SEPTIEMBRE 99 OPCIÓN A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos)  1 0 0   Sea la matriz A =  1 1 0   10 1 0 1   10 a) Calcúlese la matriz A + A2  x   20      b) Resuélvase el sistema A 5 ⋅  y  =  5  z  1      Solución La mejor estrategia para resolver este ejercicio será calcular la potencia enésima de la matriz B=  1 0 0  1 0 0  1 0 0  1 0 0        n  B 1 0 , similar a la matriz A. B ² = 2 B 1 0 , B ³ = 3 B 1 0 , por lo tanto B =        nB 1 0  B 0 1  2B 0 1   3B 0 1   nB 0 1           1 0 0  1 0 0  2 0 0       a)  1 1 0 =  3 2 0 1 0 +  2    10   10  10  1 0 1  3 0 1  2 0 2   10   10  10   1 0 0   x   20   x   20              5 1 0 ⋅  y  =  5  operando  x + y  =  5  igualando y resolviendo: x=20, y=− −5, z=− −9. b)       10     2 x 5   + z  1  0 1  z   1    2   10 Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se sabe que los costes totales de fabricar x unidades de un determinado producto vienen dados por la expresión C(x) = 3x2 − 27x + 108 a) ¿Cuántas unidades hay que producir para minimizar el coste medio (hacer dibujo)? b) Justifíquese que la función de coste medio, M (x), no tiene puntos de inflexión. Solución Se pide el coste medio de un producto y para ello se da el coste en función de la producción Coste total de producción 3x ² − 27 x + 108 = C(x). La función que da el coste medio es M ( x ) = . Unidades proucidas x 108 . x Para resolver los apartados a y b hacen falta las dos primeras derivadas. 108 324 M' ( x) = 3 − , M" ( x ) = x² x³ a) Se pide Calcular el mínimo de la función M(x). 108 = 0 , x=±6. Se sustituye en la 2º derivada para comprobar. M' ( x) = 3 − x² M”(6)=½>0 MÍNIMO. En (6,M(6))=(6,63). Para una producción de 6 unidades se obtiene un coste mínimo de 63. b) Se pide comprobar sí M”(x)≠0 ∀x∈ℜ 324 M" ( x ) = ≠0 no tiene ceros. Condición necesaria para que existan puntos de inflexión. x³

Simplificando está expresión: M ( x ) = 3x − 27 +

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos) Una variable aleatoria tiene una distribución normal de media µ y desviación típica σ. Si se extraen muestras aleatorias simples de tamaño n, a) ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral X ? b) Si se toman muestras de tamaño n = 4 de una variable aleatoria X con distribución N(165, 12) calcúlese p( X < 173'7) . Solución a) La media de las medias muéstrales ( X ) , es igual a la media real de la población (µ), mientras que la desviación típica de las medias muéstrales viene dada por σ X =

σ

. Esto significa que la n distribución de las medias muéstrales de tamaño n, extraídas de una población normal N(µ,σ), se  σ   ajustan a una normal N X  µ,  n  b) Si tomamos muestras, de tamaño 4, de una distribución N(165,12), las medias de estas muestras  12   , es decir, X tendrá una distribución N(165,6). Para calcular la seguirán una distribución N165,  4  p X > 173'7 , habrá que tipificar la variable con los parámetros de la distribución.

(

)

Sí X = 173'7 entonces Z =

(

)

X − µ 173'7 − 165 = = 1'45 , por lo tanto 6 σX

(

)

p X > 173'7 = p(Z > 1'45) = p Z ≤ 1'45 = 1 − p(Z ≤ 1'45) = 1 − φ(1'45) = 0'0735   F → 1'4  φ(1'45) = TABLA   = 0'0735  C → .05

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos). Se lanzan dos dados. Calcúlese la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: A ≡ Se obtiene cinco en alguno de los dados. B ≡ Se obtiene un doble (los dados presentan la misma puntuación) a) A∩B b) A∪B. Solución Las probabilidades de los sucesos elementales p(A) y p(B), se calculan por la definición Casos favorables axiomática de probabilidad p(A ) = Casos posibles Se calculan a partir del espacio muestral (E). Card E(cardinal de A) = VR6,2 = 6² = 36 A≡{1-5; 2-5; 3-5; 4-5; 5-5; 6-5;5-1;5-2;5-3;5-4;5-6}. Card A = 11 B≡{1-1; 2-2; 3-3; 4-4; 5-5; 6-6}. Card B = 6 11 6 1 p(A ) = p(B) = = 36 36 6 a) p(A∩B) = p(A)·p(B) = 11/36·1/6 = 1/36 por ser A y B sucesos independientes b) p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B) = 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36 por ser sucesos compatibles Otra forma puede ser calculando los sucesos A∪B y A∩B, a partir del espacio muestral y aplicando a continuación la definición axiomática.

