U10 - Mecánica de fluidos

Principio de Arquímedes. Tensión superficial. Capilaridad. Fluidos en movimiento. Ecuación de continuidad. Flujo estacio
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Autor: Ocean. Virginia Sepúlveda Física I - Fac. Ciencias Naturales - Sede Trelew

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Unidad 10: Mecánica de los fluidos Fluidos. La mecánica de los fluidos ideales. Presión. Variación de la presión en un fluido en reposo. Principio de Pascal. Principio de Arquímedes. Tensión superficial. Capilaridad. Fluidos en movimiento. Ecuación de continuidad. Flujo estacionario. Ecuación de Bernoulli. La medida de la presión sanguínea. El papel de la gravedad en la circulación. El efecto Magnus. El vuelo de las aves y leyes de escala. Flujo de fluido viscoso. Flujo del sistema circulatorio. Ley de Poiseuille. Flujo laminar. Número de Reynolds. Fuerzas de arrastre. Fuerzas de arrastre a alta velocidad. Centrifugación.

La mecánica de fluidos se utiliza ampliamente en actividades cotidianas. Las instalaciones domésticas presentan una galería panorámica de aplicaciones: las instalaciones de agua y gas están diseñadas en base a la mecánica de fluidos, al igual que los sistemas de calefacción y acondicionamiento de aire. Lo mismo ocurre con el equipamiento que se utiliza para facilitar ciertas tareas domésticas rutinarias, desde una simple canilla hasta una aspiradora o un pulverizador. Además, la mecánica de fluidos cumple un papel vital en el cuerpo humano y otros organismos vivos. Comienza con el flujo de agua a través de los poros de la membrana celular y las corrientes de citoplasma en los vegetales. El corazón bombea constantemente sangre a todas partes del cuerpo a través de las arterias y venas, y los pulmones son las regiones de flujo de aire en direcciones alternadas. La biomecánica del movimiento está asociada con flujo de agua y aire alrededor de los animales, en la natación y el vuelo. También podemos mencionar que los corazones artificiales, las máquinas de respiración y los sistemas de diálisis están diseñados a partir de los principios de la mecánica de fluidos. Fluidos en reposo La materia se presenta ante nuestros ojos y en la experiencia cotidiana en tres fases: sólida, líquida y gaseosa. Sólidos y líquidos tienen ciertas propiedades en común: son relativamente incompresibles y su densidad permanece relativamente constante al cambiar la temperatura (cuando se mantiene constante la presión). Los gases son fácilmente compresibles, y su densidad cambia con la temperatura, si mantenemos constante la presión. Desde otro enfoque, los gases y líquidos se designan "fluidos" (del latín fluere: fluir). La característica común es que adoptan la forma del recipiente contenedor. Las diferencias entre un líquido y un sólido, dependen de las fuerzas que se ejerzan entre sus moléculas. Las fuerzas entre las moléculas de un sólido son intensas, semejantes a las de un resorte, por esto pueden generar una fuerza de reacción que se oponga a una fuerza aplicada en cualquier dirección. En los líquidos, las fuerzas moleculares son relativamente débiles, no tienen el orden de largo alcance que imprime estabilidad a los sólidos. En los gases, las fuerzas intermoleculares son extremadamente débiles y la distancia promedio entre las moléculas es mayor que en los líquidos o en los sólidos.

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Debido a la gran cantidad de partículas que actúan en un líquido y a la dificultad para especificar todas las fuerzas entre ellas, los métodos de la mecánica clásica son de escasa utilidad. Es preferible usar leyes que se basan en el comportamiento estadístico de las partículas o que incluyen propiedades promedio o volumétricas, como presión, densidad y temperatura. Presión Debido a su capacidad de fluir, un fluido no puede sostener una fuerza paralela a su superficie. En condiciones estáticas, el único componente de fuerza que es preciso considerar, es aquel que actúa normal (perpendicular) sobre una superficie de un fluido. Se define presión a la magnitud de la fuerza normal por unidad de superficie. La presión es una magnitud escalar, no tiene propiedades direccionales. Cuando nadamos, el agua presiona nuestro cuerpo desde todas direcciones. Esta fuerza ejercida por el fluido sobre su entorno se debe al movimiento y los choques de las moléculas con su entorno. r r ∆F = p ⋅ ∆A r r Los vectores ∆F y ∆A son paralelos. Así, podemos escribir la presión en función de la relación escalar ∆F p= ∆A N m2 La presión atmosférica sobre la tierra a nivel del mar es 1 atmósfera = 1,01325. 105 Pa. Es frecuente encontrar la medida de la presión expresada en otras unidades que se relacionan entre sí: 1 atm = 760 mm Hg = 760 torr = 29,9 pulgHg = 33,9 pieH2O = 101,325 kPa = 14,7 lb/pulg2

Unidad de presión en el SI: Pascal (Pa)

