Distribución Poisson Ejercicio Si una central telefónica recibe en promedio 4 llamadas por hora, calcular las siguientes probabilidades: A) Que en una hora se reciba una llamada B) Que en una hora se reciban tres llamadas C) Que en una hora se reciba, al menos, una llamada D) Que en una hora se reciban, como mucho, 4 llamadas E) Si la frecuencia que recibe las llamadas es relativamente constante, es decir, se mantiene constante el promedio de llamadas recibidas por hora, calcular la probabilidad que en dos horas se reciban exactamente 9 llamadas. Resolución: Sea X: cantidad de llamadas recibidas por hora Identificación de distribución Poisson: o La variable aleatoria X posee un valor medio definido para un intervalo, en este caso, una hora. o No posee límite superior la variable aleatoria X. o el lamda para los acápites a) – d) es de 4 llamadas por hora Fórmula de la distribución POISSON

f ( x) = P ( X = x) =

λ x e −λ x!

Donde:

λ = es una constante positiva y representa el Nº de éxitos en un intervalo específico. x = el número de ocurrencias buscado A) Que en una hora se reciban tres llamadas

41 e − 4 f (1) = P ( X = 1) = = 4 e − 4 = 0 , 073263 1! B) Que en una hora se reciba una llamada

4 3 e −4 f ( 3 ) = P ( X = 3) = = 0 ,195367 3! C) Que en una hora se reciba, al menos, una llamada

1

4 0 e −4 ) = 1 − 0 , 018316 = 0 ,981684 P ( X > 0) = 1 − P ( X = 0) = 1 − ( 0! D) Que en una hora se reciban, como mucho, 4 llamadas

P ( X < 5 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) P ( X = 3) P ( X = 4 ) 40 e−4 41 e − 4 42 e−4 43 e− 4 44 e−4 P ( X < 5) = ( )+( )+( )+( )+( ) 0! 1! 2! 3! 4! P ( X < 5 ) = 0 , 018316 + 0 ,073263 + 0 ,146525 + 0 ,195367 + 0 ,195367 P ( X < 5 ) = 0 , 628837 Gráfica de la Distribución Poison con λ = 4

0.10 0.00

0.05

ProbabilityMass

0.15

0.20

Poisson Distribution: Mean = 4

0

2

4

6

8

10

12

x

E) Se redefine la variable aleatoria. Sea X: cantidad de llamadas recibidas en un período de dos horas. Entonces lamda, que debe estar expresado para el mismo intervalo que la variable aleatoria, será ahora el siguiente:

λ = 4 llamadas en promedio por hora *2 horas (promedio de llamadas recibidas en el intervalo de dos horas).

λ = 8 llamadas en dos horas Se pide:

8 9 e −8 = 0 ,124077 f (9 ) = P ( X = 9 ) = 9! 2

Gráfica de la Distribución Poison con λ = 8

0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

Probability Mass

0.10

0.12

0.14

Poisson Distribution: Mean = 8

5

10

15

x

3