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Consideraciones en la seleccion de imágenes satelitales para los estudios ambientales Los fractales en la Geodesia como ciencia de La Tierra

Los fractales en la Geodesia como ciencia de la Tierra

Jhon Camilo Matiz León1, Elena Posada2

Resumen La Geodesia como ciencia de la Tierra busca establecer con precisión la representación de la superficie terrestre mediante métodos físicos y matemáticos implementados en algoritmos que han generado la representación de modelos tales como el Geoide y el Elipsoide Biaxial de Revolución, modelo físico y modelo matemático, respectivamente. Estudiando la forma de la Tierra desde estos dos modelos, la Geodesia aborda, un modelo físico (geoide) de la superficie de la Tierra que permita resolver el problema de distribución de masas terrestres, el campo de gravedad y las alturas ortométricas, y un modelo matemático (elipsoide) que sirve de sistema de referencia, con el que se pueden ajustar los datos obtenidos en la superficie del terreno, y su condición de exactitud permite obtener una mejor aproximación. Es así como la representación topográfica del terreno debe ser considerada a partir de alguno de los dos modelos, siendo de gran importancia el estudio del terreno, asociado con el paisaje y con el efecto de masas excedentes o deficientes que en él se representan. A partir de la forma irregular del terreno (accidentes geográficos que guardan una pro1

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Ingeniero Catastral y Geodesta. Investigador Grupo de Percepción Remota. Centro de Investigación y Desarrollo en Información Geográfica (CIAF). Instituto Geográfico Agustín Codazzi. E-mail: [email protected]. Ingeniera Forestal; Máster en Ingeniería Forestal y Especialista en Procesamiento Imágenes. Jefe (E) del Centro de Investigación y Desarrollo en Información Geográfica (CIAF). Instituto Geográfico Agustín Codazzi. E-mail: [email protected].

piedad de autosimilitud) y el geoide, debido a sus ondulaciones por efecto de las irregularidades de la composición física de la Tierra, se trabaja a una escala considerable, donde al aumentar este nivel de escala, nuevamente el geoide presenta ondulaciones e irregularidades sucesivamente “similares” a las encontradas en el primer grado de escala estudiado. Nuevamente, los componentes que comprenden los modelos físicos, matemáticos y topográficos de la Tierra presentan una propiedad de autosimilitud, que por medio de la “geometría fractal” pueden ser representados y trazan una alternativa frente a los sistemas actuales de modelamiento. En esta geometría, de acuerdo con Mandelbrot, un fractal es por definición un conjunto cuya dimensión de Hausdorff Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica y posee una mayor precisión en áreas de alta complejidad para la interpolarización de datos no determinados, lo que aumenta la fidelidad en la representación del terreno y el geoide. La matemática fractal busca determinar con mayor exactitud las irregularidades de las superficies dinámicas y terrestres con fórmulas simples en donde las funciones fractales son un ajuste confiable para dichos fenómenos. Palabras claves fractal, geodesia, geoide, dimensión de Hausdorff – Besicovitch, elipsoide, autosimilitud.

Fractals in geodesy as earth science Abstract Geodesy and Earth science seeks to establish the precise representation of the earth’s surface by physical and mathematical algorithms implemented have led to the representation of models such as the geoid and biaxial ellipsoid of revolution -physical and mathematical model -, respectively. Geodesy explores the earth from two models: A physical model (geoid) surface of the earth can solve the problem of distribution of land masses, the gravity field and orthometric heights. And a mathematical model (ellipsoid) serves as a reference system with which you can adjust the data from the ground surface, the condition of accuracy allows for a better approximation. Thus, as in the topographical representation of the land, must be seen from some of the two models, being of great importance to study the terrain associated with the landscape and the mass effect of excess or deficient in it represent. Starting from the irregular shape of the terrain (landforms that are the property of self-similarity) and the geoid, which due to its undulations as a result of irregularities in the physical composition of the earth, working on a considerable scale, where the increase this level of scale, again presents the geoid undulations and irregularities on “similar” to those found in the first degree level study. Again, the components comprising the physical models, mathematical and surveying the earth have a property of self-similarity, which through the “fractal geometry” can be represented and traced an alternative to existing modeling systems. This geometry, that according to Mandelbrot fractal is by definition a set whose dimension of Hausdorff - Besicovitch is strictly greater than its topological dimension, has a greater precision in areas of high complexity for data interpolarización not determined, increasing fidelity representation of the field and geoid. Based on this fractal mathematics seeks to determine more accurately the surface irregularities and terrestrial dynamics with simple formulas, where the fractal features are reliable adjustment for these phenomena. Key words fractal, geodesy, geoid, dimension of Hausdorff - Besicovitch, ellipsoid, selfsimilarity.