1Pa =

El Pa es una unidad pequeña. En los mapas meteorológicos se utilizan comúnmente el hPa, el bar y el milibar. La relación entre ellos es: 1 bar = 103 milibares = 100 kPa La presión arterial normal en el ser humano es 1,6 . 104 Pa, equivalente a la hipertensión sistólica correspondiente a 120 mm de Hg en el medidor de presión del médico. Variaciones de la presión con la profundidad en un fluido estático ¿Qué valor tienen la fuerza y torca netas si un fluido está en equilibrio? Consideremos los efectos de la fuerza gravitatoria de la tierra en la variación vertical de la presión en un fluido. Analicemos un volumen elemental de fluido, de peso dFt, sumergido dentro del mismo fluido que se encuentra a una distancia y arriba del nivel de referencia. El elemento en cuestión tiene un espesor dy y sus caras tienen una superficie A. La masa del elemento es

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dm = ρdv = ρdy ⋅ A

Por lo tanto su peso dFt = dm ⋅ g = ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ dy

Las fuerzas ejercidas por el fluido circundante sobre el elemento, son perpendiculares a su superficie en todos sus puntos. La fuerza horizontal resultante es cero, ya que el elemento no tiene aceleración horizontal. Tampoco hay aceleración vertical.

∑F

y

= p ⋅ A − ( p + dp ) ⋅ A − ρgAdy = 0

p representa la presión en el nivel y p + dp representa la presión en el nivel y + dy dp Obtenemos: = −ρ ⋅ g dy El signo menos indica que al aumentar la elevación con respecto al nivel de referencia situado en el fondo, disminuye la presión. Si p1 es la presión a la altura y1 y p 2 la presión a la altura y 2 sobre el nivel de referencia: p2

y2

p1

y1

∫ dp = − ∫ ρgdy

ó también

p 2 − p1 = − ρg ( y 2 − y1 ) Se consideran ρ y g constantes en un fluido homogéneo. Si suponemos y1 en cualquier nivel del fluido y llamamos p a la presión en ese sitio: p 0 − p = − ρg ( y 2 − y1 ) y 2 − y1 es la profundidad debajo de la superficie, donde la presión es p , así que p = p 0 + ρgh Presión estática en fluidos incompresibles La expresión anterior se conoce como Teorema fundamental de la hidrostática.

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En un líquido homogéneo incompresible la presión aumenta con la profundidad, y a la misma profundidad la presión es igual en todos sus puntos. Si consideramos los puntos A y B en el líquido homogéneo contenido en un tubo en U, la diferencia de presión pB − p A = ρg ( y2 − y1 ) Si el tubo contiene varios líquidos inmiscibles, la presión puede ser diferente en el mismo nivel, en diversos lados. Debajo de la línea CC, el líquido está en equilibrio, por lo tanto la fuerza ejercida por la columna izquierda arriba de C, debe ser igual a la ejercida por la columna derecha arriba de C. La presión de C es igual a ambos lados, pero disminuye menos de C a A que de C a B, porque el líquido de la izquierda es menos denso que el de la derecha. Por lo tanto, la presión en A es mayor que en B.

Principio o ley de Pascal Si la presión p 0 sobre la superficie del líquido se aumenta en ∆p , la presión en un punto arbitrario a una distancia h de la superficie, también aumenta en ∆p . Este efecto se denomina efecto de Pascal: "La presión aplicada a un fluido estático incompresible y encerrado, se transmite íntegramente a todas partes del fluido." Las sillas de los dentistas, el gato hidráulico, los ascensores hidráulicos y los frenos hidráulicos, son dispositivos que ilustran la aplicación de este principio. En la figura se observa que sobre la izquierda se ejerce una fuerza F1 con un pistón de área pequeña A1 . F La presión aplicada p = 1 se transmite a través del A1 conector a un pistón mayor de área A2 . La presión F aplicada en ambas ramas es la misma: p = 2 A2 F F A Entonces p = 1 = 2 ⇒ F2 = 2 ⋅ F1 A1 A2 A1 El factor multiplicador de la fuerza es el cociente de las áreas de los pistones. Principio de Arquímedes - Flotación ¿Por qué hay cuerpos que flotan en un líquido y otros no lo hacen? ¿Por qué los cuerpos parecen pesar menos en el agua que en el aire? Si un cuerpo es menos denso que el fluido, entonces flotará.

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Si usamos los principios de la mecánica para analizar lo que sucede, podemos pensar en un volumen de fluido en el seno del mismo, en un recipiente, que está en reposo (equilibrio traslacional y rotacional). Si este volumen v de fluido es sustituido por un cuerpo de igual forma y tamaño, ¿qué sucederá? Las fuerzas que el fluido ejercía sobre el líquido desalojado son las mismas que ejerce sobre el objeto. La fuerza aplicada por el fluido que limita al objeto, debe ser igual al peso del fluido desalojado y debe estar dirigida hacia arriba, pasando a través del centro de gravedad del fluido desalojado. Como el peso del fluido desalojado es igual a la masa de éste m = ρ ⋅ v por la aceleración de la gravedad, la fuerza de empuje tendrá módulo

