Mathematik Fach- und Berufsoberschule Bayern Vorklasse 10 J. Dillinger, M. Schittenhelm

VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co.KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten Europa-Nr. 87621

Autoren: Dillinger, Josef Schittenhelm, Michael

München Hof

Lektorat: Dillinger, Josef Bildbearbeitung: Zeichenbüro des Verlages Europa-Lehrmittel, Ostfildern

1. Auflage 2017 Druck 5 4 3 2 1 Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind.

ISBN: 978-3-8085-8762-1

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fülle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. © 2017 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten http://www.europa-lehrmittel.de Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, Radevormwald unter Einsatz des Bildes © senoldo-Fotolia.com Satz: Schriftsatz Frauke Moritz, Ahrensburg Druck: Konrad Triltsch Print und digitale Medien GmbH, Ochsenfurt-Hohestadt

Vorwort

3

Vorwort Das Buch beinhaltet alle Lerngebiete des neuen LehrplanPLUS für die FOS bzw. BOS Vorklasse im Fach Mathematik. Es ist so konzipiert, dass sich die Schülerinnen und Schüler den Lernstoff anhand von zahlreichen realitätsbezogenen Aufgaben während des Unterrichts eigenverantwortlich und selbstständig aneignen können. Die meisten dieser Aufgaben liegen in den Kompetenz-Anforderungsstufen I oder II. Methodisch wurde darauf geachtet, dass die Schülerinnen und Schüler beim Bearbeiten der offenen Aufgaben neben reinem mathematischem Faktenwissen weiterführende Fertigkeiten wie beispielsweise mathematisches Kommunizieren oder mathematisches Argumentieren erwerben, damit sie anschließend gemäß des kompetenzorientierten Leitgedankens des LehrplanPLUS in der Lage sind, berufliche Aufgabenstellungen zu lösen. Aufbau des Buches Die vom LehrplanPLUS geforderten acht Lernbereiche werden in diesem Lernmittel abgedeckt. Es beginnt jeder Lernbereich mit einer Aufgabenstellung aus dem Wissensbereich des Schülers. Damit die Aufgabe gelöst werden kann, wird dem Lernenden in Unterkapiteln die Theorie zur Lösung der Aufgabe vermittelt. In diesen Kapiteln sind folgende Inhalte verwirklicht: Wichtige Begriffe Hier werden die Begriffe vorgestellt, die der Lernende in diesem Kapitel verinnerlichen soll. Dies wird mit Merksätzen und Beispielaufgaben verdeutlicht und gibt einen Überblick über den Lernbereich des Kapitels. Strategien zum Erschließen der Lerninhalte In diesem Abschnitt erwirbt der Schüler Lösungsstrategien, wie methodisch Aufgaben und Probleme angegangen und gelöst werden können. In hervorgehobenen Merksätzen wird das Wichtigste kurz und bündig zusammengefasst. Aufgaben zum Schluss jedes Unterkapitels sollen das Erlernte vertiefen. Wissen, Können und Nachschlagen Das Kapitel Wissen, Können und Nachlagen dient als Nachschlagewerk. Die wichtigen und notwendigen Begriffe sind in Kurzform dargestellt und besonders gekennzeichnet. In diesem Kapitel kann der Nutzer des Buches vor Leistungsfeststellungen die Lerninhalte nochmals mittels gelöster Beispielaufgaben auffrischen und einüben. Üben und Anwenden Viele Übungsaufgaben und Aufgaben mit offener Fragestellung sind hier mit ansteigenden Anforderungsstufen (Kompetenz-Anforderungsstufen I – III) zu finden. Der Schüler kann prüfen, ob er das Erlernte verstanden hat. Die Lösungen der Aufgaben werden in einem pädagogischen Löser veröffentlicht.

Sommer 2017

Die Autoren

4Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 1 Algebra, Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.2 Rechnen mit Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.3 Rechnen mit Klammerausdrücken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1.4 Elementares Rechnen mit Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Ausklammern von Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 1.6 Rechnen mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.7 Die Binomischen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.8 Rechnen mit Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.9 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.10 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 1.11 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 1.12 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.1 Wichtige Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 2.2 Lösen von linearen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2.1 Bedeutung einer Formvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 2.2.2 Lösen einer linearen Gleichung mit einer Formvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 2.3 Ungleichung und Relationszeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.3.1 Lösen von linearen Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3.2 Division/Multiplikation mit einer negativen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 2.3.3 Lösen einer Ungleichung mit einer Formvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 2.4 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 2.5 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.6 Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 2.6.1 Bruchterm und Bruchgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 2.6.2 Lösen einer Bruchgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 2.7 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 2.8 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.9 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.9.1 Wichtige Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 2.9.2 Strategien zum Lösen von quadratischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 2.9.3 Lösbarkeit von quadratischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 2.9.4 Quadratische Gleichungen mit einer Formvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 2.9.5 Faktorisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 2.10 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 2.11 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3 Lineare und quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 3.2 Wichtige Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 3.3 Mathematische Schreibweise einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138 3.4 Grafische Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

Inhaltsverzeichnis

3.5 3.6 3.7 3.8 3.8.1 3.8.2 3.8.3 3.8.4 3.8.5 3.8.6 3.8.7 3.8.8 3.8.9 3.9 3.10 3.11 3.11.1 3.11.2 3.11.3 3.11.4 3.11.5 3.12 3.13 3.14 3.14.1 3.14.2 3.14.3 3.14.4 3.14.5 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.19.1 3.20 3.21

Erweiterung der Definitionsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139 Bedeutung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 Grundlegendes zu linearen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 Zeichnen einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Aufstellen einer linearen Funktionsgleichung mittels zweier Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 Punkt-Steigungsform einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 Nullstellen einer linearen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Gemeinsame Punkte zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 Besondere Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156 Implizite Form einer linearen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Ermittlung der Wertemenge einer linearen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Lineare Funktionenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169 Was ist eine lineare Funktionenschar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169 Besondere Geraden einer linearen Funktionsschar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 Nullstellen einer linearen Funktionenschar ohne Fallunterscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175 Nullstellen einer linearen Funktionenschar mit Fallunterscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 Schnittpunkte von Geradenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Überblick zu Parabeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194 Die allgemeine Darstellungsform quadratischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196 Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse oder mit anderen Grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198 Aufstellen von Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203 Bestimmung der Wertemenge einer quadratischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Quadratische Funktionenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Lösen von Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223 Lösen einer quadratischen Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

4 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 4.1 Wichtige Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229 4.2 Strategien zum Lösen linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233 4.2.1 Einsetzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.2.2 Gleichsetzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235 4.2.3 Additionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 4.2.4 Lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238 4.2.5 Gauß-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240

5

6Inhaltsverzeichnis

4.2.6 4.3 4.4

Lineare Gleichungssysteme beim Lösen von anwendungsbezogenen Aufgaben . Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

242 247 252

5 Dreieckslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 5.1 Wichtige Begriffe im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 5.2 Strategien zum Berechnen von Winkeln und Seitenlängen eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 5.2.1 Winkelsumme im Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255 5.2.2 Ähnliche Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256 5.2.3 Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256 5.2.4 Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260 5.3 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262 5.4 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 6 Berechnungen von Längen, Flächeninhalten und Volumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 6.1 Wichtige Begriffe zu Längen, Flächeninhalten und Volumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 6.2 Strategien zum Berechnen von Längen, Flächeninhalten und Volumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271 6.2.1 Försterdreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 6.2.2 Umfang und Flächeninhalt zweidimensionaler geometrischer Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272 6.2.3 Volumen und Oberflächeninhalt geometrischer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274 6.3 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278 6.4 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 7 Daten und Zufall, Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.1 Wichtige Begriffe zu Daten und Zufall, Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.2 Strategien zum Bearbeiten von Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.2.1 Zufallsexperiment und Ereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.2.2 Logische Verknüpfungen von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 7.2.3 Absolute und relative Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 7.2.4 Vierfeldertafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294 7.2.5 Laplace-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296 7.2.6 Pfadregeln am Baumdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297 7.3 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299 7.4 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 8.1 Wichtige Begriffe zu Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 8.2 Strategien zum Bearbeiten von Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308 8.2.1 Die Exponentialfunktion f (x) = a x ; a > 0 und x ∈ ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308 8.2.2 Die Exponentialfunktion f (x) = b · a x mit b ≠ 0 und a > 0 und x ∈ ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 8.2.3 Anwendung der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 8.2.4 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 8.3 Wissen, Können & Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319 8.4 Üben & Anwenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

7

1.1 Algebra

1 Algebra, Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen 1.1 Algebra Erarbeitung der Lerninhalte Ihre Schule befindet sich in einem historischen Gebäude, das bereits seit mehreren Jahrhunderten als Lehrstätte dient. Da das Dach des Schulgebäudes demnächst saniert wird, muss der Dachboden ausgeräumt werden. Ihre Klasse hat sich bereit erklärt, dem Hausmeister der Schule dabei zu helfen. Beim Entrümpeln stoßen Sie auf eine hölzerne Kiste mit der Aufschrift: »Das goldene Algebrawissen«. Sie öffnen diese Kiste und finden eine Sammlung von mehreren gut erhaltenen Lernkarten, auf denen die grundlegenden Rechenregeln der Mathematik beschrieben sind. Dazu gehören vor allem das Rechnen mit Brüchen, Potenzen und Wurzeln, sowie die Mengenlehre und die Aussagenlogik. Sie beschließen mithilfe dieser Karten Ihre Kenntnisse im Bereich Algebra zu vertiefen und Ihre Rechenfertigkeit zu verbessern. Das goldene Algebrawissen (Auszug) … Regel

​− 2 ∙ [​  x − (4 + 2 x ) ]​ =  − 2 ∙ [​  x − 4 − 2 x ]​

In einem Ausdruck mit mehreren Klammerpaaren werden diese stets von innen nach außen aufgelöst.



=  − 2 ∙ ​[ − 4 − x ]​ =  8 + 2 x​

… … … 1. Addieren beziehungsweise subtrahieren Sie die folgenden Brüche. 5

3

7

_ a) ​ ​ 4 ​ − ​ _4 ​ + ​ _4 ​​ 5

7

6

3

7

1 − x

18a

2

b) ​​_  5 ​ − ​ _5 ​ + ​ _5 ​​ 11

___ d) ​___ ​ 4 x y  ​ + ​ ___ 4 x y  ​ − ​ 4 xy   ​​

a

c) ​​___  4 − a    ​ − ​ ___      ​ 4 − a x + 3

e) ​​_  4 ​ − ​ ___ ​  + ​ ___  ​​ 4    4   

3 + b

b + 4

2

f) ​​____  2 − b   ​ − ​ _____     ​ + ​ ____      ​ − b + 2 2 − b

2. Ihnen liegen folgende Rechnungen vor. Geben Sie an, welche davon richtig ist. Begründen Sie Ihre Angabe. 3

5

3 + 5

8

_ a) ​ ​ 4 ​ + ​ _4 ​  =  ____ ​ 4 + 4   ​  =  _ ​ 8 ​  = 1​ 7

5 − x

− 7 − 5 − x

− 7 − 5 − x

− 12 − x

b) ​− _​ 2 ​ − ​ ___ ​   =  ​ _______   ​  =  ​ _______   ​  =  ​ _____ ​  2    2  2  2    …

Arbeitsauftrag: Bearbeiten Sie die folgenden Lernkarten. Auf jeder Lernkarte befinden sich jeweils die Theorie sowie konkrete Aufgabenstellungen zu den jeweiligen Rechengesetzen.

8

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

1.2 Rechnen mit Variablen Lernkarte: Addition und Subtraktion von Termen mit Variablen Ausdrücke mit Variablen werden nach folgenden Regeln addiert bzw. subtrahiert: 1. Regel Zwei Terme mit gleicher Variable werden addiert, indem die Koeffizienten vor den Variablen addiert werden. Bei der Subtraktion werden die Koeffizienten voneinander abgezogen.

• 3 x + 5 x  =  (3 + 5) x = 8 x

2. Regel

5 x + 10y − 2 x + 4y =  5 x − 2 x + 10y + 4y

Es dürfen nur Terme mit gleicher Variable addiert beziehungsweise subtrahiert werden. Rechentipp Vor dem Zusammenfassen von Termen mit unterschiedlichen Variablen ist es empfehlenswert, die Terme nach Variablen zu sortieren. Faktenwissen Eine Variable kann aus mehreren Buchstaben bestehen wobei die Variablen xy und yx gleich sind.

Beispielaufgabe Fassen Sie die folgenden Terme zusammen. a) 4 x + 6 x − 7 x + 8 x b) 12a + 3c − 15b + 8a + 4b − c c) 4y − 7 xy + 3yx − 5 x + 10y + 12 x + 15 xy a) 4 x + 6 x − 7 x + 8 x  =  (4 + 6 − 7 + 8) x = 11 x b) 12a + 3c − 15b + 8a + 4b − c

=  12a + 8a − 15b + 4b + 3c − c



= 20a − 11b + 2c

c) 4y − 7 xy + 3yx − 5 x + 10y + 12 x + 15 xy

= 4y + 10y − 5 x + 12 x − 7 xy + 3 xy + 15 xy



= 14y + 7 x + 11 xy

•  35 x − 10 x − 2 x = (35 − 10 − 2) x = 23 x •  2a − 4a + 5a = (2 − 4 + 5) a = 3a



=  (5 − 2) x + (10 + 4) y



= 3 x + 14y

6a + 6b − 7a + 16b + 10a − 11b = 6a + 10a − 7a + 6b + 16b − 11b =  9a + 11b

5 xy − 10 x + 20yx + 5 x =  5 xy + 20 xy − 10 x + 5 x = 25 xy − 5 x

9

1.2 Rechnen mit Variablen

Lernkarte: Multiplikation von Termen mit Variablen Ausdrücke mit Variablen werden nach folgender Regel multipliziert: Regel Ausdrücke mit Variablen werden multipliziert, indem die Koeffizienten und die Variablen miteinander multipliziert werden. Hinweis Beim Multiplizieren der Koeffizienten müssen die Vorzeichen berücksichtigt werden.

4a ∙ 5b = (4 · 5)  · (a · b)  = 20ab 8 x · 3y · 2z = (8 · 3 · 2)  · (x · y · z)  = 48 xyz 4r · 4q · 2ab = (4 · 4 · 2)  · (r · q · ab)  = 32abqr

7 x · (− 8y)  · 4 = 7 · (− 8)  · 4 · x · y = − 224 xy − 5ab · 4c ·  (− 3d)   =  (− 5)  · 4 ·  (− 3)  · ab · c · d = 60abcd

Faktenwissen Variablen, bei denen kein Koeffizient explizit angeben ist, haben je nach Vorzeichen den Koeffizient 1 oder − 1.

a = 1a − b = − 1b

Beispielaufgabe Multiplizieren Sie folgende Terme. a) 10 x · 2y · 4z b) 3 · 3a ·  (− 4b)  · 5c c) a · (− b)  ·  (− 2d) a) 10 x · 2y · 4z = 10 · 2 · 4 · x · y · z = 80 xyz b) 3 · 3a ·  (− 4b)  · 5c = 3 · 3 ·  (− 4)  · 5 · a · b · c = − 180abc c) a · (− b)  ·  (− 2d)  = 1 ·  (− 1)  · (− 2)  · a · b · d = 2abd

Aufgaben: Fassen Sie die folgenden Terme zusammen. a) 4 x + 5y + 7 x − 10 x − 3y b) 4ab + 5a − b + 8b − 7a − ba c) 3y ·  (− 4z)  · 5 d) − 2 x ·  (− 10yz)  · b e) 4 x ·  (− 3y)  + 15 xy − yx f) − 2a · 5b  − 10ab + b · 4a g) c · 2p · (− q)  − 5cpq − 8pq · 2c

10

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

1.3 Rechnen mit Klammerausdrücken Lernkarte: Multiplikation einer Zahl mit einem Klammerausdruck Eine Zahl wird nach folgender Regel mit einem Klammerausdruck multipliziert: Regel Eine Zahl wird mit einem Klammerausdruck multipliziert, indem die Zahl vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert wird.

5 · (2 x + 4)  = 5 · 2 x + 5 · 4  = 10 x + 20 2 · (6 x + y) = 2 · 6 x + 2 · y = 12 x + 2y − 2  · (5 − y)  = − 2 · 5 + (− 2)  · (− y)   =  − 10 + 2y

a · (b + c)   =  a · b + a · c Rechentipp Falls zwei oder mehrere Zahlen mit einem Klammerausdruck multipliziert werden müssen, ist es empfehlenswert, zuerst die Zahlen zu multiplizieren und anschließend das Ergebnis dieser Rechnung mit dem Klammerausdruck zu multiplizieren. a · b · (c + d)   =  ab · (c + d)   =  abc + abd

Hinweis Die oben genannte Regel kann auch auf Klammerausdrücke mit mehreren Elementen übertragen werden.

3 · 4 · (a + 5)  = 12 · (a + 5)  = 12a + 60 6 · (− 7)  · (xy + 2)   =  − 42  · (xy + 2)  = − 42 xy − 84 3 · (− 3)  · (2a − 5b)  · 4 = 3 · (− 3)  · 4 · (2a − 5b) =  − 36  · (2a − 5b) =  − 36  · 2a + (− 36)  · (− 5b) =  − 72a + 180b

5 · (2 x + 4y − 5z + 10 xy) = 5 · 2 x + 5 · 4y − 5 · 5z + 5 · 10 xy = 10 x + 20y − 25z + 50 xy

Beispielaufgabe Multiplizieren Sie die Klammerausdrücke aus. a) 2 · (x + 2y) b) − 5  · (4a − 5)  · 2 c) 3 · (7 x + 8y − 4 xy + 4) a) 2 · (x + 2y)  = 2 · x + 2 · 2y  =  2 x + 4y b) − 5  · (4a − 5)  · 2 = − 5 · 2 · (4a − 5)  = − 10 · (4a − 5)  = − 10 · 4a + (− 10)  · (− 5)  = − 40a + 50 c) 3 · (7 x + 8y − 4 xy + 4)   =  21 x + 24y − 12 xy + 12

11

1.3 Rechnen mit Klammerausdrücken

Lernkarte: Multiplikation von Klammerausdrücken Zwei Klammerausdrücke werden nach folgendem Prinzip miteinander multipliziert: Regel Zwei Klammerausdrücke werden miteinander multipliziert, indem jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert wird.

(2 x + 1)  · (1 + y) =  2 x · 1 + 2 x · y + 1 · 1 + 1 · y =  2 x + 2 xy + 1 + y

(a + b)  · (c + d)   =  a · c + a · d + b · c + b · d Hinweis Die oben genannte Regel kann auch auf Klammerausdrücke mit mehreren Elementen übertragen werden.

(x − 2)  · (3 − y + 4z) =  x · 3 + x · (− y)  + x · 4z + (− 2)  · 3 + (− 2)  · (− y)  + (− 2)  · 4z =  3 x − xy + 4 xz − 6 + 2y − 8z

Rechentipp Müssen mehrere Klammerausdrücke miteinander multipliziert werden, so werden immer zwei Klammerausdrücke nacheinander miteinander multipliziert.

(1 − x)  · (1 − y)  · (2 + z) =  (1 − y − x + xy)  · (2 + z) =  2 + z − 2y − yz − 2 x − xz + 2 xy + xyz

Beispielaufgabe Multiplizieren Sie die Klammerausdrücke aus. a) (3 x − 2)  · (4y + 2) b) (4 − x)  · (1 − y + 6z) c) (1 − x)  · (5 + y)  · 7z a) (3 x − 2)  · (4y + 2)  = 12 xy + 6 x − 8y − 4 b) (4 − x)  · (1 − y + 6z)   =  4 − 4y + 24z − x + xy − 6 xz c) (1 − x)  · (5 + y)  · 7z = (5 + y − 5 x − xy)  · 7z = 35z + 7yz − 35 xz − 7 xyz

12

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Lernkarte: Minus vor der Klammer Regel Ein Minus vor der Klammer bewirkt, dass sich alle Vorzeichen in der Klammer drehen.

− (3  +  x − 5y)  = − 3 − x + 5y − (− 5 x + 6 xy − 9)   =  5 x − 6 xy + 9

− (a + b)  = − a − b Faktenwissen Das Minus vor der Klammer bedeutet ausführlich geschrieben: »​− 1​mal den Klammerausdruck«. Hinweis Die rechts stehende Aufgabe kann auf zwei verschiedene Weisen gelöst werden. Entweder zuerst ausmultiplizieren und anschließend die Vorzeichen drehen oder die Vorzeichen in einer Klammer wechseln und anschließend zusammenfassen.

− (5y − 2 x)  = (− 1)  · (5y − 2 x)  = − 5y + 2 x − (a + 5b)  = (− 1)  · (a + 5b)  = − a − 5b

Variante 1: − (x + 1)  · (2 + 3y) =  − (2 x + 3 xy + 2 + 3y) = − 2 x − 3 xy − 2 − 3y Variante 2: − (x + 1)  · (2 + 3y) = (− x − 1)  · (2 + 3y) = − 2 x − 3 xy − 2 − 3y

Beispielaufgabe Fassen Sie den Ausdruck zusammen. a) 3 x − (2 x + 7) b) 2 · (a + 5b)  − (− 8a + b) c) − x − (4 − 8 x + 9 xy) d) 4 x + 10 xy − (2 x − 1)  · (2 + 5y) a) 3 x − (2 x + 7)   =  3 x − 2 x − 7  =  x − 7 b) 2 · (a + 5b)  − (− 8a + b)  = 2a + 10b + 8a − b = 10a + 9b c) − x − (4 − 8 x + 9 xy)   =  − x − 4 + 8 x − 9 xy = − 9 xy + 7 x − 4 d) 4 x + 10 xy − (2 x − 1)  · (2 + 5y) Alternativ: =  4 x + 10 xy − (4 x + 10 xy − 2 − 5y) 4 x + 10 xy − (2 x − 1)  · (2 + 5y) =  4 x + 10 xy − 4 x − 10 xy + 2 + 5y =  4 x + 10 xy + (− 2 x + 1)  · (2 + 5y) =  2 + 5y =  4 x + 10 xy − 4 x − 10 xy + 2 + 5y =  2 + 5y

13

1.3 Rechnen mit Klammerausdrücken

Lernkarte: Auswertungsreihenfolgen von Klammern Treten in einem Klammerausdruck mehrere Klammerpaare auf, so werden diese nach folgender Regel aufgelöst: Regel In einem Ausdruck mit mehreren Klammerpaaren werden diese stets von innen nach außen aufgelöst.

− 2  · ​[x − (4 + 2 x )]​ =  − 2  · ​[x − 4 − 2 x]​

=  − 2  · ​[− 4  −  x ]​ = 8 + 2 x

Beispielaufgabe Fassen Sie die folgenden Ausdrücke zusammen. a) 10ab + 5 · ​[4 + (a + 1)  ·  (− 2b + 5)]​ b) 2y − ​[5 x − 2 · (2 x − y)]​ c) 10 · ​{6 x − 2 · ​[5 − ​(2 x + 1)​]​}​ d) 2 · ​[− (x + y)  + y + x]​ a) 10ab + 5 · ​[4 + (a + 1)  ·  (− 2b + 5)]​ = 10ab + 5 · ​[4 − 2ab + 5a − 2b + 5]​ = 10ab + 5 · ​[− 2ab + 5a − 2b + 9]​ = 10ab − 10ab + 25a − 10b + 45 = 25a − 10b + 45 b) 2y − ​[5 x − 2 · (2 x − y)]​ = 2y − ​[5 x − 4 x + 2y]​ = 2y − ​[x + 2y]​ = 2y − x − 2y = − x

Nachdem eine Klammer aufgelöst wurde, ist es empfehlenswert, den entstehenden Ausdruck zusammenzufassen, sofern das möglich ist.

c)

Es werden häufig runde, eckige und geschweifte Klammern verwendet, um Klammerpaare übersichtlich zu kennzeichnen. Alternativ finden runde Klammern unterschiedlicher Größe Anwendung.

10 · ​{6 x − 2 · ​[5 − ​(2 x + 1)​]​}​ = 10 · ​{6 x − 2 · ​[5 − 2 x − 1]​}​ = 10 · ​{6 x − 2 · ​[4 − 2 x]​}​ = 10 · ​{6 x − 8 + 4 x}​ = 10 · ​{10 x − 8}​ = 100 x − 80

d) 2 · ​[− (x + y)  + y + x]​ = 2 · ​[− x − y + y + x]​ = 2 · 0 = 0 Aufgaben Verzichten Sie beim Lösen der Aufgaben auf die Verwendung des Taschenrechners! 1. Multiplizieren Sie die Klammerausdrücke aus. a) 2 · (4 − x) b) − 5  · (6 x − 1) c) 10 · (x + y) d) 3 x · (10 + y) e) 5a · (6 − 6b) f) x · (2a − b) g) 4 · 3 · (a + 3b) h) 5 · (1 + 2p)  ·  (− 2) i) 2 ·  (− 2)  · (1 − y)  · 4 j) 10 · (3 − 5a + 6ab) k) − 3  · (x + 3y − xy − 4) l) x · (4 − 2y + 8z)  · 2 Lösen Sie die Klammern durch Ausmultiplizieren auf und fassen Sie anschließend so weit wie möglich zusammen. 2.  a) (12 − y)  · (4 − x) b) (2 − b)  · (2a + 4) c) (2 x + 2)  · (5 − y)  + (− x + 5)  · (y + 2) d) (11 − a)  · (2 + b)  + 6 · (a + b) e) (− p + 5q + 1)  · (2 + x) f) (2a + 4 + x)  · (1 − b)  + 4b + bx g) (a − 2 + b)  · (5 − x)  · 2 − 2 ·  (− 5a + 2 x − 5) h) 2 · (5 + x)  · (y − 3)  + 3 · (x + y)  ·  (− 2)

14

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Aufgaben 3. Ihnen liegt folgende Rechnung vor. Beurteilen Sie die Richtigkeit. Begründen Sie Ihre Aussage.

2 · (1 − a)  · (2 + b) = 2 · 1 · 2 + 1 · b − a · 2 + a · b =  − 2a + b + ab + 4

4. Lösen Sie die folgenden Klammerausdrücke auf. Fassen Sie, wenn möglich, so weit wie möglich zusammen. a) − (5 x − 4) b) − (a + 4b + 3) c) 5 x − (8 x + 5) d) 2 · (a − 4b + 1)  − (6a − 8b + 2) e) − (x + 2)  · (1 − y)  + xy + 2 f) (2a + 2)  · (3 − b)  − (− a + 5)  · (b + 2) g) (y − 2)  · (4 − x)  · 2 − (− x + 8y + 2 xy) h) 2 · (b + a)  · 4 − (4a + 8b)  − 4a 5. Ein Mitschüler hat Fragen zu folgendem Lösungsweg. Beantworten Sie diese Fragen. x · ​{4a − ​[ − 2  +  (1 − a)  · ​(b + 2)​ − b ]​}​ (​1)​ ​  =  x · ​{4a − ​[ − 2  +  b + 2 − ab − 2a − b ]​}​ ​(2)​ ​  =  x · ​{4a − ​[ − ab − 2a ]​}​ ​(3)​ ​  =  x · ​{4a + ab + 2a}​ ​(4)​ ​  =  x · ​{6a + ab}​ ​(5)​ ​  = 6ax + abx

• Warum befinden sich in Zeile (1) keine runden Klammern mehr? • Die eckigen Klammern in Zeile (2) sind doch überflüssig! Oder? • Warum werden in Zeile (4) 6a und ab nicht miteinander verrechnet? • Weshalb werden die geschweiften Klammern erst am Schluss aufgelöst?

6. Fassen Sie die Ausdrücke so weit wie möglich zusammen. a) 3 · ​[5p − (p − 5)  + 4]​ b) 2 · ​[5 + xy − (x + 1)  · (1 − y)]​ 2 · ​{4p − ​[ 2 + (2 − q)  · ​(p − 1)​ + pq ]​}​ c) 5 − ​{b − 3 · ​[ 10 − ​(2b − 3)​]​}​ d) (a − 4)  · (1 − 2b)  − ​[ 2 · (a + 1)  · (b + 2)  + 1 ]​ e) (x + 1)  · ​[ x − xy − (x + 2)  · (1 − y) ]​ f) 7. Geben Sie an, welche der folgenden Rechnungen richtig sind. Begründen Sie Ihre Angabe. Beschreiben Sie gegebenenfalls den Fehler! a) − 2  · (a + 5ab − 4)  + 10ab =  − 2a − 10ab − 4 + 10ab =  − 2a − 4

b) 2 · ​[a + ab − (a + 3)  · (3 − b)]​ ​  = 2 · ​[a + ab − 3a − ab + 9 − 3b]​ ​  = 2 · ​[− 2a − 3b + 9]​ ​  =  − 4a − 6b + 18​

c) (x + 1)  · ​[x − (− 3 x − 2)  − 4 x]​ = (x + 1)  · ​[x + 3 x + 2 − 4 x]​ = (x + 1)  · 2 =  2 x + 2

8. Ergänzen Sie die fehlenden Zwischenschritte. a)

− (x + 1)  · (2 − y)  − 2 · (y + xy) = − … − 2y − 2 xy = − 2 x + xy − 2 + y − 2y − 2 xy = − 2 x − y − …

c)

(a − 2)  · 2 · ​[20b + 5 · (− 3b + 2)  · 2 − 5]​ ​=  (2a − 4)  · ​[20b − … − 5]​ = (2a − 4)  · ​[− 10b + 15]​ = − 20ab + … − 60

b) (x − 2)  · (1 − y)  − ​[ 2 · (x + 2)  · (y + 5)  + 5 ]​ ​= x − xy − 2 + 2y − 2 · ( …)  + 5 ​ = x − xy − 2 + 2y − ​[ 2 xy + 10 x + 4y + 25 ]​ ​ = x − xy − 2 + 2y − 2 xy … ​ = − 9 x − 3 xy − 2y − 27

15

1.4 Elementares Rechnen mit Brüchen

1.4 Elementares Rechnen mit Brüchen Lernkarte: Primfaktorzerlegung Um Bruchrechnen grundlegend zu verstehen, muss man sich mit der Primfaktorzerlegung vertraut machen. Diese wird beim Kürzen sowie beim Addieren und Subtrahieren von ungleichnamigen Brüchen benötigt. Regel Bei der Primfaktordarstellung wird eine vorgegebene Zahl in ein Produkt, das nur aus Primzahlen (2; 3; 5; 7; 11; 13…) besteht, umgewandelt.

  72  =  2 · 2 · 2 · 3 · 3 300  =  2 · 2 · 3 · 5 · 5

Musteraufgabe Primfaktorzerlegung Ermitteln Sie die Primfaktordarstellung der Zahl 6930. 1. Schritt

Überprüfen, ob die vorgegebene Zahl durch 2, also durch die erste Primzahl, teilbar ist. Wenn ja, die Zahl durch 2 dividieren und diesen Schritt mit dem Rest wiederholen. Wenn nein, diesen Schritt überspringen. 6930 ist durch 2 teilbar. Der Rest 3465 ist nicht durch 2 teilbar

2. Schritt

Überprüfen, ob der Rest (hier 3465) durch 3, also durch die nächste Primzahl, teilbar ist. Wenn ja, die Zahl durch 3 dividieren und diesen Schritt mit dem Rest wiederholen. Wenn nein, diesen Schritt überspringen. 3465 ist durch 3 teilbar. Nämlich 3465 : 3 = 1155. 1155 wiederum ist durch 3 teilbar. 1155 : 3 = 385

3. Schritt

6930  =  2 · 3465 →  6930  =  2 · 3 · 1155 →  6930  =  2 · 3 · 3 · 385

Den Schritt zwei mit allen weiteren Primzahlen durchführen, bis nur noch Primzahlen vorliegen. 385 ist durch 5 teilbar: 385 : 5 = 77 77 ist durch 7 teilbar: 77 : 7 = 11 Das Verfahren endet, da 11 selbst eine Primzahl ist.

4. Schritt

6930  =  2 · 3465

6930  =  2 · 3465 →  6930  =  2 · 3 · 1155 →  6930  =  2 · 3 · 3 · 385 →  6930  =  2 · 3 · 3 · 5 · 77 →  6930  =  2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11

Das Ergebnis angeben. Die Primfaktordarstellung von 6930 ist 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11

Anmerkung: Muss ein Term in seine Primfaktoren zerlegt werden, so wird die Zahl wie eben beschrieben zerlegt. Im Anschluss folgen die Variablen, wobei man statt beispielsweise ​x​ 2​= x​  · x​ schreibt. Beispielaufgabe Zerlegen Sie die Terme in ihre Primfaktoren. a) 88 x b) 180 x​y​ 2​ c) 420​a​​​ 2​b a) 88 x = 2 · 44 · x b) 180 x ​y​ 2​ = 2 · 90 x ​y​ 2​ = 2 · 2 · 22 · x = 2 · 2 · 45 x ​y​ 2​ = 2 · 2 · 2 · 11 · x = 2 · 2 · 3 · 15 x ​y​ 2​ = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 x ​y​ 2​ = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · x · y · y

c) 420 ​a​​​ 2​b = 2 · 210 ​a​​​ 2​b = 2 · 2 · 105 ​a​​​ 2​b = 2 · 2 · 3 · 35 ​a​​​ 2​b = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 ​a​​​ 2​b = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · a · a · b

16

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Aufgaben: 1. Stellen Sie die folgenden Zahlen und Terme in ihre Primfaktordarstellung dar. a) 3150 b) 4725 c) 286 d) 27 x​ ​​ 2​y

e) 63ab f) 90 x

2. Überprüfen Sie ohne Taschenrechner, ob 2 · 3 · 5 · 11 die Primfaktordarstellung von 330 ist. Lernkarte: Bestimmung der Rechenoperation Beim Bruchrechnen müssen häufig die Rechenausdrücke im Zähler und Nenner bestimmt werden, um zu entscheiden, ob ein Bruch gekürzt werden darf. Rechenoperationen

Ergebnis der Rechenoperation (Rechenausdruck)

a+b

Addition

Summe

a−b

Subtraktion

Differenz

a∙b

Multiplikation

Produkt

a:b

Division

Quotient

Regel Die letzte Rechenoperation, die beim Ausrechnen eines Terms ausgeführt werden muss, legt den Rechenausdruck fest.