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Introducción De acuerdo con la representación espacial que se genera a partir de los métodos convencionales enmarcados en la Geodesia como ciencia de la Tierra, evidenciados en el modelo físico y matemático que ejemplifican un datum vertical y un datum horizontal, se lográ obtener un posicionamiento en el espacio y una representación más exacta de la superficie de la Tierra. La variación de la exactitud de representación y posicionamiento se debe a la incertidumbre que se presenta al disminuir el error, contando con las ondulaciones y accidentes geográficos del terreno. La geometría fractal, a partir de sus conjuntos de autosimilitud, puede modelar con una gran exactitud las irregularidades de la superficie terrestre, tomando una escala muy detallada e iterando el número de veces que sea necesaria la superficie por representar. La amplitud del modelo interpolado depende del factor de rugosidad que genera modelos más o menos suaves o quebrados (valor de la pendiente), donde este factor se encuentra directamente enlazado con la dimensión fractal que posea el terreno objeto de estudio. Entre mayor sea su pendiente, mayor será su dimensión fractal, y es allí donde uno de los preceptos que mayor inferencia tienen conjuntamente la geodesia y la geometría fractal: el geoide tiene una menor dimensión que la superficie topográfica, y esto en la práctica debe ser demostrado.

1. Fractales Dentro de la teoría de la complejidad ,que comprende el estudio de sistemas, que al constituirse en colectivos, evidencian propiedades que no muestran sus componentes individuales por separado, se agrupan los fractales y el caos como conceptos matemáticos aplicables a los sistemas complejos (González, 2009).

El término fractal fue acuñado en 1977 por Benoít Mandelbrot para designar ciertos comportamientos matemáticos donde el resultado final se origina a través de la repetición de un proceso geométrico simple y desencadena en las sucesivas iteraciones conjuntos de determinada dimensión, fija a lo largo del proceso que se modifica al convertir la iteración en infinita. Estas figuras virtuales se encuentran compuestas por una curva infinita contenida en una superficie finita y por lo tanto con un número no entero o fraccionario de dimensiones (Argote, 2005), donde el fractal es un objeto geométrico de estructura irregular aparentemente caótica. Estos objetos se encuentran presentes en muchos procesos y formas de la naturaleza (Guirado, 2000): • Procesos de separación de fronteras de dos medios; • Procesos de ramificación; • Procesos de formación de porosidad.

1.1. Características de los fractales Autosimilitud Si un objeto fractal aumenta, los elementos que lo componen vuelven a tener el mismo aspecto independiente del cual sea la escala que se utilice, sosteniendo una estructura geométrica recursiva, la que expresa la iteración o repetición al infinito de un mismo proceso. Esta estructura origina que las figuras fractales contengan infinitas copias de sí mismas, a una escala cada vez menor, por lo que el todo siempre está contenido en las partes. A partir de esto, se define autosimilitud como la característica que presentan determinados objetos en los cuales los detalles más pequeños que los componen tienen alguna relación estadística con sus propiedades globales, repitiéndose estos detalles de una manera infinita (AlMajdalawi, 2005).