r FE = ρgv

ρ es la densidad del fluido desalojado y v su volumen. El principio de Arquímedes dice: "Un cuerpo que está parcial o totalmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por una fuerza de módulo igual al peso del fluido desalojado." (No necesariamente coincidirá con el c.g. del cuerpo). Un cuerpo cuya densidad es menor que la de un líquido, puede flotar parcialmente sumergido en la superficie libre del fluido. Cuanto mayor es la densidad del líquido, menor será la porción sumergida del cuerpo. El plomo ( ρ =11,4) flota en mercurio ( ρ =13,6). En resumen: Sobre un cuerpo sumergido actúan dos fuerzas: su peso, hacia abajo P = ρ c ⋅ g ⋅ Vc y el empuje, hacia arriba E = ρ liq ⋅ g ⋅ Vliq . Puede ocurrir: E〈 P ρ liq 〈 ρ c El cuerpo se hunde en el fondo E = P ρliq = ρ c El cuerpo flota entre dos aguas E 〉 P ρ liq 〉 ρ c El cuerpo flota en la superficie

De interés para estudiantes de Ciencias Naturales Vejiga natatoria Los peces poseen una vejiga natatoria bajo su espina dorsal. Esta cavidad de paredes delgadas se llena con una mezcla de oxígeno y nitrógeno obtenida de la sangre. Variando la cantidad de gas de la cavidad, puede variarse el volumen del pez sin modificar su masa, lo que le permite ajustar su densidad. Para flotar suspendido en el agua ha de ajustar su densidad hasta igualar a la del agua ambiente.

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Tensión superficial Algunos insectos pueden caminar sobre el agua, deprimiendo la superficie sin penetrarla. El efecto de las fuerzas intermoleculares es de tirar las moléculas hacia el interior de la superficie de un liquido, manteniéndolas unidas y formando una superficie lisa. La tensión superficial mide las fuerzas internas que hay que vencer para poder expandir el área superficial de un líquido. La energía necesaria para crear una mueva área superficial, trasladando las moléculas de la masa liquida a la superficie de la misma, es lo que se llama tensión superficial. A mayor tensión superficial, mayor es la energía necesaria para transformar las moléculas interiores del líquido a moléculas superficiales. Las moléculas del líquido ejercen fuerzas de atracción entre sí; la fuerza neta sobre una molécula dentro del volumen del líquido es cero, pero cualquier molécula de la superficie es atraída hacia el volumen. En general, los líquidos tienden a reducir su área superficial (minimizar). Las gotas en caída libre son esferitas, ya que es el área menor para un volumen dado de cualquier otra forma. El agua tiene una alta tensión superficial, por los puentes de hidrogeno. ¿Cómo se mide la tensión superficial? Se dobla un alambre en U y se coloca otro que se desliza por el primero. Se sumerge en solución jabonosa y se saca, creando una película líquida que ejerce una fuerza de tensión superficial sobre el deslizador que tira de él hacia la parte superior de la U invertida (el peso w del deslizador es mínimo). Si tiramos del deslizador, aumenta el área de la película, algunas moléculas pertenecientes al volumen pasan a las capas superficiales, en consecuencia se crea más superficie. El equilibrio del deslizador se logra con r r r F = w+T r Como la película tiene dos superficies, F actúa sobre 2l . r r F F La tensión superficial γ en la película es γ = donde d = 2l ⇒ γ = d 2l Es la relación entre la fuerza de tensión y la longitud d a lo largo de la cual actúa. dyn N mN = 10 −3 =1 cm m m La tensión superficial de un líquido suele disminuir con el aumento de la temperatura.

Unidad de tensión superficial en el SI: 1

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¿Cómo se comportan las burbujas?

La tensión superficial causa diferencia de presión entre el interior y el exterior de una burbuja de jabón o una gota de líquido. La burbuja tiene dos películas superficiales esféricas con una capa delgada de líquido entre ellas. A causa de la tensión superficial, las películas tienden a contraerse tratando de minimizar su área superficial, pero al contraerse la burbuja comprime el aire interior, aumentando la presión interior hasta un nivel que impide mayor contracción. La fuerza de tensión superficial para cada superficie de la semiesfera es γ ⋅ 2π , para un total 2γ ⋅ 2π , pensando la esfera como dos mitades unidas. La presión de aire empuja hacia abajo y hacia fuera sobre la mitad inferior de la burbuja, pero la fuerza resultante debida a esa presión es sólo hacia abajo; su magnitud es la presión por el área del círculo donde se unen 2 mitades. Para que la suma de estas fuerzas sea cero: 4γ 2γ ⋅ (2πR ) = p ⋅ πR 2 ⇒ p = R Como fuera de la burbuja la presión, en general, no es cero: 2γ p − pa = (gota de líquido) R

( )

A menor radio, R〉 ∆p , esto es, se requiere una presión alta para hacer pasar agua por aberturas pequeñas, ya que el agua debe formar gotitas de radio R pequeño. Capilaridad Un aspecto interesante relacionado con la tensión superficial es la capilaridad. Cuando dentro de un recipiente lleno de un líquido, por ejemplo agua, se coloca un tubo delgado de vidrio, se puede observar que el fluido asciende por el tubo hasta una altura determinada. Esto es, el fluido asciende por capilaridad. Este fenómeno se produce como consecuencia de la relación entre dos fuerzas: la fuerza de cohesión entre las moléculas del líquido y la fuerza de adhesión entre el líquido y el sólido. A causa de la tensión superficial, una interfase gas-líquido en contacto con la pared de un recipiente, se curva hacia arriba o hacia abajo. El ángulo θ con que la interfase toca la superficie, se