Beispielaufgabe Bestimmen Sie den Rechenausdruck der folgenden Terme. a) 10 · (3 + 2) b) 3 · 2 − 4 · 3 a)

1. Schritt: Addition 10 · (3 + 2)   =  10 · 5 2. Schritt: Multiplikation 10 · 5  =  50 Folgerung Der Ausdruck 10 · (3 + 2) ist ein Produkt, da die letzte Rechenoperation eine Multiplikation ist.

b)

1. Schritt: Multiplikation 3 · 2 − 4 · 3  =  6 − 12 2. Schritt: Subtraktion 6 − 12  =  − 6 Folgerung Der Ausdruck 3 · 2 − 4 · 3 ist eine Differenz, da die letzte Rechenoperation eine Subtraktion ist.

Hinweis Um festzustellen, welcher Rechenausdruck bei einem Term vorliegt, der Variablen enthält, setzt man für die Variablen eine Zahl ungleich Null ein. Anschließend rechnet man den Wert des Terms aus. Die letzte Rechenoperation legt wieder den Rechenausdruck fest. Beispielaufgabe Bestimmen Sie den Rechenausdruck des Terms 3 − (5 − x) · (2y + 1) 1. Schritt: 3 − (5 − x) · (2y + 1) Für z.  B. x = 1 und y = 2 einsetzen 3 − (5 − 1)  · (2 · 2 + 1) 2. Schritt: Multiplikation 3 − (5 − 1) · (4 + 1) 3. Schritt: Addition & Subtraktion 3 − 4 · 5 4. Schritt: Multiplikation 3 − 20 5. Schritt: Subtraktion − 17 Folgerung Der Ausdruck 3 − (5 − x) · (2y + 1) ist eine Differenz, da die letzte Rechenoperation eine Subtraktion ist.

17

1.4 Elementares Rechnen mit Brüchen

Lernkarte: Kürzen von Brüchen ​ Nenner   )   ​ ​​werden nach folgender Regel gekürzt: Brüche ( ​​ Bruch  =  ______ Zähler

Regel •  Ein Bruch darf nur gekürzt werden, wenn im Zähler und im Nenner ein Produkt, eine Zahl oder eine Variable steht. • Es dürfen nur gemeinsame Faktoren gekürzt werden.

Rechentipp Häufig ist es nicht offensichtlich, ob ein Bruch gekürzt werden kann beziehungsweise mit welcher Zahl er gekürzt werden kann. Es ist bei unübersichtlichen Brüchen daher sinnvoll, den Zähler und den Nenner in seine Primfaktoren zu zerlegen.

4 _ ​ 8 ​​ darf gekürzt werden, da im Zähler und Nenner jeweils nur 4 1  ​2 ​ einzelne Zahlen stehen: _​ 8 ​= _ a + 5 ___ ​  10    ​ darf nicht gekürzt werden, da a + 5 eine Summe ist.

2 · 3 · 5

30

5

• ​__ ​ 48 ​  =  ___________ ​ 2 · 2 · 2 · 2 · 3     ​  =  _ ​ 8 ​ 70

2 · 5 · 7

2

• ​___ ​ 105   ​  =  ______ ​ 3 · 5 · 7   ​  =  _ ​ 3 ​ 300 ab

2 · 2 · 3 · 5 · 5 · a · b

12 b

• ​_____ ​ 175 a ​    =  ​ ________________      ​  =  ___ ​  7   ​​  5 · 5 · 7 · a 

Begriff: vollständig gekürzt Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn der Zähler und Nenner keine gemeinsamen Primfaktoren besitzen. 4

4

1

•  __ ​ 20  ​ = ​ ____    ​  = ​_ 5 ​ 4 · 5

Faktenwissen Kann der Zähler beziehungsweise der Nenner komplett gekürzt werden, so bleibt dort die Zahl 1 stehen.

2 · 5 · 7

70

7

______ •  ​ __  ​ = ​   2 · 5  ​    = ​_ 1 ​ = 7 10 a

a

1

•  ​ ___     ​ =  ______ ​ 2 · a · b      ​ =  __ ​ 2b  ​ 2ab

Beispielaufgabe Kürzen Sie die Brüche vollständig. 110

____ a) ​ ​ 1050    ​​ 2 · 5 · 11

110

56 xy

28a

b) ​​____  49 y ​ ​ 11

____ ​  =  ___________ ​ 2 · 3 · 5 · 5 · 7     ​  =  __ ​ 105   ​​ a) ​ ​ 1050   

c) ​​____  364 a    ​ 56 xy

2 · 2 · 2 · 7 · x · y

8 x

b) ​____ ​ 49y ​   =  ​ _____________        ​  =  __ ​ 7 ​ ​ 7 · 7 · y

28 a

2 · 2 · 7 · a

1

c) ​ ​ ____ ​  =  ____________ ​ 2 · 2 · 7 · 13 · a      ​  =  __ ​ 13  ​ 364 a   

Aufgaben: 1. Entscheiden Sie, welche der Brüche gekürzt werden dürfen. Kürzen Sie, falls erlaubt, den Bruch vollständig.

240 a) ___ ​ 420  ​​

24 + ab

b) _____ ​  12      ​​

49y c) ____ ​ 42 xy    ​​

858ab d) _____ ​ 1014a   ​​

18 − 4 x e) ​ _____   ​ 54  ​  

15 f) __ ​ 45 ​

2. Beurteilen Sie die folgende Rechnung auf ihre Richtigkeit. Begründen Sie ihre Angabe. 8 x 2 · 2 · 2 · x ___ ​ 48 x    ​ =  _____________ ​ 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · x      ​  =  6​

18

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Lernkarte: Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen Brüche mit gleichem Nenner werden gleichnamige Brüche genannt. Diese werden nach folgender Regel addiert beziehungsweise subtrahiert: Regel •  Gleichnamige Brüche werden addiert, indem die Zähler zusammengezählt werden, während der Nenner unverändert beibehalten wird. a b a + b __ ​ n ​ + ​ __n ​  =  ____ ​  n    ​​ 

3

5

3 + 5

8

​ _4 ​ + ​ _4 ​  =  ____ ​  4    ​   =  ​ _4 ​  =  2​ 5 1 5 − 1 4 2 _ ​ 6 ​ − ​ _6 ​  =  ____ ​  6     ​  =  _ ​ 6 ​  =  _ ​ 3 ​ 7

8

2

7 − 2 + 8

13

​ _3 ​ − ​ _3 ​ + ​ _3 ​  =  ______ ​  3    ​  =  ​ __ 3 ​ ​

•  Gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem die Zähler subtrahiert werden, während der Nenner unverändert beibehalten wird. a b a − b __ ​ n ​ − ​ __n ​  =  ____ ​  n     ​

5

1

7 b

5 + 1 − 7 b

6 − 7 b

__ __ ______​  =  ​ ____ ​ __   ​ 2 a   ​ + ​ 2 a   ​ − ​ 2 a  ​  =  ​  2 a    2 a    10 a 10 − 4 + a 6 + a 4 ___ ​ x + 2    ​ − ​ ___      ​ + ​ ___      ​  =  ______ ​  x + 2      ​  =  ___ ​ x + 2   ​ x + 2 x + 2

Hinweis Ist der Minuend ein Bruch, dessen Zähler aus einer Summe oder Differenz besteht, so sind Klammern um diese zu setzen, nachdem die Zähler auf einen gemeinsamen Bruchstrich geschrieben wurden.

1 − (x + 2 ) 1 − x − 2 − x − 1 1 x + 2 _ ​ 2 ​ − ​ ___  ​  =  ______ ​  2    ​  =  ​ _____ ​  =  ​ _____  ​​ 2    2    2    a + 2 − (5 + 3 a ) a + 2 ____ 5 + 3 a a + 2 − 5 − 3 a − 2 a − 3 ___  ​ − ​  4    ​   =  ​ _________       ​  =  ________ ​      ​  =  ______ ​  4    ​  ​  4    4  4 

Aufgaben: 1. Addieren beziehungsweise subtrahieren Sie die folgenden Brüche. 5

3

7

6

a) _ ​ 4 ​ − ​ _4 ​ + ​ _4 ​​ 5

7

11

___ d) ___ ​ 4 x y  ​ + ​ ___ 4 x y  ​ − ​ 4 xy   ​​

b) _​ 5 ​ − ​ _5 ​ + ​ _5 ​​

3

18a a c) ___ ​ 4 − a    ​ − ​ ___      ​ 4 − a

x + 3 7 1 − x ___ e) _​ 4 ​ − ​ ___ ​  + ​  4  ​    ​ 4   

3 + b _____ b + 4 2 f) ____ ​ 2 − b    ​− ​ − b + 2    ​ + ​ ____      ​ 2 − b

2

2. Ihnen liegen folgende Rechnungen vor. Geben Sie an, welche dieser richtig ist. Begründen Sie Ihre Angabe. 3

5

3 + 5

8

a) _​ 4 ​ + ​ _4 ​  =  ____ ​ 4 + 4   ​  =  _ ​ 8 ​  =  1​ 7

5 − x

− 7 − 5 − x

− 7 − 5 − x

− 12 − x

b) ​− _​ 2 ​ − ​ ___ ​   =  ​ _______   ​  =  ​ _______   ​  =  ​ _____ ​  2    2  2  2    1 + x − (4 + x) − 3 x 4 + x 1 + x − 4 − x 1 c) ___ ​ 2 + x      ​ + ​ ___      ​ − ​ ___ ​  =  ________ ​  2 + x      ​  =  _______ ​  2 + x    ​  =  ​ ___ ​ 2 + x 2 + x   2 + x    4

2

4 + 2

6

3

____​   =  ​ __  ​  =  _ d) __ ​ 3 x  ​ + ​ __ ​ x ​ 3 x  ​  =  ​  3 x    3 x 1

4

1 + 4

5

1

e) ​ ___      ​ + ​ ___      ​  =  ____ ​ 5 + a   ​  =  ___ ​ 5 + a      ​  =  ___ ​ 1 + a      ​ 5 + a 5 + a 3.  Eine Mitschülerin stellt Ihnen zu folgender Rechnung die Frage: »Warum müssen in dieser Rechnung Klammern gesetzt werden?« Ihre Antwort? 3 − (5 − x) 3 5 − x 3 − 5 + x − 2 + x ___ ​ 10  x  ​ − ​ ___   =  ______ ​  10 x      ​  =  _____ ​  10 x    ​  =  ​ _____   ​​ 10 x ​  10 x   

19

1.4 Elementares Rechnen mit Brüchen

Lernkarte: Addition und Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen Brüche mit unterschiedlichen Nennern werden ungleichnamige Brüche genannt. Bevor diese addiert beziehungsweise subtrahiert werden können, müssen sie gleichnamig gemacht werden. Dazu muss der Hauptnenner ermittelt werden. Musteraufgabe zur Ermittlung des Hauptnenners zweier ungleichnamiger Brüche 8

5

Ermitteln Sie den Hauptnenner der Brüche  __ ​ 27  ​​ und  __ ​​ 36  ​​. 1. Schritt

Die Nenner der Brüche in Primfaktoren zerlegen. ​27  =  3 · 3 · 3​    ​ 36  =  2 · 2 · 3 · 3​

2. Schritt

Die maximale Häufigkeit der vorkommenden Primfaktoren ermitteln. Der Primfaktor 2 kommt maximal zweimal in einer Zerlegung vor. Der Primfaktor 3 kommt maximal dreimal in einer Zerlegung vor.

3. Schritt

Den Hauptnenner bildet man, indem man die Primfaktoren entsprechend ihrer Häufigkeiten (Schritt 2) hintereinander schreibt. Zweimal die 2 und dreimal die 3 Hauptnenner = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 108

Beispielaufgabe Bestimmen Sie die Hauptnenner der folgenden Brüche. 8 7 __ a) ​ ​ 55  ​​​  __ ​ 25  ​ ​

7 1 11 b) ​​__  45  ​​​  __ ​ 18  ​​​  __ ​ 60 ​​

1 1 c) ​​____  28 x y   ​​​  ___ ​ 42  x  ​

a) Primfaktordarstellung 25 = 5 · 5   55 = 5 · 11

Häufigkeiten der Primfaktoren



Hauptnenner bilden

Der Primfaktor 5 kommt maximal zweimal in einer Zerlegung vor. Der Primfaktor 11 kommt maximal einmal in einer Zerlegung vor. HN = 5 · 5 · 11 = 275

b) Primfaktordarstellung 18 = 2 · 3 · 3   45 = 3 · 3 · 5   60 = 2 · 2 · 3 · 5 Häufigkeiten der Primfaktoren

Der Primfaktor 2 kommt maximal zweimal in einer Zerlegung vor. Der Primfaktor 3 kommt maximal zweimal in einer Zerlegung vor. Der Primfaktor 5 kommt maximal einmal in einer Zerlegung vor.



HN = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180

Hauptnenner bilden

c) Primfaktordarstellung 28 xy = 2 · 2 · 7 · x · y   42 x = 3 · 3 · 7 · x Häufigkeiten der Primfaktoren

Der Primfaktor 2 kommt maximal zweimal in einer Zerlegung vor. Der Primfaktor 3 kommt maximal zweimal in einer Zerlegung vor. Der Primfaktor 7 kommt maximal einmal in einer Zerlegung vor. Der Faktor x kommt maximal einmal in einer Zerlegung vor. Der Faktor y kommt maximal einmal in einer Zerlegung vor.



HN = 2 · 2 · 3 · 3 · 7 · x · y = 252 xy

Hauptnenner bilden

20

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Musteraufgabe zur Addition zweier ungleichnamiger Brüche 3 7 Addieren Sie folgende ungleichnamige Brüche: __ ​ 10  ​  __ ​ 75  ​​

1. Schritt

Bestimmung des Hauptnenners der Brüche 10 = 2 · 5   75 = 3 · 5 · 5 HN  = 2 · 3 · 5 · 5 = 150

2. Schritt

Ermittlung der Erweiterungsfaktoren der einzelnen Brüche. Dazu werden die Nenner der einzelnen Brüche jeweils durch den Hauptnenner dividiert. 150

Erweiterungsfaktor des 1. Bruchs: ​​ ___ 10 ​   =  15​ 150

Erweiterungsfaktor des 2. Bruchs: ​___ ​ 75 ​   =  2​ 3. Schritt

Die einzelnen Brüche mit dem im vorherigen Schritt bestimmten Faktor erweitern. Dazu werden die Zähler und Nenner mit dem Erweiterungsfaktor multipliziert. 3 · 15

45

7 · 2

14

​ ______    ​  =  ___ ​ 150   ​​   _____ ​ 75 · 2    ​ ​  =  ___ ​ 150   ​ 10 · 15  4. Schritt

Die gleichnamigen Brüche addieren beziehungsweise subtrahieren. 3

45

7

59

14

__ ___ ___ ___ ​ __ 10  ​ + ​ 75  ​  =  ​ 150   ​ + ​ 150   ​  =  ​ 150   ​

Beispielaufgabe Addieren beziehungsweise subtrahieren Sie folgende Brüche. 5

3

9

5

4

__ __ a) ​ ​ 33  ​ + ​ __ 22  ​ − ​ 44  ​​

5

1

__ b) ​​__  27  ​ − ​ __ 12  ​ + ​ 18  ​​

4

1

___ c) ​​___  28  x  ​ + ​ __ 7y  ​ − ​ 4 x y  ​

a) Hauptnenner 22  = 2 · 11   33 = 3 · 11   44 = 2 · 2 · 11 bestimmen HN = 2 · 2 · 3 · 11 = 132

5

132

3

132

9

132

 ​33 ​   = 4 Erweiterungsfaktor des Bruchs  __ ​ 33  ​: ___

Erweiterungsfaktoren ermitteln

 ​22 ​  = 6 Erweiterungsfaktor des Bruchs  __ ​ 22  ​: ___



 ​44 ​  = 3 Erweiterungsfaktor des Bruchs  __ ​ 44  ​: ___



5

3

9

5 · 4

3 · 6

9 · 3

__ __ _____​ + ​ _____    _____​ Brüche erweitern und ​ __ 33  ​ + ​ 22  ​ − ​ 44  ​ = ​ 33 · 4    22 · 6 ​ − ​ 44 · 3    verrechnen 20 18 27 ___ ___ =  ​ 132   ​ + ​ ___ 132   ​ − ​ 132   ​



20 + 18 − 27

11

1

________   ​ = ​___  132   ​ = ​__  12  ​ =  ​  132   

b) Hauptnenner 12 = 2 · 2 · 3   18 = 2 · 3 · 3   27 = 3 · 3 · 3 bestimmen HN = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 108

4

108

5

108

5

108

 ​27 ​  = 4 Erweiterungsfaktor des Bruchs  __ ​ 27  ​: ___

Erweiterungsfaktoren ermitteln

 ​12 ​  = 9 Erweiterungsfaktor des Bruchs  __ ​ 12  ​: ___



 ​18 ​  = 6 Erweiterungsfaktor des Bruchs  __ ​ 18  ​: ___

Brüche erweitern und verrechnen

__ __ _____​ − ​ _____    _____​  ​__ 27  ​ − ​ 12  ​ + ​ 18  ​ = ​ 27 · 4    12 · 9 ​ + ​ 18 · 6   



  ​ = ​___  108    ​ =  ________ ​  108   





5

4

16

5

45

4 · 4

30

___ =  ___ ​ 108   ​ − ​ ___ 108   ​ + ​ 108   ​ 16 − 45 + 30

1

5 · 9

5 · 6

21

1.4 Elementares Rechnen mit Brüchen

c) Hauptnenner 28 x = 2 · 2 · 7 · x  7y = 7 · y  4 xy = 2 · 2 · x · y bestimmen HN = 2 · 2 · 7 · x · y = 28 xy 28 xy

1

Erweiterungsfaktoren ermitteln

Erweiterungsfaktor des Bruchs  ___ ​ 28  x  ​:  ​____ 28 x ​  = y



Erweiterungsfaktor des Bruchs  ___ ​ 4 x y  ​: ​ ____ 4 xy ​  = 7



28 xy

4

​ = 4 x Erweiterungsfaktor des Bruchs  __ ​ 7y  ​:  ​____ 7y    28 xy

1

1

4

1

1 · y

4 · 4 x

1 · 7

___ _____ ​ + ​ _____    _____ ​ Brüche erweitern und ___ ​ 28  x  ​ + ​ __ 7y  ​ − ​ 4 x y  ​  =  ​ 28 x · y    7y · 4 x ​ − ​ 4 xy · 7    y verrechnen 16 x 7 ​ + ​ ____ ​ − ​ ____ ​ = ​ ____ 28 x y   28 xy    28 x y  



y + 16 x − 7

  ​ = ​ _______ 28 xy   

Rechentipp

Eine ganze Zahl und ein Bruch werden nach gleichem Prinzip addiert bzw. subtrahiert. Zuvor empfiehlt es sich, die ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln. Beispielsweise 2 lässt sich die Zahl 2 als _ ​ 1 ​​schreiben.

5

6

5

6 · 11

5

66 − 5

61

_____​ − ​ __  ​  =  ____ ​ 1 ​ − ​ __ ​  11     ​  =  __ ​ 11 ​ ​6 − ​__  11  ​  =  _ 11  ​  =  ​ 1 · 11   11 3

1

3

8

3

8 + 3

11

​1 + ​ _8 ​  =  _ ​ 1 ​ + ​ _8 ​  =  _ ​ 8 ​ + ​ _8 ​  =  ____ ​  8    ​   =  ​ __ 8 ​ ​

Aufgaben: 1. Bestimmen Sie die Hauptnenner der folgenden Brüche. 5 3 __ a) ​ ​ 16  ​ __ ​ 20  ​​

3 7 b) ​​__ ​ 15  ​​ ​ 12  ​ __

8 11 c) ​​__ ​ 21  ​ __ ​ 28 ​

1 4 _ 7 _ d) ​ ​ 2 ​ _ ​ 3 ​ ​ 4 ​​

9 4 1 e) ​​__ ​ 10  ​ __ ​ 15  ​ __ ​ 25  ​​

5 12 15 __ 1 f) ​​__ ​ 12  ​ __ ​ 21 ​ __ ​ 36 ​ ​ 28   ​

5 5 9 __ g) ​ ​ 4a  ​ _ ​ 6 ​ _ ​ a ​​

x 7 1 ​ __ ​ 30  ​ ___ ​ 10y    ​​ ​ 12 x y   h) ​​____

4 1 1 2 ​ 25b    ​ ​ 5a  ​ ___ ​ 45b    ​ _ ​ a ​ ___ i) ​​__

1

5

1

​​ 14  ​und ​_ ? ​ist der kleinste Hauptnenner 1260. Der Nenner des dritten Bruches ist unbe2. Von den Brüchen __ ​ 36  ​​ , __ kannt. a) Begründen Sie, warum der Nenner des dritten Bruchs genau einmal den Primfaktor 5 enthalten muss. b) Überprüfen Sie, ob der Nenner des dritten Bruchs 45 sein kann. c) Geben Sie drei Werte an, die der Nenner des dritten Bruches annehmen kann. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen. 3. Ein Mitschüler behauptet, dass es viel zu umständlich sei, die Primfaktorzerlegung der einzelnen Nenner zu machen und anschließend über die Häufigkeit der Primfaktoren den Hauptnenner zu bilden. Es sei doch 5 1 einfacher die einzelnen Nenner miteinander zu multiplizieren. Ein gemeinsamer Nenner der Brüche _ ​ 9 ​und ​ _6 ​​ wäre ​9 · 6 = 54​. Nehmen Sie Stellung zu dieser Argumentation. 4. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus. Kürzen Sie die Brüche vollständig. Verzichten Sie auf die Verwendung des Taschenrechners. 5 5 1 2 4 1 5 7 _ _ a) _​ 2 ​ + ​ _5 ​ b) ​ 3 ​ − ​ _2 ​ + ​ _6 ​ c) − __ ​ 30  ​ − ​ __ 21  ​ + ​ 7 ​ 5 3 7 1 1 1 1 _ __  14  ​ e) ​ 4 ​ − ​ __ 2 − ​ __ d) _​ 2 ​ − ​ _4 ​ + 3 − ​__ 18  ​ − 2 f) 21  ​ + ​ 28  ​ 7y _ y _ 5y 2y 4a ___ 3 3 1 1 _ __ ___ ​ __ ​ ___ g) ​ __ 15 ​ + ​ 25a    ​ − ​ a ​ h) 2 x ​ − ​ 8 ​ + ​ x ​ i) 12 x   ​ − ​ 15  ​ + ​ 16 x   ​

22

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Aufgaben: 5. Ihnen liegt folgende Rechnung vor. ​ 2 ​ − ​(_ ​ 3 ​ + 2)​]​ = ​_  9 ​ − ​[_ ​ 2 ​ − ​(_ ​ 3 ​ + ​ _3 ) ​ ​]​ (1)  _ ​ 9 ​ − ​[_ 8

3

5

8

3

5

6

​ 2 ​ − ​ __ (2) = ​ _9 ​ − ​[_ 3 ​ ]​ 8

3

11

​ 6 ​ − ​ __ (3) = ​_  9 ​ − ​[_ 6 ​ ]​ 8

9

22

​ 6 ​ ]​  =  _ ​ 9 ​ + ​ __ (4) = ​_  9 ​ − ​[− __ 6 ​  8

16

13

39

8

13

55

__ __ (5) = ​ __ 18 ​ + ​ 18 ​ = ​ 18 ​

a) Beurteilen Sie die Rechnung auf ihre Richtigkeit. Notieren Sie gegebenenfalls die Zeilennummer, in der sich Ihrer Meinung nach ein Fehler befindet. b) Eine Mitschülerin hat folgende Fragen zu dieser Rechnung: 6



•  Wieso wird in Zeile (1) aus 2 der Bruch _​ 3 ​​gemacht?



•  Wie kommt man von __ ​ 3 ​ ​in Zeile (2) auf ​ __ 6 ​ ​in Zeile (3)?



•  Warum wird in Zeile (5) der Nenner 18 benutzt?

11

22

Lernkarte: Multiplikation von Brüchen Brüche werden nach folgender Regel miteinander multipliziert: Regel Brüche werden multipliziert, indem jeweils die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert werden. a c

a · c

 ​__b ​ · ​__  d ​ = ​____  b · d  ​  Rechentipp

3

Muss eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert werden, ist es empfehlenswert, die ganze Zahl als Bruch zu schreiben. b

a b

1 · 3 3 1 3 _ ​ 2 ​ · ​ _4 ​  =  ____ ​ 2 · 4  ​  =  _ ​ 8 ​ 3 1 7 21 7 _ ​ 4 ​ · ​ _5 ​ · ​ _3 ​  =  __ ​ 60 ​  =  __ ​ 20  ​ 5 5 · 7 35 7 ​ − _ ​ 2 ) ​ ​ · ​ _2 ​  =  − ____ ​ 2 · 2  ​  =  − __ ​ 4 ​ ​ ( a 3 a · 1 · 3 3a 1 ​ _4 ​ · ​(− _ ​ 2 ) ​ ​ · ​(− _ ​ 2 ) ​ ​  =  +​______  4 · 2 · 2   ​  =  ​ __ 16 ​

a · b

a · ​__  c ​  = ​ _1 ​ · ​__  c ​   =  ​ ____ ​  c    Faktenwissen Aufgrund der oben genannten Regel kann bei3 x 3 spielsweise der Bruch ​__  4 ​ ​auch als ​_ 4 ​ x​ geschrieben werden.

4 3

4 · 3

12

​4 · ​ _7 ​  =  _ ​ 1 ​ · ​ _7 ​  =  ____ ​ 1 · 7  ​  =  __ ​ 7 ​ ​ 5 5 5 · 1 · 4 1 1 4 _ ​ 2 ) ​ ​ · 4  =  ​ _2 ​ · ​(− _ ​ 2 ) ​ ​ · ​ _1 ​  =  − ______ ​ 2 · 2 · 1   ​  =  − 5​ ​ 2 ​ · ​(− _ a 3

7 a 3

7 · 3 · a

21a

​− 7 · ​_  4 ​ · ​ _8 ​  =  − _​ 1 ​ · ​ _4 ​ · ​ _8 ​  =  − ______ ​ 1 · 4 · 8   ​  =  − ___ ​ 32 ​ ​

Begründung: 3 3 x 3 x _ ​ 4 ​ · x  =  ​ _4 ​ · ​ _1 ​  =  __ ​ 4 ​ ​

Hinweis Werden zwei Brüche multipliziert, bei denen ein Zähler oder Nenner aus einer Summe oder Differenz besteht, so müssen Klammern gesetzt werden. a · (c + d ) a c + d __ ​ b ​ · ​ ___     ​  =  _______ ​  b · e      ​ e a c a · c __ ​ b ​ · ​ ____      ​  =  _______ ​ b · (d + e)      ​ d + e

5 · (2 + x) 5 2 + x 10 + 5 x _ ​ 2 ​ · ​ ___  ​  =  _______ ​  2 · 3      ​  =  _____ ​  6     ​​ 3    3 3 · 2 3 3 2 _ ​ 4 ​ · ​ ___      ​  =  _______ ​ 4 · (1 − x)      ​  =  _______ ​ 2 · (1 − x)      ​  =  ____ ​ 2 − 2    x   ​ 1 − x 5 x + y

5 · (x + y)

5 x + 5y

 ​  =  _______ ​ 6 · (y − 2)   ​  =  _____ ​ 6y − 12   ​ ​ _6 ​ · ​ ___ y − 2 

23

1.4 Elementares Rechnen mit Brüchen

Beispielaufgabe Fassen Sie die Brüche zusammen. Kürzen Sie vollständig. 1

4 1

1

4 1

1

4 · 1

1

1

1

6

2

6 + 2

1

Die 4 und die 8 kürzen. 8

2

____ ​ = ​__ =  __ ​ 12  ​ + ​ __  12  ​ = ​_  3 ​ 12  ​ = ​  12    1 3

1 5

Die Nenner gleichnamig machen und die Brüche addieren.

1 3

b) − ​_  2 ​ · 5 − ​_  4 ​ · ​ _5 ​  = − _​ 2 ​ · ​ _1 ​ − ​ _4 ​ · ​ _5 ​ 1 · 5

1 · 3

1

Die Regel »Punkt vor Strich« beachten und die Brüche multiplizieren.

=  _​ 2 ​ + ​ ____     ​ = ​_  2 ​ + ​ _6 ​ 3 · 2 1

1

b) ​− _​ 2 ​ · 5 − ​ _4 ​ · ​ _5 ​​

 2 ​ + ​ ____ a) ​ _2 ​ + ​ _3 ​ · ​ _8 ​ = ​_ 3 · 8  ​

c) ​a + ​ _2 ​ · ​(_ ​ 2 ​ − a)​

1 3

1

a) _ ​ 2 ​ + ​ _3 ​ · ​ _8 ​​

5

Die Zahl 5 in einen Bruch umwandeln.

3



_ = − ____ ​ 2 · 1  ​ − ​ ____ ​ 2 ​ − ​ __ 4 · 5  ​ = −  20  ​

Die Brüche multiplizieren.



5 · 10 __ 3 − 50 − 3 = − _____ ​ 2 · 10   ​ − ​ 20  ​ = ​______   20      ​ 53 = − __ ​ 20 ​

Die Nenner gleichnamig machen und die Brüche verrechnen.



c) a + ​_  2 ​ · ​(_ ​ 2 ​ − a)​ = a + ​ _2 ​ · ​ _2 ​ − ​ _2 ​ · a Die Klammer ausmultiplizieren. 1



1

a

1 1

a

1

1 1

1

1 a

=  ​ _1 ​ + ​ _2 ​ · ​ _2 ​ − ​ _2 ​ · ​ _1 ​

Die Variable a in einen Bruch umwandeln.

a

=  ​ _1 ​ + ​ _4 ​ − ​ _2 ​

4a

1

Die Brüche multiplizieren.

2a

4a + 1 − 2a

_ __ _______ =  ​ __     ​ 4 ​  + ​ 4 ​ − ​ 4 ​  = ​  4 

Die Brüche gleichnamig machen und verrechnen.

2a + 1

=  ____ ​  4    ​  Aufgaben: 1. Multiplizieren Sie folgende Brüche. Kürzen Sie die Brüche falls möglich. b) ​​_  3 ​  · ​(− _ ​ 4 ) ​ ​​

c) ​​_ 8 ​ · ​ _2 ​ · ​ _3 ​

d) ​ ​ − _ ​ 2 ) ​ ​ · ​(− _ ​ 4 ) ​ ​​ (

5 1 __ 3a e) _ ​​ 6 ​ · ​ __ 2a  ​ · ​ 4 ​ ​

f) ​​_ 3 ​ · ​ _4 ​ · ​ __ 2 x  ​

3 5

h) ​​__  10  ​ · ​ _2 ​ · (− 5)​

5 7

2

_ a) ​ ​ 4 ​ · ​ _2 ​​ 3

1

1

g) ​ 3 · ​_  4 ​ · ​ _2 ​​ 3 x − 2

x 1

1

5 + a

_ j) ​ ​ 4 ​ · ​ ___ ​​   5   

5 1 4

7

1

1

1

i) ​− ​ _3 ​ · a · ​ _2 ​

3

7

k) ​​ ___ ​ · ​ __ 11  ​​ 2 + a  

1

l) ​​_  3 ​ · (1 − y)  · ​ _2 ​

2.  Ein Mitschüler behauptet, dass beim Multiplizieren zweier Brüche der Hauptnenner gebildet werden muss. Geben Sie an, ob Sie dieser Aussage zustimmen oder widersprechen. Begründen Sie Ihre Angabe. 3. Beurteilen Sie die folgenden Rechnungen bezüglich ihrer Richtigkeit. Beschreiben Sie gegebenenfalls die Fehler. a) _ ​ 5 ​ · ​ ___ ​   =  ​ ____ ​​   2    10   

b) _​ 2 ​ · ​(− _ ​ 4 ) ​ ​ · 4  =  ​ _2 ​ · ​ _4 ​ · ​ _1 ​  =  _ ​ 2 ​

10 10 x 10 _ 10 x 7 7 ___ c) __ ​ 7 ​  · ​(x − ​ _2 ) ​ ​  =  ___ ​  7   ​ − ​ __ 7 ​  · ​ 2 ​  =  ​  7   ​ − 5​

d) ​ _9 ​ · ​ ___  ​ + ​ _4 ​  =  _______ ​  9 · 2      ​ + ​ _4 ​ 2   

3 x − 1

3 x − 1

1

3

1 3 4

2 x + y

3

2 · (x + y)

x

2 x + 2y

x

4 x + 4y

9 x

x

2 · (2 x + 2y)

9 x

=  ​ _____ ​  + ​ _4 ​ = ​________   36      ​ + ​ __ 18    36 ​ 4 x + 4y + 9 x

________ =  ​ _____ ​  + ​ __   ​  36    36 ​ = ​  36 



13 x + 4y

13 x + y

=  ​ ______   ​ = ​ _____  ​ 36    9   

4. Fassen Sie die Brüche zusammen. Kürzen Sie vollständig, wenn möglich. _ a) ​ ​ 2 ​ −​(_ ​ 4 ​ · ​ _3 ​ + ​ _4 ) ​ ​​ 1

3 2

1

b) ​3 + 3 · ​(_ ​ 6 ​ + ​ _4 ) ​ ​​ 1

x

c) ​​ _4 ​ · ​ _5 ​ − ​ _2 ​ · ​(_ ​ 7 ​ x − ​ _4 ) ​​ 1 1

1

2

3

24

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Lernkarte: Division von Brüchen Bei der Division durch einen Bruch wird folgende Regel angewandt: Regel Durch einen Bruch wird dividiert, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird.

