PHIT Formeln 0 Prüfungsvorbereitung Berkeley-Madonna 𝑡 𝑑𝑓

Analogie Ableitung/Integation (vgl. ∫0 𝑒 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡𝑒 ) − 𝑓(0)): 𝑑/𝑑𝑓 fliess in den Topf; ∫ fliess aus dem Topf In-Flow und Out-Flow

Federn 0 0 ⃗⃗ = ( 0 ) = ( 0 𝐹 ) 𝑓(𝑧) −𝑘(𝑧 − 𝑙0 ) Energie einer Feder ist eine Parabel mit Minimum bei 𝑥 = 𝑙0; 𝐸𝐹 ≈ 𝐸0 + 𝑘 ⋅ ⃗⃗ | = |𝐹

(𝑧−𝑙0 )2 2

𝜕 𝐸 = −𝑘(𝑧 − 𝑙0 ) 𝜕𝑧 𝐹

𝑑2𝑧 𝑘 𝑘 = − 𝑧 ⇒ 𝑧(𝑡) = 𝐴cos(𝜔𝑡 − 𝜙), 𝜔 = √ 2 𝑑𝑡 𝑚 𝑚

They see me rollin' ⃗𝑖=𝑣 𝑣 ⃗𝑆+𝜔 ⃗⃗ × 𝑟⃗𝑆𝑖 Ein Rad roll waagrecht mit fixem Punkt 𝑖 (auf dem Boden), Radius 𝑟, Winkelgeschwindigkeit 𝜔; Winkel ist 𝜙(𝑡) = 𝜔𝑡 0 −𝜔 0 ⃗𝑣𝑠 = (𝑣𝑠 ) , 𝜔 ⃗⃗ = ( 0 ) , 𝑟⃗𝑆𝑖 = (−𝑟 ⋅ sin(𝜔𝑡)) 0 −𝑟cos(𝜔𝑡) 0 0 0 −𝜔 0 0 ⃗𝑖=𝑣 𝑣 ⃗𝑆+𝜔 ⃗⃗ × ⃗𝑟𝑆𝑖 = (𝑣𝑠 ) + ( 0 ) × (−𝑟 ⋅ sin(𝜔𝑡)) = (𝑣𝑠 ) + (−𝜔𝑟cos(𝜔𝑡)) 0 −𝑟cos(𝜔𝑡) 𝜔𝑟sin(𝜔𝑡) 0 0 Allgemeine Rollbedingung Berührungspunkt mit Boden (hier initial 𝑖) muss Geschwindigkeit 0 haben: 𝑣𝑠 − 𝜔𝑟 = 0.

Wie gross muss die Geschwindigkeit des Schwerpunktes des Objekts sein, dass die Winkelgeschwindigkeit "passt" (allg. Rollbedingung)? Schwerpunkt 𝑠, eine volle Rotation entspricht 𝛥𝑥 𝑣 = 𝜔𝑟 ⇒ 𝛥𝑥 = 𝑣𝑠 𝛥𝑡 = 𝜔𝑟𝛥𝑡 Konvention Zeigt der Vektor zum Betrachter, so rollt es im Gegen-UZS.

1 Kinematik Kreisbewegung 𝑟cos(𝜔𝑡) 𝑟⃗ (𝑡) = ( ) , | 𝑟⃗ (𝑡)| = 𝑟 𝑟sin(𝜔𝑡) ⃗ (𝑡) = ( 𝑣

−𝑟𝜔sin(𝜔𝑡) ),|𝑣 ⃗ (𝑡)| = 𝑟𝜔 𝑟𝜔cos(𝜔𝑡)

−𝑟𝜔2 cos(𝜔𝑡) ⃗ (𝑡) = ( 𝑎 ),|𝑎 ⃗ (𝑡)| = 𝑟𝜔2 −𝑟𝜔2 sin(𝜔𝑡)

Wurf Kraft auf Masse ist (0,0, 𝑚𝑔), somit 𝑟𝑥,0 + 𝑣𝑥,0 𝑡 𝑣𝑥,0 0 𝑟𝑦,0 + 𝑣𝑦,0 𝑡 ⃗ = (0) , 𝑣 𝑎 ⃗ (𝑡) = ( 𝑣𝑦,0 ) , 𝑟⃗ (𝑡) = ( ) 𝑡2 𝑣𝑧,0 − 𝑔𝑡 𝑔 𝑟𝑧,0 + 𝑣𝑧,0 𝑡 − 𝑔 2 •

