Ing. Jorge A. Papajorge
1
Estabilidad I – Primera Parte
ÍNDICE CONCEPTOS GENERALES ........................................................................................................................ 3 INTRODUCCION................................................................................................................................... 3 CONCEPTO DE FUERZA.................................................................................................................. 3 EQUILIBRIO ESTATICO O EXTERNO:............................................................................................. 3 EQUILIBRIO ELASTICO: .................................................................................................................. 3 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUERZA .................................................................................. 5 INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................................... 6 ELEMENTOS ESTRUCTURALES: ....................................................................................................... 7 ESTÁTICA ..................................................................................................................................................... 9 ELEMENTOS DE LA ESTÁTICA .................................................................................................................... 9 SISTEMA DE FUERZAS .............................................................................................................................10 CLASIFICACIÓN .......................................................................................................................................10 SISTEMAS PLANOS DE FUERZAS:..........................................................................................................11 OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTÁTICA .......................................................................12 Primera Operación:...........................................................................................................................12 Segunda Operación: ..........................................................................................................................12 Tercera Operación: ...........................................................................................................................14 Cuarta Operación: ............................................................................................................................15 MOMENTO DE GIRO.................................................................................................................................16 CONCEPTO DE CUPLA O PAR DE FUERZAS........................................................................................19 | Teorema de Varignon: .....................................................................................................................21 SISTEMAS PLANOS DE FUERZAS ...........................................................................................................22 A) SISTEMA PLANO CONCURRENTES: ........................................................................................................22 Condición analítica de equilibrio: .....................................................................................................23 Condición Gráfica de equilibrio: .......................................................................................................24 Ejemplos de equilibrio:......................................................................................................................25 B) SISTEMA PLANO DE FUERZAS NO CONCURRENTES ..................................................................................25 Método Analítico ...............................................................................................................................25 Condición gráfica de equilibrio:........................................................................................................28 SISTEMA PLANO DE FUERZAS NO CONCURRENTES........................................................................33 MÉTODO VECTORIAL: .............................................................................................................................33 Aplicación .........................................................................................................................................33 C) SISTEMA PLANO DE FUERZAS PARALELAS:.............................................................................................34 DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA ...........................................................................................................35 DESCOMPOSICIÓN “GRÁFICA” DE SISTEMA DE FUERZAS PLANO CONCURRENTES .............39 MÉTODO DE CULMANN ............................................................................................................................39 Solución Gráfica................................................................................................................................39 DESCOMPOSICIÓN “GRÁFICO –NUMÉRICA” DE UN SISTEMA DE FUERZAS PLANO NO CONCURRENTES........................................................................................................................................41 MÉTODO DE RITTER ................................................................................................................................41
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
2
Estabilidad I – Primera Parte
SISTEMA ESPACIAL DE FUERZAS .........................................................................................................44 A) ESPACIAL CONCURRENTE ...................................................................................................................44 Método Gráfico : ...............................................................................................................................44 Método Analítico :.............................................................................................................................45 Condición analítica de equilibrio : ....................................................................................................45 B) SISTEMA ESPACIAL DE FUERZAS PARALELAS.........................................................................................47 Condición analítica de equilibrio: .....................................................................................................48 C) SISTEMA DE FUERZAS ESPACIAL NO CONCURRENTES: ............................................................................48 CARGAS DISTRIBUIDAS O REPARTIDAS .............................................................................................58 Carga Uniforme o Constante .............................................................................................................58 Carga Distribuida Lineal: .................................................................................................................58 Cargas no constantes ni lineal ...........................................................................................................59 CARGAS DISTRIBUIDAS SOBRE UNA SUPERFICIE .........................................................................................59 Cargas Distribuidas sobre un Eje ......................................................................................................59 CARGAS DISTRIBUIDAS CONSTANTES .......................................................................................................60 CARGAS DISTRIBUIDAS LINEALMENTE ......................................................................................................60 CARGAS DISTRIBUIDAS NO CONSTANTES NO LINEALES .............................................................................61 Simpson .............................................................................................................................................61 Por la Fórmula de los Trapecios........................................................................................................61 Ejemplo:............................................................................................................................................61 ANÁLISIS DE CARGAS EN LAS ESTRUCTURAS ..................................................................................63
UNLZ – Facultad de Ingeniería
3
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
CONCEPTOS GENERALES A1 hablar de la estabilidad de las estructuras, nos referimos a la firme permanencia de estas en el espacio, considerando que las obras construidas por el ingeniero, deberán tener las debidas garantías técnicas de resistencia y disponiendo además de una sólida cimentación. En estabilidad de las estructuras nos ocuparemos del estudio de la estática y de la resistencia de los materiales, siendo de extrema importancia su diferenciación. La estática estudia el equilibrio de un cuerpo o estructura rígida e indeformable, bajo la acción de fuerzas solicitantes exteriores al mismo. En cambio la resistencia de los materiales se ocupa del equilibrio entre fuerzas desarrolladas en el interior de un sólido y de sus respectivas deformaciones originadas como consecuencia de las fuerzas aplicadas al mismo. En la realidad no existen materiales absolutamente rígidos e indeformables, pero en el caso de los materiales usados en las estructuras, las deformaciones son muy pequeñas en función de las tensiones que trabajan esos materiales, por eso es valido nuestro estudio del cuerpo rígido, claro esta que dentro de ciertos limites que analiza la ley de Hooke.
INTRODUCCION CONCEPTO DE FUERZA La fuerza solo es reconocible por sus efectos en los cuerpos, vale decir que es un agente externo al cuerpo, capaz de impedir, realizar o modificar sus movimientos. Son ellas, el peso propio de un cuerpo o estructura, sus sobrecargas la acción del viento sobre las mismas, la presión del agua contra un dique, etc. Llamaremos fuerzas externas o solicitaciones a las ejercidas sobre un cuerpo por otros cuerpos. Denominaremos fuerzas internas o tensiones a las acciones mutuas que se desarrollan entre las moléculas o partículas elementales de un cuerpo como consecuencia de las fuerzas externas aplicadas al mismo.
EQUILIBRIO ESTATICO O EXTERNO: Cuando varias fuerzas aplicadas sobre un cuerpo en reposo no producen ningún movimiento del mismo, decimos que las fuerzas forman un sistema en equilibrio. Debiendo encontrarse en reposo.
EQUILIBRIO ELASTICO: A1 recibir fuerzas externas, todo cuerpo experimenta una deformación debida a la tendencia de estas a variar la posición relativa de los puntos sobre que vienen aplicadas. A1 iniciarse la deformación nacen entre las moléculas del cuerpo las llamadas fuerzas internas o tensiones que se oponen a hs mismas y crecen con ellas hasta contrarrestar la acción de las externas, siempre que estas no lleguen a ciertos limites. Entonces cesa la deformación y el cuerpo adquiere una nueva forma permanente mientras dure la acción de las fuerzas externas sobre el mismo. UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
4
Estabilidad I – Primera Parte
Vale decir que en estas condiciones existe equilibrio entre fuerzas externas –internas. Como dijimos anteriormente, las deformaciones que tienen lugar en este proceso, generalmente don despreciables comparadas con las dimensiones del cuerpo. De allí que los cuerpos sólidos dentro de ciertos limites de las fuerzas externas aparezcan como indeformables y en muchos casos no de lugares a errores sensibles de calculo, al considerarlos como tales. Pero si las fuerzas externas pasaran de estos limites, las internas o resistentes no podrían crecer hasta guardar equilibrio con aquellas, sobreviniendo entonces la rotura, del cuerpo, por la destrucción de la mutua dependencia de una de sus partes con las otras. Debe entonces procurarse para evitar la rotura que las fuerzas externas no determinen en ningún lugar de los mismos, fuerzas internas mayores que las que puedan desarrollar los cuerpos o materiales empleados. Por lo tanto en todos sus puntos las fuerzas externas determinan fuerzas internas que puedan ser resistidas por el material empleado llegando así al equilibrio interno o elástico. Lo que implica que las fuerzas internas no alcancen en ningún lugar valores tales que puedan traer como consecuencia la rotura del material. No existe en la practica ningún material absolutamente rígido, pues todos se deforman en mayor o menor grado bajo la influencia de las cargas, por lo tanto es preciso limitar la cuantía de estas deformaciones como alargamientos, acortamientos, flexiones, torsiones, desplazamientos, etc., con el objeto de no comprometer la seguridad de las estructuras, fijándose un máximo no sobrepasable. Normalmente estas deformaciones desaparecen una vez que las cargas han cesado, volviendo los cuerpos a sus formas y posición primitivas, se dice entonces que los cuerpos son elásticos o están dentro de los limites de elasticidad.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
5
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUERZA Siendo la fuerza una magnitud vectorial, se la podrá representar gráficamente como un vector. Por lo tanto tendrá todas las propiedades del mismo. Punto de aplicación (A): Donde actúa la fuerza directamente. Recta de Acción (a) o Dirección: Por donde la fuerza se puede desplazar libremente. Sentido: Se pone en evidencia por la flecha. Magnitud, Intensidad o Modulo: Es un segmento AB orientado, que determina el valor de la fuerza, generalmente en unidades (t), (Kg), (Gs).
P B B
a A
c
Fig.1Fuerza P alicada en un putno A de la chapa c Como dijimos anteriormente, la fuerza no es un vector, sino que esta representada Para representar gráficamente al vector, será necesario disponer de una escala de fuerzas (EF). 1 t En este caso, cada centímetro de dibujo representara una Tonelada en el 1 cm vector fuerza. A los efectos del gráfico se podrá disponer además, de una escala lineal (EL). EF :
EL :
5 m Donde cada centímetro, representara 5 metros de la longitud real. 1 cm
UNLZ – Facultad de Ingeniería
6
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
INTRODUCCIÓN P2 P1
P3
x fibra media
y
A G Fig. 2.Viga como elemento estructural sustentado estáticamente Se llama estructura a los elementos componentes de una obra que, en virtud de la propia resistencia, garantizan su estabilidad. Las estructuras se componen de diversos materiales como: madera, acero, Hormigón Armado, Aluminio, etc. La forma fundamental en que resultan aptos los materiales, en el sentido más amplio para construir una estructura, se llama Barra. Las estructuras en forma de viga, o simplemente viga es una barra horizontal que descansa sobre apoyos verticales, que bajo la influencia de las cargas se flexa (deforma), por lo tanto deberá estar formada por un material resistente a la flexión, es decir madera, Acero, u Hormigón Armado. El hiero fundido y la piedra, son relativamente poco resistentes a la flexión y en consecuencia adecuados solo a vigas pequeñas. Las cargas de las vigas se transmiten verticalmente a sus respectivos apoyos y se hallaran contrarrestadas por las reacciones de sus vínculos. (principio de equilibrio de acción y reacción –Newton).