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mite obtener una aproximación mucho más rigurosa donde las medidas de un objeto a diferentes escalas establecen su dimensión, buscando analizar segmentos como segmentos de una curva simple, límites de fronteras, costas de islas y playas continentales y perfiles de montañas, cuya fórmula es (Álvarez y Matiz, 2007): D = lim

ln N (h) 1 ln h

((

(3)

Donde: Figura 1. Desembocadura de un río al mar con apariencia fractal.

Fuente: http://www. gran-angular.net/fractalesy-series-de-fibonacci-en-lanaturaleza/2008/09/11/

D es la dimensión fractal

Dimensión fractal La dimensión fractal (D f ) que sugirió Félix Hausdorff en 1919 es una propiedad de un objeto que nos indica su capacidad para rellenar el espacio que lo contiene, y puede tomar valores continuos en el espacio de los números reales, entre 0 y 3 (Al-Majdalawi, 2005). Partiendo de la propiedad de autosimilitud de los fractales, si se obtiene un segmento, con N segmentos iguales, semejantes al original, con un factor de contracción (razón de semejanza) r , se tiene que la dimensión topológica de H es el número real D que verifica: N.rD = 1 Donde al aplicarle Logaritmo Natural a un segmento con autosimilitud perfecta, para despejar D el resultado es: D=

ln N 1 ln r

((

(2)

La dimensión fractal es un número fraccionario que se calcula mediante la fórmula de Hausdorff (2), convirtiéndose, dentro de las dimensiones topológicas de la geometría fractal, en la Dimensión de Hausdorff-Besicovitch, que per-

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N cantidades de segmentos que forman el objeto h número de partes en el que se divide el segmento inicial A partir de la geometría fractal y encontrando la dimensión fractal, se puede medir la dimensión de los objetos que son diferentes a la geometría euclidiana. La dimensión fractal arroja qué tan densamente un fenómeno ocupa el espacio en el que se encuentra, independientemente de las unidades de medida utilizadas, o la alteración del espacio por un estiramiento o una condensación (Rahnemoonfar, Delavar y Hashemi, 2004).

Movimiento browniano El movimiento browniano, observado por primera vez por Robert Brown en 1827, consiste en el movimiento de pequeñas partículas causada por el bombardeo continuo de partículas vecinas. Brown encontró que la distribución de la posición de la partícula es siempre gaussiana con una varianza que solo depende de la duración del tiempo de observación del movimiento (Laurini y Thompson, 2002).

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El movimiento browniano es el modelo más generalizado para realizar interpolaciones de tipo fractal para un conjunto de datos, y a partir de este se deriva el movimiento browniano fraccional (FBM, por sus siglas en inglés), que se utiliza para simular superficies topográficas y geodésicas. El FBM ofrece un método que generá superficies irregulares y autosimilares que se asemejan a la topografía y que tienen una dimensión fraccional conocida (Rahnemoonfar, Delavar y Hashemi, 2004). Las funciones FBM se caracterizan por variogramas (gráficos que traza la variación de un fenómeno en contra de la distancia espacial entre dos puntos) de la siguiente forma: E[(zi – zj)] 2 = K * (dij) 2H Donde: E = expectativa estadística zi – zj = alturas de la superficie en los puntos i y j d ij = distancia espacial entre los puntos iyj K = es la constante de proporcionalidad H = parámetro en el rango entre 0 y 1

Cuando H = 0.5 se obtiene el movimiento browniano puro. Entre más pequeña H, más grande D y más irregular es la superficie. Si H es más grande, más pequeña será la dimensión fractal D y más suave será la superficie. Algunos autores como A. Fournier presentan procedimientos recursivos para representar curvas y superficies a partir de modelos estocásticos, descritos en dos métodos para la construcción de superficies primitivas en dos dimensiones fractales. El primero se basa en una subdivisión de polígonos para crear polígonos fractales, mientras que el segundo enfoque se basa en la definición de superficies estocásticas paramétricas (Rahnemoonfar, Delavar y Hashemi, 2004). La subdivisión de polígonos se basa en el método de subdivisión de polilíneas fractales. Una subdivisión de una polilínea fractal es un procedimiento recursivo que interpola los puntos intermedios de una polilínea. El algoritmo recursivamente subdivide los intervalos de extremos más cercanos y genera un valor escalar en el punto medio, que es proporcional a la desviación estándar actual sc veces la escala o el factor de rugosidad S. Por lo tanto, el valor de Zmdel punto medio entre dos puntos consecutivos, i y j, de una polilínea es determinado por la ecuación (Felguerias y Goodchild, 1995):