Vertikaler Wurf: 𝑣𝑥,0 = 𝑣𝑦,0 = 0, 𝑣𝑧,0 ≠ 0

•

Wurd vom Dach eines Hauses der Höhe ℎ: 𝑟𝑧,0 = ℎ; Approximation 𝑡 ≈ √2ℎ/𝑔

•

Schiefer Wurf in 𝑥-Richtung: 𝑣𝑥,0 ≠ 0, 𝑣𝑦,0 = 0, 𝑣𝑧,0 ≠ 0

im Slidedeck: Tabelle für konstante Beschleunigung

2 Mechanik ⃗⃗ = 𝑚 𝑎 𝐹 ⃗ mit 𝑑 𝑟⃗ /𝑑𝑡 = 𝑣 ⃗ , 𝑑 2 𝑟⃗ /𝑑𝑡 2 = 𝑎 ⃗

Federn 𝑚 ⋅ 𝑎(𝑡) = 𝐹𝑠𝑝𝑟𝑖𝑛𝑔 , 𝑚 ⋅ 𝑥̈ (𝑡) = −𝑘(𝑥(𝑡) − 𝑥𝑅𝑢ℎ𝑒 ) ungedämpft:𝑚 ⋅ 𝑥̈ (𝑡) = −𝑘 ⋅ 𝑥(𝑡), gedämpft 𝑚 ⋅ 𝑥̈ (𝑡) = −𝑘(𝑥(𝑡) − 𝑥𝑅𝑢ℎ𝑒 ) − 𝛾 𝑥̇ im Slidedeck: Ballistik

3 Impuls und Energie ⃗ = 𝑚𝑣 𝑝 ⃗

Energie 𝑘𝑔𝑚2 [𝐽] = [ 2 ] 𝑠 ⃗⃗⃗⃗ 𝑟2

⃗ ⋅ 𝑑 𝑟⃗ 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ = ∫ 𝐹 ⃗⃗⃗⃗ 𝑟1

𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑚

𝑣2 2

𝐸𝐹𝑒𝑑𝑒𝑟 =

𝑘(𝑥 − 𝐿)2 2

Kugel fällt von Höhe 𝐻: 𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝑚𝑔ℎ(𝑡), 𝐸𝑝𝑜𝑡 (0) + 𝐸𝑘𝑖𝑛 (0) = 𝑚𝑔𝐻 ⇔ 𝑣(𝑡) = √2𝑔 (𝐻 − ℎ(𝑡)) im Slidedeck: Absprengung kleiner Masse von grosser Masse, Kollision zweier Massen

4 Ausgedehnte Körper 𝐸𝑟𝑜𝑡

𝜔2 =𝐽 2

Geschwindigkeit von Punkt 𝑖 in einem starren Körper: 𝑣 ⃗𝑖=𝑣 ⃗𝑆+𝑣 ⃗ 𝑆𝑖 = 𝑣 ⃗𝑆+𝜔 ⃗⃗ × 𝑟⃗𝑆𝑖 ⃗ = (𝑟⃗ − 𝑅 ⃗ ) × (𝑚 𝑣 ⃗⃗ ) × 𝑝 Drehimpuls: 𝐿 ⃗ ) = (𝑟⃗ − 𝑅 ⃗ im Slidedeck: rollende Körper, Hebelgesetz, Leitern an der Wand

5 Potentiale, Leistung ∑𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ⃗⃗ ⋅ 𝛥 𝑟⃗, im Gravitationsfeld von 𝐴 nach 𝐵: 𝑊 = 𝑚𝑔ℎ𝐵 − 𝑚𝑔ℎ𝐴 𝛥𝑊 = 𝐹 ⃗ | ⋅ cos(𝛼) ⃗ ⋅ ⃗𝑏 = |𝑎 𝑎 ⃗ | ⋅ |𝑏

