TEORÍA DE CIRCUITOS II 4 Año – Ingeniería Electrónica – F.R.T. U.T.N. Filtros Eléctricos (colaboración del alumno Esteban Aredez) Concepto: Un filtro de onda eléctrica es un cuadripolo selectivo que transmite libremente ondas eléctricas que cuentan con frecuencias dentro de una o más bandas y que atenúan ondas eléctricas que poseen otras frecuencias. Filtro ideal: Es aquel filtro que transmitirá libremente en la banda de transmisión libre y que atenuará en forma abrupta las frecuencias que se encuentran en la banda de atenuación. Un filtro ideal esta compuesto internamente por un elemento reactivo, inductores y capacitores únicamente, debido a que si tiene una R el filtro disipara indudablemente algo de energía que se desea para la carga. El filtro ideal por lo tanto no disipa energía. Distintos Tipos: Pasa Bajo
Pasa Alto
Ing. Oscar Galvez
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Pasa Banda
Supresor de Banda
Gráficos de los diferentes tipos de filtros
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Diseño por perdida por inserción Una manera de diseñar un filtro es el de convenir una perdida apropiada por inserción V 2
rg
E
Filtro
Rl
Si V2 es el voltaje en las terminales de la carga con el filtro, y Vo es el voltaje entre las terminales de la carga antes de insertar el filtro, con E ctte: Razón de V de inserción Para aproximarse a un filtro ideal V2/V0 debería ser 1 en bandas de transmisión libre y tan pequeña como sea posible en banda de transmisión.
Para diseñar este filtro V2/V0 debe ser consideradas una función de transferencia de variable compleja S Ing. Oscar Galvez
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En las graficas pueden verse intuitivamente que los polos de este arreglo en el plano S, soportaran la superficie de manera que V2/V0 será aproximadamente constante, dentro de la banda discada de Tx o sea de 0 a ω c (frecuencia de corte) y que los ---- sobre el eje jω empujaran la función hacia abajo como se desea para altas frecuencias. Diseño por Atenuación de Impedancia Si se tiene un filtro que termina en impedancia característica Z0 , las perdidas de voltaje por inserción son iguales a la atenuación α del filtro
En la figura se traza IV2/V1I para un filtro de pasa bajo su magnitud es constante, un 1 alo largo de la banda de transmisión donde V2 debería ser igual a V1 y en la banda de atenuación V2 disminuye hasta cero. Como sabemos los circuitos físicos reales, están compuestos por R, L, C y el comportamiento de los circuitos pueden ser descriptos por funciones racionales. La característica del filtro ideal puede aproximarse pero no obtenerse por arreglos de polos y ceros. Sin embargo, encontramos que la figura anterior puede obtenerse exactamente, si suponemos que el filtro termina en una impedancia de imagen Z 0 que varia con la frecuencia. Esta suposición no es físicamente posible. Esta podría obtenerse únicamente si las frecuencias fueran aplicadas una a la vez, cambiando la impedancia terminal para que correspondiese. Los filtros no operan de esta manera haciendo esta suposición de terminación en impedancia imagen, veremos que realmente nos aproximamos a la situación deseada. Ing. Oscar Galvez
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Las características deseadas para el filtro pasa bajo puede obtenerse tanto de un cuadripolo T o un cuadripolo π, estipulando que la impedancia terminal es igual a la impedancia imagen de dicha red. Para demostrar esto debemos tener en cuenta las características de transmisión de dichos cuadripolos los cuales deben ser pasivos simétricos y bilaterales. I1
I`2
+ V1 -
a
b
c
d
I1 + V2 -
+ V1 -
I`2
a c
b a
+ V2 -
Si a dibujado una red de dos puertos simétrica, la cual está caracterizada por las funciones A, B, C, D, como es simétrica D=A. Los parámetros de este cuadripolo son: Parámetros Tx
Todas son funciones de “s” El valor de Z0 puede encontrarse en función de A, B, C que caracterizan la red dividiendo miembro a miembro las ecuaciones anteriores tenemos que:
Dividiendo numerador y denominador por I’2
Como Ze=Zc(Z de carga)=Zo (Z caract.)
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Impedancia caract. De un cuadripolo positivo, bilateral y simétrico Esta es la impedancia imagen expresada en función de B y C pero usualmente se la escribe en función de Zicc y Zica (imp. De entrada en circuito abierto y en corto circuito), que son parámetros calculables desde las terminales de estrada.
Como D=A
Sustituyendo esta ultima en la expresión para la impedancia caract. Zo nos queda:
La impedancia caract. En un filtro eléctrico tiene como finalidad permitir la máxima transferencia de energía.