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denomina ángulo de contacto. Si las moléculas del líquido se atraen entre sí con menor fuerza que al sólido (fuerza cohesiva menor que la fuerza adhesiva), el líquido moja la superficie, la interfase se curva hacia arriba y θ < 90º. (agua-vidrio) La altura h del tubo a la que llega el agua es aquella en la que la fuerza debida a la tensión superficial iguala en magnitud al peso de la columna de agua, es decir γ 2πr = πr 2 hρg donde γ es la tensión superficial y r el radio del tubo. Cuanto mayor sea la tensión superficial, mayor será el ascenso capilar, y cuanto mayor sea el radio del tubo, menor es el ascenso capilar. El agua sube por las paredes de vidrio gracias a la tensión superficial que actúa en los dos lados con un ángulo de contacto hasta que la componente vertical iguala al peso. La componente vertical está dada por Fy = 2γ ⋅ l cos θ El peso del fluido de densidad ρ entre las placas es P = ρ ⋅ g ⋅V = ρ ⋅ l ⋅ h ⋅ d ⋅ g con V = lhd siendo h la altura media del agua entre las placas. Si la tensión superficial iguala al peso, estamos en una situación de equilibrio y se cumple 2 ⋅ γ ⋅ cos θ ρ ⋅d ⋅g Si las moléculas de líquido se atraen entre sí con mayor fuerza que al sólido (fuerza cohesiva mayor que la fuerza adhesiva), el líquido no moja, la interfase se curva hacia abajo y θ > 90º. (mercuriovidrio) La superficie curva de líquido se llama menisco. Por capilaridad las toallas de papel absorben agua, la cera fundida sube por el pabilo de la vela, la sangre fluye por vasos sanguíneos pequeños llamados capilares. 2γ ⋅ l cos θ = ρ ⋅ l ⋅ h ⋅ d ⋅ g

siendo h =

De interés para estudiantes de Ciencias Naturales Presión negativa Un fenómeno relacionado con la tensión superficial es el de presión negativa. El esfuerzo en un líquido normalmente es compresivo, pero en algunas circunstancias los líquidos pueden estar sometidos a esfuerzos de tensión. En los árboles, las presiones negativas son algo común. La savia consiste en agua y productos de la fotosíntesis que incluyen azúcar. El hecho de que la savia pueda llegar a la copa de una secuoya, de 60 m o más de altura, representó por mucho tiempo un enigma. Ni la presión osmótica ni la acción capilar pueden explicar este fenómeno. Las presiones negativas debidas a las fuerzas de cohesión en el agua parecen proporcionar una respuesta. La presión ejercida por la fuerza de atracción entre las moléculas se denomina presión negativa. Se cree que la presión negativa es un mecanismo importante para el transporte de agua y nutrientes desde la raíz a las hojas en los pequeños tubos de xilema (diámetro aproximado 0,1 mm), o en las capas de crecimiento del árbol, responsable del ascenso de la savia hasta las copas de los árboles.

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Fluidos en movimiento La Física del movimiento de los fluidos, es de gran importancia para entender diversos fenómenos, por ejemplo el vuelo de los pájaros, los insectos y los aviones por el aire, el flujo sanguíneo a través de los vasos del sistema circulatorio o la circulación del aire atmosférico. Aunque los principios fundamentales de la dinámica de los fluidos son precisamente las leyes de Newton del movimiento, los modelos matemáticos que describen cómo rigen estas leyes el comportamiento de un fluido en movimiento, son en general muy complejos. Una de las diferencias entre un fluido en movimiento y un fluido en reposo, es que un fluido en movimiento ejerce una fuerza paralela a una superficie, cosa que no hace un fluido en reposo. Para estudiar el comportamiento de un fluido en movimiento se lo divide en elementos volumétricos infinitesimales (partículas de fluido) y aplicando la mecánica de partículas se encuentran las posiciones y velocidades de cada partícula como f(t). Esta generalización constituye el método de Lagrange. Su dificultad se debe a la gran cantidad de partículas presentes en un fluido, ¿cómo estudiar la historia de cada una? Un método más adecuado fue ideado por Euler. Consiste en determinar la densidad y la velocidad de todos los puntos del espacio en cada instante, esto es r ρ ( x, y, z, t ) y v ( x, y, z , t ) en el punto (x,y,z) en el momento t. La presión es una magnitud que describe el estado de un líquido, y tendrá un valor bien definido en cada punto del espacio, en cada momento. Como las leyes de la mecánica se aplican a las partículas y no a los puntos del espacio, se puede seguir a estos elementos durante breves intervalos dt. ¿Cuáles son las características del flujo de un fluido? 1- Un flujo puede ser estacionario o no estacionario. Cuando las características del fluido son constantes en el tiempo, el flujo es estacionario en un punto determinado. Un flujo no estacionario se presenta en la subida de marea, donde las velocidades son función del tiempo. Los rápidos o cascadas representan flujos turbulentos. 2- Un flujo puede ser compresible o incompresible. Cuando la densidad ρ de un fluido es constante, independiente de x,y,z y t, el flujo es incompresible. En general, los líquidos fluyen de manera incompresible. En el caso de los gases, aún cuando sean muy compresibles, la variación de densidad puede ser insignificante y en la práctica se los puede considerar incompresibles. Por ejemplo en el vuelo a velocidades subsónicas, el flujo del aire sobre las alas es casi incompresible. 3- el flujo de un fluido puede ser viscoso o no viscoso. La viscosidad en el movimiento de fluidos es el equivalente de la fricción en el movimiento de los sólidos: la energía cinética asociada al flujo puede ser transformada en energía interna por fuerzas viscosas. Cuanto mayor sea la viscosidad, se necesitará mayor fuerza interna o presión para conservar el flujo. La viscosidad depende de la temperatura. Cuando el efecto de la viscosidad puede considerarse insignificante, se toma el flujo como no viscoso. 4- Un flujo puede ser rotacional o irrotacional. Si al colocar un elemento en una corriente que fluye, al moverse éste con la corriente, gira alrededor de un eje que pasa por su centro de masa, se está en

