FACSÍMIL 6 DE MATEMÁTICA - 2010

1

1

1

1.

2

1 2 =

5 6 11 B) 6 1 C) 2 3 D) 2

A)

E) 1 2.

Si r es un número racional distinto de 0, entonces ¿cuál de los siguientes números también es un número racional? A) 2r B) r 2 C) r  2



D) r  2



2

E) r 1 3. Javier mide 1,27 m de estatura, Jorge mide 1,3 m y Julio mide 1,03 m. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Javier es más alto que Julio. II) Jorge es el más alto. III) La diferencia de estatura entre Jorge y Julio es 27 cm. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I, II y III

4.

Si a = 6  103 y verdadera(s)?

b = 2  103 , ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son)

I) a+b=8 II) a · b = 12 1 III)  a  2   b  2 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) II y III

5.

El 20% de los alumnos de un curso faltó a clases. Si el total de los alumnos del curso es M, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)

Los ausentes son el 25% de los alumnos presentes.

II)

Los presentes equivalen a

4M . 5

III) Los presentes menos los ausentes equivalen al 60% de M. A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III 6.

L/Hr.

El gráfico de la figura 1 muestra la cantidad de agua que contiene un estanque en función del tiempo. El estanque posee una válvula C de carga y otra D de descarga que nunca funcionan simultáneamente. ¿Cuál de las siguientes opciones NO es posible deducirla de la lectura del gráfico? Litros A) La razón de carga de C es de 500 L/Hr. B) La razón de descarga de D es de 500 C) A las 5 horas el estanque está vacío. D) En 1 hora el estanque está lleno. E) En el período graficado, el estanque cargó agua una sola vez.

1.000

500

1

2

3

4

5

Horas

Fig. 1

7.

Dos variables a y b inversamente proporcionales son tales que, cuando a vale k, b vale m. ¿Cuál es la operación que hay que efectuar para calcular el valor de b cuando a vale x? A) k · m k m x k C) m xm D) k kx E) m

B)

8. El 50% de los vehículos que pasaron por una plaza de peaje en una carretera durante 1 hora son autos particulares, 30 vehículos son buses interprovinciales y el resto son camiones. Si los buses representan los dos tercios de los camiones, ¿cuántos vehículos pasaron por la plaza de peaje? A) 60 B) 100 C) 75 D) 150 E) 90

9.

Una cuerda de 10 metros de longitud se corta por la mitad. Los trozos resultantes se vuelven a cortar por la mitad y así sucesivamente. Si esta operación se realiza 5 veces, ¿cuántos trozos resultan finalmente y cuál es la longitud de cada uno, respectivamente? A) 10 y 31,25 cm B) 32 y 31,25 cm C) 16 y 62,5 cm D) 16 y 31,25 cm E) 64 y 15,625 cm

10.

En una librería los cuadernos de 80 hojas cuestan $ 750 y los de 120 hojas cuestan un 20% más caro. Si se compran 5 o más unidades de un producto, se aplica un 10% de descuento. ¿Cuánto cancela una persona que compra 5 cuadernos de 80 hojas y 5 cuadernos de 120 hojas? A) $ 7.525 B) $ 7.875 C) $ 8.250 D) $ 7.425 E) $ 7.500

11.

El valor de la expresión

2n3  2n , cuando n = 2 es 2n

A) 16 B) 2 C) 4 D) 3 E) 15

12.

La solución de la ecuación 3 

x  3x es 2

3 7 6 B) 5 6 C) 7 3 D) 5

A)

E) 3 13.

Si 1 - x = 2x – 5, entonces el valor de la expresión -x2 + 1 es A) 5 B) -3 C) 2 D) -35 E) 37

14.

La suma de tres múltiplos consecutivos de 3 es siempre I) un número par. II) un múltiplo de 9. III) divisible por 3. De estas afirmaciones, es (son) correcta(s) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) II y III E) I, II y III

2

15.

x 3 2  x =  

x2 4 x2 B) 4 x2 C) 4 x2 D) 4

A)

9 x2 9  2 x 9  2 3 x 9 3  2  2 x 

E) Otra expresión distinta de las anteriores.

