2017

Matemática

Catálogo Secundaria

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N T I LL A N A

Sello de Transparencia Santillana es una iniciativa que busca promover en los colegios la adopción de proyectos y servicios educativos de acuerdo con criterios pedagógicos, principios de integridad y responsabilidad, actúa en todo momento conforme a las normas de buena fe y ética profesional.

2017

Catálogo Secundaria

Presentación

posee la responsabilidad de seguir siendo un referente en los procesos de la transformación educativa del siglo XXI. Nuestro compromiso es hacer frente a los desafíos que esto conlleva, para lo cual ofrecemos a la sociedad contenidos y servicios que faciliten y mejoren los resultados de aprendizaje. Para ello contamos con los Sellos Santillana, Richmond y Santillana Infantil y Juvenil que apoyan diversas áreas del Currículum Nacional. ¡Te invitamos a conocernos!

Infantil y Juvenil

En Santillana Infantil y Juvenil hemos construido un catálogo que ofrece obras de autores clásicos y contemporáneos, nacionales y extranjeros, que destacan por su originalidad y calidad literaria. Libros de géneros y temáticas variadas que contribuyen a estimular el vínculo con la lectura desde los primeros años de edad hasta la juventud.

Richmond es una editorial internacional que nace en el Grupo Santillana en 1992 como su sello de inglés y que se especializa en materiales innovadores. Nuestro objetivo es producir y publicar material de calidad para la enseñanza del inglés como idioma extranjero (EFL). Nos enfocamos en entregar soluciones prácticas para profesores y estudiantes en todos los países donde estamos presentes, siempre respetando la cultura única de cada uno.

2

Catálogo Secundaria 2017

Santillana, en su permanente esfuerzo por contribuir a la educación de nuestros estudiantes, presenta cuatro proyectos para educación secundaria.

Aprender

3

Aprender

Convivencia escolar Una tarea de todos La transversalidad educativa enriquece la labor formativa integral; por ello, Santillana ha desarrollado un programa de convivencia escolar para todos sus usuarios, acogiendo lo propuesto por el Ministerio de Educación en cuanto a la ley de inclusión que, desde lo valórico, promueve una reflexión constante acerca de buenas prácticas institucionales para el mejoramiento  de la vida en sociedad.

Materiales pedagógicos Ficha para el equipo directivo. Ficha para el estudiante por ciclo, con orientaciones para el docente.

Ficha del estudiante Ficha del profesor

4

Catálogo Secundaria 2017

Estas se estructuran de la siguiente manera: Nivel 1

Desde prekínder hasta 2° básico

2 fichas por mes

1 estudiante 1 profesor

Nivel 2

Desde 3° hasta 6° básico

2 fichas por mes

Nivel 3

Desde 7° hasta IV medio

2 fichas por mes

1 estudiante 1 profesor 1 estudiante 1 profesor

1 ficha para directivos

5

¿Qué proponemos en este nuevo Les presentamos un innovador proyecto didáctico: , una respuesta al nuevo escenario de cambio social y curricular.

Bases Curriculares 1° y

Lengua y Literatura - Matemática - Historia, Geogra

6

Catálogo Secundaria 2017

contexto educativo del siglo XXI?

y 2° Enseñanza Media*

*Decreto Supremo de Educación nº 614 de 2013

afía y Ciencias Sociales - Biología - Física - Química

7

Un gran proyecto

Es un proyecto educativo que nace por la necesidad de desarrollar las habilidades disciplinares acorde al currículum establecido. Para lograr este propósito considera los Objetivos de Aprendizaje de las nuevas Bases Curriculares propuestas por el Mineduc para 7° y 8° básico. Es un proyecto educativo vanguardista que incorpora elementos pedagógicos de avanzada que facilitan la experiencia de aprendizaje de los estudiantes.

8

Catálogo Secundaria 2017

Materiales para el alumno

Texto de estudio

Texto de estudio

Cuaderno de actividades

Cuaderno de actividades

Materiales para el docente

Guía Didáctica del Docente

Guía Didáctica del Docente

Evaluaciones

Evaluaciones

Recursos digitales del alumno

Recursos digitales del docente

Otros: Fichas complementarias

• Biblioteca serie Praxis

Fichas complementarias

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Modelo didáctico Evaluación inicial

Matemática 7º básico

Se presenta un problema para completar su resolución de manera guiada y otro de forma individual siguiendo los 4 pasos: Comprende, Planifica, Resuelve y Comprueba.

Resolución de problemas Analiza y completa la resolución del siguiente problema.

Resuelve el siguiente problema.

Órdenes de insectos

2. En términos de la anatomía humana, se afirma que el cerebro representa el 2,5% de la masa total del cuerpo. ¿Cuál será la masa corporal de una persona cuyo cerebro tiene una masa de 1,25 kg?

Coleóptera 36,8%

1. En el gráfico circular se muestra el porcentaje de especies en los principales órdenes de insectos.

Hemíptera 9,5% Lepidóptera x%

Comprende

Otros órdenes 6,6%

Si se conocen cerca de un millón de especies de insectos, ¿cuántas especies se clasificarían como lepidópteras?

¿Qué datos se presentan en el problema?

Ortóptera 2,1%

Díptera 13,8%

Himenóptera 12,8%

¿Qué se pregunta en el problema?

Comprende ¿Qué datos se presentan en el problema?

¿Qué se pregunta en el problema?

Planifica ¿Qué harás para resolver el problema?

Resuelve ¿Cómo resolverás el problema?

Se conocen los porcentajes de especies de cada orden de insectos: Coleóptera N

Himenóptera

N

Planifica

Hemíptera N

Díptera

N

Ortóptera

Otras órdenes N

¿Qué harás para resolver el problema?

