Autor: Ocean. Virginia Sepúlveda Física I - Fac. Ciencias Naturales - Sede Trelew

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Unidad 5: Mecánica de un sistema de partículas Centro de masa y movimiento del centro de masa de un sistema de partículas. Centro de masa de un sólido rígido. Cantidad de movimiento lineal de una partícula y de un sistema de partículas. Principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal. Balistocardiografía. Fuerzas impulsivas. Relación entre el impulso y la variación de la cantidad de movimiento. Sistema de masa variable. Colisiones en una dimensión. Colisiones elásticas e inelásticas. Análisis de situaciones particulares. Colisiones en dos y tres dimensiones. Consideraciones sobre el carácter vectorial de la cantidad de movimiento. Centro de masa Al considerar el movimiento de un objeto real o sistema de partículas, es útil fijar la atención en un punto representativo: una posición media de la masa del sistema. (Ver foto de la llave inglesa: Gettys pág. 229). Este punto particular se denomina "centro de masa". Posición del centro de masa Se define cuantitativamente como:

rcm =

∑m ⋅r ∑m i

i

i

Como

∑m

i

es la masa total del sistema,

rcm =

∑m ⋅r i

i

M

También podemos expresar la posición del centro de masa en función de sus componentes: X cm =

∑m

i

⋅ xi

Ycm =

∑m

i

⋅ yi

Z cm =

∑m

i

⋅ zi

M M M La mayoría de los sistemas de partículas no tienen una distribución discreta. Cuando hablamos de un sistema con una distribución continua:

rcm =

1 rdm M∫

Y si lo expresamos en función de sus componentes:

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X cm =

1 M

∫ xdm

2

Ycm = ∫ ydm

Z cm = ∫ zdm

Si tenemos en cuenta que dm = ρdv X cm =

1 M

∫ x ⋅ ρdv

Ycm =

1 M

∫ y ⋅ ρdv

Z cm =

1 M

∫ z ⋅ ρdv

Movimiento del centro de masa ¿Cómo describimos el movimiento de la llave inglesa de la foto? ¿Y el movimiento del centro de masa? El movimiento del centro de masa se debe únicamente a las fuerzas ejercidas por agentes externos al sistema. La velocidad y la aceleración del centro de masa se obtienen derivando respecto al tiempo, la ecuación de posición, con M y mi constantes. r r drcm 1 Vcm = = dt M

r dri ∑ mi dt

r r dVcm 1 acm = = dt M

∑ mi

r d 2 ri dt 2

r 1 Vcm = M

∑m ⋅v

r 1 acm = M

∑m ⋅ a *

r

i

i

r

i

i

Las fuerzas internas, son fuerzas ejercidas sobre partículas del sistema por otras partículas del sistema, mientras que las fuerzas externas son ejercidas sobre partículas del sistema por agentes externos al mismo. Observando la llave inglesa de la foto entregada a todos en clase, ¿qué fuerza externa actúa sobre el centro de masa? La aceleración de cada partícula del sistema, está dada por la 2º ley de Newton. r r de * M ⋅ acm = ∑ mi ⋅ ai

En un sistema formado por tres partículas, cada partícula ejerce una fuerza sobre las otras dos. F21 es la fuerza ejercida por la partícula 2 sobre la 1. También existen fuerzas externas actuando sobre el sistema, las fuerzas de este tipo que actúan sobre la partícula 1 se designan como Fext 1 Como la 3º ley de Newton establece que las fuerzas internas se cancelan por parejas, en la sumatoria: r r M ⋅ acm = ∑ Fext

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Cantidad de Movimiento ¿Cómo es posible explicar que uno puede lanzar más lejos una piedra que una pluma? ¿Por qué una bola de hierro del mismo tamaño que una de madera, viaja mucho más rápido si son lanzadas con la misma rapidez? En la Física aristotélica, el concepto de inercia era desconocido. Aristóteles y sus seguidores sostenían que los cuerpos se mantenían en movimiento solamente por la acción de una fuerza continua. En la visión aristotélica, en ausencia de la fuerza externa el cuerpo dejaba de moverse. Jean Buridan (filósofo francés), propuso que el movimiento se mantenía por cierta característica del cuerpo que denominó ímpetu y formuló alrededor de 1330 una noción de inercia intentando explicar el movimiento con la Teoría del ímpetus. Para él, el material más denso contenía mayor cantidad de materia y por lo tanto recibía más ímpetu en la salida. Concluyó que la cantidad de ímpetu impartido a un cuerpo, era proporcional a su cantidad de materia (m) y a su rapidez (v). Este razonamiento, en términos de razones y proporciones, fue reinterpretado años más tarde y "rebautizado" como "Momento Lineal" y es una medida fundamental del movimiento y una de las nociones más importantes en Física. r El momento lineal P de un cuerpo se define como el producto de su masa por su velocidad. r r P = m⋅v r  m Unidad de Cantidad de movimiento lineal (SI): P = kg ⋅  s  r P es un vector cuya dirección y sentido está dado por la velocidad del cuerpo de masa m. r P depende del marco de referencia del observador. Newton, expresó la 2º ley del movimiento en función del momento lineal, al que llamó "cantidad de movimiento", y en términos modernos queda expresada: "La rapidez de cambio del momento de un cuerpo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y sigue la dirección de la fuerza". Simbólicamente: r dpr ∑ F = dt r r Si m es constante, la relación anterior es equivalente a ∑ F = m ⋅ a Demostración:

r r dpr d (m ⋅ vr ) r dv ∑ F = dt = dt = m ⋅ dt = m ⋅ a r r Consideremos un sistema de partículas P = ∑ pi donde pi es la cantidad de

movimiento de cada una de las partículas que componen el sistema. Si un sistema de partículas está sometido a fuerzas, su cantidad de movimiento puede cambiar. La rapidez de cambio de la cantidad de movimiento está dada por: r r r dP d (∑ pi ) d ∑ (mi ⋅ vi ) = = dt dt dt

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como

r r ∑ mi ⋅ vi = M ⋅ Vcm

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r r dVcm r dP =M = M ⋅ a cm dt dt

Como el movimiento del centro de masas, solo está determinado por las fuerzas r r externas, (recordemos que ∑ Fext = M ⋅ a cm ), la variación de la cantidad de movimiento de un sistema sólo depende de las fuerzas externas.

r r dP ∑ Fext = dt La cantidad de movimiento de cada partícula individual de un sistema puede cambiar, tanto por la acción de las fuerzas internas como externas, pero por la 3º ley de Newton, el cambio en la cantidad de movimiento total sólo se debe a las fuerzas externas. Conservación de la cantidad de movimiento Cuando la fuerza neta que actúa sobre una partícula es cero, la partícula viaja en r r r línea recta con velocidad constante. Si v es constante en el tiempo, p = m ⋅ v también será constante. Ley de la conservación de la cantidad de movimiento "Cuando la fuerza externa resultante que actúa sobre un sistema es cero, la cantidad total de movimiento del sistema se conserva." r r r dP Si ∑ Fext = 0 =0 P no cambia en el tiempo dt Observación: Cuando hablamos de la conservación de la energía mecánica, todas las fuerzas que realizan trabajo deben ser conservativas. Para la conservación de la cantidad de movimiento, la fuerza resultante ejercida por objetos externos al sistema, r debe ser cero. Una diferencia es que como P es un vector, la conservación implica su conservación tanto en módulo como en dirección, mientras que como la energía es escalar, sólo conserva su valor. La ley de conservación de la cantidad de movimiento es particularmente útil para relacionar los estados inicial y final de un sistema aislado. Aunque el sistema puede cambiar su estructura interna, la cantidad de movimiento del sistema, permanece constante. Impulso Las fuerzas que actúan durante un período de tiempo definido se denominan fuerzas impulsivas. Durante el breve tiempo que la fuerza impulsora actúa sobre un objeto, los efectos de las otras fuerzas pueden despreciarse. Ejemplo: la fuerza que una raqueta ejerce sobre una pelota.

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Una fuerza impulsiva F (t ) cambia de forma arbitraria con el tiempo. En la figura, el área bajo la curva F (t ) es el impulso J, y el rectángulo acotado por F tiene la misma área. La fuerza impulsora es única. Es muy difícil medir F (t ) , pero se puede estimar ∆t y obtener un valor representativo utilizando F . Basándonos en la ley de Newton:

r dpr r r F= ó dp = F ⋅ dt dt Si queremos determinar el cambio total del momento durante el tiempo de acción de la fuerza impulsora: tf r r r r ∆p = p f − pi = ∫ Fdt ti

r tf r J = ∫ Fdt

r r J = ∆p

r ∆p = F ⋅ ∆t

ti

Esto define una nueva magnitud: el "Impulso", que depende de la magnitud de la fuerza y de su duración. Es una magnitud vectorial. r Unidades de Impulso (SI): J = [N ⋅ s ]