Anziehung, Gravitation ⃗𝐹 ⃗ 12 = ⃗𝐹 ⃗ 𝐺 = −𝛾 ⋅ 𝐸𝑝𝑜𝑡 = −

𝑀1 𝑀2 𝑁𝑚2 𝑟⃗12 −11 ⋅ ⃗ 𝑛 , 𝛾 = 6.67 ⋅ 10 [ ],𝑛 ⃗ 12 = 12 2 2 |𝑟⃗12 | |𝑟⃗12 | 𝑘𝑔

𝛾𝑚𝑀 𝑟𝑚𝑀 𝛾𝑀

Gravitationspotential = Energie pro Masse: 𝜙(𝑟) = 𝑟

𝑚𝑀

Leistung Leistung = Energie pro Zeit Gebiet Stoffmenge Potential Energie Elektrizität Ladung 𝑄 Spannung 𝑈 𝐸 = 𝑈𝑄 Hydraulik Volumen 𝑉 Gravitation Masse 𝑚

Druck 𝑝 𝑔ℎ

Leistung 𝑃 = 𝑈𝐼𝑄

𝐸 = 𝑝𝑉 𝑃 = 𝛥𝑝𝐼𝑉 𝐸 = 𝑚𝑔ℎ 𝑃 = 𝑔𝛥ℎ𝐼𝑚

im Slidedeck: Satellitenabschuss, schwarze Löcher

6 Elektrische Felder ⃗⃗ 12 = 1 𝐹 4𝜋𝜖

𝑄1 𝑄2 0

⃗ 12 |2 |𝑟

𝐶2 10−12 [𝐽𝑚];

⃗ 𝑟

⃗ 12 ist die Kraft auf 𝑄1 verursacht durch 𝑄2 , 𝑛 𝑛 ⃗ 12 = |𝑟⃗12 | , 𝜖0 = 8.859 ⋅ 12

für mehrere Ladungen: aufsummieren.

⃗𝐹 ⃗ = 𝑞 ⃗𝐸 ⃗ 1

⃗⃗ (𝑟) = 𝐹 ⃗ 12 = Kugel: 𝐸 4𝜋𝜖

𝑞 0

⃗ |2 |𝑟

⃗⃗ (𝑟) = 𝐹 ⃗⃗ 12 = ⃗ Zylinder: 𝐸 𝑛 2𝜋𝜖

𝜆 ⃗ ⊥| 0 |𝑟

⃗ ⊥ , Ladungsdichte 𝜆 (dünner 𝑛

𝜎 Zylinder = Draht) Platte: ⃗𝐸 (𝑟) = ⃗𝐹12 = 2𝜖 𝑛 ⃗ , Flächenladungsdichte 𝜎 0

⃗ 𝑟

⃗ 𝑟

⃗ 𝑑 𝑠⃗ 𝐸𝑝𝑜𝑡 (𝑟⃗) = − ∫ 𝑄 ⃗𝐸 𝑑 𝑠⃗ , 𝜙𝑒𝑙 = − ∫ ⃗𝐸 ∞

Spannung 𝑈 = 𝜙(𝑟⃗1 ) − 𝜙(𝑟⃗2 ) ⃗ (𝑟⃗) −𝛻𝐸𝑝𝑜𝑡 (𝑟⃗) = ⃗𝐹

∞

⃗ (𝑟⃗) −𝛻𝜙(𝑟⃗) = ⃗𝐸 𝐴𝜖

Kondensator - Kapazität 𝐶𝑈 = 𝑄 ⇔ 𝐶 = 𝐿 0 ,Energie 𝐸𝑒𝑙 = Fläche 𝐴, Abstand 𝐿, Volumen 𝑉; für 2 Platten ist 𝑄2 = −𝑄1

