Cheat Sheet 1 Einführung 

   

Prinzip der Induktion Sei für jedes 𝑛 ∈ ℕ, 𝐴(𝑛) eine Behauptung geeben. Soll die Behauptung 𝐴(𝑛) für alle 𝑛 ∈ ℕ bewiesenw erden, so genügen dazu zwei Beweisschritte: › 1. Der Beweis von 𝐴(0) (𝐴(𝑚)) › 2. für jedes 𝑛 ≥ 0 (𝑛 ≥ 𝑚 ): 𝐴(𝑛) ⇒ 𝐴(𝑛 + 1) Indirekter Beweis Wenn wir die Aussage 𝐴 ⇒ 𝐵 beweisen möchten, fügen wir ¬𝐵 als Annahme hinzu und nach eineer Kette von erlaubten Schlüssen kommen wir zu einer flaschen Aussage. (𝐴 ⇒ 𝐵) ≡ (¬𝐵 ⇒ 𝐴) Surjektivität: ∀𝑦 ∈ 𝑌∃𝑥 ∈ 𝑋, 𝑠𝑑 𝑓 (𝑥) = 𝑦, sprich wenn jedes Element 𝑦 ∈ 𝑌 mindestens ein Urbild hat. Injektivität Wenn aus 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥2 ) stets 𝑥1 = 𝑥2 folgt, also falls jedes 𝑦 ∈ 𝑌 höchstens ein Urbild hat. Bijektivität: Surjektivität. & Injektivität

2 Die Reellen Zahlen ℕ = {0,1,2, … }  (ℝ, +,⋅) ist ein Körper  Körperaxiome (𝑅, +) Abelische Gruppe: ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ  Ordnungsaxiome ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ › A1 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 › O1 𝑥 ≤ 𝑥 ( ) ( ) › A2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 › O2 𝑥 ≤ 𝑦 und 𝑦 ≤ 𝑧 ⇒ 𝑥 ≤ 𝑧 › A3 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥 › O3 𝑥 ≤ 𝑦 und 𝑦 ≤ 𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑦 › A4 ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ mit 𝑥 + 𝑦 = 0 › O4 entweder 𝑥 ≤ 𝑦 oder 𝑦 ≤ 𝑥 › M1 𝑥 ⋅ 𝑦 = 𝑦 ⋅ 𝑥 › OA 𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ 𝑥 + 𝑧 ≤ 𝑦 + 𝑧 › M2 𝑥 (𝑦𝑧) = (𝑥𝑦)𝑧 › OM 𝑥, 𝑦 ≥ 0 ⇒ 𝑥𝑦 ≥ 0 › M3 𝑥 ⋅ 1 = 1 ⋅ 𝑥 = 𝑥 › M4 𝑥 ≠ 0, ∃𝑦 ∈ ℝ mit 𝑥𝑦 = 1 = 𝑦𝑥 › D 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧  Ordnungsvollständigkeitsaxiom Seien 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ nicht leere Teilmengen, sodass 𝑎 < 𝑏 ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵. Dann gibt es 𝑐 ∈ ℝ mit 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏 ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵  Absolutbetrag |𝑥| = max{𝑥, −𝑥}  Dreiecksungleichung |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦| und |𝑥𝑦| ≤ |𝑥||𝑦|  Bounds/Schranken for 𝑋 ⊂ ℝ: upper bound: ∃𝑐 ∈ ℝ sd 𝑥 ≤ 𝑐 ∀∈ 𝑋, lower bound: ∃𝑐 ∈ ℝ sd 𝑥 ≥ 𝑐 ∀∈ 𝑋  Satz 2.10 Jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge 𝐴 ⊂ ℝ besitzt eine kleinste obere Schranke 𝑐. Die kleinste obere Schranke 𝑐 ist eindeutig bestimmt, heisst Supremum von 𝐴 und wird mit sup 𝐴 bezeichnet. Analog Jede nicht leere, nach unten beschränkt Teilmenge 𝐴 ⊂ ℝ besitzt eine grösste untere Schranke 𝑑, heisst Infimum von 𝐴 und wird mit inf 𝐴 bezeichnet.  Corollary 2.11 › 𝐸 ⊂ 𝐹, 𝐹 bounded above: sup 𝐸 ≤ sup 𝐹 › 𝐸 ⊂ 𝐹, 𝐹 bounded below: inf 𝐹 ≤ inf 𝐸 › If ∀𝑥 ∈ 𝐸, ∀𝑦 ∈ 𝐹: 𝑥 ≤ 𝑦, then sup 𝐸 ≤ inf 𝐹 › If 𝐸 has a Supremum then ∃𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 > sup 𝐸 − 𝛿 › If 𝐸 has an Infimum then ∃𝑥 ∈ 𝐸 , 𝑥 < inf 𝐸 + 𝛿  Satz 2.13 Archimedische Eigenschaft Zu jeder Zahl 0 < 𝑏 ∈ ℝ gibt es ein 𝑛 ∈ ℕ mit 𝑏 < 𝑛  Korollar 2.14 › 1. Seien 𝑥 > 0 und 𝑦 ∈ ℝ gegeben, Dann gibt es 𝑛 ∈ ℤ mit 𝑦 < 𝑛𝑥 𝑦 › 2. ∀𝑥, 𝑦, 𝑎 ∈ ℝ die die Ungleichung 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 + 𝑛 ∀𝑛 ∈ ℕ erfüllen, ist 𝑥 = 𝑎  

Eukildische Räume (ℝ𝑛 , +, −) componenentwise addition; scalar multiplication 𝜆(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = (𝜆𝑥1 , … , 𝜆𝑥𝑛 ), (ℝ𝑛 , +,⋅) is a vector space Skalarprodukt 〈𝑥, 𝑦〉 ≔ 𝑥1 𝑦1 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 › SP1 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑦, 𝑥〉 › SP2 〈𝑥, 𝛼𝑦 + 𝛽𝑧〉 = 𝛼 〈𝑥, 𝑦〉 + 𝛽〈𝑥, 𝑧〉

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›

SP3 〈𝑥, 𝑥〉 ≥ 0, 〈𝑥, 𝑥〉 = 0 ⇔ 𝑥 = 0



Norm ‖𝑥‖ ≔ √〈𝑥, 𝑥〉 = √∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖2

  

Satz 2.19 Cauchy-Schwarz |〈𝑥, 𝑦〉| ≤ ‖𝑥‖‖𝑦‖ und ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖, Satz 2.20 ‖𝛼𝑥‖ = |𝛼 |‖𝑥‖ und ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ Die Komplexen Zahlen ℂ ∼ (ℝ2 ,⊕, ⨂) › Multiplication: (𝑎 + 𝑏𝑖 ) ⋅ (𝑐 + 𝑑𝑖 ) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) ⋅ 𝑖 › Addition (𝑎 + 𝑏𝑖 ) + (𝑐 + 𝑑𝑖 ) = (𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑) ⋅ 𝑖 (𝑎+𝑏𝑖)

(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)

𝑎𝑐+𝑏𝑑

𝑏𝑐−𝑎𝑑

›

Division: (𝑐+𝑑𝑖) = (𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖) =

› › › › › ›

(1,0) ∈ ℝ2 ist das neutrale Element von ⊗ 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖 𝑧 ⋅ 𝑧̅ = |𝑧|2 1 sin(𝑥) = (𝑒 𝑖𝑥 − 𝑒 −𝑖𝑥 )

›

cos(𝑥) = 2 (𝑒 𝑖𝑥 + 𝑒 −𝑖𝑥 )

›

√−𝑛 = 𝑖 ⋅ √𝑛

𝑐 2+𝑑2

+ 𝑐 2+𝑑2 ⋅ 𝑖

2𝑖 1

2.1 Additional Wisdom Injektiv/surjektiv/bijektiv: 𝑓: 𝐴 ↦ 𝐵, 𝑟 ≔ |Range (f)| = |𝐴|, 𝑖 ∶= |Image (f)| = |𝐵|. Falls 𝑟 ≥ 𝑖 kann eine surjektive Abbildung existieren, falls 𝑟 ≤ 𝑖 kann eine injektive Abbildung existieren, folglich kann eine bijektive Abbildung existieren, falls 𝑟 = 𝑖. Mitternachtsformel 𝑥 =

−𝑏±√𝑏 2−4𝑎𝑐 2𝑎

, für quadratische Gleichungen mit reellen Koeffizienten sind die Lösungen immer

entweder beide reell oder es sind zwei zueinander komplex konjugierte Zahlen.