5 _ ​ 2 ​

5

10

5

3

3

_ __ _ __ _ ​ __ 10  ​  =  ​ 2 ​: ​ 3 ​   =  ​ 2 ​ · ​ 10  ​  =  ​ 4 ​ __ ​ 3 ​ 

3

 ​__  b ​  a c a d a · d __ ​  __c    ​  =  __ ​ b ​ : ​__  d  ​  =  __ ​ b ​ · ​ __c ​   =  ​ ____   ​​ b · c ​ d  ​

− _ ​ 4 ​ 3 1 3 2 3 ___  ​2 ​  =  − _​ 4 ​ · ​ _1 ​  =  − _​ 2 ​ ​  _1    ​  =  − _​ 4 ​: _ ​ 2 ​

Rechentipp

_ _ ​ 3 ​ ​ 3 ​ 7 __ 14 7 __ 1 1 __ _ _ _ ​ 14  ​  =  __ ​ __ 14  ​  =  ​ 3 ​:  ​1 ​   =  ​ 3 ​ · ​ 14  ​  =  ​ 6 ​ ​   ​ 

a

7

Muss eine ganze Zahl durch einen Bruch oder ein Bruch durch eine ganze Zahl dividiert werden, sollte zuvor die ganze Zahl in einen Bruch umgewandelt werden. Rechentipp Befindet sich im Zähler und/oder Nenner des Doppelbruchs eine Summe oder Differenz, so muss diese vor der Anwendung der eben beschriebenen Regel in einen Bruch umgewandelt werden.

7

1

2

− _ ​ 1 ​ 5 − 2 2 4 2 5 ___ ​  _4  ​   =  ___ ​  _4    ​  =  − _​ 1 ​: _  ​5 ​  =  − _​ 1 ​ · ​ _4 ​  =  − _​ 2 ​ ​ 5 ​ ​ 5 ​

1

1

4

5

_ _ _ ​ 2 ​ + 2 ​ 2 ​ + ​ _2 ​ ​ 2 ​ ____ ​  _3     ​   =  ​ ____ ​   =  ​ ___3  ​ 3    _ ​ 2 ​ ​ 2 ​ ​ 2 ​

5 3

5 2

5

= ​_ 2 ​ : ​_  2 ​  =  _ ​ 2 ​ · ​ _3 ​  =  _ ​ 3 ​

Aufgaben: 1. Lösen Sie die Doppelbrüche auf. Kürzen Sie die Brüche falls möglich. 3

1

 ​_  2 ​ 

 − ​ _4 ​ 

__ a) ​ ​  _7    ​​

b) ​​____   __ ​​   9   

​ 2 ​

​ 16  ​

4

 ​_  5 ​ 

 − 7 − ​ 8 ​

___ d) ​ ​ − 8  ​​

e) ​​____   _3     ​​ 1

− 2 + ​ _4 ​

4 ​ 2 ​ + ​ 8 ​

____ ​​ g) ​ ​ _3  _1   

h) ​​_____   _7 _2  ​  ​ ​ 2 ​ + ​ 3 ​

9

 − ​ __ 10  ​ 

c) ​​ ____ ​  − 5    4a f) ___ ​​  _a   ​ − ​ 2 ​ 5

1

− _ ​ 6 ​ + ​ _4 ​

i) ​​_____   __      ​ 1 − ​ 12  ​ + 1

2. Beurteilen Sie die folgende Rechnung bezüglich ihrer Richtigkeit. 3

3

3

_ _ ​ 4 ​ x + ​ _4 ​ ​ 4 ​ · ​(x + 1)​ 3 3 9 ____  ​  =  _______ ​  _4       ​  =  _ ​ 4 ​ · ​ _4 ​ · ​(x + 1)​  =  __ ​ 16  ​ (x + 1)​ ​  _4     ​ 3 ​ ​ 3 ​

25

1.4 Elementares Rechnen mit Brüchen

Lernkarte: Umwandlung einer Dezimalzahl in einen Bruch Eine Dezimalzahl wird in folgenden Schritten in einen Bruch umgewandelt: Vorgehensweise zur Umwandlung einer Dezimalzahl in einen Bruch 1. Schritt:

Beispiel:

Die Anzahl der Dezimalstellen (Nachkommastellen) abzählen. Der Teiler, der im zweiten Schritt benötigt wird, ist eine 1 mit so vielen Nullen wie Dezimalstellen.

0,375

2. Schritt: Aus der Dezimalzahl geistig das Komma entfernen und durch den Teiler (Schritt 1) teilen. Anschließend kürzen.

3 Dezimalstellen → ​ ​Teiler 1000

375 75 3 ____ ​ 1000    ​  =  ___ ​ 200   ​  =  __ ​ 8 ​ 3 ​→  0, 375  =  __ ​ 8 ​

Beispielaufgabe Wandeln Sie die Dezimalzahlen in einen Bruch um. a) ​ 0, 12​

b) 1,18 c) 0,05 d) 1,1 e) 0,015 x

6

12

3

__ __ ​a) 0,12  =  ​ ___ 100   ​  =  ​ 50  ​  =  ​ 25  ​​

Anzahl der Dezimalstellen: 2 ​→​  Teiler: 100

118 59 ​b) 1,18  =  ___ ​ 100  ​  =  __ ​ 50 ​​ 5 1 ​c) 0,05  =  ___ ​ 100    ​  =  __ ​ 20  ​​

Anzahl der Dezimalstellen: 2 ​→​  Teiler: 100

11

Anzahl der Dezimalstellen: 1 ​→​  Teiler: 10

Anzahl der Dezimalstellen: 2 ​→​  Teiler: 100

​d) 1,1  =  __ ​ 10 ​​ 15

3

​e) 0,015 x  =  ____ ​ 1000    ​ x  =  ___ ​ 200    ​ x​

Anzahl der Dezimalstellen: 3  ​→​  Teiler: 1000

Aufgaben: 1. Geben Sie ohne Verwendung des Taschenrechners an, welche der folgenden Brüche den Dezimalwert 0,24 haben. Begründen Sie Ihre Angabe. 2

_ a) ​ ​ 5 ​​

6

b) ​​__  25  ​​

12

c) ​​__  5 ​ ​

5

d) ​​__  12  ​​

2. Wandeln Sie die folgenden Dezimalzahlen in Brüche um. a) ​ 1, 25​ b) ​1, 4​ c) ​0, 002 x​

24

e) ​​___  100   ​

26

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

1.5 Ausklammern von Faktoren Lernkarte: Ausklammern von gemeinsamen Faktoren Aus einem Bruch können gemeinsame Faktoren ausgeklammert werden. Durch das Ausklammern wird aus einer Summe oder Differenz ein Produkt. Musteraufgabe zum Ausklammern von gemeinsamen Faktoren Klammern Sie gemeinsame Faktoren aus dem Term ​42 xy + 35 x​ aus. 1. Schritt

Die einzelnen Summanden in der Primfaktordarstellung angeben. ​42 xy  =  2 · 3 · 7 · x · y​ ​35  =  5 · 7 · x​

2. Schritt

Alle gemeinsamen Faktoren bestimmen. Die gemeinsamen Faktoren sind: 7 und x

3. Schritt

Die gemeinsamen Faktoren vor die Summe schreiben und jeden Summanden durch die gemeinsamen Faktoren teilen. ​7 x · ​(____ ​  7 x   ​ + ​ ___ 7 x ​ )​  =  7 x · ​(6y + 5)​​ 42 xy

4. Schritt

35 x

Gegebenenfalls die Probe durchführen. ​7 x · ​(6y + 5)​  =  42 xy + 35 x​

Beispielaufgabe Klammern Sie alle gemeinsamen Faktoren aus. a) ​ 12a + 15ab​​ b) ​45 x + 60 xy − 75​

c) ​7 + 28 x − 7y​

a) Primfaktordarstellung ​12a  =  2 · 2 · 3 · a​​  ​ 15ab  =  3 · 5 · a · b​​ Gemeinsame Faktoren 3a 12a 15ab ​ 3a ​  + ​ ____ ​ ​  =  3a · ​(4 + 5b)​ Ausklammern ​ 12a + 15ab  =  3a · ​(___ ) 3a    b) Primfaktordarstellung ​45 x  =  3 · 3 · 5 · x​  ​ 60 xy  =  2 · 2 · 3 · 5 · x · y​  ​ 75  =  3 · 5 · 5​ Gemeinsame Faktoren 5 45 x 60 xy __ 75 ​  5   ​ + ​ ____  ​ − ​ 5 ​ )​  =  5 · ​(9 x + 12y − 15)​ Ausklammern ​ 45 x + 60 xy − 75  =  5 · ​(___ 5    c) Primfaktordarstellung ​7  =  7​  ​ 28 x  =  2 · 2 · 7 · x​  ​ 7y  =  7 · y​ Gemeinsame Faktoren 7 7y 7 28 x __ ​ 7 ​ + ​ ___ Ausklammern ​ 7 + 28 x − 7y  =  7 · ​(_ 7   ​ − ​ 7 ​ )​  =  7 · ​(1 + 4 x − y)​ Hinweis Ausklammern wird häufig beim Kürzen von Brüchen benötigt. Stellt der Zähler bzw. der Nenner eines Bruches eine Summe dar, so darf bekanntlich nicht gekürzt werden. Durch das Ausklammern entstehen aus Summen und Differenzen Produkte. Diese dürfen gekürzt werden. Faktenwissen Aus einer Summe beziehungsweise Differenz können auch Brüche ausgeklammert werden.

5 x + 10y

5 · (x + 2y)

x + 2y

​ ______   =  _______ ​ 5 · (4 − x) ​    =  ____ ​ 4 − x ​  ​ 20 − 5 x ​  2 · (2x + 3 xy + 5) 4 x + 6 xy + 10 2x + 3 xy + 5 ________ ​      ​  =  __________    ​  ​   =  ​ _______   ​  4  2 · 2  2  x · (5 + y) 5  x  + xy 5 + y   ​  =  _______ ​  23 · x    ​  =  ​ ___ ​​ ​ _____ 23 x    23   

( ​ 4 ​

​ 4 ​)

5 _

1 __

​ 8 ​ x __ ​ 12  ​ 5 1 1 _ __ ​ _8 ​ x − ​ __ 12  ​  =  ​ 4 ​ · ​ ​  _1  ​  − ​ _1  ​  ​ _​ ​  =  _ =  _ ​ 4 ​ · ​(__ ​ 8 ​  · ​ _1 ​ − ​ __ ​ 4 ​ · ​(__ ​ 2 ​  − ​ _3 ) ​​ 12  ​ · ​ 1 ) 1

5 x 4

1

4

1

5 x

1

27

1.5 Ausklammern von Faktoren

Aufgaben: 1. Klammern Sie alle gemeinsamen Faktoren aus. a) ​ 16 + 20 xy​

b) ​55ab − 25b​​

c) ​121p + 33pq​​

d) ​ 27 x + 18 + 9y​

e) ​28 xy + 98 x − 140​

f) ​− 210 − 280a + 196b​​

g) ​3 x − xy​

h) ​6 xy + 2y − 8zy​

i) ​150ab + 225a − 50abx​

2. Füllen Sie die offenen Stellen mit den entsprechenden Zahlen. Beschreiben Sie jeweils Ihr Vorgehen. a) … xy + 16y − 72  =  8 · (3 xy + … y + 9) b) … ab + … b − 12  =  … · ​(7ab − 5b − 2)​ 10 x + 5

3. Eine Mitschülerin behauptet, dass der Bruch ​ _____  ​in dieser Form nicht kürzbar ist. Klammert man jedoch 5 5    aus dem Zähler aus, so darf der Bruch gekürzt werden: 5 · (2 x + 1) 10 x + 5 _____ ​  5     ​  =  ________ ​      = 2 x + 1​. 5 ​

Geben Sie an, ob Sie dieser Aussage zustimmen oder Ihr widersprechen. Begründen Sie Ihre Angabe. 4. Klammern Sie jeweils im Zähler und Nenner alle gemeinsamen Faktoren aus und kürzen Sie die Brüche, wenn möglich, vollständig. 2 x + 8y

b) ​​ _________   ​​ 15 + 5 x   

12 x + 16 xy

e) ​​______  − x + 2 xy     ​​

_____ a) ​ ​ 2 x + 4 ​  ​

  ​​ d) ​ ​ _______ 4 + 12 x   

5 + 10 xy + 25y

c) ​​________   25 − 5a    ​ 

3 x + 8 xy

f) ​​________  28 xy + 49yx   ​

100 − 250a

14 xy − 7 xyz

5. Ihnen liegt folgende Rechnung vor: 4a 36      ​ + ​ _____      ​ ​(1)  ______ ​ 2a + 4ab 6 + 12b 4a 36      ​ + ​ ________      ​ ​(2)​  ​=  ________ ​ 2a · (1 + 2b) 6 · (1 + 2b) 6 2      ​ + ​ ____      ​ ​(3)​  ​=  ____ ​ 1 + 2b 1 + 2b 8      ​ ​(4)​  ​=  ​ ____ 1 + 2b

Ein Mitschüler hat folgende Fragen zu dieser Rechnung: •  Wieso kürzt man in Zeile (1) nicht die 36 und die 6? •  Warum ist in Zeile (3) kein a mehr vorhanden? 2

6

•  Welche Rechenregel wurde angewandt, um die Brüche ​____  1 + 2b      ​ + ​ ____      ​zu addieren? 1 + 2b 6. Klammern Sie jeweils den in eckigen Klammern angegebenen Bruch aus. __ ​_ ​ 5 ]​ ​​ a) ​ ​ 25  ​ x + ​ __ 15  ​​ ​[ 4

7

1

12

_​ ​ c) ​​__  27  ​ − ​ __ 9 ​  b​​ ​​[​ 9 ]

__ e) ​− ​ __ ​ __ ​ 12  ]​ ​​ 36  ​ b + ​ 12  ​ a​​ ​[

f) ​​_ 3 ​ x − ​ _9 ​ y − ​ _3 ​ ​ ​ ​[_ ​ 3 ]​ ​

6

14

_​ ​​ d) ​ − __ ​ 21  ​ y − ​ __ 7 ​  z​ ​​[− ​ 7 ] 8

__ ​ __ b) ​​ __ ​ 13  ]​ ​​ 26 ​ a + ​ 39  ​​ ​[ 4

5

2

5

5

5

1

10 2

5

1

1

28

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

1.6 Rechnen mit Potenzen Lernkarte: Grundlegendes zum Rechnen mit Potenzen Der sichere Umgang mit Potenzen gehört zum mathematischen Grundwissen in der Oberstufe. Begriffe n

Ein Ausdruck der Form ​x​  ​ wird Potenz genannt, wobei x die Basis und n der Exponent ist. Faktenwissen . ​x​ n​ist die Kurzschreibweise für  ​x · x · x · . .  .  · x      ​​     n-mal

​​ ​​x​ n​​: Potenz ​x​ n​ ​x​: Basis n: Exponent ​5​ 4​  =  5 · 5 · 5 · 5​ ​2​ 3​  =  2 · 2 · 2​

Hinweis Besitzt eine Potenz eine negative Basis und einen geraden Exponenten, so ist der Wert der Potenz positiv. Ist die Basis negativ und die Potenz ungerade, so ist auch der Wert der Potenz negativ.

​(− 3)​ 2​  =  (− 3)  · (− 3)   =  9​ ​(− 2)​ 3​  =  (− 2)  · (− 2)  · (− 2)   =  − 8​

Auswertungsreihenfolge Ausdrücke werden nach folgender Priorität ausgewertet: 1. Klammerausdrücke 2. Potenzen 3. Punktrechnung (​​·, :) 4. Strichrechnung (​+, −​) Das heißt, dass Potenzen eine höhere Auswertungspriorität als Punktrechnungen (Multiplikation und Division) haben und somit vor diesen berechnet werden müssen.

2.Multiplizieren

​  =​  ​  3 · 8 ​  ​3 · ​2​ 3​ 1.Potenzieren

=​ 

​  24​

​− ​4​ 2​  =  (− 1)  · ​4​ 2​  =  (− 1)  · 4 · 4  =  − 16​ ​2 · ​(− 4)​​ 2​  =  2 · (− 4)  · (− 4)   =  2 · 16  =  32​ 3​  · ​​(3 · 4 − 10)​ 3​ =  3 · ​​(12 − 10)​ 3​ = 3 · ​2​ 3​  =  3 · 8  =  24​

Beispielaufgabe Fassen Sie den jeweiligen Ausdruck zusammen. Beachten Sie die Auswertungsreihenfolge. a) ​5 + ​3​ 2​​

b) ​2 · (4 − ​2​ 5​)​

a) ​ 5 + ​3​ 2​  =  5 + 9  =  14​

c) ​− ​4​ 2​ + 1​

Die Potenzrechnung hat eine höhere Priorität als die Strichrechnung.

5

b) ​2 · (4 − ​2​  ​)  =  2 · (4 − 32)​ Zuerst muss der Klammerausdruck berechnet werden, da dieser die höchste Priori ​ =  2 · (− 28)   =  − 56​ tät besitzt. Innerhalb der Klammer überwiegt die Potenz. c) ​ − ​4​ 2​ + 1  =  − 16 + 1​ ​ =  − 15​

−42 bedeutet ausführlich geschrieben: (−1) ∙ 42. Es muss zuerst die 4 quadriert werden und anschließend mit −1 multipliziert werden.

Aufgaben: 1. Berechnen Sie die Werte der Potenzen ohne Taschenrechner. b) ​​(− 3)​​ 4​​ c) ​− ​3​ 4​​ d) ​​5​ 2​ + ​2​ 5​​ a) ​ ​2​ 4​​

e) ​2 · ​4​ 2​

2. Fassen Sie den Ausdruck 5 · ​(3 − ​2​ 2​)​ 4​zusammen. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.

29

1.6 Rechnen mit Potenzen

Lernkarte: Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleicher Basis können nach folgender Regel multipliziert werden: Regel

​2​ 3​ · ​2​ 4​ =  2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem ihre Exponenten addiert werden.



Hinweis

​4​ 3​ · ​4​ 4​ · ​4​ 2​  =  ​4​ 3+4+2​  =  ​4​ 9​

Diese Rechenregel ist auch auf mehrere Potenzen anwendbar. Voraussetzung ist lediglich, dass die Basis der Potenzen gleich sind.

​2​ 2​ · ​3​ 7​ · ​2​ 5​ · ​3​ 2​ =  ​2​ 2​ · ​2​ 5​ · ​3​ 2​ · ​3​ 7​

= ​2​ 3+4​  =  ​2​ 7​



= ​2​ 2+5​ · ​3​ 2+7​  =  ​2​ 7​ · ​3​ 9​

Hinweis Ist bei einer Zahl oder Variable kein Exponent explizit angegeben, dann ist der Exponent 1. Auf die explizite Nennung des Exponenten 1 kann verzichtet werden. Beim Rechnen mit Potenzen ist dieser Exponent jedoch zu berücksichtigen.

​4 · ​4​ 2​  =  ​4​ 1​ · ​4​ 2​  =  ​4​ 3​ ​a · ​a​ 4​ · ​a​ 2​  =  ​a​ 1​ · ​a​ 4​ · ​a​ 2​  =  ​a​ 1+4+2​  =  ​a​ 7​

Beispielaufgabe Fassen Sie die folgenden Potenzen zusammen. a) ​ ​2​ 3​ · ​x​ 2​ · ​2​ 4​ · ​x​ 3​​ b) ​3 · ​y​ 2​ · ​3​ 2​ · y​ a) ​ ​2​ 3​ · ​x​ 2​ · ​2​ 4​ · ​x​ 3​ =  ​2​ 3​ · ​2​ 4​ · ​x​ 3​ · ​x​ 2​   Es dürfen nur die Potenzen mit gleicher Basis verrechnet werden. = ​2​ 3+4​ · ​x​ 3+2​ = ​2​ 7​ · ​x​ 5​ b) ​3 · ​y​ 2​ · ​3​ 2​ · y =  ​3​ 1​ · ​3​ 2​ · ​y​ 2​ · ​y​ 1​ = ​3​ 1+2​ · ​y​ 2+1​  =  ​3​ 3​ · ​y​ 3​

Aufgaben: 1. Fassen Sie die Potenzen zusammen. b) ​​b​​​ 3​ · ​b​​​ 2​ · b​​ a) ​ ​2​ 3​ · ​2​ 4​ · ​2​ 6​​

c) ​​x​ 3​ · ​2​ 2​ · x · ​2​ 5​​

d) ​​(− 2)​​ 3​ · ​b​​​ 2​ · b · 2​

2. Beurteilen Sie, ob folgende Rechnung richtig ist. Begründen Sie Ihre Angabe. ​2 x​ ​​ p​​ · ​x​ 2​ · ​2​ 4​  =  2 · ​2​ 4​ · ​x​ p​​ · ​x​ 2​  =  ​2​ 5​ · ​x​ 2p​​​​

30

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Lernkarte: Division von Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleicher Basis werden nach folgender Regel dividiert: Regel

​2​ 5​ 2 · 2 · 2 · 2 · 2 __ ​  2 ​ =  ___________ ​  2 · 2      ​  =  2 · 2 · 2 ​2​  ​

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem ihre Exponenten subtrahiert werden.



Hinweis

= ​2​ 5−2​  =  ​2​ 3​

​(− 2)​​ 3​ ____ ​  6   ​  =  ​(− 2)​​ 3−6​  =  ​(− 2)​​ −3​ ​(− 2)​​  ​

Beim Dividieren von Potenzen können negative Exponenten entstehen. Die exakte Bedeutung von negativen Exponenten wird in der Lernkarte »Besondere Exponenten« beschrieben.

​5​ a+2​ 5​ ​  ​

​ =  ​5​ a+2−(a+4)​ ​ ___ a+4  

= ​5​ a+2−a−4​  =  ​5​ −2​

​4​ 10​ · ​3​ 4​ · ​5​ 5​ ________ ​  7 8 3 ​    =  ​4​ 10−7​ · ​3​ 4−8​ · ​5​ 5−3​  =  ​4​ 3​ · ​3​ −4​ · ​5​ 2​ ​4​  ​ · ​3​  ​ · ​5​  ​

Faktenwissen Kommen in einem Bruch mehrere Potenzen mit unterschiedlichen Basen vor und ist der Zähler und/oder Nenner keine Summe oder Differenz, dann dürfen die Potenzen mit gleicher Basis gemäß der oberen Regel verrechnet werden.

a​ ​ 2​ · ​b​ 8​ ​a​  ​ · ​b​  ​

​ _____ ​  =  ​a​ 2−4​ · ​b​ 8−5​  =  ​a​ −2​ · ​b​ 3​ 4 5   ​a​ 2​ + ​b​ 8​

​ _____  ​  ​ Die Potenzen dürfen nicht verrechnet werden, ​a​ 4​ · ​b​ 5​ da der Zähler eine Summe ist.

Beispielaufgabe Fassen Sie die folgenden Potenzen zusammen. ​2​ 3​ · ​6​ 5​ · 7 6​ ​  ​ · ​2​  ​ · ​7​  ​

________ a) ​ ​  3 7 3     ​​

4 · ​y​ 3​ ​4​  ​ · y

b) ​​____   3   ​

​2​ 3​ · ​6​ 5​ · 7 6​ ​  ​ · ​2​  ​ · ​7​  ​

a) ________ ​  3 7 3     ​  =  ​2​ 3−7​ · ​6​ 5−3​ · ​7​ 1−3​

= ​2​ −4​ · ​6​ 2​ · ​7​ −2​​ 4 · ​y​ 3​ 4​ ​  ​ · y

  ​  =  ​4​ 1−3​ · ​y​ 3−1​ b) ​ ​ ____ 3

Die Zahl 7 im Zähler kann auch als 71 geschrieben werden. Der Exponent 1 muss beim Subtrahieren berücksichtigt werden.​ Die Zahl 4 kann in der Potenz 41 dargestellt werden, das Gleiche gilt für die Variable y im Nenner. Diese kann als y1 geschrieben werden. Beim Dividieren der Potenzen muss dieser Exponent beachtet werden.

= ​4​ −2​ · ​y​ 2​

Aufgaben: 1. Fassen Sie, wenn möglich, die Potenzen zusammen. ​a​​​ 4​ · ​3​ 5​ a) _____ ​  2 2   ​​ ​3​  ​ · ​a​​​  ​

​b​​​ 4​ · 4 · b ​4​  ​ · ​b​​​  ​

b) ​​_______   5 6    ​​

​p​​​ 4+a​​ · ​(− 5)​​ 3​ ​p​​​  ​ · ​(− 5)​​  ​

c) ​​ ________ ​​ 4 2   

2​ ​ a​​ + 2

d) ​​____  ​2​ a​​ · 2 ​  ​

2. Beurteilen Sie, ob folgende Rechnungen richtig sind. Begründen Sie Ihre Angabe. ​a​​​ 3​ · ​2​ 4​ 2 a) _____ ​  3 ​   · ​a​​​  ​  =  ​a​​​ 4​ · 2​

a · ​2​  ​ ​p​​​ 2​ + ​2​ 4​ _____ b) ​​  2    ​  =  ​p​​​ 2​ + ​2​ 4−2​  =  ​p​​​ 2​ + ​2​ 2​ ​2​  ​

31

1.6 Rechnen mit Potenzen

Lernkarte: Potenzieren von Potenzen Potenzen werden nach folgender Regel potenziert: Regel

4

Potenzen werden potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden. (​​a​​​ n​)​​ m​​  =  ​a​​​ n·m​​​

​(​3​ 2​)​  ​  =  ​3​ 2·4​  =  ​3​ 8​ 2

(​(​− 2)​ 5​)​  ​  =  ​(− 2)​​ 5·2​  =  ​(− 2)​​ 10​

Faktenwissen

(​​a​​​ n​​)​ m​​  =  ​a​​​ n·m​​  =  (​​a​​​ m​​)​ n​​​

Beim Potenzieren von Potenzen dürfen die Exponenten vertauscht werden.

4 3 ​(​2​ 3​)​  ​  =  ​2​ 3·4​  =  (​​2​ 4​)​  ​

​(​a​​​ n​​)​ m​​  =  (​​a​​​ m​​)​ n​​​​

​(​2​ a​​)​ 2​ · ​​(​2​ 10​)​  ​  =  (​​2​ a​​)​ 2​ · ​​(​2​ a​​)​ 10​  =  (​​2​ a​​)​ 12​

a​

Hinweis Beim Potenzieren von Potenzen müssen die Basis und der Exponent der jeweiligen Potenz exakt bestimmt werden. Aufgrund der Auswertungsreihenfolge (siehe Lernkarte »Grundlegendes zum Rechnen mit Potenzen«) 2 muss beispielsweise bei der Potenz ​2​ ​3​  ​​zuerst die Potenz 32 berechnet werden. Das Ergebnis ist der Exponent zur Basis 2. 2 ​2​ ​3​  ​​  =  ​2​ 9​  =  512​ 2 Bei der Potenz (​​2​ 3​)​  ​ist ​2​ 3​die Basis und die Zahl 2 der Exponent. Gemäß der obenstehenden Regel kann die 2 Potenz ​(​2​ 3)​​  ​zu ​2​ 3·2​  =  ​2​ 6​zusammen gefasst werden. 2 ​(​2​ 3​)​  ​  =  ​2​ 6​  =  64​ 2 2 Man erkennt unschwer, dass die Potenzen ​2​ ​3​  ​​und (​​2​ 3)​​  ​zu komplett unterschiedlichen Werten führen.

Aufgaben: 1. Zeigen Sie, dass sich die folgenden Potenzen jeweils ineinander umformen lassen. ​  2 ) ​ ​  ​ ​  ⇔​  ​ ​a​​​ 2n−4​ a) ( ​ __ ​a​​​  ​ ​a​​​ n​​ 2

3

b) ​(​2​ a​​ · ​2​ 3​)​  ​ ​  ⇔​  ​ ​2​ 3a+9​ 3

3

2. Berechnen Sie die Werte folgender Potenzen ohne Verwendung des Taschenrechners: ​2​ ​2​  ​​ und (​​2​ 2​)​  ​

32

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Lernkarte: Potenzieren von Produkten und Quotienten Produkte und Quotienten werden nach folgenden Regeln potenziert: Regel Produkte werden potenziert, indem jeder Faktor potenziert wird. n​

n​

​(5 · x)​​ 2​  =  ​5​ 2​ · ​x​ 2​  =  25 x​​​ 2​ ​(− 7 · ​x​ 2​)​ 2​  =  ​(− 7)​​ 2​ · ​( ​x​ 2​)​ 2​  =  49 x​​​ 4​

n​​

​(a · b)​​  ​  =  ​a​​​  ​ · ​b​​​  ​ Regel Quotienten werden potenziert, indem Zähler und Nenner potenziert werden. a n​ ​a​​​ n​​ ​(__ ​ b ) ​ ​  ​  =  __ ​ ​b​​​ n​ ​​

(​ ​ 2 )​ ​  ​  =  ​ ​2​ 3 ​​  =  ​ 8 ​ ​ _x 3

​x​ 3​ __

​x​ 3​ __

​(_ ​ 4 ) ​ ​  ​  =  __ ​  2 ​  =  __ ​ 16 ​ 5 2

5​ ​ 2​ ​4​  ​

25

​x​ 2​ · ​y​ 2​  =  ​(x · y)​​ 2​

Hinweis

a n

Die Regeln ​(a · b)​​ n​= ​a​ n​ · ​b​ n​​und ​(__ ​ b ) ​ ​  ​= ​ __  ​​ ​b​ n​ sind auch von rechts nach links anwendbar. ​a​ n​

​25 · ​a​​​ 2​  =  ​5​ 2​ · ​a​​​ 2​  =  ​(5a)​​ 2​ __ ​ __ ​_ ​ 6 ) ​ ​  ​​ 36 ​  =  ​  2 ​  =  ( ​5​ 2​ 6​ ​  ​

25

5 2

Beispielaufgabe Potenzieren Sie folgende Produkte beziehungsweise Quotienten. b) ​​​(_ ​ 2 ​ · xy ​z​​​ 2​)​  ​

a) ​ ​ __ ​ 4 ​ )​  ​​ ( 3a 2

3

3

​ 4 ​ )​  ​  =  ____ ​  2   ​  =  ___ ​ 16 ​ ​ Zuerst muss der Quotient __ ​ 4 ​ ​quadriert werden. Dabei ist darauf zu achten, dass a) ​ ​(__ ​4​  ​ der komplette Zähler 3a zu quadrieren ist. Deshalb muss 3a in Klammern gesetzt werden. 3 3 3 3 3 3 3 ( 2) 3 _ _ 2 b) ​(​   ​ · xy ​z​​​  ​)​  ​  =  ( ​ ​   ) ​ ​  ​ · ​x​  ​ · ​y​  ​ · ​​​z​​​  ​​  ​ Es muss zunächst jeder einzelne Faktor des Produkts _​   ​ xy ​z​ 2​ mit der 3a 2



​(3a)​​ 2​

9a​​​​​ ​​ 2​

2 2 ​3​ 3​ 3 3 2·3 __ = ​  3 ​ · ​x​  ​ · ​y​  ​ · ​z​​​  ​ ​2​  ​ 27 3 3 6 = ​ __ 8 ​  · ​x​  ​ · ​y​  ​ · ​z​​​  ​

3a

2

3

Zahl 3 potenziert werden. Der Faktor _​ 2 ​wird mit 3 potenziert, indem

der Zähler und Nenner mit 3 potenziert werden. Der Faktor z2 wird unter Verwendung der Regel »Potenzieren von Potenzen« mit der Zahl 3 potenziert.