N

Se quiere saber la cantidad de especies lepidópteras, representada por x. Primero se debe calcular el porcentaje de especies correspondiente a las lepidópteras. Conocido el porcentaje, es posible saber la parte del millón de especies de insectos que le corresponde.

Suma:

+

+

+

+

+

La cantidad de especies lepidópteras corresponde al producto de la fracción asociada al porcentaje obtenido y el millón de especies.

N 1.000.000 •

=

Para comprobar el resultado se puede calcular el cociente entre el número obtenido y 1.000.000 y multiplicarlo por 100 y debería dar como resultado el porcentaje de especies lepidópteras.

¿Cuál es la respuesta?

La cantidad de especies lepidópteras es

•

Comprueba

=

¿Cómo comprobarás el resultado?

1.000.000

¿Cómo resolverás el problema?

=

Porcentaje de especies lepidópteras = 100 – suma = 100 –

Comprueba

Resuelve

Para determinar el porcentaje de especies lepidópteras se agruparán los porcentajes y se restará al 100%.

¿Cómo comprobarás el resultado?

¿Cuál es la respuesta?

100 = .

94

Unidad 2. Relaciones de proporcionalidad

Énfasis disciplinares Uso de TIC en todos los niveles.

Resolución de problemas.

10

Habilidades comunicativas y argumentativas.

Catálogo Secundaria 2017

95

Matemática

Evaluación intermedia

Evaluación final

Preparo la prueba

Leo y relaciono con... En nuestro país, el deporte más popular y el que goza de mayor popularidad es, sin duda, el fútbol. Cada fin de semana, miles de personas asisten a estadios a lo largo de todo Chile para ver en acción a sus equipos y jugadores favoritos.

El Estadio Nacional es un recinto de gran valor histórico desde su inauguración en 1938. Fue sede de la final de la Copa Mundial de Fútbol de 1962, cuando podía recibir a 71.527 espectadores. También ha albergado finales de Copa Libertadores, Copa Sudamericana, la Copa Mundial de Fútbol Juvenil de 1987 y múltiples ediciones de la Copa América, la más reciente en 2015. Además, el estadio ha albergado diversos eventos musicales, cívicos, sociales y religiosos.

A nivel internacional existen re g l a s y m e d i d a s of i c i a l e s preestablecidas. Una cancha de fútbol debe ser de forma rectangular que mida un mínimo de 100 m y un máximo de 110 m de largo y un mínimo de 64 m y un máximo de 75 m de ancho.

El recinto tiene cancha de fútbol con pista atlética. La cancha es de césped natural, mide 68 m de ancho y 105 m de largo y la pista atlética tiene 400 m con 8 pistas de material sintético. Luego de su remodelación en 2010, su capacidad es de 48.665 espectadores. Desde el 5 de julio de 2008 su nombre es “Estadio Nacional Julio Martínez Prádanos”. Uwebart. Fuente Wikimedia Commons

Deporte

Matemática

• Marca con un 4 si la afirmación es correcta acerca del Estadio Nacional Julio Martínez Prádanos.

1 1 1

¿Qué veo?

multimodalidad

• Si una cancha cumple con las medidas oficiales, ¿cuál es la menor área que puede tener? 4.800 m2

Actualmente, tiene capacidad para más de 70.000 espectadores. El estadio fue inaugurado en 1938.

2

7.140 m

2

11.000 m

• ¿Cuál es el mayor perímetro posible de una cancha según las medidas oficiales establecidas?

La final de la Copa América 2015 se jugó en este estadio.

278 m

346 m

420 m

• ¿Qué eventos, además de los campeonatos de fútbol, se realizan en el Estadio Nacional? • Sobre la cancha de fútbol del Estadio Nacional Julio Martínez Prádanos, marca con un 4 si la afirmación es correcta.

1 1

• ¿Sabes quién fue Julio Martínez Prádanos? Comenta con tu familia.

220

Tiene dimensiones para jugar partidos internacionales. Sus dimensiones son insuficientes para jugar partidos internacionales.

221

Unidad 4. Polígonos y círculos

Desde una situación contextualizada, el estudiante deberá desarrollar un grupo de actividades enmarcadas en una disciplina específica.

Pensamiento y razonamiento matemático.

Representación (COPISI).

11

Modelamiento matemático.

Modelo didáctico Evaluación inicial

Matemática 8º básico

Se presenta un problema para completar su resolución de manera guiada y otro de forma individual siguiendo los 4 pasos: Comprende, Planifica, Resuelve y Comprueba.

Taller de habilidades matemáticas Argumentar y comunicar Al comunicar de manera escrita o verbal los razonamientos matemáticos utilizados, estás desarrollando esta habilidad.

Ahora tú

1. Para el viaje de estudios a fin de año irán los 44 estudiantes de un curso, más el profesor jefe y 3 apoderados. Al momento de cotizar, la oferta que más les acomoda es la que se muestra en el afiche. Si el precio del viaje sin la oferta es de $ 6.000.000, ¿cuál es el porcentaje de rebaja?

2. Una familia compuesta por 8 personas irá de viaje en un crucero por el sur del país. Luego de revisar diferentes sitios, el viaje que más les acomoda es el que se muestra. Si con el descuento incluido cancelan $ 3.312.000, respecto del precio por cancelar sin descuento, ¿cuánto fue el porcentaje de descuento aplicado?

Agencia de viajes

Paso 1

Comprende la información.

Paso 2

Explica el procedimiento.

Paso 3

Justifica el procedimiento utilizado.

Crucero

Van 4, pagan 3

Cada 12 personas, 1 no cancela

Paso 1 Comprende la información

Paso 2

La información entregada corresponde a la cantidad de personas que irán al viaje de estudios, la oferta que propone la agencia de viajes y el precio que se cancelaría sin considerar la oferta.