UNLZ – Facultad de Ingeniería
7
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
ELEMENTOS ESTRUCTURALES: Son barras que las materializamos como vigas, losas, columnas, etc. constituidas por sólidos de forma prismáticas cuyas dimensiones transversales son pequeñas en relación a las longitudinales. A:
Sección transversal o perfil
Y:
Eje de simetría
X:
Eje de la barra
G:
Centro de gravedad
X –Y: Plano de simetría, en donde se encuentran todas las fuerzas que actúan sobre la barra. Donde a dichas fuerzas las denominamos "cargas". E1 plano X - Y es donde esta representada la barra, por lo tanto a toda barra rígida, se la asimila a una chapa plana infinitamente delgada que materializa cualquier superficie plana. Por lo tanto todos los cuerpos rígidos pueden estudiarse como chapas. P1
P2
P3
Debemos recordar que en la realidad ningún cuerpo es rígido, todos ellos se deforman, siendo como dijimos anteriormente, la rigidez una aproximación para su estudio.
Por lo tanto a la barra de la fig. 2 se la podrá representar en el plano xy a los efectos del estudio de su equilibrio, como una línea que representa su eje o fibra media. En ella actuaran todas las cargas coincidentes con el plano de simetría. Fig.3.Representación gráfica de la Barra isostática
A la fibra media, después de actuar las cargas sobre la barra y al producirse la deformación por flexión, se la denomina fibra neutra. La sección transversal A, o perfil de la barra, puede cambiar de forma o tamaño, puede además ser lleno o hueco. Cada una de estas variaciones podrá estar dimensionada de acuerdo a su estado de cargas, dependiendo además del material a utilizar en cada una de ellas. En vigas de Hormigón Armado, por ejemplo son secciones generalmente rectangulares, ello se debe a razones constructivas, por lo general este tipo de estructuras se realiza in situ, dependiendo de la economía del encofrado y la rapidez de su desplazamiento. Debemos tener en cuenta que este tipo de material necesitara 28 días para finalizar su primer periodo de fraguado. En cambio, los perfiles de Acero laminado por razones estáticas, se le han impuesto determinadas formas que en el comercio se los conoce con el nombre de perfiles normales.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
8
Estabilidad I – Primera Parte
Perfil Doble T : Consta de 2 alas, 1 alma, 2 ejes de simetría X e Y y una altura h, que estará medida en centímetros. Este parámetro dará la característica del perfil, por ejemplo en el caso de ser h: 20 cm., se lo denominara como PNT 20. En las tablas correspondientes figuran: longitud de ala y espesor, espesor del alma. Diversas constantes mecánicas como: momentos de Inercia Jxx, Jyy, Jxy. Módulos resistentes: Wx, Wy. Radios de giro Ix, Iy. Momentos estáticos: Sx, Sy, etc. En dichas tablas, además, encontraremos todos los elementos necesarios para el dimensionamiento de cada una de las distintas barras que analizaremos oportunamente. Perfil Doble T de ala ancha, differding, grey, peine. Perfil U: con un solo eje de simetría. Perfil ángulo: con 2 alas de ángulo recto a y b. Perfil T: de ala en relación h/b, 1/2. Perfil T: de ala corta en relación h/b, 1/1 (perfiles normales).
UNLZ – Facultad de Ingeniería
9
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
ESTÁTICA La estática estudia como hemos visto, el equilibrio de los cuerpos rígidos, es decir estudia lo estable, proporcionando las leyes necesarias para realizarlo. Al formar parte de la mecánica, que trata el movimiento como un caso particular, en el cual por ser un movimiento nulo, se produce un estado de reposo. Para ello todas las fuerzas o cargas que actúan sobre el cuerpo deberán contrarrestarse unas a otras, produciendo una resultante final igual a cero, lo que caracteriza el estado de equilibrio.
Elementos de la Estática La fuerza P de la fig. 5 se encuentra aplicada en el punto A de la chapa C, esta originara un desplazamiento, que tendrá la misma dirección y sentido que la fuerza P. En cambio ahora, si disponemos de otra chapa C que se encuentra pivoteada en un punto 0 de la misma, sometida a la acción de 2 fuerzas iguales, paralelas y de sentido contrario, este conjunto producirá un giro. Este sistema que produce el giro o rotación, se lo denomina cupla. Fig. 5.Fuerza aplicada en A, originada desplazamiento
P
A
C
P O C P
Fig. 6.Cupla o par origina rotación
Por lo tanto el desplazamiento y la rotación son dos efectos cinemáticos, que la estática se propone contrarrestar para alcanzar el estado de reposo o equilibrio buscado. Como consecuencia tenemos, que la fuerza y la cupla, son los elementos únicos que necesitara la estática y son además irreductibles y no podrán llevarse a otros más simples.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
10
Estabilidad I – Primera Parte
SISTEMA DE FUERZAS Cuando sobre un cuerpo rígido actúan más de una fuerza, a este conjunto se lo denominara sistema de fuerzas. Un sistema de fuerzas puede ser plano o espacial. Se dice que el sistema es plano, cuando las rectas de acción de las fuerzas se encuentran en un mismo plano. El sistema de fuerzas será espacial, cuando las rectas de acción de las fuerzas no se encuentran en el mismo plano.
Clasificación Concurrentes a un punto Plano No concurrentes a un punto Paralelas Sistema de Fuerzas Concurrentes a un punto Espacial No concurrentes a un punto Paralelas
UNLZ – Facultad de Ingeniería
11
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
SISTEMAS PLANOS DE FUERZAS:
Fig. 8.No concurrentes Plano
Fig. 9.Paralelas Plano
Fig. 7.Concurrentes Plano
Dado un sistema de fuerzas, y mediante la composición de las mismas, se podrá obtener una única fuerza, que tendrá el mismo efecto cinemático. A dicha fuerza que reemplazara al sistema produciendo el mismo efecto equivalente, se la denomina resultante. Por lo tanto, transformar un sistema de fuerzas a otro que produzca el mismo efecto de movimiento, implica decir que ambos son estáticamente equivalentes. E1 efecto de varias fuerzas P1; P2; P3; ....; etc. que tienen el mismo punto de aplicación, podrá ser sustituido por el de su resultante, aplicada a dicho punto. Si las fuerzas están en la misma recta de acción será: R : P1 P2 P3 ... Pi : p i Admitiendo hacia la derecha el sentido (+) y hacia la izquierda el sentido (-). P1 P3
P2
A
P1
P2 P3 R
Fig. 10.-
UNLZ – Facultad de Ingeniería
12
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTÁTICA Las operaciones fundamentales de la estática, son las que permiten pasar de un sistema de fuerzas a otro, que sea estáticamente equivalente.
Primera Operación: Una fuerza aplicada en un punto de un cuerpo rígido, no alterara su efecto de movimiento, si se desplaza su punto de aplicación a otro, que se encuentre a lo largo de su recta de acción Recordando que siempre se trata de barras indeformables. Como podemos apreciar en la figura N° 11, igual fuerza aplicada a cuerpos de diferente rigidez, aunque se cumpla dicha operación, el comportamiento será diferente:
A P
A
B P
C
B P
P
Cuerpo Indeformable Rígido
Cuerpo deformable Fig. 11.-
Segunda Operación: No se altera el efecto de movimiento de dos fuerzas concurrentes a un punto de un cuerpo rígido, al sustituirlas por una sola, según la diagonal del paralelogramo, construido con ellas. A esta operación se la denomina principio del paralelogramo. La operación realizada se trata de una composición de fuerzas y/o determinación de la resultante.
P3 P1
P2
P1
P2 P3
Fig. 12.Lo que podemos apreciar es que a una equivalencia geométrica le corresponde una física. Siendo esto comprobable experimentalmente, mediante un ensayo, utilizando un conjunto de pesas y poleas, logrando y verificando su equilibrio.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
13
Estabilidad I – Primera Parte
En la practica para la determinación de la resultante y utilizando las propiedades del paralelogramo, donde sus lados paralelos son iguales, se formara un polígono denominado polígono vectorial de fuerzas. Desde el punto de vista geométrico, utilizando escalas y ángulos convenientes, se puede determinada con bastante aproximación el valor de la resultante. E1 valor analítico se podrá determinar, mediante la formula: R P12 P22 2 P1 P2 cos 180
y su dirección será: P sen 2 sen 180 R P sen sen 2 R
A la operación inversa de la composición, se la denomina descomposición de las fuerzas o lo que es lo mismo determinación de las componentes. Cuando una fuerza actúa sobre 2 planos distintos se descompone generalmente según las perpendiculares respectivas a dichos planos, en sus fuerzas componentes que pasan por los centros de las superficies y deberán producir el mismo efecto total que la fuerza primitiva. Por lo tanto estamos en condiciones de decir que una fuerza será estáticamente equivalente a otras dos, según direcciones previamente fijadas. Consecuencia: No se altera el efecto de movimiento de una fuerza existente en un cuerpo rígido, al sustituirla por dos de direcciones arbitrarias, pero concurrentes con la línea de acción de aquella.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
14
Estabilidad I – Primera Parte
Tercera Operación: No se altera el efecto de movimiento del sistema de fuerzas existente en un cuerpo rígido, introduciendo o suprimiendo un sistema nulo. Se entiende por sistema nulo, cuando actúan dos fuerzas de igual intensidad y sentido opuesto en la misma recta de acción. (fig. 18) Tomando como ejemplo el caso que a toda acción P le corresponderá una reacción R, Por lo tanto el cuerpo rígido se encontrara en equilibrio .