Aufgaben: 1. Potenzieren Sie folgende Produkte beziehungsweise Quotienten. a) ​ ​ __ ​ 3 ​ )​  ​​ ( ​b​​​ 4​

3

b) ​​(​4 xy)​ n​​​​

c) ​​​(_ ​ 4 ​ · a · b · ​c​​​ 4​)​  ​​ 1

2

d) ​​( ​ ___ ​  3   ​ )​  ​ 4 x ​y​ 2​

2

2. Ermitteln Sie die jeweilige Basis der Potenzen. ⇔

a) ​ 4 ​a​​​ 2​ ​ c) 4 ​x​ 2​ ​y​ 2​ ​z​​​ 4​ 2 2

16 ​a​​​  ​ ​b​​​  ​ 49 ​c​​​  ​

_____ e) ​ ​  ​   ​ 4   

​( .  .  .)​​ 2​​

⇔

​( .  .  .)​​ 2​

⇔

​( .  .  .)​​ 2​

b) ​​x​ 3​ ​y​ 3​ ​z​​​ 6​y 3

8 ​a​​​  ​

___ d) ​ ​ 27 ​  ​

⇔

​ ​( .  .  .)​​ 3​

⇔

​ ​( .  .  .)​​ 3​

3. Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck. Nennen Sie für jeden Vereinfachungsschritt das entsprechende Rechengesetz. ​ ​   2  ​ · 4 ​x​  ​)​  ​ ( 2 ​x​  ​ 5 ___

3

2

33

1.6 Rechnen mit Potenzen

Aufgaben: 4. Eine Mitschülerin hat Fragen zu folgender Rechnung. Beantworten Sie diese. (1)  ( ​_ ​ 4 ​ x)​  ​ · ​​(_ ​ x )​ ​  ​ + ​ __ 2 x  ​ 3

3

4

1

27

1

3

3

(2) = ​__  64 ​ · ​x​ 3​ · ​ __   ​ + ​ __  ​ ​x​ 4​ 2 x 3

27 1

(3) = ​__  64 ​ · ​ _x ​ + ​ __ 2 x  ​ 27

1

•  In Zeile (2) müsste doch eigentlich 14 im Zähler des Bruchs __ ​ ​x​ 4 ​​​ stehen? 1

•  Wie kommt man in Zeile (3) auf _ ​ x ​​  ?

96

(4) = ​___  64 x   ​ + ​ ___ 64 x   ​ 27 + 96

27 3 • Welche Potenzgesetze wurden in Zeile (2) angewandt, um auf ​ __   ​· ​x​  ​​ 64 zu kommen?

123

(5) =  _____ ​  64 x      ​ = ​ ___ 64 x  ​

3

96

•  Warum wurde in Zeile (4) aus __ ​ 2 x  ​​ ​___ ​ 64 x   ​​gemacht?

Lernkarte: Besondere Exponenten Es existiert eine Reihe von Exponenten, die eine besondere Bedeutung haben. Exponent 0

• ​​4​ 0​  =  1​

Jede Potenz mit dem Exponenten 0 und einer Basis ungleich 0 hat den Wert 1.

• ​​a​​​ 0​  =  1​ • ​​(2 x)​​ 0​  =  1​

Exponent 1

• ​4  =  ​4​ 1​

Alle Zahlen und Variablen, die keinen explizit angegebenen Exponenten besitzen, haben den Exponenten 1.

• ​​a​​​ 1​  =  a​​

Negativer Exponent

1 1 5​ ​  ​ 1 ​  3  ​ • ​​x​ −3​  =  __ ​x​  ​ 1 1 ​   2   ​  =  ___ ​   2  ​ • ​​(2a)​​ −2​  =  ____ ​(2a)​​  ​ 4 ​a​ ​​ ​ 1 2 • ​2 ​a​​​ −2​  =  2 · ​ __2  ​  =  __ ​  2  ​ ​a​​​  ​ ​a​​​  ​

Jede Potenz mit negativen Exponenten lässt sich in einen Bruch umschreiben. 1

​a​​​ −n​​  =  __ ​ ​a​​​ n​  ​​

Ein Bruch als Exponent Jede Potenz mit einem Bruch als Exponenten lässt sich nach folgendem Muster in einen Wurzelausdruck umschreiben. (mehr dazu auf späteren Lernkarten) n __ ​ m  ​

m

__

​a​​​  ​  =  ​√  ​a​​​  ​   n​

• ​xy  =  ​x​ 1​ ​y​ 1​ ​  2  ​  =  __ ​ 25  ​ • ​​5​ −2​  =  __

1 _

2

__

4 _

5

__

__

​  5 ​  • ​​5​ ​ 2 ​ ​ =  ​√  ​5​ 1​    =  √ • ​​x​ ​ 5 ​ ​ =  ​√  ​x​ 4​  4

__

5

__

7 _

• ​​√  ​a​​​ 7​    =  ​a​​​ ​ 4 ​​ 3 _

• ​​√  ​2​ 3​    =  ​2​ ​ 5 ​​

34

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

1.7 Die Binomischen Formeln Lernkarte: Die erste Binomische Formel Die Binomischen Formeln sind zeitsparende Rechenhilfen. Die erste Binomische Formel gibt an, wie die Summe ​(a + b)​quadriert wird. ​(y + 5)​​ 2​ =  ​y​ 2​ + 2 · y · 5 + ​5​ 2​ =  y​ ​ 2​ + 10y + 25​

Erste Binomische Formel Die Summe ​(a + b)​wird nach folgender Formel quadriert:

​(a + 4)​​ 2​ =  ​a​​​ 2​ + 2 · a · 4 + ​4​ 2​ =  ​a​​​ 2​ + 8a + 16​

​(a + b)​​ 2​  =  ​a​​​ 2​ + 2 · a · b + ​b​​​ 2​​ Hinweis

Die Summe (a + b) muss nicht zwingend mithilfe der ersten Binomischen Formel quadriert werden. ​(a + b)​​ 2​​ist nämlich ausführlich geschrieben (​a + b) · (a + b)​. Multipliziert man die Klammern aus und fasst anschließend zusammen, erhält man ebenfalls das richtige Ergebnis. ​(a + b)​​ 2​ =  (a + b)  · (a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = ​a​​​ 2​ + 2ab + ​b​​​ 2​ Der wesentliche Vorteil der Binomischen Formeln gegenüber dem eben geschriebenen Vorgehen ist die Zeitersparnis. Mithilfe der ersten Binomischen Formel lässt sich nämlich die Summe (a + b) in einem Rechenschritt ausmultiplizieren. ​(a + b)​​ 2​  =  ​a​​​ 2​ + 2ab + ​b​ ​​ 2​ Beispielaufgabe Lösen Sie die Potenzen mithilfe der Binomischen Formeln auf. c) ​​( ​_ ​ 4 ​ ​x​ 2​ + 4y)​  ​

b) ​​​(2a + ​ _2 ) ​ ​  ​​ 1 2

a) ​ ​(p + 4)​​ 2​​

2

3

a) ​(p + 4)​​ 2​  =  ​p​​​ 2​ + 2 · p · 4 + ​4​ 2​

= ​p​​​ 2​ + 8p + 16​

b) ​(2a + ​ _2 ) ​ ​  ​ =  ​(2a)​​ 2​ + 2 · 2a · ​ _2 ​ + ​​(_ ​ 2 ) ​ ​  ​ 1 2



1

1 2

1

=  4 ​a​​​ 2​ + 2a + ​ _4 ​



1

Der erste Summand der Summe 2​ a + ​_  2 ​ist 2a. Dieser muss gesamt quadriert werden. Daher wird er nach der Anwendung der ersten Binomischen Formel in Klammern geschrieben.

c)​  ​ ( ​_ ​ 4 ​ ​x​ 2​ + 4y)​  ​ =  ​(_ ​ 4 ​ ​x​ 2​)​  ​ + 2 · ​ _4 ​ ​x​ 2​ · 4y + ​(4y)​​ 2​ 3

2



3

2

3

9

=  __ ​ 16  ​ x​ ​ 4​ + 6 ​x​ 2​ y + 16 ​y​ 2​

Faktenwissen

Begründung:

Mithilfe der ersten Binomischen Formel können auch Ausdrücke vom Typ ​(− a − b)​​ 2​​ aufgelöst werden.



=  ​(− 1)​​ 2​ · ​(a + b)​​ 2​



=  1 · ( ​a​​​ 2​ + 2ab + ​b​​​ 2​)

​(− a − b)​​ 2​  =  ​a​​​ 2​ + 2ab + ​b​​​ 2​​



=  ​a​​​ 2​ + 2ab + ​b​​​ 2​

​(− a − b)​​ 2​ =  ​[− 1 · (a + b)]​ 2​

35

1.7 Die Binomischen Formeln

Aufgaben: 1. Lösen Sie folgende Potenzen mithilfe der ersten Binomischen Formel auf. Verzichten Sie auf die Verwendung des Taschenrechners. a) ​ (​x + 2y)​ 2​​

c) ​​​(_ ​ 4 ​ + x)​  ​​ 1

b) ​​​(4 + a)​ 2​​ f) ​​​(_ ​ 2 ​ x + ​ _4 ​ y)​  ​​

2

5

(​​x​ 2​ + 10)​  ​​ e) ​

3

2

2

d) ​​(​5 + ab)​ 2​

g) ​​​(_ ​ 2 ​ ​b​​​ 2​ + 6)​  ​​ 1

2

h) ​​(​− 5 x − 4y)​ 2​

2. Bestimmen Sie den Wert des jeweiligen Platzhalters. (x + 10)2

⇔

x2 + …x + 100

(a + 7)2

⇔

a2 + 14… + …

(10 +…)2

⇔

100 + 100 x + …

(… + …)2

⇔ … + 64 x + 4 x2 3

1

(​​ __2 ​​  + …)2

⇔ … + ​​ __5 ​​  x + … x2

3. Beurteilen Sie die Richtigkeit der folgenden Rechnung. Begründen Sie Ihre Angabe. 2 5 5 5 ​_ ​ 2 ​ x + 4 ​x​ 3​)​  ​ =  ​ _2 ​ ​x​ 2​ + 2 · ​ _2 ​ x · 4 ​x​ 3​ + 4 ​x​ 6​ ( 5 =  _ ​ 2 ​ ​x​ 2​ + 20 ​x​ 4​ + 16 ​x​ 6​

4. Ein Mitschüler versteht die Begründung nicht, warum auf den Ausdruck ​( − a − b)​​ 2​die erste Binomische Formel angewandt werden darf. Er hat dazu folgende Fragen. Beantworten Sie diese. (1)  ​(− a − b)​​ 2​ = ​[​ − 1  · (a + b)]​ 2​ 2

(2)  =  ​(− 1)​​  ​ · ​(a + b)​​  ​ 2

(3) = 1 · ( ​a​​​ 2​ + 2ab + ​b​​​ 2​) 2

2

(4) = ​a​​​  ​ + 2ab + ​b​ ​​ ​

• Was genau wird mathematisch gesehen im ersten Schritt (1) gemacht? • Welche Rechenregel wird verwendet, um von [​ − 1 · (a + b)]​ 2​auf ​(− 1)​​ 2​ · ​(a + b)​​ 2​zu kommen?

36

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Lernkarte: Die zweite Binomische Formel Die zweite Binomische Formel gibt an, wie die Differenz (​a − b)​quadriert wird. Zweite Binomische Formel Die Differenz ​(a − b)​wird nach folgender Formel quadriert: 2

2

2

​(a − b)​​  ​  =  ​a​​​  ​ − 2 · a · b + ​b​​​  ​​

​(y − 5)​​ 2​ =  ​y​ 2​ − 2 · y · 5 + ​5​ 2​ = ​y​ 2​ − 10y + 25​ ​(a − 4)​​ 2​ =  ​a​​​ 2​ − 2 · a · 4 + ​4​ 2​ = ​a​​​ 2​ − 8a + 16​

Beispielaufgabe Lösen Sie die Potenzen mithilfe der zweiten Binomischen Formel auf. a) ​ ​(a − 3)​​ 2​​

b) ​​​(2 x − 5)​ 2​​

c) ​​( ​_ ​ 2 ​ b − ​ _2 ) ​ ​  ​ 3

5 2

a) ​(a − 3)​​ 2​ =  ​a​​​ 2​ − 2 · a · 3 + ​3​ 2​ = ​a​​​ 2​ − 6a + 9​ b) ​(2 x − 5)​ 2​ =  ​(2 x)​​ 2​ − 2 · 2 x · 5 + ​5​ 2​ = 4 ​x​ 2​ − 20 x + 25​ 2 3 5 2 3 3 5 5 2 c) ​(_ ​ 2 ​ b − ​ _2 ) ​ ​  ​ =  ( ​_ ​ 2 ​ b)​  ​ − 2 · ​ _2 ​ b · ​ _2 ​ + ​​(_ ​ 2 ) ​ ​  ​



9

15

25

__ = ​ _4 ​ ​b​​​ 2​ − ​ __ 2 ​  b + ​ 4 ​ ​



Aufgaben: 1. Fassen Sie die Terme zusammen. Benutzen Sie, wenn möglich, die Binomischen Formeln. a) ​ 8 − 2 · ​​(x − 2)​ 2​ − 4 x​

b) ​​​(a − 2)​ 2​ + ​(2 − a)​​ 2​

__ c) ​ ​ 16  ​ + ​​(_ ​ 2 ​ x − ​ _4 ) ​ ​  ​ − ​ _4 (​3 − x)​​

d) ​− ​(3 x + 7)​ 2​ + 2 · ​​(2 − 2 x)​ 2​

3

3

1

2

1

2. Bestimmen Sie den Wert des jeweiligen Platzhalters. a) ​(x − 5)​​ 2​ 

⇔

 ​x​ 2​ − …x + 25

b) ​(p − 1)​​ 2​ 

⇔

 ​p​​​ 2​ − 2… + …​​

c) ​(4 − …)​​ 2​ 

⇔ … − 32y + …

d) ​(… − …)​​  ​ 

⇔ … − 30 x + 25 ​x​ 2​

2

1

e) (​ ​_  2 ​ − …)​​ 2​ 

6

⇔ … − ​_  5 ​ x + ​…x​​ 2​

37

1.7 Die Binomischen Formeln

Lernkarte: Die dritte Binomische Formel Dritte Binomische Formel

​(x − 5)  · (x + 5) =  ​x​ 2​ − ​5​ 2​

Die dritte Binomische Formel gibt das Ergebnis der Multiplikation zweier Klammerausdrücke an, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden.



= ​x​ 2​ − 25​

​(2 x − 3)  · (2 x + 3) =  ​(2 x)​​ 2​ − ​3​ 2​ = 4 ​x​ 2​ − 9​



​(a − b)  · (a + b)   =  ​a​​​ 2​ − ​b​ ​​ 2​​

Hinweis Analog zur ersten und zweiten Binomischen Formel könnte der Klammerausdruck (​a − b)  · (a + b)​ einfach ausmultipliziert und anschließend zusammengefasst werden. Das Ergebnis wäre ebenfalls ​a​​​ 2​ − ​b​​​ 2​​. ​(a − b)  · (a + b) =  a · a + a · b − b · a − b · b =  ​a​​​ 2​ − ​b​​​ 2​ Mithilfe der dritten Binomischen Formel lässt sich jedoch ohne umfangreiche Rechnung das Ergebnis der Multiplikation der Klammerausdrücke ​(a − b)  · (a + b)​ angeben. ​(a − b)  · (a + b)   =  ​a​​​ 2​ − ​b​​​ 2​ Beispielaufgabe Wenden Sie die dritte Binomische Formel auf die Klammerausdrücke an. 1

1

b) ​( ​ _2 ​ − y)  · ( ​ _2 ​ + y)​

a) ​ (x − 2)  · (x + 2)​

c) ​( ​x​ 2​ + 4y)  · ( ​x​ 2​ − 4y)​

a) ​ (x − 2)  · (x + 2)   =  ​x​ 2​ − ​2​ 2​  =  ​x​ 2​ − 4​ b) ​( ​ _2 ​ − y)  · ( ​ _2 ​ + y)   =  ​(_ ​ 2 ) ​ ​  ​ − ​y​ 2​  =  _ ​ 4 ​ − ​y​ 2​ 1

1

1 2

1

c) ​ ( ​x​ 2​ + 4y)  · ( ​x​ 2​ − 4y)   =  ​( ​x​ 2​)​ 2​ − ​(4y)​​ 2​  =  ​x​ 4​ − 16 ​y​ 2​ Rechentipp Häufig muss das dritte Binom ​(a − b)  · (a + b)   =  ​a​​​ 2​ − ​b​​​ 2​ von rechts nach links angewandt werden. ​(a − b)  · (a + b)   ←  ​a​​​ 2​ − ​b​​​ 2​

9​  − ​x​ 2​ =  ​3​ 2​ − ​x​ 2​ =  (3 − x)  · (3 + x)​ 2​ 5 − (​xy)​​ 2​  =  ​5​ 2​ − ​(xy)​​ 2​ =  (5 − xy)  · (5 + xy)​

Aufgabe: Wenden Sie die dritte Binomische Formel an. a) ​ (​x + 2y)​ · ​(x − 2y)​​

b) ​​(3 + 2a)​ · (2a − 3)​

36

2 c) ​​ __ 25 ​ − ​x​  ​

38

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

1.8 Rechnen mit Wurzeln Lernkarte: Rechnen mit Wurzeln Jeder Wurzelausdruck lässt sich in eine Potenz umschreiben. Somit führt das Rechnen mit Wurzeln auf das Rechnen mit Potenzen. Faktenwissen

m

__

4

__

6

__

4 _

5 _

6 _

• ​​√  ​a​​​ 6​    =  ​a​​​ ​ 6 ​ ​ =  ​a​​​ 1​  =  a​​

__

Im Wurzelterm ​√  ​a​​​ n​​  wird m als Wurzelexponent und der Ausdruck unter der Wurzel als Radikand bezeichnet. Ist ​m = 2​, nennt man die zugehörige Wurzel Quadratwurzel. In diesem Fall verzichtet man auf die Angabe des Wurzelexponenten. 2

__

• ​​√  ​3​ 5​    =  ​3​ ​ 4 ​​

Die m-te Wurzel aus ​a​​​​ n​​​​lässt sich folglich als n __ ​a​​​ ​ m  ​​​ schreiben. Begriffe

3

• ​​√  ​a​​​ 4​    =  ​a​​​ ​ 3 ​​

Eine Wurzel lässt sich nach folgendem Muster in eine Potenz überführen. m __ n __ ​√  ​a​​​ n​​    =  ​a​​​ ​ m  ​​

​ __

4 _

​ __

3 _

• √ ​​ ​a​​​ 4​    =  ​a​​​ ​ 2 ​ ​ =  ​a​​​ 2​​

√​  ​2​ 3​    =  ​2​ ​ 2 ​​​ • ​ ​ __

1 _

√​  x ​   =  ​x​ ​ 2 ​​​ • ​

__

​√  ​a​​​ n​​    =  √ ​  ​a​​​ n​​ ​  Regel Zwei Wurzelausdrücke mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem ihre Radikanden multipliziert werden. n

__

n

__

n

____

​√  x ​  · ​√  y ​   =  ​√  x · y ​ 

Herleitung: n

__

n

__

1 __

1 __

​√  x ​  · ​√  y ​   =  ​x​ ​ n ​ ​ · ​y​ ​ n ​​ 1 __

n

____

= ​​(x · y)​ ​ n ​ ​ =  ​√  x · y ​ 



Regel Zwei Wurzelausdrücke mit gleichem Wurzelexponent werden dividiert, indem ihre Radikanden dividiert werden. __ n __ n x ​√  x ​  __ ​ n __ ​  =  ​   _​y ​ 

​√  y ​ 

Faktenwissen

√

Herleitung: __

n

1 __

____

__ n __ ​√  x ​  · ​√  y ​  =

n

n

____

​√  x · y ​ ist es möglich, Gemäß der Regel eine Wurzel nur teilweise zu ziehen. Man spricht vom sogenannten teilweisen Radizieren. Dies findet vor allem beim Bruchrechnen Anwendung.

___

1 __

n x ​√  x ​  ​x​ ​ n ​​ x ​ n ​ __ ​  __​ 1  ​​  =  (​ _​ y )​ ​  ​  =  ​   ​(_​ y )​ ​ ​  ​ n __ ​  =  __ ​√  y ​  ​y​ n ​

√

______

___

___

___

​√ 504  ​  =  √ ​  36 · 14 ​  =  ​√ 36  ​ · ​√ 14  ​  =  6 · ​√ 14  ​ __

_____

__

__

__

√ ​  8 ​   =  √ ​  4 · 2 ​  =  ​√ 4 ​  · ​√ 2 ​   =  2 · ​√ 2 ​  ___

__

__

__

__ ​√ 4 ​  · ​√ a ​  2 · ​√ a ​  ​√ 4a  ​ __ ​  2   ​  =  ​ ____ ​  =  ​ ____  ​  =  √ ​  a ​​  2    2   

Rechentipp Um komplizierte Wurzelausdrücke zusammenzufassen, ist es empfehlenswert alle Wurzeln in Potenzen umzuwandeln und mithilfe der Potenzgesetze den Term zu vereinfachen. Abschließend kann der vereinfachte Term wieder in einen Wurzelausdruck umgeformt werden.

_____ __ ​ __

1 _ 1  ​3 ​ _

1 _ 1  ​3 ​ _

​√ √ ​ a ​  · ​√ 3 ​   =  ​(​a​​​ ​ 2 ​ ​ · ​3​ ​ 2 ​ ​)​  ​  =  (​ ​(3a)​​ ​ 2 ​)​ ​  ​ 3



1 _

1  _  1 _

1 _

6

___

=  ​(3a)​​ ​ 2 ​   ·  ​ 3 ​ ​ =  ​(3a)​​ ​ 6 ​ ​ =  ​√  3a  ​

39

1.8 Rechnen mit Wurzeln

Beispielaufgabe Fassen Sie die Terme zusammen. Radizieren Sie die Wurzelterme teilweise, falls möglich. ​b)​ ​​​ ____ ​  __    ​  ​  ​ ( 3​√  ​a​ 2​   )

__ __ ​√ 8 ​  2

a)​ ( ​​​ ​√  2 ​  · ​ __ 2 ​ )​  ​ 3

__

3

__

__

3

​√  a ​  · ​√  4 ​ 

__

6

​  8 ​  2 ​  2 ​  √ __  ​ ​  ​ a) ​(​√  2 ​  · ​ __ 2 ​ )​  ​ =  ​(​  2 ​  · ​  2   ) 3

__ √

2

__

3

2

√



= ​​(​√  2 ​  · ​√ 2 )​  ​  ​  =  (​​2​ ​ 3 ​ ​ · ​2​ ​ 2 )​​ ​  ​



= ​​(​2​ ​ 3 ​+​ 2 )​​ ​  ​  =  (​​2​ ​ 6 ​+​ 6 )​​ ​  ​  =  (​​2​ ​ 6 )​​ ​  ​



= ​2​ 2 · ​ 6 ​ ​ =  2​ ​ ​ 3 ​​



= ​√  ​2​ 5​  

3

__

__ 2

3 2 2 _ _

1 _ 1 2 _ 5 _

3

__

1 2 _

1 _

Bei dieser Rechnung wurde __√ ​  8 ​ teilweise radiziert.

5 2 _

2 ​√ 2 ​ 

Dadurch kann der Bruch ​ __ 2    ​gekürzt werden. __

__

3

__

​√  a ​  · ​√  4 ​ 

6

__

__

__

​  4 · 2 ​  =  ​√ 4 ​  · ​√ 2 ​   =  2 ​√ 2 ​  ​√ 8 ​   =  √

5 _

__

b) ​ ____ ​  __    ​  ​  ​ =  ( ​ _____ ​  _​ 2  ​    ​ ​  ​  =  (​​a​​​ ​ 3 ​ − ​ 3 ​ ​ · ​4​ ​ 3 )​​ ​  ​ ( 3​√  ​a​​​ 2​   ) ​a​​​ 3 ​ ) 3

_____

1 _

1 _

​a​​​ ​ 3 ​ ​ · ​4​ ​ 3 ​​ 1 _

1 6 _

6 _

1 _

6

1 _

1 6 _

2 _

1 6 _

1 6 _





= ​​(​a​​​ −​ 3 ​ ​ · ​4​ ​ 3 ​)​ ​  ​  =  (​​a​​​ − ​ 3 ​)​ ​  ​ · ​​(​4​ ​ 3 ​)​ ​  ​





= ​a​​​ − ​ 3 ​ ​ · ​4​ ​ 3 ​·6​  =  ​a​​​ −2​ · ​4​ 2​





= 16 · ​ __2  ​  =  __ ​  2  ​

Durch das strikte Umwandeln der Wurzeln in Potenzen wird aus dem Rechnen mit Wurzeln Rechnen mit Potenzen.

16 ​a​​​  ​

1 a​ ​​​  ​

Aufgaben: 1.​ ​Fassen Sie die Wurzeln zu einer Wurzel zusammen. 3

__

3

__

5

a)​ ​​​√  2 ​  · ​√  4 ​​  

__

5

__

__

​√ x ​  c)​ ____ ​​​ √__ √ __   ​ ​

b)​ ​​​√  a ​  · ​√  6 ​​  

n

​  2 ​  · ​  3 ​  __

__

3

__

d)​ ​​​√  2 ​  · ​√  2 ​ 

__

n

__ n​

2.​ ​Zeigen Sie mithilfe der Potenzgesetze, dass gilt: √ ​  a ​  · ​√ a ​ = a​​und (​​√  a ​) ​  ​= a​​ n

__

m

__

__ √  a ​ 

n + m

3.​ ​Eine Mitschülerin behauptet fälschlicherweise, dass allgemein gilt: ​​√  a ​  · ​√  a ​   =  ​

Widerlegen Sie diese Aussage mit einem Gegenbeispiel. Benutzen Sie gezielt Ihren Taschenrechner. 4. Ihnen liegt folgende Rechnung zur Überprüfung vor. Beurteilen Sie die Rechnung bezüglich Ihrer Richtigkeit und benennen Sie gegebenenfalls vorhandene Fehler. _____ __ __

1 _ 1  ​3 ​ _

__ __

​​​​√  ​√ 2 ​  · ​√ 3 ​   =  ​√  ​√ 6 ​    =  (​​6​ ​ 2 )​​ ​  ​  =  ​6​ ​ 6 ​ ​ =  1​

3

3

1 _

5.​ ​Ein Mitschüler hat Fragen zu folgendem Rechenweg. Beantworten Sie diese. ___

__

√ ​  18  ​ 3 ​√ 2 ​  ​ ​(1)​  ( ​ 2 · ​√  2 ​  · ​ __ ​ ​  ​  =  ( ​ 2 · ​√  2 ​  · ​ __  ​ ​  ​ 3   ) 3   ) 5

__

2

5

__

2

​(2)​  ​  =  ​(2 · ​√  2 ​  · ​√ 2 ​)  ​  ​  =  (​2 · ​2​ ​ 5 ​ ​ · ​2​ ​ 2 ​)​ ​  ​ 5

__

__ 2

1 _

1 2 _

10 __ 5 2 2 __ __

1 _ 1 2 _

​(3)​  ​  =  (​​2​ 1+​ 5 ​+​ 2 ​)​ ​  ​  =  (​​2​ ​ 10 ​+​ 10  ​+​ 10  ​)​ ​  ​ 17 2 __

​(4)​  ​  =  (​​2​ ​ 10 ​)​ ​  ​  =  ​2​ 2·​ 10 ​ ​ =  ​2​ ​ 5 ​ ​ 5

17 __

17 __

___

​(5)​  ​  =  ​√  ​2​ 17​  

__

3 ​√ 2 ​ 

•  Wie kommt man in Zeile (1) auf ​__   3    ​​?

1 2 _

1 _ 1 2 _

•  Welches Rechengesetz wurde verwendet, um von ​(2 · ​2​ ​ 5 ​ ​ · ​2​ ​ 2 ​)​ ​  ​auf (​​2​ 1+​ 5 ​+ ​2 ​)​ ​  ​zu kommen? 1 _

17 2 __

•  Wie kommt man in Zeile (4) von (​​2​ ​ 10 ​)​ ​  ​auf ​2​ 2 · ​ 10 ​​​ ? 17 __

•  Kann es sein, dass man zum Rechnen mit Wurzeln eigentlich die ganzen Potenzgesetze benötigt?

40

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

1.9 Aussagenlogik Lernkarte: Aussagen und Aussagenlogik Eine Menge von Problemen aus den verschiedensten Bereichen des menschlichen Wirkens führen zu Aussagen, die als Verknüpfung von einfachen Sätzen angesehen werden können. Die Aussagenlogik versucht festzustellen, wie die Wahrheitswerte dieser Sätze von den Wahrheitswerten ihrer Teilsätze abhängen. Regel Die Logik beschränkt sich auf Sätze, von denen sich angeben lässt, ob sie wahr (w) oder falsch (f) sind. Diese Sätze heißen Aussagen und die Symbole »w« und »f« heißen Wahrheitswerte

•  »Heute ist Freitag.« •  »Heute ist »Schule.« •  »Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°.«

Beispielaufgabe: Analysieren Sie folgende Sätze und geben Sie die Wahrheitswerte an: a) »Heute ist Freitag.« b) »Heute ist Schule.« c) »Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°.« Lösung: a) Der Satz »Heute ist Freitag« ist an einem Tag in der Woche eine wahre Aussage (w), für die anderen sechs Tage eine falsche Aussage (f). b) Der Satz »Heute ist Schule« ist an den Tagen in der Woche eine wahre Aussage (w), an denen Schule ist, evtl. am Samstag (je nach Schultyp) und am Sonntag eine falsche Aussage (f). c) Der Satz »Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°« ist eine wahre Aussage (w). Merkregel bei Aussagen: Wird einem Satz A ein Wahrheitswert wahr (w) oder falsch (f) eindeutig zugeordnet, so entsteht eine Aussage. Aufgaben: 1. Handelt es sich bei folgenden Sätzen um Aussagen? a) »Wie geht es Dir?« b) »Die Donau fließt in das Schwarze Meer.« c) »Der Mond ist ein Erdtrabant.« d) »Der Mond ist ein Fixstern.« 2. Erörtern Sie folgende Sätze nach ihrem Wahrheitswert. a) »Alle Vierecke sind Rechtecke.« b) »Die Winkelsumme im Viereck beträgt 360°.« c) »Ein Viereck mit vier rechten Winkeln ist ein Quadrat.« d) »Wie geht es Dir?« 3. Welche der folgenden Aussagen sind falsch? a) »Durch Reibung entsteht Wärme.« b) »Jedes Auto hat einen Dieselmotor.« 4. Wie hängt der Wahrheitswert der Verneinung vom Wahrheitswert des ursprünglichen Satzes ab?

41

1.9 Aussagenlogik

Lernkarte: Aussagenverknüpfungen Die Verknüpfungen bei den Grundrechenarten sind Verknüpfungen von Zahlen. In der Logik werden nicht Zahlen, sondern Aussagen miteinander verknüpft. Konjunktion (UND-Verknüpfung) Bei der Konjunktion zweier Aussagen A und B ist folgendes vereinbart: Sind beide Teilaussagen wahr, so ist auch ihre Konjunktion wahr. Ist eine der beiden Aussagen falsch oder beide, so ist auch die Konjunktion falsch. Dies kann in einer Tabelle veranschaulicht werden.

A

B

A∧B

w

w

w

w

f

f

f

w

f

f

f

f

Beispielaufgabe

+ 24 V

Die Schalter A und B sind hintereinander (in Reihe) geschaltet und schließen bei Betätigung den Stromkreis zu einer Lampe (Bild 1).

3 A 4 3

Es werden folgende Aussagen betrachtet: A: Der Schalter wird betätigt.

B 4

B: Der Schalter wird betätigt. Beschreiben Sie die Konjunktion bezüglich der Aussagen A und B. 0V

Bild 1: Stromkreis

Lösung: Der Stromkreis wird geschlossen und die Lampe brennt, wenn A und B betätigt werden. Der Stromkreis bleibt unterbrochen, wenn nur A betätigt wird und B nicht betätigt wird oder wenn A nicht betätigt wird und nur B betätigt wird oder wenn A und B nicht betätigt werden.

Für die Konjunktion gilt: Verknüpft man zwei Aussagen A und B durch das Wort »UND«, so entsteht eine Aussage, die man die Konjunktion der Aussagen A und B nennt. Die Konjunktion wird symbolisch mit ​A ∧ B​ (lies: A und B) dargestellt.

42

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Disjunktion (ODER-Verknüpfung) Bei der Disjunktion zweier Aussagen A und B ist Folgendes vereinbart: Ist eine der Teilaussagen wahr oder sind beide Teilaussagen wahr, so ist auch ihre Disjunktion wahr. Sind beide Aussagen falsch, so ist auch die Disjunktion falsch. Dies kann in einer Tabelle veranschaulicht werden.

A

​B​

​A ∧ B​

w

w

w

w

f

w

f

w

w

f

f

f

Beispielaufgabe:

+ 24 V

Die Schalter A und B sind nebeneinander (parallel) geschaltet und schließen bei Betätigung den Stromkreis zu einer Lampe (Bild 1).

3 A

Es werden folgende Aussagen betrachtet:

3 B 4

4

A: Der Schalter wird betätigt. B: Der Schalter wird betätigt. Beschreiben Sie die Disjunktion bezüglich der Aussagen A und B. 0V

Bild 1: Stromkreis

Lösung: Der Stromkreis wird geschlossen und die Lampe brennt, wenn A betätigt wird und B betätigt wird oder wenn nur A betätigt wird und B nicht betätigt wird oder wenn A nicht betätigt wird und nur B betätigt wird. Der Stromkreis bleibt unterbrochen, wenn A nicht betätigt wird und B nicht betätigt wird. Für die Disjunktion gilt: Verknüpft man zwei Aussagen A und B durch das Wort »ODER«, so entsteht eine Aussage, die man die Disjunktion der Aussagen A und B nennt. Die Disjunktion wird symbolisch mit ​A ∨ B​ (lies: A oder B) dargestellt.

Negation (NICHT-Verknüpfung) Wird ein Satz oder eine Aussage A verneint, _ so entsteht ein neuer Satz oder eine neue Aussage ​A​​,  die als Negation des Satzes oder der Aussage bezeichnet wird. Dies kann in einer Tabelle veranschaulicht werden.

