Nivelaci´on en Matem´atica 2010
5.
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Funci´ on cuadr´ atica y ecuaci´ on de segundo grado
5.1.
Funciones cuadr´ aticas
Definici´on: Una funci´on cuadr´atica es una funci´on f : R → R definida por la f´ormula f (x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son n´ umeros reales y a 6= 0. Esta expresi´on de la funci´on cuadr´atica es llamada forma polin´omica.
1. a) Determine cu´al de las siguientes funciones es una funci´on cuadr´atica. √ 2 2 i) f (x) = −(πx + 5) ii) f (x) = − 2 x +5 iii) f (x) = −3x(x + 1) √ 2 iv) f (x) = 2 x + x v) f (x) = x − x(x + 1) vi) f (x) = x−2 + x x3 − x2 vii) f (x) = x b) Para los casos en que la expresi´on define una funci´on cuadr´atica, determine anal´ıticamente si el gr´afico de dicha funci´on pasa por el punto A = (0, 5). 2. a) Halle la expresi´on de una funci´on cuadr´atica tal que su gr´afico pase por los puntos A = (0, 3), B = (−1, 2) y C = (1, 0). b) ¿Existe alguna funci´on cuadr´atica f tal que f (0) = 1, f (3) = 4 y f (5) = 6? Justifique.
El gr´afico de una funci´on cuadr´atica es una par´abola con eje de simetr´ıa vertical. La ecuaci´on can´onica de una par´abola de v´ertice V = (h, k) es y = a(x − h)2 + k. El signo de a indica la concavidad de la par´abola: hacia arriba, si a > 0 y hacia abajo si a < 0, seg´ un se observa en la Figura 11.
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Figura 11: Concavidad
Para hallar la ecuaci´on can´onica de la par´abola, gr´afico de la funci´on f (x) = ax2 + bx + c, se procede de la siguiente manera: • Sacamos factor com´ un a en la expresi´on de la funci´on f (x) = a(x2 + ab x + ac ) • Multiplicamos y dividimos por 2 al t´ermino lineal b x + ac ) f (x) = a(x2 + 2 2a
• Sumamos y restamos el cuadrado de
b 2a
b b 2 b 2 f (x) = a(x2 + 2 2a x + ( 2a ) − ( 2a ) + ac )
• Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma de la siguiente manera b b 2 b 2 f (x) = a[x2 + 2 2a x + ( 2a ) ] − a( 2a ) + a ac
• Observamos que la expresi´on cuadr´atica que aparece dentro del corchete es el cuadrado de un binomio f (x) = a(x +
b 2 ) 2a
+c−
b 2 ) 2a
−
b2 . 4a
Tambi´en puede escribirse de la forma f (x) = a(x +
b2 −4ac . 4a
Este procedimiento se conoce como “completamiento de cuadrados” y permite hallar las coordenadas del v´ertice:
2 b V = − 2a , − b −4ac . 4a
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3. Considere la funci´on cuadr´atica f (x) = −x2 + x + 2. a) Sabiendo que el gr´afico de f (x) es una par´abola, halle las coordenadas del v´ertice de esa par´abola, mediante completamiento de cuadrados. b) Trace el gr´afico de f . c) Indique el dominio y la imagen de f . d) Determine el valor m´aximo o m´ınimo de f , seg´ un corresponda y el valor de x donde alcanza dicho m´aximo o m´ınimo. e) Sin ayuda del gr´afico de f , halle un punto que pertenezca y otro que no pertenezca a ese gr´afico.
El problema de hallar los puntos de intersecci´on del gr´afico de f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0 con el eje x, conduce a la necesidad de resolver la ecuaci´on cuadr´atica ax2 + bx + c = 0.
(3)
(¿Puede decir por qu´e esto es as´ı? ) Es decir, debemos hallar, si existen, las ra´ıces de la ecuaci´on (3). Recordemos que llamamos discriminante de la ecuaci´on a ∆ = b2 − 4ac . El s´ımbolo ∆ se lee “delta”. Se tiene entonces que, si: a) ∆ > 0 ⇒la ecuaci´on tiene dos ra´ıces reales distintas x1 =
−b +
√ b2 − 4ac 2a
y
x2 =
−b −
b) ∆ = 0 ⇒la ecuaci´on tiene una ra´ız real doble x1 = x2 =
√ b2 − 4ac . 2a
−b . 2a
c) ∆ < 0 ⇒la ecuaci´on no tiene ra´ıces reales. Por lo tanto, en el primer caso, el gr´afico de f (x) = ax2 + bx + c intersecta al eje x en ´nico punto dos puntos P1 = (x1 , 0) y P2 = (x2, 0). En el segundo caso, el gr´afico corta en un u ´ltimo de los casos, el gr´afico no corta al eje x. Observe la Figura 12 (con P (x1, 0), y en el u a > 0). Por otra parte, si la par´abola intersecta al eje x, su ecuaci´on puede escribirse de la forma: y = a(x − x1)(x − x2) si x1 6= x2
o
y = a(x − x1)2 si x1 = x2 .