P
Se puede presentar el caso donde en el punto "A" de la chapa rígida fig. 22, actúan dos fuerzas iguales y contrarias, por lo tanto P existirá equilibrio . En el otro caso de la fig. 23, el sistema aunque sigue siendo nulo B puede fisurar la chapa. Recordemos que estamos estudiando cuerpos rígidos e A indeformables, para analizar la posterior C consecuencia, tendremos que conocer que P tipo de material estamos utilizando, P mereciendo esto al estudio de la resistencia Fig. 22.Fig. 23.de los materiales.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
15
Estabilidad I – Primera Parte
Cuarta Operación: No se altera el efecto de movimiento de una fuerza P que actúa en un punto "A" de un cuerpo rígido, si se la desplaza paralelamente a su recta de acción a otro punto "B" y a una distancia d, siempre que se agregue una cumpla de momento igual a P·d M=P∙d
Con el conocimiento de las cuatro operaciones fundamentales de la Estática anteriormente vista, estamos en condiciones de resolver y simplificar muchos de los problemas en la estabilidad. Desde complicados sistemas de fuerzas y momentos, hasta otros más simples, para poder identificar una mínima expresión equivalente que posteriormente sabremos contrarrestar, para que esa estructura se encuentre Isostáticamente sustentada. Por lo tanto, ahora nos ocuparemos al estudio de los momentos de giros.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
16
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
MOMENTO DE GIRO También llamado momento estático de una fuerza "P" respecto de un eje o centro A, normal al plano de la fuerza. Lo podemos definir como el producto de la fuerza P por el brazo de palanca d (fig. N° 25). Llamamos brazo de palanca d, a la distancia entre el centro de giro A y la recta de acción de la fuerza P. Resulta entonces que M = P·d. Si el giro se produce en sentido horario, afectaremos el momento con giro positivo (+), en cambio si se produce en sentido antihorario, lo afectaremos con giro negativo (-). Será importante destacar que el momento de una fuerza respecto de un punto que se encuentra en la recta de acción de dicha fuerza, será M =P · 0 = 0 = nulo. En caso de ser varias las fuerzas actuantes, sea el caso de un sistema de fuerzas no concurrentes respecto de un punto "A", se tendrá: (Fig. N° 26) m
M Pi d i i 1
M P1· d1 P2· d 2 P3·d 3
Se consideran a la distancia d1, d2, d3 las menores respecto al punto. E1 momento estático de una fuerza respecto a un punto cualquiera del plano, se lo puede simplificar notablemente cuando se trata de sistemas de fuerzas complicadas, utilizando métodos Vectoriales. Por lo tanto, estamos en condiciones de decir que el momento estático de una fuerza respecto de un punto de su plano es el producto vectorial entre dicho vector fuerza y el vector distancia acotado entre el punto de aplicación "A" y el punto en cuestión "0".
M P d
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
17
Estabilidad I – Primera Parte
Recordando que el producto vectorial esta dado por la: proyección del vector d, sobre la recta perpendicular entre el vector P y el punto ''0'', que será d', multiplicado por el vector P.(Fig. N° 27)
P
d ' Proy. d d' sen d ' d · sen ˆ d
A
d
.
0 d1
Por lo tanto: M P · d sen ˆ Fig. 27.-
E1 vector M (Fig. N° 28) Será normal al plano y su sentido cumple con el principio del tirabuzón (Fig. N° 29).
La representación vectorial del momento M, será perpendicular al plano y pasa por el punto A' que esta referido. Resolución: i M P d ; M P d sen ˆ ; M Px
j Py
k 0
dx
dy
0
dx x A x B siendo final menos origen del vector distancia. dy y A y B
Aplicación:
Se tiene una fuerza P cuyo vector esta dado por: P 3i 2 j , aplicado en un punto B (1,1). Cuyo momento será para el punto A (3,5).
UNLZ – Facultad de Ingeniería
18
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
Para nuestro estudio adoptamos a los ejes positivos como el expuesto en (Fig. N° 30). Debido que se facilita la resolución de las estructuras las fuerzas descendentes serán más numerosas que las fuerzas ascendentes. Resultando de este modo mas sencillo su despeje matemático.
Px 3 Py 2 dx Cálculo de dy
Siendo
dx x A x B dx 3 1 i dx 2 M P d Px dy y A y B dx dy 5 1 dy 4
j Py
k i j k 0 3 2 0 12 4 16k
dy
0
2
4
0
Como podemos apreciar, resulta el vector momento M, perpendicular al plano que contiene al vector fuerza P.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
19
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
CONCEPTO DE CUPLA O PAR DE FUERZAS Se llama así al sistema constituido por dos fuerzas de igual intensidad y dirección pero de sentido contrario, separadas en una distancia “d” (fig. 31). Por lo tanto dicha cupla generará un momento que será perpendicular al plano que las contiene y su sentido será por convención.
(+) sentido horario (positivo) (-) antihorario (negativo)
El momento estático de una cupla o par de fuerzas respecto de un punto cualquiera del plano, será constante y su magnitud esta dada por el producto de la fuerza y La distancia que las separa. Su sentido estará dado por el principio del tirabuzón. Demostración:
P P
P
P
P P A
d
P
P d
d
B
C
e
MC = P (d + e) – Pe =Pd + Pe - Pe MA = +P · d
MB = +P · d
MC = +P · d
d a
b E
ME = P · a + P · b = P (a + b) ME = +P · d
Fig. 32.Lo que queda demostrado que para cualquier punto del plano que se tome, el momento de la cupla respecto de ese punto siempre es el mismo.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
20
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
Cuplas Equivalentes Dos pares de fuerzas son equivalentes cuando tienen el mismo momento estático.
P1 P2 d1
d2 P2 P1 Fig. 33.-
Si P1· d1 M 1 y además M 1 M 2 y P2· d 2 M 2
(fig. 33) Se dice que ambas cuplas son equivalentes. Por lo tanto.
P1· d1 P2 d 2
d1 P1 d 2 P2
Este concepto es muy útil fundamentalmente cuando se analiza el equilibrio de momentos interno de un cuerpo con respecto al equilibrio de momentos externo del mismo. Esto se logra a los efectos de poder dimensionar una pieza de un material previamente adoptado en el estado de flexión.
Ahora bien. si a una cupla cuyo momento es conocido, se le agrega un sistema nulo, se obtendrá otra cupla resultante también equivalente. Como hemos visto en las operaciones fundamentales de la estática, que si a un sistema de fuerzas se le agrega otro sistema en equilibrio o sistema nulo, la resultante de dicho sistema no varía. Por lo tanto si se tiene inicialmente un par de fuerzas (P1, P1) y se le agrega un sistema nulo (P2; P2 ) fig. N° 34, se obtendrá otro par de fuerzas que será equivalente al inicial. (R, R)
UNLZ – Facultad de Ingeniería
21
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
| Teorema de Varignon: Se trata de un sistema de fuerzas (Pl,P2)concurrentes a un punto "A" y del momento que producen respecto de otro punto "B" del plano, en relación al momento estático que también produce su resultante respecto al mismo punto "B"(Fig. 35). Enunciado: El momento estático de la resultante de un sistema de fuerzas respecto de un punto cualquiera del plano, es igual a la suma de los momentos estáticos de cada una de las fuerzas componentes del sistema respecto del mismo punto. Demostración: Utilizando el álgebra vectorial su resolución matemática se realiza en forma sencilla. MP B MP1 B MP2 B
Lo que tenemos que demostrar: MP1 B P1 d
R
MP2 B P2 d MP1 B MP2 B P1 d P2 d P1 P2 d
P1 P2
R d MP1 B MP2 B MRB
A
Fig. 35.d B
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
22
Estabilidad I – Primera Parte
SISTEMAS PLANOS DE FUERZAS Todo sistema plano de fuerzas, se lo puede clasificar en tres grupos: A) Concurrentes Sistema Plano de Fuerzas B) No Concurrentes C) Paralelas
A) Sistema plano concurrentes: Nuestro objetivo será reducir este sistema a su mínima expresión, para ello debemos encontrar una única fuerza resultante que tenga el mismo efecto de movimiento que el sistema dado. Debiendo ser necesario, realizar una composición de fuerzas en dicho sistema. La resultante será una fuerza que por si sola, reemplazara la acción del sistema, ahora bien, si se tratara de un sistema equilibrado, esa fuerza resultante será nula. Como el objetivo de la estática se encontrar el equilibrio y al existir fuerzas resultante, dicho cuerpo se desplazara. Por lo tanto, a ese sistema será necesario agregarle otra fuerza que equilibre, debiendo ser de igual modulo, dirección y sentido contrario que la resultante. De esta manera quedara establecido el equilibrio buscado. Para reducir el sistema plano de fuerzas concurrentes, dispondremos de tres métodos posibles. Método Analítico Método Analítico Resolución Método Gráfico Método Vectorial
Método Analítico: Como se trata de un .sistema de fuerzas concurrentes a un punto, "A" (fig. 36) el efecto resultante será otra fuerza aplicada en el mismo punto, y como consecuencia, originara un desplazamiento en el P plano equivalente al sistema dado. 1y P1 P
P2y 2 Para determinar la resultante se procede primeramente en hacer coincidir el centro de un P2x sistema de ejes cartesiano ortogonales (x - y) con el centro de convergencia de las fuerzas. Posteriormente se proyectan cada una de las fuerzas P3 componentes del sistema a los ejes (x - y), Fig. 36.obteniéndose así todas las proyecciones, que sumadas serán las componentes de la resultante buscada. Quedando determinado así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
P1x
x
F x R x P1x P2 x P1 cos P2 cos R y R y P1 y P2 y P1 sen P2 sen P3
La intensidad o modulo de la resultante será R Rx 2 Ry 2 por relación Pitagórica y su dirección será: UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
tg
23
Estabilidad I – Primera Parte
Ry Rx
arctg
Ry Rx
Hemos definido así a la resultante, mediante la proyección sobre dos ejes.
