MAGNITUDES ESCALARES Son aquellas en donde las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Masa Temperatura Presión Densidad
Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas. Por ejemplo, si decimos que un hombre tiene una temperatura de 38 ºC, sabemos perfectamente que tiene fiebre y si una chica mide 165 cm de altura y su masa es de 35 kg, está claro que es sumamente delgada.
MAGNITUDES VECTORIALES Son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. aplicación. fuerza
velocidad
desplazamiento
Si nos dicen que un hombre corría a 20 km/h apenas sabemos algo más que al principio. Deberían informarnos también desde dónde corría y hacia qué lugar se dirigía.
VECTOR Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee las siguientes características: Origen También denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
VECTOR Módulo Dirección Punto de aplicación
Sentido
SUMA DE VECTORES Dados dos vectores, estos pueden ser sumados mediante una operación llamada suma de vectores. vectores. Aunque recibe el mismo nombre que la suma de números, se trata de una operación distinta. distinta. La adición de vectores suma vectores y produce como resultado un vector. vector.
MÉTODOS GRÁFICOS PARA LA SUMA DE VECTORES Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo Consiste en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo,
MÉTODO DE LA POLIGONAL Se emplea cuando se desean sumar dos o más vectores a la vez. vez. En el extremo del primer vector se sitúa el punto de aplicación del segundo, sobre el extremo del segundo vector se coloca el punto de aplicación del tercero y así hasta terminar de dibujar todos los vectores. vectores. El vector resultante es el que se obtiene al unir el punto de aplicación del primero con el extremo del último
SUMA DE VECTORES - PROPIEDADES Como toda operación, la adición de vectores tiene ciertas propiedades Conmutativa Asociativa Existe elemento neutro Existe elemento opuesto
Propiedad Conmutativa
+ = + =
Propiedad Asociativa
+
+
+ + = + +
Elemento Neutro Existe el elemento neutro, el vector ,, cuyo punto de aplicación y punto final coinciden, coinciden, por lo que su módulo vale 0.
+0=
Elemento Opuesto
−
Dado un vector existe su elemento opuesto (−), de igual intensidad y dirección, pero sentido opuesto, de forma que al sumarlos se obtiene el vector 0
+ − = 0
MÉTODOS ANALÍTICOS PARA LA SUMA DE VECTORES
PARA PODER APLICAR EL MÉTODO DE COMPONENTES DEBEMOS PRIMERAMENTE REPASAR COMO DESCOMPONER UN VECTOR.
Descomposición de una fuerza en componentes Al igual que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula se pueden sustituir por una única fuerza. También una única fuerza puede ser sustituida por dos o más fuerzas que actuando conjuntamente produzcan el mismo efecto que la primera.
DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES COMPONENTES RECTANGULARES
VECTORES UNITARIOS Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es: tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí; y corresponden a cada uno de los ejes del sistema de referencia. referencia.
REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR UTILIZANDO VECTORES UNITARIOS Un Vector , puede ser reemplazado por su representación con vectores unitarios, donde sería su componente en el eje x, su componente en el eje y, y finalmente, su representación en el eje z.
= ̂ + ̂ +
y
=
̂
̂
̂
̂
x
+
SUMA DE VECTORES
y
Dados dos o más vectores = ̂ + ̂ = ̂ + ̂ Entonces
̂
̂
̂
= + = + ̂ + + ̂
̂
x
Para los tres vectores de la figura: a) Encuentre las componentes rectangulares b) Sume los tres vectores
EJEMPLO 1
A = 10 N 25º B = 15 N
46º 30º
C = 12 N
EJEMPLO 2 Un auto recorre 20 km al norte y después 35 km en una dirección 60º al oeste del norte. Determine la magnitud y dirección de la resultante del desplazamiento del auto.
DESPLAZAMIENTO - RECORRIDO
OTRAS OPERACIONES CON VECTORES
PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALAR Definición Dados dos vectores y ,, el producto punto o producto escalar se define como el producto de la magnitud de ,, por la magnitud y y el coseno del ángulo que va en magnitud sentido antihorario del primero al segundo vector.