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presencia de un flujo rotacional. Caso contrario es irrotacional. Al quitar el tapón de la pileta se produce un vórtice, pero tiene flujo irrotacional. Los siguientes análisis se harán sobre fluidos ideales, considerando así a aquellos que son estacionarios, incompresibles, no viscosos e irrotacionales. Líneas de corriente y la ecuación de continuidad Una línea de corriente es una curva cuya tangente en cualquier punto tiene la dirección de la velocidad del fluido en ese punto. Todas las partículas de fluido que pasen por P, Q y R, tendrán la misma r trayectoria, y en general, la magnitud del vector velocidad v en la partícula cambia al desplazarse en la línea de corriente. Dos líneas de corriente no pueden cruzarse, si lo hicieran, la partícula que llega podría seguir una dirección u otra. Entonces el flujo no sería estacionario. En un flujo estacionario, el patrón de las líneas de corriente no cambia con el tiempo. Un haz de líneas de corriente forma un tubo de flujo. Para estudiar el flujo de fluido por el tubo de flujo, es de gran utilidad la ecuación de continuidad. Consideremos un tubo de flujo con área de sección transversal variable. El flujo entra en 1 donde la sección transversal es A1 y sale en 2 donde el área es A2. r r Suponemos que la velocidad en 1 es v1 y en 2 v 2 En un intervalo temporal dt un elemento cubre r aproximadamente la distancia v dt Así, el fluido que cruza A1 en dt tiene volumen r dv ≅ A1v1dt . Si su densidad en ese lugar es ρ1, su masa dm1 = ρ 1 ⋅ dv1 que atraviesa A1 es r aproximadamente dm1 = ρ 1 ⋅ A1 ⋅ v1 ⋅ dt Consecuentemente el flujo de masa que se define como la masa del flujo por unidad de tiempo que cruza una sección transversal, será aproximadamente dm1 r r = ρ1 ⋅ A1 ⋅ v1 en 1 (con dt suficientemente pequeño para que no varíe v ni A) dt dm 2 r Un análisis semejante determina que = ρ 2 ⋅ A2 ⋅ v 2 en 2 dt A lo largo del tubo de flujo, no hay fuentes ni sumideros por donde entre o salga fluido, sólo entra en 1 y sale en 2. Como el flujo es estacionario, la densidad es constante. En esas condiciones, la masa del fluido por unidad de tiempo que entra al tubo en 1 es la misma que sale en 2. r r ρ 1 ⋅ A1 ⋅ v 1 = ρ 2 ⋅ A 2 ⋅ v 2 r En términos generales, ρ ⋅ A ⋅ v = ctte en cualquier lugar del tubo de flujo. Este resultado expresa la ley de conservación de la masa en la dinámica de fluidos. Si suponemos flujo incompresible ρ1 = ρ2

r r A1 ⋅ v1 = A2 ⋅ v 2

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r También se puede definir el flujo de volumen o caudal Qv = A ⋅ v = ctte Unidad de caudal en el SI: m3/s