Condición analítica de equilibrio: Para que un sistema de fuerzas plano concurrentes se encuentre en equilibrio, deberá ser nulas cada una de sus proyecciones. Quedando:
F x Rx 0 F y Ry 0
Por lo tanto serán dos las ecuaciones de equilibrio con dos incógnitas igualadas a cero
Además se puede adoptar una ecuación de proyección con una de momentos igualadas a cero, pero siempre serán dos las ecuaciones con dos incógnitas. F x ó F y 0 M A 0
La ecuación de proyección podrá ser con respecto a cualquiera de los ejes. La ecuación de momentos podrá ser con respecto a cualquier punto del plano. Finalmente se podrán adoptar dos ecuaciones de momentos con dos incógnitas igualadas a cero con respecto a cualquier punto del plano. M A 0 M B 0
Los puntos adoptados no deberán estar alineados para no formar combinación lineal una con respecto a la otra y así el sistema no ara infinitas soluciones. Método Gráfico Teniendo un sistema como el dado en la fig. N° 36 de tres fuerzas concurrentes en "A" (P1,P2,P3), para reducirlo a su mínima expresión en forma gráfica, nos valemos de las operaciones fundamentales de la estática. Una posibilidad de resolución es la aplicación sucesiva del principio del paralelogramo como el de la fig. 37. Otra posibilidad es la simplificación de principio del paralelogramo que se utiliza en forma práctica como método simplificado. Generando así un polígono de vectores denominado vectorial. Este consiste en colocar el comienzo de una de las fuerzas, sucesivamente en el final de la anterior y manteniendo sus direcciones llevándolas en forma paralela Como se puede apreciar, fig. 38 justificamos dicho procedimiento, porque en todo paralelogramo sus lados opuestos y paralelos son iguales. UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
24
Estabilidad I – Primera Parte
Este procedimiento resulta sumamente útil, cuando se trate de hallar un numero de fuerzas que concurren a un mismo punto "0".
Condición Gráfica de equilibrio: Si al analizar un polígono vectorial y este resulta que el inicio de la primer fuerza no coincide con el final de la ultima, decimos que dicho polígono vectorial es abierto, entonces admite una resultante, fig. N° 39. Por lo tanto no estará en equilibrio consecuentemente se desplazara a lo largo del plano en la dirección de R. En cambio si en un polígono vectorial coinciden el inicio de la primer fuerza con el final de la ultima. decimos que dicho polígono vectorial es cerrado, entonces no admite resultante (Fig. N° 40) y por lo tanto si estará en equilibrio.
Resumiendo: Se puede apreciar que en un polígono vectorial abierto esta faltando una fuerza que equilibre al sistema. Esa fuerza será de igual dirección que R, fig. N° 39 y de sentido contrario. Esa fuerza será la equilibrante E, que permitirá que ese sistema no se desplace. POR LO TANTO LA CONDICIÓN GRÁFICA DE EQUILIBRIO PARA UN SISTEMA DE FUERZA PLANO CONCURRENTE, ESTARÁ DADO POR UN POLÍGONO VECTORIAL CERRADO.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
25
Estabilidad I – Primera Parte
Ejemplos de equilibrio:
B) Sistema plano de fuerzas no concurrentes También como el sistema de fuerzas concurrentes a un punto, dispondremos de tres métodos para reducir el sistema a una mínima expresión. Método Analítico Reducción Método Gráfico Método Vectorial
Método Analítico Como se trata de un sistema de fuerzas no concurrentes a un punto, la fuerza resultante no estará aplicada en un punto previamente conocido. Dado el siguiente sistema de fuerzas (Fig. N° 43) y fijando el sistema de coordenadas en el, podremos trasladar cada una de las fuerzas componentes a un punto (A) cualquiera del plano. (Fig. N°44) UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
26
Estabilidad I – Primera Parte
Con la traslación de cada una de las fuerzas a dicho punto (A), como hemos visto, aparecerán los momentos de transporte, que cada una de ellas genera al ser trasladadas a lo largo de un mismo plano. Cada momento generado pasara por el punto (A), en dirección perpendicular al plano de las fuerzas, formando así un sistema de momentos en el punto. Por lo tanto en dicho punto actuaran: un sistema de fuerzas concurrentes y un sistema de fuerzas de momentos perpendiculares al plano de las fuerzas. (Fig. 44). Cuyas resoluciones serán determinar la resultante de fuerzas y de momentos. Ahora dispondremos de un sistema de fuerzas en el plano, concurrentes en el punto (A), cuyas direcciones, sentidos e intensidades estarán identificados. Para determinar su resultante, quedaran identificadas las dos ecuaciones con dos incógnitas correspondientes. F x R x F y R y
0
x
Dichas ecuaciones definen la Proyección de la resultante. Su modulo y Dirección estarán dados por :
MR A
R Rx 2 Ry 2 arctg
Ry Rx
R y Fig. 45.-
Además en dicho punto (A) existirá un conjunto de momentos de transporte, que tendrá también su resultante. Aplicando el principio de Varignon. MR A MPi Ecuación que define el momento resultante.
Quedando así reducido el sistema a su mínima expresión con dos ecuaciones conocidas de proyección y una tercer ecuación de momentos.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
27
Estabilidad I – Primera Parte
F x Rx F y Ry MR A MR El sistema quedará definido analíticamente entonces por tres ecuaciones con tres incógnitas. Para reducirlo a su mínima expresión, se pueden reemplazar una de proyección por una de momentos. De tal forma que cuando se analice el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, los puntos adoptados no deberán estar alineados para no formar combinación lineal, así no se tendrán infinitas soluciones. LA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO ANALÍTICO SERÁ IGUALANDO A CERO LAS TRES ECUACIONES. Método Gráfico: Se puede resolver este sistema, utilizando los principios analizados, como la traslación de una fuerza a lo largo de su recta de acción y el principio del paralelogramo. Que aplicándolos en forma reiteradas, se obtendrá la resultante del sistema. Con el punto de concurrencia A de dos fuerzas trasladadas Pl y P2, determinamos la resultante R1-2, con la traslación de P3 hasta un punto de concurrencia B, se obtendrá la resultante total RT . Este método se puede complicar cuando se trata de un sistema de varias fuerzas y además son entre si los puntos de concurrencia de las rectas de acción. Para simplificar esta resolución, se puede recurrir a la aplicación del polígono vectorial y funicular. Tomando el mismo sistema anterior P1 , P2 , P3 formamos el polígono vectorial (Fig. N° 48)
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
28
Estabilidad I – Primera Parte
E1 polígono vectorial se forma con los vectores representativos de las fuerzas P1 , P2 , P3 en forma sucesiva respetando sus direcciones y sentidos, definiendo así la resultante del sistema en modulo, dirección y sentido. Lo que no define es el punto por donde pasara dicha resultante. Los rayos polares son las direcciones en las que se descomponen las fuerzas del sistema, en dos direcciones cada una. Las dos componentes de cada una de las fuerzas en el vectorial, reemplazaran en el polígono funicular a cada una de las fuerzas respectivas. (Fig. 47). A1 formarse varios sistemas nulos se simplifican en el polígono funicular, quedando reducido solamente en la primera y ultima dirección, que serán las componentes de la resultante. De otra manera la composición determinara el punto por donde pasara la resultante del sistema plano no concurrente.
Condición gráfica de equilibrio: Denominamos polígono vectorial abierto, (Fig. N° 49) aquel en que el origen de la primer fuerza no coincide con el fin de la ultima, por lo tanto existirá una resultante que originara un desplazamiento del cuerpo. Llamamos polígono vectorial cerrado (Fig. N° 50) aquel en que el origen de la primer fuerza si coincide con el fin de la ultima, por lo que no habrá resultante que produzca desplazamiento, haciendo que el cuerpo se encuentre en equilibrio.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
29
Estabilidad I – Primera Parte
Además ya conociendo el polígono funicular se puede definir: Polígono cerrado:
funicular
Denominamos aquel en donde el primer rayo y el último se cortan en un punto o son coincidentes. Polígono abierto:
funicular
Aquel en donde el primer rayo y ultimo no se cortan ni son coincidentes. Se pueden presentar tres posibilidades gráficas en un sistema de fuerzas no concurrentes en el plano.
a) b)
Polígono Vectorial Abierto Polígono Funicular Cerrado Polígono Vectorial Cerrado Polígono Funicular Cerrado Polígono Vectorial Cerrado
c)
Polígono Funicular Abierto
Existe resultante con punto de aplicación definido donde hay TRASLACIÓN No existe resultante y el sistema está en EQUILIBRIO. El sistema se reduce a dos fuerzas iguales y de sentido contrario, o sea, a un par de fuerzas. En el sistema existe ROTACIÓN
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
30
Estabilidad I – Primera Parte
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
31
Estabilidad I – Primera Parte
Método Vectorial: Dado el sistema propuesto, hemos visto que al trasladar las fuerzas a un punto "A" cualquiera del plano, aparecerán los momentos de transporte:
MP1 P1 d1
0
x
MP2 P2 d 2 P3
MP3 P3 d 3 También aplicados en el punto "A", quedando un sistema de fuerzas concurrentes en "A" y un sistema de vectores, momentos normales al plano considerado que también cortan al plano en el punto “A”.
d3
d2 P2
P1
y
d1
Fig. 54.-
Quedando: Un conjunto de tres ecuaciones con tres incógnitas. F x Rx F y Ry MR A MR
De las dos primeras ecuaciones, se determinan modulo, dirección y sentido de la resultante, donde quedara la resultante R definida. De la tercera ecuación por el teorema de Varignon, obtendremos el momento resultante, MR vector normal al plano de las fuerzas. Quedando el sistema reducido a un vector fuerza aplicado en "A" v un vector momento normal al mismo. Si reducimos el vector fuerza R aplicando en "A" a otro punto "B" del plano, vemos que aparecerá otro momento de transporte que sumado al vector MR , se tendrá otro momento resultante. Se tendrá entonces, el vector fuerza R aplicado en "B" y un vector momento resultante distinto que fue sumado vectorialmente al anterior. Si esta suma vectorial resulta cero, es que el nuevo momento de transporte aparecido, será un vector igual y contrario al anterior. Fig. 51. De esto se deduce que de los infinitos puntos del plano, habrá un punto donde al ser trasladada la fuerza R , el momento será igual a cero. Este es un caso de atención, pues es por allí donde pasara la fuerza resultante, o sea se reduce el sistema de fuerzas no concurrentes en el plano a un punto "C", que sumado al momento MR A , otro vector MR C igual y de sentido contrario de tal forma que la suma de vectores sea igual a cero.