16.

2 botellas contienen 2 litros de agua en total, pero una botella contiene que la otra. ¿Qué cantidad de agua contiene cada botella? A) 1.000 cc B) 500 cc C) 1.250 cc D) 1.250 cc E) 1.750 cc

17.

y y y y y

1.500 cc 1.500 cc 1.250 cc 750 cc 250 cc

La diferencia entre el largo y el ancho de un rectángulo es 6 cm. Si su perímetro es x cm, entonces su área, en cm2, corresponde a x

 x



x

 x



A)   3    3  4  4  B)   3    3  2 2  C)  x  3  x  3 D)  x  6  x  6 E) x  x  6 

18.

1 litro más 2

Si a = x

y

b=

1 1 1 , entonces   x a b

A)

2 x

B) 0 1  x2 x 1  x2 D) x

C)

E) -2

19.



2 7

 



7 2 =

A) 5 B) -5 C) 2 14  5 D) 5  3 E) -14

20.

¿Cuál(es) de las siguientes cantidades es (son) equivalente(s) a la mitad de I)

1 2

II)

III)

21

2?

1 2

A) I y II B) I y III C) II y III D) I, II y III E) Ninguna de las tres.

21.

8x  2x =

A) B) C) D) E) 22.

10x 102x 16x 162x (4x + 1)2x

En la figura 2, se tienen dos rectángulos de lados correspondientes paralelos. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo achurado? A) (x – a)(y – (b + c)) B) 2(x – a) + (y – (b + c)) C) (x – a) + (y – b - c) D) 2x + 2y – 2(a + b + c) E) 2x + 2y – (a + b + c)

b a

y

Fig. 2

c x

23. El enunciado: “La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos”, se expresa A) x2 + (2x)2 B) (2x)2 + (4x)2

C) (2x)2 + (2x + 2)2 D) 2x2 + 4x2 E) (2x)2 + 2(x + 1)2

24.

El gráfico que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones

3x  4  2 2x  1  1

es A)

2

B)

1

C)

1

2

D)

1

2

E)  25. ¿Cuántos números entre 10 y 99 cumplen con la condición de que la suma de sus dígitos es igual a un número primo mayor que 10? A) B) C) D) E)

26.

10 14 16 20 Más de 20.

Dado el sistema de ecuaciones

x  y  z  a2 x  y  z  b2

, el valor de z es

A) a2  b2 B) a2  b2 a2  b2 2 a2  b2 D) 2

C)

E) No se puede determinar. 27.

Los costos de la gira de estudios por 10 días de un 3º medio consisten en $ 250.000 para transporte del curso, $ 4.000 diarios por alumno para alojamiento y $ 6.000 diarios por alumno para alimentación. La relación que permite determinar el costo total C de la gira en función del número x de alumnos participantes es A) B) C) D) E)

C C C C C

= = = = =

250.000 + 10.000x 250.000 + 100.000x (250.000 + 100.000)x 2.500.000 + 100.000x 250.000x + 100.000

28.

La(s) raíz (raíces) o solución(es) de la ecuación

 x  1

2

 x  1 es (son)

A) -1 B) 1 C) 0 y 1 D) 0 y -1 E) 0 29.

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) iguales a 2x ? I) 4x : 2x

II) 22x  2x

III)

4x

A) Sólo II B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III 30.

Dada la función f(x) = [x] (la parte entera de x), ¿cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? I) f (3) + f (-3) = 0 II) f () + f (-) = 0 III) f 2  f 3

 

 

A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) I, II y III 31. Si x e y son dos números reales mayores que 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II)

Si x > 1, entonces log x > 0. log x · log y = log x + log y

III) - log x = A) B) C) D) E) 32.

1 log x

Sólo I Sólo II I y II I y III II y III

En el gráfico de la figura 3, se representa la función f(x) = Ax2 + Bx + C. ¿Cuál es Y el valor del coeficiente A? A) 3 B) 2

2

4 C) 9

3 X

D) –2 2

E)

33.

