INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

τ = tensión tangencial o tensión de corte. De la misma forma que se grafica la relación σ- ε, puede hacerse con la de τ

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ESTABILIDAD II

CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

1 INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 1.1.

RESISTENCIA DE MATERIALES

1.1.1. Conceptos Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, con los que se ha tratado en la cátedra de ESTABILIDAD I, no existen en la realidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de cargas, en realidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente con instrumentos especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del movimiento del sólido, por lo que la Mecánica Teórica prescinde de ellas. Sin embargo, sin el estudio de estas deformaciones sería imposible resolver un problema de gran importancia práctica como es el de determinar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de una pieza, o aquellas en las que la misma puede servir sin tal peligro. Las construcciones que el ingeniero encuentre en su práctica tienen, en la mayoría de los casos configuraciones bastante complejas. Los diversos elementos de estas se reducen a los siguientes tipos simples. a) Barra: Es un cuerpo que tiene dos dimensiones pequeñas en comparación con la tercera, como caso particular, pueden ser de sección transversal constante y de eje rectilíneo.

Fig. 1.1: Barra de eje curvo

Fig. 1.2: Barra de eje recto

La línea que une los centros de gravedad de sus secciones transversales se denomina eje de la barra. b) Placa: Es un cuerpo limitado por dos planos, a distancia pequeña en comparación con las otras dimensiones.

Fig. 1.3: Placa /2004

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c) Bóveda: Es un cuerpo limitado por dos superficies curvilíneas, a distancia pequeña en comparación con las otras dimensiones.

Fig. 1.4: Bóveda

d) Bloque: Es un cuerpo cuyas tres dimensiones son del mismo orden. En la Resistencia de Materiales (Estabilidad II) se estudian principalmente, los casos de barras que tienen sección constante y eje recto. Entenderemos por falla de una estructura o de determinadas partes de la misma a la rotura, o sin llegar a ello, a la existencia de un estado inadecuado. Esto último puede ocurrir por varios motivos: deformaciones demasiado grandes, falta de estabilidad de los materiales, fisuraciones, pérdida del equilibrio estático por pandeo, abollamiento o vuelco, etc. En este curso limitaremos el estudio a la falla por rotura, deformaciones excesivas o pandeo. La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores. La diferencia entre la Mecánica Teórica y la Resistencia de Materiales radica en que para ésta lo esencial son las propiedades de los cuerpos deformables, mientras que en general, no tienen importancia para la primera. Feodosiev ha dicho que la Resistencia de Materiales puede considerarse como Mecánica de Los Sólidos Deformables. La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples de cálculo, aceptables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos más frecuentes de las estructuras, empleando para ello diversos procedimientos aproximados. La necesidad de obtener resultados concretos al resolver los problemas prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificativas, que pueden ser justificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos, o los obtenidos aplicando teorías más exactas, las cuales son más complicadas y por ende usualmente poco expeditivas. Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos: a) Dimensionamiento b) Verificación En el primer caso se trata de encontrar el material, las formas y dimensiones mas adecuadas de una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplir su cometido: § § §

Con seguridad En perfecto estado Con gastos adecuados

El segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y es necesario conocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitaciones actuantes.

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1.1.2.

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Hipótesis fundamentales

a) El material se considera macizo (continuo). El comportamiento real de los materiales cumple con esta hipótesis aún cuando pueda detectarse la presencia de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuesta por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada. Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo de las funciones continuas. b) El material de la pieza es homogéneo (idénticas propiedades en todos los puntos). El acero es un material altamente homogéneo; en cambio, la madera, el hormigón y la piedra son bastante heterogéneos. Sin embargo, los experimentos demuestran que los cálculos basados en esta hipótesis son satisfactorios. c) El material de la pieza es isótropo. Esto significa que admitimos que el material mantiene idénticas propiedades en todas las direcciones. d) Las fuerzas interiores, originales, que preceden a las cargas, son nulas. Las fuerzas interiores entre las partículas del material, cuyas distancias varían, se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas moleculares que existen en un sólido no sometido a cargas. Esta hipótesis no se cumple prácticamente en ninguno de los materiales. En piezas de acero se originan estas fuerzas debido al enfriamiento, en la madera por el secamiento y en el hormigón durante el fraguado. Si estos efectos son importantes debe hacerse un estudio especial. e) Es válido el principio de superposición de efectos. Ya se ha hecho uso de este principio en la cátedra de ESTABILIDAD I, para el caso de sólidos indeformables. Al tratarse de sólidos deformables este principio es válido cuando: - Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños en comparación con las dimensiones del sólido. - Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas. Estos sólidos se denominan “sólidos linealmente deformables”. Por otro lado, siendo que las deformaciones son pequeñas, las ecuaciones de equilibrio correspondiente a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su configuración inicial, es decir, sin deformaciones. Lo que hemos enunciado en este último párrafo es válido en la mayoría de los casos, no obstante, cuando analicemos el problema del pandeo de una barra elástica veremos que este criterio no puede ser aplicado. f) Es aplicable el principio de Saint – Venant Este principio establece que el valor de las fuerzas interiores en los puntos de un sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo concreto de aplicación de las mismas. Merced a este principio en muchos casos podremos sustituir un sistema de fuerzas por otro estáticamente equivalente, lo que puede conducir a la simplificación del cálculo. g) Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas Las cargas se dicen que son estáticas cuando demoran un tiempo infinito en aplicarse, mientras que se denominan cuasi-estáticas cuando el tiempo de aplicación es suficientemente prolongado. Las cargas que se aplican en un tiempo muy reducido se denominan dinámicas, y como veremos en el ca/2004

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pítulo 11, las solicitaciones internas que producen son sensiblemente mayores que si fuesen estáticas o cuasi-estáticas.

1.1.3.

Método

Al realizarse el estudio de un objeto o sistema real se debe comenzar por la elección de un esquema de cálculo. Para realizar el cálculo de una estructura se debe, ante todo, separar lo importante de lo que carece de importancia, es decir, se debe esquematizar la estructura prescindiendo de todos aquellos factores que no influyen significativamente sobre el comportamiento del sistema como tal. Este tipo de simplificación es en todos los casos absolutamente necesario, puesto que la solución del problema que considere todas las propiedades de la estructura es imposible debido a que, en general éstas son inagotables. Supongamos, por ejemplo, que deseamos calcular la resistencia del cable de un ascensor. Debemos considerar ante todo el peso de la cabina, su aceleración y, en el caso de que se eleve a gran altura, el peso del cable. Simultáneamente, podremos dejar de lado algunos factores de poca importancia como la resistencia aerodinámica que ofrece al ascensor, la presión barométrica a distintas alturas, la variación de la temperatura con la altura, etc. Un mismo cuerpo puede tener esquemas de cálculo diferentes, según la exactitud pretendida y según el aspecto del fenómeno que interesa analizar. Por otro lado, un hecho muy importante a tener en cuenta es que a un mismo esquema de cálculo pueden corresponderle muchos objetos reales. Esto reviste gran importancia, pues al estudiar teóricamente cierto esquema de cálculo se puede obtener la solución de toda una serie de problemas reales comunes al esquema dado.

Fig. 1.5

Al escogerse el esquema de cálculo se introducen ciertas simplificaciones en: a) La geometría del objeto. Así un sólido muy alargado se puede idealizar con una barra. b) Los vínculos. Usualmente se consideran ideales. c) Los sistemas de fuerzas aplicadas: es conocido por ejemplo, que las cargas concentradas F ig. 1.1 prácticamente no existen en la realidad, sino que son las resultantes de fuertes presiones localizadas en zonas pequeñas. d) Las propiedades de los materiales. En el ítem anterior hemos hecho consideraciones al respecto. El paso siguiente a la elaboración del esquema de cálculo corresponde a la resolución numérica del problema, para lo cual, las bases fundamentales de la Resistencia de Materiales se apoyan en la Estática, la que resulta sumamente importante en la determinación de las solicitaciones internas y de las deformaciones. Aún cuando a partir del encauzamiento del estudio por la vía de las operaciones matemáticas pareciera que el trabajo ha concluido, debemos dejar bien en claro que el cálculo no consiste solamente en el empleo de fórmulas. En efecto, debemos tener muy presente que lo que se ha resuelto no es el sistema real sino un modelo matemático. Esto significa que los resultados deben ser adecuadamente interpretados, y eventualmente corregidos para acercarse lo más próximo posible a la solución real. /2004

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Finalmente, y a título de resumen, podemos decir que el método de la Resistencia de Materiales, que no es sino el de la Mecánica Aplicada puede enunciarse de la siguiente manera: 1) Elección de un esquema de cálculo (elaboración de un modelo matemático). 2) Resolución matemática del problema 3) Interpretación de los resultados en función del sistema físico real.

1.2.

CONCEPTOS DE TENSIÓN Y DE DEFORMACIONES ESPECÍFICAS

Como introducción al tema observemos la máquina de la figura 1.6 la función de esta prensa es la de ensayar muestras de materiales sometidos a esfuerzos de compresión. Para ello se coloca la muestra sobre el piso de la base y se aprieta el extremo del tornillo contra ella haciendo girar el volante del extremo superior. Esta acción somete así a la porción inferior del tornillo a compresión axial y a las barras laterales a tracción axial. Se observa también que la cruceta de cabeza está sometida a flexión y corte, y la parte superior del tornillo a torsión. Si consideramos los compone ntes de prensa, vemos que los mismos están sometidos a diferentes tipos de solicitaciones, las que como ya se ha estudiado en ESTABILIDAD I, generan esfuerzos internos. Por ejemplo, podríamos trazar los diagramas característicos correspondientes a momentos flectores y corte en la cruceta de cabeza. Si tomamos ahora una de las barras laterales y le realizamos un corte como el a-a indicado, veremos que para que la parte superior se encuentre en equilibrio (ver figura 1.7), en esta sección debe aparecer una fuerza F que en realidad representa la acción de la otra parte eliminada. Ahora bien, ¿debemos suponer que en la sección indicada aparece en realidad una fuerza concentrada F? La intuición nos dice que eso no parece lógico, lo razonable es que aparezcan solicitaciones en cada punto de la sección considerada, que no son otra cosa que los esfuerzos que actúan en cada partícula manteniendo la continuidad del cuerpo. La ley matemática que podría corresponderle a estas solicitaciones podía ser la que se indica en la figura 1.7, aunque no lo podemos afirmar rigurosamente si no hacemos un buen estudio del problema. Fig. 1.6

σ

Fig. 1.7 /2004

=

Fig. 1.8 5

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Observemos a continuación el tornillo 2, vemos que en la sección indicada aparece un momento tordente. Nuevamente, es de suponer que este esfuerzo es en realidad el resultante de un conjunto de solicitaciones que actúan punto a punto, y con una ley semejante a la indicada en la figura 1.8. También podemos observar que en este caso las solicitaciones no son similares a las anteriores, ya que antes teníamos fuerzas distribuidas uniformemente y perpendiculares a la sección, mientras que ahora las fuerzas son yacentes en la sección, con intensidades y sentido cambiantes A partir de todas las consideraciones anteriores podemos formular una hipótesis: “Los esfuerzos internos en una sección cualquiera de un cuerpo se desarrollan punto a punto”. Esta hipótesis será de gran importancia y, como se ve en otros cursos, pueden demostrarse experimentalmente. Si consideramos un cuerpo sometido a cargas exteriores en equilibrio, y lo dividimos en dos partes mediante la intersección con un plano cualquiera, sabemos que en la sección originada aparecerán fuerzas que mantienen el equilibrio de la porción. Si en la sección tomamos un punto P y un entorno de área ∆Ω, sobre dicha área existirá una fuerza elemental ∆F. Haciendo el cociente de ∆F/∆Ω, con ∆Ω ∆ tendiendo a cero, definiremos como “vector tensión total o ∆Ω tensión resultante en el punto P, al siguiente límite. ρ = lim

∆ Ω→ 0

∆F ∆Ω

(1.1) Fig. 1.9

La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediante tres parámetros: intensidad, dirección y sentido. Por otro lado, la dimensión que tiene es la de una fuerza por unidad de área, y puede medírsela, por ejemplo, en Kg/cm2 (KN/cm2 )

Sistema Internacional de Unidades Fuerza Newton Momento Newton × metro Presión Pascal

1 N ≅ 0,1 Kgf N.m Pa = N / m2

τ

ρ σ

Fig. 1.10

El vector tensión total puede descomponerse según dos direcciones, una normal al plano de la sección y otra contenida en el mismo, obteniéndose así dos componentes de tensión denominadas tensión normal (σ) y tensión tangencial (τ). Ver figura 1.10. Volviendo nuevamente al caso de la barra lateral de la prensa, cuando más gira el volante superior mayor es la fuerza que debe absorber la barra. Se observa, así mismo, que la barra se estira ligeramente de modo que para cada valor de F se produce un pequeño alargamiento δ. Como el esfuerzo F es constante en toda la barra, todas las fibras longitudinales están estiradas uniformemente. Podemos entonces establecer el cociente entre el desplazamiento δ y la longitud L de la barra cuando está descargada, a este cociente lo denominamos “deformación unitaria o especifica”

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Fig. 1.11

ε=

δ L

(1.2)

Observamos que ésta no tiene unidades, es decir, es una magnitud adimensional. Ahora bien, si todas las fibras se han alargado igual, cada punto del cuerpo está caracterizado por tener la misma deformación especifica, aunque en otros casos esto podría no ser así, con lo que cada punto tendría un valor distinto de ε. De las consideraciones anteriores podemos deducir que cada punto de la barra tiene una tensión y una deformación. Cabe entonces una pregunta: ¿las tensiones y las deformaciones están relacionadas entre sí? Resolveremos este interrogante en el próximo ítem. Supongamos ahora que quisiéramos graficar la variación Carga – Desplazamiento (F – δ):

Ω

L

δ Fig. 1.12

F Para nuestro análisis, consideremos la posibilidad de combinar las variables sección y longitud; manteniendo las características del material constante.