Se puede observar que la rapidez en un flujo incompresible estacionario varía intensamente con la superficie transversal, siendo mayor en las partes más estrechas del tubo. Un análisis gráfico interesante Las líneas de corriente se compactan cuando el tubo se estrecha. Al disminuir la separación entre ellas, aumenta la rapidez del flujo. Por lo tanto las líneas muy espaciadas indican regiones de rapidez relativamente baja y las poco espaciadas indican regiones de rapidez relativamente alta. Al aplicar la 2º ley de Newton al movimiento de flujo entre 1 y 2, una partícula con r rapidez v1 se acelera hacia delante y adquiere la r r velocidad v 2 〉 v1 . Esta aceleración se debe a una fuerza ejercida en la dirección 1-2, que se interpreta como un cambio de presión dentro del fluido, suponiendo que no actúan fuerzas externas. Para generar esta fuerza, la presión debe ser mayor en 1 que en 2. Así las regiones de mayor velocidad del fluido se asocian a presión más baja. La ecuación de Bernoulli Tanto la rapidez como la presión del flujo de un fluido pueden variar a lo largo de su trayectoria. La ecuación de Bernoulli es un modelo teórico que relaciona la presión, la rapidez de flujo y la altura para un fluido ideal. Aplicamos el teorema del trabajo y la energía al elemento de fluido que inicialmente está entre las secciones transversales 1 y 1'. Las velocidades en los extremos inferior y superior r r son v1 y v 2 . En un tiempo dt el fluido que está en la sección 1 se mueve a la sección 1' una distancia r r dx1 = v1 dt , y el fluido que está en 2 se mueve a 2' una distancia dx 2 = v 2 dt . Las áreas de las secciones transversales en los dos extremos son A1 y A2. Como el fluido es incompresible, el volumen de fluido que pasa por cualquier sección transversal durante dt es el mismo: dV = A1 ⋅ dx1 = A2 ⋅ dx 2 ¿Qué trabajo se efectuó sobre el elemento en dt? Las presiones son p1 y p2 en los extremos. La fuerza en 1 es p1 ⋅ A1 y en 2 es p 2 ⋅ A2 dWneto = p1 ⋅ A1 dx1 − p 2 ⋅ A2 dx 2 = ( p1 − p 2 )dV El signo negativo del segundo término se debe a que la fuerza en 2 se opone al desplazamiento del fluido. El trabajo dW se debe a fuerzas distintas de la fuerza

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de gravedad (conservativa), así que es igual al cambio de energía asociada con el elemento de fluido. (La energía para el fluido entre 1' y 2 no cambia). Al principio r2 1 de dt, el fluido entre 1 y 1' tiene volumen A1 dx1 , masa ρ1 A1 dx1 y k = ρ ( A1 dx1 )v1 2 Al final de dt, el fluido entre 2 y 2' tiene k=

r 1 ρ ( A2 dx 2 )v 2 2 2

El cambio neto de energía cinética en dt es dk =

(

r r 1 ρdV v 2 2 − v1 2 2

)

¿Cómo cambia la energía potencial gravitatoria? Inicialmente, U para la masa que está entre 1 y 1' es

U = dm ⋅ g ⋅ y1 = ρ ⋅ dV ⋅ g ⋅ y1 Al final, para la masa entre 2 y 2'

U = dm ⋅ g ⋅ y 2 = ρ ⋅ dV ⋅ g ⋅ y 2 dU = ρ ⋅ dV ⋅ g ( y 2 − y1 ) De la combinación de las ecuaciones de trabajo W, energía cinética k y energía potencial U, obtenemos dW = dk + dU

( p1 − p 2 )dV

=

r r 1 ρ ⋅ dV (v 2 − v1 ) + ρ ⋅ dV ⋅ g ( y 2 − y1 ) 2

La ecuación de Bernoulli dice que el trabajo efectuado por el fluido circundante sobre un volumen unitario de fluido es igual a la suma de los cambios de energías cinética y potencial por unidad de volumen que ocurren durante el flujo. En términos de presiones

p1 + ρ ⋅ g ⋅ y1 +

r r 1 1 ρ ⋅ v1 2 = p 2 + ρ ⋅ g ⋅ y 2 + ρ ⋅ v 2 2 2 2

El primer término sumado al segundo se denomina comúnmente presión hidrostática. El tercer término, está asociado al cambio de rapidez del fluido y es la presión dinámica. El efecto Magnus ¿Cómo se explica el fenómeno por el cual un jugador de fútbol puede marcar un gol directo desde la esquina de campo?

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r Al patear la pelota, el jugador le aplica una velocidad angular de rotación ω sobre un eje, de tal forma que si r es el radio de la pelota, la velocidad en la parte r r r superior (1) es v1 = v + ω ⋅ r , mientras que la velocidad en la parte inferior (2) es r r r v2 = v − ω ⋅ r . Esto se explica porque en 1 la dirección de la rotación va en el r r sentido del movimiento, mientras que en 2 va en sentido contrario. Así, v1 〉 v 2 y la ecuación de Bernoulli indica que la presión en 2 es mayor que en 1 (h1 = h2), por lo tanto se da sobre el balón una fuerza en la dirección transversal al movimiento.