A∩B≡{5-5}. Card (A∩B) = 1 A∪B≡{1-5; 2-5; 3-5; 4-5; 5-5; 6-5; 1-1; 2-2; 3-3; 4-4; 6-6}. Card (A∪B) = 11 a) p(A∩B) = 1/36 b) p(A∪B) = 11/36

OPCIÓN B 1ª (Puntuación 3 puntos) Una agencia de viajes vende paquetes turísticos para acudir a la final de un campeonato de fútbol. La agencia está considerando ofrecer dos tipos de viajes: El 1º de ellos (A) incluye desplazamiento en autocar para dos personas, una noche de alojamiento en habitación doble y cuatro comidas. El 2º (B) incluye desplazamiento en autocar para una persona, una noche de alojamiento en habitación también doble y dos comidas. El precio de venta del paquete A es de 15.000 ptas. y el del paquete B es de 9.000 ptas. La agencia tiene contratadas un máximo de 30 plazas de autobús, 20 habitaciones dobles y 56 comidas. El número de paquetes del tipo B no debe superar al de los de tipo A. La empresa desea maximizar sus ingresos. Se pide: a) Expresar la función del objeto. b) Escribir mediante inecuaciones las restricciones del problema y representar gráficamente el recinto definido. c) Determinar cuantos paquetes de cada tipo debe vender la agencia para maximizar sus ingresos. Calcular dichos ingresos. Solución

TIPO A TIPO B

PLAZAS AUTOCAR 2 1 30

PLAZAS DE ALOJAMIENTO 1 1 20

Función objetivo: F(x,y)=15.000x + 9.000y  x + y ≤ 30  x + y ≤ 20  b) Restricciones:  4x + 2 y ≤ 56  x ≥ 0 : y ≥ 0 Región factible a)

•

Vértices de la región factible  x + y = 20 : A(0,20) A:   x=0

•

 x + y = 20 : B(8,12) B:  4x + 2 y = 56

NÚMERO DE COMIDAS 4 2 56

15.000 9.000

•

4x + 2 y = 56 C:  : C(14,0 ) y=0 

Optimación

x A B C

0 8 14

y 20 12 0

F(x,y)=15.000x + 9.000y 180.000 228.000 210.000

El ingreso máximo es de 228.000 pts., y se obtiene vendiendo 8 paquetes tipo A y 12 paquetes tipo B. 2ª (Puntuación máxima 3 puntos) Hállense las rectas tangentes a la curva f(x) = x3 − 3x2 + 8 que sean paralelas a la recta y = 9x + 4. Solución Nos piden averiguar en que punto x0 de la curva, la pendiente de la recta tangente (f ’(x0)) es igual a la pendiente de la recta (m=9), es decir nos piden resolver la ecuación f’(x0)=9 f ’(x0) = 3x0² − 6x0 = 9 resolviendo: x0 = −1, x0’= 3 Recta tangente a y = f(x) en x = x0: y−f(x0) = f ‘(x0)·(x−x0) En x0 = −1: y − f(−1) = f ‘(−1)·(x+1); y − 4 = 9·(x+1) En x0’= 3: y − f(3) = f ‘(3)·(x-3); y − 8 = 9·(x-3) 3ª (Puntuación máxima 3 puntos) Se toman 4 cartas diferentes de una baraja, dos cincos, un seis y un siete. Las cartas se ponen boca abajo en la mesa y se mezclan al azar. Determínese la probabilidad de que al darles la vuelta, todas las cartas estén ordenadas en orden creciente, si los dos cincos son indistinguibles. Solución El ejercicio se puede realizar de dos formas diferentes: Casos favorables (Cardinal de A) Casos Posibles (Cardinal de E) calculando el número de elementos de A y E mediante la combinatoria(Permutaciones). 2 1 = Card (A) = 2; Card(E) = P4 = 4! = 24 ⇒ p( A) = 24 12 5 6  2 1 1 1 Como probabilidad condicionada, p(5 I )⋅ p II  ⋅ p III (5 I ∩ 5 II ) = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 12  5I   Por la definición axiomática de probabilidad;

p(A ) =

4ª (Puntuación máxima 2 puntos) Se está realizando una encuesta sobre el nivel de conocimientos generales de los estudiantes de Bachillerato de Madrid. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de éstos estudiantes, a los que se ha realizado un examen. Las calificaciones obtenidas han sido las siguientes: 7’8 6’5 5’4 7’1 5’0 8’3 5’6 6’6 6’2. Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de desviación típica conocida e igual a 1. Se pide: a) Un intervalo de confianza al 98% para la media de las calificaciones en el examen b) El tamaño mínimo que debería tener la muestra, en el caso de admitir un error máximo de 0,5 puntos, con un nivel de confianza del 95%. Solución a) Se pide calcular un intervalo de confianza para la media (se supone poblacional) con un nivel de confianza del 98%, a partir de una media obtenida de una muestra de tamaño 9. En estos casos la σ variable media de las muestras sigue una distribución del tipo N X, σ X , donde σ X = con lo que la n

(

)

 σ  . distribución queda de la forma: N X  X ,  n  El intervalo de confianza para una variable con esta distribución viene dado por la expresión:

 σ σ   X − Zα 2 ⋅  , X + Zα 2 ⋅   n n  Donde α representa el riesgo que se asume. Nivel de confianza = 1 − α = 0’98; α = 0’02; α = 0'01; φ −1 Z α 2 = 1 − α = 0'99 ⇒ Z α 2 2 7'8 + 6'5 + 5'4 + 7'1 + 5'0 + 8'3 + 5'6 + 6'6 + 6'2 X= = 6'5 9  1 1   6'5 − 2'33 ⋅  = (5'7 , 7'3) , 6'5 + 2'33 ⋅   9 9 

(

b) E máx = Z α 2 ⋅

 σ   despejando n: n >  Z α 2 ⋅  E n máx   1 − α = 0’95; Z α 2 = 1'96

σ

2

)

2

1   n > 1'96 ⋅  = 15'4 ⇒ n ≥ 16 0 '5  

2

= 2'33