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Trabajando con el recíproco de V2/V1 o sea V1/V2 que es la función de transferencias inversa, ya que es común cuando se conectan cuadripolos de transmisión en cascada (filtro).
Y como Z2=Zo tenemos que I2=V2/Zo reemplazando
Como el determinante de los parámetros de transmisión del cuadripolo positivo bilateral es:
Despejando y considerando A=D reemplazando
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Introduciendo una nueva contante arbitraria γ que la definimos como:
este nuevo parámetro γ es complejo y hace que la relación V1/V2 sea muy simple. γ recibe el nombre de constante de propagación +j
Podemos relacionar las funciones de propagación con las impedancias de entrada en corto circuito y circuito abierto para ver como se combina con la impedancia imagen para darnos el comportamiento de estos parámetros en la banda de trasmisión libre, como en la de atenuación.
Esta fórmula nos sirve para estudiar la propagación de la señal en función de sus impedancias Zecc y Zeca Podemos hacer un estudio más detallado:
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Ahora teniendo en cuenta los cuatro casos posibles que pueden presentar los circuitos puramente reactivos podemos construir una tabla y ver cómo influyen sobre la impedancia imagen y la función de propagación determinar las frecuencias de transmisión libre y atenuación
C Casos
Zeca
Xa
jXa
Xa
jXa
-
j
j
j
-
-
Xb 3
4
-
Xb 2
3
j jXb
2 2
Z
Zecc 1
1
Z
jXb
Donde Xa y Xb son números reales positivos Analisis de los casos 1, 2 (distinto signo)(la impedancia caract. Es una resistencia pura)
Demuestra que senhα.coshα=0 puesto que es porque con α=0 la atenuación será nula si Zo es una resistencia pura.
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Analisis del caso 3, 4 (igual signo) la impedancia Zo es una impedancia pura
tanh
Re al
senβcosβ=0 por lo tanto senhα.conhα debe ser mayor que cero y tiene que haber atenuación, esto sucede cuando Zo es una reactancia pura. Del análisis cualitativo anterior podemos concluir que la impedancia imagen de cualquier cuadripolo reactivo es real para la frecuencia de la banda de transmisión, e imaginario para frecuencias de la banda de atenuación. Esto puede deducirse debido a que la función de propagación es imaginaria para reactancias de distinto signo lo cual me indica que α=0 (no hay atenuación) pero si desfasaje entre la señal de entrada y salida. Pero cuando la función de propagación es real, existen una gran atenuación de la señal y la contante de fase β=0, esta se da para reactancias de igual signoEsto es válido para cuadripolos de cualquier forma. Si las redes son puramente reactivas las Zeca y Zecc deben ser puramente imaginarias. Ambas pueden ser tanto imaginarias positivas o negativas, dependiendo de la frecuencia. Con este criterio desarrollado nos disponemos a esbozar en forma aproximada las curvas de reactancia de Zecc y Zeca para filtros escaleras LC.
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Para tal propósito hacemos variar la frecuencia y observamos cómo cambian las reactancias de capacidades o inductivas según aumente la frecuencia.
Al variar la frecuencia puede variar el valor y carácter de Zeca y Zecc. Dentro de una gama de frecuencias Zo puede ser una resistencia pura, mientras que dentro de otra gama ella puede ser una reactancia pura.
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Como vemos las zonas donde las impedancias de entrada de circuito abierto y cortocircuito son del mismo signo, la que implica una impedancia imagen imaginaria forman la banda de frecuencia de atenuación. De igual modo las reactancias de distinto signo, la que implica una impedancia imagen real, forman la banda de transmisión libre. Se define frecuencia crítica, a la frecuencia donde la curva de reactancia cambia de signo. Frecuencia de corte: es la frecuencia que limita una banda de otra. Como trabajan los filtros: (colaboración del alumno Aparicio Armando Lorenzo) en la banda de atenuación los filtros no absorben potencia, actúan reteniendo la potencia, se buscan admitir potencia en sus terminales de entrada. Si consideramos que una fuente está conectada a través de un filtro a una carga de impedancia imagen a la frecuencia de la banda de transmisión libre, la potencia entra al filtro y pasa a través de él a la carga, la fuente, alimentando a las terminales de entrada del filtro, de resistencia pura (o casi pura). En la banda de atenuación, la potencia no puede entrar al filtro, la fuente de reactancia pura (o casi pura) Aunque puede haber, tanto corriente como voltaje, existe potencia (o muy poca) que entre al filtro por que la corriente y el voltaje están fuera de fase. Si Zo es una resistencia pura, el filtro absorbe potencia de un generador, dado que los elementos del filtro no pueden absorber potencia alguna, toda la potencia de entrada debe ser transferida a la carga. Si Zo de un filtro es una reactancia pura, ella no absorbe potencia alguna del generador y la tensión y la corriente guardan una diferencia de fase de 90°. Ing. Oscar Galvez
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Filtros de red inversa: (secciones K constante) Vamos a tener presente que tanto en la red T como en la II la reactancia total en serie como en línea se llamara Xa. Y la reactancia en paralelo de la línea a línea se llamara Xb (los elementos en paralelo de la II se combinan en paralelo para hacerlos igual a Xb).