3 Sequences & Series | Folgen & Reihen 𝑛 Geometrische Reihe: ∑𝑁 𝑛=0 𝑞 =

1+𝑞 𝑁+1 𝑞 1, divergiert für 𝛼 = 1 𝑛

3.1 Sequences (𝑎𝑛 ) ⊂ ℝ   

Sei (𝑎𝑛 )𝑛≥1 eine Folge (𝑎𝑛 ) heisst beschränkt, falls es 𝑐 ∈ ℝ gibt, so dass |𝑎𝑛 | ≤ 𝑐 ∀𝑛 ∈ ℕ Eine Folge (𝑎𝑛 ) ≥ 1 konvergiert gegen 𝑎 wenn es für jedes 𝜀 > 0 einen Index𝑁(𝜀) ≥ 1 gibt, so dass |𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜀, ∀𝑛 > 𝑁(𝜀) bzw. falls für jedes 𝜀 > 0 die Menge der Indizes 𝑛 ≥ 1 für welche 𝑎𝑛 ∉ (𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀) endlich ist. Schreibweise 𝑎 = lim 𝑎𝑛 bzw. 𝑎𝑛 → 𝑎 𝑛→∞

𝑛→∞

Bemerkung 3.5 If (𝑎𝑛 ) converges, then its limit is unique; can only be used as a negative test (!); (𝑎𝑛 ) converges to limit → limit is unique; limit is not unique → (𝑎𝑛 ) diverges 𝑛 𝑝 𝑛 𝑚 𝑚−𝑘 𝑘 Bionomischer Lehrsatz (𝑎 + 𝑏)𝑚 = ∑𝑚 𝑏 ; Trick 𝑛𝑝 𝑞𝑛 = (𝑛𝑝/𝑛 ⋅ 𝑞) = ((√𝑛, 𝑛)𝑝 (𝑞1/𝑝 ) ) 𝑘=0 ( 𝑘 ) 𝑎

3.2 Convergence criteria Satz 3.8 for (𝑎𝑛 ), (𝑏𝑛 ) convergent and lim 𝑎𝑛 = 𝑎, lim 𝑏𝑛 = 𝑏   

(𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 )𝑛≥1 converges and lim 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 𝑎𝑏 (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )𝑛≥1 converges and lim 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏𝑛 ≠ 0 } ⇒ lim 𝑛 = 𝑏 𝑏 𝑛 𝑏≠0

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

𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ∀𝑛 ⇒ 𝑎 ≤ 𝑏

Monotone Convergence, praktisch für die Konvergenz von rekursiv deifnierten Reihen. 𝑎𝑛 bounded and monotone increasing (𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 , ∀𝑛 ≥ 1) ⇒ 𝑎𝑛 convergent and lim 𝑎𝑛 = sup{𝑎𝑛 | 𝑛 ≥ 1} 𝑏𝑛 bounded and monotone decreasing (𝑏𝑛+1 ≤ 𝑏𝑛 , ∀𝑛 ≥ 1) ⇒ 𝑏𝑛 convergent and lim 𝑏𝑛 = inf{𝑏𝑛 | 𝑛 ≥ 1}

3.3 Teilfolgen, Häufungspunkte Häufungspunkt 𝑎 ∈ ℝ ist ein Häufungspunkt von (𝑎𝑛 )𝑛≥1 falls es eine gegen 𝑎 konvergierende Teilfolge (𝑎𝑙(𝑛) ) gibt. Limes inferior/superior Sei (𝑎𝑛 ) eine beschränkte Folge: lim inf 𝑎𝑛 ≔ lim inf{𝑎𝑛 : 𝑛 ≥ 𝑘} , lim sup 𝑎𝑛 ≔ lim sup{𝑎𝑛 : 𝑛 ≥ 𝑘} 𝑘→∞

𝑘→∞

Dann sind lim sup 𝑎𝑛 , lim inf 𝑎𝑛 Häufungspunkte von (𝑎𝑛 ). Bolzano-Weierstrass: Every bounded sequence has a convergent subsequence.    

There are only finitely many 𝑛 ∈ ℕ with 𝑎𝑛 ∉ (𝑎− − 𝜀, 𝑎+ + 𝜀) 𝑎+ and 𝑎− is the biggest/smallest Häufungspunkt lim inf 𝑎𝑛 , lim sup 𝑎𝑛 (−1)2𝑛 = 1 (−1)𝑛 has 2 subsequnces { (−1)2𝑛+1 = −1

The following are equivalent (TFAE) for (𝑎𝑛 )bounded, 𝑎− ≔ lim inf 𝑎𝑛 , 𝑎+ ≔ lim sup 𝑎𝑛 › › ›

(𝑎𝑛 ) converges to 𝑎 Every subsequence converges to 𝑎 (!) 𝑎− = 𝑎+

3.4 Cauchy Cauchy-Criteria: 𝑎𝑛 ⊂ ℝ: 𝑎𝑛 conv.⇔ 𝑎𝑛 is Cauchy Cauchy: ∀𝜀 > 0, ∃𝑛(𝜀) ≥ 1 so that |𝑎𝑛 − 𝑎𝑚 | < 𝜀, ∀𝑛, 𝑚 ≥ 𝑛(𝜀) ›

1

1

1

2

3

𝑛

𝑎𝑛 ≔ 1 + + + ⋯ + , 𝑎𝑛 is divergent, we showed it is not Cauchy

3.5 Folgen in ℝ𝑑 und ℂ Statt |. | wird ‖. ‖ verwendet.Bolzano-Weierstrass gilt ebenfalls, Cauchy auch. r-Ball 𝐵 0 einen Index 𝑁(𝜀 ) ≥ 1 gibt, sd ∀𝑛 ≥ 𝑚 ≥ 𝑛 𝑁(𝜀): |∑𝑘=𝑚 𝑎𝑘 | < 𝜀 

∑𝑎𝑘 conv. ⇒ lim 𝑎𝑛 = 0; lim 𝑎𝑛 ≠ 0 ⇒ ∑𝑎𝑘 divergent 1

1

Warning: lim 𝑎𝑛 = 0 ⇏ ∑𝑎𝑘 conv. e. g. 𝑎𝑛 = 𝑛 , lim 𝑎𝑛 = 0, ∑ 𝑛 div; e. g. 𝑎𝑛 = 𝑞𝑛 , lim 𝑎𝑛 = 0, ∑𝑞𝑛 conv. Majoranten (Minoranten) Kriterium (Comparison tests) Let ∑𝑎𝑘 , < ∑𝑏𝑘 series so that ∃𝑘0 so that |𝑎𝑘 | ≤ 𝑏𝑘 ∀𝑘 ≥ 𝑘0 } ⇒ ∑𝑎𝑘 conv. ∑𝑏𝑘 conv. 21.08.2014 Linus Metzler 

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∃𝑘0 so that 𝑎𝑘 ≥ 𝑏𝑘 > 0 ∀𝑘 > 𝑘0 } ⇒ ∑𝑎𝑘 div. ∑𝑏𝑘 div. 1 1 1 1 → ∑ 𝑘! , ∑ (𝑘+1)2 conv. < ∑ 2𝑘 ≤ ∑ 𝑘(𝑘+1) 

Quotientenkriterium i. If lim sup | ii. If lim inf |

𝑎𝑛+1 𝑎𝑛

𝑎𝑛+1 𝑎𝑛

| < 1 then ∑𝑎𝑘 conv.

| > 1 then ∑𝑎𝑘 div.

iii. When these limits are 1  no information ∑ →

∑

1

div.

𝑛 1

conv.

𝑛2

→ ∑∞ 𝑘=0

𝑧𝑘

} lim

𝑎𝑛+1 𝑎𝑛

=1

conv. for every 𝑧; = 𝐸𝑥𝑝(𝑥)

𝑘!

Wurzelkriterium lim sup 𝑛√𝑎𝑛 < 1 ⇒ conv.

i.

lim sup 𝑛√𝑎𝑛 > 1 ⇒ div. When it is 1  no information ∞ 1 1 conv, 𝛼 > 1 < ∞ if 𝛼 > 1 → 𝜉 (𝛼 ) ≔ ∑∞ 𝑛=1 𝑛𝛼 { div, 𝛼 ≤ 1 ; ∫1 𝑥 𝛼𝑑𝑥 = { ∞ if 𝛼 ≤ 1

ii. iii.

𝑘 Potenzreihe 𝑝(𝑧) ≔ ∑∞ 𝑘=0 𝑐𝑘 𝑧 konvergiert ∀𝑧 ∈ ℂ mit |𝑧| < 𝜌 ≔

1 𝑘

lim sup √ |𝑐𝑘 |

∈ [0, ∞) und divergiert für alle |𝑧| >

𝜌. Der Konvergenzbereich ist ein Kreis.

3.7 Absolute convergence 

Absolute convergence: ∑|𝑎𝑘 | converges:

∑𝑎𝑘 konvergiert absolut, falls ∑|𝑎𝑘 | konvergiert ∑ 𝑎𝑘 abs conv ⇒ ∑𝑎𝑘 conv. aber ∑𝑎𝑘 conv. ⇏ ∑𝑎𝑘 abs conv. Beispiel: ∑

(−1)𝑛 𝑛

1

conv. but ∑ 𝑛 is div.

Importance of abs. conv. Is that we can reorder the terms in the sum the way we want; formally: let ∑∞ 𝑘=1 𝑎𝑘 be absolut convergent, 𝜑: ℕ → ℕ a bijection. Then ∑∞ 𝑎 converges absolutely and has the same sum value. 𝑘=1 𝜑(𝑘) 𝑧𝑘

→ ∑ 𝑘! ⇒

abs.conv.