= ̂ + ̂ +
= ̂ + ̂ +
∙ = cos ,
"
Puede demostrarse fácilmente que:
∙ = + +
SIGNIFICADO DEL PRODUCTO ESCALAR
APLICACIÓN PRODUCTO PUNTO
Ángulo entre dos vectores
∙ cos , = =
+
+ +
+
+
+
Proyección de un vector sobre otro ∙ Proyección de sobre = =
+ +
+
+
Criterio de Perpendicularidad de dos vectores
⊥ ⇔ ∙ = 0 ⇔ + + = 0
EJEMPLO 3 1- Hallar el producto escalar de con , donde
= 4 ̂ + 7 ̂ + 6
= 3 ̂ + 4 ̂ + 2
Determinar el ángulo entre ambos vectores 2- Determinar el ángulo entre los siguientes vectores
3 = 2 ̂ + 3 ̂ − 5
5 = 7 ̂ − 8 ̂ − 2
PRODUCTO VECTORIAL O CRUZ Definición: es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican.
= ̂ + ̂ + = ̂ + ̂ +
= 7 = − ̂ + − ̂ + − Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.
REGLA DE LA MANO DERECHA Si pones el dedo pulgar de tu mano derecha apuntando en el mismo sentido que el vector 3 y el dedo índice en el mismo sentido que el vector 5, entonces el sentido del producto vectorial 3 7 5 lo da el dedo mayor de tu mano derecha cuando éste se estira de manera que esté perpendicular a los otros dos dedos.
REGLA DEL TORNILLO O ROSCA DERECHA
̂ 7 ̂ = − ̂ 7 ̂ =
̂ 7 = − 7 ̂ = ̂
7 ̂ = − ̂ 7 = ̂
̂ 7 ̂ = ̂ 7 ̂ = 7 = 0
El producto vectorial de dos vectores paralelos es cero.
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Definición: Dado un escalar y un vector , el producto es un vector con la misma dirección de , y con sentido y módulo determinado por .
= ̂ + ̂ + = ̂ + ̂ +
8 > 1
0 < < 1
8 9 9 < 0
SOLUCIÓN: EJEMPLO 1 a)
Encuentre las componentes rectangulares Suponiendo que el eje horizontal es el eje x y desde éste se miden en sentido antihorario los ángulos, los vectores quedan determinados por su magnitud y dirección como:
= 10 =, 25° = 15 =, 270° − 30° = 15 =, 240° = 12 =, 270° + 46° = 12 =, 316° Las magnitudes de sus componentes serán:
= 10 = cos 25° = 9.06 =
= 10 = sen 25° = 4.23 =
= 15 = cos 240° = −0.75 = = 15 = sen 240° = −12.99 = = 12 = cos 316° = 8.63 =
= 12 = sen 316° = −8.34 =
El signo en la magnitud de la componente indica la dirección según el correspondiente eje.
SOLUCIÓN b) Sume los tres vectores A = + +
Que también puede escribirse
A , A = , + , + , = + + , + +
A , A = 9.06= + −0.75= + 8.63=, 4.23= + −12.99= + −8.34=
A , A = 16.94 =, −17.10 = Para calcular la magnitud de este vector usamos Pitágoras
A =
Y su dirección es:
16.94 =
+ −17.10 =
= 24.07 =
−17.10 = 314°44´ B = arc tg = −45°16´ = G 134°44´ 16.94 =
Entonces puedo escribir el vector resultante como o
A = A , A = 16.94 =, −17.10 = A = 24.07 =, 314°44´
Me quedo con el primero por ser un ángulo del cuarto cuadrante
SOLUCIÓN: EJEMPLO 2 Los vectores desplazamiento son:
= 0 H, 20 H = 35 H, 90° + 60° = 35 H, 150° Las magnitudes de las componentes de son:
= 35 H cos 150° = −30.31 H
= 35 H sen 150° = 17.50 H
El desplazamiento resultante es:
A = +
A , A = , + , = −30.31 H, 37.50 H
La magnitud del desplazamiento es:
A =
Para obtener la dirección:
−30.31 H
+ 37.50 H
37.50 H 308°57´ = −51°3´ = G B = arc tg 128°57´ −30.31 H
Teniendo en cuenta el dibujo, entonces:
I = 38°57´
= 48.22 H
Me quedo con el segundo por ser un vector del segundo cuadrante
SOLUCIÓN: EJEMPLO 3 1- Con
= 4 ̂ + 7 ̂ + 6
= 3 ̂ + 4 ̂ + 2
∙ = + + = 12 + 28 + 12 = 52 Para calcular el ángulo necesito los módulos de cada vector
=
4 + 7 + 6 = 101
∙ 52 cos , = = = 0.96 101 29 2- Ahora los vectores son:
3 + 4 + 2 = 29
=
B = arc cos 0.96 = 16°5´
3 = 2 ̂ + 3 ̂ − 5
5 = 7 ̂ − 8 ̂ − 2
3 ∙ 5 = 14 − 24 + 10 = 0 Si el producto escalar es cero, entonces los vectores son perpendiculares entre sí.