L1

Ω1

L2

Ω2

Dónde: Ω 2 > Ω1 L2 > L1

Fig. 1.13

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Aún cuando se trata del mismo material, la representación Carga – Desplazamiento va a variar si tomamos en cuenta la sección o la longitud de la barra. F

Ω 2 – L1 Ω 2 – L2 Ω 1 – L2 δ Fig. 1.14

1.3.

ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES

1.3.1. Elasticidad y Plasticidad Si retomamos nuevamente el ejemplo de la barra traccionada, podemos ver que si la fuerza F cesa, el alargamiento δ desaparece completa o parcialmente, es decir, la barra tiende a recuperar su longitud original L. Esta propiedad que posee un material de volver parcial o completamente a su forma inicial una vez que desaparece la carga es lo que se llama “elasticidad”. Si la barra recupera completamente su longitud inicial, se dice que el material es “perfectamente elástico”; de lo contrario se dice que es “parcialmente elástico”. La “plasticidad” es una propiedad opuesta, un material es “perfectamente plástico” cuando al dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene su configuración deformada. En la realidad ningún material resulta perfectamente elástico o perfectamente plástico. Algunos materiales como el acero, aluminio, goma e incluso la madera y el hormigón pueden ser considerados como perfectamente elásticos dentro de ciertos límites, es decir, si no están excesivamente cargados. Otros materiales como la arcilla y la masilla pueden considerarse como perfectamente plásticos.

1.3.2. Ley de Hooke La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de Materiales y es válida dentro de lo que se denomina régimen lineal elástico. Esta ley establece que si la tensión normal σ se mantiene por σ debajo de un cierto valor σp , llamado tensión de proporcionalidad, las deformaciones específicas y las tensiones son directamente proporcionales.

σ = E .ε

(1.3)

arc tg E /2004

ε

8 Fig. 1.15

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E: Recibe el nombre de Módulo de Elasticidad Longitudinal, o módulo de Young. El valor de E es una característi-ca de cada material. 1.3.3. Diagrama tensión - deformación (σ - ε ) del acero común Al resolver los problemas de la Resistencia de Materiales nos encontramos con la necesidad de tener ciertos datos experimentales previos sobre los cuales se pueda basar la teoría. Por ejemplo, para poder establecer la ley de Hooke se hace necesario conocer el módulo E, el cual debe determinarse experimentalmente. 1 Para obtener los datos antes mencionados se pueden realizar distintos tipos de ensayo, de los cuales uno muy difundido es el de tracción. Para este ensayo usualmente se emplean probetas especiales, que consisten en barras de sección circular, las cuales son estiradas en una máquina especialmente diseñada para el ensayo. Como veremos en el próximo capítulo, cuando una barra esta sometido a un esfuerzo axial P, aparecen internamente tensiones normales σ calculables a través de la siguiente expresión: Ω

P σ = Ω

(1.4) L Fig. 1.16: Probeta de acero

Dónde Ω es el área de la sección transversal de la barra. Sabemos también que se originan desplazamientos δ. Si entonces se miden los valores (P ; δ) para cada escalón de carga, se pueden graficar los valores (σ ; ε), que se evalúan mediante las expresiones ya conocidas. Para el caso del acero común, también llamado acero dulce, que es de bajo contenido de carbono, el diagrama tenso-deformación resulta como el de la figura siguiente.

En este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadas características: a) Período elástico

1

Área de "Ensayo de Materiales"

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Este período queda delimitado por la tensión σe (límite de elasticidad). El límite de elasticidad se caracteriza porque, hasta llegar al mismo, el material se comporta elásticamente, es decir que pro-

ducida la descarga, la probeta recupera su longitud inicial. En la práctica, este límite se considera como tal cuando en la descarga queda una deformación especifica remanente igual al 0.001 %. Este período comprende dos zonas: la primera, hasta el σp (límite de proporcionalidad), dónde el material verifica la ley de Hooke. La segunda entre σp y σe, si bien es elástica, no manifiesta proporcionalidad entre tensiones y deformaciones.

En la primer zona :

dσ σ = =E dε ε

(1.5)

En la segunda zona :

dσ = f (ε ) = Módulo de elasticida d reducido dε

(1.6)

En general, los límites de proporcionalidad y de elasticidad difieren muy poco entre sí. b) Período elasto-plástico Para valores de tensión superiores al límite elástico, si la pieza fuera descargada no recobraría su dimensión original, apreciándose una deformación remanente acorde con la carga aplicada. A medida que aumenta la solicitación, la gráfica representativa es la de una función para la cual disminuye el valor de su tangente, tendiendo a anularse en el tramo final del período, al cual se llega con un valor de tensión que se indica como σf (tensión de fluencia). c) Período plástico (fluencia) Una vez arribado al valor de tensión σf (límite de fluencia), el material fluye, es decir, aumentan las deformaciones sin que existe aumento de tensión. En realidad este fenómeno no es tan simple, ya que puede verse que la tensión oscila entre dos valores límites y cercanos entre sí, denominados límites de fluencia superior e inferior, respectivamente. La tensión de proporcionalidad resulta ser aproximadamente el 80% de la tensión de fluencia. σ p ≅ 0.8 σ F

(1.7)

Las investigaciones demuestran que durante la fluencia se producen importantes deslizamientos relativos entre los cristales. Como consecuencia de estos deslizamientos, en la superficie de la probeta aparecen las llamadas líneas de Chernov - Lüders, que forman con el eje de la misma un ángulo de 45º.

Fig. 1.18

d) Período de endurecimiento y de estricción Como consecuencia de un reacomodamiento cristalográfico, luego de la fluencia el material sufre un re-endurecimiento, que le confiere la capacidad de incrementar la resistencia, es decir, puede admitir un incremento de carga. Sin embargo en este período las deformaciones son muy pronunciadas. La tensión aumenta hasta alcanzar un valor máximo σR, denominado “tensión de rotura”, a partir del cual la tensión disminuye hasta que alcanza una determinada deformación de rotura, produciéndose la rotura física.

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Fig. 1.19: 10 Fenómeno de estricción

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La tensión σR no es en realidad la máxima tensión que se origina en la probeta sometida a carga. En efecto, alcanzado el valor de la deformación es-

pecífica correspondie nte a σR, comienza a manifestarse en la probeta un fenómeno denominado “estricción”. Este consiste en la reducción de una sección central de la pieza. Esta reducción, progresiva con el aumento de la carga, hace que las tensiones aumenten y que, en realidad, el diagrama efectivo en lugar de presentar su concavidad hacia abajo muestra un punto de inflexión en las vecindades de σR y cambia su curvatura presentando una rama creciente hasta alcanzar la deformación de rotura ε R. Debido a lo que hemos mencionado recientemente el diagrama que acabamos de ver suele denominarse “diagrama convencional σ - ε”, ya que los cálculos de las tensiones se realizan siempre sobre la base de suponer la sección transversal constante, con área igual a la inicial. Una valoración cuantitativa del fenómeno de estricción esta dada por el “coeficiente de estricción lateral”, el cual se define según la siguiente expresión:

ϕ=

Ωi − Ωf

σ

Ωf

Diagrama efectivo

Dónde: Ω i = área inicial Ω f = área final

Diagrama convencional

En los aceros comunes ϕ ≈ 50 %

1.1.1.1.Fi g. 1.13

ε

ε

R

Fig. 1.20: Diagrama efectivo y convencional

Si al realizar el ensayo de un acero común, una vez alcanzado un punto tal como el M de la gráfica de la figura 1.14, se descarga la probeta, se llega a una tensión nula a través de una recta paralela a la que define el período elástico, quedando una deformación remanente. Si la probeta vuelve a cargarse retoma la curva en el punto N, pero con un nuevo recorrido donde ya no existe el período de fluencia. Así mismo, la zona recta se prolonga hasta un valor σ'p > σp.

σ

N M

σ'p

σp

α

α

ε

Fig. 1.21: Endurecimiento mecánico del acero dulce

El fenómeno anterior de denomina endurecimiento mecánico o por trabajo en frío, y también puede lograrse por laminado en frío, trafilado o torsión. El trafilado se utiliza para endurecer alambres o barras circulares finas, y el torsionado especialmente para barras redondas (en general, con conformaciones superficiales), para hormigón armado. Para estos aceros endurecidos mecánicamente o los de dureza natural, logrado por un mayor contenido de carbono o mediante aleaciones especiales, el diagrama σ - ε resulta ser substancialmente distinto del que hemos visto hasta este punto. Las características más importantes son las siguientes: /2004

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§ § § §

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Sus límites de proporcionalidad y elasticidad son más elevados que los aceros comunes. No poseen un límite de fluencia definido ni tampoco zonas de escurrimiento plástico. La deformación de rotura se reduce considerablemente. Como consecuencia de no existir un límite de fluencia definido, este se determina en forma convencional como la tensión para la cual la deformación especifica remanente alcanzan al 0.2 %.

Los materiales como el acero dulce, que presentan una gran capacidad de deformación antes de alcanzar la rotura, se denominan “dúctiles”. Podemos decir que estos materiales avisan la rotura física, ya que antes de alcanzarse la misma las deformaciones son tan grandes, que la estructura llega a la falla por este motivo. Los materiales como el acero duro, para los cuales la rotura se produce bruscamente, sin grandes deformaciones previas, se denominan “frágiles”.

σ σR σF σp

εp

ε R = 12 %

ε

0,2 % Fig. 1.22: Límite Convencional de Fluencia σ 0,2

1.3.4. Diagrama tensión – deformación para otros materiales Hay algunos materiales para los cuales se observa que el diagrama σ - ε es una curva continua sin tramos rectos, es decir, que prácticamente en ningún momento verifican la ley Hooke. Un ejemplo clásico es el hormigón, para el cual en general interesa su curva σ - ε en compresión. En estos casos no puede hablarse de un módulo de elasticidad único. Caben distinguir tres valores del módulo de elasticidad: E= tg α

a) Módulo al origen

(1.9)

b) Módulo instantáneo o tangente. Su valor lo da la pendiente a la curva σ - ε en cada punto: E=

dσ = tg α 0 dε

(1.10)

σ σR

α0 α1 α

ε εR

Fig. 1.23: Módulos tangentes y secantes

c) Módulo secante, el que viene dado por la tangente trigonométrica del ángulo α 1 . Para estos materiales, Bach, sobre la base de numerosos ensayos, propuso como relación entre σ y ε una ley de tipo exponencial que lleva su nombre: σk = E × ε

(1.11)

donde el coeficiente k depende del material (valor medio,ya que depende de muchas variables):

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Material Hormigón Cobre Latón Cuero

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σ

Coeficiente k k = 1,15 k = 1,10 k = 1,085 k = 0,70

hormigón

cuero

ε Fig. 1.24

En el caso particular en que se toma k = 1, 0 se obtiene la ley de Hooke. Ciertos materiales presentan además la particularidad de tener un comportamiento diferente en compresión que a tracción, tal es el caso del hormigón.

