FINAL REGULAR DE MATEMATICA 2 (A.T.H.)- 19/02/2014 APELLIDO y NOMBRES:

DOCUMENTO:

1) Resolver el siguiente problema usando progresiones: La población de una ciudad aumenta a razón del 9 % anual. a) Si en el año 2010 había 15000 habitantes ¿cuál será la población en el 2020? b) Suponiendo que la población sigue creciendo al mismo ritmo, ¿en qué año la población será diez veces la que había en el 2010? c) ¿De qué tipo de progresión se trata? 2) a) Una función de utilidad está dada por la expresión U = f ( x, y ) = 10 x + 27 y + 4 xy donde x e y son las cantidades de los artículos. Si la restricción presupuestaria es 2 x + 3 y = 18 , hallar las cantidades que maximizan la utilidad, y el valor de esa utilidad máxima. b) Graficar la recta balance e indicar un par de puntos sobre la recta, por debajo y por encima de la misma, explicando el significado económico en cada caso. c) Escribir las expresiones explícita y segmentaria de la recta balance. 3) Dado el siguiente problema, resolverlo gráfica y/o analíticamente.:

Maximizar

Z = 250 x1 + 400 x2

sujeta a :  x1 + x2 ≤ 150  0,25 x1 + 0,5 x2 ≤ 13  x ≤ 125  1 4) Suponga que una función de producción está dada por: P ( K , L) =

KL donde K es el capital y L 2 K + 3L

representa la fuerza de trabajo. a) Determinar las funciones de productividad marginal. b) Demostrar que cuando K = L la suma de las productividades marginales es 1/5. 5) Dado el siguiente problema: Un fabricante produce tres artículos A, B y C. Por cada unidad vendida gana 1$ por A, 2$ por B y 3$ por C. Los costos fijos son 17000$ por año, y los costos de producción por cada unidad son 4$, 5$ y 7$ respectivamente. En el año 2013 se fabricaron y vendieron un total de 11000 unidades entre los tres productos, obteniendo 25000$ de ingresos. Si el costo total fue de 80000$, ¿cuántas unidades de cada producto fabricaron en el año 2013? a) Plantear el sistema de ecuaciones correspondiente. b) Resolverlo mediante el método de Gauss. c) ¿Es un sistema de Cramer? ¿Por qué? 6) 6.1) a) Dé la definición de matriz inversa. b) ¿Qué relación hay entre matrices inversas y determinantes de una matriz? Ejemplifique. c) Enumere todos los métodos que conoce para hallar la matriz inversa. Elija uno de ellos y ejemplifíquelo con una matriz de 2x2. 6.2) Explique todos los pasos a seguir para obtener los extremos libres (no condicionados) de una función de dos variables reales, indicando qué tipos de extremos puede haber. 6.3) Enunciar cinco propiedades del determinante de una matriz, y ejemplificarlas en matrices de orden 2.