A

_ A ​ ​  ​ 

w

f

f

w + 24 V

Beispielaufgabe

1

Mit einem Schalter A wird der Stromkreis zu einer Lampe (Bild 2) geschlossen oder geöffnet.

A 2

Es werden folgende Aussagen betrachtet: A: Der Schalter wird betätigt. _ A​ ​ ​:  Der Schalter wird nicht betätigt. Beschreiben Sie die Negation bezüglich der Aussagen.

0V

Bild 2: Stromkreis

43

1.9 Aussagenlogik

Lösung: Wird der Schalter A betätigt, so wird der geschlossene Stromkreis unterbrochen und die Lampe brennt nicht. Wird der Schalter A NICHT betätigt, so brennt die Lampe. Für die Negation gilt:

_ Durch die Verneinung eines Satzes oder einer Aussage A entsteht ein Satz oder eine Aussage A​ ​ ​ (lies: nicht A), die man die Negation der Aussage oder des Satzes nennt. Die Negation einer wahren Aussage ist falsch, die Negation einer falschen Aussage ist wahr. Aufgaben: 1. In einem Mathematikbuch findet man häufig Sätze, die Verknüpfungen einfacher Sätze sind. Lassen sich folgende Sätze in einfache Sätze zerlegen und welche Verknüpfung liegt vor? a) 3 ist eine ungerade Zahl. b) 6 ist eine gerade Zahl und kleiner als 8. 2. Wegen der finanziellen Lage in den entsprechenden Kassen sagt der Ministeriumssprecher folgende zwei Sätze: Satz 1: Der Minister schlägt vor, die Lohnsteuer zu erhöhen. Satz 2: Der Minister schlägt vor, die Einkommenssteuer zu erhöhen. a) Bilden Sie die Konjunktion beider Sätze. b) Bilden Sie die Disjunktion beider Sätze. c) Bilden Sie die Verneinung der beiden Sätze. d) Diskutieren Sie in der Gruppe die Folgen der Verknüpfungen. 3. Zerlegen Sie folgende Verknüpfungen in ihre Bestandteile, bezeichnen Sie die Sätze mit Großbuchstaben und schreiben Sie die Verknüpfungen in symbolischer Form: a) Der Betriebsumsatz geht zurück, trotzdem ist der Betrieb rentabel. b) Entweder verzichten die Mitarbeiter auf eine Lohnerhöhung oder der Betrieb wird konkursreif. 4. Das Licht in einem Hausflur kann von den Stellen A und B sowohl eingeschaltet werden, wenn es nicht an ist, als auch ausgeschaltet werden, wenn es an ist. a) Realisieren Sie den Sachverhalt in einer Tabelle. b) Schreiben Sie den Sachverhalt in symbolischer Form. 5. In einem langen Autotunnel sind drei Lüfter L1, L2 und L3 installiert. An exponierten Stellen im Tunnel befinden sich drei Rauchgasmelder R1, R2 und R3. Gibt ein Rauchgasmelder Signal (w), so muss Lüfter L1 laufen. Geben zwei Rauchgasmelder Signal (w), so sind Lüfter L2 und L3 einzuschalten. Geben alle drei Rauchgasmelder Signal (w), so müssen alle drei Lüfter laufen. a) Übertragen Sie die Tabelle auf ein Blatt Papier und tragen Sie die Verknüpfung (w) oder (f) für die Lüfter L1, L2 und L3 ein.

R1

R2

R3

w

w

w

w

w

f

b) Geben Sie den Sachverhalt für L1 in symbolischer Form an.

w

f

w

w

f

f

f

w

w

f

w

f

f

f

w

f

f

f

L1

L2

L3

44

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

1.10 Mengenlehre Lernkarte: Allgemeine Informationen zu Mengen In mathematischen Teilgebieten wie z. B. der Stochastik (Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung) ist die Mengenlehre Grundlage zur Lösungsfindung. Regel Eine Menge ist dann festgelegt, wenn sich von allen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens angeben lässt, ob sie zur Menge gehören oder nicht. Ein Objekt darf in der Menge nicht mehrfach als Objekt vorkommen.

• Die Menge der Schüler in der FOS-Vorklasse: Die Schüler sind wohlunterschiedene Objekte unserer Anschauung, sie sind die Elemente der Menge • Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ: Die Elemente x dieser Menge sind abstrakte Begriffe oder Objekte unseres Denkens.

Beispielaufgaben: 1. Warum wird die die Aussage »Eine Menge Feinstaub« in der Mathematik nicht als Menge angesehen? 2. Was versteht man unter dem Begriff »Leere Menge«? Lösung: 1. Der Begriff »Eine Menge Feinstaub« wird in der Mathematik deshalb nicht als Menge angesehen, da sich nicht genau angeben lässt, welche Objekte dazugehören. 2. In der Mathematik spricht man dann von einer leeren Menge, wenn kein konkretes oder abstraktes Objekt zu ihr gehört. Merkregel zu Mengen: M ist eine Menge, wenn für jedes konkrete oder abstrakte Objekt x der Satz x ∈ ​ ​ M (lies: x ist Element von M) oder x ​∉​ M (lies: x ist nicht Element von M) eine wahre oder falsche Aussage ist.

Aufgaben: 1. Begründen Sie, ob es sich bei der Aussage »Eine Menge Wasser« um eine Menge im mathematischen Sinne handelt. ___ 16  8 √ 2. Warum handelt es sich bei den abstrakten Objekten __ ​ 4 ​  ;  ​ _ 2 ​  ;  ​  16  ​ ;  4​um eine einelementige Menge?

Lernkarte: Darstellungsformen von Mengen Als Symbol für Mengen werden in der Regel Großbuchstaben A, B, C, … verwendet. Die Elemente einer Menge werden Kleinbuchstaben a, b, c, … bezeichnet und in einer geschweiften Klammer { } zusammengefasst. Folgende Darstellungen sind für eine Menge möglich Aufzählende Schreibweise Die Elemente werden in beliebiger Reihenfolge aufgezählt und mithilfe einer Mengenklammer angegeben.

M = { a; b; c; d } M = { 5; 7; 11; 13 }

45

1.10 Mengenlehre

Beschreibende Mengenschreibweise Bei zu vielen Elementen ist eine Aufzählung nicht mehr sinnvoll. In diesem Fall wird die beschreibende Mengenschreibweise gewählt.

M = {x| 10 < x < 100} Lies: M  ist die Menge aller x für die gilt: x ist größer 10 und kleiner 100

Mengendiagramme Die Mengendiagramme werden auch Venn-Diagramme (Venn, englischer Mathematiker) genannt. Man versteht darunter eine bildhafte Darstellung der Mengen durch Einkreisung der Elemente mithilfe einer geschlossenen Linie.

1 3 1 3 1 3

Beispielaufgaben 1. Geben Sie die Menge A mit A = {x|x ist Buchstabe des Wortes »Mathematik«} in aufzählender Form an. 2. Die Menge B mit B = {n|n ist positiver Teiler von 32} ist a) in aufzählender Form und b) im Venn-Diagramm anzugeben. Lösung: 1. Bei den Buchstaben des Wortes »Mathematik« kommen die Elemente a und t zweimal vor, es darf aber bei Mengen kein Objekt mehrfach vorkommen, deshalb gilt: A = {x|M; a; t; h; e; m; i; k} 2. a) Aufzählende Form: B = {n |1; 2; 4; 8; 16; 32}

b) Venn-Diagramm 32 8 16 2 1 4

Darstellung von Mengen Für eine Menge sind drei Darstellungsformen möglich: a) Aufzählende Mengenschreibweise d) Beschreibende Mengenschreibweise c) Mengendiagramme

Aufgaben: 1. Geben Sie Menge A aller positiven Teiler der Zahl 20 in aufzählender Form an und stellen Sie diese Menge in einem Venn-Diagramm dar. 2. Die Menge B enthält alle Zahlen, die größer als 5 und kleiner als 500 sind. Stellen Sie diese Menge B in beschreibender Form dar. Begründen Sie, weshalb die aufzählende Form keine geeignete Darstellungsform für diese Menge B ist.

46

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Lernkarte: Zahlenmengen

Die Standard-Zahlenmengen werden durch die Sondersymbole ℕ ​   ; ℤ  ; ℚ  ; ℝ​ gekennzeichnet. •  Menge der natürlichen Zahlen ℕ Die Menge der natürlichen Zahlen beinhaltet alle positiven ganzen Zahlen, die zum Abzählen benötigt werden.

ℕ = ​{0  ;  1;  2;  3;  4;  5  . . .}​

•  Menge der ganzen Zahlen ℤ Die Menge der ganzen Zahlen enthält die natürlichen Zahlen und alle negativen ganzen Zahlen.

​ℤ​ = ​{…  – 4  – 3;  – 2;  – 1;  0;  1;  2;  3;  4;  . . .}​

•  Menge der rationalen Zahlen ℚ Die Erweiterung der ganzen Zahlen um die Bruchzahlen ergeben die rationalen Zahlen.

​ℚ  =  ​{x | x  =  __ ​ q ​   mit  p  ∈ ℤ  und  q  ∈ ℤ\ { 0}}​ p

•  Menge der reellen Zahlen ℝ Zusätzlich zu den rationalen Zahlen existieren noch Zahlen, die als Bruchterm nicht darstellbar sind. Diese Zahlen werden als irrationale Zahlen bezeichnet, z. B. die Kreis__ zahl π oder ​√ 2 ​​ .

ℝ  = {x​ ​|​ ​x ist rational oder x ist irrational}

Beispielaufgaben 1. Geben Sie aus folgenden Zahlenmengen ​ℕ  ; ℤ  ; ℚ  ; ℝ​je ein Beispiel aus dem Alltag an. 2. Welche Aussagen sind wahr (w), welche Aussagen sind falsch (f)? a) – 3 ​∈​ ℕ b) π ​∈​ ℝ c) – 2,5 ​∈​ ℤ

e) 5 ​∈​ ℚ

2

3. Die Kreisfläche wird mit der Formel A = π ∙ r berechnet. Welche Zahlenmenge ist zur Berechnung der Fläche erforderlich? Lösung: 1. Zahlenmenge ℕ: Die Anzahl der Einwohner einer Gemeinde sind nur ganzzahlig positiv. Zahlenmenge ℤ: Wird bei den Temperaturen die Temperaturskala von Celsius zugrunde gelegt, so gibt es auch negative Temperatur werte. Zahlenmenge ℚ: Berechnungen mit Bruchtermen benötigen den Zahlenkörper Q. __ ​  2 ​​.  Zahlenmenge ℝ: Die Fläche des Quadrates beträgt A = 2 m2. Die Berechnung der Seitenlänge a ergibt: a = √ 2. a) f

b) w

c) f

e) w

3. Wegen der Kreiszahl π ist der Zahlenkörper ℝ erforderlich. Merke: Die Standard-Zahlenmengen werden durch die Sondersymbole ℕ ​   ; ℤ  ; ℚ  ; ℝ​ gekennzeichnet.

Aufgaben: __

1. Ein Mitschüler(in) behauptet: »Die Zahl 1,2 ist eine rationale Zahl. ​√ 2 ​ hingegen gehört zur Zahlenmenge der reellen Zahlen.« Geben Sie an, ob Sie dieser Aussage stimmen oder widersprechen. Begründen Sie Ihre Angabe. 2. Die Menge M enthält alle natürlichen Zahlen, die größer als 5 und kleiner als 12 sind. Stellen Sie diese Menge B in aufzählender Form dar.

47

1.10 Mengenlehre

Lernkarte: Beziehungen zwischen Mengen Wie Terme gleichgesetzt werden, können auch Mengen gleichgesetzt werden. •  Gleichheit von Mengen: A = B Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn sie genau die gleichen Elemente enthalten. Dies gilt auch, wenn eine Menge in anderer Schreibweise vorliegt oder wenn Elemente doppelt vorkommen.

•  A = B •  {2; 3; 6; 3; 4} = {2; 3; 4; 6} __

6

•  {​√ ​  4 ​  ;   ​_  2 ​ ;   2 · 3  ;   4​} = {2; 3; 4; 6}

•  Teilmengen: A ⊂ ​ ​B Mengen können miteinander verglichen werden. Ist z. B. die Menge A nur ein Teil der Menge B, so wird die Menge A als Teilmenge von B bezeichnet.

•  A ​⊂​ B •  {3; 4}​  ⊂ ​{2; 3; 4; 6}

_ •  Ergänzungsmenge (Komplementmenge): A ​ ​  ​=   G\A Ist A eine Teilmenge der Grundmenge G, so bilden diejenigen Elemente der Grundmenge G, die nicht zu A gehören, die_ Ergänzungsmenge (Komplementmenge) A​ ​ ​,  da sie die Menge A zur Grundmenge G ergänzt.

_ •  A​ ​ ​=   G\ A • Die Vorklasse G einer _FOS setzt sich aus 13 Schülern A und 11 Schülerinnen A​ ​ ​ zusammen. _ Die Schülerinnen ​A​​ sind also die Komplementmenge zu A.

Beispielaufgabe: 1. Geben Sie zur Menge A mit A = {n|n ist positiver Teiler von 16} die Menge B so an, dass gilt: A = B. 2. Bei einem Verbrechen wird am Tatort Genmaterial M1 sichergestellt. Dieses Genmaterial wird mit dem Genmaterial M2 eines Verdächtigen verglichen. Der Abgleich ist positiv.

Geben Sie das Ergebnis … a) … in symbolischer Form und b) … im Venn-Diagramm an.

3. Ein Kaffeevorrat für eine Kaffeemaschine besteht aus 62 Kapseln »Normalkaffee« und 32 Kapseln »Espresso«. Geben Sie die Grundmenge und die Ergänzungsmenge an. Lösung: 1. A = {n|n ist positiver Teiler von 16 } B = {1; 2; 4; 8; 16 } 2. a) ​​M​ 1​  ⊂  ​M​ 2​ b) Menge M1 Menge M2

3. Grundmenge G : G = {94 Kapseln} _ _ Ergänzungsmenge A​ ​ ​ : ​A​​ = {32 Kapseln »Espresso«}, falls »Normalkaffee« als Teilmenge A bezeichnet wird. _ _ Ergänzungsmenge A​ ​ ​ : ​A​​ = {62 Kapseln »Normalkaffee«}, falls »Espresso« als Teilmenge A bezeichnet wird.

48

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Aufgaben: 1. Gegeben sind die Mengen ​A = {​ 1; 2; 3; 4; 5; 6}​​, ​B = {​ 5; 6; 7; 8; 9; 10}​und ​C = {​ 1; 2; 3}​​. a) Stellen Sie die Mengen A und C in einem Venn-Diagramm dar und geben Sie an, ob C eine Teilmenge von A ist. Begründen Sie Ihre Angabe. b) Stellen Sie die Mengen A und B in einem Venn-Diagramm dar und geben Sie an, ob B eine Teilmenge von A ist. Begründen Sie Ihre Angabe. 2. Gegeben sind die Mengen R und F. Sie beinhaltet alle Regierungsbezirke Bayerns. Die Menge F lautet _ ​F = {​ Oberfranken, Unterfranken, Mittelfranken}​. Geben Sie F​ ​ ​ bezüglich der Grundmenge R an. Lernkarte: Beziehungen zwischen Mengen Zahlen können durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division miteinander verknüpft werden. Obwohl sich Mengen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Mengen mathematische Operationen anwenden. Durch diese »Mengenverknüpfungen« werden aus gegebenen Mengen auf verschiedene Weise neue Mengen gebildet. •  Durchschnittsmenge ​A ∩ B​ Unter dem Durchschnitt der Mengen A und B versteht man die Menge aller Objekte, die sowohl zu A als auch zu B gehören. Symbolische Schreibweise: ​A ∩ B​ (lies: A geschnitten B). A

B A∩B

A ist die Menge meiner Freunde, die bei der Feuerwehr sind: A = {Toni; Karl; Otto; Bernd} B ist die Menge meiner Freunde, die Schach spielen: B = {Kurt; Otto; Sepp} ​A ∩ B​= {Otto} Otto ist bei der Feuerwehr und spielt Schach.

•  Vereinigungsmenge ​A ∪ B​ Die Mengen aller Objekte, die mindestens zu einer der Mengen A oder B gehören, heißt vereinigungsmenge der Mengen A und B. Symbolische Schreibweise: ​A ∪ B​ (lies: A vereinigt B). A

B

A ist die Menge meiner Freunde die bei der Feuerwehr sind: A = {Toni; Karl; Otto; Bernd} B ist die Menge meiner Freunde, die Schach spielen: B = {Kurt; Otto; Sepp} ​A ∪ B​= {Toni; Karl; Otto; Bernd; Kurt; Sepp} Alle Freunde sind bei der Feuerwehr oder spielen Schach.

A∪B

•  Differenzmenge (Restmenge) ​A​\B Die Menge aller Objekte, die zu A gehören, ohne zugleich zu B zu gehören, heißt Differenzmenge oder Restmenge der Mengen A und B. Symbolische Schreibweise: A\B (lies: A ohne B). A

B A\ B

A ist die Menge meiner Freunde, die bei der Feuerwehr sind: A = {Toni; Karl; Otto; Bernd} B ist die Menge meiner Freunde, die Schach spielen. B = {Kurt; Otto; Sepp} A\B = {Toni; Karl; Bernd} Alle diese Freunde sind bei der Feuerwehr und spielen nicht Schach.

49

1.10 Mengenlehre

•  Produktmenge (Paarmenge) A x B Die Produktmenge zweier Mengen A und B ist das Ergebnis, das man erhält, wenn jedes Element a der Menge A mit jedem Element b der Menge B miteinander kombiniert wird und jede Kombination als geordnetes Paar (a, b) in einer Menge zusammengefasst wird. Symbolische Schreibweise: A x B (lies: A kreuz B).

Auf einer Party sind drei männliche Partygäste M = {Toni; Karl; Otto} und zwei weibliche Partygäste W = {Lea; Lisa}. Es wird vereinbart, dass jeder mit jedem einmal tanzt. Das Kreuzprodukt A x B lautet: A x B = {(Toni, Lea); (Toni, Lisa)¸ (Karl, Lea); (Karl, Lisa); (Bernd, Lea); (Bernd, Lisa)} Es kommt also insgesamt zu sechs Tanzpaaren.

Beispielaufgabe: Die Menge A besteht aus den Buchstaben des Wortes »MATHE«, die Menge B aus den Buchstaben des Wortes »GEO«. Bilden Sie a) die Schnittmenge, b) die Vereinigungsmenge und c) die Differenzmenge. Lösung: a) A = {M, A, T, H, E};  B = {G, E, O}; ​A ∩ B​= {E} b) A = {M, A, T, H, E};  B = {G, E, O}; ​A ∪ B​= {M, A, T, H, E, G, O} c) A = {M, A, T, H, E};  B = {G, E, O};  A\B = {M, A, T, H}

Aufgaben: 1. Diskutieren Sie die Mengenrelation zwischen A und B mit A = {x|x ist Stadt in Österreich} und B = {y|y ist Stadt in Europa}. 2. Für die Mengen A = {1, 2, 4, 8, 16} und B = {2, 4, 6, 8, 10} sind a) die Schnittmenge, b) die Vereinigungsmenge und c) die Differenzmenge zu bilden. 3. Ein Mann verlangt einen Vaterschaftstest. Legen Sie Mengen fest und diskutieren Sie in der Gruppe, welche Mengenrelationen auftreten können. 4. Die Produktmenge der Mengen A = {1, 2, 3} und B = {a, b, c} ist zu bilden.

Diskutieren Sie, wie die Produktmenge grafisch veranschaulicht werden könnte.

50

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

1.11 Wissen, Können & Nachschlagen Das auf den folgenden Seiten Beschriebene sollten Sie jetzt wissen beziehungsweise können. Mithilfe des folgenden Abschnitts können Sie nicht genau verstandene Lerninhalte eigenständig nacharbeiten beziehungsweise vergessenes Wissen aktivieren. Addition und Subtraktion von Termen mit Variablen Zwei Terme mit gleicher Variable werden addiert, indem die Koeffizienten vor den Variablen addiert werden. Bei der Subtraktion werden die Koeffizienten voneinander abgezogen.

• ​2 x + 6 x  =  (2 + 6) x  =  8 x​ • ​5 x − x − 9 x  =  (5 − 1 − 9) x  =  − 5 x​ • ​a − 8a + 9a  =  (1 − 8 + 9) a  =  2a​

Multiplikation von Termen mit Variablen Ausdrücke mit Variablen werden multipliziert, indem die Koeffizienten und die Variablen miteinander multipliziert werden.

•  ​− 3a · 4b  =  (− 3 · 4)  · (a · b)   =  − 12ab​​ •  ​− x · y · 10z  =  (− 1 · 1 · 10)  · (x · y · z)   =  − 10 xyz​​

Multiplikation einer Zahl mit einem Klammerausdruck Eine Zahl wird mit einem Klammerausdruck multipliziert, indem die Zahl vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert wird.

• ​10 · (5 x − 8)   =  10 · 5 x − 10 · 8  =  50 x − 80​ • ​− 2 · (x + 4y)   =  − 2 · x − 2 · 4y  =  − 2 x − 8y​

​a · (b + c)   =  a · b + a · c​​ Multiplikation von Klammerausdrücken Zwei Klammerausdrücke werden miteinander multipliziert, indem jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert wird. ​(a + b)  · (c + d)   =  a · c + a · d + b · c + b · d​​

• (x + 5)  · (2 − y) = 2 · x − x · y + 5 · 2 − 5 · y =  2 x − xy − 5y + 10

Minus vor der Klammer Ein Minus vor der Klammer bewirkt beim Auflösen der Klammer, dass sich alle Vorzeichen in der Klammer drehen. ​− (a + b)   =  − a − b​​

• ​− (6 + 4 x − 15y)   =  − 6 − 4 x + 15y​ • ​− (− x + 12z + 10)   =  x − 12z − 10​

Auswertungsreihenfolgen von Klammern In einem Ausdruck mit mehreren Klammerpaaren werden diese stets von innen nach außen aufgelöst.

− 6  · ​[x − (10 − x )]​ = − 6 · ​[x − 10 + x]​ = − 6 · ​[ 2 x − 10 ]​ = − 12 x + 60

Primfaktorzerlegung Bei der Primfaktordarstellung wird eine vorgegebene Zahl in ein Produkt, das nur aus Primzahlen (2; 3; 5; 7; 11; 13…) besteht, umgewandelt.

​660  =  2 · 2 · 3 · 5 · 11​ ​300 ​x​ 2​ y  =  2 · 2 · 3 · 5 · 5 · x · x · y​

51

1.11 Wissen, Können & Nachschlagen

Bestimmung der Rechenoperation Die letzte Rechenoperation, die beim Ausrechnen eines Terms ausgeführt werden muss, legt den Rechenausdruck fest.

Rechenoperation

Ergebnis der Rechenoperation (Rechenausdruck)

a + b

Addition

Summe

a − b

Subtraktion

Differenz

a·b

Multiplikation

Produkt

a:b

Division

Quotient

Kürzen von Brüchen • Ein Bruch darf nur gekürzt werden, wenn im Zähler und im Nenner ein Produkt, eine einzelne Zahl oder eine einzelne Variable stehen. • Es dürfen nur gemeinsame Faktoren gekürzt werden.

4 x __ ​ 16 ​​  Kürzen ist erlaubt. 4 + x ​ ___ ​​  Kürzen ist nicht erlaubt. 16    ( 4 · ​4 + x)​ ​ _______ ​​  Kürzen ist erlaubt. 16   

Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen • Gleichnamige Brüche werden addiert, indem die Zähler zusammengezählt werden, während der Nenner unverändert beibehalten wird. a b a + b __ ​ n ​ + ​ __n ​  =  ____ ​  n    ​ 

• Gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem die Zähler subtrahiert werden, während der Nenner unverändert beibehalten wird. a

b

3

5

3 + 5

8

​ _8 ​ + ​ _8 ​  =  ____ ​  8    ​   =  ​ _8 ​  =  1​ 5 5 − 1 1 4 1 __ ____ _ ​ 12  ​ − ​ __ ​   =  ​ __ 12  ​  =  ​  12    12  ​  =  ​ 3 ​ 1 − 5 + 11 1 5 11 7 _ ______ ​ 6 ​ − ​ _6 ​ + ​ __     ​  =  _ ​ 6 ​ 6 ​   =  ​  6  5 a 5 + 1 − a 6 − a 1 __ __ ______ ​ 2 x  ​ + ​ __ ​  =  ​ ___  ​ 2 x  ​ − ​ 2 x  ​  =  ​  2 x    2 x    10 8 10 − 4 + 8 4 14 ​ ____      ​ − ​ ____      ​ + ​ ____      ​  =  ______ ​  3 x − 8      ​  =  ____ ​ 3 x − 8      ​ 3 x − 8 3 x − 8 3 x − 8

a − b

​ __n ​ − ​ __n ​  =  ____ ​  n     ​ Addition und Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen Musteraufgabe zur Ermittlung des Hauptnenners zweier ungleichnamiger Brüche 7

5

Ermitteln Sie den Hauptnenner der Brüche  __ ​ 12  ​​ und  _ ​​ 9 ​​. 1. Schritt

Die Nenner der Brüche in Primfaktoren zerlegen. ​12  =  2 · 2 · 3​   ​ 9  =  3 · 3​

2. Schritt

Die maximale Häufigkeit der vorkommenden Primfaktoren ermitteln. Der Primfaktor 2 kommt maximal zweimal in einer Zerlegung vor. Der Primfaktor 3 kommt maximal zweimal in einer Zerlegung vor.

3. Schritt

Den Hauptnenner bildet man, indem man die Primfaktoren entsprechend ihrer Häufigkeiten (Schritt 2) hintereinander schreibt. Zweimal die 2 und zweimal die 3 Hauptnenner = 2 · 2 · 3 · 3 = 36

52

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Musteraufgabe zur Addition und Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen 7

5

Addieren Sie folgende ungleichnamige Brüche: __ ​ 12  ​ + ​ _9 ​​ 1. Schritt

Bestimmung des Hauptnenners der Brüche ​12  =  2 · 2 · 3​   ​ 9  =  3 · 3​ ​ N  =  2 · 2 · 3 · 3  =  36​ H

2. Schritt

Ermittlung der Erweiterungsfaktoren der einzelnen Brüche: Dazu werden die Nenner der einzelnen Brüche jeweils durch den Hauptnenner dividiert. 36

Erweiterungsfaktor des 1. Bruchs: ​​ __ 12 ​  =  3​ 36

Erweiterungsfaktor des 2. Bruchs: ​__ ​ 9 ​   =  4​ 3. Schritt

Die einzelnen Brüche mit dem im vorherigen Schritt bestimmten Faktor erweitern. Dazu werden die Zähler und Nenner mit dem Erweiterungsfaktor multipliziert. 7 · 3

5 · 4

21

20

____ ​ _____ ​  =  __ ​ 36 ​   ​​ ​ 9 · 4  ​  =  __ ​ 36 ​ 12 · 3   

4. Schritt

Die gleichnamigen Brüche addieren beziehungsweise subtrahieren. 7

5

20

21

41

__ ​ 36 ​ + ​ __ ​ __2 ​ + ​ _9 ​  =  __ 36 ​  =  ​ 36 ​

Multiplikation von Brüchen Brüche werden multipliziert, indem jeweils die Zähler und die Nenner miteinander multipliziert werden. a c a · c __ ​ b ​ · ​ __d  ​  =  ____ ​ b · d   ​​

16 2 1 8 _ ​ 5 ​ · ​ _5 ​ · ​ _3 ​  =  __ ​ 75 ​ 5 5 · 2 5 2 ​ − _ ​ 2 ) ​ ​ · ​ _3 ​  =  −​____  2 · 3  ​  =  −​_  3 ​ (

a a a a 1 1 _ ​ 6 ​ · ​(− _ ​ a )​ ​ · ​(− a)​  =  _ ​ 6 ​ · ​(− _ ​ a )​ ​ · ​(− _ ​ 1 ​)​  =  _ ​ 6 ​

Division von Brüchen Durch einen Bruch wird dividiert, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird. a

 ​__  b ​  a c a d a · d __ ​  __c    ​  =  __ ​ b ​ : ​__  d  ​  =  __ ​ b ​ · ​ __c ​   =  ​ ____   ​​ b · c ​ d  ​

9 _ ​ 2 ​

9 3

9 4

​ ___3  ​  =  _ ​ 2 ​ : ​_  4 ​  =  _ ​ 2 ​ · ​ _3 ​  =  6​ ​ 4 ​

3

3

− _ ​ 4 ​ − _ ​ 4 ​ 3 2 3 1 3 ___ ​  2   ​  =  ___ ​  _2    ​  =  − _​ 4 ​ : ​_  1 ​  =  − _​ 4 ​ · ​ _2 ​  =  − _​ 8 ​ ​   ​ 1

Ausklammern von gemeinsamen Faktoren Musteraufgabe zum Ausklammern von gemeinsamen Faktoren Klammern Sie gemeinsame Faktoren aus den Termen ​49ab + 35b​​ aus. 1. Schritt

Die einzelnen Summanden in der Primfaktordarstellung angeben. ​49ab  =  7 · 7 · a · b​​   ​ 35b  =  5 · 7 · b​​

2. Schritt

Alle gemeinsamen Faktoren bestimmen. Die gemeinsamen Faktoren sind: 7 und b

3. Schritt

Die gemeinsamen Faktoren vor die Summe schreiben und jeden Summanden durch die gemeinsamen Faktoren teilen. ​7b · ​(____ ​  7b   ​ + ​ ___  ​  ​  =  7b · ​(7a + 5)​​ 7b ) 49ab

35b

53

1.11 Wissen, Können & Nachschlagen

Grundlegendes zum Rechnen mit Potenzen Ein Ausdruck der Form ​x​ n​ wird Potenz genannt, wobei x die Basis und n der Exponent ist.

​ ​x​ n​​​​: Potenz ​x​ n​​​​ ​x​: Basis n: Exponent



Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem ihre Exponenten addiert werden.

​4​ 2​ · ​4​ 5​ =  4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 =  ​4​ 2+5​  =  ​4​ 7​



Division von Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem ihre Exponenten subtrahiert werden.

​5​ 7​ 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 __ ​  4 ​ =  ________________    ​  5 · 5 · 5 · 5    ​  =  5 · 5 · 5 ​5​  ​



=  ​5​ 7− 4​  =  ​5​ 3​

Potenzieren von Potenzen Potenzen werden potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden. ​(​a​​​ n​​)​ m​​  =  ​a​​​ n·m​​  =  (​​a​​​ m​​)​ n​​​

4

(​​2​ 2)​​  ​  =  ​2​ 2·4​  =  ​2​ 8​ 3

​(​(− a)​ 3​)​  ​  =  ​(− a)​​ 3·3​  =  ​(− a)​​ 9​  =  − ​a​​​ 9​

Potenzieren von Produkten und Quotienten Produkte werden potenziert, indem jeder Faktor potenziert wird. ​(a · b)​​ n​​  =  ​a​​​ n​​ · ​b​​​ n​​​ Quotienten werden potenziert, indem Zähler und Nenner potenziert werden. a n​ __

​ ​ b ) ​ ​  ​  =  ​ ​b​​​ n​ ​​ ( ​a​​​ n​​ __

​(10 · y)​​ 2​  =  ​10​​ 2​ · ​y​ 2​  =  100 ​y​ 2​ ​(− 5 · ​x​ 2​ · y)​​ 2​  =  ​(− 5)​​ 2​ · ​( ​x​ 2​)​ 2​ · ​y​ 2​  =  25 ​x​ 4​ ​y​ 2​ 4 3 ​4​ 3​ ​_ ​ 2 ) ​ ​  ​  =  __ ​  3 ​ ( ​2​  ​

​(_ ​ x )​ ​  ​  =  __ ​  2 ​  =  __ ​  2 ​ ​ 5 2

5​ ​ 2​ ​x​  ​

25 ​x​  ​

Besondere Exponenten Exponent 0

• ​​10​​ 0​  =  1​

Jede Potenz mit dem Exponenten 0 und einer Basis ungleich 0 hat den Wert 1.

• ​​x​ 0​  =  1​  ​ ∧ x  ∈  ℝ\{0}​

Exponent 1

• ​10  =  ​10​​ 1​

• ​​(12 xy)​​ 0​  =  1​

Alle Zahlen und Variablen, die keinen explizit angegebenen Exponenten besitzen, haben den Exponenten 1.