( + ) Ζm= Ζ i Ζ j +S *σc* Ν(0,1) 2 K también está relacionado con un factor de escala vertical S, que controla la rugosidad de la superficie. H describe la suavidad relativa a diferentes escalas y tiene una relación con la dimensión fractal D tal como es descrita en la siguiente ecuación (Felguerias y Goodchild, 1995): D= 3 – H

Donde sc varía de acuerdo a la ecuación anterior y N(0,1) es una variable aleatoria gaussiana con media 0 y varianza de 1.

2. Geodesia El estudio y la determinación de la forma y dimensiones de la Tierra, con su campo de gravedad y variaciones tem-

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Figura 2. Superficie montañosa con apariencia fractal.

Fuente: http://www. gran-angular.net/fractalesy-series-de-fibonacci-en-lanaturaleza/2008/09/11/

porales, y el establecimiento de posiciones en la superficie terrestre por medio de la Georreferenciación, corresponden al objetivo de la Geodesia como ciencia básica y de la Tierra, teniendo bases físico-matemáticas y desarrollos en diversas disciplinas como la topografía, cartografía, fotogrametría, navegación e ingenierías afines.

El uso del nivel medio del mar como superficie de referencia vertical representa, tradicionalmente, una buena solución para el problema de las alturas, pues este es accesible mundialmente y en primera aproximación coincidiría con el geoide, definido anteriormente (Martínez y Sánchez, 2005).

La parte teórica del problema general de la figura de la Tierra consiste en el estudio de las superficies de equilibrio de una hipotética masa fluida, sometida a las acciones gravitatorias y a un movimiento de rotación (Sevilla de Lerma, 2008).

2.1 Métodos geodésicos

El componente físico en la Tierra es representado geodésicamente por el geoide, superficie equipotencial en el campo de la gravedad terrestre que se toma como cota cero en la determinación de altitudes ortométricas. Una aproximación real del geoide, en la práctica, sería una superficie que envolviera la Tierra, que resulta de la prolongación del nivel medio del mar en plena calma (hablando en términos de mínimos cuadrados) a través de la masa continental (Martinez y Sanchez, 2005), siendo una línea normal a todas las líneas que representan las líneas de fuerza del campo gravitatorio terrestre (Sevilla de Lerma, 2008).

En el desarrollo de las aplicaciones enfocadas al estudio de la Tierra, la metodología que se ejerce es la de observación, cálculo y comprobación de un fenómeno. Esta metodología se adapta para conocer cada punto de la superficie terrestre mediante unas coordenadas que lo posicionen en un sistema de referencia definido. Estas coordenadas generalmente son cartesianas (x, y, z) o geográficas (Sevilla de Lerma, 2008). La Geodesia clásica trata de resolver el problema de la figura de la Tierra mediante la siguiente metodología: a. Determinación de un elipsoide de revolución como representación aproximada de la Tierra. b. Determinación del geoide sobre el elipsoide, dando sus ondulaciones o cotas del geoide sobre el elipsoide. c. Determinación de las posiciones de puntos de la superficie topográfica terrestre con relación a la superficie del geoide mediante nivelación. En la determinación del elipsoide de referencia, que se debe adaptar de manera aproximada a la forma de la Tierra, se utilizan observaciones astronómicas y geodésicas, principalmente datos gravimétricos y de satélites, siguiendo distintos métodos para la resolución del problema, denominándose elipsoide de referencia (Paredes, 1995). La metodología geodésica también incluye técnicas tridimensionales. El cál-

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culo riguroso de una triangulación en el espacio fue emprendido por Bruns en 1856, pero es Martín Hotine quien en 1956 propone las bases en las que se sentará la Geodesia tridimensional, plenamente realizada mediante la Geodesia espacial con la utilización de satélites artificiales.