Exp(𝑥 + 𝑦) = Exp(𝑥)𝐸𝑥𝑝(𝑦)

3.8 Additional Wisdom 1

𝑐𝑛



Convergence radius: 𝑟 =



Bei einer Funktion bei der das Vorzeichen alterniert und der der Betrag gegen unendlich geht (à la (− 2) ), exis-

𝑛

lim sup𝑛→∞ √ |𝑎𝑛 |

= lim |𝑐 𝑛→∞

𝑛+1

| 3 𝑛

tiert der Limes nicht (für (−1)𝑛 gilt ähnliches). o (𝑎𝑛 ) converges  (𝑎𝑛 ) bounded; (𝑎𝑛 ) is unbounded  (𝑎𝑛 ) is divergent; (𝑎𝑛 ) = (𝑛) is divergent; (𝑎𝑛 ) bounded ⇏ (𝑎𝑛 ) convergent (see 𝑎𝑛 = (−1)𝑛  0 < 𝑞 < 1, 𝑎𝑛 ≔ 𝑞𝑛 , lim 𝑎𝑛 = 0  𝑎𝑛 = 𝑛√𝑛, lim 𝑎𝑛 = 1 

1

lim 𝑛𝑝 𝑞𝑛 = 0, 𝑝 ∈ ℕ, 0 < 𝑞 < 1, 𝑡 = 𝑞, Exponential functions grow faster than any polynomial

4 Continuity, Limits of Functions  

𝑓 has a limit of 𝑎 at 𝑥 = 𝑥0 lim 𝑓 (𝑥) = 𝑎 if for every (𝑥𝑛 ) with lim 𝑥𝑛 = 𝑥0 , lim 𝑓 (𝑥𝑛 ) = 𝑎 𝑥→𝑥0

Stetigkeit 𝑓 is continuous at 𝑥0 if 21.08.2014

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1. 𝑓 (𝑥0 ) is defined 2. lim 𝑓(𝑥) exists 𝑥→𝑥0

3.

lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 )

𝑥→𝑥0

Grenzwerte von Folgen werden von stetigen Funktionen nicht verändert UND stetige Funktionen erhalten Grenzwerte von Folgen: 𝑓(lim 𝑥𝑛 ) = lim 𝑓 (𝑥𝑛 ) Continuity behaves with respect to operations on functions: 𝑓, 𝑔 cont at 𝑥0 ⇒ 𝑓 + 𝑔, 𝑓𝑔, 𝛼𝑓 cont at 𝑥0 and if 𝑔(𝑥0 ) ≠ 0 ⇒ 𝑓/𝑔 is cont Stetige Ergänzbarkeit Ω ⊂ ℝ𝑑 , 𝑓: Ω → ℝ𝑑 , 𝑥𝑜 ∈ ℝ𝑑 Ω sd ∃(𝑥𝑘 ) ∈ Ω mit lim 𝑥𝑘 = 𝑥0 . Dann ist 𝑓 an der Stelle 𝑥0 stetig ergänzbar, falls 𝑎 = lim 𝑓(𝑥𝑘 ) existiert. In diesem Fall setzen wir 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑎. Die durch 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑎 ergänzte Funktion 𝑓 ist offenbar stetig an der Stelle 𝑥0 . Satz 4.3 Sei 𝑓 monoton wachsend. Dann ist die Menge der Unstetigkeitspunkte entweder endlich oder abzählbar.

4.1 Stetige Funktionen Satz 4.9 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ, cont ⇒ 𝑓 ([𝑎, 𝑏]) is bounded and ∃𝑐+ , 𝑐− ∈ [𝑎, 𝑏] so that 𝑓(𝑐+ ) = sup 𝑓 , 𝑓 (𝑐− ) = inf 𝑓 Kompaktheit Eine Teilmenge 𝐾 ⊂ ℝ𝑑 heisst kompakt, falls jede (𝑥𝑛 )𝑛≥1 von Punkten aus 𝐾 einen Häufungspunkt in 𝐾 besitzt, d.h. falls jede Folge in 𝐾 eine in 𝐾 konvergierende Teilfolge hat. Falls 𝐾 ⊂ ℝ𝑑 kompakt ist, ist es beschränkt und besitzt zudem ein Minimum und Maximum. Satz 4.12 Sei 𝐾 ⊂ ℝ𝑑 kompakt und 𝑓: 𝐾 → ℝ𝑑 eine stetige Abbildung. Dann ist 𝑓(𝐾) ⊆ ℝ𝑑 eine kompakte Teilmenge. 𝑓 nimmt ihr Supremum und Infimum an, d.h. es gibt 𝑐− , 𝑐+ ∈ 𝐾 mit 𝑓 (𝑥− ) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ (𝑓+ ) ∀𝑥 ∈ 𝐾

4.2 Norm Definition Norm ‖. ‖: ℝ𝑑 → ℝ, 𝑥 ↦ ‖𝑥‖ hat folgende Eigenschaften: N1 Positiv definit: ‖𝑥‖ ≥ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑉 und ‖𝑥‖ = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑜 N2 Sie ist dem Betrage nach homogen: ‖𝛼𝑥‖ = |𝛼 |‖𝑥‖ ∀𝑥 ∈ 𝑉, 𝛼 ∈ 𝔼 N3 Die Dreiecksgleichung gilt: ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ Beispiel ‖𝑥‖2 ≔ √∑|𝑥𝑖2 |

4.3 𝜀 – 𝛿 Kirterium für Stetigkeit Satz 4.18 Äquivalent sind: 𝑓 ist stetig in 𝑥0 und 𝑓 ist stetig in 𝑥0 : ∀𝜀 > 0, ∃𝛿𝜀,𝑥0 > 0 so that |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓 (𝑥0 )| < 𝜀

4.4 Zwischenwertsatz Zwischenwertsatz: Seien 𝑎 < 𝑏, 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ stetig mit 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏) (𝑜𝑟 𝑓 (𝑎 ) > 𝑓 (𝑏)) dann gibt es zu jedem𝑦 ∈ [𝑓(𝑎), 𝑓 (𝑏)], ∃𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] sd𝑓(𝑐) = 𝑦; Korollar: jedes Polynom mit einem ungeraden Grad besitzt mindestens eine reelle Nullstelle. Satz 4.21 Sei 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ stetig, streng monoton wachsen, dann ist Bild 𝑓 = [𝑐, 𝑑] = [𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)] und 𝑓: [𝑎, 𝑏] → [𝑐, 𝑑] ist bijektiv und 𝑓 −1 : [𝑐, 𝑑] → [𝑎, 𝑏] ist stetig. Beispiel 𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑛 ist auf ganz ℝ stetig und auf (0, ∞) streng monoton wachsen mit dem Bild (0, ∞). 𝐷𝑖𝑒 Umkehrfunktion (0, ∞) → (0, ∞), 𝑥 ↦ 𝑛√𝑥 ist auch stetig.

4.5 Gleichmässige Stetigkeit 𝑓 ist stetig auf Ω: ∀𝑥0 ∈ Ω, ∀𝜀 > 0, ∃𝛿𝜀,𝑥0 > 0 so that ∀𝑥 ∈ Ω |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓 (𝑥0 )| < 𝜀 Gleichmässige Stetigkeit 𝛿 ist (nicht wie bei nur stetig) nicht von 𝑥0 abhängig, nur von 𝜀 ∀𝜀 > 0, ∃𝛿𝜀 > 0 sd ∀𝑥, 𝑥0 ∈ Ω|𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 )| < 𝜀 21.08.2014

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Satz 4.26 If 𝑓 is continous on a compact set then it is uniform continous on 𝐾 → [𝑎, 𝑏] 

Log is continous, inverse of monotone, continuous (but not gleichmässig stetig) function 𝑒 𝑥

4.6 Punktweise und gleichmässige Konvergenz Let (𝑓𝑛 ) be a sequence of functions, 𝑓 another function Pointwise convergence 𝑝.𝑤.

𝑓𝑛 →

𝑓 if ∀𝑥 ∈ Ω lim 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑛→∞

i.e. ∀𝑥 ∈ Ω, ∀𝜀 > 0, ∃𝑘𝜀,𝑥 sd ∀𝑘 > 𝑘𝜀,𝑥 |𝑓𝑘 (𝑥) − 𝑓 (𝑥)| < 𝜀 In pointwise convergence one can have a sequence 𝑓𝑛 of continuous functions with limit 𝑓 discontinuous; “cure”  uniform convergence 𝑓𝑛 = 𝑥 𝑛 : [0,1] → ℝ, lim 𝑥 𝑛 = {

›

𝑛→∞

0 if 0 ≤ 𝑥 < 1 1 if 𝑥 = 1

Uniform convergence of sequences of functions: uniform

𝑓𝑘 →

𝑓 if sup|𝑓𝑘(𝑥) − 𝑓 (𝑥)| →

𝑘→∞

𝑥∈Ω

0

i.e. ∀𝜀 > 0 ∃𝑘𝜀 sd ∀𝑘 > 𝑘𝜀 , ∀𝑥 ∈ Ω |𝑓𝑘 (𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 𝜖 uniform

𝑓𝑘 →

pointwise

𝑓 ⇒ 𝑓𝑘 →

𝑓 but NOT vice versa

Satz 4.31 Falls 𝑓𝑘 → 𝑓 gleichmässig konvergiert, 𝑓𝑘 ist stetig dann ist 𝑓 stetig.

