Septiembre 2007. Ejercicio 4B. (3 puntos). Sea g(x) una función continua y derivable para todo valor real de x, de la que se conoce la siguiente información: i) g '(x) > 0para todo x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), mientras que g '(x) < 0 para todo x ∈ (0, 2). ii) g"(x) > 0 para todo x ∈ (1, 3) y g"(x) < 0 para todo x ∈ (−∞, 1) ∪ (3, +∞). iii) g(−1) = 0, g(0) = 2, g(2) =1. iv) lím g(x ) = −∞ y lím g(x ) = 3 x → −∞

x → +∞

Teniendo en cuenta los datos anteriores, se pide: a) (1 punto).Analizar razonadamente la posible existencia o no existencia de asíntotas verticales horizontales u oblicuas. b) (1 punto). Dibujar de manera esquemática la gráfica de la función g(x). c)

(1 punto). Si G (x ) = ∫ g(t ) dt encontrar un valor xo tal que su derivada G '(xo) = 0. x

0

Solución. c.

Teniendo en cuenta el teorema fundamental de calculo integral, si G (x ) =

∫0 g(t ) dt , entonces x

G ′(x ) = g(x ) ⋅ (x )′ − g(0) ⋅ (0 )′ = g(x ) ⋅1 − g(0) ⋅ 0 = g (x ) . Conocida la expresión de G’(x) y con el dato del enunciado (g(−1) = 0) se calcula el valor de xo. G ′(x ) = g(x ) ⇒ G ′(x o ) = g(x o ) = 0 xo = −1

Modelo 2007. 4A. (3 puntos). a) (1 punto). Si f es una función continua, obtener F'(x) siendo:

F(x ) =

∫0 (f (t ) + t x

2

)

+ t 3 dt

Solución. Si F es una primitiva de f:

F(t ) =

g 2 (t )

g 2 (t )

∫g (t ) f (x )⋅ dx = F(x )]g (t ) = F(g 2 (t )) − F(g1 (t )) 1

1

derivando la expresión de F(t) mediante la regla de la cadena:

F' (t ) = F' (g 2 (t )) ⋅ g 2 ' (t ) − F' (g 1 (t )) ⋅ g1 ' (t ) teniendo en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral, si F es primitiva de f, entonces, la derivada de F es igual a f

Sí

∫ f = F ⇒ F' = f

sustituyendo en la expresión de F’(t) F’ por f

F' (t ) = f (g 2 (t )) ⋅ g 2 ' (t ) − f (g 1 (t )) ⋅ g1 ' (t ) En este caso el límite inferior de integración es constante (g1(x) = 0), la expresión se simplifica ya que la derivada de una constante es cero, anulando el 2º término. F' (t ) = f (g 2 (t )) ⋅ g 2 ' (t ) − f (0) ⋅ 0 ′ = f (g 2 (t )) ⋅ g 2 ' (t ) Aplicando a la función propuesta F(x ) =

(

)

∫0 (f (t ) + t x

(

2

F ′(x ) = f ( x ) + x 2 + x 3 ⋅ (x )′ + f (0) + 0 2 + 0 3

1

) )⋅ (0)′ = f (x) + x

+ t 3 dt :

2

+ x3

1

∫ f (t )dt = 1 , hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica

b) (2 puntos). Si f(1) = 1 y además

o

de F(x) en el punto (l, F(l)). Solución. Teniendo en cuenta que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto, la ecuación de la recta tangente a una función y = F(x) en un punto x = a en forma punto pendiente es:

y − F(a ) = F ′(a ) ⋅ (x − a )

Donde (a, F(a)) es el punto y F’(a) es la pendiente. Aplicado a F(x ) =

F(1) =

∫0 (f (t ) + t 1

2

∫0 (f (t ) + t x

)

+ t 3 dt en x = 1:

2

) ∫

y − F(1) = F ′(1) ⋅ (x − 1)

+ t dt = f (t )dt + 3

1

0

∫0 ( 1

1

)

 t3 t4   13 14   0 3 0 4  19 = t + t dt = 1 +  +  = 1 +  +  −  +  3  3 4  3 4  4  12     0 2