½ Xa
Xa
½ Xa
2Xb
Xb
2Xb
Si calculamos la impedancia imagen para el filtro T. 2
2
Zecc=1/2 Xa+1/2 XaXb=1/4 Xa+1/2 XaXb+1/2 XaXb=1/4 Xa+XaXb ½Xa+Xb 1/2Xa+Xb ½Xa+Xb Zecc=1/4 Za+ZaZb 1/2Za+Zb
Zeca=1/2+Za+Zb
y
La impedancia imagen de la red T es: 2
Zecc*Zca=1/4Za + ZaZb 2
ZoT=
1/4 Za + ZaZb
2
=
ZoT=
-(XaXb +1/4 Xa)
La impedancia imagen de la red II podemos calcularla a partir de la impedancia imagen para la red T, debido a la siguiente relación reciproca.
ZoT*ZoII = Z =-XaXb => ZoII = -XaXb ZoT Y Ing. Oscar Galvez
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Pasa bajo Las figuras muestran una sección T y otra II para las cuales
1/2 L
1/2 L
C
Xa=wL Xb= - 1 wc 2 K=Za*Zb L
1/2 C
1/2 C
Xa,Xb varían de una manera inversa con la frecuencia. Estos filtros reciben el nombre de K constante si se define
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X X a= W L
-4 X b = 4 /w c
P aso
f
a te n u a c io n
fe
Podemos calcular K para las secciones T y II y encontrar que k es constante o sea independiente de la frecuencia. 2
K=ZaZb= - XaXb = wL 1/wc = L c
El valor de la frecuencia de corte es: Xa = -4Xb 2 WcL= 4 1/wcC => Wc=4/LC 2IIfc = 2 => fc = 1 Lc
II
Wc=2II fc
Lc
Las impedancias imagen de la red T es:
ZoT =
2 2
wL 1 -1/4 w L wc
=
2
2
L-wL c 4
Es interesante demostrar que la inversa para ZaaT es circular, elevando al cuadrado la ecuación anterior.
ZoT = L - 1 w L c 4 Ing. Oscar Galvez
.. K= L , Wo= 4 => 1 = L c W oc 4 Página 15
Dividiendo ambos miembros para K y reacomodando nos queda 2
2
2
2
ZoT= k - w L
2
2
2
=> ZoT = k - w K
2
2
Wc C
W c
ecuación de circunferencia
Zo
II pasa bajo
II pasa alto
L /C
T pasa alto
T p a s a b a jo
Wo
W
La impedancia imagen de la red II se encuentra: Esta se ha trazado como la curva en la parte superior izquierda. Puesto que K es constante ZoII crece cuando ZoT decrece. Si reemplazamos esta última ecuación en la ecuación de la circunferencia para la impedancia imagen de la red T obtenemos: 2
w Wc
+
K Zo II
2
=1
Pasa alto Intercambiando las inductancias y capacitancias en los filtros anteriores obtenemos también filtros de red inversa que pero paso alto Ing. Oscar Galvez
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Donde:
2 C
2 C
L
C
2 L
a te n u a cio n
2 L
t ra n s m i s i o n
f X a = -1 /w c
-4 X b = -4 w L
x
Para comprobar si son de red inversa tenemos: 2
K = Za Zb = - Xa Xb = 1 wL = L wc c Ing. Oscar Galvez
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La frecuencia de corte es: Xa = - 4Xb - 1 = - 4wcL => W0 = 1 4Lc W0c W0 =
1 Lc
2
=> fc=
. . .
