b

xx xx. Se igualan las ecuaciones y se resuelve la ecuación resultante. 10. 4. 14. = ⇒. -. = y y. Se reemplaza el valor o
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Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 2 – Segundo Trimestre Potenciación de polinomios

 a  b

Para resolver la potencia de un monomio se deben aplicar las propiedades de la potenciación. a)

 3x 

2 2

 32 x 2  9 x 2

b)

 2x    2   x  2 3

3

2 3

 8x6

c)

 3x 

3 4

n

 a n  bn

 34   x3   81x12 4

Cuadrado de un binomio El cuadrado de un binomio es un trinomio que se llama trinomio cuadrado perfecto.

 a  b    a  b    a  b   a 2  a  b  b  a  b2 2  a  b   a2  2ab  b2 2

b)

 x  2   x 2  2 x  2  22  x 2  4 x  4 2 2 2  3x  5  3x   2  3x   5   5  9 x2  30 x  25

c)

 2x

a)

2

2

 x    2 x 2   2   2 x 2   x  x 2  4 x 4  4 x3  x 2 2

2

Cubo de un binomio El cubo de un binomio es un cuatrinomio que se llama cuatrinomio cubo perfecto. El desarrollo del volumen de un cubo de arista a  b es el siguiente:

 a  b   a3  3a2b  3ab2  b3 3  5  x   53  3  5  x2  3  5  x2  x3  125  75x  15x2  x3 3

División de polinomios Para dividir dos monomios deben dividirse los coeficientes y las x n : x m  x n m variables entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación a) 4 x3 :  2 x   4 :  2    x3 : x   2 x 2 c) 12 x7 :  3x 4   12 :  3   x7 : x 4   4 x3

3 b) 3x 4 : 2 x 2  3: 2   x 4 : x 2    x 2 2

1 d)  x9 :  3x5   1:  3   x9 : x5   x 4 3

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 2 – Segundo Trimestre Para dividir un polinomio por un monomio se aplica la a  b  c : d  a : d  b : d  c : d propiedad distributiva de la división respecto de la suma y resta; luego se dividen lo monomios en cada uno de los términos. 15x4 12x3  6x2  9x  :  3x   15x4 :  3x  12 x3 :  3x   6 x2 :  3x   9 x :  3x   5x3  4 x2  2 x  3

Para dividir dos polinomios: El polinomio dividendo debe tener mayor o igual grado que el divisor. El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado. El polinomio divisor debe estar ordenado.

Regla de Ruffini. Teorema del resto La Regla de Ruffini es un método práctico para dividir un polinomio P  x  por otro cuya forma sea xa Dados: P  x   2 x3  5x 2  x  5 y Q  x   x  2 Hallar P  x  : Q  x  , aplicando la regla de Ruffini.

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Teorema del resto El resto de la división de un polinomio por otro de la forma x  a , es el valor que resulta de reemplazar la variable del dividendo por el valor opuesto al término independiente del divisor. a) Dados: P  x   2 x3  5x 2  x  5 y

b) Dados: P  x   x 2  2 x  3 y Q  x   x  3

Q  x  x  2

El resto de la división P  x  : Q  x  , es:

El resto de la división P  x  : Q  x  , se obtiene:

P  3  32  2  3  3

P  2   2  2   5  2    2   5

Si el resto es 0 (cero): P  x  es divisible

3

2

P  2   16  20  2  5  1 El resto de la división es 1

P  3  9  6  3  0 por Q  x 

Funciones La matemática nos brinda las herramientas para entender otras ramas de la ciencia. Nos permite analizar variables económicas, físicas, biológicas, etc. En este caso, las funciones facilitan el análisis de las relaciones entre variables y la interpretación de situaciones.

Interpretación de gráficos Un gráfico cartesiano es un sistema de ejes en el cual están representados los valores de las variables relacionadas. Un sistema de ejes cartesianos está determinado por dos rectas perpendiculares: la horizontal representa al eje de las abscisas, designada con la letras “x” y la vertical, el eje de las ordenadas, con la letra “y”. En cada eje se representan los valores de cada una de las variables: en el eje horizontal, la variable independiente y en el vertical la variable dependiente. Las escalas utilizadas en cada eje pueden ser distintas, pero siempre respetando en cada uno de ellos la unidad elegida.

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x; y   20;100 Cada punto en el gráfico corresponde a un par ordenado (x ; y), en el cual la primera componente corresponde a la variable independiente y la segunda a la variable dependiente. Interpretar un gráfico es analizar los cambios de la variable dependiente en relación con los de la variable independiente.

El gráfico muestra la variación de la temperatura ambiente entre las 9:00 y las 16:00 de un día del mes de Septiembre. Del análisis del gráfico se obtienen las siguientes conclusiones: La temperatura a las 9:00 era de 17º C, la cual aumentó con el transcurso del tiempo, hasta llegar a 21º C a las 12:00; luego de mantenerse constante durante 1 h, disminuyo 1º C la siguiente hora y se mantuvo constante nuevamente durante las siguientes 2 h. La temperatura a las 16:00 era de 20º C. El análisis del gráfico nos permite observar los cambios en la temperatura ambiente en relación al tiempo transcurrido. Concepto de función Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la variable independiente le corresponde siempre un único valor de la variable dependiente. En el gráfico, la relación representada es una función, ya que para todos los valores de x que pertenecen al intervalo [-9 ; 8], siempre existe un único valor de y perteneciente al intervalo [-3 ; 9]. Los intervalos antes mencionados son conjuntos de valores de cada una de las variables que intervienen en la función; dichos intervalos determinan el dominio y el codominio de la función.