5 Differentialrechnung Differentiable 𝑓 is differentiable in 𝑥0 if lim

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝑥→𝑥0

𝑥−𝑥0

exists which is then denoted as 𝑓 ′ (𝑥). The same applies if 𝑓 is

differentiable in Ω. Tangente 𝑇(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞 = 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓 (𝑥0 ) Theorem 5.5: 𝑓 differentaible in 𝑥0 ⇒ 𝑓 continous in 𝑥0 ; 𝑓 continous in 𝑥0 ⇏ 𝑓 differentiable in 𝑥0 ; e.g. 𝑓 (𝑥) = |𝑥| Beispiel 5.6 An keine Stelle differenzierbare Funktion: Distanz zur nächsten Zahl 〈𝑥〉 ≔ min{|𝑥 − 𝑚 |: 𝑚 ∈ ℤ} 𝑓

Satz 5.7 𝑓, 𝑔 differenzierbar in 𝑥0 . Dann sind 𝑓 + 𝑔, 𝑓𝑔, if 𝑔(𝑥0 ) ≠ 0 𝑔 auch differenzierbar und folgende Formeln gelten:  

(𝑎𝑓 + 𝑏𝑔)′ (𝑥0 ) = 𝑎𝑓 ′ (0 ) + 𝑏𝑓 ′ (𝑥0 ) (𝑓 ⋅ 𝑔)′ (𝑥0 ) = 𝑓 ′ (𝑥0 ) ⋅ 𝑔′ (𝑥0 ) + 𝑓 (𝑥0 ) ⋅ 𝑔′(𝑥0 )



( ) (𝑥0 ) =



𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑛 → 𝑓 𝑥 = 𝑛𝑥

𝑓 ′

𝑔

𝑓 ′ (𝑥0)⋅𝑔(𝑥0 )−𝑓(0 )⋅𝑔′(𝑥0) 𝑔(𝑥0)2 ′( ) 𝑛−1

Chain rule: 𝑓 diff in 𝑥0 , 𝑔 diff in 𝑓(𝑥0 ) ⇒ 𝑔 ∘ 𝑓 diff in 𝑥0 and (𝑔 ∘ 𝑓)′ (𝑥0 ) = 𝑔′ (𝑓(𝑥0 )) ⋅ 𝑓′(𝑥0 ) Theorem 5.12 𝑓: [𝑎, 𝑏] → cont in ℝ and diff on (𝑎, 𝑏) Let 𝑧+ ∈ [𝑎, 𝑏] with 𝑓(𝑧+ ) = max 𝑓 (𝑥) ⇒ 𝑓 ′ (𝑧+ ) = 0 Anal𝑥∈[𝑎,𝑏]

ogous for 𝑧− . Mittelwertsatz Let 𝑓: [𝑎, 𝑏] be cont ⇒ diff on (𝑎, 𝑏), 𝑎 ≠ 𝑏 ⇒ ∃𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) with 𝑓 ′ (𝑥0 ) =

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎

Corollary 5.15: 𝑓 as in Th 5.14 (e.g. 𝑓 ′ = 𝜆𝑓 ⇒ 𝑓 (𝑥) = 𝑐𝑒 𝜆𝑥 ) › › 21.08.2014

𝑓 ′ (𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓 (𝑥) = const 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓 (𝑥) mon. inc. 𝑓 ′ (𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓 (𝑥) = strictly mon. inc. Linus Metzler

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›

𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓 (𝑥) mon. dec. 𝑓 ′ (𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓 (𝑥) = strictly mon. dec.

Bernoulli, L’Hospital: 𝑓, 𝑔: [𝑎, 𝑏] cont, diff in (𝑎, 𝑏)with 𝑔′ (𝑥) ≠ 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) Assume: (1) 𝑓(𝑎) = 0 = 𝑔(𝑎) and (2) 𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)

lim 𝑔′(𝑥) = 𝐴 Then 𝑔(𝑥) ≠ 0 ∀𝑥 > 𝑎 and lim 𝑔(𝑥) = 𝐴. Same applies for lim 𝑥↓𝑎

𝑥↘𝑎

𝑥↗𝑏

Umkehrsatz: 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ diff with 𝑓 ′ (𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) (𝑜𝑟 𝑓 ′ (𝑥) < 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)), let 𝑐 = inf 𝑓 (𝑥) , 𝑑 = sup 𝑓 (𝑥) . Then 𝑓: (𝑎, 𝑏) → (𝑐, 𝑑) is bjective and the inverse function 𝑓 −1 : (𝑐, 𝑑) → (𝑎, 𝑏) is diff with x

(𝑓 −1 )′ (𝑦) =

1 𝑓 ′ (𝑓 −1 (𝑦))

∀𝑦 ∈ (𝑐, 𝑑)

Examples 1

›

(log 𝑥 )′ = 𝑥

› ›

𝑥 𝛼 ≔ 𝑒 𝛼 log 𝑥 , (𝑥 𝛼 )′ = 𝛼𝑥 𝛼−1 1 1 (arcsin 𝑥)′ = 1/√1 − 𝑥 2 , (arccos 𝑥 )′ = − √1−𝑥 2 , (arctan 𝑥 )′ = 1+𝑥 2 𝑑𝑚 𝑓

Class 𝑪𝒎 , 𝐶 𝑚 (Ω): {𝑓: Ω → ℝ| 𝑓 0 , 𝑓 ′ , 𝑓 ′′ , … , 𝑓 𝑚 exist and are cont}. m-te Ableitung: 𝑑𝑥 𝑚 Satz 5.26 𝑓𝑛 ⊂ 𝐶 ′ (Ω), 𝑓𝑛 , 𝑓𝑛′ cont, 𝑓𝑛 ⇉ 𝑓 and 𝑓𝑛′ ⇉ 𝑔 then 𝑓 ∈ 𝐶 ′ (Ω) and 𝑓 ′ = 𝑔 (⇉ = gleichmässig konvergent) 𝑛 ∞ Korollar 5.32 Let 𝑓 (𝑥) = ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 with convergence radius 𝜌 then 𝑓 (𝑥) ⊂ 𝐶 (−𝜌, 𝜌 ) and die Ableitungen von 𝑓 erhält man durch gliedweises differenzieren. ∞ 𝑘(

𝑓 𝑥 ) = ∑ 𝑎𝑛 𝑛=𝑘

𝑛! 𝑥 𝑛−𝑘 (𝑛 − 𝑘)!

Taylor: Let 𝑓 ∈ 𝐶 𝑛−1 (Ω), 𝑖𝑛[𝑎, 𝑏] ⊂ Ω 𝑓 is 𝑛 − times differentiable, 𝑥0 , 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. ∃𝑐 ∈ (𝑥0 , 𝑥) with 𝑓(𝑥) = 𝑓 (𝑥0 ) + 𝑓 ′ (𝑥0 )

Then

𝑥−𝑥0 1!

+ ⋯ + 𝑓 𝑚−1 (𝑥0 )

(𝑥−𝑥0)𝑚−1 (𝑚−1)!

+ 𝑓 𝑚 (𝑐 )

(𝑥−𝑥0)𝑚 𝑚!

𝑓 (𝑥) = 𝑇𝑚 (𝑥, 𝑥0 ) + R m 𝑓(𝑥; 𝑥0 )

𝑥 − 𝑥0 𝑚! 𝑓 𝑚 (𝑐) − 𝑓 𝑚 (𝑥0 ) (𝑥 − 𝑥0 )𝑚 R m 𝑓 = 𝑓 (𝑥) − Tm (𝑥, 𝑥0 ) = 𝑚! (𝑥 − 𝑥0 )𝑛+1 |R m 𝑓| ≤ ( sup |𝑓 𝑛+1 (𝜉 )|) 𝑚! 𝑥0 0 ⇒ 𝑥 is a strict local minimum 2.3 m even and 𝑓 𝑚 (𝑥0 ) < 0 ⇒ 𝑥 is a strict local maximum Convex functions 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ is convex if ∀𝑥0 ≤ 𝑥1 , 𝑡 ∈ [0,1] such that 𝑓(𝑡𝑥0 + (1 − 𝑡)𝑥1 ) ≤ 𝑡 ⋅ 𝑓 (𝑥0 ) + (1 − 𝑡) ⋅ 𝑓(𝑥1 ) The graph of 𝑓 lies below every possible line of two of its points Theorem 5.42 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ of class 𝐶 2 with 𝑓 ′′ (𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) ⇒ 𝑓 is convex Jensen’s inequality: 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ convex, ∀𝑥1 , … 𝑥𝑛 ∈ (𝑎, 𝑏) and 𝑡1 , … , 𝑡𝑛 ∈ [0,1] mit ∑ 𝑡𝑖 = 1, the following is true 21.08.2014

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𝑛

𝑛

𝑡𝑖 𝑥𝑖 ) ≤ ∑

𝑓 (∑

𝑖=1

𝑖=1

𝑡𝑖 𝑓(𝑥𝑖 )

5.2 Additional Wisdom Es gilt stets, dass das Taylorpolynom 𝑛-ter Ordnung eines Polynoms von Grad kleiner oder gleich 𝑛 gleich dem Polynom selbst ist, da die 𝑛 + 1-te Ableitung gleich Null ist und somit der Restterm 𝑟𝑛+1 Null ist.