MR A MRC 0 MR A R d A C 0 Si la suma vectorial de MR (total) + MR(transporte al punto C) = 0. Ambos vectores se anulan, es allí donde actúa la fuerza R en su recorrido por el plano. UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
32
Estabilidad I – Primera Parte
UNLZ – Facultad de Ingeniería
33
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
SISTEMA DE FUERZAS PLANO NO CONCURRENTES Método Vectorial: Aplicación Incógnita: Determinar la resultante: Datos: P1 5i 6 j pasa por 2,2 P2 2i 3 j pasa por - 1,2 parel punto A 2,2 P 2i 2 j pasa por 0,1 3
Llevamos P1 ; P2 ; P3 al punto "A", generando momentos de traslación: i j k
MP1A 5 2;2 i MP2A
MP3A
6 0 0 Ya tenemos P1 en el punto " A" 2;2 0 j k 2 3 0 9k Ya tenemos a P2 en el punto " A" con su momento elástico 2 1 2 2 0 i j k 2 2 0 6k P3 en " A" con su momento de traslación 2 0 2 1 0
P1 ; P2 ; P3 ya son concurrentes en "A" y cada uno con su momento de transporte. Su fuerza resultante R resulta:
R P1 P2 P3 R 5 2 2 i 6 3 2 j R 5i 7 j Modulo:
R 52 72 R 8,6023
Ry Rx Dirección: 7 ˆ arctg 5 ˆ arctg
Ahora tenemos en el punto "A" la resultante y con su momento de transporte. Este momento será: UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
34
Estabilidad I – Primera Parte
3
MR A MP3 i 1
MR A MP1 MP2 MP3 MR A 0 9k 6k MR A 3k Si hacemos la prueba de trasladar a P1 ; P2 ; P3 a otro punto cualquiera del Plano "w", se puede apreciar que obtendremos otro momento MRW distinto. Existirá entonces un punto "P" del plano, donde al ser trasladada la resultante R, el momento de transporte será nulo. A esta operación la llamamos Reducción de la resultante. Es decir, reduciremos el sistema a un punto tal que al sumarle al par MRA otro par R d A P que sea igual y de sentido contrario, donde su suma se anula:
MR P MR A R d AP 0 A1 anularse el momento, "ese" será precisamente el punto por donde pasara la "resultante". i j k MR P 0 3k 5 7 0
x 2 y 2 0 0 3k 5 y 2 7 x 2 k 0 3 5 y 10 7 x 14 0 21 5 5 y 7 x Ecuación de la recta que contiene a la resultante.
3;0 y 0 Para x 0 0;4;2
C) Sistema plano de fuerzas paralelas: La resolución de este sistema, es un caso particular de un sistema plano de fuerzas concurrentes a un punto impropio (P;¥) que se cortan en el infinito. Por lo tanto serán necesarias para su resolución dos ecuaciones. Las ecuaciones adoptadas no podrán ser ambas de proyección, para obtener la ubicación relativa de R, respecto de dos componentes, será necesario reemplazar una ecuación de proyección por una de momentos. F x Rx M P Mx
Cuya condición de equilibrio analítico será: F x Rx 0 M P Mx 0
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
35
Estabilidad I – Primera Parte
Para su resolución gráfica, su resultante se hallara en forma análoga al de las fuerzas concurrentes, siendo este un caso particular. Su ubicación se podrá determinar gráficamente (fig. N° 57) mediante el polígono funicular, acompañando del correspondiente polígono de fuerzas. Dadas: P1 ; P2 ; P3 paralelas:
Descomposición de una fuerza Hemos visto que la forma para descomponer una fuerza en forma gráfica en el plano, es la operación inversa a su composición. Esto se logra mediante el principio del paralelogramo, visto anteriormente, teniendo dos direcciones previamente fijadas. Analíticamente, la descomposición de una fuerza en dos direcciones, será factible mediante dos ecuaciones de proyección. Siempre que se tomen como referencia dos ejes ortogonales. Hasta ahora hemos analizado cuatro sistemas de fuerzas, donde cada uno determinara distintas direcciones en que se quiere descomponer una fuerza que llamaremos incógnitas. POR
LO TANTO “INCÓGNITA, DESCOMPONER UNA FUERZA”.
ES
LA
DIRECCIÓN
EN
QUE
SE
QUIERE
UNLZ – Facultad de Ingeniería
36
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
SISTEMA DE FUERZAS PLANO CONCURRENTES
ESPACIAL CONCURRENTES R Rx i Ry j Rz k
R Rx i Ry j
Rx Fi x
Rx Fi x
Ry Fi y
MR Fi y
Rz Fi z
PLANO NO CONCURRENTES R Rx i Ry j
ESPACIAL NO CONCURRENTES R Rx i Ry j Rz k
Rx Fi x
Rx Fi x
MRx Fi x d i
Ry Fi y
Ry Fi y
MRy Fi y d i
Rz Fi z
MRz Fi z d i
MR Fi d i
Fig. 58.Distintas posibilidades: En la relación entre el numero de ecuaciones y el numero de incógnitas. Pueden existir tres posibilidades diferentes: (1) Si el número de incógnitas es menor al número de ecuaciones: el problema no admite ninguna solución posible, por lo tanto el sistema el hipostático.
Nº Incógnitas
Nº Ecuaciones
I P A
I Dirección Fig. 58.-
Hipoestaticidad
Es la dirección en que se quiere descomponer a la Fuerza P. 1 Dirección = 1 Incógnita Disponibles = 2 Ecuaciones
Ninguna Solución Posible
UNLZ – Facultad de Ingeniería
37
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
(2) Si el número de direcciones en que se quiere descomponer a una fuerza P (numero de incógnitas) es igual al número de ecuaciones. El problema tiene una única solución posible. independiente de las características elásticas y geométricas de los elementos que materializan las direcciones. Nº Incógnitas = Nº Ecuaciones
Isostaticidad
1 y 2 Dirección
Son las direcciones a descomponer la fuerza P. 2 direcciones = 2 incógnitas disponibles = 2 ecuaciones.
1
Dirección
P
2
Fig. 59.-
Única Solución Posible
(3) Si el número de Direcciones a descomponer a una fuerza P (numero de incógnitas) es mayor que el número de ecuaciones. El problema tendrá infinitas soluciones, donde cada una de ellas dependerá de las características elásticas y geométricas de los elementos que materializan las direcciones. Nº Incógnitas
1
Nº Ecuaciones
2
3
Hiperestaticidad
4 Direcciones = 4 incógnitas Disponibles = 2 Ecuaciones Infinitas Soluciones
4
Fig. 60.-
P
Deben satisfacer las dos ecuaciones de la estática, dependiendo además de las ecuaciones de la resistencia de los materiales, en función del módulo de elasticidad "E" de los materiales y características geométricas de los mismos.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
38
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
Descomposición de una fuerza P en direcciones coplanares no concurrentes.
1
1 1
2 3
2 4 P
P
3
2
P
2 Direcciones : 2 incógnitas
3 Direcciones : 3 incógnitas
4 Direcciones : 4 incógnitas
Disponibles : 3 ecuaciones
Disponibles : 3 ecuaciones
Disponibles : 3 ecuaciones
NO EXISTE SOLUCIÓN
ÚNICA SOLUCIÓN
INFINITAS SOLUCIONES
por las tres ecuaciones Analítica Depende de las características generales de la estática elásticas y geométricas Solución Graficamente Métodos de Cremona Solución de los materiales que constituyen Ritter - Cullman las direcciones
HIPOSTÁTICO
ISOSTÁTICO
HIPERESTÁTICO
UNLZ – Facultad de Ingeniería
39
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
DESCOMPOSICIÓN “GRÁFICA” DE SISTEMA DE FUERZAS PLANO CONCURRENTES Como sabemos en el marco de la isostaticidad, se podrá descomponer en el plano una fuerza en tres direcciones dadas no concurrentes a un punto.
Método de Culmann El objetivo será reemplazar a una fuerza “P” conocida por otras tres fuerzas según las direcciones cualesquiera en que queremos descomponerlas, no concurrentes a un punto. Para la resolución y el equilibrio, dispondremos de tres ecuaciones con tres incógnitas que no son otras que las ecuaciones generales de la estática. De allí que sea factible la descomposición de una fuerza en sus tres componentes “pero” no en más, pues conducirá a un problema indeterminado.
Solución Gráfica De acuerdo con la ubicación de las rectas de acción, se pueden presentar cuatro casos. 1
a) Las tres rectas de acción concurren a un punto de la recta de acción de la fuerza “P” dada.
2
A
El problema será indeterminado porque se trata de un caso de fuerzas concurrentes, donde se dispondrá para su resolución de
3
Dos ecuaciones y tres incógnitas
P
Indeterminado
1 2
b) Las tres rectas de acción concurren a un punto que no pertenece a la recta de acción de la fuerza “P”
A 3 P
El problema no tiene sentido de acuerdo al principio del paralelogramo, las componentes deben concurrir a un punto con la resultante. no tiene sentido c)
Dos Rectas de acción concurren a un punto de la recta de acción de la fuerza “P” dada y la tercera no. La tercera componente será nula.
1
Se demuestra aplicando el teorema de Varignon: 2
A
P 3
M A ; MP A MP1 A MP2 A MP3 A
Si MP(A) = 0 También
MP1 A MP2 A MP3 A 0
Sabemos que si:
MP1(A) = 0
Y
MP2(A) = 0 También será: MP3(A) = 0 UNLZ – Facultad de Ingeniería
40
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
Necesariamente debe ser cero la intensidad P3. Por cuanto la misma no pasa por el centro de momentos. d) Las cuatro cuadriláteros
P A
de
acción
forman
“ÚNICO CASO POSIBLE”
P (a)
2
rectas
Sea descomponer “P” en tres componentes de direcciones ; y .
