Modelo 2011. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función: f (x ) =
x −1
(x + 1)2
se pide: b. (1,5 puntos). Calcular el área del recinto acotado comprendido entre la gráfica de f; el eje OX y las rectas x = 0, x = 3. Solución. x −1 dx (x + 1)2 Para calcular la primitiva de la función se usa el método de descomposición en fracciones simples de polinomios con raíces reales de multiplicidad mayor que uno. x −1 A B = + 2 x + 1 (x + 1) (x + 1)2
∫
El calculo de las constantes A y B se hace por identificación de numeradores una vez sumadas las fracciones del miembro de la derecha de la igualdad. x −1 A ⋅ (x + 1) + B = : x − 1 = A ⋅ (x + 1) + B 2 (x + 1) (x + 1)2
Coeficientes Término A =1 x − 1 = Ax + A + B = Bx + A + B : x: 1= A : Independiente − 1 = A + B B = −2 x −1 1 −2 = + 2 (x + 1) x + 1 (x + 1)2 x −1
1
−2
1
2
∫ (x + 1)2 dx = ∫ x + 1 + (x + 1)2 dx = ∫ x + 1 dx − ∫ (x + 1)2 dx =
=∫
1 (x + 1)−1 + C = Ln x + 1 + 2 + C dx − 2 ∫ (x + 1)−2 dx = −Ln x + 1 − 2 x +1 x +1 −1
Septiembre 2006. Ejercicio 1A. (2 puntos) Calcular
dx
2
∫1
x + 2x Solución. Primero resolvemos la integral indefinida por descomposición en fracciones simples, y a continuación la integral definida. Para resolver la integral hay que descomponer la expresión racional en fracciones simples, y para ello hay que factorizar el denominador, que en este caso es muy sencillo por tratarse de un polinomio de 2º grado sin término independiente. 1 1 A B = = + 2 x + 2 x x ⋅ (x + 2) x x + 2 Para calcular las constantes A y B sumamos las fracciones e igualamos los numeradores. A ⋅ (x + 2) + B ⋅ x 1 = ⇒ 1 = A ⋅ (x + 2 ) + B ⋅ x x ⋅ (x + 2) x ⋅ (x + 2) Dando a x las raíces del polinomio (0, −2) se obtienen respectivamente los valores A y B. 1 • x = 0 : 1 = A ⋅ (0 + 2) + B ⋅ 0 ⇒ A = 2 1 • x = −2 : 1 = A ⋅ (− 2 + 2) + B ⋅ (− 2) ⇒ B = − 2 Sustituyendo 1 −1 1 2+ 2 = 1 ⋅ 1 − 1 = 2 x x + 2 2 x x+2 x + 2x
1
2
Una vez hallada la descomposición en fracciones simples se resuelve la integral aplicando la 1 primitiva del logaritmo neperiano dx = Ln x + a + C . x+a
∫
∫x
1 2
+ 2x
dx = =
1 1
1
1 1
1
1 1
1
∫ 2 ⋅ x − x + 2 ⋅ dx = 2 ∫ x − x + 2 ⋅ dx = 2 ∫ x dx + ∫ x + 2 dx = 1 (Ln x − Ln x + 2 ) + C = 1 Ln x + C = Ln x + C 2 2 x+2 x+2
La integral definida se calcula mediante la regla de Barrow.
∫
2
1
2
x 2 1 1 1 = Ln − Ln = Ln − Ln = Ln = Ln 2 x + 2 2+2 1+ 2 2 3 x + 2x 1 dx
1 1
2
= Ln
3 2
3
Modelo 2003. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 2 puntos. Calcular la siguiente integral indefinida:
∫x
x2 + 4 2
− 5x + 6
dx
Solución. Por ser de igual grado los polinomios de numerador y denominador, se dividen obteniendo 1 de cociente y 5x ‒ 2 de resto.
x2 + 4
5x − 2
5x − 2
∫ x 2 − 5x + 6 dx = ∫ 1 + x 2 − 5x + 6 dx = ∫ dx + ∫ x 2 − 5x + 6 dx =
5x − 2 2
x − 5x + 6
=
5x − 2
(x − 2) ⋅ (x − 3)
=
A B A ⋅ (x − 3) + B ⋅ (x − 2) + = x −2 x −3 (x − 2) ⋅ (x − 3)
Igualando los numeradores y dando a la x las raíces del denominador se calculan las constantes A y B:
5x − 2 = A ⋅ (x − 3) + B ⋅ (x − 2)
x=2
;
5 ⋅ 2 − 2 = A ⋅ (2 − 3) + B ⋅ (2 − 2) ;
A = −8
x =3
;
;
B = 13
5x − 2
5 ⋅ 3 − 2 = A ⋅ (3 − 3) + B ⋅ (3 − 2 ) 5x − 2 −8 13 = + 2 x − 2 x −3 x − 5x + 6 −8
13
−8
13
∫ dx + ∫ x 2 − 5x + 6 dx = ∫ dx + ∫ x − 2 + x − 3 dx = ∫ dx + ∫ x − 2 dx + ∫ x − 3 dx = 1 1 = dx − 8 ⋅ ∫ ∫ x − 2 dx + 13 ⋅ ∫ x − 3 dx = x − 8 ⋅ Ln x − 2 + 13 ⋅ Ln x − 3 + C
2