El total de personas que asiste a la gira de estudio es: Apoderados y profesor

Explica el procedimiento

Estudiantes

44

+

3+1

Total

= 48

El precio por cancelar sin la oferta es de $ 6.000.000, por lo que este se divide por el total de personas, es decir: 6.000.000 : 48 = 125.000 Por lo tanto, cada persona, sin considerar la rebaja, debería pagar $ 125.000. A su vez, cada 12 personas 1 no cancela. Ya que irán 48 personas, se tiene que 4 no cancelarán, por lo que 44 personas sí lo harán. Luego, el monto por cancelar es de 125.000 • 44 = 5.500.000, es decir, se hará un descuento de $ 500.000 respecto de los $ 6.000.000, por lo que el porcentaje de descuento corresponde a: Descuento Precio total

Paso 3 Justifica el procedimiento utilizado

500.000 = 1 = 0,083 6.000.000 12

Porcentaje de descuento N 8,3%

Por lo tanto, el porcentaje de descuento es de un 8,3%. El procedimiento realizado sigue una deducción explicada con argumentos, la cual se puede comprobar calculando el 8,3% de 6.000.000.

50

Unidad 1. Números

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10-10-15 4:04

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10-10-15 4:04

Énfasis disciplinares Uso de TIC en todos los niveles.

Resolución de problemas.

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51

Habilidades comunicativas y argumentativas.

Catálogo Secundaria 2017

Matemática

Evaluación intermedia

Evaluación final

Preparo la prueba

Uso de software

• Luego haz clic en

y finalmente en . Por defecto, el programa te mostrará un gráfico de barras. Dentro de las opciones que se despliegan seleccionas , y obtendrás finalmente el “Diagrama de cajón” solicitado.

Utilizando una planilla de cálculo como Libre Office, Open Office, el software GeoGebra, entre otros, puedes representar diferentes datos en un diagrama de cajón. En particular, la siguiente serie de datos corresponde a los tiempos que demoran, en segundos, distintos ciclistas en recorrer una determinada distancia. 175 - 165 - 174 - 160 - 172 - 161 - 165 - 168 - 162 - 165 - 174 - 173 - 175 - 171 170 - 177 - 175 - 168 - 163 - 161 - 173 - 175 - 168 - 178 - 172 - 168 - 170 - 180 Los datos anteriores se representarán utilizando un diagrama de cajón.

• Al abrir el software, en la parte superior selecciona “Vista” y luego haz clic en “Hoja de cálculo”.

Diagrama de cajón

• Anota los datos en la columna A, luego seleccionas todos los datos y haces clic en seleccionas

y finalmente

. En la ventana que se abre

. Lo anterior se muestra a continuación. Dato mayor

Dato menor

Q1

Q2

Q

3

Ejercito 1. Utiliza un software similar al anterior y representa en un diagrama de cajón los siguientes datos. a. 321 - 322 - 320 - 321 - 330 - 328 - 328 - 330 - 320 - 329 - 327 - 330 - 321 - 322 - 320 b. 10 - 15 - 11 - 12 - 20 - 20 - 12 - 15 - 18 - 17 - 15 - 11 - 15 - 18 - 15 - 18 - 10 - 11 2. Realiza una encuesta a tus estudiantes sobre la cantidad de horas que dedican al estudio en la semana. Como mínimo pregúntales a 20 estudiantes, registra los datos en una tabla y luego, utilizando un software similar al anterior, realiza el diagrama de cajón correspondiente. Nota: la aplicación GeoGebra (www.geogebra.org), creada por Markus Hohenwarter, fue incluida en este texto con fines de enseñanza y a título meramente ejemplar.

278

Unidad 5.Números Estadística y probabilidad Unidad 1. naturales y fracciones

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10-10-15 3:27

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279 279 10-10-15 3:27

En este tipo de páginas se incluye: • Propuesta secuenciada para utilización del software. • Ejemplos del tipo de retroalimentación que recibirá el estudiante en el proceso.

Pensamiento y razonamiento matemático.

Representación (COPISI).

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Modelamiento matemático.

Recursos para el profesor Aula virtual Todos Juntos

Pleno Plataforma de Evaluación online, que tiene como finalidad generar evaluaciones digitales y entregar reportes de calidad, tanto para directivos como docentes y estudiantes

Recursos Libro digital, actividades digitales, planificaciones, evaluaciones forma A y B, orientaciones por unidad, documento referido a habilidades, biblioteca serie Praxis

Mis clases Planificador de recursos digitales para organizar las clases, el que guarda la información de todo el año escolar a través de un calendario

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Catálogo Secundaria 2017

Plataforma Santillana es una poderosa herramienta de apoyo pedagógico para sus clases. En el encontrará:

Comunidad Espacio en el que el docente puede invitar a los estudiantes y profesores del curso para levantar foros, enviar mensajes y subir material para compartir

Agenda Organizador que permite registrar las actividades del curso, salidas educativas, tareas, evaluaciones, entre otras

Mensajes Centro de alertas y avisos de la actividad agendada

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Recursos para el profesor

Libromedia Todos Juntos Contenido OffLine

Seleccionar, dibujar, escribir, subrayar, adjuntar y destacar.

Vista en miniatura, páginas favoritas, búsqueda de conceptos.

Página sencilla o doble, ancho de página.

Cambio de página.

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Catálogo Secundaria 2017

Atrás, adelante, guardar, abrir, cerrar.

Biblioteca docente, ocultar personalizaciones, barra de herramientas comunes, ayuda.

Herramienta de zoom.