6 Integration Let 𝑓: ℝ → ℝ be a continuous function, 𝑃 = {𝑎 = 𝑥𝑜 < 𝑥1𝑥 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏} a partition of the interval [𝑎, 𝑏] and 𝜉𝑘 ∈ [𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 ] points in each subinterval. Then the sum 𝑆(𝑓, 𝑃, 𝜉 ) = ∑𝑛−1 𝑘=0 𝑓 (𝜉𝑘 )(𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ) is called the Riemann sum attached

to

𝑓

and

𝑃.

to

For

𝑈(𝑓, 𝑃 ) = ∑𝑛−1 𝑘=0 (inf 𝑓) (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 )

𝐼𝑘 = [𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 ],

𝐼𝑘

and

𝑂(𝑓, 𝑃 ) =

𝑏

∑𝑛−1 𝑘=0 (sup 𝑓) (𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 ) are called the lower and upper Riemann sums. Similarly ∫𝑎 𝑓 𝑑𝑥 = sup{𝑈(𝑓, 𝑝 ), 𝑝 ∈ 𝑃(𝐼)} 𝐼𝑘 𝑏 and ∫𝑎 𝑓 𝑑𝑥 = inf{𝑂(𝑓, 𝑝 ), 𝑝 ∈ 𝑃 (𝐼)} are called lower and upper integrals. 𝑏 ∫𝑎 𝑓 𝑑𝑥. Equivalent statement: ∀𝜀 > 0: 𝑂(𝑓, 𝑄) − 𝑈 (𝑓, 𝑄) ≤ 𝜀

𝑏

𝑓 is called Riemann integrable if ∫𝑎 𝑓 𝑑𝑥 =

Bemerkung 6.2 𝑈(𝑓, 𝑃 ) ≤ 𝑆(𝑓, 𝑃, 𝜉 ) ≤ 𝑂(𝑓, 𝑃 ) und für 𝑃, 𝑄 ∈ 𝑃 (𝑖 ): 𝑃 ⊂ 𝑄 ⇒ 𝑈(𝑓, 𝑃 ) ≤ 𝑈(𝑓, 𝑄) ≤ 𝑂(𝑓, 𝑄) ≤ 𝑂(𝑓, 𝑃 ) Lemma 6.3 sup 𝑈(𝑓, 𝑃) ≤ inf 𝑂 (𝑓, 𝑃 )

6.1 Facts -

Each continuous function is Riemann integrable Each monotonic function is Riemann integrable

6.2 Properties Satz 6.9 Let 𝑓, 𝑔 Riemann integrable on 𝐼, 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. Then 𝑏

𝑏

𝑏

1. ∫𝑎 (𝛼𝑓 + 𝛽𝑔)𝑑𝑥 = 𝛼 ∫𝑎 𝑓 𝑑𝑥 + 𝛽 ∫𝑎 𝑔 𝑑𝑥 𝑏

𝑏

2. If 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] then ∫𝑎 𝑓 𝑑𝑥 ≤ ∫𝑎 𝑔 𝑑𝑥 𝑏

𝑏

3. |∫𝑎 𝑓 𝑑𝑥| ≤ ∫𝑎 |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 4. 𝑓𝑔 is integrable 𝑏

Standardabschätzungen (inf 𝑓) (𝑏 − 𝑎 ) ≤ ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ (sup 𝑓) (𝑏 − 𝑎) I

𝑏

𝐼

𝑐

𝑏

Satz 6.12 ∫𝑎 𝑓 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑏

𝑎

Konvention 6.13 ∫𝑎 𝑓 𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑓 (𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷 ⟹ ∫𝐷 𝑓 𝑑𝜇 ≥ 0

6.3 Mittelwertsatz der Integralrechnung 𝑏

𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ continonous. Then ∃𝜉 ∈ [𝑎, 𝑏] such that ∫𝑎 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝜉 )(𝑏 − 𝑎 ).

6.4 Fundamental Theorem of Calculus 𝑥

Hauptsatz A Let 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ continuous. Define 𝐹 (𝑥) ≔ ∫𝑎 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Then 𝐹 is differentiable and 𝐹 ′ = 𝑓. 𝐹 is called a primitive (Stammfunktion) of 𝑓 Satz 6.17 If 𝐺 is an another primitive of 𝑓 then 𝐺 = 𝐹 + 𝑐 for some constant 𝑐 𝑏

Hauptsatz B Let 𝐹 be any primitive of 𝑓, then ∫𝑎 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎) ≔ 𝐹 (𝑥)|𝑏𝑎

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6.5 How do we calculate integrals?

Never forget the constant! 1. Partial integration: follows product rule for differentiation ∫ 𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑏 ∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)|𝑏𝑎 − ∫𝑎 𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 2.

Substitution: follows chain rule for differentiation ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝜑(𝑦))𝜑′ (𝑦) 𝑑𝑦 𝜑(𝑏)

𝑏

∫𝜑(𝑎) 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝜑(𝑦))𝜑′ (𝑦) 𝑑𝑦 3.

𝑃(𝑥)

Partial fractions: to integrate rational functions of the form 𝑄(𝑥), 𝑃, 𝑄 are polynomials 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥)

= (𝑥 2

𝑃(𝑥) +1)(𝑥−1)2(𝑥+2) 𝑃(𝑥) 𝐴𝑥+𝐵

→ Ansatz: 𝑄(𝑥) =



𝑥 2+1

𝐶

𝐷

𝐸

+ 𝑥−1 + (𝑥−1)2 + 𝑥+2 , Nenner in 𝐴, 𝐵, … hochmultiplizieren und mit urpsrünglichem

Zähler gleichsetzen Beachte Vielfachheiten, C-Nullstellen, Koeffizientenvergleich Basic types of integration of rational functions ›

Polynomial: ∫ ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = ∑ 𝑎𝑛

›

Inverse powers: ∫ (𝑥−𝑥

𝑑𝑥 0)

𝑟

={

𝑥 𝑛+1

+𝑐 log|𝑥 − 𝑥0 | , für = 1 𝑛+1

1

1

1−𝑟 (𝑥−𝑥0)𝑟−1

, für ≥ 2

6.6 Improper Integrals The improper integral of an integrable function 𝑓 on (𝑎, 𝑏) which is integrable on any subinterval [𝑎′ , 𝑏′ ]. We define 𝑏′

𝑏

the improper integral ∫𝑎 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 ≔ lim lim ∫𝑎′ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 . ′ ′ 𝑎 ↘𝑎 𝑏 ↗𝑏

∞

Satz 6.32 (Majorantenkriterium Sei 𝑓: [𝑎, 𝑏∞) → ℝ stetig. Dann gilt ∀𝑥: |𝑓(𝑥)| < 𝑔(𝑥) und ∫𝑎 𝑔(𝑥) konvergiert ⇒ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 absolut konvergent. “Integralkriterium” -

𝑓 (𝑥) is defined on [𝑎, ∞[ 𝑓 (𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, ∞[ 𝑓 (𝑥) monoton fallend ⇔ 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0 ∞ ⟹ ∑∞ 𝑛=𝑎 𝑓 (𝑛) konvergiert ⇔ ∫𝑎 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 konvergiert

Facts 𝑎 1−𝑠

= { 𝑠−1 , 𝑠 > 1 ∞, 𝑠 ≤ 1 ∞ 2. If 𝑓 is on [𝑎, ∞) continuous and ∃𝑐 and 𝑠 > 1 so that |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑐/𝑥 𝑠 ∀𝑥 ≥ 𝑎, then ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 converges 1. ∀𝑠 ∈ ℝ, 𝑎 > 0,

∞ 𝑑𝑥 ∫𝑎 𝑥 𝑠

∞

3. If 𝑓 is in [𝑎, ∞) continuous and ∃𝑐 > 0 such that 𝑓(𝑥) ≥ 𝑐/𝑥, ∀𝑥 ≥ 𝑎, then ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 diverges to ∞.

6.7 Additional Wisdom 

Differentiation under the integral sign: › ›

 

𝜕 𝜕𝑏

𝑏

𝜕

𝑏

(∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ) = 𝑓(𝑏), (∫𝑎 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 ) = −𝑓 (𝑎) 𝜕𝑎 𝑏

𝑑𝜑

𝑏 𝜕

𝜑(𝛼 ) ≔ ∫𝑎 𝑓(𝑥, 𝛼 ) 𝑑𝑥 , 𝑑𝛼 = ∫𝑎 𝑛 𝑛

𝜕𝛼

𝜕𝑏

𝜕𝑎

𝑓(𝑥, 𝛼 ) 𝑑𝑥 + 𝑓 (𝑏, 𝛼 ) 𝜕𝛼 − 𝑓 (𝑎, 𝛼 ) 𝜕𝛼 (Leibniz)

𝑛! ≈ √(2𝜋𝑛) ( 𝑒 ) (Stirling) Solids of revolution 𝑏

›

when integrating parallel to the axis of revolution: 𝑉 = 𝜋 ∫𝑎 𝑓 2 (𝑥) 𝑑𝑥

›

when integrating perpendicular to the axis of revolution: 𝑉 = 2𝜋 ∫𝑎 𝑥 |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥

21.08.2014

𝑏

Linus Metzler

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7 Differential Equations 7.1 Linear differential equations with constant coefficients 𝑑𝑛

𝑑𝑛−1

𝑑

To solve a linear differential equations of the form 𝐿𝑦 ′ = 𝑏(𝑥) where 𝐿 ≔ 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑑𝑥 + 𝑎0, 𝑏(𝑥) a function, 𝑎𝑖 ∈ ℝ. 1. Find a homogenous solution𝑦𝐻 . Namely a solution of 𝐿𝑦 = 0. 2. Find a special solution 𝑦𝑆 of 𝐿𝑦 = 𝑏(𝑥) using the method of “Ansatz vom Typ der rechten Seite”. 3. The general solution is given by 𝑦 = 𝑦𝐻 + 𝑦𝑆

7.1.1 1. 2. 3. 4.