Flujo de fluido viscoso Viscosidad: es la fricción interna en un fluido, se asemeja a la fricción en el movimiento de los cuerpos sólidos. Si consideramos un fluido entre dos placas r paralelas, y aplicamos una fuerza F a la placa superior, de manera que se mueva con r velocidad v constante relativa a la placa inferior, en reposo, esta fuerza se opone a la fuerza viscosa de resistencia al avance en la placa superior, para mantener constante su velocidad. Pensemos ahora que el flujo está dividido en capas paralelas a las placas. La viscosidad actúa entre todas las capas adyacentes de fluido. La rapidez de las placas se diferencia en dv respecto de las que están debajo. El flujo de fluido donde la rapidez varía por capas, se denomina flujo laminar. r La fuerza externa F que debe ejercerse para crear un flujo laminar en el fluido, es directamente proporcional a la superficie A de la placa, a mayor área más viscosa la resistencia al avance y mayor es la fuerza que debe ejercerse. Esta fuerza es directamente proporcional al cambio de velocidad dv que ocurre en las capas de espesor dy. r r dv Entonces F∝A dy Al introducir una constante de proporcionalidad η (eta), llamada coeficiente de viscosidad o viscosidad r r dv F =η ⋅ A dy Unidad de η en el SI: N. s/m2 Su equivalente se llama poise: dina . s/cm2

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Poiseuille fue el primer investigador del flujo de los fluidos viscosos, para comprender mejor la circulación sanguínea. 1 poise = 0,1 N. s/m2 La viscosidad depende de la temperatura del fluido. Por ejemplo: Sustancia Aceite de motor Glicerina Sangre Agua Agua

Temperatura ºC 0 20 20 37 20 90

Viscosidad N . s/m2 0,11 0,03 1,5 4,0 . 10-3 1,0 . 10-3 0,32 . 10-3

r dv Para las placas rectangulares, el gradiente de velocidad es una constante en dy todas las capas. r dv v = (con D = espaciamiento entre las placas) Cuando dy D r r v F =η ⋅ A⋅ D

La ley de Poiseuille

dm ρ ⋅ π ⋅ R 4 ⋅ ∆p = dt 8 ⋅η ⋅ L En la figura se puede observar el flujo de un fluido a través de una tubería de radio r y longitud l. La velocidad varía desde cero, para el fluido en r contacto con la tubería, a vm , para el flujo del centro de la tubería. Si conocemos el coeficiente de viscosidad de un fluido, podemos determinar la diferencia de presión que debe producir un agente externo para sostener determinado flujo de masa por un tubo. Análogamente, si impulsamos un fluido a través de un tubo cuya diferencia de presión se conoce, midiendo el flujo de masa nos permite determinar su coeficiente de viscosidad. El modelo de Poiseuille permite por ejemplo, mejorar el diseño de agujas hipodérmicas. El diámetro de la aguja es mucho más importante que la presión del pulgar, para determinar la razón de flujo de la aguja. Duplicar el diámetro de la aguja tiene el mismo efecto que aumentar 16 veces la fuerza del pulgar. El flujo de sangre en las arterias y venas se puede controlar en un intervalo amplio mediante cambios de diámetro relativamente pequeños, un mecanismo de control de temperatura importante en los animales de sangre caliente. Un pequeño estrechamiento de las arterias debido a arteriosclerosis puede elevar la presión arterial y forzar el músculo cardíaco.

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Una aplicación interesante: la ley de Stokes r La fuerza ejercida sobre una esfera de radio R que se mueve con rapidez v a través de un fluido con viscosidad η, se expresa por la relación r r F = 6 ⋅ π ⋅ η ⋅ r ⋅ v (si el flujo es laminar) Es una fuerza proporcional a la velocidad.

Buscamos una expresión para la rapidez terminal vt de una esfera que cae en un fluido viscoso, en función de su radio r, la densidad de la esfera ρ y la viscosidad del fluido η, suponiendo flujo laminar y aplicando la ley de Stokes. ρ = densidad de la esfera ρ' = densidad del fluido

r 4 W (peso de la esfera) = π ⋅ r 3 ⋅ ρ ⋅ g 3 r 4 E (empuje) = π ⋅ r 3 ⋅ ρ '⋅ g 3 r r r r 4 r 4 F = E ∑ y + F − W = 3 ⋅ π ⋅ r 3 ⋅ ρ '⋅g + 6π ⋅ η ⋅ r ⋅ vt − 3 π ⋅ r 3 ⋅ ρ ⋅ g = 0 r Despejamos vt r 4 6π ⋅ η ⋅ r ⋅ vt = π ⋅ r 3 ⋅ g ( ρ − ρ ') 3

r 2 g ⋅r2 vt = ( ρ − ρ ') 9 η Con esta ecuación podemos medir la viscosidad de un fluido ó, si la conocemos, determinar el radio de la esfera (tamaño de partículas pequeñas), midiendo su velocidad terminal. Sobre este principio, Millikan midió la carga del electrón en su célebre experimento. Una gotita de agua de 10-5m de radio en el aire tiene una rapidez terminal de 1 cm/s. La fuerza de la ley de Stokes es lo que mantiene las nubes en el aire. La ley de Stokes deja de ser válida cuando las velocidades son más altas y el flujo puede ser turbulento. La sangre tiene una viscosidad que varía debido a la orientación de los glóbulos rojos. La ley de Poiseuille no es válida para este fluido, pero es una buena aproximación. El número de Reynolds Cuando la velocidad del flujo de un fluido es grande, se rompe el flujo laminar y aparece la turbulencia. La velocidad crítica por encima de la cual el flujo resulta turbulento, depende de la densidad, la viscosidad y el radio del tubo. El flujo de un fluido puede caracterizarse mediante un número adimensional: el número de Reynolds