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Recursos para el estudiante online Aula virtual Invita al alumno a crear un usuario y contraseña en el sitio www.santillana.cl para que pueda acceder a los recursos digitales complementarios del proyecto. Debe utilizar el código inserto en tu libro.

Trivia Santillana Pone a prueba sus conocimientos respondiendo preguntas a través del juego propuesto en las evaluaciones inicial, integro lo aprendido y final. En el podrá superar etapas y acomular puntaje que le será útil a la hora de navegar en su sesión del Aula Virtual.

Kiosko Con los puntos acomulados en la trivia puede ingresar al Kiosko y canjearlos por distintos personajes que identifican su avatar para personalizar su sesión.

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Catálogo Secundaria 2017

Libro Digital Texto en formato digital que podrá revisar y personalizar en su sesión del Aula Virtual. Puede acceder a él utilizando cualquier dispositivo conectado a Internet.

Plataforma de evaluación Recursos multimedia

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Solicitalo al asistente técnico Santillana que atiende tu colegio.

Para II° medio, aborda los objetivos fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del Ajuste Curricular 2009 y renueva la presentación de los contenidos y habilidades propios de cada disciplina.

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Catálogo Secundaria 2017

Recursos para el profesor • Libro digital

• Evaluaciones

• Orientaciones didácticas por unidad

• Ensayos

• Planificaciones

• Solucionario de unidad

• Fichas de trabajo

Aprueba Es un material pedagógico que acompaña al texto Puentes del Saber, organizado en talleres que articulan el desarrollo de habilidades y competencias. Apunta a un trabajo individual propio de la asignatura y a un trabajo grupal de movilización de los aprendizajes a una nueva situación problema. Su objetivo es proponer experiencias de aprendizaje que permitan desarrollar competencias y habilidades propuestas en el Marco curricular.

• Talleres de desarrollo de habilidades

Aprueba posee Libromedia, apoyando al docente en la mediación pedagógica a través de ambientes digitales que fortalecen el proceso de enseñanza-aprendizaje. Taller 1

Álgebra

cas fraccionarias

Expresiones algebrai

Álgebra

Conceptos Una expresión algebraica fraccionaria es una fracción cuyo denominador es una expresión algebraica distinta

evaluación.

Ex de preidad activ sione s algebrai jardín. Laura es muy dedicada en el fracciony ari planta para su cas que esta crece notaas le regaló una nueva días analiza su desarrollo › La madre de Laura da s y por eso durante varios momento de ser regala cuidado de sus planta se muestra la planta al mente. En la imagen en promedio m cm diaria

I. Resuelve la siguiente

Competenc

ia / habilid

II. Para resolv

2x + 1 Por ejemplo: x – 16 es una fracción algebraica que se 1 anula para x = – 2 y se indefine para x = 16. s, Se pueden resolver adicione sustracciones, multiplicaciones y divisiones entre fracciones algebraicas. Ejemplo:

ad, puedes

Paso 1: Ide

considerar los

ntifica la inf

a. ¿Cuál es la altura

ta?

io diariamente

?

Paso 2: Comp

rende la inf

a. ¿Qué repr esenta la vari

able m?

b. ¿Cuánto mid

ormación.

e la planta des

pués de 1 día?

c. ¿Cuántos cen

tímetros crec

e la planta en

Paso 3: Relac Pregunta

os.

evante.

inicial de la plan

e en promed

45 cm

siguientes pas

ormación rel

b. ¿Cuánto crec

3x – 3 + 2x = 2 5x + 5x 2 3 3x – 3 + 10x + 10x = 5x2 + 5x

¿Cuántos

Interpreta r y traduci a un lengua r problema je y un con s texto matem ático

er esta activid

de cero.

x – 1 : 3 + 2x 5x x + 1 3 ^x – 1h = ^ x + 1h + 2x 5x

ad asociada:

a Laura.

a. ¿Qué sign ifica a de Laura alcance una

para que la plant días deben transcurrir

altura de n cm?

iona lo que

que una fracción

b. ¿Cuándo se inde

B) (n – 45) cm n – 45 C) ` m j cm m – 45 D) ` n j cm

ón algebraica

Paso 4: Anali

za lo que te

¿Cuál es el erro

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26

te pregunta

dd 27

ocimientos .

fraccionaria?

preguntan

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5 días?

y marca la

que la alternat

alternativa

correcta.

iva D) es la corr ecta?

Matemática

2º medio

27 11-12-14

Recursos para el estudiante • Libro digital • Fichas de trabajo

21

18:49

Modelo didáctico Evaluación

Matemática

inicial

b escrnide y o e e r L ara ap p

El número áureo (φ aplicaciones en el m

En la sección Taller de habilidades matemáticas existe un modelamiento paso a paso y presenta desafíos para el estudiante. La sección Me preparo para el SIMCE plantea estrategias para responder preguntas de alternativas.

Taller de

HABILIDADES

En esta sección te in

• Lee el siguiente t

medida de medida

matemáticas Problema 2

Identificar que los números irracionales no se pueden escribir como un número racional. a a Un b número racional se puede escribir como b , donde a y b son números enteros (b ≠ 0). Un número irracional, como 1 x 1 x o (a, b ∈  +), no se puede escribir como o número racional (con numerador y denominador), en ; sin embargo, a a+ b a a+ b se puede racionalizar para que su denominador sea un número entero sin cambiar el valor de la expresión.

