REGLAS y TABLAS
i. ii. iii.
(K ⋅ f (x ) ) ' = K ⋅ f ' (x ) (f ( x ) + g(x )) ' = f ' (x ) + g' (x ) (f ( x ) ⋅ g(x )) ' = f ' ( x ) ⋅ g(x ) + f (x ) ⋅ g (x )' '
iv. v.
f ( x ) f ' ( x ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) = (g(x ))2 g(x ) (f (g (x ) ))' = f ' (g(x ))⋅ g ' (x )
Derivación logarítmica. y = (f ( x ) ) Se toman logaritmos neperianos en los dos miembros y teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos queda: Ln y = g ( x ) ⋅ Ln f(x) derivando esta expresión: y' f ' (x) = g ' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g ( x ) ⋅ y f (x ) despejando Y' y sustituyendo Y por su expresión: f ' (x ) f ' (x ) g(x ) y' = y ⋅ g ' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g ( x ) ⋅ ⋅ g ' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g ( x ) ⋅ = (f ( x ) ) f (x) f (x) g(x)
Derivación en forma implícita. Hasta ahora se ha supuesto el caso de funciones explícitas, es decir la y aparece despejada. Se llama función implícita a una función de dos variables x e y sin que la y aparezca despejada. Para derivar una función implícita se siguen las misma reglas que para las explícitas, teniendo en cuenta que la derivada de la de y es y'. Basta después despejar y'.
Tabla de derivadas FUNCIÓN COMPUESTA REGLA DE LA CADENA
FUNCION SIMPLE
y = f n (x )
y' = n·f n−1 ( x )·f ' ( x )
y = f (x )
y' =
y = n f (x )
1
·f ' ( x )
2· f ( x )
y' = n·x n −1
y = xn
y= x
y' =
1 2· x
·f ' ( x )
y' = n x
y = a f (x)
y' = a f ( x ) ⋅ f ' ( x ) ⋅ Ln (a )
y = ax
y' = a x ⋅ Ln (a )
y = e f (x)
y' = e f ( x ) ⋅ f ' ( x )
y = ex
y' = e x
y = Lg a (f ( x ) )
1
y' =
n·n (f ( x ) )n−1
y = Ln (f ( x ) ) y = sen (f ( x ) )
y = cos(f ( x ) ) y = tg(f ( x ) )
y = arcsen (f ( x ) ) y = ar cos(f ( x ) ) y = arctg(f ( x ) )
1 ·f ' ( x ) f ( x ) ⋅ Ln(a )
y' =
y' =
1 ·f ' ( x ) f (x )
y' = cos(f ( x ) )⋅ f ' ( x )
y' = −sen (f ( x ) )⋅ f ' ( x ) 1
y' =
(
⋅ f ' (x ) =
2
y = Lg a (x )
)
= 1 + tg 2 f ( x ) ⋅ f ' ( x ) y' = y' = y' =
1 2
1 − f (x ) −1 1 − f 2 (x ) 1 1 + f (x ) 2
⋅ f ' (x ) ⋅ f ' (x )
⋅ f ' (x)
y = ar cos(x ) y = arctg(x )
1 x
y' = cos(x )
y = cos(x )
y = arcsen (x )
1 x ⋅ Ln(a )
y' =
y = sen (x )
cos f ( x )
n· x n −1 n
y' =
y = Ln (x )
y = tg(x )
1
y' =
y' = −sen (x ) y' =
1 cos 2 x
y' = y' = y' =
= 1 + tg 2 x
1 1− x 2 −1 1− x 2 1 1+ x 2