1.3.5. Diagramas ideales Los diagramas que hemos visto suelen no ser prácticos para trabajar con ellos, por lo que en determinadas circunstancias se los reemplaza por diagramas idealizados debidos a Prandtl, que resumen las características fundamentales de los tres tipos básicos de materiales. El diagrama ideal correspondiente a un material dúctil se compone de dos tramos rectos: uno inclinado, correspondiente al período elástico; el otro horizontal, materializando el período de fluencia. El período de endurecimiento no interesa porque la deformación al final de la fluencia es tan significativa que el material está en falla antes de llegar a la rotura.

σ

σ

σF

σ σF = σR

σR

εF Fig. 1.25.1: Diagrama ideal para un material dúctil

ε

εR

ε

Fig. 1.25.2: Diagrama ideal para un material frágil

ε Fig. 1.25.3: Diagrama ideal para un material plástico

En los materiales frágiles el límite de proporcionalidad es muy próximo a la tensión de rotura, prescindiéndose entonces del tramo curvo. Para los materiales plásticos el diagrama es una recta horizontal, lo que significa que sometidos a una carga, se deforman indefinidamente sin incremento de tensión.

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1.4.

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CONSTANTES ELÁSTICAS

El comportamiento lineal elástico de los sólidos, permite determinar valores característicos o constantes elásticas, para cada material, agrupando entre ellos a los llamados módulos de elasticidad. 1.4.1. Módulo de elasticidad longitudinal (E) Consideremos una barra de longitud inicial L sometida a la acción de fuerzas axiales. Esta pieza por acción de la fuerza sufre un alargamiento ∆L. Ω

P

P ∆L

L Fig. 1.26

La relación ∆L/L, deformación especifica unitaria, la identificamos con ε. Admitiendo para el P material el cumplimiento de la ley de Hooke, la tensión σ = , será proporcional a la deformación ε. Ω

σ σ = E ε σ = E ε tg α =

(1.12)

α ε Fig. 1.27

La constante E, llamada módulo de elasticidad longitudinal, es también conocida como módulo de Young. Es la más importante de las cuatro constantes elásticas.

1.4.2. Módulo de elasticidad transversal (G) Sea un paralelepípedo fijo en su parte inferior y de baja altura lo sometemos a una fuerza P en su cara superior. Ω

γ

γ

Fig. 1.28: Distorsión

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La deformación que se produce, muy pequeña, es una distorsión (deformación angular); al ángulo lo llamamos γ. La tensión (coincidente con el plano de la sección) la designamos como τ, siendo: τ=

P Ω

τ = tensión tangencial o tensión de corte

(1.13)

De la misma forma que se grafica la relación σ- ε, puede hacerse con la de τ - γ. Para el caso del acero común la gráfica representativa, es similar a la ya vista para las tensiones normales. Dentro del campo lineal elástico, la constante que vincula la tensión tangencial con la deformación angular, es llamada módulo de elasticidad transversal (G). τ tg β = = G γ (1.14) τ = Gγ

τ

τFl

β γ

Para el acero común τFl ≅ 0,57 σFl

Fig. 1.29: Diagrama Tensión – Distorsión angular

1.4.3. Módulo de elasticidad de volumen (K) Se define como el módulo de elasticidad de volumen (K), a la constante que permite obtener la deformación cúbica específica de un paralelepípedo elemental sometido a presión uniforme. Sea un paralelepípedo inicialmente de lados ∆x, ∆y, ∆z, sometidos a una presión hidrostática p; cada una de las aristas experimentará un acortamiento, lo cual se traduce en una variación de volumen ∆V = Vf - Vi.

∆ ∆

∆

Fig. 1.30: Elemento diferencial

La deformación específica volumétrica está dada por: εv =

Vf − Vi Vi

(1.15)

Esta deformación se vincula a la presión actuante mediante una constante de proporcionalidad, el módulo K. p = K εv (1.16) /2004

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Siendo ε v adimensional, la unidad de K será (Kg/cm2 ). Este módulo de elasticidad volumétrica no es independiente de los dos vistos anteriormente.

1.4.4. Coeficiente de Poisson Al someter a una barra a un esfuerzo axial, además de experimentar deformación según la dirección de la fuerza, el cuerpo también deforma en las direcciones normales a ella. L + ∆L

L a + ∆a

a P

P

Fig. 1.31

εL =

∆L L

;

εt =

∆a a

Llamando con ε L el alargamiento específico en dirección de la fuerza y ε t la deformación específica transversal, se define como coeficiente de Poisson (o módulo de Poisson) a la relación entre: ε µ=− t (1.17) εL o bien: ε 1 m= =− L µ εt El valor de µ es función del material, aunque su variación es pequeña. En general para materiales isótropos, µ varía entre 0,25 y 0,33. En cualquier caso µ < 0,50

Valores de Constantes Elásticas según el material Material Acero Cobre Bronce Hierro fundido Aluminio Madera (paralela a la fibra) Hormigón Mampostería de ladrillo Caucho Corcho

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E (t/cm2 ) 2.000 a 2.100 1.160 a 1.300 1.100 750 a 1600 760 80 a 120 150 a 350 < 120 0.01 -

µ 0.22 a 0.33 0.31 a 0.34 0.32 a 0.35 0.23 a 0.27 0.32 a 0.36 0.10 a 0.20 0.47 ≈ 0.00

16

ESTABILIDAD II

CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

1.5. CONCEPTOS DE COEFICIENTES DE SEGURIDAD, CARGA ADMISIBLE

DE

TENSIÓN ADMISIBLE Y DE

En el primer ítem de este capítulo hemos enunciado algunas de las causas que pueden provocar la falla de una pieza. Al realizar el dimensionamiento debemos crear seguridad contra todas las clases de falla posible, la cual puede producirse por coincidir varias circunstancias desfavorables, por e-jemplo, un crecimiento no previsto de las cargas que gravitan en las secciones, cuya resistencia se ha debilitado por la existencia de vicios ocultos. La teoría de probabilidades nos enseña que no se puede lograr una seguridad absoluta, lo único que puede hacerse es mantener reducidas las probabilidades de falla. “La seguridad de una construcción siempre estará amenazada por incertidumbres, será satisfactoria cuando las probabilidades de falla queden por debajo del valor considerado como admisible”. Existen numerosas causas de incertidumbres: § Las hipótesis de cargas § Las hipótesis de cálculo § Los errores de cálculos § Defectos del material § Errores de las dimensiones § Errores de ejecución El método de cálculo fundamental y más difundido de los Coeficientes de Seguridad es el basado en las tensiones. Según este método, el cálculo de la resistencia se realiza controlando el valor de la tensión máxima que se produce en cierto punto de una estructura. La tensión máxima de trabajo no debe superar cierto valor. σ máx ≤

σL ν

(1.18)

σL: cierto valor límite de la tensión para el material dado ν: un número mayor que la unidad denominado “coeficiente de seguridad” Para el caso de materiales dúctiles el valor límite σL es el límite de fluencia, en el caso de materiales frágiles σL es el límite de resistencia o tensión de rotura. La relación σL / ν recibe el nombre de “tensión admisible”. σL ν

= σadm

(1.19)

La elección del coeficiente de seguridad depende del mayor o menor grado de incertidumbre que exista en un problema, y se realiza basándose en toda una serie de criterios, en general probabilísticos, que escapan a los alcances de este curso. Existen reglamentos que establecen los criterios de Dimensionamiento del coeficiente de seguridad, por ejemplo, la norma CIRSOC (SIREA). Para los casos más frecuentes ya existen valores establecidos de los coeficientes de seguridad. Podemos hacer referencia a disposiciones reglamentarias que tratan sobre construcciones de acero; indican valores que varían entre 1.25 y 1.60 según los recaudos constructivos, el destino de los edificios y los estados de carga considerados. Para estructuras de hormigón armado, los coeficientes de seguridad varían entre 1,75 y 2,10. Para el caso de la madera, material que presenta muchas incertidumbres en cuanto a su comportamiento, los coeficientes de seguridad suelen ser bastantes más grandes.

/2004

17

ESTABILIDAD II

CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

Una expresión que es usada con frecuencia para dar un concepto del coeficiente de seguridad, es que éste representa el incremento que debería tener el estado de cargas para producir el colapso de la pieza. Debemos señalar que si bien esto puede ser cierto, solamente lo será si los demás parámetros que intervienen en el problema están totalmente controlados, y no existe ninguna incertidumbre respecto de ellos. En los materiales que tienen un período lineal elástico, la tensión admisible se encuentra en dicha zona, por lo tanto puede considerarse como valida la ley de Hooke, ya que la tensión de trabajo resulta menor o igual que la admisible. Para los materiales donde no existe un período elástico bien definido, también puede considerarse valida la ley de Hooke ya que para valores bajos de las tensiones, el diagrama σ - ε se aproxima bastante a una recta.

σ

σ

σFl σadm

σ

σ0,2 σadm

σR σadm

ε

σadm =

σF ν

ε

σadm =

σ 0,2 ν

ε

σ adm =

σR ν

Fig. 1.32: Tensiones admisibles en los distintos tipos de materiales

Al criterio utilizado para determinar el valor del coeficiente de seguridad basado en relación de tensiones lo llamaremos criterio elástico. Además de este existe otro al cual lo llamaremos plástico. La denominación utilizada para identificar a cada criterio, está relacionada al método de cálculo empleado para establecer valores de solicitaciones en la estructura: es decir que un método de cálculo elástico, y método de cálculo plástico. El coeficiente de seguridad a través del criterio plástico se establece en base a relación de cargas. Entenderemos como máxima carga estructural, el límite del valor de carga que puede soportar una estructura sin dejar de cumplir satisfactoriamente los fines constructivos a que está destinada. En este caso el valor del coeficiente de seguridad viene dado por

νp =

Prot Máxima Carga Estructura l = Carga real (Carga Admisible ) Ptrab( Padm )

En la materia nos referiremos al coeficiente ? que compara tensiones.

1.5.1.1 Ejemplos de cálculo del Coeficiente de Seguridad. Interpretación del concepto de tensión admisible . Dimensionar las barras de la figura con secciones circulares macizas de acero común. Condición: Ω 1 = Ω2 .

/2004

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ESTABILIDAD II

CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

A

B

X1

X2

α 1 α2

C

C

P

P

D.C.L.

α1 = 45º α2 = 30º P = 3 tn. Material : Acero St 37  σ Fl 2,40  σ = = = 1,40 tn cm 2  υ 1,71  X1 = 1,53 tn X2 = 2,19 tn

Ω nec =

Xmáx σadm

=

2,19 t = 1,56cm 2 t 1, 40 cm 2

Tabla ∅ (mm) 10 12 16 20

Ω (cm2 ) 0,78 1,13 2,01 3,14

De Tabla adopto una barra de ∅ 16 mm y de sección Ω = 2,01 cm2 Tensión de trabajo. Coeficiente de seguridad del sistema: σT1 =

X1

σT 2 =

X2

Ω1

Ω2

=

1,53 t = 0,76 2,01 cm 2

t

=

2,19 t = 1,09 2,01 cm 2

t

cm 2

⇒

ν1 =

2

⇒

ν2 =

cm

σFl

σT1 σFl σT 2

2,40  = 3,16  0,76    νSistema = 2,20  2,40 = = 2,20 1,09  =

Mediante el ejemplo anterior tratamos de diferenciar el concepto de tensión admisible, respecto del de tensión de trabajo o de servicio. En el primer caso se determina un valor de referencia, al cual se llega adoptando un coeficiente de seguridad (1,71), que como proyectistas lo estimamos razonable. En tanto los de tensión de trabajo corresponderían a los valores reales que tendría el sistema proyectado, de acuerdo al material utilizado.

/2004

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ESTABILIDAD II

1.6.

CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

ENERGÍA POTENCIAL DE DEFORMACIÓN

Vamos a analizar el proceso de deformación de un sólido elástico desde el punto de vista energético. Las fuerzas exteriores aplicadas al cuerpo elástico realizan cierto trabajo que designaremos W. Como resultado del trabajo realizado, en el cuerpo se acumula cierta energía potencial U del sólido deformado. Al mismo tiempo, parte del trabajo sirve para transmitir ciertas velocidades a la masa del sólido, es decir, se transforma en energía cinética K. El balance de la energía, en el supuesto que no haya pérdidas por fricción, calor, etc., es el siguiente: W=U+K

(1.20)

Si la carga se aplica lentamente, la velocidad del desplazamiento de las masas del cuerpo será pequeña, con lo que la energía cinética será despreciable, luego: W=U

(1.21)

Al descargar el cuerpo, debido a la energía potencial, se realiza cierto trabajo, el necesario para devolver al cuerpo su forma original. En este sentido, un sólido es un a-cumulador de energía, comportándose como un resorte. Si consideramos, por ejemplo, el caso de una barra traccionada mediante una fuerza que varía en forma estática, para un valor de carga P´ la misma tendrá un desplazamiento δ´. Si a partir de ese instante se realiza un incremento de la carga, el alargamiento δ´ tendrá un incremento dδ´. La fuerza P realizará en consecuencia un trabajo, el que producirá un incremento de la energía de deformación acumulada.