16 9

Fig. 3

¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función f  x   x  1 ? A)

B)

Y

C)

Y

Y

1 1

1

X

D)

Y

E)

X

1

34.

X

X Y

1

X

Dada la parábola de ecuación y = x2 – k, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) El eje de simetría de la parábola es el eje Y. II) Si k < 0, entonces la parábola no intersecta al eje X. III) El vértice de la parábola es un máximo de la función. A) B) C) D) E)

35.

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III

Un capital de $ p se invierte con una tasa anual de 12% de interés compuesto. Si los períodos de capitalización son cuatrimestrales y no se retiran los intereses, ¿cuál es el capital acumulado en pesos al cabo de 2 años? A) B) C) D) E)

p · 1,04 6 p · 1,04 8 p · 1,03 8 p · 1,12 2 p · 1,12 8

36. Si en un triángulo cualquiera se traza una de sus transversales de gravedad, entonces en general se forman dos triángulos A) congruentes B) semejantes C) rectángulos D) de igual área E) isósceles

37.

En la semicircunferencia de centro (0, 0) y radio 1 de la figura 4, el punto P tiene coordenadas (0, 1). Si se rota la semicircunferencia en 90º en sentido horario en torno al punto (-1, 0), entonces las coordenadas del punto P rotado son Y

Fig. 4

A) (-1,-1) B) (0,-1) C) (1, 0) D)(0, 0) E) (-2, 1)

P

X

1

38.

A un punto P en el plano cartesiano se le aplican las siguientes traslaciones sucesivas: 2 unidades a la derecha, 3 unidades hacia arriba, 3 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones corresponde(n) con una traslación equivalente a la señalada? I) II) III) A) B) C) D) E)

39.

¿En cuál de las siguientes figuras NO es posible trazar ningún eje de simetría? B)

C)

D)

E)

Dado un punto P de coordenadas (1, 2), ¿cuáles son las coordenadas del punto simétrico de P respecto del eje de simetría y = x? A) B) C) D) E)

41.

(2, 0) + (0, 3) + (-3, 0) + (0,-2) (-1, 0) + (0, 1) (-1, 1)

Sólo I Sólo II Sólo III I y III I, II y III

A)

40.

1

(-2,-1) (-1,-2) (-1, 2) ( 1,-2) ( 2, 1)

En la figura 5, todos los cuadraditos son congruentes de lado 1 cm. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones corresponde(n) a un par de triángulos congruentes? C

I)  ABC y  DEF II)  GHI y  DEF III)  ABC y  JKL A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I y III

D

A

F H

B L

I

E K

Fig. 5

G

J

42.

En el  ABC de la figura 6, M, N y P son puntos medios, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? C

I)  ABC ~  PBN II)  MNC   PBN III) APNM es un paralelógramo. A) B) C) D) E) 43.

Fig. 6

N

M

Sólo I Sólo II Sólo III I y III I, II y III

A

B

P

En la figura 7, ABCD es un cuadrado de lado 8. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? D

C

I)  MBN ~  BCD II)  MAD ~  MPD III) El área del  MPD es 12. A) B) C) D) E) 44.

N P

Sólo I I y II I y III II y III I, II y III

A

M

Fig. 7

4 B

4

El rectángulo ABCD de la figura 8 está formado por 12 cuadrados congruentes. Si el perímetro del rectángulo MNOP es 24 cm, entonces el perímetro del rectángulo ABCD es A) B) C) D) E)

M

A

42 cm 56 cm 192 cm 144 cm 84 cm

P

D

Fig. 8

O

N B

45.

En la circunferencia de centro O y radio 10 de la figura 9, AB  CP y P divide al diámetro AB en razón de 7 : 3. La medida de CP es C A) 84 B) 2 21 C) 21 D) 21 E) Faltan datos para determinarlo.

46.