• ​​b​​​ 1​  =  b​​

Negativer Exponent

1 1 1​ 0​​  ​ 1 • ​​a​​​ −3​  =  __ ​  3  ​ ​a​​​  ​ 1 1 • ​​(2 x)​​ −2​  =  ____ ​   2  ​  =  ___ ​   2  ​ ​(2 x)​​  ​ 4 ​x​  ​ 1 2 • ​2 ​x​ −2​  =  2 · ​ __2  ​  =  __ ​  2  ​ ​x​  ​ ​x​  ​

Jede Potenz mit negativem Exponenten lässt sich in einen Bruch umschreiben. 1

​a​​​ −n​​  =  __ ​ ​a​​​ n​ ​ ​

• ​xy  =  ​x​ 1​ ​y​ 1​ • ​​10​​ −2​  =  ___ ​   2  ​  =  ___ ​ 100    ​

54

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Ein Bruch als Exponent Jede Potenz mit einem Bruch als Exponent lässt sich nach folgendem Muster in einen Wurzelausdruck umschreiben. n __ ​ m  ​

__

m

​a​​​  ​  =  ​√  ​a​​​ n​​  

1 _

2

___

4_ ___

7

__

___

• ​​10​​ ​ 2 ​ ​ =  ​√  ​10​​ 1​    =  √ ​  10  ​ • ​​9​​  ​  √​   ​ 7  ​ ​​ = ​​√  ​9​ 4​ ​​  4

__

5

__

7 _

• ​​√  ​b​​​ 7​    =  ​b​​​ ​ 4 ​​ 1 _

• ​​√  ​2​ 1​    =  ​2​ ​ 5 ​​

Die Binomischen Formeln Erste Binomische Formel

​(x + 10)​​ 2​ =  ​x​ 2​ + 2 · x · 10 + ​10​​ 2​

Die Summe ​(a + b)​wird nach folgender Formel quadriert:



​(a + b)​​ 2​  =  ​a​​​ 2​ + 2 · a · b + ​b​​​ 2​​

= ​x​ 2​ + 20x + 100​

​(a + 8)​​ 2​ =  ​a​​​ 2​ + 2 · a · 8 + ​8​ 2​ = ​a​​​ 2​ + 16a + 64​



Zweite Binomische Formel

​(a − 12)​​ 2​ =  ​a​​​ 2​ − 2 · a · 12 + ​12​​ 2​

Die Differenz ​(a − b)​wird nach folgender Formel quadriert:



​(a − b)​​ 2​  =  ​a​​​ 2​ − 2 · a · b + ​b​​​ 2​​

= ​a​​​ 2​ − 24a + 144​

​(2 x − 5y)​​ 2​ =  ​(2 x)​​ 2​ − 2 · 2 x · 5y + ​(5y)​​ 2​ = 4 ​x​ 2​ − 20 xy + 25 ​y​ 2​



Dritte Binomische Formel

​(x − 10)  · (x + 10) =  ​x​ 2​ − ​10​​ 2​

Die dritte Binomische Formel gibt das Ergebnis der Multiplikation zweier Klammerausdrücke an, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden.



=  ​x​ 2​ − 100​

​(5 x − 6)  · (5 x + 6) =  ​(5 x)​​ 2​ − ​6​ 2​ =  25 ​x​ 2​ − 36​



​(a − b)  · (a + b)   =  ​a​​​ 2​ − ​b​​​ 2​​ Rechnen mit Wurzeln Eine Wurzel lässt sich nach folgendem Muster in eine Potenz überführen. m __ n __ ​√  ​a​​​ n​​    =  ​a​​​ ​ m  ​​ Zwei Wurzelausdrücke mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem ihre Radikanden multipliziert werden.

3

__

4

__

3 _

​√  ​9​ 3​    =  ​9​ ​ 3 ​ ​ =  ​9​ 1​  =  9​ 2 _

__

1 _

​√  ​a​​​ 2​    =  ​a​​​ ​ 4 ​ ​ =  ​a​​​ ​ 2 ​ ​ =  √ ​  a ​ 

Herleitung: n

__

n

__

1 __

1 __

​√  x ​  · ​√  y ​   =  ​x​ ​ n ​ ​ · ​y​ ​ n ​​ 1 __ ​   ​ )n

n

____

n



Zwei Wurzelausdrücke mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, indem ihre Radikanden dividiert werden.

n x ​√  x ​  ​x​ ​ n ​​ x ​ n ​ __ ​  __​ 1  ​​  =  (​ _​ y )​ ​  ​  =  ​   ​(_​ y )​ ​ ​  ​ n __ ​  =  __ ​√  y ​  n ​y​  ​

__ n __ n ____ ​√  x ​  · ​√  y ​   =  ​√  x · y ​ 

n

__

__

= ​​(x · y ​  ​  =  ​√  x · y ​ 

Herleitung: n

__

___

1 __

1 __

√

n x ​√  x ​  __ ​ n __ ​  =  ​   _​y ​  ​√  y ​ 

√

Teilweise Radizieren n

____

n

__

n

__

Mithilfe der Regel ​​√  x · y ​  =  ​√  x ​  · ​√  y ​​  ist es möglich, eine Wurzel nur teilweise zu ziehen.

___

_____

__

___

__

__

___

___

__

__

​√ 45  ​  =  √ ​  9 · 5 ​  =  ​√ 9 ​  · ​√ 5 ​   =  3 · ​√ 5 ​  __

__

√​  8 ​x​ 2​   =  √​  8 ​  · ​√ ​x​ 2​   =  √​  8 ​  · x  =  2 ​√ 2 ​  · x​ ____

√ ​  32a  ​

√ ​  16  ​ · ​√ 2a  ​

__

4 · ​√ a ​ 

__

​√ a ​ 

​ ___ ​  =  ​ ______   ​  =  ____ ​  16    ​   =  ​ __ 4 ​ ​ 16    16   

55

1.11 Wissen, Können & Nachschlagen

Aussagenlogik Eine Aussage kann wahr (w) oder falsch (f) sein.

Wahrheitswerte: •  Wahr (w): Die Erde dreht sich um die Sonne. (w) •  Falsch (f): Die Erde ist eine Scheibe. (f)

Konjunktion (UND-Verknüpfung: ​∨​) Sind beide Teilaussagen wahr, so ist auch ihre Konjunktion wahr. Ist eine der beiden Aussagen falsch oder beide, so ist auch die Konjunktion falsch. Dies kann in einer Tabelle veranschaulicht werden.

A

B

​A ∨ B​

w

w

w

w

f

f

f

w

f

f

f

f

A

B

​A ∧ B​

w

w

w

w

f

w

f

w

w

f

f

f

A

_ A ​ ​  ​ 

w

f

f

w

Disjunktion (ODER-Verknüpfung: ​∧​) Ist eine der Teilaussagen wahr oder sind beide Teilaussagen wahr, so ist auch ihre Disjunktion wahr. Sind beide Aussagen falsch, so ist auch die Konjunktion falsch. Dies kann in einer Tabelle veranschaulicht werden.

Negation (NICHT-Verknüpfung) Wird ein Satz oder eine Aussage A verneint, so entsteht _ ein neuer Satz oder eine neue Aussage A​ ​ ​,  die als Negation des Satzes oder der Aussage bezeichnet wird. Dies kann in einer Tabelle veranschaulicht werden.

56

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Mengenbeziehungen Mengengleichheit:

Schreibweise: A = B ​∧​B = A   ​ ∧​: logisches UND

Eine Menge A ist gleich einer Menge B. Jedes Element von A ist auch Element von B und umgekehrt.

Teilmenge: Eine Menge A ist Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.

A

B

Schreibweise: A ⊆ ​ ​B (Teilmenge) A⊂ ​ ​B (echte Teilmenge) A

Echte Teilmenge:

B

_ Schreibweise: A​ ​ ​ 

Gibt es mindestens ein Element in B, das nicht zu A gehört, so ist A echte Teilmenge von B. Ist A Teilmenge von B, so ist die Komplementärmenge von A bezüglich B diejenige Teilmenge von B, die alle Elemente enthält, die nicht zu A gehören.

A

A B

Mengenverknüpfungen Die Schnittmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die zu A und zu B gehören.

Schreibweise: A ​∩​B gelesen: A geschnitten B A ​∩​B = {x | x ∈ A ∧ ​ ​ x ∈ B} A

B A∩B

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B enthält alle Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden gehören.

Schreibweise: A ​∪​B gelesen: A vereinigt B A ​∪​B = {x | x ∈ A ∨ ​ ​ x ∈ B} A

B A∪B

Die Differenzmenge A\B ist die Menge aller Elemente von A, die nicht zu B gehören.

Schreibweise: A\B gelesen: A ohne B A\​​B = {x | x ∈ A ∧ ​ ​ x ∉ B} A

B A\ B

Die Produktmenge A × B ist die Menge aller (geordenten) Paare deren erstes Glied zu A und deren zweites Glied zu B gehört.

Schreibweise: A ​×​B gelesen: A kreuz B A\​​B = {(x, y) | x ∈ A ∧ ​ ​ y ∉ B}

57

1.12 Üben & Anwenden

1.12 Üben & Anwenden Übungsaufgaben Aufgabe 1  Fassen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich zusammen. Bearbeiten Sie diese Aufgabe ohne Verwendung Ihres Taschenrechners. a) ​8 x + 11 x − 9 x​

b) ​100p + 25p − p​​

c) ​ 2a + 2a − 4a + 3b​​

d) ​− 3y + 4 x − 7 x + 2y​

e) ​ 4y − y + 3 x − x + y + 12 x + 15y​

f) ​14 xy − 21 x − 13yx − x + 10 xy − yx​

g) ​ 2a · 3b​​

h) ​4 x · 5y · 2z​​

i) ​5 x · 6yz · (− 3)​

j) ​− b · 2a · 7​

k) ​5 x · (− 10y)  · 2z​​

l) ​x · (− 2y)  + 25 xy − 20yx​

m) ​− x · 5y − 10y · 2 x + x · 4y​

n) ​a · 4b · (− c)  − 15abc − ba · 2c​​

Aufgabe 2  Lösen Sie die Klammerausdrücke auf und fassen Sie anschließend die Terme so weit wie möglich zusammen. Bearbeiten Sie diese Aufgabe ohne Verwendung Ihres Taschenrechners. a) ​ 2 · (x + 2)​

b) ​x · (y − 2)​

c) ​ − 5 · (x + 4 − 2y)​

d) ​− 3 · (3 − b + 2a)  · 2​

e) ​ (2 x + 2)  · (1 − y)​

f) ​(− a − 5)  · (b + 2)​

g) ​ − 2 · (x − 6)  · (7 − 2z)​

h) ​(4 x − 1)  · (5 − y)  · (2 − z)​

i) ​ (1 − 2 x)  · 2 · (− 3 + y)​

j) ​(a + 5)  · (1 − b)  · 3 · (− 2c)  · 4​

k) ​ 4 − (x + 4)​

l) ​x − (5 + 3 x − 7y)  + 7y​

m) ​(2 + x)  · (y + 3)  − (xy + 6)​

n) ​a · (4b − c)  · 2 − 4 · (b + 1)  · (c − 3)​

Aufgabe 3  Lösen Sie die jeweiligen verschalteten Klammerausdrücke auf und fassen Sie anschließend die Terme so weit wie möglich zusammen. Bearbeiten Sie diese Aufgabe ohne Verwendung Ihres Taschenrechners. a) ​3 xy + 5 · ​[4 + (x + 3)  · (− 2y + 4)]​​

b) ​2ab + (4 − a)  · ​[4 − (b + 3)  · (c − 2)]​

c) ​ a − ​[7a − (6a − 4)]​ − 6​

d) ​(5 + x)  − ​[5 · (x + 1)  − 2 · (x − 3)]​

e) ​ 8 · ​{4b − 2 · ​[5 − ​(3b + 4)]​ }​ ​​

f) ​x − ​{x − ​[− (5 + x)  − x]​}​

g) ​ − 2 · ​[(x − 2)  · (3 − z)  + zx + 6]​​

h) ​7 x − 7 − ​[(5 − y)  · (z + 4)  − (2 + 4y)  · (− 3)]​

Aufgabe 4  Stellen Sie die folgenden Ausdrücke in ihrer Primfaktordarstellung dar und führen Sie anschließend die Probe durch. a) ​ 250​ e) 8ab

b) ​1120​ 2

f) 12 x

c) ​385​

d) 720 2 3

g) 125​ ​a​​​  ​ ​b​​​  ​​

h) ​77a ​b​​​ 2​ c​​

Aufgabe 5  Bestimmen Sie den Rechenausdruck. Gehen Sie systematisch vor. a) ​ 5 · 4 − 3 · 2​

b) ​10 + 3 · 7​

c) ​ 4 · (6 + 6)​

d) ​− 2 · (3 + 8)  − (5 · 4)  · (3 − 4)​

e) ​ 2 − (4 − a)  · (2b − 11)​

f) ​4 x − 2 · ​[6 − (3 + x)  · 5]​​

g) 12 x

h) ​4 − (x − 2)  · ​[x − (4 + 2 x)  + 5 x]​

Aufgabe 6  Kürzen Sie, wenn möglich, die Brüche vollständig. Verzichten Sie auf Ihren Taschenrechner. 385

b) ​​___  192  ​​

25ab

f) ​​_____  11ax ​  ​

___ a) ​ ​ 462  ​​ _____ e) ​ ​ 125ab    ​​ − 9 x

i) ​ ​ _____     ​​ 18 x + 5

120

c) ​​__  64 ​​

121ax

g) ​​ ____  ​​ 10   

27 · (1 − ab)

j) ​​________  9 · (ab + 1) ​  ​

504 xy

96

d) ​​_____  360 x ​  ​

5 + 8 x

h) ​​_______   12    ​​ 

2 · (7 − 3 x)

58

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Aufgabe 7  Addieren beziehungsweise subtrahieren Sie die folgenden Brüche. Kürzen Sie, wenn möglich, die vorkommenden Brüche vollständig. Verzichten Sie auf Ihren Taschenrechner. 5

5

7

_ a) ​ ​ 6 ​ + ​ _6 ​​ 3

1

7

1

b) ​​_ 6 ​ − ​ _6 ​​ 5

__ e) ​ ​ 2 x  ​ + ​ __ 2 x  ​​

9

7

4

c) ​​_ 4 ​ + ​ _4 ​ − ​ _4 ​​ 7

1

x + 2

5 x

1

2 − x

1

3 − x

2 x + 5

_ f) ​​___  1 − y      ​ + ​ ___      ​ − ​ ___      ​​ g) ​​___   2     ​ + ​ __ 1 − y 1 − y 2 ​  + ​ 2 ​​

2 + a

a + 8

1

   ​ − ​ ______     ​ + ​ ____      ​​ i) ​ ​ ____ 21 − a  − a + 21 21 − a

1

7

d) ​− _ ​ 5 ​ + ​ _5 ​ − ​ _5 ​ 9 x + 3

h) ​​____   5    ​  − ​ ____ ​​  5   

___​ j) ​​___   16    ​ + ​ __ 16  ​ − ​  16   

Aufgabe 8  Bestimmen Sie von folgenden Brüchen den jeweiligen Hauptnenner und machen Sie im Anschluss die Brüche gleichnamig. 5

2

__ a) ​ ​ 12  ​​ ​__ ​ 15  ​​ 5

10

10

c) ​​__  21  ​​ ​__ ​ 35  ​​ ​__ ​ 28  ​​

1

___ ​ 10  x  ​​ e) ​ ​ 4 x y  ​​ ​___

6

3

3

g) ​​_____    2   ​​ ​_____ ​   2    ​​

4

b) ​​__  27 ​​ ​__ ​ 36 ​​

15 16a​b​​​  ​

f) ​​__  ab  ​​ ​_ ​ 4 ​​

3

1

3

7

d) ​​__  56  ​​ ​__ ​ 70  ​​ ​__ ​ 98  ​

5 12 ​a​​​  ​ b

10

9

8

h) ​​____  11 xyz      ​​ ​___ ​ 22  x  ​​ ​___ ​ 33y    ​

Aufgabe 9  Addieren beziehungsweise subtrahieren Sie die folgenden Brüche von Hand. Kürzen Sie wenn möglich die vorkommenden Brüche vollständig. 5

3

__ a) ​ ​ 12  ​ + ​ __ 16  ​​ 1

3

7

3

7

1

b) ​​_ 4 ​ − ​ __ 18  ​​

1

_ e) ​ ​ x ​ + ​ _2 ​​

4

1

1

__ c) ​​__  15  ​ + ​ __ 25  ​ − ​ 10  ​​ 9

f) ​​_ y ​ + ​ _2 ​ − ​ __ 4y  ​​

5

5

1

__ d) ​−​_  3 ​ + ​ __ 27  ​ − ​ 12  ​ 20 + x

11

g) ​2 + ​_  6 ​ − ​ __ 4 ​ ​

4 + x

h) ​​ ____ ​  − ​ ___ ​  + 3​ x    5 x   

 ​ ​]​ i) ​ ​ _2 ​ − ​[4 − ​(x − ​ ____ ) 2    2 x − 1

1

_ ​  2 x    ​  − ​ _x ) ​ ​ + ​ _4 ​​ j) ​ ​ 2 ​ − ​(____ 7 + 2 x

1

2

5

Aufgabe 10  Multiplizieren Sie die folgenden Brüche. Kürzen Sie wenn möglich die vorkommenden Brüche vollständig. b) ​​_ 2 ​ · ​(− _ ​ 3 ) ​ ​​

3 2

1

_ a) ​ ​ 4 ​ · ​ _9 ​​

4

1 15

1 2

e) ​ 6 · ​ _4 ​ · ​ _3 ​​

f) ​​_  5 ​ · ​ __ 4 ​  · (− 2)​

1 + 5b

j) ​​ ___  ​ · ​___   2    ​  5 − a 

5

1

5 b 5a

11

__ c) ​​_  9 ​ · ​ __ 10  ​ · ​ 2 ​ ​

d) ​​ _2 ​ · ​ __2 ​ · ​ __ 4 ​ ​

g) ​2 · ​ _6 ​ · ​(− __ ​ 10 ) ​ ​​

h) ​​ _2 ​ · ​ ___ ​​ 10   

5

3 x − 1

11

a + 1 4 − x

____ ​  · 4​ i) ​ ​  2   

Aufgabe 11  Fassen Sie die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich zusammen. Verzichten Sie auf die Verwendung des Taschenrechners. _ a) ​ ​ 4 ​ · ​(x − ​ _2 ) ​ ​ − ​ _4 ​ x​

b) ​− a · ​(− _ ​ 6 ​ + ​ __ ​ ​ + 5​ 3a  )

​ 5 ​ x + 1)​ + ​ _5 ​ · ​(__ ​ 3 ​  + x)​​ c) ​ − ( ​_

( ) _ d) ​​(_ ​ 2 ​ + ​ __ 4 ​  x)​ · ​2 + a ​ − ​ 2 ​ a − 3ax − 1​

​ 3 ​ x − 1)​ + x​ e) ​ ​ _2 ​ − ​ _4 ​ · ​(_

f) ​​(0− _ ​ 2 ​ + x)​ · ​(a − ​ _4 ) ​ ​ + 2 · ​(_ ​ 4 ​ − ​ _2 ​ x)​ · ​(− a + ​ _4 ) ​ ​​

3

1

4

3

1

3

4

5

10

8

1

7

11

1

1

3

1

1

3

Aufgabe 12  Lösen Sie die folgenden Doppelbrüche auf. Verwenden Sie Ihren Taschenrechner, um Ihr Ergebnis zu überprüfen. 1 __ ​  2 ​ 

a) ​​ ____4  ​​   ​  3 ​ 

15 __ ​  7 ​ 

b) ​​ __ 5  ​​   __ ​  14  ​ 

7

2 – __ ​ 6 ​ 

c) ​​ ____  ​​   1 __ ​  2 ​  – 4

1

1 – __ ​ 12  ​ 

d) ​​ _____ 6 __ 5  ​​  __ ​  3 ​  – ​  4 ​ 

Aufgabe 13  Klammern Sie alle gemeinsamen Faktoren aus. a) ​ 25 + 45 x​

b) ​66 − 88a + 44b​​

e) ​ 468y − 156 xy​

f) ​14p − 21pq − 7​

c) ​2 x − 6 xy​

d) ​45ab − 75b + 105ba​​

59

1.12 Üben & Anwenden

Aufgabe 14  Klammern Sie im Zähler und Nenner, wenn möglich, die gemeinsamen Faktoren aus und kürzen Sie anschließend die Brüche. 5 xy − 10 x

c) ​​________  14a − 42ad     ​​

4 xyz − 7 xy

f) ​​_________   125 x + 100    ​​

3 x + 6

b) ​​______  25 x − 5 xy   ​​

12 x − 16

e) ​​________  8 xyz + 12yx     ​​

____ a) ​ ​  9 x    ​​  ______ d) ​ ​  4      ​​

7a + 49ab

5 x − 30y − 45

Aufgabe 15  Klammern Sie aus den Termen den in den eckigen Klammern angegebenen Bruch aus. ​_ ​ 5 ]​ ​​ a) ​ ​ _5 ​ a + ​ __ 45  ​​ ​[

__ __​ ​ b) ​​ __ 22 ​ x + ​ 33  ​ y​ ​​[​ 11  ]

__ __ _​ ​​ c) ​ ​ 18  ​ x + ​ __ 81 ​ − ​ 27 ​ y​ ​​[​ 9 ]

__ __ __ d) ​​ __ 14 ​ a − ​ 28 ​ b + ​ 7 ​ ​ ​​[​ 7 ​ ]​

_ _​ ​​ e) ​ ​ 6 ​ y + ​ __ 2 ​  z​​ ​​[− ​ 4 ]

f) ​ab − ​_  4 ​ c + 3​ ​​[_ ​ 8 ]​ ​

2

7

5

20

5

10

1

10

5

5

33

11

3

11

5

88

11

3

1

Aufgabe 16  Fassen Sie die Potenzen zusammen. a) ​ ​4​ 3​ · ​4​ 6​ · ​4​ 2​​

b) ​​x​ 3​ · x · ​x​ 4​ · ​x​ 5​​

​3​ 7​ 3​ ​  ​

c) ​​5​ 2​ · ​y​ 3​ · ​y​ 4​ · 5​

x​ ​ 2​ · ​x​ 4​ ​x​  ​

__ e) ​ ​  3 ​​ 2

​p​​​ 5​ · 6 · p ​6​  ​ · ​p​​​  ​

​10​​ x − 2​

f) ​​_____   5    ​​  

d) ​​2​ a+2​ · ​3​ 2​ · ​2​ 5​ · ​3​ 7​

g) ​​____   ​10​​ x ​   ​​ 

h) ​​ _______ ​​ 5 6   

2

i) ​ ​(​x​ 6​)​  ​​

j) ​​2​ ​3​  ​​

Aufgabe 17  Potenzieren Sie folgende Produkte beziehungsweise Quotienten. a) ​ ​(_ ​ 5 ​ a · ​x​ 3​ · ​b​​​ 2​)​  ​​ b) ​​( ​ ___ ​ 3a ​ )​  ​​ 2

1

7 ​b​​​ 3​

2

d) ​​[​ __ ​ 2y ​ · ​​(__ ​ 5 ​ )​  ​]​  ​

c) ​​​(_ ​ 5 ​ · 2 ​x​ 2​)​  ​​ 3

3

15

2 2 x 2

Aufgabe 18  Lösen Sie folgende Potenzen mithilfe der ersten beiden Binomischen Formeln auf. Verzichten Sie auf die Verwendung des Taschenrechners. (​5 + a)​ 2​​ a) ​

b) ​​​(x + 3)​ 2​​

e) ​ ​_ ​ 2 ​ x + ​ _2 ​ y)​  ​​ (

f) ​​( ​ − _ ​ 4 ​ ​x​ 2​ − ​ _6 ​ y)​  ​​

i) ​ ​_ ​ 6 ​ − 4 x)​  ​​ (

2 j) ​​​(_ ​ 5 ​ a − ​ __ 2 ​  ​b​​​  ​)​  ​

2

5

1

2

7

3

9

5

11

2

c) ​​​(3 x + 4y)​ 2​​

d) ​​(​ab + 10)​ 2​

g) ​​​(10 − 2b)​ 2​​

h) ​​​(2ab − 6)​ 2​​

2

Aufgabe 19  Wenden Sie jeweils die dritte Binomische Formel an. a) ​ (x − 5)  · (x + 5)​

b) ​(10 − 2y)  · (10 + 2y)​

1 1 c) ​ ( ​ _4 ​ − a)  · ( ​ _4 ​ + a)​

d) ​( ​__  10  ​ − 4b)  · ( ​ __ 10  ​ + 4b)​

e) ​ ( ​b​ ​​ 2​ + 6)  · (− 6 + ​b​​​ 2​)​

f) ​​x​ 2​ − 9​

g) ​ 4 ​a​​​ 2​ − 25​

2 h) ​​ __ 64 ​ − 9 ​x​  ​​

1

1

25

1

i) ​ ​x​ 4​ − ​ _4 ​​

j) ​1 − 4 ​a​​​ 2​

Aufgabe 20  Wandeln Sie die Wurzeln in Potenzen um. 3

__

3

__

a) ​ ​√  ​6​ 2​ ​   d) ​ ​√  9 ​​  

4

__

b) ​​√  ​a​​​ 7​ ​   ​ ___

e) ​​√  10  ​​

4

____

c) ​​√  ​(2 x)​​ 8​   ​ __

f) ​​√  ​4​ x​ ​ 

Aufgabe 21  Radizieren Sie teilweise die folgenden Wurzeln. ___

a) ​ ​√ 50  ​​ ______

√ d) ​ ​  12 + 8 x ​​  

____

b) ​​√ 98 ​a​​​ 2​ ​   ________

e) ​​√ 50 − 100a ​​  

____

c) ​​√ 200 x   ​ __________

f) ​​√ 24 ​x​ 2​ − 12 ​   x​ 2​ y   ​​

60

1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Zahlenmengen

Aufgabe 22  Im Eishockey gibt es für ein Foul in der Regel eine zweiminütige Strafe. D. h., der betroffene Spieler muss zwei Minuten auf die Strafbank. Während dieser Zeit spielt seine Mannschaft mit einem Feldspieler weniger. Daneben gibt es unter anderem eine 10-minütige Disziplinarstrafe. Bei dieser Strafe darf der Spieler 10 Minuten nicht mehr am Spiel teilnehmen. Seine Mannschaft spielt während dieser Zeit jedoch mit voller Mannschaftsstärke. Satz 1: Der Spieler A erhält eine zweiminütige Strafe. Satz 2: Der Spieler A erhält eine zehnminütige Strafe. a) Bilden Sie die Konjunktion beider Sätze. b) Bilden Sie die Disjunktion beider Sätze. c) Bilden Sie die Verneinung der beiden Sätze. Aufgabe 23  Es werden zwei Aussagen betrachtet. Aussage G: Ein Zuschauer eines Fußballspiels kauft sich ein Getränk im Stadion für 2,50 €. Aussage B: Ein Zuschauer eines Fußballspiels kauft sich im Stadion ein Paar Bratwürste für 3,00 €. Geben Sie an, wie viel der Zuschauer jeweils bei folgenden Ereignissen ausgegeben hat. a) G ∧ B _ b) ​ G​  ∧ B Aufgabe 24  Es werden folgende Mengen betrachtet. ​A  =  {− 2;  − 1; 0; 1; 2; 3}​, ​B  =  { 1; 2; 3; 4; 5}​; ​C  =  { 0, 1; 2; 3}​ Stellen Sie die folgenden Verknüpfungen grafisch dar. Geben Sie anschließend Elemente der entstehenden Menge an. a) ​ D  =  A ∪ B​

b) ​E  =  A ∩ B​

c) ​ F  =  A\B​

d) ​G  =  (​A ∩ C)​\B​

Aufgabe 25  Betrachtet werden die Mengen L und E. In der Menge L befinden sich alle Länder der EU. Die Menge E beinhaltet alle Länder, die den Euro als Währung haben. a) Begründen Sie, dass gilt: ​L ∪ E = L​. _ b) Geben Sie Menge ​N = L ∩ ​E​​ in aufzählender Darstellungsform an. _ c) Formulieren Sie die Bedeutung der Menge ​T = L​ ​   ∩ E​im Sachzusammenhang. Begründen Sie, weshalb die Menge T die leere Menge ist.

61



2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen Erarbeitung der Lerninhalte Sie absolvieren ein Praktikum in der Verwaltung eines Speditionsunternehmens. In Rahmen dieses Praktikums erhalten Sie folgende E-Mail von Ihrer Betreuerin. E-Mail Von: [email protected] An: [email protected] Eingang

Anhang 1  Anhang 2  Anhang 3

Gesendet

Hallo Praktikant(in),

Adressbuch

ich muss heute kurzfristig zu einem wichtigen Kundentermin. Infolgedessen komme ich erst am späten Nachmittag zurück in die Firma. Ich bitte Sie folgende Aufgaben während meiner Abwesenheit zu erledigen:

Löschen Spam

1. Überprüfung der Wirtschaftlichkeit einer Auftragsänderung. 2. Kontrollieren Sie das Tankbuch eines unserer Lkws. 3. Bereiten Sie das Treffen mit dem Betriebsratsvorsitzenden vor. Es geht um Entschädigungszuschläge für unserer Fernfahrer. Genaue Angaben und Anweisungen zu den einzelnen Punkten finden Sie im Anhang dieser E-Mail. Viele Grüße Ihre Betreuerin

Anhang 1 zur E-Mail der Betreuerin: Unser Mitarbeiter Ludwig fährt morgen früh mit einem unserer Kleintransporter eine Lieferung von unserer Filiale in Garching bei München nach Hof. Ursprünglich war geplant, die ganze Fracht in Hof abzuladen. Der Auftraggeber hat jedoch kurzfristig den Auftrag geändert und bittet uns, nur die Hälfte der Fracht in seiner Hauptfiliale in Hof und die andere Hälfte in seiner Zweigstelle in Arzberg abzuladen (Bild 1). Der Kunde würde für diese Erweiterung des Auftrags 200 € zahlen. Kalkulieren Sie bitte diese Auftragsänderung durch und geben Sie mir anschließend eine Einschätzung, ob sich diese Änderung für uns lohnt. Gehen Sie davon aus, dass uns der Fahrer 20 € pro Stunde kostet und dass jeder gefahrene Kilometer mit einem Kleintransporter Kosten von insgesamt 0,60 € für uns verursacht. Kraftstoffverbrauch, Verschleiß, Wertminderung usw. sind in den 60 Cent enthalten.

Hof

46 km Arzberg

241 km

270 km

Bild 1: Fahrtroute

Um die gestellte Aufgabe sicher und fehlerfrei lösen zu können, müssen die im Text beschriebenen Aussagen in Gleichungen umgewandelt werden. Anschließend müssen die aufgestellten Gleichungen mithilfe sogenannter Äquivalenzumformungen gelöst werden. Im Folgenden ist beschrieben, was Gleichungen, insbesondere lineare Gleichungen sind, welche Äquivalenzumformungen es gibt und wie lineare Gleichungen gelöst werden.

62

2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen

2.1 Wichtige Begriffe Arbeitsauftrag: Informieren Sie sich anhand der Übersicht über die Bedeutung der folgenden, grundlegenden Begriffe. Bearbeiten Sie anschließend zusammen mit ihrem/r Banknachbar(i)n die untenstehenden Aufgaben. Gleichung

Verbindet man zwei Terme mit einem Ist-gleich-Zeichen, so erhält man eine Gleichung. Besteht eine Gleichung nur aus Zahlen (siehe a), stellt sie eine Aussage dar. Eine Aussage kann bekanntlich wahr oder falsch sein. Beispielsweise ist ​5 + 1  =  8​ eine falsche, während ​5 + 3  =  8​ eine wahre Aussage ist.

(a)  4 + 3 = 7 (b)  5 − y  = 7 Beispiele für Gleichungen

Befindet sich mindestens eine Variable in der Gleichung (siehe b) liegt keine Aussage vor, sondern eine Aussageform. Aussageformen & wahre und falsche Aussagen

Grundmenge einer Gleichung

Lösungsmenge einer Gleichung

Äquivalente Gleichung

Eine Aussageform wird zu einer Aussage, indem man für die Variable eine Zahl einsetzt. Die entstehende Aussage kann wiederum wahr oder falsch sein.

z. B.  y  =  4 5 − y  = 7 5 − 4  =  7    ⟶ ⎯⎯ ​ ​      ​  Aussageform falsche Aussage z. B.  y  =  − 2 5 − y  = 7 5 − (− 2) = 7    ⟶ ⎯⎯     ​  ​ ​  Aussageform wahre Aussage

Alle Zahlen, die in die Aussageform eingesetzt werden dürfen, bilden die Grundmenge G. Diese ist meist vom Aufgabensteller vorgegeben. Wenn keine Grundmenge explizit angegeben ist, wird stillschweigend davon ausgegangen, dass die Menge der reellen Zahlen ℝ die Grundmenge bildet. Die Lösungsmenge einer Gleichung enthält alle Zahlen, die die Aussageform (Gleichung) in eine wahre Aussage überführen.

​G  =  ℝ​ Die Grundmenge sind meist alle reellen Zahlen

​L  =  ​{2}​ist die Lösungsmenge der Gleichung ​3 − x  =  1​ (​G  =  ℝ​), da für ​​x  =  2​  die Gleichung in die wahre Aussage ​3 − 2  =  1​  übergeht.

Gleichungen, die die gleiche Lösungsmenge haben, nennt man äquivalent. Um deutlich zu machen, dass zwei Gleichungen äquivalent sind, wird ein Äquivalenzpfeil (⟺) zwischen sie gesetzt.