B 1
3
Llamaremos P1; P2 y P3 a las componentes buscadas. P P1 P2 P3
P P1 P2 P3
R P; P1 R P2 ; P3
Gráficamente:
P R e de cta C Au ul x m ili an ar n
a
(a
P
)
Au x.
P1
P3
Determinamos “A” intersección de P y P1, donde pasará la recta de acción de su resultante R (P; -P1) Determinamos “B” intersección de P2 y P3 por donde pasará la recta de acción de su resultante R (P2 ; P3) De acuerdo a la ecuación
P2
R ( P; -P1) = R (P2; P3)
Ambas resultantes son idénticas. Su recta de acción será la definida por los puntos “A” y “B” que llamaremos RECTA DE ACCIÓN DE CULMANN. Ahora a P la descomponemos en P1 y en otra cuya recta de acción es la Recta Auxiliar P(a), en el polígono de Fuerzas. Como P(a) también concurre a un punto con las componentes P2 y P3. Por lo tanto es posible descomponer en estas direcciones. CON LO QUE QUEDA RESUELTO EL PROBLEMA. Del polígono de fuerzas, surge también el cumplimiento de la ecuación vectorial. P(a) es resultante de P2 y P3 y también la opuesta. P(a) es resultante de P y (-P1) El objetivo es reemplazar a la Fuerza “P” por otras tres fuerzas P1, P2 y P3 según tres direcciones dadas. Para ello nos hemos basado en la descomposición de una fuerza en dos direcciones coplanares y concurrentes.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
41
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
DESCOMPOSICIÓN “GRÁFICO –NUMÉRICA” DE UN SISTEMA DE FUERZAS PLANO NO CONCURRENTES Método de Ritter Hemos visto que una resultante quedará definida por tres ecuaciones, respecto de tres puntos no alineados (Teorema de Varignon). La ecuación de Momentos Respecto del punto “A”. Tendrá tres incógnitas, que serán las intensidades de las componentes según las tres rectas de acción dadas.
Planteando otras dos ecuaciones respecto de “B” y de “C” también no alineados con “A”. Nos permite completar un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas que nos resuelve el problema. P1 d1A + P2 d2A + P3 d3A = P dPA P1 d1B + P2 d2B + P3 d3B = P dPB P1 d1C + P2 d2C + P3 d3C = P dPC Esta resolución se puede simplificar. Si en la matriz del sistema, así formado, fueran nulos los coeficientes, SALVO LOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL . El sistema de transforma en un sistema de tres ecuaciones “INDEPENDIENTES” con una incógnita cada una. La resolución tendrá así una solución inmediata. ELLO ES LO QUE PERSIGUE EL MÉTODO DE RITTER. Tomar los puntos en las intersecciones de dos direcciones. UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
42
Estabilidad I – Primera Parte
a Al tomar momentos de “P” respecto al punto “A” (MPA), se anulan los momentos de dos componentes cuyas rectas de acción pasan por “A”. P1 y P2
M(A) P dPA = P3 d3A Nos permite despejar directamente la “INTENSIDAD” de la componente P3. P3
P dPA d3A
¿Cuál será el sentido? Sabemos que el MP3 respecto de “A”, debe ser igual al MP respecto de “A” en valor absoluto y en signo. MP3 A MP A
Horario Horario Positivo Positivo b Ahora, intersección de P2 y P3 en el punto “B”. M B P dPB P1 d 1B P1
P dPB d1B
MP1 B MP B
Antihorario Antihorario Negativo Negativo c Con la intersección de P1 y P3 en el punto “C” UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
43
Estabilidad I – Primera Parte
M C P dPC P2 d 2C P2
P dPC d 2C
MP2C MPC
Antihorario Antihorario Negativo Negativo De esta forma, el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se redujo a tres ecuaciones con una sola incógnita distinta en cada ecuación.
TANTO EL MÉTODO DE “Culmann” COMO EL DE “Ritter” POR SER ÚTIL EN LA DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN TRES DIRECCIONES, ES DE FÁCIL APLICACIÓN PARA LA RESOLUCIÓN EN LOS RETICULADOS PLANOS Y DEL TIPO DE ESFUERZOS EN LAS BARRAS, COMO TAMBIÉN LA INTENSIDAD DE DICHOS ESFUERZOS DE COMPRESIÓN O TRACCIÓN.
P1
P2
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
44
Estabilidad I – Primera Parte
SISTEMA ESPACIAL DE FUERZAS Lo mismo que al estudiar el Sistema plano de fuerzas, el Sistema espacial lo podremos clasificar en tres grupos :
Espacial concurrentes Sistema de fuerzas Espacial paralelas Espacial no concurrentes
A) Espacial Concurrente Para su resolución podemos adoptar los métodos gráficos y/o analíticos. Dentro del método analítico su resolución puede ser clásica o vectorial.
z
Método Gráfico : Una vez identificado el sistema, se podrá obtener la RESULTANTE por aplicación reiterada del principio del paralelogramo de fuerzas.
R1-2 P2
Como se podrá apreciar, dicha resolución gráfica del sistema en el espacio, suele ser muy complicada, porque no podemos medir con facilidad la verdadera magnitud de las fuerzas y sus respectivas direcciones y ángulos.
P1 x RT
Para su resolución debemos adoptar modelos espaciales convenientes adaptados a escala, o en un programa por computadora. Debido a ello, se presta mayor atención a la resolución analítica.
P3 y
Fig. Nº 59
UNLZ – Facultad de Ingeniería
45
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
Método Analítico : z
Así como en el plano, la proyección de la resultante sobre un eje es igual a la suma de las proyecciones de las componentes sobre dicho eje. En el espacio ocurre lo mismo cuando se trate de un eje que se encuentre en el plano de las componentes, pero para definir a dicha resultante, mediante la proyección sobre dos ejes x, y se podrá apreciar que existen infinitas soluciones de la resultante que admiten dichas proyecciones.
o x
y
Fig. Nº 60
Por lo tanto será necesario conocer la proyección también sobre el eje z. Con lo que la resultante de fuerzas espaciales concurrentes quedará definida por tres ecuaciones:
F ( x ) Rx F ( y ) Ry F ( z ) Rz
(1) (2) (3)
Condición analítica de equilibrio : Siendo por lo tanto la condición analítica de equilibrio del presente sistema espacial :
F ( x) F ( y) F (z)
: P1x P 2 x P 3 x .......... Pnx Rx 0 : P1 y P 2 y P 3 y .......... Pny Ry 0 : P1z P 2 z P 3z .......... Pnz Rz 0
Lo mismo que en el sistema plano, se podrá reemplazar siempre una de las ecuaciones de proyección por una de momentos respecto de un eje, pero siempre serán tres las ecuaciones. Una vez obtenidas las proyecciones de las resultantes en un sistema espacial ortogonal donde ésta será la hipotenusa de un triángulo rectángulo y aplicando Pitágoras, se podrá determinar su módulo mediante : R : Rx 2 Ry 2 Rz 2
Además conociendo su posición, es decir los ángulos directores , , , se puede definir la dirección de la resultante R mediante :
UNLZ – Facultad de Ingeniería
46
Ing. Jorge A. Papajorge
arc.cos
Estabilidad I – Primera Parte
Rx R
Rz arc.cos R
arc.cos
Ry R
, cos.: Rx , lo que implica que pues en el triángulo OMA R
a : arccos
Rx . Deduciendo de igual forma los ángulos ; R
Z Rz R R
Rz
M
Rx
A 0
Rx
x
Ry Ry y
Fig. 61.Polígono espacial vectorial Método vectorial : Podemos desarrollar el método vectorial mediante la aplicación del álgebra vectorial, apoyándonos en un ejemplo : para determinar la resultante de un sistema espacial en forma analítica vectorial procederemos : P1 2i 3 j 2 k P2 3i 3 j 4 k Datos : P 3 4i 4 j 2 k P4 2i 3 j 2 k UNLZ – Facultad de Ingeniería
47
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
El vector resultante será : R:1i 1 j 2 k El módulo de la resultante :
R Ri 2 Rj 2 Rk 2 R 6 ~ 2 ,45 R 2.4494 Dirección de la resultante :
1 ; : 65º 2,45 1 :arccos Ry / R arccos ; : 65º 2,45 2 :arccos Rz / R arccos ; : 35º 2,45
:arccos Rx / R arccos
B) Sistema Espacial de Fuerzas paralelas
z
Como veremos este es un caso particular de fuerzas espaciales concurrentes, pues todas ellas concurren en el infinito P impropio. Por lo tanto vamos a necesitar tres ecuaciones.
P2
0
Para la resolución del presente sistema en forma gráfica y analítica, conviene hacer coincidir a los ejes de coordenadas con la dirección de las fuerzas paralelas, donde en la figura será el eje z. Por lo tanto al necesitar tres ecuaciones, una de proyección y dos de momentos será :
x Fig. Nº 62 P3
P1
y
F (z )
Ry R
M (x ) F
i
M ( y ) F
i
.,Y i R .YR
; donde YR
., X i R . XR ; donde XR
F
i
.Y i
R
F
i
.X i
R
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
48
Estabilidad I – Primera Parte
Condición analítica de equilibrio: La condición de equilibrio para el presente sistema estará dado por
P ( z ): 0 M ( x ): 0 M ( y ): 0
Siendo esta la única ecuación de Proyección
C) Sistema de Fuerzas espacial no concurrentes: Como la resolución de todo sistema, al sistema espacial de fuerzas no concurrentes, queremos reducirlo a su mínima expresión, que sea un sistema equivalente, que produzca el mismo efecto cinemático que el dado.