C

A

P

O

Fig. 9

B

En la figura 10, AN : NB  3 : 5 y M es punto medio de AN . Entonces, M divide a AB en razón de A) 1 : 2 B) 1 : 5 C) 1,5 : 5

A

M

B

N Fig. 10

D) 1,5 : 6 E) 3 : 13 47.

En la figura 11, L1 // L2 // L3. El valor de x + y es A) 10 22 3 8 C) 3 14 D) 3 21 E) 8

B)

48.

y

3

x

2

4 7

Fig. 11

L1

L2

L3

De acuerdo a la figura 12, ¿cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí? G

A) B) C) D) E)

Sólo  ABC y  GBD Sólo  ABC y  FED Sólo  GBD y  FED Los 3 triángulos son semejantes entre sí. Ninguno de los 3 triángulos es semejante con cualquiera de los otros dos.

C

50º

B

A

49.

D

Fig. 12

70º

F

E

Desde un punto A, situado a 4 metros del frontis de un edificio, se observa una ventana, ubicada a 7,2 m del suelo, con un ángulo de elevación  (figura 13). Desde otro punto B, a 3 m de A, se observa otra ventana con el mismo ángulo de elevación . ¿A qué altura se encuentra la segunda ventana? A) 5,4 m B) 9,6 m C) 10,2 m D) 12,6 m E) 126 m

50.

130º

60º

Fig. 13

B

A

En la figura 14, ABC ~ OPQ y la razón de semejanza es 2 : 3. Si AB=4 y CD=6, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) h = 9 II) Área  OPQ = 27 III) Perímetro  ABC : Perímetro  OPQ = 2 : 3 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I, II y III

A

Fig. 14

Q

C

D

h

B

O

P

51.

En la figura 15, el pentágono regular está inscrito en la circunferencia de radio r. La medida del ∡ ABC es

A

A) 144º B) 72º C) 36º D) 108º E) 54º

52.

C

Fig. 15

B

En la figura 16, AB es el diámetro de la circunferencia, CD es una cuerda paralela a AB y el ∡CDB mide 20º. La medida angular del arco CD es A) B) C) D) E)

53.

D

40º 80º 160º 140º 100º

A

B

Fig. 16

Una persona camina por una rampa inclinada en 25º desde el punto A hasta el punto B (figura 17). Si el punto B se encuentra a 1,8 m de altura, ¿cuántos metros recorre la persona? A) 1,8 sen 25º B)

B

1, 8 sen 25º

1,8 m

C) 1,8 cos 25º 1, 8 cos 25º 1, 8 E) tg 25º

D)

54.

C

A

25º Fig. 17

En un sistema de ejes tridimensional XYZ, se hace girar indefinidamente el segmento de coordenadas A(0, 0, 3) y B(2, 0, 0) en torno al eje Z. El volumen del cuerpo generado es A) 12p B) 4p C) 18p D) 9p E) 16p

55.

Una caja contiene fichas rojas, verdes y amarillas. Si la probabilidad de sacar una ficha

roja es de

1 1 y la probabilidad de sacar una verde es de , ¿cuál es la 5 3

probabilidad de sacar una ficha amarilla? 7 8 3 B) 4 13 C) 15

A)

1 15 7 E) 15

D)

56.

Un matrimonio tiene 3 hijos, un varón y dos niñas. ¿Cuál es la probabilidad de que el cuarto hijo sea una niña? A) B) C) D) E)

1 2 1 3 1 4 3 4 2 3

57. Se lanzan una moneda de $ 500 y 2 monedas de $ 100. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda de $ 500 sea cara y las de $ 100 sean sello? A) B) C) D) E)

1 2 1 4 3 4 1 8 3 8

58. Si se lanza n veces un dado común, ¿cuál es la probabilidad de que siempre salga un 6? A) B) C) D) E)

59.

1 6 n 6 1 6n n 6n 1 6n

En una empresa trabajan 300 personas distribuidas en las áreas de Producción y Administración. El 40% de las personas son hombres, el 60% de las mujeres trabajan en Administración y 168 personas trabajan en Producción. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un trabajador al azar, éste sea un hombre que trabaje en el área de Administración? A) 20% B) 40%

C) 8% D) 24% E) 54,5% 60.