Ω

P

P δ

d `δ δ

δ

δ

Fig. 1.33: Energía de deformación acumulada en una barra

dW = dU = P' dδ ' + ½ dP' dδ ' Como el término ½ dP' dδ' tiende a cero por ser infinitésimo de orden superior, podemos afirmar: dW = dU ≅ P´ dδ ’

(1.22)

Para un determinado valor de P, la energía acumulada será: δ

∆

U = ∫ P´ dδ´ = area OAB = O

1 Pδ 2

(1.23)

Podemos ver que el trabajo de la fuerza se obtiene tomando la mitad del producto de la fuerza por el desplazamiento correspondiente. Si la relación entre fuerza y desplazamiento no es lineal, el coeficiente ½ es otro. Si la carga mantiene su valor constante desde el comienzo, el coeficiente se hace igual a la unidad. En algunas aplicaciones es de importancia la energía de deformación por unidad de volumen, también denominada “energía específica de deformación”. /2004

20

ESTABILIDAD II

CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES

δ

U = ∫ P dδ O

ε

dδ = dε L

U =

∫

u=

ε U = ∫O σ dε Vol

O

P=σΩ σ

ε

σ Ω L dε = Ω L ∫ σ dε O

(1.24)

σ σ` d ε`

Podemos ver que la energía de deformación por unidad de volumen resulta ser igual al área encerrada por el diagrama σ - ε. Si la tensión se encuentra dentro del período lineal elástico: u=

/2004

1 1 σ2 1 σε = = Eε 2 2 2 E 2

ε`

ε

ε

(1.25)

21

ESTABILIDAD II

CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

2 SOLICITACION NORMAL Y CORTE PURO 2.1

SOLICITACION NORMAL

2.1.1 Tracción y compresión, tensiones y deformaciones El problema que vamos a estudiar a continuación se refiere a las piezas que están sometidas exclusivamente a esfuerzos internos normales, de tracción o compresión. Si trazamos sobre la superficie de una barra prismática una red de líneas rectas, unas paralelas y otras perpendiculares al eje de la barra, y sometemos a b a la misma a una fuerza de tracción, observaremos a ' b ' que después de la deformación las rectas de la red permanecen ortogonales entre sí en toda la superficie, L excepto en una zona pequeña próxima al punto de aplicación de la fuerza y de la que ahora prescind iremos, mientras que las distancias entre las rectas varían. Las rectas horizontales se desplazan hacia abajo, permaneciendo rectas y horizontales. Es de suponer que en el interior de la barra tiene lugar el mismo fenómeno, lo cual permite enunciar una hipótesis: P δ “Las secciones transversales de las barra, que eran planas y perpendiculares a su eje antes de la defo rmación, permanecen planas y normales a éste desP Fig. 2.1 pués de ocurrir la deformación”. Esta hipótesis, que tiene suma importancia, se conoce como “hipótesis de las secciones planas o hipótesis de Bernoulli – Navier”, y los ensayos confirman las fórmulas que se basan en la misma. Lo expuesto sobre las deformaciones nos permite suponer que en las secciones transversales de las barras actúan solamente tensiones normales, distribuidas uniformemente. Por razones de equilibrio debe entonces ocurrir: P = ∫ σ dΩ = σ ∫ dΩ = σ * Ω → σ = Ω

Ω

P Ω

(2.1)

Los ensayos también demuestran que al estirar la barra, su longitud aumenta, mientras que sus dimensiones transversales disminuyen. Cuando se trata de compresión, el fenómeno se invierte. Si consideramos que el material tiene un comportamiento elástico lineal podemos calcular analíticame nte el valor de δ.

/2005

1

ESTABILIDAD II

δ = ε *L

CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

ε=

δ=

σ*L P*L = E Ω*E

δ=

P*L Ω*E

σ E

Puede verse que el desplazamiento δ es directamente proporcional a la carga P aplicada y a la longitud inicial L de la barra. Así mismo, δ resulta inversamente proporcional al producto Ω *E, el cual se denomina “Rigidez Axial”. Efectivamente, este producto representa la oposición de la pieza a la deformación, para lo cual ésta emplea sus propiedades geométricas y mecánicas. Recordemos que no solo existe una deformación longitudinal sino que las dimensiones transversales también varían, obteniéndose una deformación ε’. ε ' = −µ . ε

(2.3)

La suposición anterior sobre la distribución uniforme de las tensio nes internas en la sección transve rsal es valida siempre y cuando no se analicen las zonas próximas a la aplicación de la carga. Aquí se obra de acuerdo al principio de Saint- Venant ya enunciado, el que para el caso concreto de barras establece que la zona de perturbación influye en distancias no superiores a las dimensiones de la sección transversal. Es de hacer notar, también, que las fórmulas anteriores son válidas cualquiera sea el signo de σ, es decir, tanto para solicitaciones de tracción como de compresión. Sin embargo, para estas últ imas tiene sus limitaciones. En efectos, en los cuerpos sujetos a compresión la fórmula 2.1 pierde validez cuando la esbeltez de la pieza supera ciertos valores, a partir de los cuales se presenta un fenómeno denominado “pandeo”, cuyo estudio lo realizaremos en el capítulo 10. Conociendo la relación existente entre P y δ podemos obtener las siguientes expresiones para la energía de deformación: U=

1 1 ΩE 2 1 L 2 Pδ= δ = P 2 2 L 2 ΩE

(2.4)

2.1.2 Aplicaciones En los problemas de dimensiona miento deberán cumplirse dos condiciones básicas, las cuales surgen de despejar el área de la sección transversal, de las fórmulas anteriormente vistas.  P σ  adm  (2.5) Ω≥   PL   E δ adm En los problemas de verificación deberán cumplirse, también, dos condiciones. P ≤ σ adm Ω /2005

PL ≤ δ adm ΩE

(2.6) 2

ESTABILIDAD II

CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

A continuación vamos a desarrollar un ejemplo, para el cual se desea dimensionar las barras del reticulado de la figura 2.2 4 t n

Para las barras 1 y 2 debe emplearse madera con: 2.83 t n

σadm = 80 kg/cm δ adm = L/300 E = 100 t/cm2

2.83 t n

1

2

2

2m

3 2 t n4 m

Fig. 2.2

4m 2 t n

2 t n

Para la barra 3 debe emplearse acero con: σadm = 2.400 kg/cm2 δ adm = L/500 E = 2.100 kg/cm2 - Barras 1-2

P = 2.83 tn P 2.83 Ω nec ≥ = = 35.4 cm 2 σ adm 80 Adoptamos una escuadría de 3" x 2" , siendo 1" = 2,54 cm → Ω = 38.7 cm 2 > Ω nec PL 2.83 * 283 283 ≤ δ adm → = 0.2 cm < = 0.94 cm → B.C. ΩE 38.7 * 100 300 σ trab =

P 2830 = = 73 kg/cm 2 Ω 38.7

- Barra 3

P = 2 tn Ω nec ≥

P σ adm

=

2000 = 0.83 cm 2 → 2400

Adoptamos 1φ 12

Ω = 1.13 cm 2 > Ω nec PL 2 * 400 400 = = 0.34 cm < = 0.8 cm → B.C. Ω E 1.13 * 2100 500 σ trab =

/2005

P 2000 = = 1770 kg/cm 2 Ω 1.13

3

ESTABILIDAD II

CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

En general, cuando existen varias condiciones de dimensionamiento se emplea una de ellas y se verifican las demás. Si alguna de éstas no es satisfecha se procede a redimensionar. Cuando se emplean las fórmulas 2.5, por razones de economía se trata de que se cumplan las igualdades, lo que no siempre es posible ya que debemos adoptar piezas cuyas secciones transversales existan comercialmente. Si en el ejemplo anterior quisiésemos saber el valor del descenso de la estructura en el punto de aplicación de la carga exterior de 4 tn, podríamos calcularlos mediante consideracione s energéticas. En efecto, el trabajo que realiza esa fuerza se convierte en energía de deformación, la cual será igual a la suma de la energía absorbida por cada barra. 3 1 1 Li Pδ=∑ Pi2 2 2 Ω E i =1 i i

1 283 1 400 1  4 δ = * * 2.83 2  * 2 + * * 22 2 2 1.13 * 2.100  2 38.7 * 100  δ = 0.46 cm

Aunque el cálculo anterior parezca muy simple debemos señalar que pudo realizarse me rced a que tenemos una sola carga exterior y además calculamos el corrimiento correspondiente a su punto de aplicación. Para casos mas generales deben aplicarse otros criterios de cálculo, los que no son tratados en este curso.

2.1.3 Influencia del peso propio en la solicitación axial En el estudio que realizamos en el primer ítem de este capítulo solo hemos tenido en cuenta las cargas exteriores, sin considerar el efecto que pudiera tener el peso propio de la estructura. Esto esta permitido cuando esta influencia es despreciable en relación a las tensiones originadas por las cargas exteriores. A continuación estudiaremos el caso de barra de sección constante sometida a una carga exterior y a su propio peso. N (x ) = P + γ * Ω * x

(2.7)

γ = peso específico del material N (x ) P σ (x ) = = +γ x Ω Ω llamando σ o =

P Ω

L d x

σ (x ) = σ o + γ x σ max ( x= L ) = σ o + γ L σ o ≤ σ adm − γ L Ω= /2005

P σ adm − γ L

≤

σ adm

x

γ Ω x P

Fig. 2.3

4

ESTABILIDAD II

CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

Esta última expresión nos permite establecer el límite de utilización de la barra de sección constante. En efecto, cuando σadm = γ*L, el denominador se anula y Ω adquiere un valor infinito. La longitud límite resulta ser: L max ≤

σ adm

(2.9)

γ

A partir de esta longitud es necesario recurrir a las barras de sección variable. Por otra parte, cuando las dimensiones de las barras son grandes y la influencia del peso propio es considerable, el proyectar la barra con sección constante es antieconómico. A continuación vamos a calcular el desplazamiento máximo producido cuando además de una carga exterior actúa el peso propio. Si a la distancia x del borde inferior de la figura 2.3 consideramos un elemento de longitud dx, el mismo tendrá aplicada una carga que viene dada por la ecuación 2.7, la cual le producirá un alargamiento ∆x. N σ P γ ∆ x = ε dx = dx = ( x ) dx =  + x  dx E ΩE Ω E E  δ=

∫

L

0

∆ x =∫

L

0

γ  P L γ L2  P + x dx = +  Ω E E  ΩE 2E (2.10)

δ=

PL γΩL + L ΩE 2Ω E

δ=

PL 1 WL + ΩE 2 ΩE

γ Ω L = W ( peso total de la barra )

De la última expresión se puede deducir que el alargamiento total resulta ser igual a la suma de dos términos, uno de ellos corresponde al alargamiento producido por la carga exterior y el otro corresponde a alargamiento debido el peso propio. Este último puede ser definido como el alargamiento de una barra ideal con su peso concentrado en la mitad de su longitud. En lo que sigue vamos a ver la forma geométrica que tendría que tener una barra sometida a carga exterior en su extremo y a su propio peso, para que fuese un sólido de igual resistencia, es decir, que la tensión fuese constante en todas las secciones. Supongamos que aislamos un elemento diferencial de longitud dx:

σ dx

dW

Ω + dΩ Ω

σ σ = cte = σ adm dW = γ Ω dx

/2005

dx Ω

Ω + dΩ x

Ωo

P

Fig.2.4

5

ESTABILIDAD II

CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO

σ(Ω + dΩ ) − σ Ω − dW = 0 ← por equilibrio σ dΩ − γ Ω dx = 0 dΩ γ γ = dx integrado → ln Ω = x + c Ω σ σ (2.11) γ   x +c 

Ω ( x) = e  σ

γ   x 

=eC eσ

para x = 0 → Ω (0 ) = e C = Ω ( x) =

P σ adm

e

P σ adm

 γ   x σ   adm 

Fig. 2.5

En la práctica, la ley exponencial de la ecuación última puede aproximarse como se indica el al figura 2.5.