​2 + x  =  5​  ⇔​  5 + x  =  8​​ Die beiden Gleichungen sind äquivalent, da sie die gleiche Lösungsmenge haben. ​L  =  ​{3}​

Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen sind mathematische Operationen, um – ausgehend von einer gegebenen Gleichung – auf eine äquivalente Gleichung zu kommen. Bei diesen nützt man aus, dass sich der Informationsgehalt einer Aussage/Aussageform nicht ändert, wenn man die linke Seite und die rechten Seite der Gleichung mit der gleichen Zahl multipliziert beziehungsweise dividiert oder zur linken Seite und zur rechten Seite der Gleichung die gleiche Zahl addiert beziehungsweise subtrahiert. Zulässige Äquivalenzumformungen I Zu beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl oder Variable addieren. ​z. B.  3 x − 5  =  8​  |​ +5​​  ⇔ ​  3 x − 5 + 5 = 8​ + 5 II Von beiden Seiten der Gleichung die gleiche Zahl subtrahieren. ​z. B.  3 x − 5  = 8​  |​ − 5​  ⇔ ​  ​3 x − 5 − 5 = 8 − 5 III Beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl ≠ 0 multiplizieren. ​z. B.  3 x − 5 = 8​  |​ · 5​​  ⇔ ​  ​5 · (3 x − 5) = 8 · 5

63

2.1 Wichtige Begriffe

Äquivalenzumformungen

IV Beide Seiten der Gleichung durch die gleiche Zahl ≠ 0 dividieren. 3 x − 5 8  ​ = ​ __5 ​ ​z. B.  3 x − 5 = 8​  |​ : 5​​  ⇔ ​  ​ ____ ​  5   

V Terme auf der linken und rechten Seite der Gleichung separat zusammenfassen. 3

1

z. B.   ​__ 2 ​ (3 x − 2) = 1​​  Lineare Gleichung

​ 2 ​ x − 1 = 1 ⇔  ​ ​ __

Eine lineare Gleichung liegt vor, wenn die Lösungsvariable (meistens x) ausschließlich in erster Potenz vorkommt.

3 x + 4  =  5 x − 1 Lineare Gleichung x − x2 = 8 Keine lineare Gleichung

Aufgaben: 1. Für alle hier vorkommenden Gleichungen gilt: ​G  =  ℝ​ Überprüfen Sie, ob die folgenden Gleichungen wahre Aussagen bilden. 1

a) ​ 3 + 4 ⋅ 2  =  2 ⋅ (5 + ​ __2 ​ )​ 1

b) ​2 − ​3​ 2​ ⋅ 4  =  2 ⋅ (2 ⋅ 3) + 40 ⋅ ​ __4 ​ 2. Geben Sie eine Gleichung an, die zur Gleichung ​​x  =  − 2​  äquivalent ist. 3. Führen Sie folgenden Äquivalenzumformungen durch: 3 1 a) __​ 2 ​ x − 2  =  ​ __4 ​ x + 2​​ 

__ ​ 2 ​ x − 2  =  ​ __4 ​ x + 2​​  ​|+2​​  ⇔​  ​ .  . . b)

3

1

| ​ − 2​ 

⇔​  ​ .  . .

3 1 c) __​ 2 ​ x − 2  =  ​ __4 ​ x + 2​​ 

​ __2 ​ x − 2  =  ​ __4 ​ x + 2​​  ​|⋅ 2​​  ⇔​  ​ .  . . d)

3

1

| ​ : 2​​ 

⇔​  ​ .  . .

4. Begründen Sie, weshalb die beiden Gleichungen nicht äquivalent sind. 1

2(2 − x) + 1  =  4  x​​​​ ​ __2 ​ (2 − x) + 1  =  x​​ und ​ 1

5

1

5. Gegeben ist die Gleichung ​__ ​ 2 ​ (2 − x) − ​ __2 ​  =  − __​ 2 ​ x​​.

​ 4 } ​ ​die Lösungsmenge dieser Gleichung ist. a) Weisen Sie nach, dass ​L  =  { ​ − __ 1

b) Beurteilen Sie folgende Äquivalenzumformungen bezüglich ihrer Richtigkeit. 1

5

1

5

1

1



​ 2 ​ (2 − x) + ​ __2 ​ x  =  __ ​ 2 ​  ​__2 ​ (2 − x) − ​ __2 ​ = − __​ 2 ​ x  ⇔​ ​ __

​

​ 

1 1 ⇔​  1 − ​__  2 ​ x + ​ __2 ​ x  =  __ ​ 2 ​

​

​ 

1 ⇔​  2 x  = − __​ 2 ​

5

6.​ ​Führen Sie die angegebenen Äquivalenzumformungen durch. 1 a) __​ 2  ​x + 3  = 4​​ 

| ​ − 3​  ⇔​  ​ .  . .

b) − (x + 2) − 2 = 3​​ 

​|+2​​  ⇔​  ​ .  . .

c) 3 x + 3  =  x 

| ​ ⋅ 2​​  ⇔​  ​ .  . .

3 1 d) ​ __2 ​ (x − 2) + 1  =  __​ 4 ​ ​ 

| ​ ⋅ 4​​  ⇔​  ​ .  . .

13 4 1 | ​ 5 ​  ​  ​ ⋅ 5​​  ⇔​  ​ .  . . f) ​ __2 ​ (x − 1) − (x − 1) =  x − 4​​  ​|⋅ 4​​  ⇔​  ​ .  . . e) x − ​ __5 ​ = − __ 1 2 x + 1 ____ |  ​ = 2 x + 1​​  ​ ⋅ 2​​  ⇔​  ​ .  . . ​  2    g) 3 − ​ __2 ​ (x + 2) =  x − 2​​  ​|− 3​  ⇔​  ​ .  . . h) 2 − x |  ​ =  x  ​ ⋅ 4​​  ⇔​  ​ .  . . i) 3 − ​___   4   

7. Zeigen Sie, dass folgende Gleichungen jeweils äquivalent zueinander sind. 1

a) ​3 x − 3 + ​ _2 ​ (x − 1)  =  4  ⇔  14 x  =  30​ 1

5

3

1

2

b) ​2 ⋅ (​_ 2 ​ x − ​ _2 ​) − x  =  ​ _3 ​ x + 1  ⇔  ​2 x + 1  =  − 11​

1

_ __ c) ​ ​ 4 ​ x − 3 ⋅ ( ​ __ 12  ​ − ​ 12  ​ x)  =  3 x + 1  ⇔  ​10 x + 5  =  − 4​ − (x − 2) − 3 ⋅ (2 − x)

1

_____________    ​   =  x  ⇔  − ​  ​ _4 ​ x  =  1​ d) ​ ​  3 

1

1

2

e) ​​_ 3 ​ x + ​ _4 ​ ⋅ ( ​ _5 ​ x − 4)  =  x  ⇔  34 x − 10  =  − 70​

64

2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen

2.2 Lösen von linearen Gleichungen Arbeitsanweisung: Lineare Gleichungen lassen sich mithilfe von Äquivalenzumformungen lösen. Wie dies genau funktioniert, ist anhand der folgenden Musteraufgabe exemplarisch beschrieben. Vollziehen Sie jeden einzelnen Rechenschritt nach und wenden Sie dieses Schema zum Lösen der nachfolgenden Aufgabe an. Musteraufgabe zum Lösen von linearen Gleichungen Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichung. 8 x + 10 _____ ​  2     ​  =  3 · (2 x + 1)​   mit  G = ℝ.

1. Schritt

Die linke und rechte Seite der Gleichung werden so weit vereinfacht, dass auf beiden Seiten eine Summe oder Differenz steht. 8 x + 10

​ _____  ​  =  3 ⋅ (2 x + 1)​ 2   

8 x __ 10 ​  ⇔​  ​ ​ __ 2 ​  + ​ 2 ​   =  6 x + 3​

​  ⇔​  ​4 x + 5  =  6 x + 3​​  ​|− 6 x − 5​​ 2. Schritt

Die Gleichung wird mithilfe von Äquivalenzumformungen so umgestellt, dass auf einer Seite der Gleichung alle Terme mit x und auf der anderen alle Ausdrücke ohne x stehen. ​  ⇔​  ​4 x − 6 x  =  3 − 5​ ​​  ⇔​  ​ − 2 x  =  − 2​  ​|: (− 1)​​

3. Schritt

Die entstandene Gleichung nach x auflösen und die Lösungsmenge angeben. ​  ⇔​  ​x  =  1​ ​​  →​  ​L  =  { 1}​

4. Schritt

Gegebenenfalls die Probe durchführen. Dazu muss der berechnete x-Wert in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden. Erhält man eine wahre Aussage, dann ist die berechnete Lösung richtig. 8 x + 10

​x  =  1​ in ​​ _____  ​  =  3 ⋅ (2 x + 1)​ einsetzen: 2    8 ⋅ 1 + 10

​ _______   ​  =  3 ⋅ (2 ⋅ 1 + 1)​ 2    18

 ​ ⇔​   ​​ __ 2 ​   =  3 ⋅ 3​​  ⇔​  ​9  =  9 (w)​ ​  →​  ​x  =  1​✓ Strategie zum Lösen von linearen Gleichungen Alle Terme, die die Lösungsvariable (meistens x) enthalten, auf eine Seite und alle Terme ohne die Lösungsvariable auf die andere Seite der Gleichung bringen. Aufgaben: 1. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungen. Für alle Gleichungen gilt: G ​   =  ℝ​. 5

a) ​ 2(x + ​ __2 ​ )  =  − 1​ 1

b) ​(2 − x) − (2 x + 4)  =  0​ x

2

d) ​2 x − ​ __2 ​  =  __ ​ 3 ​ x​​ 2 5

5

3 + x

e) ​− ​ __3 ​ − x  =  ​ ___  ​​ 6    1

1

g) ​ − __ ​ 5 ​ ( ​__  2 ​ x − ​ __8 ​ ) + ​ __2 ​ x  =  __ ​ 4 ​​

1 − 2 x

x − 2

h) ​− ( ​____   7     ​ ) + ​ ___ ​   =  1​ 2   

3

c) ​− ​ __2 ​ (x + 1) − x  =  − (4 + x)​ x − 2

f) ​​___   3    ​  − 1  =  3  x​​​​ i) ​​x − ​[__ ​ 2 ​ (x − ​ __4 ​) + ​ __ ​ ​  =  0​ 12  ] 1

3

5

65

2.2 Lösen von linearen Gleichungen

Aufgaben: 2. Lösen Sie die folgenden Gleichungen mithilfe der beschriebenen Lösungsstrategie. Für alle Gleichungen gilt:​ G  =  ℝ​. 1

a) ​3 x − 1  =  __ ​ 2 ​ ⋅ (4 x + 2)​

b) ​3 ⋅ (2 x + 1)  =  2 − (x + 1)​ 3

1

4

c) ​ 3 − (3 x − 4)  =  ​ __2 ​ ⋅ (x + ​ __4 ​)​

1

d) ​​x − ​__  5 ​ (2 x + ​__  2 ​)  =  − 2  x​​​​

Lösbarkeit von linearen Gleichungen Arbeitsanweisung: Informieren Sie sich anhand der folgenden drei Aufgaben über die Lösbarkeit einer linearen Gleichung. Bearbeiten Sie im Anschluss die Aufgabe am Ende dieses Abschnitts. Berechnen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichungen! (G = ℝ) 3

1

3

1

a) ​ 2 ⋅ ( ​ __8 ​ x − ​ __4 ​)  =  3 ⋅ (x + 1)​

4

b) ​​ __2 ​ (x − 4)  =  ​ __2 ​ (x − ​ __3 ​) − x​​

c) ​3 x − 2  =  3 x​​​​ 3

1

3

1

a) ​ 2 ⋅ ( ​__  8 ​ x − ​ __4 ​)  =  3 ⋅ (x + 1)​

Gleichung:

​  ⇔​  ​ ​ __4 ​ x − ​ __2 ​  =  3 x + 3​ 3 1 ​  ⇔​  ​ __​ 4  ​x − 3 x  =  3 + ​ __2 ​ 3

6

12

1

__ __ ​  ⇔​  ​ __​ 4 ​ x − ​ __ 4 ​  x  =  ​ 2 ​ + ​ 2 ​

​  ⇔​  ​ − ​ __4 ​ x  =  __ ​ 2 ​ ​     ​|⋅ (− ​ __9 ​)​ 9

7

4

7 · 4

14

​  ⇔​  ​x  =  − ____ ​ 2 · 9  ​  =  − __ ​ 9 ​ ​ 14

​  →​  ​L  =  {   − ​__  9 ​  }​ 3

1

Die Gleichung hat genau eine Lösung. 4

b) ​​ __2 ​ (x − 4)  =  ​ __2 ​ (x − ​ __3 ​) − x​​

Gleichung:

3

1

​  ⇔​  ​ ​ __2 ​ x − 2  =  ​ __2 ​ x − 2 − x​​ 1 ​  ⇔​  ​ ​ __2 ​ x − 2  =  ​ __2 ​ x − 2​​  ​|− __ ​ 2 ​ x + 2​​ 1

1

​  ⇔​  ​0  =  0(w)​ 1

3

4

Die Gleichung __​ 2 ​ (x − 4)  =  ​ __2 ​ (x − ​ __3 ​) − x​​hat unendlich viele Lösungen.

​  →​  ​L  =  ℝ​

Erläuterung zu Aufgabe b): Beim Lösen der Gleichung fällt die Lösungsvariable x heraus und es entsteht eine wahre Aussage. Das bedeutet, 3 1 4 dass die Gleichung __​ ​2 ​ (x − 4)  =  ​ __2 ​ (x − ​ __3 ​ ) − x​immer eine wahre Aussage darstellt, unabhängig davon welche Zahlen für x eingesetzt werden. Um dies zu verdeutlichen, setzen wir für x verschiedene Zahlen ein. ​x  =  1​ oder ​​x  =  2​ 1

3

4

1

3

4

__ ​ 2 ​ ( 1 − ​ __3 ​) − 1​ ​​__  2 ​ ( 2 − 4)  =  ​ __2 ​ ( 2 − ​ __3 ​) − 2​ ​ ​ 2 ​ ( 1 − 4)  =  __

​ ​  ⇔​ 

3

3

1 1 1 2  ​__2 ​ ⋅ (− 3)  =  ​ __2 ​ (− ​__  3 ​) − 1​​ ​​​  ⇔​  __ ​ 2 ​ ⋅ (− 2)  =  ​ __2 ​ ⋅ ​ __3 ​ − 2​​

3 1 ​ ​  ⇔​  − __ ​ 2 ​  =  − __​ 2 ​ − 1​​ ​​  ⇔​  − 1  =  1 − 2​​

​ ​  ⇔​  − __​ 32 ​  =  − __​ 32 ​​  (w) ​​​  ⇔​  − 1  =  − 1​​(w) ​ ​  →​  x  =  1 ist eine Lösung der Gleichung​​ ​​  →​  x  =  2 ist eine Lösung der Gleichung​​

66



2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen

oder ​​x  =  − 2​ 3

1

4

__ ​ ​ 2 ​ ( − 2 − 4)  =  ​ __2 ​ ( − 2 − ​ __3 ​) − ( − 2 )​ 3 10 ​ ​  ⇔​  __​ 21  ​⋅ (− 6)  =  ​ __2 ​ ⋅ (− ​ __ 3 ​  ) + 2​​

​ ​  ⇔​  − 3  =  − 5 + 2​​ ​ ​  ⇔​  − 3  =  − 3​​(w) ​ ​  →​  x  =  − 2 ist eine Lösung der Gleichung​​ 1

3

4

Man erkennt, dass jede Zahl, die für x eingesetzt wird, eine Lösung der Gleichung ​__​ 2 ​ (x − 4)  =  ​ __2 ​ (x − ​ __3 ​ ) − x​ darstellt. Die Lösungsmenge besteht somit aus allen reellen Zahlen (​L  =  ℝ​). c) ​3 x − 2  =  3 x​ ​

Gleichung:

​​​​​  ⇔​  ​ − 2  =  0 (f)​ ​ ​  →​  ​L  =  {  }​

Die Gleichung hat keine Lösung.

Erläuterung zu Aufgabe c): Beim Lösen dieser Gleichung fällt die Lösungsvariable x heraus und es entsteht eine falsche Aussage. Die Gleichung​ 3 x − 2  =  3 x​​ist somit eine falsche Aussage. Das bedeutet, dass es keine Zahl für x gibt, die die Gleichung löst. Die Lösungsmenge ist somit leer. Lösbarkeit einer linearen Gleichung Lineare Gleichungen werden mithilfe von Äquivalenzumformungen gelöst. Führen diese zu einer wahren Aussage, so hat die zugehörige Gleichung unendlich viele Lösungen. Erhält man eine falsche Aussage, ist die Gleichung nicht lösbar. Ansonsten hat die Gleichung eine eindeutige Lösung. Form

Lösbarkeit

z. B. ​0  =  0 (wahre Aussage)​

Die Gleichung hat unendliche viele Lösungen.

z. B. ​0  =  2 (falsche Aussage)​

Die Gleichung hat keine Lösung.

z.  B. ​​x  =  2​

Die Gleichung hat genau eine Lösung.

Aufgaben: 1. Geben Sie an, welche der folgenden Gleichungen nicht lösbar sind. Für alle Gleichungen gilt: G ​   =  ℝ​. 1

4

4

8

a) ​ 2 − (x + 1)  =  ​ __2 ​ x + 2​

__ __ b) ​​ __ 25  ​ ⋅ (2 + x)  =  ​ 25  ​ x + ​ 25  ​

c) ​ − (3 x − 4)  =  − 3 x − 4​

d) ​​__ 2 ​ x − (2 x + ​ __5 ​ )  =  − 2 x − ​__ 5 ​​

1

4

4

7

2. Notieren Sie jeweils eine Gleichung, die unendlich viele Lösungen hat und eine Gleichung, die x  ​​ =  __ ​ 2 ​​ als Lösung hat. Beschreiben Sie, welche Überlegungen Sie beim Erstellen der Gleichungen getätigt haben. 3. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungen. Für alle Gleichungen gilt: G ​   =  ℝ​. 4 x − 4

2

__ a) ​ ​ 3 ​ (x − 2)  =  ​ ____  ​​ 6    1

8

3

c) ​ − __​ 2 ​ (x + ​ __5 ​ ) + 2 x  =  __ ​ 2 ​ (4 + x)​ 2 x

1

3 + x

e) ​ − __ ​ 3 ​  + ​ __2 ​  =  − ___ ​  6     ​​ 3 x + 2

g) ​ − __ ​ 2 ​ ⋅ ​ ___  ​  =  1​ 2    4 x + 1

1

i) ​​x − ​____   3    ​   =  ​ __3 ​ x − 1​

4 x − 8

2

b) ​​__ 3 ​ (x − 2)  =  ​ ____  ​ 6    1 − 2 x

1

d) ​− ​ ____  ​  =  x − ​ __2 ​ 2    2 x − 5

4 1

f) ​​ ____  ​ − 1  =  ​ __3 ​ ( ​__  2 ​ x + 1)​ 3    4 − 2 x

h) ​− 2 ⋅ ​ ____  ​  =  2  x​​​​ 4   

67

2.2 Lösen von linearen Gleichungen

Anwendungsbeispiele für lineare Gleichungen In vielen alltäglichen und beruflichen Situationen stößt man auf lineare Gleichungen. Beispielsweise beschreibt die Gleichung s​   =  v ⋅ t​, welche Wegstrecke s zurückgelegt wurde, wenn man sich eine gewisse Zeitspanne t mit der km Durchschnittsgeschwindigkeit v bewegt hat. Fährt man 2,5 Stunden durchschnittlich ​15 ​ ___    ​mit dem Fahrrad, so legt h man die Wegstrecke von 37,5 km zurück. ​s  =  v ⋅ t​​ km

​s  =  15 ​ ___    ​ ⋅ 2, 5 h  =  37, 5 km​ h Ein anderes Beispiel aus dem Alltag, in dem das Lösen von linearen Gleichungen Anwendung findet, ist das Tanken. Angenommen, ein Liter Benzin kostet 1,30 € und man hat 20 € zur Verfügung: Wie viele Liter kann man tanken? Die Antwort ist denkbar einfach, da sich die Tankkosten k, der Preis pro Liter p und Tankmenge t durch die Gleichung​ k  =  p ⋅ t​ausdrücken lassen. Stellt man diese nach t um und setzt die entsprechenden Größen ein, so erhält man die gesucht Litermenge. k

​k  =  p ⋅ t​​​​  ⇔​  ​t  =  ​ __p ​ 20 € 1, 30 ​ l ​ 

​→  t  =  ​ _____ ​  =  15,38 l​ €    __ Aufgabe: Notieren Sie drei weitere Vorgänge, die durch lineare Gleichung beschrieben werden können, und stellen Sie die jeweiligen Vorgänge mithilfe linearer Gleichungen dar. Lösen der ersten per E-Mail gestellten Aufgabe Nach dem Durcharbeiten dieses Kapitels haben Sie gelernt, was Gleichungen, insbesondere lineare Gleichungen, sind, dass nicht alle Gleichungen eine eindeutige Lösung haben und dass lineare Gleichungen in verschiedensten Gebieten des alltäglichen Leben zu finden sind. Außerdem können sie nun lineare Gleichungen lösen. Mithilfe dieses neu gewonnenen Wissens beziehungsweise der erworbenen Fertigkeiten können wir nun den ersten Teil des Auftrags bearbeiten. Zur Erinnerung: Im Rahmen eines Praktikums bei einer Spedition sollten wir folgende Aufgaben lösen: Überprüfung der Wirtschaftlichkeit einer Auftragserweiterung Die genauen Angaben befinden sich am Beginn dieses Kapitels. Berechnung der zusätzlichen Fahrtstrecke: Der Karte kann man entnehmen, dass die Fahrstrecke zwischen Garching und Hof über die A9 ca. 270 km beträgt. Die Fahrstrecke zwischen Garching und Arzberg über die A93 und anschließend über die Landstraße beträgt ca. 241 km. Von Arzberg nach Hof sind es ca. 46 km. Somit fährt Ludwig aufgrund der Auftragsänderung zusätzlich 17 km. Berechnung der zusätzlichen Kosten für die Spedition: Die zusätzlichen Kosten setzen sich aus den Ausgaben für den Fahrer (Personalkosten P) plus die Kosten pro gefahrenen Kilometer des Kleintransporters (Materialkosten M) zusammen. Die Materialkosten M betragen 10,20 €. Die Personalkosten sind abhängig von der Zeit t € und können durch die Gleichung P = ​20 ​__  h ​ ⋅ t​beschrieben werden.

241 km + 46 km − 270 km =  287 km − 270 km =  17 km Zusätzlich gefahrene Kilometer €

    ​ ⋅ 17 km  =  10, 20 €​ ​M  =  0, 60 ​ ___ km Entstehende Materialkosten für den Umweg €

​P  =  20 ​__  h ​ ⋅ t​ Entstehende Personalkosten für den Umweg

Zusatzkosten für den Umweg:

​K  =  P + M

Somit lassen sich die Zusatzkosten K mittels der rechts stehenden Gleichung berechnen.

K  =  20 ​__  h ​ ⋅ t + 10, 20 €​

€

Entstehende Zusatzkosten für den Umweg

68

2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen

Berechnung der maximalen Zeitdauer: Die Frage ist, wie lange der Fahrer maximal zur Ausführung der Auftragsänderung benötigen darf. Um diese zu beantworten, löst € man die Gleichung K ​   =  20 ​ __h ​ ⋅ t + 10,20  €​ nach t auf und setzt anschließend für K 200 € ein, da die Zusatzkosten maximal diesen Wert annehmen dürfen, ohne dass die Spedition Verlust macht.

K − 10, 20 €

  ​ ​t  =  ________ ​  €    __ 20 ​ h ​

200 € − 10, 20 € t  =  __________ ​      ​  =  9, 49 h​ €  20 ​__  h ​

Maximale Zeitdauer

Einschätzung: Die Auftragsänderung ist wirtschaftlich lukrativ für die Spedition, da Ludwig circa 9 Stunden und 30 Minuten für einen Umweg von 17 km und zum zusätzlichen Entladen Zeit hat. Das sollte problemlos machbar sein. Anhang 2 zur E-Mail der Betreuerin: Zur Erinnerung: Sie absolvieren ein Praktikum bei einer Spedition. Ihre Betreuerin hat Ihnen in einer E-Mail verschiedene Arbeitsaufträge erteilt. Die erste Aufgabe wurde bereits im vorherigen Abschnitt bearbeitet. Im Anschluss befindet sich der zweite von drei Arbeitsaufträgen.  berprüfen Sie bitte den folgenden Auszug des TankÜ buchs eines unserer 40-t-Lkws. Wir benutzen bei diesem Lkw dazu die folgende Gleichung: 33 l

​700 l − ​_____  100 km      ​ ⋅ x  =  700 l − t​  eben Sie mir bitte Bescheid, ob Ihnen UnstimmigkeiG ten auffallen. Unter Unstimmigkeit verstehe ich, wenn die tatsächlich gefahrene Wegstrecke weniger als 90 % beziehungsweise mehr als 110 % der theoretisch mit der verbrauchten Kraftstoffmenge zurücklegbaren Wegstrecke beträgt.

Datum

km-Stand Lkw

Getankte Menge in Liter

Bild 1: Lkw

Tankanzeige vor dem Tanken (Anzahl der aufleuchtenden Striche)

Tankanzeige Nach dem Tanken (Anzahl der aufleuchtenden Striche)

Fahrer

Fassungsvermögen des Tanks: 700 l    Durchschnittlicher Verbrauch: 33 l 15.8.2016

18628

640,25

1

10

Schmidt

16.8.2016

19090

162,16

8

10

Huber

18.8.2016

20250

399,56

4

10

Schmidt

19.8.2016

20970

254,16

6

10

Meister

24.8.2016

21982

598,88

1

10

Schmidt

26.8.2016

23096

355,43

4

10

Schmidt

29.8.2016

23713

191,27

7

10

Huber

 1.9.2016

25570

612,77

1

10

Schmidt

 2.9.2016

25998

149,8

8

10

Meister

 6.9.2016

27487

533,26

2

10

Schmidt

 9.9.2016

28653

384,52

5

10

Schmidt

Tabelle 1: Auszug aus dem Tankbuch

69

2.2 Lösen von linearen Gleichungen

Um das Tankbuch mithilfe der genannten Gleichungen korrekt und effizient auswerten zu können, benötigt man Kenntnisse über Gleichungen mit einer zusätzlichen Formvariablen. In den folgenden Abschnitten wird erläutert, wie mit Gleichungen, die eine zusätzliche Variable enthalten, zu rechnen ist. 2.2.1 Bedeutung einer Formvariablen Arbeitsauftrag: Informieren Sie sich anhand des folgenden Textes, was Formvariablen sind und weshalb diese eingesetzt werden. Bearbeiten Sie anschließend die Aufgaben, die sich am Ende dieses Abschnitts befinden. Um zu verstehen, weshalb Formvariablen eingesetzt werden, betrachten wir folgendes Beispiel. Berechnen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichungen! (G = ℝ) a) 3 x + 1 = 0

b) 3 x + 2 = 0

c) 3 x + 3  =  0

d) 3 x + 4 = 0

e) 3 x + 5 = 0

f) 3 x + 6  = 0

g) 3 x + 7 = 0

h) 3 x + 8 = 0

i) 3 x + 9 = 0

j) 3 x + 10 = 0

Lösungen: 1

a) 3 x + 1 = 0​​  |​ − 1​  ⇔​  ​3 x  =  − 1 |

⇔ x  = − __​ 3 ​



L = ​{− __ ​ 3 } ​ ​ 1

2

b) 3 x + 2 = 0​​  ​|− 2​  ⇔​  ​3 x  =  − 2 | : 3 ⇔ ​ ​x  = − __​ 3 ​ L = ​{− __ ​ 3 } ​ ​ 2



3

c) 3 x + 3  = 0​​  ​|− 3​  ⇔​  ​3 x  =  − 3 | : 3 ⇔ x  = − __​ 3 ​ = − 1 L = ​{− __ ​ 3 } ​ ​ 3



4

d) 3 x + 4 = 0​​  ​|− 4​  ⇔​  ​3 x  =  − 4 | : 3 ⇔ ​ ​x  = − __​ 3 ​ L = ​{− __ ​ 3 } ​ ​ 4



5

e) 3 x + 5 = 0​​  ​|− 5​  ⇔​  ​3 x  =  − 5 |: 3 ⇔ x  = − __​ 3 ​ L = ​{− __ ​ 3 } ​ ​ 5



Betrachtet man die Gleichungen, fällt auf, dass alle eine ähnliche Form haben. Sie unterscheiden sich lediglich im zweiten Summanden (+1 ; +2; +3; +4; +5 …). Die Rechenschritte zum Lösen der einzelnen Gleichungen sind prinzipiell immer gleich. Nämlich minus den zweiten Summanden und anschließend beide Seiten der Gleichung durch 3 dividieren. Mithilfe dieser Vorgehensweise erhält man jeweils die Lösungsmenge der Gleichung. Damit nicht alle Gleichungen, die eine ähnliche Form haben, einzeln gelöst werden müssen, führt man eine sog. Formvariable (auch Parameter genannt) ein. Es wird nun die Lösungsmenge der Gleichung allgemein in Abhängigkeit von dieser Formvariable bestimmt. Lösungen der Beispielaufgabe mithilfe einer Formvariablen: Die Formvariable ist t. t ist Platzhalter für die Zahlen 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ; 10. Man erhält die allgemeine Lösung der Gleichung in Abhängigkeit von der Formvariablen t, indem man die gleichen angegebenen Rechenschritte durchführt. t ​3 x + t  =  0​​  ​|− t​​​​​  ⇔​  ​3 x  =  − t​​​​  |​ : 3​​  ​⇔​  ​x  =  − __ ​ 3  ​

​ ​L​ t​​​  =  { ​ −  __ ​ 3 }  ​ ​ t

​L​ t​​​  =  { ​ −  __ ​ 3 }  ​ ​ist allgemein die Lösungsmenge der Gleichung 3 x + t = 0. Wie kommt man nun von der allgemeinen t

Lösungsmenge auf die Lösungsmengen der einzelnen gesuchten Gleichungen?

70

2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen

Setzt man t = 1 in die allgemeine Gleichung 3​  x + t = 0​ein, erhält man die Gleichung 3​  x + 1 = 0​. Da wir wissen,

dass ​L​ t​= { ​ −  __ ​ 3  } ​ ​die allgemeine Lösungsmenge ist und wir die Lösungsmenge der Gleichung 3 x+1 = 0, also für t = 1, t

suchen, setzt man t = 1 in die allgemeine Lösungsmenge ein und erhält die Lösungsmenge der Gleichung 3 x +1 = 0,

nämlich ​L​ 1​  =  { ​ − __ ​ 3 } ​ ​. Auf diese Weise lassen sich alle weiteren Lösungsmengen der anderen Gleichungen bestimmen. 1

allgemeine Gleichung mit Formvariable

​3  x + t  =  0​

Lösungsmenge der allg. Gleichung

t ​L​ t​  =  { ​ −  __ ​ 3  } ​ ​

Gleichung

Lösungsmenge der Gleichung

t  =  1   ⟶     ​  ​ ⎯

3 x +   1 = 0

​ − __ ​ 3 } ​ ​ ​L​ 1​  =  {

t  =  2   ⟶     ​  ​ ⎯

3 x +   2 = 0

​ − __ ​ 3 } ​ ​ ​L​ 2​  =  {

t  =  3   ⟶     ​  ​ ⎯

3 x +   3 = 0

​ − __ ​ 3 } ​ ​ ​L​ 3​  =  {

t  =  4   ⟶     ​  ​ ⎯

3 x +   4 = 0

​ − __ ​ 3 } ​ ​ ​L​ 4​  =  {

t  =  5   ⟶     ​  ​ ⎯

3 x +   5 = 0

​ − __ ​ 3 } ​ ​ ​L​ 5​  =  {

t  =  6   ⟶     ​  ​ ⎯

3 x +   6 = 0

​ − __ ​ 3 } ​ ​ ​L​ 6​  =  {

t  =  7   ⟶     ​  ​ ⎯

3 x +   7 = 0

​ − __ ​ 3 } ​ ​ ​L​ 7​  =  {

t  =  8   ⟶     ​  ​ ⎯

3 x +   8 = 0

​ − __ ​ 3 } ​ ​ ​L​ 8​  =  {

t  =  9   ⟶     ​  ​ ⎯

3 x +   9 = 0

​ − __ ​ 3 } ​ ​ ​L​ 9​  =  {

t  =  10   ⟶ ⎯⎯     ​  ​ 

3 x + 10 = 0

​ − __ ​  3 ​ }​ ​L​ 10​  =  {

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

​3 x + 1  =  0​ ​3 x + 4  =  0​ ​3 x + t  =  0​

 ​3 x + 2  =  0​​  

…

  3 x + 3  =  0​​​ Eine Gleichung mit einer Formvariablen beschreibt eine Menge von Gleichungen Bedeutung von Formvariablen Mithilfe von Formvariablen können mehrere Gleichungen, die alle die gleiche Form haben, zu einer Gleichung mit einer Formvariablen zusammengefasst werden. Eine Gleichung mit einer Formvariablen beschreibt somit eine Menge von einzelnen Gleichungen.