Problema 1 12 . 12 6 12 − 2 6− 2 Paso 1 66+− 22 12 2 2 6+ 2 6+ 2 Identificar el factor 6 − 2 • 6 + 2 = 6 2 − 2 2 =6 6−− 22= 4 2 2 2 6 +6 − 2 ,=ya • 22. Se 6 +debe 2 amplificar 2 = 4 que 6 − 2 • 6 + 2 = 6 − 2 = 6 − 2 = 4 . = 6 − por Recuerda que (a + b)(a – b)6 − = 2 a 2– b 6 2− 2 2 2 2 2 2 12 entero. 6 − 2 • 6 + 62 =− 62 − 2 = 6 − 2 = 4 En donde la expresión 6 − 2 es un número 12 6 + 2 6 − 122 • 6 + 2 2 2 = • 12 • 6+ 2 6 − 2 12 • 6 + 2 Paso 2 12 6 + 2 12 6+ 2 6− 2 • 6+ 2 =6 + 62− 2 = • Conservar la igualdad 6 − 2 6+ 2 62 − 2 12 • 6 +6 +2 2 6 − 2 6− 2 6 + 12 2 6+ 2 2 6 + 2 12 • 6 + 2 6 −12 2 6• + 62+ 212= 6• + −2 2 == 6 − 2 = 4 = 12 la expresión =6fraccionaria, =23 12se 6• +6multiplica Para conservar el valor de la12 expresión, − 2 6es + decir, −62 +2 2 6el+numerador 212 6 +y el2denominador • 126 + se2 amplifica 12 6 + 2 2 6 6− 2+ 212 212 12 46 + 2 − 6 2 • 6 + 2 = =3 6+ 2 por una misma expresión: = = =3 6= − 2 6− 2 6 − 2 6 − 212 • 4 6 + 2 6 − 12 4 6− 2 • 6+ 2 2 • 6 6++ 2 2 12 66−+2 2 6− 2 12 6+ 2 12 = = =3 6+ 2 12 • 6 + 2 12 6 + 2 6 + 2 6−2 4 − 2 6 12 • 6 + 22 =6 − 2 2 • 6 + 212 6− 2 2 2 6=−6 −22 = 46 6+ −22 2 2 2 2 6 − 2 6 − 2 • 66 −+ 22 = 6 6+ 6 − − 12 2 •6 + 6 2+ =2 =6 −6 −2 = 2 6 −=26=− 42 = 4 − 6 2 • 63 + 62+ 2 2 3 126 + 26 − 2 2 12 • 2 6 + 22 2 6 − 12 2 6 + 32 6 + 12 2 6 + 2 Paso 3 2 2 2 6 − 2 •= 3 6 +6 +2 2= 6 − 62 −6= 6−− = =3 6+ 2 2 2==2 4 12 Multiplicar y simplificar6 12 − 2 = 3 6 + 2 6 − 2 • 126 •+ 3 62 +6 +2 2 6 − 2 = 34 6 + 2 2 2 12 6+ 2 12 2•6 + 6 2+ 2 6 − 22 − 6 12 6 + 2 = • 6 12 • 12 6 + 2 12 Se resuelven las multiplicaciones6 del el =factor, luego se simplifica. − 2numerador 6 +12 2y la del6 denominador − 2 • 6• + =2por 6− 2 6 3+ = 26 +6 −26 2− 26 + 6 2+ 2 6 −12 •2 6 6+− 2 2 6 − 6 2+ 2 12 6+ 2 12 6 + 2 12 6 + 2 • 12 • 6=+ 2 6− 2 6 + 2 3 66 −+ 22= 612+ •12 2 •6 + 6=2+ 2 12 126 =+ 36 2+ 6 2+122 126 + 6 2+ 2 6−2 6− 2 • 6+ 2 =4 = = = = 3 = 36 + 6 2+ 2 6 2− • 2 •6 + 6 2+ 2 12 6 − 26 − 2 4 4 − 6 12 • 6 + 2 12 6=+3 26 + 12 6+ 2 2 12 Paso 4 =6 − 2 = =3 6+ 2 6 − 2 12 12 4 6 − 2 •6 − 6 2+ 2 Responder 6 − 6 2− 2 12 3 6 + 2 El número irracional se puede representar por 3 36 + 6 2+ 2 , donde ambas expresiones son iguales. 6− 2 12 =3 6+ 2 12 12 = 3 6 + 2 3 6+ 26− 2 =3 6+ 2 6 − 6 2− 2 12 =3 6+ 2 6− 2

