Trabajo Práctico N° 2: Límites de funciones y Continuidad ASIGNATURA: MATEMÁTICA 1 - LIC. ADMINISTRACIÓN - U.N.R.N. – 2018 A. LÍMITES 1. Graficar una función f con dominio R tal que: a)
lim
lim f(x)=1 , x0
x2
f(x)= -3 y que
lim x 2
f(x)=5
b) Cumpla las condiciones de a) y además f(0)= 2 y f(2)=3 * c)
lim lim f(x) no existe , f(x)= -1 y que x 3 x 5
lim f(x)=1/2 , x 1
lim x 5
f(x) = 2
2. Calcular los siguientes límites, si existen, utilizando el álgebra de límites.
lim a) x2 x 2 x2 * d) f)
lim b) x3
x2 4 ln 1 c) lim x 2 x
x x 1 3
lim 1 1 e x 2 ln( 2 x) x 0 x 3x 2
lim ln x 1
g)
x 1
* e)
lim ln x 1
h)
x 1
lim 1 1 e x 2 ln( 2 x) x x 3x 2
lim ln x 1
x
lim e3 x
i)
x
3. Calcular los siguientes límites (usar límites laterales):
x lim lim lim 1 1 b) * c) 2 x2 x2 x0 x x0 x x 1 lim f ( x) d) , si es: f ( x) x 2 5 si x 3; f ( x) 4x 2 si x 3 e) lim f ( x), si f ( x) e x 1 x 3 0 4. Indeterminación 0/0. Calcular los siguientes límites: a)
a)
lim x 2 25 x5 x5
lim (1 x) 2 1 x x0
b)
c)
x 2 lim x4 x4
* d)
x 1 x 1
lim 1 x 1 x x x0
5. Indeterminación ∞/∞. Calcular los siguientes límites: a)
3x 2 8 x 6 lim x2 x
b)
lim 2x 2 4x 1 2 x 9 x 2
c)
lim 6x 7 3 x x 1
*6. Indeterminación ∞-∞. Calcular los siguientes límites: a)
lim x
1 x x
x 3 7. a) Si f ( x) x k x b) Dada
b)
2x2 5 lim 2 x x x 3
si x 1 si - 1 x 1
Hallar
si x 1 si x 1
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lim x
lim x 1 3 x x x 2 1
x
2
5x x
i) f (1) ii) lim f ( x) iii) lim f ( x) iv) lim f ( x) x 1
x 1
x 1
Determinar el valor de k para que el límite en x=1 exista. Graficar la función, considerando dicho valor k.
si x 1
kx-1 f ( x) 2 x +2
c)
*d)
Hallar
i) f (1) ii) lim f ( x) iii) lim f ( x) x 1
x 1
Determinar el valor de k para que el límite en x=1 exista. Graficar la función, considerando dicho valor k. Página - 1 -
8. Calcular los siguientes límites, sabiendo que a)
lim sen(8 x ) x x0
b)
lim sen(2 x) x 0 sen(5 x)
lim senx 1 : x0 x lim 2sen2 ( x / 2) * c) x x0
* d)
lim sen (3x) x 0 x tgx
x
lim lim 1 1 x1x e 9. Calcular los siguientes límites, sabiendo que 1 x x x0 a)
lim 1 x
1 x
3x
* b)
lim 3 1 x x
4x
*c)
10. Calcular los siguientes límites: lim lim 6x 3 2 5x 8 a) b) x 2x 2 x 1 x 2x 1
lim ( x 1) 2 e) x x2 1 *i)
lim x ex x
c)
lim tg ( x 3) *f) x 3 3x 9
1 lim (1 3 x) x x0
lim 3x 2 4 x 2 x 4x 2
lim *g) x
x 2 2x x
x 1 lim 2 k) x 1 x 1
lim sen( x) 2 j) x 0 x 2x
d)
d)
lim ln( 1 x) x x0
lim 3 x 5 x4 4x x
lim 6 2 *h) 1 x 4x l)
lim x 2 4 x 21 x2 9 x 3
11. Graficar funciones que cumplan con lo indicado. En c) dar la ecuación de las asíntotas. a) Que las rectas x = 3, x = –1, y = 2x +1 sean asíntotas. b) Que Dom(f)= y que las rectas y = – x e y = 2x sean asíntotas. lim lim lim c) Que f(x) = +∞ , f(x) = +∞ y f(x) = -∞. x2 x 2 x 2 12. Hallar las asíntotas de las siguientes funciones: a) f ( x )
1 x2
e) f ( x) e
x
* b) f ( x)
1 x3
x2 f) f ( x) 2 x 4
c) f ( x) x
1 x
x2 1 g) f ( x) x 1