Para lograr dicho propósito, reducimos las fuerzas (fig. 63) P1 , P2 , P3 al origen del sistema de coordenadas adoptado, punto "0". De tal manera hemos transformado al sistema espacial no concurrente en otro concurrente, pero al trasladar cada fuerza, se han generado sus respectivos momentos de transporte o pares de traslación concurrentes en el mismo punto origen "0". Como hemos analizado al estudiar momentos de una fuerza cada par de traslación origina un vector momento que será perpendicular al plano que contiene a dicha fuerza. En el punto origen "0", por lo tanto, concurren vectores representativos de las fuerzas y momentos, donde estos serán normales a cada fuerza que los generó al ser trasladada por el espacio.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
49
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
z
P3 P1
d1 d3
0
x
d2
P2 y z
MP1
MP2
P3 x
P2 P1 MP3 y Fig. Nº 63 Quedando formado el sistema según la fig. siguiente: z
MR = MRxi + MRyj + MR zk R = 90º
x R = Rxi + Ryj + R zk
y
Fig. Nº 64
UNLZ – Facultad de Ingeniería
50
Ing. Jorge A. Papajorge
1) P 1; P 2; P 3
Estabilidad I – Primera Parte
concurrentes en "0"
2) MP 1; MP 2; MP 3
concurrentes en " 0"
cuyos valores serán : MP 1 P 1 d 1 MP 2 P 2 d 2 MP 3 P 3 d 3 Por lo tanto para establecer la mínima expresión del sistema, debemos determinar la resultante y el momento resultante de las respectivas fuerzas. Para determinar la resultante de las fuerzas del sistema, procedemos al caso de fuerzas concurrentes espaciales. Serán entonces necesarias las tres ecuaciones :
F ( x ) Rx F ( y) Ry F ( z) Rz Donde su módulo será : z 2
2
R : Rx Ry Rz
2
Su dirección estará dada por : Rx arccos R Rz arccos R Ry arccos R
Mf MR 0 x
Mt
R Fig. Nº 65 y
Que nos permitirá definir el vector : R: Rxi Ryj Rzk aplicado en el punto "0". Tendremos además en dicho punto "0" una serie de pares MP 1, MP 2 , MP 3 actuando en él, donde al aplicar el teorema de VARIGNON quedarán reducidos en
MRx : MPi ( x ) MRy : MPi ( y ) MRz : MPi ( x ) donde el valor del momento resultante será :
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
51
Estabilidad I – Primera Parte
MR: MRxi MRyj MRzk
El sistema quedará reducido en el punto "0", (Fig. Nº 65), a la resultante R y al momento resultante MR . Es importante destacar que aunque cada fuerza es normal a su par de traslación, R y MR no serán perpendiculares, formarán un ángulo cualquiera, no formarán ángulo de 90º, en caso de formarlo será un caso particular. MR
R
Una vez reducido el sistema espacial no concurrente, a una resultante R y un momento resultante MR aplicados en "0", sobre el plano de R y MR podemos ahora descomponer a MR en dos direcciones perpendiculares, (Fig. Nº 65), una coincidente con la de la resultante R y la otra normal a la misma.
M t : coincidente con la dirección de R M t R
M f : Normal a la dirección de R M f R
Sabiendo que dos fuerzas iguales, paralelas y contrarias forman un momento perpendicular al plano de las mismas, estamos en condiciones de afirmar que podemos descomponer al vector momento M f en dos fuerzas iguales y de sentido contrario, distanciadas en "d" de manera que, resulte M f : R d . Entonces habrá un punto del plano normal a la dirección de R y M t , que contiene a M f , donde en ese punto "p" el valor de M f se anula. Lo que implica que M f y R d se encuentran en el mismo plano perpendicular a R . Por lo que el sistema de fuerzas espaciales no concurrentes, se reduce como mínima expresión en una fuerza R y en un par Mt, coincidente con la dirección de R . Como se podrá apreciar, el par M t no se puede eliminar, siendo este un valor constante e independiente del punto de reducción. Será una invariante escalar ya que su dirección no es arbitraria sino coincidente con R . Sea cual fuere la transformación, el vector R no varia ni en dirección ni en magnitud (invariante vectorial).
UNLZ – Facultad de Ingeniería
52
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
MF
A
R Mt MF Mt
B
R
Lugar geometrico Eje central
-MF
-MF=(R
Fig. Nº 66
d)
AB
M t : invariante escalar R
: Invariante vectorial
Al lugar geométrico de los puntos en los cuales solamente hay un par coincidente con R , se lo denomina eje central.
Dicho de otra manera, eje central serán los puntos del espacio donde M f se anula.
Si M f : 0 R d + M f = 0 le sumamos a Mf otro vector que lo anule.
La resultante se traslada con un momento R d , por lo tanto habrá un punto donde M f = 0, por ese lugar pasa el eje central. Esa mínima expresión R y M t estarán sobre dicho eje central. Por lo tanto para que exista equilibrio en un sistema espacial de fuerzas no concurrentes serán necesarias seis ecuaciones :
3 de proyección para anular la resultante. 3 de momentos para anular el efecto del par M t .
Equilibrio
F ( x) 0 F ( y) 0 F ( z) 0
M F (x ) 0 MF (y ) 0 M F (z ) 0 UNLZ – Facultad de Ingeniería
53
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
Analizando lo mismo de otra forma, según las figuras siguientes :
R R MR MR Mt R Mf R Mf
R
R
R
MFB
A
B
C MR B
MF A MTT MRA
MTT
MTT Figura Nº 67
Como podemos apreciar (Fig. Nº 67) el vector momento MR en el punto "A" se descompone en M t normal al plano y coincidente con la dirección de R y MFA MFA contenido en él.
M t y M f son vectores libres, se pueden trasladar por el espacio sin que altere su efecto. Pero al trasladar el vector fuerza R a otro punto "B" del plano, se formará un momento de transporte R d que se encontrará también en el plano p, que alterará a M f , proyección de MR sobre el plano.
Por lo tanto, existirá en ese punto "B" del plano, las nuevas proyecciones M f que ha variado y M t que no se ha modificado. Con la traslación de R , siempre se generan vectores momentos sobre el plano p por lo tanto habrá un punto "C", donde se genera un vector momento de traslación - M f igual y de sentido contrario a M f , que al sumarse vectorialmente, el vector momento MFC se anula. UNLZ – Facultad de Ingeniería
54
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
Þ MFC R d 0
M t vector constante
MRA MFA
R
A MTA d
B
MTB R
MFB
MRB
Fig. Nº 68
UNLZ – Facultad de Ingeniería
55
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
Al trasladar R y MR A desde el texto el punto " A" a otro punto " B" del plano , se formará o tr o MR y MR B M RB M RA R d
Multimplicando ambos miembros por el versor R MR B xR R d xR MT
B
MT
A
0 (R d) es vector normal A R y pertenece al plano , por lo tanto el producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero R d x R = R d R cos 90º R d x R = 0
Quedando demostrado que MT es valor constante cualquiera sea el punto de redución del plano Ejemplo: Determinar analíticamente la resultante, el momento resultante, MT , MF y la ecuación del eje central, del siguiente sistema de fuerzas no coplanares y no concurrentes. F1 2i 3 j 2 k F 2 3i 2 j 2 k F 3 4i 3 j 3k F 4 2 i 2 j 4 k
1,1,1 -1,-1,-2 -2,-2,-3 1,2,1
Llevamos el sistema al origen (0, 0, 0), donde aparecerán los momentos de traslación.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
56
Ing. Jorge A. Papajorge
i M F1 2
j 3
k 2 5i 4j 1k F1MF1
1 1 1 i j k MF2 -3 2 2 2i 8j - 5k 1 1 i j MF3 4 -3
Estabilidad I – Primera Parte
el producto escalar será nulo MF1xf1 MF1 F1cos = 0
2 k 3 -15i 6 j + 14k
2 2 3 i j k
MF4 -2 2 -4 102 i 2 j + 6k -1 -2 1
ya disponemos a F1 , F2 , F3 y F4 en el origen y a MF1 , MF2 , MF3 y MF4 también en el origen . Ahora si se puede sumar F1 , F2 , F3 y F4 porque están en el origen, antes no aunque es lo mismo matemáticamente pero no físicamente. R 1i 4 j 1k MR 28i 8 j 16k
R y MR no son normales, en caso de serlo el producto escalar entre ambos dará "cero". En este caso no son.
R 18 4 ,24 R 1 versor R = R= i 4 j k MT R 4,24 dirección MT es la misma que la dirección de R MT MRxMT 1 = -28i + 8j + 16k x i 4 j k 4,24 1 = -28i + 32j - 16k 4,24 12 2,8301 4,24 tenemos el versor y el modulo de MT. Falta hallar el vector
UNLZ – Facultad de Ingeniería
57
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
MT MT MT MT . MT MT 1 12 i 4 j k . 4,24 ,24 4 MT
MT
12 1 x i 4 j k 4,24 4,24 MT 0,67i 2,6 j 0,67 k MT
MR MF MT MF MR MT MF 28i 8 j 16k 0,67i 2,67 j 0,67 k MF 27,33i 10,6 j 15,33k
Como MF tiene que ser perpendicular a R debe cumplir que : MFx R 0 27 ,33i 10,6 j 15,33k x i 4 j k 0 27 ,33 42 ,66 15,33 0 Son PERPENDICULARES
Habrá un punto en donde al ser trasladada la resultante R , al momento MF sumará otro igual y de sentido contrario cuya suma será igual a cero.
se le
MFx R d MF no debe existir. i j k 27,33i 10,67 j 15,33k 1 4 1 0 x y z 27,33i 10,67 j 15,33k 4 z y i x z j y 4 x k 0 27,33 4 z y 0 ecuación de 3 planos que cortan a la misma recta. 10,67 x z 0 15,33 y 4 x 0 ecuación del eje central eje por donde solamente para R y MT y donde se anula MF. Z 0 y 27,33 Uno de los puntos del eje centralk Z 0 x 10,67
Hemos analizado matemáticamente el sistema.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
58
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
CARGAS DISTRIBUIDAS O REPARTIDAS Las cargas que actúan en las estructuras ¿Son todas iguales? - NO Todas las estructuras se encuentran sometidas a distintos tipos de solicitaciones llamadas cargas, pudiendo estas manifestaciones de diferentes formas. Hasta el presente hemos analizado como una fuerza o un conjunto de fuerzas llamado sistema actúan en un cuerpo rígido como cargas concentradas o puntuales. Llamamos cuerpo rígido aquel que la distancia entre dos de sus puntos no varían antes o después de ser aplicado el estado de cargas. Adoptamos el concepto de cuerpo rígido, antes de entrar en el estudio de la resistencia de los materiales. Como si se analizaran las deformaciones correspondientes a cada material. Cuando en la realidad queremos analizar una carga puntual sobre una estructura, se apreciará que se hace muy difícil materializarla. Un caso típico es el de una esfera rígida sobre un plano. Entonces ¿Por qué hemos analizado cargas puntuales? Porque generalmente existen pequeñas cargas puntuales paralelas infinitamente próximas distribuidas a lo largo de una superficie que no son otras que cargas distribuidas, que de acuerdo con la gran magnitud de la estructura y a pequeñas superficies de contacto, se las consideran como cargas puntuales. Es el caso del apoyo de una viga en una columna. Entonces: Cuando a esas pequeñas fuerzas paralelas muy próximas y sucesivas actúan en forma distribuida en gran parte de la estructura, las consideramos como cargas distribuidas. Pueden existir tres tipos de cargas distribuidas. Uniformes o constantes. Distribuidas con variación lineal. Distribuida no constante ni lineal.