Racionaliza el número

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( (

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Núm

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Racionaliza el número

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2− 3

1. Completa la con

a. Copia en tu 2− 3 b. Marca el pu 2 2 Identificar el factor 2+ 3 2− + 3 • 2 − 3 = 2 − 3 = 2 − 3 = −1 2 2 − 2 3 Recuerda que (a + b)(a – b) = a – b . c. Utiliza un co 2+ 3 2− 3 • 2− 3 2 2 2− 3 2− 3 Se debe amplificar por 22−− 33•, ya que =2 + 3 • 2 − 3 = 2 − 3 = 2 − 3 = −1en . E y radio 2+ 3 2− 3 2 + 3 2 • 2 −2 3 Paso 2 22++ 33 • 2 − 2 3− =3 22 −− 3 3 =22−− 33= −•1 2 − 32. La intersección 2 2 •2 − 2• 2=• 3 + 3 Conservar la igualdad 22 −− 33 • 2 − 3 3 • 2 − 33. La medida del s 2 − 3 2 − 3 2 += 23 − 232− • 32 2 −2 23+ 2 2 + 3 • • 2 − 3= Se amplifica la expresión fraccionaria. 2 − 3 2 1 22++ 33 •2 − 2 3− 23− =23+ •23 2−•− 332 − = 32 −232=−−2• 2 • 3 +Con3estos conocim 2− 3 2− 3 número de oro. Pue 2−2 6 +3 2 2 2 2 − 32 • 2 −= 3 2=+22−3− 33• • 2 −2 −3 = − 232−• 3 + 3 2 − 3 Matemática en el ar 32 + 2 + 3 32• −2 2• −1 = 2 + 3 2 − 3 2 2 2 − 23+ 3 • 2 − 3 2 −2 +3 3 • 22+− 33 Formen grupos de 2 −5 − 32 6 2 −= 23 − 2 6 2+ 32 2 22 −− 33 = 22 2 31 •3 • 2 −2 −3 3= 2−+21 23− •− 2• 3 2= = −132 − 3 =Lectura 2 •2 − 33+ − 3 = 2 − 3 = y−1escritura Paso 3 22 ++22−−3− 2 + 3 2 6 +3 2 2 22 + 3 2 • ==( −1 ) • 5 − ( −1 ) • 2 56− 2= 6 2 − 3 = 2 − 3 = 2−3 Multiplicar y simplificar 22 −− 233+ −132 −• 232−−= 3322−− 33 • 2 2− − 3− 3 3 2 − 3 • 2 − • 3Hagan una búsqu • 6 = −1 2 • 2 = − 2 2 = 5+ 2 6•2 −numerador − 3bús 3 • 2esta Se resuelven la multiplicación y la del denominador por el factor:2 −• Durante 2= 2++52−−3322 del 3=212+ 6 + 32 3−2 +=3( − )•+• 253−32(−−•−12)33−2• 2−=23=−6322−3 3• −2=2+−−133 3=•=2 −23−= −31utilidad puede te =2 − −13 2 2 + 3 22 − 2 3 2 + 3 • 22 − 3 −1 − − 2 3 • 2 3 2( −−123)−3•=2 −35+ 3 + 3 3• 2 − 3 22=− 22 6− 2• 2 • 2 − 2−( − +133)3•• 52−− = =6• 2 −− 33• = 2 − 3 = 2 − 2• 2 • 3 +2 3 5 − 2• 6 2 2 22=5+ + 233 6• 2 − 2 2 − 2• 2 • 3 + 23+ 3 2 +2 −3 3• 2 −2 −3 3 • 2 − 3 2 − =+−5+ −12 6 2 − 3 2 − 2 3+ 3 2• −2 −2 +33 3 • 2 − 23 =− 3 2 2 2 2 + 3 23 • 2 2 − 3 2 2+ 2 − 3 •32 362• −222 −− −−12) − (2−−163)3•3+•=53−−2(5+ 2−22− 2• 2 • 3 + 3 2= 2 − 2• 2 • 3 + 3 6 +33 2 6 = 2+ 3 =2 6 −5+ R e 2 = 2 2 + 3 2 2 1 − = 2 +−5+3 2• 6 2 − 2 + 3 3 • 2−1− 23 − 2 −32 6 +23 − 3 = Racion 2− 3 5−−5+ 2 −26 36 −1 5 2 6 − Unidad 1 • Númer = 5+ 2 6 − 64 2 = 2−2 6 +3 = cuyo d 5− 2 6 = 2−21−+ 33 = 2 − 2 2 6+ + 3−1 = −1 = −5+ 2 6 Para ra = ( −−15+ 2) +• 25 −36( −1 ) • 2 6−=1 ( −1 ) • 5 − ( −1 ) • 2−16 5− 2 6 U1_Mat_2M - Copia - Copia.indd 64 5− 2 6 − − − = 1 • 5 1 • 2 6 N Ide ( ) ( ) ==−5+2 2− 63 = = −5+ 2 6 −1 = −5+ 2−16 mu 3 ( −1=) •( − =2( −−12)+3• 5 − 2 1 )6• 52− −( −13) • 2 6= −5+ 2 6 se e Paso 4 2+ 3 2− 3 2 + 3 = −5+ 2 6 = −5+ 2 6 N Am Responder −5+ 2 6 2 + 3 −5+ 2 6 num 2− 3 2 −representar 3 El número irracional 2 − 3 se puede por −5+ 2 6 , con 2 + 3 = −5+ 22 + 6 3 2 − 3 = −5+ 2 6 2+ 3 2− 3 en donde ambas expresiones 2+ 3 N Rea −5+ 2 6 son iguales. = −5+ 2 6 −5+ 2 6 2+ 3 pro 2− 3 = −5+ 22 −6 3 = −5+ 2 6 pot 2+ 3 2+ 3 N Sim

(

) (

( ( (( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

) ( )( )) ( ( )( )( ) () ( )( ) (( )( )( )( ( )( (

) ( ) ( ) ( ( ) () ( ) () ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( )( )) ( ) ) ( ) ( ) ( () ( ) ( ) ) (( )) ( ) ) ( ) ( )( ( ) () ) ( ) )( ( ) ) ( ) )( () () ( )) )( )( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( )( )) ( ) ( ) ( )) ( ) ) ( ) ) ( ( )) ( )) ( )() ( ) ) ( ( )) ( ) ( ) () ( ( ) ) ) (( ( ))( ) ( )( ) () ( ) ( )( ( () ) (() ( ( ) )) ) (( ( ))) (( )) )( ) ( ) ( ) ) )( ( ) )( ( ) ( ) () ) ) ( ( )) ( ) ( ) ( )

Ahora TÚ

Aplica lo aprendido descargando la actividad desde la plata Puentes del Saber

46

Unidad 1 • Números

Puentes del Saber Puentes del Saber02-01-14

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22

15:18

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Catálogo Secundaria 2017

Matemática

Evaluación

Evaluación

intermedia

final

bo

Unidad

er

mero áureo

1

Lectura y escritura de elaboración

φ) expresa una proporción altamente utilizada en el diseño y en la construcción de productos cotidianos. Sus marketing, diseño gráfico, fotografía, publicidad y artes visuales son numerosas.