* d) f ( x)
4x 3 2x 2
* h) f ( x) tg ( x)
13. Escribir las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes funciones:
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kx 1 ? 3x 15. Para producir un artículo una empresa tiene un costo fijo de 5000$, mientras que el costo variable es de 6$ por unidad producida. i) Determine la función de costo total C(x) para producir x unidades y la función costo medio (o costo total por unidad producida: C(x)/x). ii) Demuestre que el costo medio se aproxima a un nivel de estabilidad (y determine cuál es), si la empresa lim C ( x) aumenta continuamente su producción (para ello, tome el ). x x * 14. ¿Qué valor debe tomar la constante k para que y=1 sea asíntota de la función f ( x)
B. CONTINUIDAD 16. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos especificados: a) f ( x) x 2 1 en
* b) f ( x) | x |
x2
en
c) f ( x ) 1
x0
x0
en
x
2 1 x 1 en x 1; x 1 * e) f ( x) f) f ( x) x 16 en x 4 en x 0 x 1 |x| x4 17. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en todo su dominio y clasificar sus discontinuidades. De ser posible redefinirlas para que sean continuas. x 3 1 si x 3 2 2 x 1 si x 2 a) f ( x ) b) c) f ( x) 2 x 5 si x 5 f ( x ) 40 si x 3 2 si x 2 3 7 x 4 si x 5
d) f ( x)
2 x 2 10 si x 3
*d) f ( x) 7 x 3 2
e) f ( x)
x 4
ln( x 1)
si x 0 si x 0 5 x si x 0
g) f ( x) 1
h)
1 x
2x 2 x 3x 4
f) f ( x) 1 x
2
si
e x 1
sen x cos x g ( x) 8 3 5 8 x 1
x 0 si x 0 si x 0 si
e f ( x) x 2 3 e ( 2 x 4 )
si
( x2)
*i)
si 20 x 2 x2
si si
x 1 x 1 x 20
18. Hallar el valor de “m” para que las siguientes funciones resulten continuas: 2 x 2 5x 6 e x 1 si x 3 x 3 si x 2 a) f ( x) x 3 *b) c) f ( x ) f ( x ) 3x 2 m m 2 si x 3 x m si x 2 19. Dar ejemplos y graficar funciones que cumplan las siguientes condiciones: a) Con dominio en (–2,6) y discontinua en x=0 b) Con dominio en R e imagen en , 0 , y continua.
x0 x0
c) Con dominio en 0 ; e imagen en R y con una discontinuidad evitable. d) Dominio= R, y una discontinuidad esencial y dos evitables.
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x 3 3x 1 *20. Determinar si es posible aplicar el teorema de Bolzano a la función f ( x) x
en los
intervalos [-2,1] y [1,2]. En caso afirmativo, decir qué conclusión podemos sacar.
*21. Demostrar que los siguientes polinomios tienen una raíz real en el intervalo indicado (usar Teorema de Bolzano): 3 a) P( x) x 3x 1 entre 1 y 2 b) 3x 4 5x3 2 x 3 0 entre 0 y 1 *22. La función f ( x )
1 definida en el (0,2] es continua en este intervalo, posee un mínimo en x=2, pero x
a medida que se acerca al cero crece infinitamente. ¿Por qué no se cumple entonces el teorema de Weierstrass?
*23. i) Determinar los ceros de f ( x) x ( x 4) x 2 x . ii) Usar el teorema de conservación del signo para funciones continuas y determinar los intervalos de positividad y negatividad de f(x). 2
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