Wc=2 II fc
1 4 II
LC
Las impedancias de imagen de las secciones de pasa alto, se encuentran de la siguiente manera. Para la sección T
wL 1 wc
ZoT=
1 4w 2c2
=
L c
1 2
4wc
2
Para la sección II 2
ZoII = K / Zot Resolviendo para hallar la ecuación del circulo nos queda para la red T y II 2
Wc w
ZoT k
2
2
2
+
=1
Wc w
+
K Zo
=1
Como podemos observar en las ecuaciones para la impedancia imagen tanto de una red T como una II esta cambia de real a imaginaria según varia la frecuencia, dándonos las bandas de atenuación y de frecuencia de transmisión libre Desventajas de los filtros de Red inversa Comparando un filtro de red inversa con uno ideal observamos que: 1) Un filtro ideal no tiene atenuación en la banda de transmisión libre, en este aspecto un filtro de red teóricamente ideal. Ing. Oscar Galvez
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2) Un filtro ideal tiene atenuación infinita en la banda de atenuación. El filtro de red inversa no la tiene, más bien tiene baja atenuación cerca de la frecuencia de corte. 3) Un filtro ideal tiene la misma impedancia imagen para todas las frecuencias dentro de la banda de transmisión libre. La impedancia imagen de un filtro de red inversa no es constante pero cae a cero o va al infinito en el corte. 4) Un filtro ideal tiene un desplazamiento de fase en la banda de transmisión libre proporcional a la frecuencia. El filtro de red inversa no la tiene. Las desventajas más seria es la baja atenuación cerca del corte y la variación de la impedancia imagen.
Secciones derivadas m La sección de red inversa no tiene suficiente atenuación a frecuencias cercanas al corte. Esto puede mejorarse conectando algunas secciones en cascadas, si y solo si tienen idénticas funciones de impedancia imagen. Con las impedancias imagen adecuadamente, dos secciones de K constante tienen el doble de atenuación que una. Entonces puede multiplicarse por dos, tres, o mas conectando secciones adicionales en cascada. Pero si una vez de conectarse un número determinado de secciones de K constante en cascada, pudiera conectase en cascada en alguna otra sección que tuviera mejores características de atenuación, para esto el requerimiento necesario para que esta sección pueda conectarse en cascada en una sección K constante es que tenga la misma impedancia imagen. Si una sección T de K constante tiene elementos Xak y Xbk, su impedancia imagen es:
ZoT =
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2
- ( Xak Xbk) +1/4 Xak )
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Alguna otra sección T aunque no sea K constante, tendrá la misma impedancia imagen si tiene los elementos Xa y Xb, que satisfagan la relación: 2
2
Xa Xb + 1/4 Xa = Xak Xbk + 1/4 Xak
Donde Xa no necesariamente es igual a Xak, digamos que están relacionados por factor m, o sea: Xa=mXak Para encontrar el valor de Xb, reemplazamos Xa=mXak en la ecuación (1) y resolvemos: 2
2
mXak Xb + 1/4 m Xak = Xak Xbk + 1/4 Xak 2 2 2 mXak Xb = Xak Xbk + 1/4 Xak - 1/4 m Xax 2 2 mXak Xb = Xak Xbk +1/4 Xak ( 1-m ) 2
Xb = Xbk + Xak ( 1 - m ) m 4m
Estas secciones que tienen la misma impedancia imagen que la red K constante para todas las frecuencias se llaman: “Secciones derivadas m”, y la sección K constante desde la cual se inicio la derivación se llama “Prototipo”. Todas las secciones derivadas m con el mismo prototipo tienen la misma impedancia imagen y pueden conectarse en cascada con la sección prototipo o con cualquier otra de ellas. Para que sea físicamente realizable m, debe ser un número real positivo entre 0 y 1.
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Secciones T prototipos y derivada m
½ m Xak
½ mXak
½ Xak
½ Xak Xbk m Xb
Xak
2
Xbk=(1-m) 4m
Derivada m Ejemplo para una sección pasa bajo
1 / 2 LK
1 / 2 LK
CK
1 / 2 LA=1 / 2 M LK
1 / 2 LA= 1 / 2 MLK
CK
LB=((1-M*) / 4M) LK
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Una sección II derivada m, es también físicamente realizable con la misma restricción. Para una sección II, la impedancia imagen es: 2
Zo II = K
ZoT
Por lo tanto la impedancia imagen de la sección derivada m y la impedancia imagen del prototipo K constante se acoplan a todas las frecuencias si se cumple que:
2
2
Xa Xb 2 XaXb+1/4 Xa
2
2
Xak Xbk = 2 Xak Xbk+1/4 Xak
Hacemos arbitrariamente Xb=Xbk/m
Después de sustituir y resolviendo para Xa = 1 Xa
=
1 mXa
+
1 Xbk
2
( 1-m ) 4m
Sección II prototipo y derivada m
4m 1-m2
Xak
Xbk
m Xak
2Xbk
2Xbk 2Xbk m
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2Xbk m
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Ejemplo para una sección pasa bajo
LX
1 / 2 CK
1 / 2 CK
CA= (1-M* / 4M) CK
LA= M LK
1 / 2 CK
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1 / 2 CK
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