Carga Uniforme o Constante Es la acción del líquido en el fondo de un recipiente. También son cargas distribuidas constantes, el peso propio de un elemento estructural.
Carga Distribuida Lineal: Son aquellas cuya variación en una dirección mantienen una función lineal. La presión o carga hidrostática sobre las paredes de un recipiente.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
59
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
Cargas no constantes ni lineal Es el caso de la presión del viento sobre una gran superficie.
Cargas distribuidas sobre una superficie Si sobre un plano actúa una carga distribuida en forma normal al mismo, se puede suponer como un conjunto de infinitas fuerzas concentradas de intensidades muy pequeñas y paralelas entre sí. “A” es un punto de la superficie y “F” es un entorno muy pequeño del mismo. Q
Llamamos “Q” a la resultante de las infinitas fuerza que actúan en el entorno F.
A F
Definimos:
Q Intensidad media de carga distribuida. F
Si F es cada vez más pequeño hasta confundirse con “A” Q dQ Q Intensidad de carga distribuida en el punto. F 0 F dF Lím
Cuyas unidades se medirá en unidades de fuerza sobre las de superficie: t ; kgr 2 ; kgr 2 ; t 2 ; kN 2 ; kN 2 . 1kN 100kgr . m2 m cm cm m cm
Cargas Distribuidas sobre un Eje Vemos que al analizar la carga distribuida, no guarda una relación ni constante ni lineal con respecto al eje en que se distribuye. Línea de x
y
R
carga
x
Como la carga distribuida es un conjunto de fuerzas infinitamente muy próximas pequeñas y paralelas, necesitamos conocer su resultante y por donde pasa su recta de acción.
dr q(x)
R x
0
dx
l
l Diagrama de carga
Si se tratara de cargas finitas, podríamos recurrir a una solución gráfica por medio del polígono funicular o analítica por medio de las ecuaciones generales de la estática.
En este caso procedemos: Q = f(x) “Q” es función de “x” Sistema de fuerzas paralelas de intensidad infinitésima. Su resultante también será paralela
F y 0 M A 0 UNLZ – Facultad de Ingeniería
60
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
cuando dx es más chico, más nos acercamos a un valor de q(x). Fuerza elemental:
dR = q(x) dx
0 dR 0 q x dx
Ecuación de
0
Pr oyección
R q x dx
Momento Respecto de “0”: M 0 q x x dx Ecuación de Momentos 0
Por Varignon: R x R q x x dx 0
xR
q x x dx 0 R
Ecuación de Momentos
Define la abscisa de un punto de la recta de acción de R.
Cargas Distribuidas Constantes q f x q q 0 cte
R q x dx q 0 x 0 0
xR
R q 0
q x x dx x R 0 0 q x dx xR
q 0 2 2q 0
x2 q 0 2 q 0 x
xR
q(x) 0
0
0
l
R
2
Cargas distribuidas Linealmente q x
q x xq q x
Ley de variación de la carga q
R q x dx 0
x
0
q(x)
0
R
xR
Por semejanza de triángulo s
q dx
Ecuación de Proyección q qx 2 R x dx 2
x
R 0
e R
q 2 Su Intensidad
Para hallar la ubicación:
UNLZ – Facultad de Ingeniería
61
Ing. Jorge A. Papajorge
Estabilidad I – Primera Parte
xR
q x x dx 0
Ecuación de Momento
R 1 xq x dx R 0
1 q 2 2 q x3 x dx 0 q 3 q 2
0
2 q 3 q 3
xR
2 3
Su Ubicación
1 En caso de hacer coincidir a la carga máxima q con el origen, el valor de x R 3
Cargas Distribuidas no Constantes no Lineales Cuando la variación de la carga distribuida no sigue una ley matemática se podrá apelar para hallar su resultante y ubicación a la fórmula de “Simpson” o de los “trapecios”.
Simpson S q
x q 0 q n 4q xi 2q P 3
Se divide el intervalo de la función en un número par, donde: q 0 primer ordenada
q(n)
q(0)
q n ultima ordenada
q(x)
q p coordenadas pares
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 xn x0 x
q xi coordenadas impares
Momento: x S q x x q 0 x 0 q n x n 4q xi X i 2q p x p 3
Por la Fórmula de los Trapecios O por integración aproximada
x q 0 q n 2q xi 2 x S q x x q 0 x 0 q n x n 2q i xi 2 S q x
A
Pa
xQ h
Ejemplo: Vimos que la fuerza total resultante Q, está dada por la superficie del diagrama de cargas.
Q B ·h
Pb
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
R
62
Estabilidad I – Primera Parte
q 2
h h h2 Q 2 2
Y que la carga Q, pasa por el baricentro del diagrama de cargas triangular. xQ
2 h 3
Para calcular las reacciones, “pa” y “pb”
Qh Q h pa h pa 3 3 3 2 2 2 0 pb h Q h pb h Q h pb Q 3 3 3
M B 0 pa h Q M A
Como Q
h2 2
pa
h2 6
pb
h2 3
UNLZ – Facultad de Ingeniería
Ing. Jorge A. Papajorge
63
Estabilidad I – Primera Parte
ANÁLISIS DE CARGAS EN LAS ESTRUCTURAS Según el Reglamento CIRSOC 101 (Centro de Investigación de los Reglamentos Nacionales de Seguridad para las obras civiles) del sistema INTI. Define: Acción: Conjunto de Fuerzas Exteriores Activas concentradas o distribuidas (Acciones Directas)que deformaciones impuestas (acciones, indirectas) Aplicadas a una estructura. También denominado Estado de Cargas. Acción permanente: Acciones que tienen variaciones pequeñas (despreciables, en relación a su valor medio) e infrecuentes con tiempos de aplicación prolongados. Acción Variables: Acciones que tienen elevadas probabilidad de actuación, variaciones frecuentes y continuas no despreciables en relación a su valor medio. Acción Accidental: Acciones que tienen pequeña probabilidad de actuaciones pero con valor significativo, durante la vida útil de la construcción cuya intensidad puede llegar a ser importante para algunas estructuras. Coacción: esfuerzos internos originados por fluencia lenta retracción , variación de temperatura, cedimientos de vínculos, etc. que solo se producen en estructuras hiperestáticas. Carga: fuerzas exteriores activas concentradas en KN (1 KN = 100 Kgr) o kgr KN KN distribuidas por unidad de longitud en 100 1 ; por unidad de m m m KN KN kgr KN superficie en 1 2 100 2 ; o por unidad de volumen 2 m m3 m m kgr KN 1 3 100 3 . Como ejemplo: cargas gravitatorias, cargas originadas por m m viento, frenado, etc. Carga Gravitatoria “g”: cargas que actúan sobre una estructura como consecuencia de la acción de la gravedad. Carga Útil “p”: cargas debidas a la ocupación o uso (sobrecargas). Por ejemplo: peso de personas y muebles en edificios, mercaderías en depósitos, vehículos en puentes, etc. Carga de Servicio “q”: Acciones (Estado de carga), a los cuales puede ser sometido un elemento estructural durante el uso para el cual ha sido previsto. Carga de Rotura: cargas que conducen a un estado límite. Estado límite: Estado que se produce en una estructura cuando deba de cumplir alguna función para la que fue proyectada. Carga estática: son aquellas cargas que no producen una aceleración significativa sobre un elemento estructural. Carga Dinámica: son aquellas cargas que producen una aceleración significativa sobre la estructura o sobre un elemento estructural. ¿Cómo se transmiten las cargas por una estructura? UNLZ – Facultad de Ingeniería
64
Columna
Losa
Estabilidad I – Primera Parte
Vi ga
Ing. Jorge A. Papajorge
Columna
Columna
Viga
Tendremos que realizar un análisis de cargas de arriba hacia abajo. Primero: analizamos la placa horizontal superior que puede ser el caso de una losa. Q=g+p Carga de Servicio: carga gravitatoria + sobrecarga o carga accidental Las cargas gravitatorias (g) = se obtendrán multiplicando las superficies consideradas kgr KN por los correspondientes pesos unitarios (según tablas). m2 m2 SOBRECARGAS: las cargas accidentales o sobrecargas (p): Existen valores mínimos que kgr KN se obtienen de tablas (CIRSOC) . m2 m2 Una vez identificado el valor de carga (q) de servicio en la placa se transmite hacia sus vínculos (apoyos) que son las vigas. El análisis de carga de las vigas se realizará del mismo modo que el de la placa siendo kgr t KN su unidad . m m m Al ser lineal su análisis disminuye un grado respecto de la placa. Luego del análisis “q” de la viga esta transmite sus cargas a los vínculos que son sus columnas. Las columnas reciben cargas asimismo en t (toneladas), kgr, KN, que luego estas se trasladan al suelo por intermedio de sus bases. Considerando a todo este sistema como un sistema activo. Siendo el sistema reactivo, la reacción del suelo sobre la estructura.
UNLZ – Facultad de Ingeniería