𝐶𝑈 2 2

, 𝐸𝑝𝑜𝑡 =

𝐴𝜖0 𝐿2 𝐸 2 𝐿

2

=𝑉

𝐸 2 𝜖0 2

, mit

7 RC-Systeme Spannung 𝑈 = Potentialdifferenz; Strom 𝐼 = Änderungsrate der Ladung 𝑄, sprich 𝐼 =

𝑑𝑄 𝑑𝑡

Potentielle Energie 𝐸, Leistung 𝑃 𝐸 = 𝜙𝑄 = 𝑈𝑄 𝑑𝐸

𝑑𝑄

falls Spannung 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.: 𝑑𝑡 = 𝑑𝑑𝑡(𝑈𝑄) = 𝑈 𝑑𝑡 = 𝑈𝐼 = 𝑃 ⇔ 𝑃 = 𝑈𝐼 Knotenregel: ∑𝐼 = 0; basiert auf Ladungserhaltung, gilt immer Maschen-/Schlaufenregel: ∑𝑈 = 0; basiert auf Energieerhaltung, gilt nur falls keine, zeitlich veränderlichen äussere Felder auftreten 𝑈 = 𝑅𝐼 Kondensator: Bilanzgleichung der Ladung in der Platte, zu der der Strom hinführt:

𝑑𝑄 𝑑𝑡

=𝐼

Widerstand 𝑈𝑅 Kondensator 𝑈𝐶 Spule 𝑈𝐿 𝑑𝑙 𝑈𝑅 = 𝐼𝑅 𝑈𝐶 = 𝑄/𝐶 𝑈𝐿 = 𝐿 𝑑𝑡 Batterien: 𝑈 = 𝑈0 − 𝐼𝑅𝐼 mit Klemmemspannung 𝑈0 und Verbraucswiderstand 𝑅; Strom 𝑈0 folgt mit Leerlaufspannung und Widerstand 𝑅 + Maschenregel: 𝐼 = 𝑅 +𝑅 𝐼

8 Induktion ⃗⃗ -Felder gehen vom Nordpol zum Südpol 𝐵 ⃗⃗⃗ ⃗⃗ 𝐹𝐿 = 𝑄 𝑣 ⃗ ×𝐵 Zyklotonradius 𝑟 =

𝑚𝑣 𝑞𝐵

⃗⃗ 𝑧𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑎𝑙 | = |𝐹 ⃗⃗⃗𝐿 | mit |𝐹

⃗⃗ 𝑒𝑙𝑚𝑎𝑔 = 𝑄(𝐸 ⃗ +𝑣 ⃗⃗ ) 𝐹 ⃗ ×𝐵 rechtshändiges Koordinatensystem: Daumen = technische Stromrichtung, Zeigfinger ⃗⃗ (N-S), Mittelfinger Richtung der Lorenzkraft 𝐹 ⃗𝐿 Richtung des Magnetfeldes 𝐵 Wechselstromerzeugung mit gleichförmig drehender Schlaufe: 𝑈(𝑡) = 𝑈0 sin(𝜔𝑡 + 𝜙0 ) Spule ist (fast) eine Menge vieler Kreisschlaufen mit addierenden Feldern

⃗⃗ = ∫ ⃗⃗ , 𝑑 𝐵 ⃗⃗ = Magnetfeldes eines Leiters ist 𝐵 𝑑𝐵 𝑤𝑖𝑟𝑒

⃗ 𝜇0 𝐼𝑑𝑙×𝑟 ⃗ |3 4𝜋|𝑟

𝑉𝑠

mit 𝜇0 = 4𝜋 ⋅ 10−7 [𝐴𝑚]

0 𝑥 ⃗⃗ = (− 𝜇0 𝐼 ) Für einen geraden Draht mit 𝑟⃗ = ( 0 ) ist 𝐵 2𝜋𝑟⊥ 𝑟⊥ 0 𝑁

Permeabilität: 𝐵 = 𝜇𝑟 𝜇0 𝐿 𝐼 mit 𝑁 Windungen, Strom 𝐼, Länge 𝐿, Permeabilitätszahl der Spule 𝜇𝑟 (Fe: 5000, Luft, Wasser: 1) ⃗ ||𝐵 ⃗⃗ |cos(𝜃) Fluss eines Feldes durch Fläche: 𝛷 = |𝐴 ⃗⃗