7.1.2

Finding the homogeneous solution 𝑦𝐻 of 𝐿𝑦 = 0 Find the characteristic polynomial of 𝐿. Namely 𝑃𝐿 (𝜆) = 𝜆𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝜆𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝜆 + 𝑎0 Für die 𝑛 verschiedenen Nullstellen 𝜆1 , … , 𝜆𝑛 ist die Lösung 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒 𝜆1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝜆2 𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑒 𝜆𝑛 𝑥 Für eine 𝑘-fache Nullstelle 𝜆𝑝 ist die Lösung 𝑒 𝜆𝑥 , 𝑥𝑒 𝜆𝑥 , … , 𝑥 𝑘−1 𝑒 𝜆𝑥 Sind 𝜆 = 𝛼 + 𝑖𝛽, 𝜆̅ = 𝛼 − 𝑖𝛽 ein Paar konjugiert komplexer 𝑘-facher Nullstellen, so sind die Funktionen (…) 2𝑘 linear unabhängige Lösungen der DGL 𝑒 𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥) … 𝑥 𝑘−1 𝑒 𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥) 𝑒 𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥) … 𝑥 𝑘−1 𝑒 𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥)

How to find the special solution of 𝐿𝑦 = 𝑏(𝑥 ) using the method of “Ansatz” 𝑦𝐴 (𝑥) ⏟ allgemeine Lösung der inhomogenen DGL

=

𝑦𝑆 (𝑥) ⏟ spezielle Lösung der inhomogenen DGL

+

𝑦𝐴𝐻 (𝑥) ⏟ Allgemeine Lösung der homogenen DGL

Bemerkung 7.9 Liegt eine Linearkombination der Störfunktion vor, so hat man auch als Ansatz eine entsprechende Linearkombination zu wählen. Dies ist Superpositionsprinzip Facts 1. 2. 3. 4. 1.

Finde Ansatz Leite Ansatz ab Setze Ableitungen ein Löse auf Let 𝜆 ∈ ℂ. If 𝜆 is not a solution of 𝑝𝐿 (𝜆) =? ?, then the inhomongoues DGL 𝐿𝑦 = 𝑒 𝜆𝑥 has particular solution 1 𝑒 𝜆𝑥 𝐿 (𝜆)

𝑦=𝑝

2. Let 𝜆 ∈ ℂ, 𝑚 its multiplicity as a solution of 𝑝𝐿(𝜆) = 0 (𝑚 can be zero which means 𝜆 is not a solution of 𝑝𝐿 (𝜆) = 0). Let 𝑄(𝑥) a polynomial of degree 𝑘. Then a particular solution of 𝐿𝑦(𝑥) = 𝑄(𝑥)𝑒 𝜆𝑥 is of the form 𝑦(𝑥) = 𝑅 (𝑥)𝑒 𝜆𝑥 for a polynomial 𝑅 (𝑥) of degree 𝑘 + 𝑚 3. If 𝐿 has real coefficients. Let 𝜇, 𝜈 ∈ ℝ, 𝑚 the multiplicity of 𝜇 ± 𝑖𝜈 as a solution of 𝑝𝐿 (𝜆) = 0 (𝑚 = 0 means 𝜇 ± 𝑖𝜈 is a root of 𝑝𝐿 ). Let 𝑄(𝑥), 𝑅 (𝑥) be a polynomial of degree≤ 𝑘. The particular solution of the inhomogeneous DGL 𝐿𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑒 𝜇𝑥 cos 𝜈𝑥 + 𝑅 (𝑥)𝑒 𝜇𝑥 sin 𝑥 is of the form 𝑦(𝑥) = 𝑠(𝑥)𝑒 𝜇𝑥 cos 𝜈𝑥 + 𝑇(𝑥)𝑒 𝜇𝑥 sin 𝑥 for polynomials 𝑆, 𝑇 of degree ≤ 𝑘 + 𝑚

7.2 Boundary or initial value problems 𝑦(𝑎1 ) = 𝐴1 𝑦(0) = 𝐴1 ′( ) (𝑎2 ) = 𝐴2 𝑦 𝑦 0 = 𝐴2 When we are given a DGL 𝐿𝑦 = 𝑏(𝑥) together with either boundary values or initial values , … … 𝑦(𝑎𝑛 ) = 𝐴𝑛 𝑦 𝑛−1 (0) = 𝐴𝑛 we first find the general solution 𝑦 = 𝑦𝐻 + 𝑦𝑆 . Then we determine the constants 𝑐1 , … , 𝑐𝑛 in the homogenous solution using the given boundary/initial values.

7.3 Solving DGL by separation of variables Facts

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-

If 𝑓: Ω → ℝ is differentiable in 𝑥0 ∈ ℝ, then the partial derivatives exists and the differential 𝑑𝑓(𝑥0 ) has the matrix representation (

-

𝜕𝑓 𝜕𝑥 ′

(𝑥0 )

𝜕𝑓

…

𝜕𝑥 𝑛

(𝑥0 )) = ∇𝑓 the gradient of 𝑓.

𝑓 diff in 𝑥0 ⟹ 𝑓 is continous in 𝑥0 If all partial derivatives of 𝑓 exists and continuous, then 𝑓 is differentiable.

Using the last two facts and the definition of differentiability, one can study if a given is differentiable of not. Recipe

Never forget the constant! V1 𝑑𝑓(𝑥)

= 𝑔(𝑥)ℎ(𝑓(𝑥))

-

Sei die DG in der Form

-

Sei nun 𝑦 = 𝑓 (𝑥), dann

-

Falls ℎ(𝑦) ≠ 0, dann ℎ(𝑦) = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

-

Alternative Notation: ℎ(𝑦) 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥)

-

werden nun beide Seiten nach x integriert, dann ∫ ℎ(𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 ⟺ ∫ ℎ(𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

-

Form: 𝑦 ′ = 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑦)

-

Schreibe 𝑦′ als 𝑑𝑥

-

∫

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)

𝑑𝑦

1

𝑑𝑦

1 𝑑𝑦

1

V2 𝑑𝑦

𝑦′ 𝑦

𝑑𝑦 = ln|𝑦|

7.4 Ansätze 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, 𝜇, 𝜈 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ, 𝑋𝑛 = Polynomial of degree 𝑥 Störfunktion 𝑞(𝑥)

Ansatz für 𝑦𝑝 (𝑥) 𝜇𝑥

𝑎𝑒 𝑏𝑒 𝜇𝑥 𝑎 sin 𝜈𝑥 𝑐 sin 𝜈𝑥 + 𝑑 cos 𝜈𝑥 𝑏 cos 𝜈𝑥 𝑎𝑒 𝜇𝑥 sin 𝜈𝑥 𝑒 𝜇𝑥 (𝑐 sin 𝜈𝑥 + 𝑑 cos 𝜈𝑥 ) 𝑏𝑒 𝜇𝑥 cos 𝜈𝑥 𝑃𝑛 (𝑥)𝑒 𝜇𝑥 𝑅𝑛 (𝑥)𝑒 𝜇𝑥 𝜇𝑥 𝜇𝑥 𝑃𝑛 (𝑥)𝑒 sin 𝜈𝑥 𝑒 (𝑅𝑛 (𝑥) sin 𝜈𝑥 + 𝑆𝑛 (𝑥) cos 𝜈𝑥 ) 𝜇𝑥 ( ) 𝑄𝑛 𝑥 𝑒 cos 𝜈𝑥 Bem 1 Liegt eine Linearkombination der Störfunktionen vor, so hat man auch als Ansatz eine entsprechende Linearkombination zu wählen. Bem 2 Falls 𝜆̃ = 𝜇 + 𝑖𝜈 eine 𝑚−fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms von (𝐻) ist, so muss man den Ansatz für 𝑦𝑝 (𝑥) mit dem Faktor 𝑥 𝑚 multiplizieren.