La siguiente tabla muestra la cantidad de horas a la semana que dedica un estudiante de 4º medio al estudio de 6 asignaturas. Si el promedio de horas de estudio a la semana es 1,7; entonces ¿cuántas horas a la semana dedica al estudio de la matemática? A) B) C) D) E)

61.

1,44 1,7 1,2 3,0 4,7

Asignatura

Lenguaje

Matemática

Historia

Biología

Física

Química

Horas a la semana

1,6

x

2,0

1,6

1,0

1,0

En un campeonato de fútbol entre los cuartos medios de un colegio, cada cuarto medio jugó 4 partidos y el promedio de goles por partido convertidos por cada equipo se muestra en la tabla adjunta. ¿Cuál fue el total de goles convertidos en el campeonato? PROMEDIO CURSO DE GOLES A) 9 4º A 1 B) 36 4º B 2 C) 45 4º C 3 D) 1,8 4º D 2 E) 7,2 4º E 1

62. En una muestra estadística, los datos obtenidos, ordenados ascendentemente, son: a – b – c – d – d – e. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)

La mediana de la muestra es c.

II)

La media aritmética o promedio de la muestra es

III) La frecuencia relativa del dato e es

abc d e . 5

1 . 6

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y III E) II y III 63.

El gráfico de la figura 18 muestra las opiniones de un grupo de personas acerca del género de películas que prefiere ver. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)

Si se elige al azar a una persona del grupo encuestado, es más probable que prefiera una película de ciencia ficción o una comedia que una película de acción. La moda es preferir películas de acción. Uno de cada 20 encuestados prefiere ver otro género de películas o bien no le gusta ver películas.

A) Sólo II B) I y II C) I y III D) II y III E) I, II y III

35% 25% 20% Fig. 18

10% 5%

Terror Documental

Comedia Ciencia ficción

Acción

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS 64.

Se puede saber la edad de María si se sabe que: (1) Hace dos años, Rosa y María sumaban 30 años. (2) Cuando nació Rosa, María tenía 2 años. A) B) C) D) E)

65.

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

Se puede determinar la razón entre a y b, distintos de cero, si se sabe que: (1) a + b = 30. (2) a es el 40% de b. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

66.

Se puede determinar el valor numérico de la expresión

x  y  x  y z

, con z  0 ,

si se sabe que: (1) x = y. (2)

x  2. z

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 67.

Se puede determinar el valor máximo de la función y = Kx  x2 si se sabe que: (1) La ecuación del eje de simetría es x = 1. (2) Intersecta al eje X en el punto (2, 0).

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 68.

Se puede determinar si los triángulos ABE y ADC de la figura 19 son semejantes, si se sabe que: E

(1) ∡ ABE  ∡ ADC. (2) BE : DC  3 : 5 . A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 69.

D

Fig. 19

A B

C

Se puede determinar el perímetro de un ABC rectángulo en B si se conoce: (1) El área del Δ ABC. (2) La tangente del ∡ CAB. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

70.

Se puede determinar el promedio de la serie de datos representada en la tabla adjunta, si se sabe que: Datos Frecuencia (1) El total de datos de la serie es 20. 3,5 2 (2) La moda y la mediana de la serie de datos es 5,0 4,0 3 4,5 4 A) (1) por sí sola. 5,0 x B) (2) por sí sola. 5,5 3 C) Ambas juntas, (1) y (2). 6,5 2 D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

RESPUESTAS CORRECTAS – FACSÍMIL 6-2010

PREGUNTA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

CLAVE A E E B E D B D B D D C B D C D A D B D

PREGUNTA 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

CLAVE E D C E C D B D C D A C A C A D B E C A

PREGUNTA 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

CLAVE C E C B B E A D D E C E B B E A D C C D

PREGUNTA 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

CLAVE B C E C B B D A C A