• Seleccionen junto con su grupo un producto u objeto en donde puedan visualizar alguna relación áurea. Luego, generen

nvitamos a leer y a escribir para investigar más acerca de este número.

• ¿La proporción en este objeto es producto de la naturaleza o es una obra humana?

texto para activar tus conocimientos sobre la proporción áurea y luego realiza las actividades.

• ¿Cuándo se comenzó a diseñar este objeto, con qué fin?

preguntas que les permitan escribir un texto acerca de este producto. Aquí les presentamos algunos ejemplos:

• Tomen notas de las preguntas y de las respuestas. Si se requiere información acerca del objeto, pueden complementar la búsqueda en fuentes como enciclopedias y diccionarios, o nuevamente en Internet.

e la diagonal = φ a del lado

1+ 5 La expresión φ = , llamada número áureo o número de oro, fue descubierta 2 en la Antigüedad al observar la proporcionalidad entre los elementos de algunas figuras geométricas en la naturaleza o en partes del cuerpo humano. Por ejemplo, la relación entre: la medida de la diagonal y la medida del lado de un pentágono regular; la altura de una persona y la altura a la que se encuentra su ombligo; el diámetro de la boca y el diámetro de la nariz o en la disposición de Unidad los pétalos de las flores o en la distancia entre las espiras de un caracol.

• Culminen este proceso con un borrador del texto en que presentarán su objeto o producto escogido. Asegúrense de que el borrador cumpla los siguientes criterios:

• Incluir una descripción breve del objeto. Si es relevante, cuándo se diseñó, para qué se usa, o bien de qué forma se da en la naturaleza y quién lo descubrió.

1

• Seleccionar una o más imágenes. Si se trata de objetos cotidianos pequeños se puede agregar el objeto mismo. • Incluir uno o más mecanismos explicativos, en los que se aplique la Matemática al objeto mismo. Lectura y escritura de comunicación

• Consideren la audiencia de los textos que van a escribir. Recuerden que deben ser textos breves y simples, ricos en descripciones y explicaciones.

• Diseñen el cartel o afiche. Decidan cuánto espacio irá destinado al texto y a la imagen, si incluirá el objeto mismo, dibujos o

nstrucción gráfica del número áureo siguiendo las instrucciones.

u cuaderno el cuadrado ABCD.

D

fotografías.

C

• Creen un primer bosquejo o borrador y evalúenlo. • Procuren que cada miembro del grupo revise con la pauta y acuerden los posibles cambios en conjunto antes de pasar el

unto medio del lado AB como el punto E.

ompás para trazar un arco de circunferencia con centro o el segmento EC.

proyecto en limpio. A

B

Criterio

entre el arco de la circunferencia y la recta AB determina el punto F.

No

Puede mejorar

Se explicita el principio matemático de la proporción áurea y en qué consiste.

segmento AF es igual a φ.

mientos en mente, te invitamos a montar una exposición colectiva de afiches sobre la proporción áurea y el eden conversar con el profesor a cargo y llevarla a cursos más pequeños para mostrarles la importancia de la rte.

Se describe y sitúa adecuadamente el objeto. Se incluyen explicaciones y cálculos fáciles de entender para ilustrar la proporción que puedan visualizar.

tres a cinco estudiantes y realicen las siguientes actividades:

a de exploración 3 = −1en Internet sobre aplicaciones concretas de esta proporción en nuestra vida diaria. queda

Hay una adecuada relación entre el texto y la imagen. El tamaño del texto es adecuado y el afiche es sugerente (dan ganas de leerlo).

squeda, tomen notas acerca de qué objetos tienen la proporción áurea, por qué, y qué implicancias o ener este hecho.

• Elaboren la versión definitiva y compartan con el resto del curso.

2

( 3)

esumen de conceptos

Sí

Puentes del Saber

nalizar permite simplificar expresiones ros denominador es una raíz.

Matemática 2º medio

Puentes del Saber

65

acionalizar se puede: Puentes del Saber02-01-14

entificar el factor por el que se debe ultiplicar para que en el denominador eliminen las raíces.

15:19

U1_Mat_2M - Copia - Copia.indd 65

02-01-14 15:19

Incorpora la sección Leo y escribo para aprender, la que modela la lectura y producción de textos desde la perspectiva de la disciplina de la matemática y refuerza el aprendizaje y las habilidades de pensamiento lógico-matemático

mplificar el denominador y el merador por la misma expresión para nservar el valor del número.

alizar los cálculos aplicando las opiedades de las raíces y de las tencias.

mplificar y dar la respuesta.

aforma.

Matemática 2º medio

47

02-01-14 15:18

23

Recursos para el profesor Apoyan al docente en la motivación, ejercitación y profundización de las clases planificadas para propiciar el desarrollo de habilidades disciplinares.

Barra de navegación Interfaz que permite navegar en el Libromedia para visualizarlo de diversas formas y ubicar las unidades de manera expedita.

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24

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Catálogo Secundaria 2017

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Herramientas comunes

25

Herramientas de área

Proyecto que abarca II, III y IV medio. Incorpora los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios del Ajuste Curricular 2009 y da respuesta al escenario y decretos vigentes.

26

Catálogo Secundaria 2017

Recursos para el profesor en formato digital

II y III medio • Biblioteca del profesor • Planificaciones • Evaluaciones • Recursos multimedia • Fichas de trabajo • Guía del profesor

IV medio • Planificaciones • Evaluaciones • Ensayos • Solucionario • Solucionario cuaderno PSU

Recursos para el estudiante

II y III medio

IV medio

• Texto del estudiante

• CD Cuaderno de ejercicios PSU

27

Modelo didáctico Evaluación inicial

Matemática II y III Medio U5 PAG 164-201_Layout 1 02-12-11 10:05 Página 180

Álgebra

En estas páginas se desarrollan los contenidos, con el apoyo de fotografías, tablas, gráficos, ilustraciones e infografías. Se resaltan los conceptos más importantes y se han destacado con color para una mejor visualización y comprensión de cada procedimiento.

Función logarítmica Se define la función logarítmica al establecer la relación entre la base de la potencia y el valor de la misma mediante la función f, con la siguiente expresión: f(x) = logbx Para una mejor comprensión del comportamiento de la función logarítmica, se distinguirán dos casos: que la base b sea mayor que 1 y que la base b se encuentre en el intervalo ]0, 1[.

Gráfica de una función logarítmica de base b, con b > 1

Y

Se considera la siguiente familia de funciones logarítmicas de base mayor a 1. f(x) = log2 x

h(x) = log4 x

g(x) = log x

Para obtener el gráfico de las funciones, se considerarán algunos valores de x y aproximaciones de sus imágenes en la siguiente tabla:

0

X

x

f(x) = log2 x

h(x) = log4 x

g(x) = log x

0,2 0,5 1 2 3 4

–2,321 –1 0 1 1,584 2

–1,160 –0,5 0 0,5 0,792 1

–0,698 –0,301 0 0,301 0,477 0,602

A partir del gráfico y la tabla se pueden realizar las siguientes observaciones. Si x = 0, y = logb 0. Dado que no existe un valor x que satisfaga la ecuación, se concluye que no hay intersección con el eje Y. Si y = 0, 0 = logb x fi x = 1. Por lo tanto, la curva correspondiente intersecta al eje X en el punto (1, 0). Las tres curvas intersectan el eje de las abscisas en el punto (1, 0) y ninguna intersecta el eje de las ordenadas. Además, + el dominio de las funciones son los Números Reales positivos ( ), y su recorrido son los Números Reales (). El eje Y corresponde a una asíntota vertical. Las funciones son siempre crecientes. Para valores de x menores que 1, las funciones de mayor base tienen valores mayores. En cambio, si x es mayor que 1, las funciones de menor base tienen valores mayores.

|

Santillana Bicentenario

28

180 |

Catálogo Secundaria 2017

Matemática

Evaluación intermedia

Evaluación final

U5 PAG 164-201_Layout 1 02-12-11 10:05 Página 181

UNIDAD 5 | Exponentes y logaritmos

Gráfica de una función logarítmica de base a, con 0 < b < 1

Y

Se considera la siguiente familia de funciones logarítmicas. f(x) = log 1 x

h(x) = log 1 x

2

g(x) = log 1 x

4

10

Para obtener el gráfico de las funciones se considerará la siguiente tabla: x

f(x) = log 1 x

h(x) = log 1 x

g(x) = log 1 x

2,321 1 0 –1 –1,584 –2

1,160 0,5 0 –0,5 –0,792 –1

0,698 0,301 0 –0,301 –0,477 –0,602

2

0,2 0,5 1 2 3 4

4

2

0

X

A partir del gráfico y la tabla se pueden realizar las siguientes observaciones. Si x = 0, y = logb 0, Dado que no existe un valor x que satisfaga la ecuación, se concluye que no hay intersección con el eje Y. Si y = 0, 0 = logbx Æ x = 1. Por lo tanto, la curva correspondiente intersecta al eje X en el punto (1, 0). Las tres curvas intersectan el eje de las abscisas en el punto (1, 0) y ninguna intersecta el eje de las ordenadas. Además, + el dominio de las funciones son los Números Reales positivos ( ), y su recorrido son los Números Reales (). El eje Y corresponde a una asíntota vertical. Las funciones son siempre decrecientes. Para valores de x menores que 1, las funciones de mayor base tienen valores mayores. En cambio, si x es mayor que 1, las funciones de menor base tienen valores mayores.

EN

SÍNTESIS

Se llama función logarítmica a toda función tal que f(x) = logb x, para todo b positivo distinto de 1. Dom (f(x)) = +, Rec (f(x)) = . f(x) tiene como asíntota al eje Y.

Dependiendo del valor de la base b: - si b > 1, la función f(x) es creciente en todo su dominio. - si 0 < b < 1, la función f(x) es decreciente en todo su dominio.

PRACTICA Los siguientes gráficos corresponden a funciones exponenciales y logarítmicas. Identifica cada una y caracteriza su base. 1.

Y

2.

Y

3.

Y

4.

0

Y

X

0

X

0

0

X

|

181 |

X

Matemática

29

Modelo didáctico Evaluación inicial

Matemática IV Medio

Evaluación final tipo PSU Las unidades presentan un modelamiento de preguntas tipo PSU en el que se analizan cada una de las alternativas propuestas y se explican los posibles errores que el estudiante puede cometer.

4. Si las coordenadas del punto D son (3, 5) y estas se

Utiliza la Hoja de respuestas que está al final de tu texto para responder la siguiente evaluación.

relacionan con el vector CD = (4, 8), ¿cuáles son las coordenadas del punto C?

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A. Todo vector nulo tiene modulo distinto de cero. B. Si dos vectores tienen la misma dirección y el mismo modulo, entonces son opuestos. C. Si dos vectores tienen el mismo modulo, la misma dirección y el mismo sentido, entonces son iguales. " " D. Al restar los vectores u = (4, 5) y v = (–5, –4), " se obtiene el vector r = (–1, 1) " E. Respecto del vector w = (x0, y0), si x0 < 0, y0 > 0, el vector se ubica en el tercer cuadrante del plano cartesiano.

A. B. C. D. E.

(–1, –3) (–2, –5) –3, –1) (1, 3) (3, 1)

5. Si A = (3, 1, 5) y B = (1, –2, –5), ¿qué alternativa representa a