Kurvendiskussion am Beispiel der
Funktionsgleichung f(x)=x3−3x2 Eine Kurvendiskussion ist die Untersuchung der Eigenschaften einer Funktion. Am Ende dieser Diskussion bzw. Untersuchung werden die Eigenschaften der Funktion als Funktionsgraph in einem Koordinatensystem dargestellt.
Definitionsbereich Der Definitionsbereich gibt an, was du für x in die Funktionsgleichung einsetzen darfst. Achte hierbei auf Wurzelausdrücke und den Logarithmus!
ID=IR
Symmetrie Achsensymmetrisch:
Punktsymmetrisch:
Eine Funktion ist genau dann achsensymmetrisch,
Eine Funktion ist genau dann punktsymmetrisch,
wenn der Funktionsgraph
wenn der Funktionsgraph
an der y-Achse gespiegelt werden kann.
an dem Ursprung gespiegelt werden kann.
f(x) = f(-x)
f(x) = -f(-x)
x3 - 3x2 ≠ - x³ - 3x2
x3 - 3x2 ≠ x³ + 3x2
keine Achsensymmetrie
keine Punktsymmetrie
Nullstellen Die Nullstellen einer Funktion sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse. Den y-Achsenabschnitt Sy(0|f(0)) erhältst du, indem du x=0 in die Funktionsgleichung einsetzt und den Funktionswert berechnest.
y 3 2 f(xN ) = 0
1
xN3 - 3x2N = 0 xN2 . (xN- 3) = 0
-1
xN1 = 0 xN2 = 3
N1
N2 1
0
2
3
x 4
-1
N1(0I0)N2(3I0)
-2 -3 -4 -5
Ableitungen Die erste Ableitung gibt die Steigung in einem beliebigen Punkt der Funktion f an. Die Ableitungen allgemein helfen dir bei der Berechnung der Extrem- und Wendepunkte. Du kannst durch die Ableitungen das Monotonie- und Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen untersuchen.
f'(x) = 3x2 -6x f''(x) = 6x-6
f'''(x) = 6
Extrema Extrema oder Extrempunkte sind die lokal höchsten und niedrigsten Punkte eines Funktionsgraphen. Man spricht von den Hoch- bzw. Tiefpunkten. Die Besonderheit dieser Punkte ist, dass sie die Steigung 0 besitzen (notwendige Bedingung) und keine Sattelpunkte sind (hinreichende Bedingung).
y 3
notwendige Bedingung:
2
f'(xE) = 0
3xE2 - 6xE = 0
1
3xE . (xE -2) = 0
xE1 = 0 xE2 = 2
-1
N1
N2 1
0
2
3
x 4
-1 hinreichende Bedingung:
-2
f'(xE ) = 0 f''(xE )≠ 0 f''(0) = 0
-3
Sattelpunkt (0|0)
f''(2)=6 > 0
TP
TP
-4
f(2)=-4
-5
TP(2|-4)
Wendepunkte In Wendepunkten ändert sich die Steigung einer Funktion. Stell dir den Funktionsgraphen als Straße vor, auf der du mit deinem Auto fährst. Der Wendepunkt ist dann erreicht, wenn du das Lenkrad von links nach rechts oder von rechts nach links lenken musst.
y 3
notwendige Bedingung:
2
f''(xW)=0
6xW -6 =0
1
xW = 1
-1
f'''(1)=6
N2 1
0
hinreichende Bedingung: f''(xW )=0
N1 2
3
x 4
-1
f'''(xW )≠ 0
WP
-2
Wendestelle
f(1)=-2
-3
WP(1|-2)
TP
-4 -5
Verhalten im Unendlichen Mit Hilfe der Grenzwerte (limes = lat. Grenze) kann man das Verhalten des Funktionsgraphen im positiv und negativ Unendlichen berechnen. Dadurch kannst du den weiteren Verlauf des Funktionsgraphen andeuten.
y 3 f
2
x
x
1
lim f(x) = „+ ∞ “
N1
+∞
-1
lim f (x)=„ - ∞ “ -∞
N2 1
0 -1
2
3
x 4
WP
-2 -3
TP
-4 -5
Funktionsgraphen zeichnen Mit Hilfe des Verlaufs des Funktionsgraphen kann man eine Funktion graphisch darstellen. Anhand des Funktionsgraphen kann man die Eigenschaften einer Funktion ablesen.
y 3 f
2 1 -1
0
N1
N2 1
2
x
3
4
-1 -2
WP
-3 -4
TP
-5
Fläche unter dem Graphen Unter der Fläche unter dem Graphen versteht man die Fläche, die von dem Funktionsgraphen einer Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird. Um den Flächeninhalt zu ermitteln, benötigst du die Integralrechnung und die Nullstellen der Funktion. Es gibt aber auch andere Flächenstücke bei Funktionsgraphen, dessen Flächeninhalt du mit der Integralrechnung bestimmen kannst.
y 3
3
A = | � f(x)dx | 3
= � x 3- 3 x 2d x
1
0
=
1 4
=
81 4
x 4- x 3
=6,75[FE]
x
3 0
-27 -[0]
=l-6,75l
f
2
0
-1
0
1
2
-1 -2 -3 -4 -5
A
3
4