Choques Una colisión es una interacción entre dos o más objetos que tiene lugar en un intervalo corto de tiempo y en una región delimitada del espacio. Puede que las fuerzas de interacción entre los objetos sean grandes. Si consideramos los objetos antes y después del choque, podemos suponer que durante el tiempo de contacto, el r impulso J debido a las fuerzas externas al sistema es despreciable y no contribuye a la cantidad de movimiento del mismo. Como el efecto de las fuerzas externas al sistema es despreciable, la cantidad de movimiento del sistema se conserva, y es igual antes y después del choque. La conservación de la cantidad de movimiento proporciona una ecuación, pero no es suficiente ya que hay más de una incógnita. Si son dos partículas las que chocan, hay dos velocidades para conocer después del choque. La energía cinética se conserva en algunos choques, llamados "choques elásticos". Por el contrario, aquellos choques en los que no se conserva la energía cinética son los "choques inelásticos". A nivel atómico es frecuente que las colisiones sean elásticas, pero a nivel macroscópico, existe siempre un grado de inelasticidad. Muchos choques inelásticos transforman muy poca energía cinética, y, dentro de ciertos límites, pueden considerarse elásticos, por ejemplo, dos bolas de acero que chocan a velocidades pequeñas.

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En las reacciones nucleares existe otro tipo de colisiones donde se libera energía. Se llaman “colisiones explosivas”. La energía interna almacenada dentro de los núcleos en colisión se transforma en energía cinética. Después de la colisión, los núcleos tienen menor energía interna y mayor energía cinética que antes del impacto. Choques elásticos en una dimensión Por la conservación de la cantidad de movimiento m1 ⋅ v1i + m 2 ⋅ v 2 i = m1 ⋅ v1 f + m 2 ⋅ v 2 f (1) pi = p f

Por la conservación de la energía cinética 1 1 1 1 2 2 2 2 m1 ⋅ v1i + m2 ⋅ v2 i = m1 ⋅ v1 f + m2 ⋅ v2 f (2) 2 2 2 2

ki = k f

Si conocemos las masas y las velocidades iniciales, podemos conocer las componentes de las velocidades finales. De (1) m1 ⋅ (v1i − v1 f ) = m2 ⋅ (v 2 f − v2i ) (3)

(

De (2) m1 ⋅ v1i − v1 f 2

2

) = m ⋅ (v 2

(v

1i

2 2f

− v 2i

Finalmente

)

+ v1 f )(v1i − v1 f v1i − v1 f

Reacomodando

2

⇒

(4) : (3)

(4)

) (v =

2f

+ v 2i )(v 2 f − v 2i ) v 2 f − v 2i

v1i − v 2i = v 2 f − v1 f v1i − v 2i = −(v1 f − v 2 f

)

"La velocidad relativa de alejamiento después del choque es igual a la velocidad relativa de aproximación antes del choque." ¿Qué pasa si el objeto 2 está inicialmente en reposo? v 2i = 0 Para encontrar las componentes de las velocidades finales hace falta dos ecuaciones: r Por la conservación de p m1 ⋅ v1i = m1 ⋅ v1 f + m2 ⋅ v 2 f (1) 1 1 1 2 2 2 m1 ⋅ v1i = m1 ⋅ v1 f + m2 ⋅ v 2 f 2 2 2 Sin embargo, resulta más sencillo despejar de

Por la conservación de K

v1i − v2i = −(v1 f − v 2 f

)

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v1i = v 2 f − v1 f

de (2) v 2 f = v1i + v1 f en (1)

m1 ⋅ v1i = m1 ⋅ v1 f + m2 ⋅ (v1i + v1 f

(2)

)

m1 ⋅ v1i = m1 ⋅ v1 f + m2 ⋅ v1i + m2 ⋅ v1 f m1 ⋅ v1i − m2 ⋅ v1i = (m1 + m2 )v1 f

v1i ⋅ (m1 − m2 ) = v1 f m1 + m2 de (2) v1 f = v 2 f − v1i en (1)

m1 ⋅ v1i = m1 ⋅ (v 2 f − v1i ) + m2 ⋅ v 2 f

m1 ⋅ v1i = m1 ⋅ v 2 f − m1 ⋅ v1i + m2 ⋅ v 2 f m1 ⋅ v1i + m1 ⋅ v1i = v2 f ⋅ (m1 + m2 )

2m1 ⋅ v1i = v2 f m1 + m2 Considerar qué sucede si: (a) m1 = m2 y m2 está inicialmente en reposo. (Ignoramos el posible giro de las bolas); (b) m1 = m2 y m2 no está en reposo; (c) m2 está en reposo y m1 >> m2; (d) m2 está en reposo y m1