2.1.4 Deformaciones térmicas Los cambios de temperatura producen deformación en los materiales. En el caso de materiales homogéneos e isótropos, un cambio de ∆T grados origina una deformación lineal uniforme en todas las direcciones. Las deformaciones térmicas lineales se calculan mediante: ∆l = α . l . ∆T donde α es el coeficiente de dilatación térmica lineal Material Aluminio Fundición Cobre Acero Hormigón

α (x 10-6 /ºC) 23.2 10.4 16.7 11.7 10.8

2.1.5 Problemas hiperestáticos en tracción y compresión Como ya sabemos, un sistema resulta hiperestático cuando la cantidad de grados de libertad (g) del mismo resulta menor que la cantidad de restricciones de vínculo (r) impuestas; las que, por otro lado, no configuran ningún caso crítico. g b. Si la teoría desarrollada por Coulomb para la torsión circular fuera válida para la rectangular, en un punto como el A de la figura 5.10 debería existir una tensión tangencial τA perpendicular al radio vector rA, lo que daría componentes τzx y τzy no nulas, apareciendo tensiones τxz y τyz exteriores que contradicen la hipótesis de torsión simple. La hipótesis de Coulomb no es entonces aplicable a la sección rectangular ni a otros tipos de secciones que difieren al circular. La solución exacta del problema, atribuida a Saint Venant, como mencionamos antes, pertenece al dominio de la Teoría de la Elasticidad. En la figura 5.11 hemos indicado la ley de variación de las tensiones tangenciales, pudiendo apreciarse que la tensión tangencial máxima tiene lugar en el centro del lado mayor.

/2005

7

ESTABILIDAD II

CAPITULO V: TORSIÓN

Fig. 5.11

Las tensiones tangenciales máximas y el ángulo específico de torsión pueden calcularse mediante las fórmulas 5.21, 5.22 y 5.23 respectivamente. Los coeficientes α, β y ?, que son funciones de la relación de lados a/b, pueden obtenerse de la tabla 5.1.

τ zy

max

=

Mt α ab2

τ zx max = γ τ zy θ=

(5.22)

max

Mt β a b3 G

1

a/b

(5.21)

1.5

(5.23)

1.75

2

2.5

3

4

6

8

10

∞

j α

0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333

β

0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333

γ

1.00 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742

Tabla 5.1

/2005

8

ESTABILIDAD II

5.5.2

CAPITULO V: TORSIÓN

SECCIONES ABIERTAS DE PARED DELGADA

Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denominado de la Analogía de la Membrana, el cual no lo desarrollaremos en este curso. Para este tipo de secciones se puede suponer una distribución lineal de tensiones a través del espesor. Además, la teoría mencionada muestra que las tensiones varían muy poco si se suponen enderezados los perfiles de modo de transformarse en rectángulos muy alargados. Para rectángulos muy alargados resulta:

Mt

τ max =

θ=

(5.24)

1 ab2 3 Mt

Fig.5.12

(5.25)

1 a b3 G 3

Las secciones abiertas pueden considerarse como un conjunto de rectángulos que absorben, cada uno de ellos, una parte del momento tordente Mt. Como estos rectángulos forman parte de una única pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión. 1 Si llamamos: J ti = a i b 3i 3 M ti = J ti θ G

Entonces:

Donde Mti corresponde al momento torsor que absorbe un rectángulo i cualquiera que constituye la sección.

∑M

tj

= Mt =

M ti = Mt τ max i

tj

→ Gθ =

Mt ∑ J tj

J ti

∑J

tj

Mt 1 a i b 3i Mt b i 3 = = = 2 1 1 a b J J a i b 2i 3 i i ∑ tj ∑ tj 3

τ max i =

/2005

(∑ J )G θ

Mt i

Mt 1 3

∑a

j

b

3 j

bi

(5.26)

9

ESTABILIDAD II

θ=

CAPITULO V: TORSIÓN

Mt 1 3

∑a

i

(5.27) 3 i

b G

Usualmente el término

1 3

∑a

i

b 3i = Jt

se denomina Momento de inercia torsional.

En el caso de perfiles laminados, el momento de inercia torsional resulta mayor que el calculado mediante la expresión anterior. Es to se debe a que los contornos redondeados incrementan la rigidez de la sección. Jt = η

1 3

∑a

b 3i

i

(5.28)

- para perfiles doble T : η ≅1.20 - 1.30 - para perfiles U : η ≅ 1 < η < 1.30 Los perfiles abiertos no tienen una buena capacidad para resistir torsión. Vamos a tratar de evidenciar esto comparando las rigideces de dos secciones huecas, una cortada y otra entera. θ1 =

θ1 =

θ2 =

Mt 4Ω

2

∫ G

2π R m ds Mt = 2 e 4(πR 2m ) G e

Mt 1 G 2πR m3 e

Mt

1

(2πR )e G 3

3

θ1

1 e =  θ2 3  R m e 1 Si = R m 10

m

   

2

(5.29) Fig. 5.13 →

θ 2 = 300 θ 1

De este ejemplo puede verse que una seción hueca es mucho mas rígida que una sección abierta. Por esto se debe evitar que las barras de sección abierta trabajen a torsión.

5.5 PROBLEMA HIPERESTATICO En la torsión, al igual que en los esfuerzos axiales, se encuentran problemas que no pueden ser resueltos solamente por las ecuaciones de equilibrio. En estos problemas el número de incógnitas es superior al de las ecuaciones de equilibrio que podemos utilizar. El orden a seguir para la solución de estos casos coincide con el empleado al resolver los problemas hiperestáticos de la tracción (compresión). /2005

10

ESTABILIDAD II

CAPITULO V: TORSIÓN

Veamos, en calidad de ejemplo, una barra empotrada en sus extremos, con un momento exterior aplicado en el tramo.

Fig. 5.14

Esta barra es estáticamente indeterminada, puesto que para calcular los dos momentos reactivos en los empotramientos la estática nos propone solamente una ecuación de equilibrio.

Fig. 5.15

Σ Mz = 0 ⇒ MA + MB – M

(5.30)

Retiramos un empotramiento sustituyéndolo por el momento desconocido X.

En el sistema estáticamente determinado, el giro de la sección B es consecuencia del mome nto exterior M y del momento X. Por condición de deformación, la viga isostática debe tener un comportamiento equivalente al de la pieza original. ϕ B = ϕB

M

+ ϕB = 0 X

M ⋅ a  X ⋅ a X⋅b − + G ⋅ I t1  G ⋅ I t1 G ⋅ I t 2 M ⋅a 1 X= = MB b ⋅ I t1 a + I t1 I t 2

ϕB =

/2005

(5.31)  =0  

(5.32)

11

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

6 FLEXION 6.1. FLEXION EN VIGA DE EJE RECTO - INTRODUCCION Supongamos una viga de eje recto, de sección constante, con determinadas condiciones de vínculo, sometido a un estado de cargas genérico: P1 P2

P4 m-m: sección normal al eje de la pieza

m

z

m

x

P3

Fig. 6.1

y

Consideremos una sección m- m y aislamos la porción de la izquierda. Para restablecer el equibrio, trasladamos al baricentro de m- m el efecto de las acciones actuantes a la derecha. P1

m

R

R: Fuerza resultante M: Momento resultante

Fig. 6.2

m M

La fuerza y el momento resultante admiten componentes según la dirección del eje de la pieza, y componentes en el plano de la sección. R‘

G

R

R

R M

G

M’ /2005

Rz → N R’ → Q

Mz → Mt M → Mf

Qx Qy

Mx My

M z

M

Fig. 6.3 1

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Consideramos ahora una viga de eje recto, de sección constante, sometida a un estado de cargas que no produce momento torsor:

Fig. 6.4

η ,ξ : ejes principales de inercia f : eje de carga ≡ traza del plano de momento en el plano de la sección.

Veamos los diferentes casos de efectos de flexión que se pueden presentar, según los esfuerzos existentes en la sección genérica y la ubicación del plano de cargas respecto de los ejes principales de inercia. Sección m

M≠0 N≠0

Flexión Compuesta

Sección m

M≠0 N=0 Q≠ 0

Flexión Simple

Sección m

M≠0 N=0 Q=0

Flexión Pura

Si f = Eje principal→ Flexión Compuesta Recta o Normal Si f ≠Eje principal→ Flexión Compuesta Oblicua

Si f = Eje principal→ Flexión Simple Recta o Normal Si f ≠Eje principal→ Flexión Simple Oblicua Si f = Eje principal→ Flexión Pura Recta o Normal Si f ≠Eje principal→ Flexión Pura Oblicua

6. 2. MOMENTO DE INERCIA El contenido temático de este punto es dictado en la materia Estabilidad I

6. 3. FLEXION PURA RECTA O NORMAL 6.3.1. Conceptos generales – Diagrama de tensiones Tomemos el siguiente caso y analicemos el comportamiento de una porción de viga aledaña a la sección m - m . El estado de cargas es simétrico y produce los diagramas de esfuerzos que se indican. /2005

2

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

La traza del plano de Momento sobre la secciones de la viga, es coincidente con uno de los ejes principales de inercia.

Fig. 6.5 Las cargas exteriores generan un estado tensional interior. Sea un elemento genérico dΩ en la sección m –m .

x

x y

G≡z

τzy

τzx

dΩ

z

σz y

Fig. 6.6 Por condición de equilibrio y de acuerdo a las solicitaciones exteriores actuantes en la sección m - m, se debe cumplir:

∫ σ .dΩ = N = 0

Ω

z

∫ (τ Ω

zx

;

∫τ Ω

.dΩ = Qx = 0

zx

;

∫τ

Ω

xy

.dΩ = Qy = 0

.dΩ.y + τxydΩ.x) = Mz = Mt = 0 ; ∫ σz .dΩ.x = My = 0 ; ∫ σz .dΩ.y = Mx = M Ω

Ω

Para establecer una relación entre las tensiones y las solicitaciones exteriores, deben plantearse condiciones de deformación. Al cargar la viga esta se deforma; el eje z , originalmente recto, experimenta una ligera curvatura, conociéndose a esta ultima con el nombre de elástica. Los puntos sobre el eje representativo de las secciones, experimentan translaciones pequeñas. Dichos desplazamientos pueden considerárselos verticales, lo cual significa que la viga no modifica su longitud. Para el común de las vigas podemos suponer una relación l/h ≈10. Para esta situación es válido lo siguiente: tomar en el tramo central dos secciones próximas entre si, alejadas de los puntos de apli/2005

3

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

cación de las cargas. En correspondencia con las secciones adoptadas, dibujamos en los costados dos líneas rectas individualizadoras de las secciones, antes de aplicar las cargas.A medida que se carga la viga, las líneas pintadas continúan siendo rectas, pero ya no paralelas entre sí; tendrán un giro relativo. Que significa ello: que las secciones originalmente planas y normales al eje de la pieza, se mantienen planas y normales a dicho eje que pasó de su posición recta original a la forma curva de la elástica.

Fig. 6.7 En base a lo expuesto se admiten como hipótesis: a) Después de la deformación, cada sección transversal se conserva plana y normal al eje deformado.( Hipótesis de Bernoulli- Navier). b) En la deformación, unas fibras del sólido se acortan y otras se alargan, existiendo entre ambas una capa de fibras que no sufren variación. Dicha capa se conoce como zona o capa de fibras neutras. c) Las deformaciones que se producen en las fibras están comprendidas dentro del campo de validez de la Ley de Hooke. Al mantenerse planas las secciones, no pueden originarse distorsiones en los elementos de la misma, y en consecuencia, por ser τ = G .γ , no existen tensiones tangenciales.Para encontrar una relación entre tensiones normales y el Momento, analizamos el comportamiento de una fibra genérica de la porción definida por las secciones 1-1 y 2-2. Llamamos: dϕ: giro relativo entre las secciones 1 y 2. O: Centro de curvatura de la pieza deformada ρ: Radio de curvatura de las fibras neutras m- m: Capa de fibras neutras n-n: Intersección de capa de fibras neutras con la sección AB: Fibra en estudio

m

D

E A

B

dϕ

m

n

n y

C

Fig. 6.8 /2005

4

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Trazamos por D una paralela a OE . Comparamos los triángulos OED con DBC: OE ρ

BC AB

Pero

ε =

=

BC y

;

como

= AB

ED

→

BC

=

AB

y ρ

= alargamiento de la fibra por unidad de longitud = ε

σz σz y y ; además por Hooke ε = → = → σ ρ E E ρ

z

=

E . y = cte . y (6.1) ρ

De acuerdo a esta última expresión, la variación de la tensión normal será lineal y directamente proporcional a la distancia a las fibras neutras, determinado en la sección por el eje neutro (n- n). Las deformaciones axiales ε z , se acompañan por deformaciones transversales ε x debidas al efecto de Poisson. Las deformaciones de alargamiento ε z por debajo del eje neutro tienen εx de acortamiento. Por encima del eje neutro ocurre lo contrario. La deformación transversal es despreciable y no se tiene en cuenta al calcular el momento de inercia de la sección.- Determinación de la posición y dirección del eje neutro:

por condición

∑

∫σ

∫

Ω

z

.d Ω = 0 =

Ω

Fz = 0

E E .y .d Ω = ρ ρ

∫ y .d Ω

→ S

Ω

Ω n

= 0 ∴ el eje neutro es baricéntrico.