De ah´ı que, en este caso, la funci´on cuadr´atica se puede representar de tres maneras distintas: polin´ omica f (x) = ax2 + bx + c
can´ onica f (x) = a(x − h)2 + k
factorizada f(x) = a(x − x1 )(x − x2 )
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Figura 12: Discriminante
4. Dadas las funciones cuadr´aticas b∗ )y = − 16 x2 − 16 x + 2
a) y = x2 + 4x
c)y = x2 − 9x + 9
i) Transf´ormelas en expresiones de la forma f (x) = a(x − h)2 + k. ii) Halle las intersecciones del gr´afico con los ejes coordenados. iii) Represente las par´abolas correspondientes. iv) Halle anal´ıticamente el conjunto A = {x ∈ R : f (x) ≥ 0}. Ejemplo b). i) 1 1 1 1 1 1 1 y = − x2 − x + 2 = − (x2 + x − 12) = − (x2 + 2 · x + − − 12) 6 6 6 6 2 4 4 1 1 1 1 1 49 49 = − (x + )2 − (− ) = − (x + )2 + 6 2 6 4 6 2 24 . ii) El gr´afico corta al eje x en los puntos en los cuales y = 0. Por lo tanto debemos resolver la ecuaci´on y = f (x) = 0 siguiente: 1 1 − x2 − x + 2 = 0 ⇔ x2 + x − 12 = 0, 6 6 cuyas soluciones son: x1,2 =
−1 ±
p √ 12 − 4 · 1 · (−12) −1 ± 49 −1 ± 7 = = 2·1 2 2
Por lo tanto x1 = 3 y x2 = −4, de donde se deduce que la par´abola corta al eje x en los puntos (3, 0) y (−4, 0). El gr´afico corta al eje y en los puntos en los cuales x = 0, es decir debemos calcular:
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1 1 y = f (0) = − · 02 − · 0 + 2 = 2. 6 6 Por lo tanto, la par´abola corta al eje y en el punto (0, 2). iii) El gr´afico de la funci´on es el que se muestra en la Figura 13.
Figura 13: iv) Debemos resolver la inecuaci´on y = f (x) ≥ 0: 1 1 y = − (x2 + x − 12) = − (x − 3)(x + 4) ≥ 0 ⇒ (x − 3)(x + 4) ≤ 0. 6 6 Es decir, se debe cumplir una de las dos situaciones siguientes: 1. x − 3 ≤ 0 y x + 4 ≥ 0 ⇒ x ≤ 3 y x ≥ −4 ⇒ x ∈ [−4, 3]. 2. x − 3 ≥ 0 y x + 4 ≤ 0 ⇒ x ≥ 3 y x ≤ −4, lo cual no es posible. Por lo tanto se verifica que el conjunto pedido es A = [−4, 3]. 5. Encuentre una funci´on cuadr´atica que tenga a x1 = 2 y x2 = 3 como ceros y cuyo gr´afico pase por el punto A = (0, 10). 6. Halle una funci´on cuyo gr´afico sea una par´abola de eje de simetr´ıa vertical con v´ertice en el punto B = (1, −2) y que pase por C = (4, 16). 7. ¿Cu´anto debe valer b para que la par´abola de ecuaci´on y = x2 + bx + 3 tenga v´ertice en el punto E = (2, −1)? 8. Se desplaza el v´ertice de la par´abola de ecuaci´on y = x2 hacia el punto F = (2, −3). Escriba la ecuaci´on de la nueva par´abola y la ecuaci´on de su eje de simetr´ıa. Grafique. 9. A partir de los datos que figuran en la siguiente tabla, complete los cuadros en blanco en los casos en que sea posible, y, de tratarse de una funci´on cuadr´atica, esboce el gr´afico de la par´abola correspondiente:
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Forma Forma Polin´omica Can´onica y = x2 + 1 y = −(x − 1)2 + 3 y = (x − 1)2 + k
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Pto.∩ eje y
Ptos. ∩ eje x
V´ertice
Imagen
Concav.
[2, +∞) P = (−3, 0)
V = (h, 2)
10. Halle, en cada caso, si es posible, la ecuaci´on de la funci´on cuadr´atica utilizando como datos los puntos remarcados en los gr´aficos a), b) y c).
a) b)
c)