Autor: Ocean. Virginia Sepúlveda Física I - Fac. Ciencias Naturales - Sede Trelew

R=

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r 2r ⋅ ρ ⋅ v

η

Si R ≤ 2000 el flujo es laminar Si R ≥ 3000 el flujo es turbulento Los valores intermedios indican condiciones inestables. ¿Cómo podemos averiguar si el flujo en la instalación hidráulica de una casa es o no turbulento? Supongamos que tenemos una manguera de 2 cm de diámetro en el jardín y que la velocidad de salida del agua es 1m/s. Vc =

2000 ⋅ 1 ⋅ 10 −3 N ⋅ s / m 2 = 10 −1 m / s = 10cm / s 10 3 kg / m 3 ⋅ 0,02m

De interés para estudiantes de Ciencias Naturales La medida de la presión sanguínea La porción superior del brazo de un ser humano se halla aproximadamente al mismo nivel que el corazón, por esto, los valores de presión tomados son aproximados a los del corazón. El uso del esfigmomanómetro se basa en que el flujo de sangre en las arterias no es siempre estacionario. El procedimiento consiste en medir con un manómetro o un indicador de presión, la presión manométrica de un brazalete arrollado alrededor del brazo. Al principio, la presión del brazalete se aumenta hasta que la arteria humeral queda totalmente cerrada. La presión del brazalete se reduce entonces lentamente, mientras se utiliza un estetoscopio para escuchar los ruidos de la arteria humeral por debajo de la parte aprisionada por el brazalete. Cuando la presión llega a un valor ligeramente inferior a la presión sistólica (máxima) producida por el corazón, la arteria se abrirá brevemente. Como sólo está parcialmente abierta, la velocidad de la sangre es elevada y el flujo es turbulento y ruidoso. El ruido resultante se oye como una especie de latido. Cuando se sigue bajando la presión del brazalete, la arteria permanece abierta durante períodos más prolongados del ciclo cardíaco, pero se halla aún cerrada en la parte de presión diastólica (mínima). Por consiguiente, se oyen sonidos, pero éstos están interrumpidos por períodos de silencio. Cuando la presión del brazalete llega a la presión diastólica, la arteria permanece abierta durante todo el ciclo del corazón. A esta presión, el flujo es todavía turbulento y ruidoso (particularmente en la presión diastólica), pero ahora el sonido es continuo. Las presiones sanguíneas se expresan habitualmente como razones de presiones sistólica/diastólica. Los datos típicos para un adulto sano en reposo, son aproximadamente 120/80 en torr. Y 16/11 en kPa. La frontera para la alta presión

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sanguínea (hipertensión) se define generalmente como 140/90 en torr y 19/12 en kPa. Las presiones por encima de este nivel requieren atención médica, porque una alta presión sanguínea prolongada puede causar lesiones en el corazón o en otros órganos antes de que una persona se dé cuenta de este problema. El vuelo de las aves y las leyes de escala Los modelos de escala permiten hacer un análisis del fenómeno de despegue y aterrizaje de gran variedad de aves. Suponemos que el volumen o el peso de de un ave varía con el cubo de su longitud característica. El área A de la sección transversal de un ala varía como l2, entonces la fuerza de r2 r A ⋅ CL ⋅ ρ ⋅ v sustentación FL = , varía como A ⋅ v 2 o bien como l 2 ⋅ v 2 . En el vuelo a 2 r altura constante, FL debe ser igual al peso del ave, w ∝ l 3 . Igualando estas relaciones 1

l 2 ⋅ v 2 ∝ l 3 o bien v ∝ l 2

Esto explica que un ave de gran tamaño tiene una velocidad de vuelo mínima mayor que la de una pequeña. Un ave pequeña puede saltar hacia el aire y alcanzar su velocidad de vuelo con uno o dos aleteos. Un ave grande adquiere velocidad corriendo por el suelo o por encima de la superficie del agua o lanzándose desde una posición elevada. Comparemos dos aves de tamaños muy diferentes. La velocidad mínima de un vencejo es aproximadamente 21 km/h. Un avestruz tiene una longitud característica unas 25 veces superior a la del vencejo, de modo que a partir de 1 2

v ∝ l , se desprende que su velocidad mínima de vuelo es 25 = 5 veces la del vencejo, es decir 105 km/h. Podemos comprender que el avestruz no pueda volar. Actualmente, el animal volador de mayor envergadura de alas es el albatros de 3,3 m. En la época de los dinosaurios existieron reptiles voladores (pterosaurios) todavía mayores. El mayor descubierto hasta ahora, tenía una envergadura de 15,5 m. Se supone que estas descomunales criaturas no podían despegar a no ser que escalaran acantilados y se lanzaran al aire desde ellos. La posibilidad de mantenerse en el aire dependía de su habilidad en localizar corrientes ascendentes de aire.