por condición

∫σ

Ω

z

∑

.x .d Ω = 0 =

M

∫

Ω

= 0

y

E E . y . x .d Ω = ρ ρ

∫ y . x .d Ω

Ω

→ I ny = 0 ∴ el eje neutro y

el eje de carga son ejes conjugados → n ≡ x

por condición

∫σ

Ω

→

z

.y .d Ω = M

x

M =

= 0

x

∫

Ω

E E . y 2 .d Ω = ρ ρ

∫

Ω

y 2 .d Ω =

E .I n → ρ

M x M x E = = ρ In Ix

Reemplazando,

/2005

∑

tenemos:

(6.2)

σ

z

=

M Ix

x

.y

ECUACION FUNDAMENTAL DE LA FLEXION

(6.3)

5

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Para el caso de la sección trapezoidal: σ

f

σ2 Y2

(-)

Fig. 6.9

x ≡n G≡ z Y1

(+) σ1

y

A la zona comprimida le asignamos tensiones de signo (-); a las fibras traccionadas signo (+). M x 1 De (6.2) obtenemos: = (6.4) ρ E .I 1 resulta ser la curvatura de la pieza sometida a flexión. En la expresión podemos aρ preciar que la curvatura es directamente proporcional al agente deformante e inversamente proporcional al producto E.I, que recibe el nombre de rigidez a la flexión. La rigidez a la flexión mide la resistencia que opone la pieza a dejarse deformar. Para ello impone las propiedades mecánicas del material (E) y las propiedades geométricas de la sección (I).El valor

6.3.2. Módulo Resistente – Dimensiona miento De la fórmula de Tensión podemos ver que todos los puntos de la sección con la misma ordenada “y” tendrán igual tensión, siendo esta máxima y mínima en los extremos, o sea, en las fibras superiores e inferiores de la sección. En general no suele hablarse de tensión máxima o mínima, sino de máxima tensión de tracción y máxima tensión de compresión.-

σ2

G

n

x n

z y

σ1 y

Fig. 6.10

σ2 M C2

z

y

M

x G

C1 σ1

El diagrama de tensiones resulta ser un esquema espacial, pero por simplicidad y atendiendo a lo anterior, se lo representa usualmente con un plano. /2005

6

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Las tensiones extremas pueden calcularse mediante las siguientes expresiones: M M M σ1 = .c 1 = = Ix Ix W1 c1

σ

2

=

M Ix

.c 2 =

M Ix

=

c2

M W2

(6.5)

A los valores W1 y W2 , que resultan ser el cociente entre el momento de inercia de la sección transversal respecto del eje “x” y la distancia desde dicho eje a la fibra mas alejada de la sección, los llamaremos “módulos de los momentos resistentes”. En los problemas de dimensionamiento debemos distinguir entre los materiales cuya resistencia es la misma a tracción que a la compresión, y aquellos en que ambas resistencias son distintas. M M σ máx = ≤ σ adm → W mín ≥ En el primer caso: W mín σ adm (6.6)

W mín = mín

En el segundo caso:

σ1 = σ

2

=

M

1

,W2}

≤ σ 1 adm → W 1 ≥

W1 M W

{W

≤ σ

2 adm

→ W

2

2

≥

M σ 1 adm

(6.7)

M σ 2 adm

En el primer caso conviene que la sección sea simétrica, de manera tal que W1 = W2 , con lo que puede llegarse prácticamente a valores iguales a la tensión admisible tanto en las fibras superiores como en las inferiores. Si la pieza no es simétrica respecto del eje neutro, un de las dos fibras extremas no es aprovechada íntegramente. En el segundo caso vale todo lo opuesto a lo anterior. En general sería recomendable una sección no simétrica, de manera de aprovechar las tensiones máximas, tanto en las fibras superiores como en las inferiores. Módulo resistente de algunas secciones usuales: a) Rectángulo: x

x

W

h

x

b

x

x

h

b

W

x

b .h Ix 12 = = h h 2 2

3

h .b Ix 12 = = b b 2 2

3

→ W

→ W

x

x

b .h = 6

2

h .b 6

2

=

Podemos apreciar que el módulo resistente depende del cuadrado de la altura, siendo conveniente que el mayor lado del rectángulo sea ubicado en forma perpendicular al eje “x”. /2005

7

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

b) Círculo: r

W

x

=

π .r 4 r

4

π .r = 4

π .d = 32

3

3

c) Triángulo: 2 2/3h

W

1/3h

1

x1

b .h 36 = h 3

3

=

b .h 12

2

W

x2

b .h 3 b .h 36 = = 2 24 3 h

2

b

Desde el punto de vista del dimensionamiento, el parámetro geométrico que influye es el módulo resistente, pero desde el punto de vista económico la pieza cuesta en función del área de la sección transversal, y no de su módulo resistente. Por razones de economía se trata de buscar secciones que provean el módulo resistente requerido con la menor área posible. Para poder realizar una comparación económica entre las distintas secciones vamos a definir el siguiente coeficiente de rendimiento: W mín ψ = (6.8) Ω .h En la medida que este coeficiente aumenta, la sección en mas económica: ψ =

b .h 2 / 6 1 = ≈ 0 , 167 2 b .h 6

h

ψ =

π . h 3 / 32 π .h 3 / 4

=

1 ≈ 0 , 125 8

h

ψ =

b . h 2 / 24 b .h 2 / 2

=

1 12

h

≈ 0 , 083

ψ ≈ 0 , 32 h

6.3.3. Brazo de palanca elástico: Definiremos como brazo de palanca elástico a la distancia que existe entre la resultante de compresión y la resultante de tracción del diagrama de tensiones.

/2005

8

ESTABILIDAD II

σ

z

CAPITULO VI: FLEXIÓN

M

=

Ix

∫σ

N =

x

.y

.dΩ =

Ω1

N' =

∫σ

Ω2

M

∫I

Ω1

.dΩ =

.y.dΩ =

x

M

∫I

Ω2

x

.y .dΩ =

M Ix

∫ y.dΩ =

Ω1

M Ix

∫ y.dΩ =

Ω2

M S I x x1 M S I x x2

N = N' z =

I I M M = = x →z= x M .S x1 N S x1 S x1

(6.9)

Ix Numéricamente, el brazo de palanca elástico se calcula como el cociente entre el momento de inercia con respecto al eje “x”, y el momento estático de media sección con respecto al mismo eje.

Rectángulo:

Círculo:

Triángulo:

b.h 3 8 z = 12 = .h ≈ 0,67h b.h h 12 . 2 4 π.r 4 3 3π 12 z = = .π.r = .d ≈ 0,57d 2 8 16 π.r 4r . 2 3π b .h 3 9 36 z= = .h ≈ 0,56h 4 16 2 .b .h 81

6.3.4 Energía de deformación. Si aislamos de una barra una tajada elemental de ancho ∆l, y suponemos que sobre las secciones límites actúan dos momentos M que mantienen la porción en equilibrio, entonces obtendremos:

σ.ε M 1 σ= .y ε = .y 2 I ρ 1 M 1 u = . y2 . 2 I ρ 1 M 1 1 M 1 U ∆l = ∫ u.dVol = ∫ . .y 2 .∆l .dΩ = . . .∆l ∫ y 2 .dΩ ρ 2 I ρ Ω vol vol 2 I 1 1 U ∆l = .M . .∆l 2 ρ u=

/2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

La energía de deformación absorbida por toda la pieza es igual a la suma de la que absorbe cada una de las tajadas.

U ∆l =

1 1 .M . ∆l 2 ρ

Si ponemos la curvatura en función del momento, tendremos: U =

M.2 l 2.EI

(6.10)

A continuación vamos a ver un ejemplo de aplicación, calculando el giro en los apoyos de la viga de sección constante de la figura 6.12:

1  Text = 2. M .θ  = M .θ 2 

U=

∫ L

 M2  M2 M2 . dl = dl = .l   2EI ∫L 2EI  2EI 

Text = U

→

M .θ =

M2 .L 2EI

→

θ=

M.L 2EI

(6.11)

6.4. FLEXION RECTA EN SECCIONES DE DOS MATERIALES Vamos estudiar este problema apoyándonos en el ejemplo de la figura 6.13, que trata de una viga de sección rectangular de madera que esta reforzada inferiormente mediante un fleje de acero. El fleje esta unido a la madera de manera tal que se deforma solidariamente con ésta. En base a la consideración anterior, es posible continuar aceptando como válida la Ley de Navier- Bernoulli, es decir que la sección plana antes de la deformación se mantiene plana luego de la deformación.

Fig. 6.13 /2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

De acuerdo a la Ley de Navier- Bernoulli: y ε ( y) = ρ y considerando la ley de Hooke: 1 σ ( y ) = Eε ( y ) = E.y ρ luego: dN = σ( y ) .dΩ = σ( y ) .b.dy dN =

1 E.b.y .dy ρ

por razones de equilibrio debe ocurrir que: 1 M = ∫ y .dN = ∫ y 2 . .E.b .dy ρ Ω Ω

(6.12)

Al resolver esta integral en toda el área, nos encontraremos con elementos “dy” donde el material es madera y otros donde es acero. 1 dN 1 = E m .b m .y .dy ρ 1 dN 2 = E a .b a .y .dy ρ resultaría muy práctico si de alguna manera, en forma ficticia, pudiésemos convertir uno de los materiales en el otro, de manera tal que esto facilite las integraciones.     E E 1 1  dN 1 =  E a .b a .dy  .y . m = E m . a .b a  .y .dy ρ Em ρ  Em 1 424 3  n  dN 2 =

1 1 E m .[n .b a ].y .dy = Em .b h .y.dy 123 ρ ρ bh

Si en la zona donde tenemos acero cambiamos el ancho verdadero de la sección por uno ficticio bh = n.b que denominamos “ancho homogeneizado”, en la ecuación del momento no aparecen los diferentes materiales. Por otro lado sabemos que: 1 (6.13) ∫Ω .dN = 0 → ρ ∫Ω y .E.b.dy = 0 En esta integral no podemos sacar como factor común “E”, ya que éste es función de “y”; sin embargo, si realizamos la homogeneización, esto sería posible ya que en la zona donde esta el acero estaríamos tomando el ancho bh .Em y .b h .dy = 0 (6.14) ρ ∫Ω El cumplimiento de esta última ecuación nos hace ver que la ordenada “y” debe medirse a partir del baricentro de la sección homogeneizada. /2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Como conclusión podemos decir que valen las expresiones generales de la flexión recta, a condición de que tomemos en lugar de la sección real, la misma homogeneizada. σ1 =

M .y I xh 1

σ2 =

M .y I xh 2

(6.15)

la tensión σ1 sería la que correspondería si en la fibra 1 tuviésemos madera. Como el ancho real es bh /n, luego la tensión real en el acero será: σ 1 a = n .σ 1

(6.16)

Esto último tal vez pueda ser apreciado mas exactamente si observamos en la fig.6.13 la fibra 3. Si consideramos dos fibras ubicadas infinitamente próximas a ésta, una del lado de la madera y otra del acero, ambas tienen prácticamente la misma deformación; sin embargo, debido a la diferencia de módulos de elasticidad las tensiones son distintas, con lo que el diagrama real de tensiones resulta discontinuo. Si en lugar de tener dos materiales hay mas, la homogeneización deberá realizarse sobre la base de uno de ellos. En la Fig.6.14 se indica el caso de una sección rectangular compuesta de tres materiales distintos.

