Calculus: Integration By-Parts ∫ x ln(x) dx
by: Francisco Javier Márquez, PhD
Main Idea A brilliant look at the product rule d(f · g)
Main Idea A brilliant look at the product rule d(xy)
Main Idea A brilliant look at the product rule d(uv)
Main Idea A brilliant look at the product rule d(uv) udv + vdu = d(uv)
Main Idea A brilliant look at the product rule d(uv) udv + vdu = d(uv) udv = d(uv) − vdu
Main Idea BY-PARTS Playbook
The BY-PARTS playbook
I II III IV
start with a difficult integral partition the integrand factors into u and dv based on the determined u find out what du is, based on dv as selected find out what v is... exchange the integral for ∫ ∫ udv = uv −
V hope right side is easier.. or somehow helps you.
vdu
visually: basic playbook ∫ X · Y · Z · dx
visually: basic playbook ∫ X · Y · Z · dx
visually: basic playbook ∫ X · Y · Z · dx
∫
∫ X · Y · Z · dx =
but...
udv
visually: basic playbook ∫ X · Y · Z · dx
∫
∫ X · Y · Z · dx =
but...
∫
udv
∫ udv = uv −
vdu
classic example ∫ x · ex · dx
classic example ∫ x · ex · dx
classic example ∫ x · ex · dx
∫
∫ x · ex · dx =
but...
udv
classic example ∫ x · ex · dx
∫
∫ x · ex · dx =
but...
∫
∫ udv = uv −
therefore ....
udv
vdu
classic example ∫ x · ex · dx
∫
∫ x · ex · dx =
∫
but...
∫ udv = uv −
therefore ....
udv
∫ x · ex · dx =
vdu
classic example ∫ x · ln(x) · dx
classic example ∫ x · ln(x) · dx
classic example ∫ x · ln(x) · dx
∫
∫ x · ln(x) · dx =
but...
udv
classic example ∫ x · ln(x) · dx
∫
∫ x · ln(x) · dx =
but...
∫
∫ udv = uv −
therefore ....
udv
vdu
classic example ∫ x · ln(x) · dx
∫
∫ x · ln(x) · dx = ∫
but...
∫ udv = uv −
therefore ....
udv
∫ x · ln(x) · dx =
vdu
classic example ∫ ln(x) · dx
classic example ∫ ln(x) · dx
classic example ∫ ln(x) · dx
∫
∫ ln(x) · dx =
but...
udv
classic example ∫ ln(x) · dx
∫
∫ ln(x) · dx =
but...
∫
∫ udv = uv −
therefore ....
udv
vdu
classic example ∫ ln(x) · dx
∫
∫ ln(x) · dx =
∫
but...
∫ udv = uv −
therefore ....
udv
∫ ln(x) · dx =
vdu
classic example ∫ x · cos(x) · dx
classic example ∫ x · cos(x) · dx
classic example ∫ x · cos(x) · dx
∫
∫ x · cos(x) · dx =
but...
udv
classic example ∫ x · cos(x) · dx
∫
∫ x · cos(x) · dx =
but...
∫
∫ udv = uv −
therefore ....
udv
vdu
classic example ∫ x · cos(x) · dx
∫
∫ x · cos(x) · dx = ∫
but...
∫ udv = uv −
therefore ....
udv
∫ x · cos(x) · dx =
vdu
classic example (boomerang) ∫ ex · sin(x) · dx
classic example (boomerang) ∫ ex · sin(x) · dx
classic example ∫ arctan(x) · dx
classic example ∫ arctan(x) · dx
classic example ∫ x3 arctan(x) · dx
classic example ∫ x3 arctan(x) · dx
classic example ∫ sec3 (x) · dx
classic example ∫ sec3 (x) · dx
classic example [by parts] ∫ x7
√
5 + 3x4 · dx
classic example [by parts] ∫ x7
√
5 + 3x4 · dx
classic example [crazy u-sub] ∫ sec(x) · dx
classic example [crazy u-sub] ∫ sec(x) · dx
classic example ∫ x cos(x) sin(x) · dx
classic example ∫ x cos(x) sin(x) · dx
classic example ∫ x cos(x) sin(x) · dx
classic example ∫ x cos(x) sin(x) · dx
classic example [by weirestrass] ∫
1 · dx 1 + sin x
classic example [by weirestrass] ∫
1 · dx 1 + sin x
classic example [by weirestrass] ∫
1 · dx sin(x) + tan(x)
classic example [by weirestrass] ∫
1 · dx sin(x) + tan(x)
classic example [by weirestrass need PFD] ∫ sec(x) · dx
classic example [by weirestrass need PFD] ∫ sec(x) · dx