8 Differentiation in ℝ𝑛 A function 𝑓: Ω ⊂ ℝ𝑛 → ℝ is differentiable in 𝑥0 if there exists a linear map 𝐴: ℝ𝑛 → ℝ such that 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑅(𝑥,𝑥0) 𝑥→𝑥0 |𝑥−𝑥0|

𝐴(𝑥 − 𝑥𝑜 ) + 𝑅(𝑥, 𝑥0 ) where lim

= 0. In this case 𝐴 is called the differential of 𝑓 at 𝑥0 and it is denoted by

(𝑑𝑓)(𝑥0 ). Sandwich 𝑔 < 𝑓 < ℎ Wenn lim 𝑔 = 𝐿 = lim ℎ dann lim 𝑓 = 𝐿 𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

Let (𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 ) be a matrix representation of the linear map 𝐴: ℝ𝑛 → ℝ. The 𝑓 differentiable at 𝑥0 means 𝑓(𝑥) = 𝑅(𝑥,𝑥0) 𝑥→𝑥0 |𝑥−𝑥0|

𝑓 (𝑥0 ) + 𝐴1 (𝑥1 − 𝑥01 ) + 𝐴2 (𝑥 2 − 𝑥02 ) + ⋯ + 𝐴𝑛 (𝑥 𝑛 − 𝑥0𝑛 ) + 𝑅 (𝑥, 𝑥0 ) with lim 21.08.2014

Linus Metzler

= 0.

11|15

A partial derivative is defined as

𝜕𝑓 𝜕𝑎𝑖

(𝑎⃑) ≔ lim

𝑓(𝑎1,..,𝑎𝑖−1,𝑎𝑖+ℎ,𝑎𝑖+1 ,…,𝑎𝑛)−𝑓(𝑎1,…,𝑎𝑖,…,𝑎𝑛) ℎ

ℎ→0

and is called partially differentia-

ble if the limes exists. 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑦0 𝑓 = ( 1 (𝑥0 ), … 𝑛 (𝑥0 )) 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Theorem 8.21 Let ℎ (𝑠, 𝑡) be a continuously differentiable function of two variables and 𝑏(𝑡) a differentiable function 𝑏(𝑡)

of one variable. Define 𝑢(𝑡) ≔ ∫𝑎 𝑏(𝑡) 𝜕ℎ

∫𝑎

𝜕𝑡

ℎ (𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠. Then 𝑢 is diffenetbale and 𝑢′ (𝑡) = ℎ (𝑏(𝑡), 𝑡) ⋅ 𝑏′ 𝑡(𝑡) +

(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠 𝑏

In particular if 𝑢(𝑡) is defined as a definite integral of ℎ (𝑠, 𝑡) in the variable 𝑠, 𝑢(𝑡) ≔ ∫𝑎 ℎ (𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠, then 𝑢 is differentiable and one can interchange the order of differentiation and integration. That is 𝑏 𝜕

∫𝑎

𝜕𝑡

𝑑 𝑑𝑡

𝑢(𝑡) =

𝑑 𝑏 ∫ ℎ(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑡 𝑎

𝑑𝑠 =

ℎ(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠.

8.1 Differentiation rules Let 𝑓, 𝑔: Ω → ℝ differentiable in 𝑥0 . Then: 1. 𝑑(𝑓 ± 𝑔)(𝑥0 ) = 𝑑𝑓(𝑥0 ) + 𝑑𝑔(𝑥0 ) 2. 𝑑(𝑓𝑔)(𝑥0 ) = 𝑔(𝑥0 )𝑑𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥0 )𝑑𝑔(𝑥0 ) 3. If 𝑔(𝑥0 ) ≠ 0 then 𝑑(𝑓/𝑔)(𝑥0 ) =

𝑔(𝑥0)𝑓𝑑(𝑥0)−𝑓(𝑥0)𝑑𝑔(𝑥0) (𝑔(𝑥0))

2

4. Let ℎ: ℝ → ℝ be differentiable in 𝑔(𝑥0 ). Then 𝑑(ℎ ∘ 𝑔)(𝑥0 ) = ℎ ′ (𝑔(𝑥0 )) ⋅ 𝑑𝑔(𝑥0 ) 5. Let 𝐻: 𝐼 ⊂ ℝ → Ω ⊂ ℝ𝑛 be differentiable in 𝑥0 ∈ 𝐼 and 𝑓: Ω → ℝ differentiable in 𝐻 (𝑡0 ). Then

𝑑 𝑑𝑡

(𝑓 ∘

𝐻)(𝑡0 ) = 𝑑𝑓(𝐻(𝑡0 )) ⋅ 𝐻′ (𝑡0 ) where 𝐻(𝑡) = (𝐻1 (𝑡), 𝐻2 (𝑡), … , 𝐻𝑛 (𝑡)), 𝐻′(𝑡) = (𝐻1′ (𝑡), 𝐻2′ (𝑡), … , 𝐻𝑛′ (𝑡)) 𝑥 ′ (𝑡) 𝑑 𝑑 (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑡0 ) = 𝑑𝑓(𝑔(𝑡0 )) ⋅ 𝑔′ (𝑡0 ); (𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))) = 𝑑𝑓(𝑥 (𝑡), 𝑦(𝑡)) ⋅ ( ′ ) = 6. Chain rule: 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑦 (𝑡) 𝜕𝑓 𝜕𝑥

(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) ⋅ 𝑥 ′ (𝑡) +

𝜕𝑓 𝜕𝑦

(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) ⋅ 𝑦 ′ (𝑡)

8.2 Directional derivative The directional derivative of 𝑓 is in the direction of a unit vector 𝑒 ∈ ℝ𝑛 − {0} is given by 𝑑𝑒 𝑓(𝑥0 ) = ∇𝑓 (𝑥0 ) ⋅ 𝑒⃑.

8.3 Line integral Let 𝑣: Ω → ℝ𝑛 be a vector field and 𝛾 a curve with parameterization 𝛾: [𝑎, 𝑏] → Ω, 𝑡 → 𝛾 (𝑡). Then the line integral of 𝑏 𝑣 along 𝛾 is deinfed as ∫𝛾 𝑣 ⋅ ⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑑𝑠 = ∫𝛾 𝑣 (𝛾) 𝑑𝛾 ≔ ∫𝑎 〈𝑣(𝛾(𝑡)), 𝛾 ′ (𝑡)〉 𝑑𝑡.    

Gerade durch den Punkt 𝑎⃑ parallel zum Vektor 𝑏⃑⃑: 𝛾 (𝑡) = 𝑎⃑ + 𝑡 ⋅ 𝑏⃑⃑ = (𝑎1 + 𝑏1 𝑡, 𝑎2 + 𝑏2 𝑡, 𝑎3 + 𝑏3 𝑡) Ellipse 𝛾(𝑡) = (𝑎 cos 𝑡 , 𝑏 sin 𝑡) Elliptische Helix 𝛾(𝑡) = (𝑎 cos 𝑡 , 𝑏 sin 𝑡 , 𝑐𝑡), 𝑡 ∈ [0,2𝜋] Tangentialvektor zur Kurve an der Stelle 𝛾 (𝑡) ist 𝛾 ′ (𝑡): 𝛾 ′ (𝑡) = (𝛾1′ (𝑡), 𝑦2′ (𝑡), … , 𝛾𝑛′ (𝑡))

Facts 1. ∫𝛾𝑣 𝑑𝑠 is independent of the parameterization of the path 2. ∫𝛾 +𝛾 𝑣 𝑑𝑠 = ∫𝛾 𝑣 𝑑𝑠 + ∫𝛾 𝑣 𝑑𝑠 1 2 1 2 3. − ∫𝛾𝑣 𝑑𝑠 = − ∫−𝛾𝑣 𝑑𝑠, where – 𝛾 is the same path as 𝛾 in opposite direction 4. If 𝑣 is the gradient vector field associated to a function 𝑓 i.e. 𝑣 = 𝑑𝑓, then ∫𝛾 𝑣 𝑑𝑠 = 𝑓(𝛾(𝑏)) − 𝑓(𝛾(𝑎)), 𝛾: [𝑎, 𝑏] → Ω 5. Wir können den Begriff des Wegintegrals auf Wege erweitern, die stückweise 𝐶 1 sind. Ein stückweise 𝐶 1 -Weg ist eine stetige Abbildung 𝛾: [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 mit einer endlichen Unterteilung des Intervalls 𝑎 = 𝑐0 < 𝑐1 < ⋯
0 ∧ tr Hess 𝑓 > 0) 2. 𝑥0 is a local maximum if ∇2 𝑓(𝑥0 ) is negative definite (det Hess 𝑓 > 0 ∧ tr Hess 𝑓 < 0) 3. Otherwise 𝑥0 is a saddle point (det Hess 𝑓 < 0) To find extrema of 𝑓 on a region Ω. 1. Find critical points ⇒ ∇𝑓 = 0, 𝑥0 is a critical point 21.08.2014 Linus Metzler

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2. Check the nature of critical points by Hess(𝑓)(𝑥0 ) 3. Check the critical points that arise from here 2