Dominio de la función: D f   9;8

Codominio de la función: C f   3;9

Una función es un conjunto de pares ordenados (x ; y), f  8;9,  9;3, 0;5,  4;0,...; cada para ordenado indica las valores de abscisa y ordenada de cada uno de los puntos de la función. A las funciones se las puede representar de diferentes maneras: mediante una tabla, un gráfico, un diagrama de Venn y en algunos casos también mediante una fórmula.

Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Función afín Docente responsable: Fernando Aso

La función tiene infinitos puntos; en la tabla y en el diagrama de Venn solo se representa algunos de ellos. Función afín Florencia todos los días para ir al trabajo toma un taxi. El taxista le cobra $ 1,20 por el solo hecho de llevarla (bajada de bandera) y $0,40 por cuadra recorrida. Entre las magnitudes relacionadas, cantidad de cuadras y dinero ($), existe una función que asigna a la cantidad de cuadras recorridas una cantidad de dinero, más un predio fijo por la bajada de bandera. Si se recorren 10 cuadras, el costo es: 10  $0,40  $1,20  $5,20 . Al recorrer “x” cuadras, el costo del viaje se expresa mediante la siguiente fórmula: y  0,40  x  1,20

Una función afín es aquella cuya representación gráfica es una recta. La fórmula general de una función afín es: y  a  x  b , donde a y b son números reales, llamados pendiente y ordenada al origen, respectivamente. La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al eje y. Ejemplos:

Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Función afín Docente responsable: Fernando Aso Representación de una función afín dada su pendiente y ordenada al orígen. Ecuación explícita de la recta: y  a x  b  ordenada al origen 

pendiente La representación gráfica de una función afín es una recta.  La pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente y  y la variación de la variable independiente x  de cualquier punto de la misma. y  y1 y a 2  x2  x1 x  La ordenada al origen es el valor donde la recta corta al eje y. f 0  b

El valor de la pendiente determina que una función afín sea creciente, constante o decreciente.

A las funciones afines que pasan por el origen de coordenadas 0;0 , se las denomina funciones lineales. Representación gráfica de una función afín. Para graficar una función afín se debe marcar la ordenada al origen b  y, a partir de ella, representar el par de valores que forman la pendiente a  pensada como una fracción.

Función cuadrática La siguiente tabla y gráfico representan la superficie de un cuadrado en función de la longitud del lado del mismo.

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La fórmula que permite calcular la superficie de cada cuadrado, en función de la longitud del lado, está dada por la expresión: y  x 2 . La variable x aparece elevada al cuadrado. Este tipo de expresiones son funciones cuadráticas y la gráfica de la misma se denomina parábola. La fórmula general de una función cuadrática está dada por la expresión: y  ax 2  bx  c , donde a , b y c son números reales, con a  0

Sistemas de Ecuaciones La suma de las edades de Ximena y Yamila es de 24 años, y Ximena tiene 4 años más que Yamila. Para resolver el siguiente problema, hay que plantear dos ecuaciones con dos incógnitas cada una. La ecuación que se plantea a partir de la primera condición es: x  y  24 Donde “x” representa la edad de Ximena e “y” la edad de Yamila. La segunda condición expresada en lenguaje simbólico es: x  y4 Dos ecuaciones con dos incógnitas cada una representan un sistema de ecuaciones.  x  y  24  x  y  4 Cada una de las ecuaciones de un sistema tienen infinitas soluciones que verifican a cada una de ellas.

Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar el conjunto de pares x; y  que tienen en común ambas ecuaciones. Un sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas cada una, representa dos rectas en el plano, y resolverlo es hallar la intersección de ambas (conjunto de soluciones.

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 2 – Segundo Trimestre En general se escribe: ax  by  c  dx  ey  f donde x e y son las incógnitas, y a, b, c, d, e, f son coeficientes (números reales) Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones

Se grafican ambas ecuaciones despejando en cada una de ellas las incógnita “y”.  x  y  24  y  24  x  x  y  4  y  x  4 Ambas funciones son afines. Las dos funciones se grafican en un mismo sistema de ejes y el punto en que se cortan las rectas es la solución de este sistema. Si las rectas son paralelas, no se cortan, y el sistema no tiene solución. El punto 14;10 representa el par x; y  que verifica las dos condiciones enunciadas, es decir: x  14 e y  10 . Por lo tanto, Ximena tiene 14 años y Yamila 10.

Verificación:  x  y  24  14  10  24   x  y  4  14  10  4

Los dos valores deben verificar ambas ecuaciones simultáneamente.

Resolución analítica Hay varios métodos analíticos para hallar la solución de un sistema de ecuaciones; dos de ellos son: Método de igualación

 x  y  24  y  24  x  x  y  4  y  x  4

Se despeja la misma incógnita de ambas ecuaciones.

24  x  x  4  x  x  4  24  2 x  28

x  28 :  2 

Se igualan las ecuaciones y se resuelve la ecuación resultante.

x  14 y  14  4  y  10

Se reemplaza el valor obtenido en la primera incógnita despejada.

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 “Dr. Carlos Juan Rodríguez” Matemática 3º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 2 – Segundo Trimestre Método de sustitución

 x  y  24  y  24  x  x  y  4

Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

x  24  x  4 x  x  24  4 2 x  28

Se reemplaza el valor en la otra ecuación y se resuelve.

x  28 : 2 x  14 y  24  14  y  10

Se reemplaza el valor obtenido en la primera incógnita despejada.