3. Desarrollo de la geometría fractal en la Geodesia Algunas líneas de investigación desarrolladas por diferentes autores a lo largo y ancho del desarrollo de la geometría fractal han tenido aplicación en las ciencias de la Tierra, específicamente en la Geodesia (Instituto de Geodesia, Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, 2003).

3.1 Banco de pruebas para estudios de precisión fotogramétricos y topográficos La determinación de la precisión o la exactitud con que una figura de la naturaleza es medida conlleva numerosas simplificaciones que a veces terminan por desvirtuar el significado de estos términos. En cualquier caso, para determinar los parámetros estocásticos o determinísticos que hacen a estos conceptos, es necesario verificar errores o residuos que representen fielmente en forma discreta las diferencias entre lo medido y lo que la realidad impone como exacto. Estos errores son imperceptibles cuando de líneas o superficies irregulares se trata. Para responder a requerimientos o cuestionamientos como la precisión con la cual se efectuó la medición de la longitud de una costa, de un límite internacional o de un río, por ejemplo, no pueden ser fácilmente concertadas haciendo uso solamente de los recursos normalmente utilizados por el cálculo de compensación gaus-

siano tradicional. En este sentido, la posibilidad de utilizar modelos fractales sobre los que se efectúen mediciones permitirá una mejor comprensión de los alcances del concepto de error, ya que estos modelos pueden ser conocidos hasta en los más ligeros detalles y en cualquier escala, cosa que no sucede con los hechos reales (Instituto de Geodesia, Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, 2003).

3.2 Mejoramiento de modelos digitales del terreno Se están aplicando modelos de interpolación a través de las funciones de interpolación fractal. La manera de lograr mejoras significativas en las características de representación de la superficie terrestre sobre los modelos de interpolación geoestadísticos convencionales es la visualización del terreno por medir o modelar como una fracción del todo (Tierra) según sean sus características geomorfológicas (Instituto de Geodesia, Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, 2003).

3.3 Modelos de erosión terrestre Simulada la superficie topográfica y estudiadas sus características morfológicas, se procede a la aplicación de modelos de acción erosiva hídrica o eólica que provocan variaciones en cada valor altimétrico calculado. La iteración de tales influencias da por resultado una transformación del modelo topográfico original que se asemeja a la producida por los agentes erosivos reales. La identificación de las dimensiones fractales resultantes permite abordar el estudio inverso, por el cual dado un modelo real, se puede inferir la acción de la erosión presentada históricamente (Instituto de Geodesia, Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, 2003).

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llanas como por ejemplo nuestra pampa húmeda (Paredes Bartolomé, 1995).

3.6 Rol de los fractales en los sistemas de información geográfica (SIG) Las representaciones fractales participan de las características de los formatos raster y vector, pero agregan algunas cualidades únicas como a. muestran detalles a cualquier escala; b. reducen significativamente los recursos de memoria necesaria; c. permiten actualización en tiempo real de las imágenes a cualquier escala.

Figura 3. Cauce de un río con representación fractal en la naturaleza.

Fuente http://phi-nitoarquitecturabiologica.blogspot. com/2011/03/todo-es-fractal. html

3.4 Topografía de zonas planas Es particularmente difícil representar adecuadamente un terreno muy llano mediante las herramientas clásicas de la topografía. En estos casos, el valor de representación de las curvas de nivel o aun de los puntos acotados es particularmente reducido. Los modelos fractales están siendo estudiados como alternativa y en principio han demostrado su idoneidad para explicar algunos comportamientos de estos casos (Instituto de Geodesia, Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, 2003).

3.5 Modelos de drenaje superficiales y subsuperficiales Supuesto un modelo fractal topográfico y un modelo pluvial predeterminado, el escurrimiento de las aguas se modela con bastante realismo. Las soluciones topográficas tradicionales a veces no permiten dar respuesta a estudios de drenaje, particularmente en zonas muy

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En lo que se refiere específicamente al tratamiento de imágenes, aporta ventajas decisivas en operaciones como el filtrado, enriquecimiento y compactación de las mismas. El estudio de la dimensión fractal sobre imágenes, cartas o mapas de diferentes áreas mediante el software adecuado ha permitido a diversos autores diseñar diversos sistemas para el análisis automático de la geometría dado un objeto, representando así los objetos de la imagen de una manera más eficiente, lo cual forma parte del proceso necesario de retroalimentación que las aproximaciones fractales requieren el procesamiento digital de imágenes (Paredes, 1995).

3.7 Identificación de la dimensión fractal de las formas terrestres La superficie topográfica y el geoide son estudiados, como los modelos de representación de la Tierra, para determinar e identificar sus dimensiones, así como otros parámetros que permiten establecer un comportamiento fractal basado en las propiedad de autosimilitud y el concepto de escalas para definiciones y formas básicas de la naturaleza y de nuestro planeta. Esto literalmente

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redefine la concepción de precisión y exactitud a partir de la geometría fractal en las ciencias de la Tierra (Instituto de Geodesia, Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, 2003).

3.8 Propiedades fractales de las distribuciones estocásticas de los errores de mediciones El comportamiento de los errores de las mediciones geodésicas tiene algunos rasgos caóticos que escapan a la posibilidad de definirlos con las herramientas tradicionales, particularmente en los casos de gran cantidad de observaciones aplicadas sobre modelos matemáticos complejos. Se está estudiando por ejemplo, bajo conceptos fractales, la posibilidad de delimitar las zonas de convergencia y divergencia de las soluciones por mínimos cuadrados derivadas de posiciones iniciales aproximadas en los problemas de ajuste de redes planimétricas y altimétricas (Instituto de Geodesia, Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, 2003).

3.9 Geodinámica fractal Las tendencias que muestran las mediciones geodésicas de movimientos de la corteza terrestre son analizadas bajo conceptos fractales, por ejemplo la relación de la magnitud de los mismos con las escalas espacio temporales consideradas (Sevilla de Lerma, 2008).

3.10 Estudios de límites territoriales Los límites territoriales naturales, como los definidos por costas, quebradas, ríos, líneas divisorias de escurrimiento de aguas, líneas de ribera, etc., son estudiados bajo la concepción fractal, abriendo nuevos horizontes interpretativos en esta controvertida materia (Instituto de Geodesia, Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, 2003).

Conclusiones • La geometría fractal se abre campo como una de las temáticas de desarrollo en las ciencias de la Tierra, redefiniendo los conceptos de precisión y exactitud para generar una correlación entre las diversas concepciones de la forma de la Tierra, demostrada por sus modelos físicos y matemáticos (el geoide y el elipsoide) y apuntando hacia el desarrollo de una superficie de referencia modelada por la geometría fractal. • El grado de precisión que se puede desarrollar por medio de las funciones de interpolación fractal logra disminuir la fuente de error al generar una superficie equipotencial para la Tierra como lo es el geoide. • La propiedad de autosimilitud que presenta la topografía terrestre, constituida por los accidentes geográficos como las montañas, las cuales son una representación en menor escala de los grandes sistemas montañosos, permite observar las propiedades fractales que se encuentran inmersas en las formas geográficas y terrenos naturales de nuestro planeta. La concepción de escalas permite obtener una aproximación mucho más cercana al comportamiento de la superficie terrestre en cada tipo de terreno, lo cual disminuye el grado de error e incertidumbre en el modelo representado por la geometría fractal. • A partir de la entropía que se desprende del forjamiento de las estructuras geográficas que contiene la Tierra, es posible determinar de la manera más específica y sencilla la magnitud y el comportamiento de toda la naturaleza, que a través del modelamiento de los componentes más pequeños de nuestro todo refleja toda la estructura dinámica de los grandes sistemas geográficos y espaciales.

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