𝜕 𝑓 (𝑥)) Falls 2D: 𝐻𝑓 (𝑥) ≔ ( 𝜕𝑥𝜕𝑦

𝑖,𝑗=1,…,𝑛

𝜕2𝑓 (𝑥) 𝜕𝑥 2 = 𝜕2𝑓 (𝑥) ( 𝜕𝑦𝜕𝑥

𝜕2𝑓 (𝑥) 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕2𝑓 (𝑥) 𝜕𝑦 2 )2×2

The Jacobi-Matrix works similar to the Hesse-Matrix, but it only uses the first derivatives. Fact Let 𝑓: Ω → ℝ be continours and differentiable on an open set Ω ⊂ ℝ𝑛 . Let 𝜕Ω be the boundary of Ω. Then every global extrema of 𝑓 is either a critical point of 𝑓 in Ω or a global extramal point of 𝑓|𝜕𝑥 . 𝑥 𝑟 𝑟 cos 𝜃) Polarkoordinaten ( ) → (𝑦) = ( , 𝑑𝑥𝑑𝑦 → 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝑥 𝑟 𝑟 cos 𝜃 Zylinderkoordinaten (𝜃) → (𝑦) = ( 𝑟 sin 𝜃 ) 𝑧 𝑧 𝑧 𝑟 cos 𝜃 cos 𝜓 𝑟 𝑥 Kugelkoordinaten ( 𝜃 ) → (𝑦) = ( 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜓 ) 𝜓 𝑧 𝑟 sin 𝜓

8.6 div, rot, … 

div 𝐾 ≔ ∇ ⋅ 𝐾 =

𝜕𝐾1 𝜕𝑥

+

𝜕𝐾2 𝜕𝑦

+

𝜕𝐾3 𝜕𝑧 𝜕𝑓



grad 𝑓 ∶= ∇𝑓 = (

𝜕𝑓 𝜕𝑥 1

(𝑥0 ), … ,

𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑛

(𝑥0 )) , in 3D:

𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑓

, Richtungsableitung: ∇𝑓 ⋅ 𝑟⃑

( 𝜕𝑧 ) 𝜕𝐾3

     

rot 𝐾 ≔ ∇ × 𝐾 =

𝜕𝑦 𝜕𝐾1 𝜕𝑧 𝜕𝐾2

− −

𝜕𝐾2 𝜕𝑧 𝜕𝐾3 𝜕𝑥 𝜕𝐾1

− 𝜕𝑦 ( 𝜕𝑥 ) div(𝑓𝐾) = ∇𝑓 ⋅ 𝐾 + 𝑓 ⋅ div 𝐾 div(𝐾 × 𝐿) = 𝐿 ⋅ rot 𝐾 − 𝐾 ⋅ rot 𝐿 0 rot(grad 𝑓) = (0) 0 div(rot 𝐾) = 0 div(𝑓 ⋅ rot 𝐾) = grad 𝑓 ⋅ rot 𝐾

8.7 Tangentialebene ausrechnen Um die Tangentialebene am Graph 𝒢 (𝑡) auszurechnen, gibt es drei Möglichkeiten. 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝜕𝑓 𝜕𝑥

𝜕𝑓

(… )(𝑥 − 𝑥0 ) + (… )(𝑦 − 𝑦0 ) = d𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 -

1. Möglichkeit: 𝑇 (𝑥, 𝑦) ausrechnen

-

2. Möglichkeit: Tangentialvektoren; Tangentialvektoren sind immer: (

-

3. Möglichkeit: Linearkombination

∇𝑓 (𝑥, 𝑦)) −1

8.8 Potential ausrechnen1 Sei 𝐹⃑ = (6𝑥𝑦 + 4𝑧 2 , 3𝑥 2 + 3𝑦 2 , 8𝑥𝑧) ein Vektorfeld. Bestimme das Potential 𝑓

1

https://www.youtube.com/watch?v=tslJEOnt9aY

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=𝑦 3 +ℎ(𝑧)

-

𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑓 𝜕𝑧

= 6𝑥𝑦 + 4𝑧 2 → ∫(6𝑥𝑦 + 4𝑧 2 )𝑑𝑥 = 3𝑥 2 𝑦 + 4𝑥𝑧 + ⏞ 𝑔(𝑦, 𝑧) = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑓

𝜕𝑔

𝜕𝑔

= 3𝑥 2 + 3𝑦 2 → 𝜕𝑦 = 3𝑥 2 + 𝜕𝑦 (𝑦, 𝑧) → 𝜕𝑦 = 3𝑦 2 → ∫ 3𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝑦 3 + ℎ(𝑧) 𝜕𝑓

𝜕

′ ′ = 8𝑥𝑧 → 𝜕𝑧 = 𝜕𝑧 (3𝑥 2 𝑦 + 4𝑥𝑧 + 𝑦 3 + ℎ(𝑧)) = 8𝑥𝑧 + 𝑔 ⏟ (𝑧) → 𝑔 (𝑧) = 0, ∫ 0 𝑑𝑧 = 𝑐 𝜕𝑔 𝜕𝑧

=

-

→ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 2 𝑦 + 4𝑥𝑧 + 𝑦 3 + 𝑐

8.9 Additional Wisdom  

𝑥 ′ (𝑡) 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ′ ′ ′ ( )) = 𝜕𝑥 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) ⋅ 𝑥 (𝑡) + 𝜕𝑦 (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) ⋅ 𝑦 (𝑡) (chain rule) 𝑦 𝑡 ⃑⃑⃑⃑⃑ = 0. Ein geschlossener Weg in einem konservativen Vektorfeld ist = 0, ∫𝛾 𝐸⃑⃑ ⋅ 𝑑𝑠 𝑑

𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = 𝑑𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) ⋅ ( 𝑑𝑡

9 Integration in ℝ𝑛 The Riemann integral in ℝ𝑛 is constructed in an analog way to the case 𝑛 = 1 with Riemann sums over subintervals replaced with sums over “subrectangles”, with 𝑑𝑥 replaced with a 𝑛-ddimensional volume element d𝑣𝑜𝑙𝑛 which we denote either by d𝑣𝑜𝑙𝑛 or 𝑑𝜇(𝑥⃑ ). Same rules/properties apply like for the one dimensional case, the Abschätzung is now |∫𝐷 𝑓 (𝑥) 𝑑𝜇| ≤ sup|𝑓 (𝑥)| vol(𝐷) 𝑥∈𝐷 𝑏

𝑑

𝑑

𝑏

Fact For a rectangle 𝑄 = [𝑎, 𝑏] × [𝑐, 𝑑] ∈ ℝ2 : ∫𝑄 𝑓 𝑑𝜇 = ∫𝑎 ∫𝑐 𝑓 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫𝑐 ∫𝑎 𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑦 , vol 𝑄 = (𝑐 − 𝑎)(𝑑 − 𝑏). Fubini ∫𝐽 𝐹 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫𝐽 ∫𝐼 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫𝐼 ∫𝐽 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫𝐼×𝐽 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑(𝑥, 𝑦), iterative Bestimmung durch eindimensionale Integrale.

9.1 Substitution in ℝ𝑛 Let 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ𝑛 open, Φ: 𝑢 → 𝑣 bijective with det Φ ≠ 0 ∀∈ 𝑢̃. Then for 𝑓 = 𝑣 → ℝ continuous we have ∫𝑣 𝑓 (𝑥⃑ )𝑑𝜇(𝑥⃑) = ∫𝑢 𝑓(Φ(𝑦))|det(𝑑Φ(𝑦))|𝑑𝜇(𝑦⃑) Theorem 9.17 𝑈, 𝑉 ⊂ ℝ open, Φ: 𝑈 → 𝑉 bijective, continuous, differentiable, det 𝑑Φ(𝑦⃑) ≠ 0∀𝑦⃑ ∈ 𝑈, 𝑓: 𝑉 → ℝ continuous. ∫𝑉 𝑓(𝑥⃑ )𝑑𝜇(𝑥⃑ ) = ∫Φ(𝑈)=𝑉 𝑓(Φ(𝑦⃑)) |det 𝑑Φ(𝑦⃑)| 𝑑𝜇. 𝑑Φ(𝑦⃑) is the Jacobi matrix.

9.2 Green’s theorem Let Ω ⊂ ℝ2 whose boundary 𝜕Ω has a 𝐶 1 parameterization. Let 𝑈 ⊂ Ω and 𝑓 = 𝜕𝑄

𝜕𝑄 𝜕𝑥

−

𝜕𝑃 𝜕𝑦

where 𝑃, 𝑄 ∈ 𝐶 1 (𝑈). Then

𝜕𝑃

∫Ω ∫ ( 𝜕𝑥 − 𝜕𝑦 ) 𝑑𝜇 = ∫𝜕Ω 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑦 OR Let 𝑉 = (𝑃, 𝑄) be a vector field then ∫𝜕Ω 𝑣 𝑑𝑠 = ∫Ω ∫ rot 𝑣 𝑑𝜇 where rot 𝑉 =

𝜕𝑄 𝜕𝑥

𝜕𝑃

− 𝜕𝑦 and the line integral is taken

round the boundary of Ω in counter-clockwise direction.

9.3 Additional Wisdom -

-

2

Parameterintegral2 𝑏(𝑥) 𝑏(𝑥) 𝑑 (∫ 𝑓 (𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑏(𝑥))𝑏′ (𝑥) − 𝑓(, 𝑎(𝑥))𝑎′ (𝑥) + ∫ 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑎(𝑥) 𝑎(𝑥) Mehrdimensionale Integration Bei der Koordinatentransformation das “𝑟“ (o.ä.) nicht vergessen

Differentiation under the integral sign

21.08.2014

Linus Metzler

15|15