INTRODUCCION A LA MATEMATICA 2018 - UNRN - TEVI - LOGARITMOS (extraído de Red Maestros de Maestros - Prof. Javier Olivares Alfaro) 1.DEFINICIÓN Y PARTES DE UN LOGARITMO: Se dice que: un logaritmo en base “a” de “b” es igual a “c” si y solo si “a” elevado a la potencia “c” es igual a “b”. Matemáticamente: loga (b)  c  a c  b Por tanto, todo número positivo, N puede expresarse mediante potencia de base 10, es decir, encontrar un número p  IN tal que N  10 p. Además, p  log(N ), también se escribe: p  log10 ( N ) Un logaritmo consta de una base que puede ser cualquier número Real. Cuando esta base se omite se sobreentiende que es diez, es decir:

log(N )  log10 ( N ) ,

Ejemplo: halla el logaritmo de 100 000 y de 0,01.

100.000  105  log(100.000)  5. 0,01  102  log(0,01)  2. Cuando hablamos de un logaritmo “neperiano”, nos referimos a aquél cuya base es el “número de euler”: e, es decir: loge ( N ) También se le llama logaritmo natural. Pero al ser un logaritmo especial, en vez de representarse por log e se representa de la siguiente forma:

ln(x)

2.PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS: A la hora de efectuar operaciones con expresiones logarítmicas, debemos tener en cuenta que los cálculos recurren a las siguientes propiedades:

loga (n  p)  loga (n)  loga ( p). n loga    loga (n)  loga ( p).  p loga (n p )  p. loga (n). loga (a)  1 loga (1)  0 3.PRACTICO (resolveré siempre sin calculadora y sin tantear) I.- Calcula el valor de x en las siguientes expresiones aplicando definición y propiedades, sin tantear: 1) log2 x =3

2) log6 x =3

5) log5 x = 0

6) log 3

x2

2

a) log 2 (1)  x  3

b) log1/ 3 (27)  x

e) log x (5)  1 / 2

f ) log x (9 / 4)  2

i) log5 ( x)  2

l ) log5 (125)  x  2

3) log2 x =4 7) log1

x  1

2

4) log4 x= 1 8) log 5

x3

2

c) log 4 (1 / 64)  x

d ) logx (1 / 27)  3

g ) log5 ( x)  3

h) log1 / 2 ( x)  5

k ) logx2 (16)  4

j ) log2 ( x  2)  1

INTRODUCCION A LA MATEMATICA 2018 - UNRN - TEVI - LOGARITMOS (extraído de Red Maestros de Maestros - Prof. Javier Olivares Alfaro) II.- Aplicando las propiedades de los logaritmos, resuelve los siguientes ejercicios sin tantear: a) logb (b) + loga (a) = d)

logb bc  logb (bc) 

b) logc (1) +logb (bn )+logd (dn )= e) 3 logp (p4 )=

g) loga(ac) +logp (p3 )+ logb (b) – loga (C) =

h)

c)logb (1) · loga (a) = f)log a (a3 )+logb (b5 )=

logb 3 b  logc 4 c 

i)log (10)= j) log (100)= k) log (1000)= l) log (10000)= m) log (108 )= n) log (0,1)= ñ) log (0,01)=

o) log (0,001)=

p) log (0,0001)=

III,- Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrolla las siguientes expresiones. a) log (2ab)=

b) log

3a = 4

c) log

2a 2  3

d) log (a5 b4)=

2  ab 2 4

5a b c 3a 3 b  j) log i) log = 2 xy c

x g) log  h) log(2a b )  2y

f) log ab 

e) log

IV.- Aplicando las propiedades de los logaritmos, reduce a la mínima expresión a) log (a) +log (b) + log (c) = b) log (x) – log (y) =

c) 2 log (x) + 3 log (y)

1 1 d) log x  log y  e) log (a) – log (x) – log (y) = f)log (p) + log (q) – log ( r) – log (s)= 2 2 1 1 g) log (2) + log (3) +log (4) = h) log  log16  log  i) log (a2 )+ log (b) – log (a)= 2 4 V- Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando propiedades y definicion. a) log (x) + log (x+2) = log 3

b) log (x+5) = log (3x – 8)

c) log (x+3) + log (7) = log (x-3)

d) log (2) + log (x+3) = log (7)

Ecuaciones exponenciales. Resolver aplicando propiedades, sin tantear

a ) 32x 1 

1 27

a ) 23x 2 

1 8

a)33 X  243 a ) 33x  2 

1 81

a) 2x+1 – 2x–3 + 2x = 23

b ) 3x 2  2  3x  3x 2  64

b) 5x 1  10  5x 2  2  5x  825

49

b)6 2 x1  216 b)

c)51 X  125 2