⃗⃗

𝑑 𝑑𝐴 ⃗ + 𝑑𝐵 ⋅ ⃗𝐴) mit Fläche 𝐴, Farrady'sches Induktionsgesetzt: 𝑈𝑖𝑛𝑑 = − 𝑑𝑡 𝛷 = ⋯ = − ( 𝑑𝑡 ⋅ ⃗𝐵 𝑑𝑡 Schlaufe 𝑆 𝑑 ⃗ ||𝐵 ⃗⃗ |cos(𝜔𝑡) = Für konstant drehende Fläche 𝜙(𝑡) = 𝜔𝑡 und ⃗𝐴 (𝑡) gilt 𝑈𝑖𝑛𝑑 (𝑡) = − 𝑑𝑡 |𝐴 ⃗ 𝐴𝐵𝜔sin(𝜔𝑡) mit Fläche der Schlaufe 𝐴 und 𝐵 als Stärke des Magnetfeldes ⃗𝐵

Wechselspannung 𝑈𝑖𝑛𝑑 mit Amplitude 𝑈0 und Frequenz 𝜈[𝐻𝑧], Kreisfrequenz 𝜔: 𝑈0 = ⃗ ||𝐵 ⃗⃗ |, 𝜈 = 𝜔 , 𝑈𝑖𝑛𝑑 (𝑡) = 𝑈0 sin(2𝜋𝜈𝑡) 𝜔|𝐴 2𝜋 𝑇 = 𝜈 −1 =

2𝜋 𝜔

, 𝑓(𝑡) = 𝐴sin(2𝜋𝜈𝑡) = 𝐴sin(𝜔𝑡)

Einfaches Senden + Empfange: 1. Erzeugen periodischer Driverspannung 𝑈𝑑 𝑟𝑖𝑣𝑒, 2. Faraday ⃗ , 3. \vec{B} erzeugt Spannung 𝑈𝑟𝑒𝑐𝑒𝑖𝑣 in Receiverschlaufe erzeugt daraus ⃗𝐵 ⃗ ⃗ = 𝜇0 𝐼𝑑𝐼×𝑟 Lenz'sche Regel - Magnetfeld eines Ringstroms 𝑑 ⃗𝐵 ⃗ ]3 4𝜋|𝑟

im Slidedeck: Perpetuum Mobile, Railun, Coilgun, Wirbelstrombremse

9 Wechselstrom Impedanz 𝑈𝑁𝑒𝑛𝑛 =

𝑈0 √2

Für vergleichbaren Gleichstrom 𝑈𝐺 (der ja nicht sin(𝑡) abhängig ist), gilt 𝑈0 = √2𝑈𝐺 (Für Schweiz: 𝑈𝑁𝑒𝑛𝑛 = 230𝑉, 𝑈0 = 325𝑉) RC-Schaltkreis und Wechselspannung: führt zu Wechselströmen; Spannung über den einzelnen Komponenten fällt frequenzabhängig ab 𝑑 ⃗ ||𝐵 ⃗⃗ |cos(𝜔𝑡) = 𝐴𝐵𝜔sin(𝜔𝑡) Faraday für Schlaufen: 𝑈𝑖𝑛𝑑 (𝑡) = − 𝑑𝑡 |𝐴 𝑑 ⃗ ||𝐵 ⃗⃗ |cos(𝜔𝑡) = 𝑁𝐴𝐵𝜔sin(𝜔𝑡) Faraday für Spule: 𝑈𝑖𝑛𝑑 (𝑡) = −𝑁 𝑑𝑡 |𝐴

⃗⃗ und Anzahl Windungen 𝑁 mit Fläche der Schlaufe 𝐴 und 𝐵 als Stärke des Magnetfeldes 𝐵

𝑈1

𝑁1

𝐼2

Transformator mit Eisenkern und zwei Spulen: 𝑈2 = 𝑁2 = 𝐼1 𝑑𝐼

Spannungsabfall über Spule 𝑈𝐿 = 𝐿 𝑑𝑡 𝜇𝑁 2 𝐴

Elektrische Induktivität 𝐿 = ℓ [Henry] mit Spulenlänge (nicht Drahtlänge) ℓ, 𝑁 Windungen, Querschnittsfläche 𝐴 und Permeabilität 𝜇 = 𝜇𝑟 𝜇0 Dynamik von Schaltungen: •

RC: Ströme durch 𝑑𝑄/𝑑𝑡 ersetzen

•

LRC: Ladungen und Ströme verwenden

Periode in LC: 𝑇 = 2𝜋√𝐿𝐶 im Slidedeck: Low-/High-Pass Filter, