×k-Matrix Insbesondere haben dann M und damit auch B und C den vollen Rang k. Die Zuordnung

H2 3 (x, y) 7→ spanH {Spalten von M (x, y)} ⊂ Hk+1 ist wegen M (x, y) = M (xy −1 , 1)y = M (1, yx−1 )x nur von dem Quotienten von x und y, also von der Klasse [x, y] in P1 H abh¨angig. Man erh¨alt somit eine Abbildung S 4 3 [x, y] 7→ E[x,y] = spanH {Spalten von M (x, y)} ⊂ Hk+1 . Das liefert dann ein Vektorb¨ undel E u ¨ber S 4 vom Rang k als Unterb¨ undel von 4 k+1 S × H . Die Faser von E u ¨ber z = [x, y] ist dann Ez . Trivialisierungen sind durch die homogenen Koordinaten gegeben, etwa

H × Hk → E mit (x, a1 , ..., ak ) 7→ ([x, 1],

k X

Mi (x, 1)ai ).

i=1

Dabei ist Mi die i-te Spalte der Matrix M . Das triviale B¨ undel S 4 × Hk+1 l¨aßt sich mittels der nat¨ urlichen Bilinearform h : Hk+1 × Hk+1 → H mit

h(v, w) = v ∗ w

Die Struktur des Modulraums

73

in die direkte Summe von E und seinem orthogonalen Komplement bez¨ uglich h zerlegen. Mit L = E ⊥ gilt somit S 4 × Hk+1 = E ⊕ L. Die Faser Lz von L u ¨ber 4 z ∈ S ist dann gegeben durch o n ur alle w ∈ Ez . Lz = v ∈ Hk+1 v ∗ w = 0 f¨ Auf dem B¨ undel S 4 × Hk+1 gibt es den trivialen Zusammenhang d mit d(s1 , ..., sk+1 ) = (ds1 , ..., dsk+1 ) f¨ ur einen Schnitt (s1 , ..., sk+1 ). Das B¨ undel L erh¨alt durch d und durch die faserweise Orthogonalprojektion P von S 4 × Hk+1 auf L einen Zusammenhang D. Dieser ist mit Y ∈ Γ(T S 4 ) und s ∈ Γ(L) definiert durch D = P ◦ d bzw. DY s = P ◦ dY s. Die lokale Darstellung dieses Zusammenhangs D (etwa in der Karte y = 1) ergibt sich aus einer lokalen Rahmung N : H → L. F¨ ur diese Rahmung gilt mit M (x) = M (x, 1) und nach Normierung von N f¨ ur alle x ∈ H: (2)

N (x)∗ M (x) = 0

(3)

N (x)∗ N (x) = 1

F¨ ur die Projektion P gilt in dieser Basis P = N N ∗ und f¨ ur einen Schnitt s ∈ Γ(L) schreibt man s = N a mit einer Abbildung a : H → H. Dann folgt Ds = N N ∗ d(N a) = N N ∗ (dN )a + N N ∗ N da = N (N ∗ dN + d)a. Die lokale Darstellung von D in dieser Rahmung ist also D = d + N ∗ dN . Man kann die topologische Ladung des B¨ undels L berechnen. Der Begriff macht hier Sinn, da man die lokalen Rahmungen von L normieren kann, und die Strukturgruppe von L sich somit auf Sp(1) = SU (2) reduziert. Die totale Chernklasse von L ist c(L) = 1 + c2 (L), da c1 (L) wegen der Strukturgruppe verschwindet, und die h¨oheren Chernklassen wegen des komplexen Rangs 2 von L gar nicht vorkommen. Das B¨ undel T = E ⊕ L ist trivial und deshalb gilt 1 = c(T ) = c(E)c(L). E ist per Konstruktion die Summe aus quaternionischen Geradenb¨ undeln E1 , ..., Ek , 4 deren Fasern u ¨ber z = [x, y] ∈ S gerade Ei,z = span{Mi (x, y)} sind. Wie f¨ ur L gilt auch f¨ ur diese B¨ undel c(Ei ) = 1 + c2 (Ei ), wobei sich diese berechnen lassen. Das B¨ undel Ei ist u ¨ber die Abbildung Mi (x, y) 7→ (x, y) kanonisch isomorph zu dem Standardgeradenb¨ undel u ¨ber P1 H. Dessen Faser u ¨ber [x, y] besteht aus all den Paaren (a, b) ∈ H2 \ {(0, 0)}, f¨ ur die [a, b] = [x, y] gilt. In diesem Sinne ist die Faser gerade [x, y]. Gem¨ aß [MS] ist die zweite Chernklasse dieses B¨ undels ein Erzeuger von H 4 (S 4 , Z), so dass sich nach Auswertung u ¨ber S 4 der Wert 1 ergibt.

Die Struktur des Modulraums

74

Q Das nutzt man aus und berechnet zun¨achst 1 = (1 + c2 (L)) ki=1 (1 + c2 (Ei )) = P P 1 + (c2 (L) + ki=1 c2 (Ei )), also c2 (L) = − ki=1 c2 (Ei ) (Die h¨oheren Terme in dem Produkt entfallen, da die Grundmannigfaltigkeit vierdimensional ist). Wertet man das aus, so ergibt sich f¨ ur L eine topologische Ladung von Z −

c2 (L) =

k Z X

c2 (Ei ) = k.

i=1

Im Laufe dieses Abschnitts wird noch gezeigt, dass D ein selbstdualer SU (2)-Zusammenhang auf L ist (vgl Satz 4.11). Man hat also mit Hilfe der Matrix M (x, y) ein k-Instanton konstruiert. ¨ Andert man die Matrix M , so bekommt man in der Regel andere B¨ undel E und L und somit einen anderen Instanton. Allerdings liefern nicht alle Matrizen verschiedene Instantons, sondern vielmehr liefert eine ganze Klasse von Matrizen der angegebenen speziellen Art eine ganze Eichklasse, also ein Element aus Mk . Bei den Operationen, die zur Ver¨ anderung von M herangezogen werden, muss insbesondere darauf geachtet werden, dass die lineare Struktur und die Eigenschaft (1) erhalten bleiben. Alle Transformationen, die diese Eigenschaft haben, sind vom Typ SM T mit T ∈ GLk R und S ∈ GLk+1 H. Dabei garantiert die Beschr¨ankung auf konstante Matrizen die lineare Struktur der Konstruktion, die Beschr¨ankung auf reelle Matrizen T das Vertauschen mit den in der Konstruktion vorkommenden Quaternionen x und y, und die Invertierbarkeit von T und S die Rangbedingung an M . Nat¨ urlich muss bei bei der Wahl der Transformation die Eigenschaft (1) gewahrt bleiben. Zuerst bemerkt man, dass die Wirkung von GLk R keinen Einfluss auf die Konstruktion von D hat. Ist n¨ amlich T ∈ GLk R, so ist f¨ ur alle [x, y] = z ∈ S 4 Ez = ¨ span{Spalten von M (x, y)} = span{Spalten von M (x, y)T }, da T nur eine Anderung der Basis von Ez bewirkt. Das B¨ undel E bleibt somit unbeeinflusst. Anders verh¨ alt es sich mit der Wirkung von GLk+1 H. Eine Matrix S ∈ GLk+1 H liefert einen B¨ undelisomorphismus f zwischen den B¨ undeln E zu M und E 0 zu SM , der faserweise gerade S ist. Dieser wiederum induziert einen Isomorphismus f˜ zwischen L = E ⊥ und L0 = E 0⊥ . Dieser ist faserweise gegeben durch Lz 3 v 7→ f˜(v) = (S −1 )∗ v ∈ L0z , denn die Abbildung P ist nat¨ urlich ein Isomorphismus und f¨ ur w = P ∗ gilt h((S −1 )∗ v, w) = v ∗ S −1 SMi wi = v Mi wi = 0.

P

SMi wi ∈ Ez0

Bemerkung. Um die Zusammenh¨ange auf L und L0 vergleichen zu k¨onnen, erweitert man den Begriff der Eich¨aquivalenz auf naheliegende Weise: Man nennt zwei G-Zusammenh¨ange D und D0 auf zwei G-B¨ undeln L und L0 eich¨aquivalent, wenn die B¨ undel isomorph sind und wenn der mit Hilfe eines Isomorphismus g zur¨ uckgeholte Zusammenhang g ◦ D0 ◦ g −1 auf L eich¨aquivalent zu D ist. W¨ ahlt man den Isomorphismus geeignet, so sind die Zusammenh¨ange gleich

Die Struktur des Modulraums

75

(vgl. Beispiel 4 in Abschnitt 1.2.3). Insbesondere muss der Isomorphismus g die G-Struktur erhalten. In dem obigen speziellen Fall bedeutet das f˜ ∈ Sp(1), denn die Struktur wird durch h vermittelt, und f¨ ur v, w ∈ Lz gilt h(v, w) = h(f˜(v), f˜(w)) ⇔ f˜ ∈ Sp(1). F¨ ur die Matrix S bedeutet das h(v, w) = v ∗ w = h(f˜(v), f˜(w)) = h((S −1 )∗ v, (S −1 )∗ w) = ((S −1 )∗ v)∗ (S −1 )∗ w = v ∗ S −1 (S −1 )∗ w = v ∗ (S ∗ S)−1 w. Da h nicht entartet ist, folgt S ∈ Sp(k + 1) = {A ∈ GLk+1 H | A∗ A = 1}. Damit die Zusammenh¨ ange auf L und L0 eich¨aquivalent sind, muss S aus Sp(k + 1) gew¨ahlt werden. Andererseits gilt auch die Umkehrung: W¨ahlt man S aus Sp(k + 1), so sind die Zusammenh¨ ange auf L und L0 eich¨aquivalent, denn f˜ ist schon der geeignete Sp(1)-Isomorphismus, der D mit D0 vergleicht. Es gilt n¨amlich f˜−1 ◦ D0 ◦ f˜ = S ∗ ◦ P 0 ◦ d ◦ S = S ∗ ◦ P 0 ◦ S ◦ d = P ◦ d = D, wobei die Gleichheit S ∗ ◦ P 0 ◦ S = P f¨ ur v + w ∈ Ez ⊕ Lz also Sv + Sw ∈ Ez0 ⊕ L0z ∗ 0 ∗ 0 aus S ◦ P ◦ S(v + w) = S P (Sv + Sw) = S ∗ Sw = w = P (v + w) folgt. Man zeigt, dass hierdurch der Modulraum Mk schon fast vollst¨andig charakterisiert ist. Eine kleine Korrektur ergibt sich nur daraus, dass die Wirkung von (−1, −1) und (1, 1) aus Sp(k + 1) × GLk R auf eine Matrix M die Gleiche ist. Man hat damit den folgenden Satz, den man in [DV], Expos´e 7, findet. Satz 4.10.

(1) F¨ ur k > 0 ist

n ˜ = (B, C) ∈ Θ

H




(k+1)×k 2 (By − Cx) (By − Cx) ∈ GLk R ∀(x, y) ∈ H \{0} ∗

2

o

eine nichtleere Untermannigfaltigkeit von (H(k+1)×k )2 und die Gruppe G = Sp(k + 1) × GLk R {(1, 1), (−1, −1)} ˜ Der operiert u ¨ber ((g, h), (B, C)) 7→ (gBh−1 , gCh−1 ) eigentlich und frei auf Θ. ˜ Quotient Θ = ΘG ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension 8k − 3. (2) Es gibt eine kanonische Bijektion zwischen Θ und Mk . Das Hauptaugenmerk liegt in diesem Abschnitt wie gesagt auf der Konstruktion der Instantons, so dass die entscheidenden Teile dieses Satzes hier die Anzahl der freien

Die Struktur des Modulraums

76

Parameter in der Menge Θ und die Injektivit¨at in (2) sind. Die Beweise f¨ ur diese Teile werden durch die Konstruktion erbracht. Zur weiteren Untersuchung beschr¨ankt man sich auf eine Karte von S 4 , etwa y = 1. Das heißt man betrachtet die Matrizen der Form M (x) = B − Cx mit x ∈ H und C, B ∈ H(k+1)×k und eine Karte N von L der oben angegebenen Form. Dabei haben B und C den Rang k, die Matrix M besitzt die Eigenschaft (1) und N ist eine Abbildung von H nach Hk+1 mit den Eigenschaften (2) und (3). (1) M ∗ M ∈ GLk R (2) N ∗ M = 0

(3) N ∗ N = 1.

Wie oben berechnet wurde, hat der Zusammenhang D auf L, der den Instanton liefert, die lokale Darstellung A = N ∗ dN. Es gilt A = Aµ dxµ = N ∗ ∂µ N dxµ und wegen ∂µ (N ∗ N ) = 0 schließlich A∗µ = (N ∗ ∂µ N )∗ = (∂µ (N ∗ N ) − (∂µ N ∗ )N )∗ = −N ∗ ∂µ N = −Aµ . A ist also eine 1-Form mit Werten in su(2). Außerdem gilt der folgende Satz 4.11. Die Kr¨ ummung F zum Zusammenhang A hat die lokale Darstellung µ ν F = Fµν dx ∧ dx mit Fµν = −

3 X

k 2N ∗ C(M ∗ M )−1 ηµν σk C ∗ N

k=1

und es gilt ∗F = F . k und η k ¨ Dabei sind ηµν ¯µν ahnlich den η-Symbolen, die von G. t´Hooft in [tHo] eingef¨ uhrt wurden. Ein Unterschied zu den Symbolen dort, resultiert aus einer anderen Nummerierung der Quaternionen. F¨ ur k = 1, 2, 3 sind sie hier durch die folgenden Eigenschaften definiert: ( εkµν falls µ, ν = 1, 2, 3 k k ηµν = −ηνµ = δkν falls µ = 0 ( εkµν falls µ, ν = 1, 2, 3 k δ0µ +δ0ν k η¯µν = (−1) ηµν = −δkν falls µ = 0

Beweis. Wegen F = dA + A ∧ A ist Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + [Aµ , Aν ], also Fµν = ∂µ (N ∗ ∂ν N ) − ∂ν (N ∗ ∂µ N ) + [N ∗ ∂µ N, N ∗ ∂ν N ] = (∂µ N ∗ )(∂ν N ) − (∂ν N ∗ )(∂µ N ) + N ∗ (∂µ N )N ∗ (∂ν N )] − N ∗ (∂ν N )N ∗ (∂µ N ) = (∂µ N ∗ )(∂ν N ) − (∂ν N ∗ )(∂µ N ) − (∂µ N ∗ )N N ∗ (∂ν N ) + (∂ν N ∗ )N N ∗ (∂µ N ) = (∂µ N ∗ )(1 − N N ∗ )(∂ν N ) − (∂ν N ∗ )(1 − N N ∗ )(∂µ N ).

Die Struktur des Modulraums

77

1 − N N ∗ ist die Orthogonalprojektion von Hk+1 auf U = span {Spalten von M } = span {N }⊥ und es gilt

1 − N N ∗ = M (M ∗ M )−1 M ∗ . Zum Beweis sei v = N b + w ∈ N H ⊕ U . Dann ist (1 − N N ∗ )(v) = v − N N ∗ N b − N N ∗ w = v − N b = w

und M (M ∗ M )−1 M ∗ v = M (M ∗ M )−1 M ∗ N b + M (M ∗ M )−1 M ∗ w = w. Dabei folgt die letzte Gleichheit aus der Identit¨at M ∗ M (M ∗ M )−1 M ∗ w = M ∗ w, weil M ∗ eingeschr¨ ankt auf U bijektiv ist. Aus der Eigenschaft (2) folgt (∂µ N ∗ )M = −N ∗ (∂µ M ) und ausserdem gilt ∂µ M = ∂µ (B − Cx) = −Cσµ . Beachtet man noch, dass wegen (1) (M ∗ M )−1 mit den σµ kommutiert, so rechnet man weiter Fµν = (∂µ N ∗ )(1 − N N ∗ )(∂ν N ) − (∂ν N ∗ )(1 − N N ∗ )(∂µ N ) = (∂µ N ∗ )M (M ∗ M )−1 M ∗ (∂ν N ) − (∂ν N ∗ )M (M ∗ M )−1 M ∗ (∂µ N ) = N ∗ (∂µ M )(M ∗ M )−1 (∂ν M ∗ )N − N ∗ (∂ν M )(M ∗ M )−1 (∂µ M ∗ )N = N ∗ Cσµ (M ∗ M )−1 σν∗ C ∗ N − N ∗ Cσν (M ∗ M )−1 σµ∗ C ∗ N = N ∗ C(M ∗ M )−1 (σµ σν∗ − σν σµ∗ )C ∗ N. F¨ ur µ = 0 6= ν ist σµ σν∗ − σν σµ∗ = −2σν = −2

3 X

δνk σk = −2

k=1

3 X

k η0ν σk ,

k=1

f¨ ur µ, ν = 1, 2, 3, µ 6= ν ist σµ σν∗ − σν σµ∗ = −σµ σν + σν σµ = −2σµ σν = −2

3 X

εkµν σk = −2

k=1

und f¨ ur µ = ν ist

σµ σν∗

−

σν σµ∗

3 X

k ηµν σk

k=1

= 0. Es gilt also schließlich

Fµν = −2

3 X

k N ∗ C(M ∗ M )−1 ηµν σk C ∗ N.

k=1

Die Koeffizienten von ∗F rechnet man mit Hilfe der Eigenschaften der σ-Matrizen oder der η-Symbole direkt nach. Exemplarisch gilt etwa 1X (∗F )µµ = εµµνκ Fνκ = 0 = Fµµ , 2 κν 1X 1 (∗F )02 = ε02µν Fµν = (−F13 + F31 ) = F31 = F02 , 2 µν 2

Die Struktur des Modulraums

78

denn σ3 σ1∗ − σ1 σ3∗ = −2σ3 σ1 = −2σ2 = σ0 σ2∗ − σ2 σ0∗ und (∗F )23 =

1X 1 ε23µν Fµν = (F01 − F10 ) = F01 = F23 . 2 µν 2

Also gilt tats¨ achlich ∗F = F .



Durch diesen Satz ist gezeigt, dass der Zusammenhang A selbstdual ist. ¨ Gesucht sind also im Folgenden Anderungen an M , die den Zusammenhang, bzw. ¨ die entsprechende Klasse, nicht ¨andern. Diese Anderungen werden eine kanonische Form f¨ ur M liefern, also einen ausgezeichneten Zusammenhang. Die Forderung (1) an die Matrix M ist, abgesehen von der Invertierbarkeit, gleichbedeutend mit den Bedingungen (1a)

C ∗ C ist eine reelle Matrix

(1b)

B ∗ B ist eine reelle Matrix

(1c)

B ∗ C = (B ∗ C)>

Es gilt M ∗M = B∗B + x ¯C ∗ Cx − (¯ xC ∗ B + B ∗ Cx), und da dies f¨ ur alle x ∈ H reell sein soll, folgt mit x = 0 sofort (1b). F¨ ur relle x = x ¯ ist M ∗ M = B ∗ B + x2 C ∗ C − x(C ∗ B + B ∗ C), woraus Im(C ∗ C) = Im(C ∗ B + B ∗ C) = 0 folgt, also insbesondere (1a). Fasst man das Bisherige zusammen, so liefert das (¯ x vertauscht mit der reellen Matrix C ∗ C) M ∗ M = B ∗ B + |x|2 C ∗ C − (¯ xC ∗ B + B ∗ Cx). ¯C ∗ B + B ∗ Cx f¨ ur alle x Damit dieser Ausdruck reell ist, muss x ¯C ∗ B + B ∗ Cx = x gelten. Eine kurze Rechnung zeigt x ¯C ∗ B + B ∗ Cx = x ¯C ∗ B + B ∗ Cx ⇔x ¯(B ∗ C)∗ + B ∗ Cx = (B ∗ C)> x + x ¯B ∗ C ⇔x ¯((B ∗ C)> − B ∗ C) = ((B ∗ C)> − B ∗ C)x ⇔ ((B ∗ C)> − B ∗ C)x = ((B ∗ C)> − B ∗ C)x, wobei der letzte Ausdruck nur dann f¨ ur beliebige x erf¨ ullt ist, wenn der Koeffizient vor x verschwindet, also (1c) gilt (man setze nacheinander die Werte 1, I, J und K ein)

Die Struktur des Modulraums

79

Es gibt eine Matrix G ∈ Sp(k + 1) mit C 0 = GC =



0 Cˆ 0

 ,

wobei Cˆ 0 wegen des vollen Rangs von C invertierbar ist. Dieses G findet man, da P 2 an die (k + 1) Eintr¨ age von G durch die der Nullzeile l G1l Clj = 0 P Forderung ¯ li Glj = δij f¨ f¨ ur j = 1, ..., k und durch die Forderung l G ur i ≤ j; i, j = 1, ..., k + 1 gerade k + 12 (k + 1)(k + 2) = 12 (k 2 + 5k + 2) ≤ (k + 1)2 Bedingungen gestellt sind. F¨ ur das so erhaltene C 0 gilt wegen (1a) (C 0 )∗ C 0 = (Cˆ 0 )∗ Cˆ 0 = (GC)∗ GC = C ∗ G∗ GC = C ∗ C = R ∈ GLk R Da R symmetrisch und positiv definit ist, gibt es eine Matrix T ∈ GLk R mit T > RT = 1. Setzt man   0 00 0 , C =CT = Cˆ 00 so gilt damit (C 00 )∗ C 00 = (Cˆ 00 )∗ Cˆ 00 = (C 0 T )∗ C 0 T = T > (C 0 )∗ C 0 T = T > RT = 1.   1 0 Schließlich definiert man noch S ∈ Sp(k+1) durch S = und bekommt 0 (Cˆ 00 )∗ schließlich die kanonische Form f¨ ur C durch      1 0 0 0 00 Ckan = SC = = . 1 0 (Cˆ 00 )∗ Cˆ 00 Definition 4.12. Zu M (x) = B − Cx heißt die durch das obige Verfahren erhaltene Matrix Mkan = SGM (x)T mit   0 Mkan (x) = Bkan − 1x die kanonische Form von M . Wegen ∗ Bkan Bkan = T > B ∗ BT

und ∗ ∗ Bkan Ckan − (Bkan Ckan )> = T > B ∗ CT − (T > B ∗ CT )> = T > (B ∗ C − (B ∗ C)> )T

u ¨bertragen sich die Bedingungen (1b) und (1c) direkt auf die kanonische Form und liefern noch weitere Einschr¨ ankungen in der Wahl der Eintr¨age der Matrix Bkan . Setzt man (Bkan )ij = bij und (Ckan )ij = cX so ist (1c) gleichbedeuij = δi,j+1 , X ∗ C ∗ C ¯ ¯blj cli oder schließlich tend mit (Bkan ) = (B ) oder b c = kan ij li lj kan kan ji l

bj+1,i = bi+1,j f¨ ur alle i, j = 1, ..., k.

l

Die Struktur des Modulraums

80 

 λ k×k und λ ∈ ˆ ˆ> F¨ ur Bkan bedeutet das Bkan = ˆ mit B = B ∈ H B samt hat man f¨ ur die kanonische Form Mkan die Darstellung   λ Mkan = ˆ − 1x B

H1×k . Insge-

ˆ und λ wie oben. Die Anzahl reeller Parameter ist gesunken auf 4k (aus λ) mit B ˆ also auf 2k 2 + 6k. Die Realit¨atsbedingung (1b) als zuz¨ uglich 4 12 k(k + 1) (aus B), ˆij = bij dann (λ∗ λ)ij +(B ˆ ∗ B) ˆ ij = Gleichung formuliert lautet B ∗ B = B ∗ B oder mit B P P ¯ i λj + ¯bli blj = λ ¯ j λi + ¯blj bli f¨ ˆ ∗ B) ˆ ij bzw. λ ur alle i, j = 1, ..., k. (λ∗ λ)ij + (B l

l

Die Anzahl der daraus resultierenden reellen Gleichungen ermittelt man recht einfach, wenn man die Matrixelemente in Komponenten zerlegt. Zuerst bemerkt man jedoch, dass die Gleichung f¨ ur i = j keine Bedingung liefert, und dass sich beim Tausch von i und j die Gleichung nicht ¨andert. Mit λi = λµi σµ und bij = bµij σµ hat man also X µ X µ ur i > j. (#) blj bνli )σµ∗ σν = 0 f¨ bli bνlj − λµj λνi + B ∗ B = B ∗ B ⇔ (λµi λνj + l

l

Sortiert man nach 1, σ1 , σ2 und σ3 , so sieht man, dass der Koeffizient vor 1 (das sind alle Summanden mit µ = ν) verschwindet, und nur die drei anderen Koeffizienten Gleichungen liefern. Insgesamt sind das 32 k(k − 1), so dass die Zahl effektiver Parameter in der Konstruktion der Zusammenh¨ange auf 1 15 3 2k 2 + 6k − k(k − 1) = k 2 + k 2 2 2 gesunken ist. Weiter reduziert wird diese Zahl durch den folgenden Satz 4.13. Die Transformationen, die einen eich¨ aquivalenten Zusammenhang liefern und gleichzeitig die kanonische Form von M repr¨ asentieren, sind genau die der Form   q 0 M 7→ MT 0 T> mit q ∈ Sp(1) und T ∈ O(k). Beweis.

Das diese angegebenen  Transformationen eich¨aquivalente Zusammenq 0 h¨ange liefern, ist klar, da ∈ Sp(k + 1) und T ∈ GLk R. 0 T> Damit aber auch die kanonische T   Form  bei einer Transformation von M  zu SM  s ∗ 0 0 11 erhalten bleibt, muss S = T −1 gelten. Mit S = (sij ) = 1 1 ∗ S˜     s12 , ..., s1,k+1 0 heißt das = , also S˜ = T −1 und s1j = 0 f¨ ur j ≥ 2. Nun −1 ˜ T S

Die Struktur des Modulraums

81

gilt aber zus¨ atzlich noch S ∗ S = 1, also  

s¯11 s¯21 , ..., s¯k+1,1 0 (T −1 )>

   

s11 s21 .. .

0 T −1

    = 1. 

sk+1,1 Daraus ergibt sich (T −1 )> T −1 = 1, (T −1 )> (s21 , ..., sk+1,1 )> = 0 und P 2 > |s11 |2 + k+1 j=2 |sj1 | = 1, insbesondere T ∈ O(k), (s21 , ..., sk+1,1 ) = 0 und somit s11 = q ∈ Sp(1). Insgesamt hat man also die in dem Satz behauptete Form der Transformation erhalten.  Die Operation der Gruppe H = O(k) × Sp(1) {(1, 1), (−1, −1)} auf der Untermannigfaltigkeit     λ k(k+1) > ˆ ∈H ˆ=B ˆ und B ∆ = (λ, B) erf¨ ullt (# ) ˆ − 1x B von Hk(k+1) gem¨ aß Satz 4.13 ist frei, und der Quotient ist wegen des Satzes 1 des Anhangs eine Mannigfaltigkeit der Dimension dim∆ − dimH. Da die Gruppen O(k) und Sp(1) die Dimension 21 k(k − 1) bzw. 3 haben, reduziert sich, wie angek¨ undigt, die Zahl der freien Parameter in ∆ nochmal um diese Werte, so dass man schließlich zu einer Parameterzahl von 1 2 15 1 k + k − k(k − 1) − 3 = 8k − 3 2 2 2 gelangt. Durch diese Rechnungen hat man ein Verfahren bekommen, die Instantons explizit zu berechnen. In der Praxis tauchen allerdings Probleme auf. So zum Beispiel in der Bestimmung aller Matrizen B, die die gew¨ unschten nichtlinearen Gleichungen ∗ ∗ resultierend aus B B = B B erf¨ ullen. Eine Matrix B, bzw. M , kann man allerdings sofort angeben:   λ1 ··· λk  b1 − x    M =  . .   . bk − x mit λi ∈ R und bi ∈ H. Auch das entsprechende N l¨aßt sich in diesem Fall leicht berechnen. Dazu bestimmt man die Koeffizienten N2 , ..., Nk+1 in Abh¨angigkeit von N1 aus der Gleichung N ∗ M = 0, bzw. ¯1 + N ¯i (bi−1 − x) = 0 λi−1 N

f¨ ur i = 2, ..., k + 1.

Setzt man N1 = ρ1 u mit einer Funktion u : H → Sp(1) und einem Normierungsfaktor ρ, so ist 1 1 λi−1 (bi−1 − x) N1 = u und Ni = − u f¨ ur i ≥ 2 ρ ρ |bi−1 − x|2

Die Struktur des Modulraums

82

λ2i . Daraus kann man das Potential gem¨aß A = N ∗ dN 2 i=1 |bi − x| berechnen. Im Fall u = 1 bekommt man die so genannten t´Hooft k-Instantons (vgl. z.B. [Ac], [BCW], [CWS]). Man gelangt auf diese Weise im Fall k > 1 allerdings nicht zu allen Instantons, was man schon daran erkennt, dass es hier nur 5k < 8k − 3 freie Parameter gibt. W¨ ahlt man allerdings die λi nicht reell, so ben¨otigt man ˆ Im Fall zur Wahrung der Gleichung B ∗ B = B ∗ B Nebendiagonalelemente in B. ˆii − B ˆjj |  |λk | f¨ |B ur alle i, j, k kann man die entsprechenden Potentiale durch t´Hooft-L¨ osungen approximieren (vgl. [CWS]). mit ρ2 = 1 +

k P

Wendet man sich dem Fall k = 1 zu, so liefert der Ansatz   λ M= b−x die richtige Zahl Parameter und alle Instantons. Dabei ist λ > 0 reell und b ein Quaternion. λ > 0 reicht hier aus, da man im Fall Imλ 6= 0 zur Matrix !  ¯ λ 0 λ |λ| u ¨bergehen kann. b−x 0 1 Eine L¨ osung von N ∗ M = 0 ist dann (u = 1):   1 1 N (x) =  λ(b − x)  mit − ρ |b − x|2

ρ2 = 1 +

λ2 . |b − x|2

Das dazu geh¨ orige Potential A berechnet sich zu ¯1 ∂µ N1 + N ¯2 ∂µ N2 Aµ = N =

1 1 1 λ2 (b − x) 1 (b − x) 1 (b − x) ∂µ ( ) + (∂µ ( ) + ∂µ ) ρ ρ ρ |b − x|2 ρ |b − x|2 ρ |b − x|2

1 λ2 λ2 (b − x) (b − x) 1 1 1 ∂µ ( ) + ∂µ ( ) + ∂µ ρ ρ ρ ρ |b − x|2 ρ2 |b − x|2 |b − x|2   (b − x)∂µ (b − x) 1 λ2 λ2 1 1 = ∂µ ( )(1 + ) + 2 ∂µ + ρ ρ |b − x|2 ρ |b − x|2 |b − x|4   1 λ2 2(bµ − xµ ) (b − x)∂µ (b − x) = ρ∂µ ( ) + 2 + ρ ρ |b − x|4 |b − x|4   ∂µ (ρ2 ) λ2 2(bµ − xµ ) (b − x)∂µ (b − x) =− + 2 + 2ρ2 ρ |b − x|4 |b − x|4   λ2 (bµ − xµ ) λ2 2(bµ − xµ ) (b − x)∂µ (b − x) =− 2 + 2 + ρ |b − x|4 ρ |b − x|4 |b − x|4
λ2 µ µ = 2 (b − x ) + (b − x)∂ (b − x) µ ρ |b − x|4

=

Die Struktur des Modulraums

=

83

3 X −λ2 k η¯µν σk (bν − xν ) . (λ2 + |b − x|2 )|b − x|2 k=1

Die G¨ ultigkeit der letzten Gleichung rechnet man direkt nach. F¨ ur µ = 0 und µ = 1 gilt exemplarisch: 3 X

k η¯1ν σk (bν

ν

−x )=

k=1

=

3 X 3 X

ν

ν

εk1ν σk (b − x ) +

k=1 ν=1 ε213 (b3 − 0 0

3

2

3 X

δ1k σk (b0 − x0 )

k=1 2

x )σ2 + ε312 (b − x )σ3 + (b0 − x0 )σ1

= (b − x )σ1 − (b3 − x3 )σ2 + (b2 − x2 )σ3
= − (b0 − x0 ) + (b3 − x3 )σ2 σ1 − (b2 − x2 )σ3 σ1 (−σ1 ) − (b1 − x1 ) + (b1 − x1 )σ1 (−σ1 )
= (b0 − x0 ) − (b3 − x3 )σ3 − (b2 − x2 )σ2 − (b1 − x1 )σ1 σ1 + (b1 − x1 )   = − (b1 − x1 ) + (b − x)∂1 (b − x) und 3 X

k η¯0ν σk (bν − xν ) =

k=1

3 X

(−δνk )σk (bν − xν ) = −

3 X

σν (bν − xν )

ν=1

k=1

= −Im(b − x) = −((b0 − x0 ) − (b0 − x0 ) − Im(b − x)) = −((b0 − x0 ) + (b − x)(−σ0 )) = −((b0 − x0 ) + (b − x)∂0 (b − x)) Was in dieser Darstellung des Instantons sofort auff¨allt, ist die Singularit¨at von A in x = b. Diese kann allerdings mit Hilfe einer geeigneten Eichtransformation beseitigt werden. Die entsprechende Transformation lautet g(x) =

b−x . |b − x|

F¨ ur die Ableitungen dieser Abbildung gilt b−x b−x b−x 1 ∂µ = ∂µ (b − x) + |b − x|∂µ 2 |b − x| |b − x| |b − x| |b − x| 1 1 = (b − x∂µ (b − x) − ∂µ |b − x|2 ) |b − x|2 2 1 = (b − x∂µ (b − x) + (bµ − xµ )) |b − x|2

g −1 ∂µ g =

Die Struktur des Modulraums

=−

3 X

84

k η¯µν

bν − xν |b − x|2

k ηµν

bν − xν . |b − x|2

k=1

sowie analog g∂µ g

−1

=−

3 X k=1

Man berechnet f¨ ur das eichtransformierte Potential dann Agµ = gAµ g −1 + g∂µ g −1 =g

3 X −λ2 k η¯µν σk (bν − xν )g −1 + g∂µ g −1 (λ2 + |b − x|2 )|b − x|2 k=1

λ2

gg −1 (∂µ g)g −1 + g∂µ g −1 λ2 + |b − x|2 −λ2 + 1)g∂µ g −1 =( 2 λ + |b − x|2 |b − x|2 = 2 g∂µ g −1 λ + |b − x|2 3 X −1 k = 2 ηµν σk (bν − xν ). λ + |b − x|2 =

k=1

Insbesondere sieht man, dass das so transformierte Potential im Limes |x| → ∞ einer reinen Eichung entspricht. Das heißt A ∝ gdg −1 mit einer SU (2)-wertigen Funktion g. Von dieser Situation ausgehend zeigt man, dass man das so gewonnene Potential als lokale Darstellung eines SU (2)-Zusammenhangs auf einem B¨ undels 4 ¨ u ¨ber S interpretieren kann, dessen Ubergangsfunktion g ist. Man berechnet per Integration die Instantonzahl dieses B¨ undels, etwa mit der lokalen Darstellung des Yang-Mills-Funktionals. Man erh¨alt – z.B. mit Satz 4.11 – P k σ −2λ2 3k=1 ηµν k Fµν = 2 2 2 (λ + |b − x| ) und −

1X 48λ4 Spur(Fµν Fµν )d4 x = 2 d4 x . 2 µν (λ + |b − x|2 )4

¨ ¨ Ubereinstimmend mit den geometrischen Uberlegungen zu Beginn dieses Abschnitts, ergibt sich der Wert Z d4 x 4 = 8π 2 48λ R4 (λ2 + |b − x|2 )4 (vgl. [Na], [GS]).

Die Struktur des Modulraums

4.3

85

Ausblick

Dass der lokale ADHM-Ansatz wirklich Zusammenh¨ange gibt, die sich auf S 4 erweitern lassen, liefert – unabh¨ angig von der einf¨ uhrenden geometrischen Betrachtung – der folgende Satz von Uhlenbeck (vgl. [WW]). Satz 4.14. eine L¨ osung der Yang-Mills-Gleichung auf R4 mit endlicher R Sei A 2 Wirkung R4 |FA | . Dann gibt es ein B¨ undel E u ¨ber S 4 mit Zusammenhang D, der (¨ uber die stereographische Projektion) die lokale Darstellung d + A hat. Das Ergebnis des in diesem Kapitel ausgearbeiteten Ansatzes ist, wie der Satz 4.10 zeigt, die Berechnung aller Instantons. Zum Beweis des angegebenenn Satzes sind jedoch Hilfsmittel notwendig, die den Rahmen dieser Arbeit sprengen w¨ urden. Die Idee ist das Penrose-Twistor-Programm. Hier wird das Problem des L¨osens der Feldgleichungen in eine Problem der algebraischen Geometrie u ¨bersetzt. Das Resultat fasst man in dem folgenden Satz zusammen (vgl. – insbesondere zu den Bezeichnungen in (2) – [At], [DV], [WW], [AHS] oder [AW]). Satz 4.15. Es gibt eine nat¨ urliche Bijektion zwischen 1. der Menge aller selbstdualen SU (2)-Zusammenh¨ ange u ¨ber S 4 (modulo Eichtransformationen) und 2. der Menge aller holomorphen Vektorb¨ undel E vom Rang 2 u ¨ber P3 C (modulo Isomorphie) mit: • E besitzt eine symplektische Struktur. • Die Einschr¨ ankung von E zu den reellen Geraden in P3 C ist trivial. Desweiteren liefert, wie in der Einleitung kurz angerissen, die Geometrie des Modulraums interessante Ergebnisse unter anderem in der Untersuchung der Topologie glatter vierdimensionaler Mannigfaltigkeiten (zusammengefasst ist das in [Do]). So zeigt man, dass der Modulraum M1 diffeomorph zu R5 ist. Genauer zeigen die Autoren in [AHS], dass die Gruppe SO(5, 1) der konformen Diffeomorphismen von S 4 transitiv auf M1 operiert, mit Isotropiegruppe SO(5). Das liefert einen Diffeomorphismus zwischen M1 und dem f¨ unfdimensionalen hyperbolischen Raum SO(5, 1)SO(5). Weitere direkte Rechnungen liefern auf M1 eine Metrik g und einen Koordinatendiffeomorphismus Φ mit (Φ∗ g)ij = ψ(|x|)δij , wobei ψ eine Funktion ist, die nur von der Norm von x ∈ R5 abh¨angt. Damit lassen sich f¨ ur (M1 , g) folgende Aussagen nachweisen (vgl. [GP]). Satz 4.16.

(a) (M1 , g) ist konform flach.

(b) (M1 , g) ist radial-symmetrisch, d.h. die Operation von SO(5) auf S 4 induziert eine Isometrie auf M1 , deren Pullback die normale SO(5)-Operation auf R5 ist.

Die Struktur des Modulraums

86

(c) (M1 , g) hat einen endlichen Radius und ein endliches Volumen und der Rand von M1 ist dann gerade S 4

Anhang ¨ Der Anhang enth¨ alt eine Ubersicht verschiedener Begriffe aus der Differentialgeometrie und der Topologie, die im vorliegenden Text Verwendung finden. Er dient nicht der ausf¨ uhrlichen Behandlung dieser Thematik, sondern ist eher als Erl¨auterung der Notation gedacht. Dar¨ uberhinaus werden einige Ergebnisse aus den oben genannten Gebieten aufgef¨ uhrt, auf die im Text direkt Bezug genommen wird. Dabei handelt es sich insbesondere um S¨atze zur Konstruktion von B¨ undeln und zu den Eigenschaften charakteristischer Klassen.

Grundlagen der Differentialgeometrie Dieser Abschnitt behandelt insbesondere die Begriffe Liegruppe und Liealgebra mit ihren Darstellungen, sowie den Begriff des Faserb¨ undels. Verzichtet wird hier auf die Definition der grundlegenden Begriffe wie Mannigfaltigkeit, Tangentialvektor, Cotangentialvektor, (r, s)-Tensor, k-Form und deren Zusammenfassung zu B¨ undeln. Diese werden f¨ ur eine Mannigfaltigkeit M u ¨blicherweise mit Tangentialb¨ undel, T M , Cotangentialb¨ undel, T ∗ M , (r, s)-Tensorb¨ undel, Tsr M , und B¨ undel der k-Formen, L Λk T ∗ M , bezeichnet. Die letzten beiden lassen sich zur Algebra T (M ) = r,s Tsr M L mit dem Tensorprodukt ⊗ und zur graduierten Algebra ΛT ∗ M = k Λk T ∗ M mit dem Dachprodukt ∧ zusammenfassen. N¨aheres dazu findet man z.B. in [KN], [GHV] Vol.1, [Na], [SW] oder [DFN] Part II. Wie in der Einleitung schon vereinbart, sind die im Text vorkommenden Mannigfaltigkeiten und B¨ undel jeweils als C ∞ -Mannigfaltigkeiten und C ∞ -B¨ undel zu verstehen. Ebenso sind alle Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten als C ∞ Abbildungen, also als glatt, vorausgesetzt. Ausnahmen von diesen Vereinbarungen, sofern sie auftreten, werden ausdr¨ ucklich angegeben. Da die Begriffe Darstellung von Liegruppen und ihrer Algebren und die Konstruktion von B¨ undeln in dem gesamten Text eine fundamentale Rolle spielen, folgt nun eine kurze Einf¨ uhrung der Begriffe und eine Diskussion der Konstruktionsm¨oglichkeiten. Grundlegende Literatur hierzu ist u.a. [GHV] Vol.2 oder [BtD]. Eine Liegruppe ist eine Mannigfaltigkeit G, mit einer Gruppenstruktur, derart dass 87

Anhang

88

die Abbildungen (g, h) 7→ gh = lg (h) = rh (g)

und

g 7→ g −1 = inv(g)

glatt sind. Die Liealgebra zur Liegruppe G ist definiert als die Menge aller linksinvarianten Vektorfelder auf G. Das Produkt zweier Elemente A, B ∈ g ist dann f¨ ur Funktionen f auf G gegeben durch [A, B]f = A(Bf ) − B(Af ). Dabei heißt ein Vektorfeld X auf G linksinvariant, wenn das folgende Diagramm kommutiert (lg )∗ T G −−−−→ T G x x   X X lg

G −−−−→ G Die Liealgebra g zur Liegruppe G ist als Vektorraum isomorph zu Te G. Man kann also g mit Te G identifizieren, wenn man das obige Produkt mit Hilfe des Isomorphismus auf Te G u ¨bertr¨ agt. Ein Liegruppenhomomorphismus bzw. ein Liealgebrenhomomorphismus, ist ein glatter Gruppen- bzw. Algebrenhomomorphismus zwischen Liegruppen bzw. Liealgebren. Unter einer Darstellung der Liegruppe G auf der Mannigfaltigkeit M versteht man eine Abbildung ρ von G in die Diffeomorphismen von M , mit ρ(gh) = ρ(g) ◦ ρ(h)

und

ρ(e) = id.

Man sagt dann G operiert von links auf M . ρ ist ein Liegruppenhomomorhismus, und man nennt die Darstellung ρ, bzw. die Operation von G auf M , frei, wenn nur ρ(e) Fixpunkte hat, transitiv, wenn es f¨ ur alle x, y ∈ M stets ein g ∈ G gibt, so dass ρ(g)x = y und effektiv, wenn ρ injektiv ist. Die Operation heißt eigentlich, wenn sie die folgende Eigenschaft aufweist: Die Abbildung θ : G × M → M × M mit θ(g, x) = (x, ρ(g)x) ist eigentlich. Das heißt, die Urbilder kompakter Mengen sind kompakt Ist G (lokal) kompakt, so ist das ¨aquivalent zu der Bedingung F¨ ur x, y ∈ M gibt es Umgebungen Ux und Uy , so dass die Menge {g ∈ G | gUx ∩ Uy 6= ∅} (relativ) kompakt in G ist. Im Zusammenhang damit gilt der folgende Satz.

Anhang

89

Satz 1. Operiert die Liegruppe G eigentlich und frei auf der Mannigfaltigkeit M , dann besitzt der Quotient M G eine Mannigfaltigkeitsstruktur, so dass die Projektion π : M → M G eine glatte Submersion ist. Ist die zugrunde liegende Mannigfaltigkeit ein Vektorraum V , so nennt man ρ eine lineare Darstellung, falls das Bild von ρ eine Untergruppe von GL(V ) ist. Eine lineare Darstellung der Liealgebra g ist ein Liealgebrenhomomorphismus σ : g → gl(V ). Insbesondere gilt also σ([A, B]) = [σ(A), σ(B)], wobei die rechte Seite der gew¨ ohnliche Kommutator linearer Abbildungen ist. Die lineare Darstellung ρ : G → GL(V ) induziert eine lineare Darstellung ρ∗ : g → gl(V ). Diese ist durch das Differential von ρ gegeben und heißt die zu ρ adjungierte Darstellung. Beispiele. 1. F¨ ur g ∈ G wird der Automorphismus h 7→ ghg −1 = autg (h) durch die Darstellung aut : G → Dif f (G) von G auf sich selbst, mit g 7→ autg , vermittelt. Ebenso entsprechen die Links- und Rechtrtranslationen lg und rg den Darstellungen l und r von G auf sich. 2. aut liefert eine lineare Darstellung Ad von G auf g. Diese ist definiert durch Ad : G → GL(g) mit Adg A = (autg )∗ A f¨ ur A ∈ g. 3. Ad liefert weiter eine lineare Darstellung ad von g auf sich selbst. Es gilt ad : g → gl(g) mit adA B = Ad∗ A(B) = [A, B] f¨ ur B ∈ g. Im Falle der Matrixgruppen gilt autg h = ghg −1 , Adg A = gAg −1 und adA B = AB − BA. Ad bzw. ad nennt man die adjungierten Darstellungen von G bzw. g. Sind ρ und σ Darstellungen von G auf den Vektorr¨aumen V und W , so induzieren diese weitere Darstellungen auf aus V und W konstruierten Vektorr¨aumen. Dabei seien ρ(g) und σ(g) die Matrizen bez¨ uglich Basen {v1 , ..., vn } und {w1 , ..., wm } von V und W . 4. ρ∗ : G → GL(V ∗ ) mit ρ∗ (g) = (ρ(g)> )−1 . Diese ist u ¨ber (ρ∗ (g)ϕ)(ρ(g)v) = ϕ(v) f¨ ur alle g ∈ G, v ∈ V und ϕ ∈ V ∗ definiert. Ist {ϕi } die zu {vi } duale von V ∗ , so heißt das n¨amlich (ρ∗ (g)ϕi )(ρ(g)vj ) = δij oder P Basis P δij = kl ρ∗ (g)ki ϕk ρ(g)lj vl = l ρ∗ (g)li ρ(g)lj = (ρ∗ (g)> ρ(g))ij also ρ∗ (g) = (ρ(g)> )−1 f¨ ur alle g ∈ G. Die zu ρ∗ adjungierte Darstellung ergibt sich dann ∗ zu ρ∗ (A) = −ρ∗ (A)> f¨ ur A ∈ g. Auf analoge Weise bekommt man weiter: 5. ρ⊕ : G → GL(V ⊕ W ) mit ρ⊕ (g)(v + w) = ρ(g)v + σ(g)w. Die adjungierte Darstellung zu ρ⊕ ist durch ρ⊕ ∗ (A)(v + w) = ρ∗ (A)v + σ∗ (A)w gegeben.

Anhang

90

6. ρ⊗ : G → GL(V ⊗ W ) mit ρ⊗ (g)(v ⊗ w) = ρ(g)v ⊗ σ(g)w. Die zu ρ⊗ adjungierten Darstellung ist ρ⊗ ∗ (A)(v ⊗ w) = ρ∗ (A)v ⊗ w + v ⊗ σ∗ (A)w. Durch den Isomorphismus V ⊗ V ∗ ∼ = End(V ) = gl(V ) ist mit Hilfe von 4. und 6. eine Darstellung von G auf End(V ) gegeben durch: 7. ρ˜ : G → GL(End(V )) mit ρ˜(g)Φ = ρ(g)Φρ(g)−1 = Adρ(g) Φ. Die zu ρ˜ adjungierte Darstellung berechnet sich zu ρ˜∗ (A)Φ = [ρ∗ (A), Φ] = adρ∗ (A) Φ. Anwendung finden diese Darstellungen in der Konstruktion von Faserb¨ undeln. Dabei ist ein Faserb¨ undel E ein Tupel E(M, π, F ), bestehend aus einer Mannigfaltigkeit F , der Standardfaser, einer Mannigfaltigkeit M , der Basis, einer Mannigfaltigkeit E, dem Totalraum, und einer surjektiven Abbildung π : E → M . Zus¨atzlich gibt es ¨ noch eine offene Uberdeckung {Uα } und eine Familie von Diffeomorphismen {ϕα } mit ϕα : π −1 (Uα ) → Uα × F und π ◦ ϕ−1 α (x, v) = x. −1 ¨ Man schreibt auch ϕα,x : π −1 (x) → F mit ϕ−1 α,x (v) = ϕα (x, v). Die Ubergangsfunktionen gαβ : Uα ∩ Uβ → Dif f (F ) mit gαβ (x)v = ϕα,x ◦ ϕ−1 β,x (v)

verkleben zwei Karten Uα und Uβ . Ex = π −1 (x) nennt man die Faser u ¨ber x ∈ M . ¨ Ein Faserb¨ undel mit Strukturgruppe G ist ein Faserb¨ undel, dessen Ubergangsfunktionen gαβ : Uα ∩ Uβ → G die Werte in der Liegruppe G annehmen, und u ¨ber eine (x, v) = (x, ρ ◦ g (x)v). Darstellung ρ auf F wirken. Es gilt also ϕα ◦ ϕ−1 αβ β Zwei spezielle Typen von B¨ undeln, die zu den Grundbegriffen des vorliegenden Textes geh¨ oren, sind die Folgenden. Ein Vektorb¨ undel ist ein Faserb¨ undel E(M, π, V ), dessen Standardfaser V ein Vektorraum ist, und es gilt: Die Faser Ex = π −1 (x) ist f¨ ur jedes x ∈ M ein Vektorraum und der Diffeomorphismus ϕα,x : π −1 (x) → V ist ein linearer Isomorphismus ¨ Die Ubergangsfunktionen nehmen dann die Werte in GL(V ) an. Analog zu oben definiert man ein G-Vektorb¨ undel mit Hilfe einer einer linearen Darstellung von G auf V . Ein Prinzipalb¨ undel P (M, π, G) ist ein Faserb¨ undel, dessen Standardfaser eine Lie¨ gruppe G ist, und dessen Ubergangsfunktionen ihre Werte in G annehmen. Die Darstellung von G auf G ist dabei die Linkstranslation. Es gilt also ϕα ◦ ϕ−1 β (x, h) = (x, gαβ (x)h) f¨ ur x ∈ M und h ∈ G. Außerdem gibt es auf P eine Rechtsoperation von G, die mit den Karten vertr¨aglich ist. Das heißt, es gibt eine Abbildung R : P × G → P mit Rgh p = Rh ◦ Rg p f¨ ur alle p ∈ P , g, h ∈ G. Man schreibt dabei R(p, g) = Rg p und es gilt −1 ϕ−1 α,x (hg) = Rg ϕα,x (h)

f¨ ur alle x ∈ M und g, h ∈ G.

Anhang

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Zur Konstruktion von B¨ undeln sind die folgenden S¨atze hilfreich, deren Beweise man z.B. in [GHV] findet. Satz 2. M und F seien Mannigfaltigkeiten und E sei eine Menge. Es gebe eine surjektive Abbildung π : E → M , so dass die folgenden Eigenschaften erf¨ ullt sind. ¨ (a) Es gibt eine offene Uberdeckung {Uα } von M und eine Familie von bijektiven Abbildungen ϕα : π −1 (Uα ) → Uα × F . (b) F¨ ur alle x ∈ Uα und y ∈ F ist π ◦ ϕ−1 α (x, y) = x. (c) Die Abbildungen ϕαβ : Uα ∩ Uβ × F → Uα ∩ Uβ × F mit ϕαβ = ϕα ◦ ϕ−1 β sind Diffeomorphismen. Dann gibt es auf E genau eine Mannigfaltigkeitsstruktur, so dass E(M, π, F ) ein Faserb¨ undel mit B¨ undelkarten {(Uα , ϕα )} ist. Speziell auf die Konstruktion von Vektorb¨ undeln bezieht sich der folgende Satz 3. M sei eine Mannigfaltigkeit und V ein Vektorraum. Zu jedem x ∈ M gebe S es einen Vektorraum Ex . E = x∈M Ex sei die disjunkte Vereinigung dieser Vektorr¨ aume und π : E → M die nat¨ urliche Projektion. Außerdem gebe es eine offene ¨ Uberdeckung {Uα } von M zusammen mit linearen Isomorphismen ψα,x : Ex → V derart, dass die Abbildungen gαβ : Uα ∩ Uβ → GL(V )

mit

−1 gαβ (x) = ψα,x ◦ ψβ,x

glatt sind. Dann gibt es auf E eine eindeutige Mannigfaltigkeitsstruktur, so dass E(M, π, V ) ein Vektorb¨ undel mit B¨ undelkarten {(Uα , ψα )} ist. ¨ Aus zwei Vektorb¨ undeln E(M, π, V ) und F (M, π 0 , W ) mit Ubergangsfunktionen gαβ bzw. hαβ kann man mit Hilfe der obigen S¨atze in naheliegender Weise neue B¨ undel konstruieren. So etwa das zu E duale B¨ undel E ∗ , die Whitneysumme E ⊕ F , das Tensorb¨ undel E ⊗ F , das ¨ außere Produkt E ∧ F und das Homomorphismenb¨ undel Hom(E, F ) mit dem Spezialfall End(E). Die Standardfasern und auch die Fasern der jeweiligen B¨ undel entsprechen den Fasern der an der Konstruktion beteiligten B¨ undel nach Anwendung der angedeuteten Operationen. So ist z.B. (E ∗ )x = (Ex )∗ und End(E)x = End(Ex ) und die Standardfaser von E ⊗ F ist V ⊗ W . ¨ ¨ Als Ubergangsfunktionen der B¨ undel ergeben sich die Ubergangsfunktionen von E und F in der entsprechenden assoziierten Darstellung, das heißt f¨ ur das Endomorphismenb¨ undel z.B. (x, Φ) 7→ (x, gαβ (x)Φgαβ (x)−1 ) mit (x, Φ) ∈ Uα ∩ Uβ × End(V ) und f¨ ur das duale B¨ undel (x, v) 7→ (x, (gαβ (x)> )−1 v) mit (x, v) ∈ Uα ∩ Uβ × V ∗ .

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Grundlagen der Topologie Dieser zweite Teil des Anhangs behandelt einige topologische Begriffe. Insbesondere der Begriff der charakteristischen Klassen in Verbindung mit der Charakterisierung der Isomorphieklassen von Vektorb¨ undeln wird hier kurz erl¨autert. F¨ ur eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit M ist Ωk = Γ(Λk T ∗ M ). Betrachtet man den DeRham-Komplex d d d d . . . → Ωk−1 → Ωk → Ωk+1 → . . . ,  so nennt man die Elemente aus Z k = ω ∈ Ωk ; dω = 0 die k-Cozykel und die  Elemente aus B k = ω ∈ Ωk ; ∃τ ∈ Ωk−1 : dτ = ω die k-Cor¨ander. Man sieht, dass wegen d2 = 0 stets B k ⊂ Z k ist. Die k-te deRham-Cohomologieklasse von M ist definiert als der Quotient von Z k und B k und man schreibt H k (M, R) = Z k B k . H k (M, R ist ein reeller Vektorraum. Die Summe H ∗ (M, R) = durch das folgende Produkt zu einem Ring:

L

k

H k (M, R) wird

H k (M, R) × H l (M, R) 3 ([ω], [ϑ]) 7→ [ω][ϑ] = [ω ∧ ϑ] ∈ H k+l (M, R). Man nennt

bk = dimR H k (M, R)

die k-te Bettizahl von M . Falls alle Bettizahlen endlich sind, definiert man die Eulercharakteristik von M durch χ(M ) =

n X

(−1)i bi .

i=0

Beispiel: F¨ ur die n-Sph¨ are

Sn

ist

H k (S n ,

R) ∼ =



R falls k = 0, n 0

sonst

Ist M eine kompakte, orientierte Mannigfaltigkeit, so gibt es ein Produkt h . , . i : H k (M, R) × H n−k (M, R) → R mit Z h[ω], [ϑ]i = ω ∧ ϑ. M

Dieses Produkt ist bilinear und nicht entartet. Somit sind H k (M, R) und H n−k (M, R) isomorph, und man spricht von der Poincar´e-Dualit¨at. Beschr¨ ankt man sich auf Mannigfaltigkeiten der Dimension n = 2m, so liefert die Poincar´ e-Dualit¨ at eine nichtentartete Bilinearform τ auf H m (M, R) mit τ ([ω], [ϑ]) = R M ω ∧ ϑ. Ist die Dimension von M teilbar durch 4, so ist τ symmetrisch. Man bezeichnet dann mit b+ bzw. b− die Anzahl der positiven bzw. negativen Eigenwerte einer τ beschreibenden Matrix und σ(M ) = b+ − b−

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nennt man die Signatur von M . Eine explizite Formel zur Berechnung von σ ergibt sich im Zusammenhang mit den charakteristischen Klassen. Bemerkung. In den obigen Konstruktionen der deRham- Cohomologie kann man den K¨ orper R durch C ersetzen. Man erh¨alt dann die C-Vektorr¨aume H k (M, C) = k H (M, R ⊗ C). Es gilt auch hier bk = bn−k mit bk = dimC H k (M, C) f¨ ur kompakte orientierte Mannigfaltigkeiten M Im Folgenden sei E(M, π, Cr , GLr C) ein komplexes Vektorb¨ undel vom Rang r u ¨ber der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M . Die totale Chernklasse von E ist ein Element c(E) ∈ H ∗ (M, R). Explizit ist es mit Hilfe eines Zusammenhangs D auf E und der zugeh¨origen lokalen Kr¨ ummungsform F durch c(E, D) = det(1 +

i F) 2π

gegeben. c(E, D) ist eine formale Summe aus lokalen Formen auf M mit Werten in C. Da c(E, D) unabh¨angig von der gew¨ahlten Karte ist, det(1 + 2πi F ) = det(1 + i −1 ur g ∈ G, liefert das ein Element aus Ω∗ (M, C) = ⊕k (Ωk ⊗ C). Man 2π gF g ) f¨ zeigt, dass die zu c(E, D) geh¨ orige Cohomologieklasse unabh¨angig von der Wahl des Zusammenhangs auf E ist. W¨ahlt man speziell einen U (r)-Zusammenhang, so ist F ∗ = −F und es gilt c(E, D) = c(E, D). Somit ist also c(E) = [c(E, D)] ∈ H ∗ (M, R). Man schreibt c(E) = 1 + c1 (E) + c2 (E) + . . . mit ci (E) ∈ H 2i (M, R). Es gilt 1 z.B. c1 (E) = 2π Spur(F ), c2 (E) = 8π1 2 (Spur(F ∧ F )− Spur(F )∧ Spur(F )) und cr =
i r 2π det(F ). Dabei ist die Gleichheit im Sinne eines lokalen Repr¨asentanten zu verstehen. Man sieht sofort, dass cj (E) = 0 falls j > r oder 2j > n. Die Chernklassen haben die folgenden Eigenschaften: 1. c(E) =

P

i ci (E)

mit c0 (E) = 1 und ci (E) ∈ H 2i (M, Z) f¨ ur i > 1.

2. Ist N eine weitere Mannigfaltigkeit und F eine Abbildung von N nach M , so gilt f¨ ur das zur¨ uckgeholte B¨ undel c(f ∗ E) = f ∗ c(E). 3. F¨ ur zwei B¨ undel E1 und E2 u ¨ber M gilt c(E1 ⊕ E2 ) = c(E1 )c(E2 ). 4. F¨ ur das kanonische Geradenb¨ undel L u ¨ber P1 C ist c(L) = 1 + a mit einem Erzeuger a von H 2 (P1 C, Z) 5. c(T ) = 1 f¨ ur das triviale B¨ undel T . 6. F¨ ur das zu E duale B¨ undel E ∗ gilt cj (E ∗ ) = (−1)j cj (E).

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7. F¨ ur zwei isomorphe B¨ undel E1 und E2 ist c(E1 ) = c(E2 ). 8. Sind L1 und L2 komplexe Geradenb¨ undel u ¨ber M , so ist c1 (L1 ⊗L2 ) = c1 (L1 )+ c1 (L2 ). Bemerkung. Die Eigenschaften 1. bis 4. dienen zur axiomatischen Einf¨ uhrung der Chernklassen (vgl. z.B. [Hi], [BT] oder [GH]). Es gilt dar¨ uberhinaus noch das Spaltungsprinzip: Um eine PolynomIdentit¨ at in den Chernklassen zu beweisen, reicht es aus, dies unter der Annahme zu tun, die beteiligten B¨ undel seien Summen von Geradenb¨ undeln. Im Zusammenhang mit den Chernklassen gilt der folgende Satz (vgl. [St] oder [DFN] Part II). Satz 4. Zwei SU (2)-B¨ undel u ¨ber S 4 sind genau dann isomorph, wenn ihre zweiten Chernklassen u ¨bereinstimmen. F¨ ur die Chernklasse eines B¨ undels E des im Satz angegebenen Typs, also eines SU (2)-B¨ undels u ¨ber S 4 , gilt wegen c1 (E) = Spur(F ) = 0 f¨ ur die su(2)-wertige 2-Form F c(E) = 1 + c2 (E). ˜ In Verbindung mit reellen Vektorb¨ undeln E(M, π, R, GLr R) gibt es ebenfalls charakteristische Klassen. Sie heißen Pontrijaginklassen, und sind lokal u ¨ber die Kr¨ ummung ˜ F eines Zusammenhangs D auf E definiert durch ˜ D) = det(1 + p(E,

1 F ). 2π

Diese Definition ist wieder unabh¨angig von der Wahl der Trivialisierung, und die Cohomologieklasse p(E) = [p(E, D)] ist unabh¨angig vom gew¨ahlten Zusammenhang. F¨ ur einen O(r)-Zusammenhang ist F = −F > und 1 1 det(1 + 2π F ) = det(1 − 2π F ). Deshalb ist p ein gerades Polynom in F , und man schreibt ˜ = 1 + p1 (E) ˜ + p2 (E) ˜ + ... p(E) ˜ ∈ H 4j (M, R). Es gilt z.B. p1 (E) ˜ = − 1 2 Spur(F ∧ F ) und p r (E) ˜ = mit pj (E) 8π 2 1 r ˜ = 0 f¨ ) det(F ) falls r gerade ist. Auch hier sieht man sofort pj (E) ur 2j > r oder ( 2π 4j > n. Die Pontrijaginklassen haben ¨ahnliche Eigenschaften wie die Chernklassen. ˜C Interessant ist die Beziehung zwischen Chern- und Pontrijaginklassen. Dazu sei E ˜ E ˜ C ist ein komplexes Vektorb¨ das komplexifizierte B¨ undel zu E. undel vom Rang r. Dann gilt ˜ = (−1)j c2j (E ˜ C ). pj (E) Umgekehrt sei E ein komplexes Vektorb¨ undel vom Rang r und ER sei E interpretiert C ∼ ¯ ∼ als reelles Vektorb¨ undel vom Rang 2r. Dann gilt ER = E⊕E = E ⊕ E ∗ und

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C ). Damit ist wegen c(E C ) = c(E)c(E ∗ ) man setzt pj (E) = pj (ER ) = (−1)j c2j (ER R schließlich X pj (E) = (−1)l ck (E)cl (E) z.B. p1 (E) = c1 (E)2 − 2c2 (E). k+l=2j

Als Pontrijaginklasse einer Mannigfaltigkeit M bezeichnet man diejenige des Tangentialsb¨ undel, also p(M ) = p(T M ). Sei M eine orientierte, Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension 2m, mit Tangentialb¨ undel T M mit Strukturgruppe SO(2m). Dann ist die Eulerklasse e(M ) von M definiert als die formale Quadratwurzel aus pm (M ): e(M )e(M ) = pm (M ). Das Vorzeichen ist entsprechend der Orientierung zu w¨ahlen. So definiert ist e(M ) eine 2m-Form auf M und es gilt der Satz von Gauß-Bonnet-Chern. Satz 5. Ist M eine kompakte, orientierte Mannigfaltigkeit, so gilt f¨ ur die Eulercharakteristik von M : Z χ(M ) = e(M ). M

Im Falle ungerader Dimension verschwinden beide Seiten dieser Gleichung. Außerdem gilt ebenfalls die folgende Identit¨at (vgl [BT] , [Hi] oder [Fr] ): Satz 6. Ist M eine kompakte, orientierte, Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension 4, so gilt f¨ ur die Signatur von M Z Z Z 1 1 1 σ(M ) = p1 (M ) = Spur(F ∧ F ) = (|W+ |2 − |W− |2 ). 3 M 24π 2 M 24π 2 M Dabei sind die Bezeichnungen aus Kapitel 4.1 f¨ ur den Weyltensor u ¨bernommen worden. Beispiel: Im Fall der 4-Sph¨ are gilt σ(S 4 ) = 0, denn es gilt W = 0 (vgl. Kapitel 4.1).

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