71

2.2 Lösen von linearen Gleichungen

Aufgaben: 1. Gegeben ist die lineare Gleichung in Abhängigkeit von der Formvariablen t. 3 t 1 __ ​ 2 ​ x − ​ __ 2 ​   =  4​ 

mit ​t  ∈  { − 2; − 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}​

a) Geben Sie drei konkrete Gleichungen an, die durch den obigen Ausdruck beschrieben werden. 3

1

b) Ein Schüler behauptet: »Die Gleichung __​ ​2 ​ x − ​ __4 ​ = 4​wird nicht durch die oben genannte Gleichung be schrieben.« Geben Sie an, ob Sie dieser Aussage zustimmen oder widersprechen. Begründen Sie Ihre Angabe. c) Weisen Sie nach, dass ​L​ t​= { 8 + 3 t}​die allgemeine Lösungsmenge der obigen Gleichung ist. d) Geben Sie mithilfe von 1 c) die Lösungsmengen der Gleichungen für t​ = − 2, t = 2 und t = 5​ an. e) Ermitteln Sie, welche Gleichung aus der gegebenen Menge von Gleichungen x​​ = 5​als Lösung hat. 2.2.2 Lösen einer linearen Gleichung mit einer Formvariablen Arbeitsauftrag: Informieren Sie sich anhand des folgenden Textes und der Beispielaufgaben, wie Gleichungen mit einer Formvariablen gelöst werden. Beim Rechnen mit Formvariablen kommen in der Gleichung zwei Variablen vor. Die Lösungsvariable (meistens x), nach der die Gleichung aufgelöst werden muss, und die Formvariable. Diese dient lediglich als Platzhalter für eine Zahl. Daher kann mit der Formvariable wie mit einer »echten« Zahl gerechnet werden. Welche die Lösungsvariable und welche Variable die Formvariable ist, ist aus der jeweiligen Aufgabenstellung abzuleiten. Lineare Gleichungen mit einer Formvariablen werden prinzipiell wie gewöhnliche lineare Gleichungen gelöst, nämlich indem man die Gleichung direkt nach der Lösungsvariablen (meistens x) auflöst. Bei diesem Vorgehen erhält man keine eindeutige Zahl als Lösung, sondern einen Term, der abhängig von der Formvariablen ist. In der folgenden Aufgabe wird das eben Beschriebene angewendet. 1. Beispielaufgabe Berechnen Sie die allgemeine Lösungsmenge folgender Gleichungen in Abhängigkeit von der Formvariable a! (G = ℝ ; a ∈ {​ − 10; − 9; − 8; . . . 0 . . . ; 1; 2 . . . . . 10}​​) 3 a

1

a) ​ − __​ 2 ​ x + a  =  0​ Lösung a): x ist die Lösungsvariable a ist die Formvariable

b) ​2 x − ​__   2 ​   =  0​ 1

​− ​ __2 ​ x + a  =  0​​  ​

1 ​  ⇔​  ​ − ​ __2 ​ x  =  − a​​​​  ​

c) ​3 x + 3 − 6 a  =  0​ ​ − a​​​

|

|​ ⋅ (− 2)​​

​  ⇔​  ​x  =  2 a​​​​ ​  →​  ​ ​L​ a​​​  =  {​ 2 a}​ Lösung b): x ist die Lösungsvariable a ist die Formvariable

3 a ​ ​2 x − ​ __ 2 ​   =  0​  3 a

​  ⇔​  ​2 x  =  __ ​  2 ​  ​  ​ ​  ⇔​  ​  ⇔​  ​  →​ 

Lösung c): x ist die Lösungsvariable a ist die Formvariable

​|+ ​__   2 ​ ​ 3 a

​| : 2​​

3 a ​ 2 ⋅ 2   ​ ​x  =  ____ 3 a ​  4 ​ ​ ​x  =  __ 3 a ​ ​L​ a​​​  =  { ​ __ ​  4 ​ }​

​3 x + 3 − 6 a  =  0​​  ​  ⇔​  ​3 x  =  − 3 + 6  a​​​​​​​​​​  3 · ​(− 1 + 2 a)​

​|− 3 + 6  a​​​​​​​ | ​  : 3​​

  ​​   ​  ⇔​  ​x  =  _________ ​  3 

3 ausklammern

​  ⇔​  ​x  =  − 1 + 2  a​​​​ ​  →​  ​ ​L​ a​​​  =  {​ − 1 + 2 a}​

3 kürzen

72

2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen

2. Beispielaufgabe Löst man eine Gleichung mit einer Formvariablen, so erhält man eine allgemeine Lösung, die von der Formvariablen abhängig ist. Setzt man für die Formvariable einen konkreten Wert ein, erhält man die konkrete Lösung der zugehörigen Gleichung. 4

Gegeben ist die Gleichung ​__ ​ 3 ​ x − t  =  5​  in Abhängigkeit von der Formvariablen t. (G = ℝ; t ∈ ​{− 10; − 9; − 8; . . . 0 . . . ; 1; 2 . . . . . 10}​​) a) Berechnen Sie die allgemeine Lösungsmenge der Gleichung in Abhängigkeit von t. 4

b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ​__ ​ 3 ​ x − 1  =  5​, also für t = 1. 4

c) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ​__​ 3 ​ x − 5  =  5​, also für t = 5. 4

d) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ​__​ 3 ​ x + 1  =  5​, also für t = −1. 4

e) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ​__​ 3 ​ x  =  5​, also für t = 0. Lösung a): x ist die Lösungsvariable a ist die Formvariable

4 __ ​ 3 ​ x − t  =  5​​ 

| ​ +t​​​

4 ​  ⇔​  ​ __ ​ 3 ​ x  =  5 + t​​​​ 

|​ ⋅ ​ __34 ​

3 · (5 − t)

​  ⇔​  ​x  =  ______ ​  4    ​  15 + 3 t

​  ⇔​  ​x  =  ​ _____  ​ 4    ​  →​  ​ ​L​ t​​​  =  { ​ _____ ​  4     ​ ​ } 15 + 3 t

Lösung b): allgemeine Lösungsmenge:

Lösungsmenge für t = 1:

15 + 3 t ​L​ t​​​  =  { ​ _____ ​  4     ​ ​ }

​L​ 1​  =  { ​ _______ ​  4      ​ ​  =  { ​ __ ​ 4 ​ }​  =  { ​ __ ​ 2 } ​ ​ } 15 + 3 · 1

18

9

Lösung c): allgemeine Lösungsmenge:

Lösungsmenge für t = 5:

15 + 3 t ​L​ t​​​  =  { ​ _____ ​  4     } ​ ​

​L​ 5​  =  { ​ _______ ​  4      ​ ​  =  { ​ __ ​ 4 ​ }​  =  { ​ __ ​ 2 ​ }​ } 15 + 3 · 5

30

15

Lösung d): allgemeine Lösungsmenge: 15 + 3 t ​L​ t​​​  =  { ​ _____ ​  4     ​ ​ }

Lösungsmenge für t = −1:

​L​ −1​  =  { ​ _________ ​      ​ ​  =  { ​ __ ​ 4 ​ }​  =  {​ 3}​ } 4  15 + 3 · (− 1)

12

Lösung e): allgemeine Lösungsmenge:

Lösungsmenge für t = 0:

15 + 3 t ​L​ t​​​  =  { ​ _____ ​  4     ​ ​ }

​L​ 0​  =  { ​ _______ ​  4      ​ ​  =  { ​ __ ​ 2 ​ }​ } 15 + 3 · 0

15

Nutzen von Formvariablen Der wesentliche Nutzen von Gleichungen mit einer Formvariablen besteht darin, dass nur einmal die Gleichung in Abhängigkeit von der Formvariablen gelöst werden muss. In diese allgemeine Lösungsmenge können anschließend verschiedene bzw. gewünschte Werte für die Formvariable eingesetzt werden. Auf diese Weise erhält man zügig die Lösungsmenge der entsprechenden zugehörigen Gleichungen.

73

2.2 Lösen von linearen Gleichungen

Aufgaben: 1. Gegeben ist die folgende Gleichung in Abhängigkeit von der Formvariable a und ein entsprechender Lösungsversuch zur Ermittlung der allgemeinen Lösungsmenge. Beurteilen Sie, ob dieser Lösungsversuch richtig oder falsch ist. Verbessern Sie ihn gegebenenfalls. 3

​− __​ 4 ​ x + 3 a  =  1​ 

3

mit ​G  =  ℝ​ und ​a  ∈  ℝ​.​ ​Lösungsversuch: ​− __​ 4 ​ x + 3 a  =  1



​  ⇔​  3 a  =  1 + ​__ 34 ​ x​​



​ 4 ​ x​​ ​  ⇔​  a  =  __​ 3 ​+​ __

1

1

1

1

​​ ​ ​→   ​L​ a​​​  =  { ​__  3 ​ + ​ __4 ​ x}​ 2. Gegeben ist die folgende Gleichung in Abhängigkeit von der Formvariablen t. 2 __ ​ 3 ​ x + 2 t  =  0​  mit ​t  ∈  ℝ​.

a) Ermitteln Sie die Lösungsmenge dieser Gleichung in Abhängigkeit von der Formvariable t. 3

b) Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Gleichungen für t​   =  − 1, t  =  0, t  =  1 und t  =  __​ 2 ​​. Die Fallunterscheidung Arbeitsauftrag: Informieren Sie sich anhand der folgenden Beispielaufgaben, unter welchen Umständen eine Fallunterscheidung notwendig ist. Bearbeiten Sie danach die anschließende Aufgabe. Das Lösen von linearen Gleichungen mit einer Formvariablen führt häufig auf eine sogenannte Fallunterscheidung. Um zu verdeutlichen, warum eine Fallunterscheidung notwendig ist, betrachten wir die folgende Beispielaufgabe. Entscheidend an diesem Beispiel ist, dass die Formvariable a Platzhalter für alle reellen Zahlen ist, was bedeutet, dass die Formvariable jeden reellen Wert annehmen kann. 1. Beispielaufgabe, um die Problematik zu verdeutlichen Berechnen Sie die allgemeine Lösungsmenge folgender Gleichungen in Abhängigkeit von a. a __ ​ 2 ​ x − 1  =  1​  mit ​x, a  ∈  ℝ​. a __ ​ 2 ​ x − 1 = 1​​  ​ ​|+1​ a ​  ⇔​  ​ __ ​ 2 ​ x  = 2​​  |​ ⋅ 2​

​  ⇔​  ​a ⋅ x  = 4​​  ​​|: a​​​​​  ​( * ) Diese Rechnung gilt für alle Werte für a, außer für a = 0. 4 ​  ⇔​  ​x  =  __ ​ a ​

​  →​  ​ ​La​​​ ​ = ​{__ ​ a } ​ ​ 4

a __ ​ 2 ​ x − 1  =  1​​  ​und  a  =  0​ 0 ​  →​  ​ ​ __2 ​ x − 1  =  1​​  ​

​  ⇔​  ​ − 1  =  1​​  ( f  )​

Erklärung der Problematik: Die Formvariable a ist Platzhalter für alle reellen Zahlen, also auch für a = 0. An der Stelle (*) teilt man die linke und die rechte Seite der Gleichung durch a. Diese Äquivalenzumformung ist für alle Zahlen außer für a = 0 erlaubt. → Daher muss der Fall, dass a = 0 ist, ausgeschlossen werden. Das 4 heißt, dass die allgemeine Lösungsmenge ​L​ a​​​  =  { ​ __ ​ a } ​ ​für alle Werte von a außer für a = 0 gilt.

Wie lautet die Lösungsmenge für den Fall a = 0? Um diese Frage zu beantworten setzt man a = 0 in die Ausgangsgleichung ein und die berechnet die Lösungsmenge.

−1 = 1 ist eine falsche Aussage ⟹ Die Lösungsmenge ist leer. ​L​ 0​  =  {​  }​ Fazit:

Die Gleichung ​ __2 ​ x − 1 = 1​hat für alle Werte von a, außer für a = 0, die allgemeine Lösungsmenge ​L​ a​ = { ​ __ ​ a ​}​​. Für a

4

den Fall, dass a = 0 ist, hat die genannte Gleichung die leere Menge als Lösungsmenge L​ ​ 0​= {​  }​. Diese unterschiedliche Lösungsmenge, je nach Wert der Formvariable a wird als Fallunterscheidung bezeichnet.

74

2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen

Fallunterscheidung: Fall 1:

Fall 2:

für a ∈ ℝ \ {0}  (alle a außer 0)

für a = 0

​L​ a​​​  =  { ​ __ ​ a } ​ ​​ ​​L​ 0​  =  {​  }​ 4

Notwendigkeit einer Fallunterscheidung – 1 – Dividiert man eine Gleichung durch eine Formvariable, so muss der Fall, dass die Formvariable gleich null ist, separat berechnet werden.

In der vorherigen Aufgabe musste die Gleichung durch die Formvariable geteilt werden. Dabei musste der Fall, dass die Formvariable den Wert 0 annimmt, ausgeschlossen werden, da die Division einer Gleichung durch 0 keine erlaubte Äquivalenzumformung ist. Der Fall »Formvariable = 0« wurde daher anschließend separat berechnet. In der folgenden Aufgabe wird eine Gleichung nicht durch die Formvariable alleine, sondern durch einen Term dividiert, der eine Formvariable enthält. Dabei muss wieder der Fall ausgeschlossen werden, für den der Term null wird, da bekanntlich nicht durch 0 dividiert werden darf. Folgendes Beispiel soll die Erklärung konkretisieren. 2. Beispielaufgabe, um die Problematik zu verdeutlichen Berechnen Sie die allgemeine Lösungsmenge folgender Gleichung in Abhängigkeit von a. a − 1 ____ ​  x − 1  =  1​  ​  3   

mit ​x, a  ∈  ℝ​.

a − 1 ____ ​  3    ​  x − 1  =  1​​  ​|+1​​ a − 1 ____ | ⋅ 3​​ ​  ⇔​  ​ ​  3    ​  x  =  2​​  ​ ​

​  ⇔​  ​(a − 1) ⋅ x  =  6​​ 

​|​: (a − 1)​​  ​( * )​

Diese Rechnung gilt für alle Werte für a, außer für a = 1. 6

​  ⇔​  ​x  =  ​ ____      ​ a − 1

Erklärung: An der Stelle (*) werden beide Seiten der Gleichung durch a −1 dividiert. a ist Platzhalter für alle reelle Zahlen. Für den Fall, dass a den Wert 1 annimmt, wird die Gleichung verbotenerweise durch 0 dividiert. Daher muss der Fall a = 1 ausgeschlossen und separat behandelt werden. Für alle anderen Belegungen von a gilt die Lösungsmenge L a.

​  →​  ​ ​L​ a​​​  =  { ​ ____ ​ a − 1      ​ ​ } 6

Die Rechnung gilt für ​a  =  1​.

1 − 1 ____ ​  3     ​ x − 1  =  1​ 0 ​  ⇔​  ​ ​ __3 ​ x − 1  =  1​

​  ⇔​  ​ − 1  =  1​ (  f  ) ​  →​  ​ ​L​ 1​  =  {​  }​ 1. Fall: a​   ≠  1​   ​ ​L​ a​​​  =  { ​ ____ ​ a − 1    }   ​ ​ 6

Gesamtergebnis/Fallunterscheidung

2. Fall: ​a  =  1​   ​ ​L​ 1​  =  {​  }​ Notwendigkeit einer Fallunterscheidung – 2 – Dividiert man eine Gleichung durch einen Term, der eine Formvariable enthält, so muss der Fall, dass der Term gleich Null ist, separat berechnet werden.

75

2.2 Lösen von linearen Gleichungen

Aufgaben: 1. Beschreiben Sie, unter welchen Umständen eine Fallunterscheidung durchzuführen ist. 2. Gegeben ist folgende Gleichung in Abhängigkeit von der Formvariable a. Beurteilen Sie, ob die angegebene Fallunterscheidung passend ist. Begründen Sie Ihre Angabe. ​(a + 1) x  =  4​ 

mit  x,​ a  ∈  ℝ​

Lösungsversuch ​​(a + 1) x  =  4​  ​|: (a + 1)  ∧  a  ≠  0​​



1. Fall: a​   ≠  0​

2. Fall: ​a  =  0​



…

…

3. Gegeben ist folgende Gleichung in Abhängigkeit von der Formvariable k. Vervollständigen Sie den begonnenen Lösungsweg. 5 − k

1

​ ___ ​  x + ​ __2 ​  =  0​  2   

mit  x, ​k  ∈  ℝ​

Begonnene Lösung: 5 − k 1 1 ___ ​ 5 − k ​  x + ​ __2 ​  =  0​  ⇔​  ___ ​  2    ​  x  =  − __ ​ 2 ​  |​ ⋅ 2​ 2   

​  ⇔​  (5 − k) x  =  − 1​  ​|: (5 − k)  ∧  k  ≠  5​ ​  →​  Fallunterscheidung notwendig​​ 1. Fall: ​k  ≠  5​

2. Fall: k​   =  5​

​(5 − k) x  =  − 1  ​|: (5 − k)  ∧  k  ≠  5​

 ​____  ​ x + ​ __2 ​  =  0 2   

1

​ 5 − k      ​ ​  ⇔​  x  =  − ___

5 − 5

1

 ​ ⇔​  . .  . .​

​  →​  ​L​ k​​​  =  …​ 4. Erklären Sie, weshalb bei der vorher gehenden Aufgabe eine Fallunterscheidung für k ≠ 5 und k = 5 durchgeführt werden muss. 5. Gegeben ist folgende Gleichung in Abhängigkeit von der Formvariable t. Bestimmen Sie die Lösungsmenge dieser Gleichung in Abhängigkeit von t. Führen Sie falls notwendig eine Fallunterscheidung durch. t − 2 ___ ​  2   ​  x + 1  =  0​ 

mit  x,​ t  ∈  ℝ​

Lösen der zweiten gestellten Aufgabe des Praktikumsbetreuers Nachdem Sie die vorangegangenen Informationstexte durchgearbeitet und die zugehörigen Aufgaben gelöst haben, wissen Sie jetzt, welchen Zweck Formvariablen besitzen und wie Gleichungen mit einer Formvariablen zu lösen sind. Dieses erworbene Wissen werden wir jetzt verwenden, um die zweite gestellte Aufgabe zu bearbeiten. Zur Erinnerung: Im Rahmen eines Praktikums bei einer Spedition sollten Sie das Tankbuch eines Lkw auf Plausibilität überprüfen. Zur Kontrolle wird die Formel  700 l – 33 l/100 km ∙ x = 700  ǀ – t  verwendet. Wobei x die theoretisch zurücklegbare Wegstrecke mit der Kraftstoffmenge t ist. Laut Betreuerin ist eine Abweichung der tatsächlich gefahrenen Wegstrecke von 10 % von der theoretisch zurücklegbaren Wegstrecke im Toleranzbereich. Weitere Informationen befinden sich am Anfang dieses Kapitels.

76

2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen

Datum

km-Stand Lkw

Getankte Menge in Liter

Tankanzeige vor dem Tanken (Anzahl der aufleuchtenden Striche)

Tankanzeige nach dem Tanken (Anzahl der aufleuchtenden Striche)

Fahrer

Fassungsvermögen des Tanks: 700 l    Durchschnittlicher Verbrauch: 33 l 15.8.2016

18628

640,25

1

10

Schmidt

16.8.2016

19090

162,16

8

10

Huber

18.8.2016

20250

399,56

4

10

Schmidt

19.8.2016

20970

254,16

6

10

Meister

24.8.2016

21982

598,88

1

10

Schmidt

26.8.2016

23096

355,43

4

10

Schmidt

29.8.2016

23713

191,27

7

10

Huber

 1.9.2016

25570

612,77

1

10

Schmidt

 2.9.2016

25998

149,8

8

10

Meister

 6.9.2016

27487

533,26

2

10

Schmidt

 9.9.2016

28653

384,52

5

10

Schmidt

Tabelle 1: Auszug aus einem Tankbuch

Berechnung der theoretisch zurücklegbaren Wegstrecke x mit der verbrauchten Kraftstoffmenge t Laut der Betreuerin liegt eine Unstimmigkeit vor, wenn die tatsächlich gefahrene Wegstrecke weniger als 90 % beziehungsweise mehr als 110 % der theoretisch mit der verbrauchten Kraftstoffmenge zurücklegbaren Wegstrecke beträgt. Wir betrachten die vorgegebene Gleichung. In dieser beschreibt die Variable x die theoretisch mit der Kraftstoffmenge t zurücklegbare Wegstrecke. Berechnung der theoretisch zurücklegbaren Wegstrecke x für jeden Eintrag Für jeden Eintrag des Tankbuchs errechnen wir über die getankte Menge die damit theoretisch zurücklegbare Wegstrecke. Für den Eintrag am 16.8.2016 wäre dies 491 km. Den Toleranzbereich berechnen Die Grenzen des zulässigen Toleranzbereiches betragen laut der Vorgesetzen 90 % beziehungswiese 110 % der errechneten zurücklegbaren Wegstrecke.

700 l – 33 l/100 km ∙ x = 700 l – t t · 100 km

x = _______ ​  33 l    ​  Theoretische zurücklegbare Wegstrecke x in Abhängigkeit von der Kraftstoffmenge t.

t · 100 km

t = 162,16 l in x = _______ ​  33 l    ​​ einsetzen: 162,16 l · 100 km

x = ​ ____________      ​   =​ 491  km 33 l Mit 162,16 l müssten theoretisch 491 km mit dem 40-Tonner zurückgelegt werden können. Untere Toleranzgrenze: 0,9 ∙ 491 km = 441,9 km ≈ 442 km Obere Toleranzgrenze: 1,1 ∙ 491 km = 540,1 km ≈ 540 km

Vergleich der tatsächlich zurückgelegten und der theoretisch zurücklegbaren Wegstrecke Ein Vergleich der tatsächlich zurückgelegten mit der theoretisch zurücklegbaren Wegstrecke gibt Aufschluss, ob eine Auffälligkeit gemäß der Definition des Vorgesetzten vorliegt oder nicht. Die tatsächlich zurückgelegte Wegstrecke kann über die Differenz der Kilometerstände berechnet werden.

Tatsächlich gefahrene Wegstrecke bei Fahrt am 16.8.2016 19 090 km – 18 628 km = 462 km

77

2.2 Lösen von linearen Gleichungen

Ergebnis Die tatsächlich gefahrene Wegstrecke ist im Toleranzbereich. Der Eintrag im Tankbuch ist daher nicht auffällig.

​442 km  ≤  462 km  ≤  540 km​

Nach diesem Schema können alle einzelnen Einträge schnell überprüft werden. Aus mathematischer Sicht ist das t · 100 km Entscheidende, dass man stets die Lösung der Gleichung 700 l – 33 l/100 km ∙ x = 700 l – t, also mit x = _______ ​  33 l    ​​, verwendet, um die mit der Kraftstoffmenge t theoretisch zurücklegbare Wegstrecke zu berechnen.

Datum

km-Stand Lkw

Getankte Menge in Liter

Theoretisch zurücklegbare Wegstrecke in km

Toleranzbereich im km

Tatsächlich zurückgelegte Wegstrecke in km

Fassungsvermögen des Tanks: 700 l    Durchschnittlicher Verbrauch: 33 l 15.8.2016

18628

640,25

1940

1746 ... 2134

16.8.2016

19090

162,16

 491

  442 ...   540

 462

18.8.2016

20250

399,56

1211

1090 … 1332

1160

19.8.2016

20970

254,16

 770

  693 …   847

 720

24.8.2016

21982

598,88

1815

1634 … 1997

1012

26.8.2016

23096

355,43

1077

  969 … 1185

1114

29.8.2016

23713

191,27

 580

  522 …   638

 617

 1.9.2016

25570

612,77

1857

1671 … 2043

1857

 2.9.2016

25998

149,8

 454

  409 …   499

 428

 6.9.2016

27487

533,26

1616

1454 … 1778

1489

 9.9.2016

28653

384,52

1165

1049 … 1282

1166

Der Eintrag am 15.8.2016 kann anhand des vorliegenden Auszugs des Tankbuchs so nicht überprüft werden. Man könnte aber der Betreuerin mitteilen, dass auch dieser Eintrag in Ordnung wäre, wenn der Kilometerstand des Lkws beim vorherigen Tanken zwischen 16494 und 16882 liegen würde. Anhang 3 zur E-Mail der Betreuerin: Zur Erinnerung: Sie absolvieren ein Praktikum bei einer Spedition. Ihre Vorgesetzte hat Ihnen in einer E-Mail verschiedene Arbeitsaufträge erteilt. Im Anschluss befindet sich der dritte. Ich treffe mich heute Abend mit dem Betriebsrat. Wie Ihnen sicherlich bekannt ist, erhalten unsere Fahrer(innen), wenn sie einen ganzen Tag im Ausland unterwegs sind, pro Tag einen Verpflegungszuschlag zusätzlich zu ihrem Gehalt. Dieser ist von Land zu Land unterschiedlich, da die Verpflegungskosten überall verschieden sind. Falls er/sie sich an einem Tag in mehreren Ländern aufgehalten hat, nehmen wir als Grundlage unserer Berechnungen das Land, in dem er/sie um 13:00 Uhr gewesen ist. Anhand der folgenden Tabelle können Sie erkennen, wie hoch das Verpflegungsgeld in welchem Land ist. Der Betriebsrat möchte nun zusätzlich durchsetzen, dass jede(r) Fahrer(in), der einen ganzen Tag im Ausland unterwegs ist, zu seinem normalen Stundenlohn einen Entschädigungsaufschlag erhält.

78

2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen

Land

Verpflegungsgeld pro Tag

Zuschlag auf Stundenlohn

Schweiz

25

In Verhandlung

Dänemark

23

In Verhandlung

Frankreich

22

In Verhandlung

Benelux-Staaten

20

In Verhandlung

Österreich

18

In Verhandlung

Spanien

16

In Verhandlung

Slowenien

15

In Verhandlung

Russland

13

In Verhandlung

Kroatien

13

In Verhandlung

Portugal

13

In Verhandlung

Baltische Staaten

12

In Verhandlung

Slowakei

12

In Verhandlung

Ungarn

11

In Verhandlung

Tschechien

11

In Verhandlung

Polen

8

In Verhandlung

Bulgarien

8

In Verhandlung

Rumänien

7

In Verhandlung

Auch hier gilt: Durchquert ein Fahrer mehrere Länder an einem Tag, dann soll das Land, in dem der Fahrer um 13:00 Uhr gewesen ist, als Grundlage für die Berechnung des Entschädigungszuschlages herangezogen werden. In Berücksichtigung des herrschenden Fachkräftemangels halte ich diese Forderung für gerechtfertigt. Wir von der Geschäftsleitung haben uns überlegt, dass ein Fahrer, der einen ganzen Tag im Ausland unterwegs ist, für 16 Stunden einen Zuschlag auf seinen Stundenlohn erhalten soll. Die Schlafzeiten von 8 Stunden pro Tag werden wir wie bisher nicht vergüten. Insgesamt soll ein Fahrer mit beiden Zuschlägen – Verpflegung und Entschädigung – mindestens 50 €, aber höchstens 100 € am Tag erhalten. Berechnen Sie mir bitte in Vorbereitung auf das heutige Treffen, in welchem Bereich sich der Entschädigungszuschlag pro Stunde für das jeweilige Land bewegen darf, damit die genannten Vorgaben erfüllt werden.

Um den Auftrag der Betreuerin effektiv und zeitsparend zu erledigen, sind Kenntnisse über Ungleichungen notwendig.

2.3 Ungleichung und Relationszeichen Arbeitsauftrag: Informieren Sie sich anhand der folgenden Tabelle über den Unterschied zwischen einer Gleichung und einer Ungleichung. Bearbeiten Sie danach die anschließende Aufgabe. Gleichung

Ungleichung

Beispiel

3 x − 1 = 8

3 x − 1 > 8

Lösungsmenge

In der Lösungsmenge sind alle Zahlen enthalten, die für x eingesetzt werden können, damit die linke und rechte Seite der Gleichung gleich sind. In diesem Beispiel ist L = {3}

In der Lösungsmenge sind alle Zahlen enthalten, die für x eingesetzt werden dürfen, damit wie in diesem Beispiel die linke Seite größer ist als die rechte Seite.

Sind zwei Terme mit einem Istgleich-Zeichen verbunden, wird von einer Gleichung gesprochen.

Sind zwei Terme mit einem Relationszeichen (,≤,≥) verbunden, ist von einer Ungleichung die Rede.

Definition

Bedeutung der Relationszeichen ​≤​  kleiner oder gleich (auch »Kleinergleich« genannt) ​≥​  größer oder gleich (auch »Größergleich« genannt)  größer

In diesem Beispiel ist L = ]3 ;  ∞ [

79

2.3 Ungleichung und Relationszeichen

Beispiele: ​4 x − 3  ≤  5​ Hier werden alle Zahlen gesucht, die für x eingesetzt werden dürfen, damit die linke Seite kleiner oder gleich der rechten Seite ist. ​− 6 x − 3  >  18​ Hier werden alle Zahlen gesucht, die für 0 eingesetzt werden dürfen, damit die linke Seite der Gleichung größer als die rechte Seite der Gleichung ist. Aufgaben: 1. Erklären Sie den Unterschied zwischen den Relationszeichen < und ≤​ ​. 2. Überprüfen Sie, ob ​x = 2 in der Lösungsmenge der folgenden Ungleichung enthalten ist. 4

​− __​ 5 ​ x + 1  ≤  1​ 

(G  =  ℝ)

2.3.1 Lösen von linearen Ungleichungen Arbeitsauftrag: Informieren Sie sich anhand der folgenden Musteraufgabe, wie lineare Ungleichungen gelöst werden. Bearbeiten Sie danach die anschließende Aufgabe. Lineare Ungleichungen werden prinzipiell wie lineare Gleichungen gelöst. Lediglich das Ergebnis muss anders interpretiert werden. In der folgenden Aufgabe wird exemplarisch die Vorgehensweise zum Lösen von Ungleichungen demonstriert. Musteraufgabe zum Lösen von linearen Ungleichungen Berechnen Sie die Lösungsmenge der linearen Ungleichung ​3 x − 1  >  8​  mit G = ℝ. 1. Schritt

Mithilfe von Äquivalenzumformungen die Ungleichung nach x auflösen. ​3 x − 1  >  8​​  ​|+1​​ ​  ⇔​  ​3 x  >  9​​  ​|: 3​​ ​  ⇔​  ​x  >  3​

2. Schritt

Falls notwendig einen Zahlenstrahl zeichnen. x>3 3

3. Schritt

x

Die Lösungsmenge angeben.  ​ →​  ​L  =  ​] 3 ;  ∞ [​

Anmerkungen: (1) Alle Zahlen größer 3 (x > 3) lösen die Ungleichung 3 x − 1 > 8. Setzt man beispielsweise für x die Zahl 5 ein, so erhält man eine wahre Aussage: ​ ​  ​3 ⋅ 5 − 1  >  8​​  ​  ⇔  ​  ​14  >  8​. Die Zahl 3 gehört nicht zur Lösungsmenge. Setzt man nämlich für x die Zahl 3 ein, erhält man folgende falsche Aussage: ​ ​  ​3 ⋅ 3 − 1  >  8​​  ​  ⇔  ​  ​8  >  8​ Diese Aussage ist falsch, da 8 nicht größer 8 ist. (2) Zur Angabe der Lösungsmenge wurde die Intervallschreibweise L​ = ​] 3 ;  ∞ [​verwendet. Alternativ hätte auch die beschreibende Form L {x ∈ ℝ​|x​​​>​3} verwendet werden können.

80

2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen

Aufgaben: 1. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen. (​G  =  ℝ​) 5

1

b) ​​__  2 ​ (2 x − 1)  ≥  __ ​ 2 ​​

a) ​ 2x + 3  4

 t − 4      ​;  ∞[​ ​L​ t​​​  =  ]​  ​___

2. Fall: t < 4

 t − 4      ​​ ​L​ t​​​  =  ]​ − ∞  ; ​___ [

3. Fall: t = 4

​L​ 4​  =  {​  }​

t

t

84

2 Gleichungen, Lineare Gleichungen & lineare Ungleichungen

Lösen von linearen Ungleichungen mit einer Formvariablen Wird eine Ungleichung durch eine Formvariable oder durch einen Term mit einer Formvariablen dividiert, so muss eine Fallunterscheidung durchgeführt werden, da der Ausdruck je nach Wert der Formvariablen positiv, negativ oder gleich null sein kann. Je nachdem, welcher Fall vorliegt, muss das Relationszeichnen beibehalten oder gedreht beziehungsweise der Fall muss separat berechnet werden. < > (Term 1) x   Term 2   ​|: (Term 1)​   und Term 1 ≠ 0 ≤ ≥ Term 1 > 0  Relationszeichen beibehalten Term 1 < 0  Relationszeichen drehen Term 1 = 0  Separat berechnen Das Gleiche gilt sinngemäß, wenn die Ungleichung mit einer Formvariablen oder einem Term, der eine Formvariable enthält, multipliziert wird. Aufgaben: 1. Geben Sie an, unter welchen Umständen beim Lösen einer Ungleichung mit einer Formvariablen eine Fallunterscheidung durchzuführen ist. 2. Es ist beim Lösen der folgenden Ungleichung eine Fallunterscheidung für a < 2, a = 2 und a > 2 durchzuführen. Erklären Sie, weshalb die Fallunterscheidung nach den genannten Werten sinnvoll ist, und geben Sie für jeden Fall die entsprechende Lösungsmenge an. ​(a − 2) x    ___ ​ 3 − t    ​​ − 8 ​  →​  ​L​ t​​​  =  ] ​___  3 − t    ​  ;  ∞[​​

3. Fall: ​t  >  3​ ​(3 − t    − 2​

7      ​ ​  ⇔​  ​x  ≥  ____ ​ 2 t − 4

Für t​ > − 2​ist der Wert des Terms ​2 t + 4 > 0​. (→ 1. Fall)

​  →​  ​ ​L​ t​​​  =  { x  ∈  ℝ​|x  ≥  ____ ​ 2 t − 4      ​}​ 7

​2  t + 4    − 1​ist der Wert des Terms ​k + 1  >  0​. (→1. Fall)

1. Fall: ​k  >  − 1​ 2

     ​ ​  ⇔​  ​x  ≥  ___ ​ k + 1

|

2

​  →​  ​ ​L​ k​​​  =  { x  ∈  ℝ​ x  ≥  ___ ​ k + 1      ​}​ k​  + 1