6.5. FLEXION OBLICUA 6.5.1. Fórmula de dos términos Como ya hemos dicho, este caso se presenta cuando la línea de fuerzas no coincide con uno de los ejes principales de inercia. Dado que los ejes principales de inercia son perpendiculares, y el vector representativo del momento es perpendicular al eje de fuerzas, también podemos decir que la flexión oblicua surge cuando el vector momento no coincide con alguno de los ejes principales de inercia. Esta situación se presenta con mucha frecuencia en los elementos estructurales que forman parte de los techos inclinados. Las cargas gravitacionales originan un eje de fuerza vertical, el cual no coincide con los ejes principales, los cuales se orientan según el plano del techo. η α

f ς

n Mη

θ

M

n

Mς

α

/2005

f

Fig. 6.15

12

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Si analizamos este problema de flexión debemos decir que: Mζ ≠ 0

Mη ≠ 0

;

N=0

;

M ζ = M . cos α

(6.17)

M η = M.senα Como podemos aplicar el principio de superposición de efectos, siendo cada uno de los valores de componentes de momento casos de flexión recta, la tensión normal se obtiene a través de : Mζ Mη σ = σ (M ) + σ (M ) = .η + .ζ ζ η Iζ Iη

(6.18)

Esta expresión recibe el nombre de fórmula de los dos términos en la flexión oblicua simple. Si queremos encontrar la ecuación del eje neutro, planteamos la condición de tensión normal nula. σ = 0

→

Mζ Iζ

.η +

Mη Iη

.ζ = 0

→

η= −

M η Iζ . .ζ M ξ Iη

La ecuación del eje neutro indica que este resulta baricéntrico pero no coincidente con algunos de los ejes principales de inercia. Para:

M ζ = M . cos α  Iζ  → η = − .ξ.tgα M η = M .senα  Iη

→

Iζ η = tgθ = 1. .tgα ζ Iη

(6.19)

Fig. 6.16

En la figura anterior podemos ver como el diagrama de tensiones puede obtenerse por superposición de efectos. Algo importante a tener en cuenta es que las tensiones σ son perpendiculares a la sección, es decir son tensiones σz. El diagrama se dibuja abatido para poder representarlo con mayor comodidad. En el caso de una sección transversal doblemente simétrica como la de la figura 6.16. la tensión normal máxima puede calc ularse de la siguiente forma:

/2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

σ máx =

Mζ Iζ

Mη

.η máx +

Iη

.ζ máx =

Mζ Iζ

.+

η máx σ máx =

Mζ Wζ

+

Mη Wη

Mη Iη

=

Mζ Wζ

+

Mη Wη

(6.20)

ζ máx

≤ σ adm

Esta formula de dimensionamiento no es directa como la de flexión recta, ya que la misma depende de dos parámetros geométricos. El proceso de dimensionamiento resulta entonces iterativo, debiendo proponerse una sección y verificar la ecuación anterior. Para realizar un procedimiento lo mas acertado posible puede tenerse presente lo siguiente: Mζ

σ máx =

Wζ ≥ r =

Wζ

+

Mη Wη

.

Wζ Wζ

  Wζ  1  1 = . M ζ + .M η  = . M ζ + r .M η Wζ  Wη Wζ  {   r

[

M ζ + r .M η

] (6.21)

σ adm

Wζ Wη

r≅7a9

r≅4a r≅h/b

Proponiendo un valor de “r” puede obtenerse un valor de Wx necesario, y con éste se elige la sección. Como el valor de “r” no resulta en general tal como se lo supone, debe siempre verificarse la ecuación. Si esta ecuación no se cumple, entonces deberá adoptarse otra sección. Cuando la sección no es doblemente simétrica, los puntos donde se dan la máxima tensión de compresión y tracción no tienen porqué tener simultáneamente como coordenadas los valo res de xmáx e ymáx. Por esta razón suele resultar muy práctico dibujar la sección en escala y trazar el eje neutro, como el diagrama de tensiones resulta perpendicular a dicho eje es posible determinar gráficamente las posiciones donde las tensiones son máximas, aún sin calcular los valores.

6.5.2. Fórmula de un término. En virtud de considerar como válidas las hipótesis de Navier- Bernoulli y la Ley de Hooke, podemos decir que la tensión normal que surge como consecuencia del efecto de flexión será proporcional a la distancia al eje neutro medida desde el punto de aplicación de la misma. Hipótesis de Navier- Bernoulli:

/2005

ε=

yn ρ

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

σ = E .ε

Ley de Hooke: Entonces: σ ( y ) = Eε ( y ) =

1 E.y n = ψ.y n ρ

(6.22)

Sobre un elemento diferencial de área, debido a la tensión σ, existirá una fuerza dN:

dN = σ.dΩ

Fig. 6.17

Por razones de equilibrio:

∫

dN =

∫

ψ .y n .dΩ = ψ ∫ y n .dΩ = 0

Ω

Ω

∫ σ.dΩ = 0

Ω

(6.23)

Sn = 0

Ω

para que la condición dada por la ecuación anterior se satisfaga, debe ocurrir que el eje neutro sea baricéntrico. En la figura 6.17 así lo ubicamos porque ya conocíamos el resultado a partir de lo desarrollado en el ítem anterior. También por razones de equilibrio deberá ocurrir:

∫

x f .dN = 0

∫

x f .dN =

∫

x f .y n .dΩ = I nf = 0

Ω

Ω

Ω

∫

Ω

(momento con respecto al eje de fuerzas) ψ .x f .y n .dΩ = 0 (6.24)

De la última ecuación se obtiene que el eje neutro y el eje de fuerzas son conjugados de inercia. Si desarrollamos la ecuación :

∫

Ω

y n .dN = M .senβ

(momento con respecto al eje neutro)

obtenemos:

∫

Ω

/2005

y n .dN =

∫

Ω

ψ .y n .dΩ = ψ ∫ y n .dΩ = ψ.I n = M .senβ 2

2

Ω

→

ψ=

M .senβ In 15

ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

con lo que: σ=

M .senβ yn In

(6.25)

Esta última fórmula recibe el nombre de fórmula de un término en la flexión oblicua simple, y para poder utilizarla es necesario tener previamente ubicado en el eje neutro. La posición del mismo queda definida conociendo el valor del ángulo β. Para calcular el valor de este ángulo, puede emplearse la siguiente expresión:

tg (ϕ + β) =

I x − I xy . tg ϕ I xy − I y. tg ϕ

(6.26)

Debido a que también hay que conocer el momento de inercia con respecto al eje neutro, suele ser conveniente aplicar el círculo de Mohr para inercias (círculo de Mohr- Land).

Usando el círculo de Mohr, en realidad no es necesario medir el ángulo β, ya que puede medirse directamente In/senβ. In / sen β = AP x Esc.Inercia. σ=

M In

.y n

senβ

La fórmula de un término puede resultar práctica, pero puede ser usada únicamente en verificaciones, es decir, cuando la sección ya ha sido dimensionada. Luego de las conclusiones obtenidas en este ítem, podemos dar un nuevo concepto de flexión recta y oblicua. La flexión se dice recta cuando el ángulo que forma el eje de fuerzas y el eje neutro es un ángulo recto, es decir, que ambos ejes son perpendiculares. Como el eje neutro y el eje de fuerzas son conjugados, esto solo puede darse cuando el eje de fuerzas coincide con un eje principal de inercia. Cuando la flexión no es recta se dice que es oblicua.

/2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

6.6.FLEXION EN VIGA DE EJE CURVO Para estudiar el efecto de la flexión en una viga de eje curvo, se considerarán solamente secciones que tengan un eje de simetría y el plano de acción del Momento Flector conteniendo a dicho eje de simetría y al eje de la pieza. Analizaremos, como en temas anteriores, solo el caso de relación lineal entre solicitación y deformación y de que el módulo de elasticidad es el mismo a tracción que a compresión. Consideremos un elemento curvo como el que se muestra en la figura. El punto O define la posición del centro de curvatura; la pieza esta sometida únicamente a Momento.

De todo el sector curvo estudiaremos el comportamiento de la porción definida por el ángulo ϕ, determinándose dos secciones próximas entre si, la AB y la CD. Ambas secciones tienen su baricentro a distancia R de c.c. Debido a M, la porción en estudio se va a deformar; hay fibras que se acortan, fibras que se alargan y fibras neutras. Como hipótesis suponemos que las secciones perpendiculares al eje de la pieza, permanecen planas luego de deformadas. La sección CD permanece plana luego de deformarse y ocupa una posición C’D’ con un giro relativo dϕ, suponiendo que la sección AB se mantiene en su posición primitiva. Aunque la hipótesis básica de deformación es la misma que para vigas rectas, y por Ley de Hooke, la tensión normal σ = E.ε acá tenemos una variante. La longitud inicial de una fibra como la EF depende de la distancia al centro de curvatura ρ . por lo tanto, aunque la deformación total de las fibras de (descriptas por el pequeño ángulo una viga dϕ) sigue una ley lineal, con las deformaciones específicas no sucede esto. El alargamiento de una fibra genérica, EF es (r-ρ). dϕ, donde r es la distancia desde el punto O hasta la superficie neutra (no conocida todavía), siendo su longitud inicial igual a ρ x ϕ. La deformación ε de nuestra fibra arbitraria es: ∆l (r − ρ) × dϕ y × dϕ ε= = = l ρ×ϕ (r − y ) × ϕ siendo “y” la distancia de la fibra genérica respecto de la superficie neutra. Para el elemento dΩ , la tensión normal: σ = E.ε =

E.dϕ y . ϕ (r − y )

En esta ultima ecuación, para la misma sección E, dϕ, ϕ, r son constantes∴ σ =

(6.27)

(6.28) A×y , (B − y )

expresión que representa una función hiperbólica. En (6.28 ) tenemos dos incógnitas, que son la ubicación de las fibras neutras ”r” y el giro relativo dϕ. Para definirlas utilizaremos dos condiciones de la estática. /2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VI: FLEXIÓN

Teniendo en cuenta que sobre la sección, solo se ha aplicado M, debe cumplirse que la suma de las fuerzas que actúan perpendicularmente a la sección tome valor 0.

∑F

N

=0→

∫ σ.dΩ = ∫ E. Ω

Ω

.dϕ y .E.dϕ y .E.dϕ r − ρ . .dΩ = .dΩ =. .dΩ . ∫ ϕ (r − y ) ϕ Ω (r − y ) ϕ ∫Ω ρ

Siendo E, dϕ, ϕ, constantes, deberá ser nula la integral r −ρ Ω (6.29) ∫Ω ρ .dΩ. = 0 → r = dΩ ∫Ω ρ . Observando que el eje así definido difiere de la posición del baricentro (G). Una vez conocida la posición del eje neutro, la expresión para la distribución de esfuerzos se obtiene igualando el momento externo aplicado, al momento interno resistente. Tomamos momento en la sección respecto del eje “n” determinado por las fibras neutras: .dϕ y2 .E.dϕ y2 ∑ M n = 0 → M = ∫ σ.dΩ.y = ∫ E. ϕ . (r − y ) .dΩ = ϕ ∫ (r − y ) .dΩ. Ω Ω Ω  y2  .E.dϕ  r .y  ∫Ω  (r − y ) + y − y  .dΩ = ϕ ∫Ω  − y + r − y  .dΩ  .E.dϕ   .E.dϕ  y M= − y .dΩ + r ∫ .dΩ  = − y .dΩ + 0   ∫ ∫ ϕ Ω (r − y ) ϕ Ω   Ω M=

.E.dϕ ϕ

(6.30)

∫ − y .dΩ = − ∫ y .dΩ

Ω

Ω

donde la integral representa el momento estático del área de la sección recta respecto de la línea neutra. Siendo “e” la separación entre le baricentro y la línea neutra, se debe cumplir:

∫ − y.dΩ = Ω.e

siendo e = R − r

(6.31)

Ω

La distancia “e” se mide en sentido contrario al considerado como positivo para “y”. Finalmente: .E.dϕ M= .Ω .e ϕ M y σ= . Ω .e ρ σD

M yD = . Ω .e ρ D

σC =

→

σsuperior = σD

.E.dϕ M = ϕ Ω .e n

*G

n σinferior = σC

(6.32)

Fig. 6.20

M yC . Ω.e ρ C

A diferencia del caso de viga de eje recto, donde la variación de tensión es lineal , en el caso de eje curvo, la variación es hiperbólica. El eje neutro no coincide con el baricentro geométrico de la sección, trasladándose hacia el Centro de Curvatura. /2005

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

7 TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN 7.1 FORMULA DE JOURAVSKI - COLIGNON En el capítulo 6 hemos estudiado la distribución de tensiones en la sección recta de una pieza sometida a flexión pura. En este capítulo abordaremos el estudio del estado tensional cuando tenemos una sección de una pieza sometida a flexión y corte. La presencia de Q origina en la sección tensiones tangenciales: estas tensiones, variables a lo largo de la altura, producen distorsión entre los elementos de la pieza, lo que hace que las secciones originalmente planas, al deformarse por la suma de los efectos de flexión y corte ya no sigan siendo planas. Sin embargo este alabeo del plano de las secciones transversales no influye sensiblemente sobre el valor de las tensiones normales para el caso de las relaciones l/h habituales. Es decir, podemos seguir calculando σ como si fuera un caso de flexión pura. El tema ya tiene un pequeño antecedente, visto en capítulo 2, “el problema de corte puro”. Para ese caso se concluyó que el esfuerzo de corte no era sino la fuerza resultante de un conjunto de tensiones tangenciales que podían admitirse distribuidas uniformemente, y cuyo valor se calculaba mediante la expresión: τ=