3

F ′(x ) = f ( x ) + x 2 + x 3 ⇒ F ′(1) = f (1) + 12 + 13 = 1 + 1 + 1 = 3 Sustituyendo:

x−

19 = 3 ⋅ (x − 1) 12

Modelo 2004. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 2 puntos. a)

(1 punto) Sean las funciones F(x ) =

4 5 + e t dt ; g( x ) = x 2 . Calcular (F(g(x )))′ .

x

∫1

Solución. Se pide calculadora la derivada de una función compuesta (F(g(x ))) , aplicando la regla de la cadena.

(F(g(x )))| = F| (g(x ))·g | (x )

Si g(x ) = x 2 ⇒ g ' (x ) = 2x Para calcular F’(g (x)), hay que calcular previamente F’(x) definiendo F(x ) como:

F(x ) =

h (x )

∫k

f (t )dt = F( t )]k

h(x)

= F(h (x )) − F(k )

Derivando: F’(x)=F’(h(x)) · h’(x)−F’(k) · 0 = F’(h(x)) · h’(x) Teniendo en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral “Si la primitiva de f es F, entonces la derivada de F es f. F’ ≡ f Teniendo en cuenta esto, la expresión de F’(x) queda de la siguiente forma: F’(x) = f (h (x)) · h’(x) Aplicando al caso propuesto

F(x ) =

x

∫1

5 + e t dt ⇒ F' (x ) = 5 + e x ·1 4

4

Conocida F’(x), se hace la composición.

2

( )

 2 4 8 x4   Si: F' (x ) = 5 + e  ⇒ F' (g(x )) = 5 + e x = 5+ ex 2  g(x ) = x  Sustituyendo en la expresión de la derivada.

[F(g(x ))]' = F' (g(x )) ⋅ g' (x ) =

8

5 + e x ·2x = 2x 5 + e x

8

Otra forma de resolver la cuestión es calcular previamente la función compuesta F(g(x)), y a continuación derivarla: x 4  x2 4 F(x ) = 5 + e t dt  ⇒ F ( g ( x ) ) = 5 + e t dt = H ( x )  1 1  g( x ) = x 2  al derivar la función H(x) se tendrá en cuenta el teorema fundamental del cálculo integral, explicado anteriormente:

∫

∫

( 2 )4 ⋅ 2x +

4

H' (x ) = 5 + e x

5 + e1 ⋅ 0 = 2 x ⋅ 5 + e x

8

Septiembre 2001. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 2 puntos) Sea la función f ( t ) =

1 1+ e t

∫ f (t)dt

a. (1 punto) Calcular

b. (1 punto) Se define g( x ) =

x

∫0 f (t )·dt . Calcular Lím x→0

g( x ) x

Solución.

∫

x

∫

0

f ( t )·dt f ( t )·dt g(x) 0 b. Lím = Lím o = o = =? x →0 x x →0 x 0 0 Indeterminación que se resuelve por el teorema de L’Hopital g( x ) g' (x ) Lím = Lím x →0 x x →0 1 Para calcular g’(x) se aplica el teorema fundamental del calculo integral. Sea F( x ) =

∫

g2 (x)

g1 ( x )

f ( t )·dt ⇒ F' ( x ) = f (g 2 ( x ) )·g |2 ( x ) − f (g 1 ( x ) )·g 1| ( x )

Este teorema esta basado en que la derivada de la primitiva de una función es la propia función, es decir si

∫

F(x) es la primitiva de f(x), F( x ) = f ( x )·dx entonces, F’(x) = f(x) Aplicando a este caso

g( x ) =

∫

x

0

1 1+ e

t

·dt ⇒ g' ( x ) =

1 1+ e

x

( x )'−

1 1+ e

0

(0)' =

1 1+ ex

sustituyendo en el límite

1 Lím x →0

x g(x) g' ( x ) 1 1 1 1 = Lím = Lím 1 + e = Lím = = = 0 x →0 (x )' x →0 x →0 1 + e x x 1 1 + 1 2 1+ e

3