Q Ω

(7.1)

En la práctica el problema de corte puro no existe, puesto que en general aparece conjuntame nte con la flexión. En estas circunstancias, como veremos seguidamente, la hipótesis de tensiones tangenciales uniformes resulta incorrecta, de manera que el valor de τ obtenido con la expresión 7.1 solamente representa el valor medio de la tensión. No obstante lo recientemente expuesto, existen algunos problemas, especialmente en lo que se refiere a elementos de unión, donde los esfuerzos de flexión pueden considerarse como secundarios, siendo aplicable la expresión anterior dada la simplicidad que representa. En algunas estructuras como las vigas, que están predominantemente flexadas, es muy importante considerar la distribución real de tensiones, para lo cual nos basaremos en la denominada “Teoría de Jouravski”, quien desarrolló en un trabajo sobre pue ntes, publicado en 1856, una teoría sobre la resistencia de secciones rectangulares constituidas por laminas superpuestas vinculadas entre sí. Jouravski calculó los esfuerzos rasantes que veremos luego, sin preocuparse de las tensiones que ocurren en el plano de la sección, cuya expresión se debe a Colignon. Consideremos, por ejemplo, la viga de la figura 7.1, la que supondremos de sección constante. Aislemos un trozo de la misma delimitado por las secciones 1 y 2, separadas éstas por dz. En la sección 1-1 actúa un momento flector M y un esfuerzo de corte Q. En la 2-2, el momento será distinto al de la 1-1, pero lo expresaremos en función de M como M+dM, mientras que el esfuerzo de corte mantiene su valor Q.

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

Fig. 7.2

Como consecuencia de la flexión, en una fibra situada a una distancia “y” del eje neutro, se originarán en 1-1 tensiones: σ =

M y In

(7.2)

y en la 2-2

( M + dM ) y

σ + dσ =

In

(7.3)

Supongamos ahora separada una parte del prisma de longitud dz por una superficie cilíndrica como se muestra en la fig.7.3. En la parte rayada actúan tensiones normales que originan una fuerza N. M N =∫ y dΩ (7.4) Ω In En la sección 2-2 ocurre algo similar: N + dN =

∫

(M

Ω

+ dM ) y dΩ In

(7.5) Fig. 7.3

Ambas fuerzas son coaxiales y su resultante vale: dN =

∫

Ω

dM y dΩ In

(7.6)

Esta fuerza elemental tiende a hacer deslizar la parte superior del prisma ubicado por enc ima de la superficie cilíndrica, con respecto al resto del mismo. A esta acción se oponen tensiones tange nciales τ que actúan en la superficie curva de separación. Para estas tensiones longitudinales admitiremos: a) que su dirección es paralela al eje de la pieza b) que varían en forma continua sobre la superficie curva. Si llamamos s a la longitud de la curva de intersección de la superficie con el plano de la sección recta, tendremos:

dT = dz ∫ τ ds s

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(7.7) 2

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CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

por equilibrio: dT = dN

∫

ΩS

(7.8)

dM ydΩ = dz ∫ τds S In

dM In

∫

ΩS

ydΩ = dz ∫ τds → S

dM 1 s S = dz In n

∫ τds = τ S

m

S

τ m = valor medio de τ

τm =

Q S sn

Fórmula de Jouravski-Colignon

In S

(7.9)

De acuerdo con la ley de Cauchy, las tensiones τ de resbalamiento longitudinal dan origen en el plano de la sección a tensiones tangenciales, normales en cada punto de la curva s a su correspondiente tangente, y cuyo valor medio está dado por la expresión 7.9. Fig. 7.4

7.2 DISTRIBUCION DE TENSIONES EN SECCIONES USUALES 7.2.1 Sección rectangular Analicemos una sección rectangular de ancho b y altura h. Si consideramos una traza s – s paralela al eje x, las tensiones tangenciales pueden suponerse constantes en todo el ancho b. τ zy =

Q Sns In s

In =

b h3 12

s=b

h   h 1 S sn = b − y   − y  + 2 2    2

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S sn =

1 h  h b  − y  + 2 2  2

S sn =

1  h2  b − y2  2  4 

 y 

 y 

Fig. 7.5

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CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

1 h2   2y   Q b 1 −    2 4   h   = b h3 b 12 2

τ zy

3 Q τ zy = 2 bh

  2 y 2    1 −  h    

(7.10)

La distribución de las tensiones tangenciales es parabólica, alcanzando el valor máximo en correspondencia con el eje neutro. τ max =

3 Q Q = 1 .5 2 bh Ω

(7.11)

Acá podemos apreciar lo que habíamos expuesto anteriormente en cuanto a que la distribución real de tensiones tangenciales difiere bastante de la hipótesis de corte puro. También se observa que las tensiones tangenciales se anulan en las fibras superiores e inferiores. Esto es lógico, por cuanto si en esos lugares τzy≠0, de acuerdo con la ley de Cauchy aparecerían en la cara superior e inferior de la pieza prismática tensiones tangenciales longitudinales, las cuales se transformarían en cargas exteriores actuantes, cuya existencia no hemos considerado. La fórmula de Jouravski – Colignon nos permite calcular el valor de las tensiones tangenciales verticales τzy, pero debemos aclarar que también aparecen tensiones tangenciales τzx, cuya ley de distribución puede conocerse si se trata el problema desde el punto de vista de la teoría de la elasticidad. Cuando el rectángulo en muy ancho, estas tensiones alcanzan valores significativos, en caso contrario pueden despreciarse. Obviamente, en cualquier caso las tensiones τzx constituyen un sistema autoequilibrado, con resultante Rx=0.

Fig. 7.6

7.2.2 Sección circular En secciones simétricas de contorno curvilíneo no es posible considerar la existencia de tensiones tangenciales τzy solamente. En efecto, en los puntos del contorno la tensión tangencial debe tener una dirección coincidente con la tangente a la curva que define la sección, ya que de no ser así existiría una componente de la tensión perpendicular a esta tangente, lo que por Cauchy generaría una tensión tangencial longitudinal externa. En la figura 7.7 se ilustra lo que sucedería si τA fuese vertical. Fig. 7.7 /2005

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CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

Si admitimos entonces que las tensiones en un punto como el A son tangentes al contorno, resulta evidente que aparecen tensiones τzy y τzx. Para las tensiones tangenciales τzy admitimos la validez de la formula de Colignon, sie ndo constantes en todo el ancho AB. Para las tensiones τzx se considera una ley de variación lineal. τ zx = τ zx τ zx = A

x xA

A

τ zy

=

A

tg α

τ z x = τz y

τ zy

(y)

tgα Fig.7.8

x x A tg α

(7.12)

Según la ecuación 7.12, para una ordenada “y” cua lquiera, todas las tensiones tangenciales actuantes en el ancho correspondiente conc urren a un punto M.

x A tgα = CM τ zx τ zy

=

→

τ zx = τ zy

x CM

1 x = tgα x CM

Para el caso particular de una sección circular, apliQ S yx cando Colignon : τ zy = b yI x τ zy

4 (R 2 − y 2 ) = Q 3 π R4

x A tgα =

y

=

Fig. 7.9

R 2 − y2 y

xy 4 Q xy = ( R2 − y2) 2 2 4 3 πR R −y R − y2 4 Q = xy (7.14) 3 πR4

τ zx = τ zy τ zx

x 2A

(7.13)

2

Fig. 7.10

En cualquier punto la tensión tangencial τ puede obtenerse por composición de τzy y τzx. /2005

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τ=

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

τ 2zy + τ 2zx

(7.15)

El valor de τzy máximo se produce para y = 0, donde τzx = 0 para todo valor de x. τ max = −

4 R2 4 Q 4Q Q Q = = ≅ 1.33 4 2 3 πR 3 πR 3Ω Ω

(7.16)

En la ultima ecuación podemos ver el valor de la tensión tangencial máxima es 33% mayor que el valor correspondiente al caso de corte puro.

7.2.3 Sección doble T En la figura 7.11 hemos tratado de idealizar un perfil laminado doble T. Para un corte s1-s1 situado en el ala tendremos según la formula de Colignon:

τ zy

1  h2  b  − y 2  Q 2  4 Q  h2   = =  − y 2  I b 2I  4 

(7.17)

Para un corte s2-s2 situado en el alma tendremos:

τ zy

2   bt (h - t ) + e   h − t  − y 2  2  2  Q 2  = I e

(7.18) τ zy

Q = 2I

 b t  (h - t ) +  e

2  h   2   − t  − y     2  

Fig. 7.11 /2005

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CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

Puede verse que la variación de τzy según las ecuaciones 7.17 y 7.18 resulta ser parabólica. En una sección como la s3-s3 aparece una discontinuidad, lo cual se debe a que en la fórmula de Colignon la tensión tangencial es inversamente proporcional al ancho de la pieza a la altura de la fibra considerada, y la sección tiene un cambio brusco de ancho. Lo que hemos indicado recientemente es incongruente. En efecto, si el diagrama (a) de la figura 7.11 fuese totalmente valido, en un elemento como el k tendría mos una tensión tange ncial τzy no nula, lo que significaría que según Cauchy debería aparecer tensiones rasantes longitudinales en las caras interiores de las alas, donde, por tratarse de una superficie libre de solicitaciones exteriores, no puede haber tensiones. La situación real es la siguiente: en un punto tal como M, de la superficie de una de las alas existen tensiones τzy y τzx. Las primeras, salvo en la zona ABC de unión de ala y alma, varían según diagramas parabólicos que se anulan en correspondencia con los bordes superior e inferior del ala (ver diagramas (c) en la fig. 7.11), y su valor máximo es muy pequeño, por lo que pueden despreciarse. Para la zona ABC puede suponerse que varían linealmente desde el valor correspondiente a la sección s3-s3 en el alma, hasta anularse en el borde del perfil (ver diagramas (b) en la fig. 7.11). En cuanto a las tensiones τzx, su magnitud es tal que no siempre son despreciables. Tienen un papel importante en las secciones para las que la línea de fuerzas coincide con un eje principal de inercia que no es eje de simetría de la sección. A continuación vamos a desarrollar las expresiones que nos permiten establecer la ley de variación de las tensiones tangenciales τzx a lo largo de las alas. Supongamos el mismo perfil de la figura 7.11 al que le efectuamos un corte vertical en una de las alas. Si el perfil está solicitado por flexión, sobre la parte separada existirán tensiones normales. Siguiendo un razonamiento similar al aplicado el deducir la fórmula de Jouravski – Colignon podemos establecer la siguiente:

σ = N =

M y I

∫

h 2

h −t 2

σ + dσ =

σ dΩ =

∫

h 2

h −t 2

M + dM y I

M yxdy I

(7.19) N + dN =

dN =

∫

h 2

h −t 2

(M + dM ) yxdy I

dM dM h2 dM t dM yxdy = x ∫h ydy = x (h − t) = Sx ∫h2 − t I − t I 2 I 2 I h 2

Sx: momento estático respecto del eje ne utro del área en la figura 7.12

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ESTABILIDAD II

CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

Fig. 7.12

Por razones de equilibrio debe resultar dN= dT dT = τ xz t dz =

τ xz =

dM S x = dz It

dM Sx I QS x

It

(7.20) (7.21)

Por Cauchy, en el área rayada antes mencionada aparecen tensiones tangenciales horizontales τzx = τxz. τ zx =

Q t (h - t ) x I 2t (7.22)

τ zx =

Q (h - t ) x 2I

Según la ecuación 7.22 las tensiones τzx varían linealmente desde cero en el extremo del ala hasta un máximo en correspondencia con el borde del alma donde x =(b-e)/2. En la figura 7.13 se muestran los diagramas correspondientes a las cuatro semialas del perfil. Puede a-preciarse que el conjunto de las tensiones tangenciales determina un flujo de tensiones en el sentido de la fuerza de corte. Por otro lado, razones de simetría hacen que para cada una de las alas los esfuerzos horizontales derivados de las tensiones τzx se anulen entre sí.

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Fig. 7.13

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CAPITULO VII: TENSIONES DE CORTE EN LA FLEXIÓN

Salvo en casos muy especiales las perfiles I no trabajan bajo tensiones tangenciales muy altas en relación con las tensiones normales de flexión. Siendo además que τzx max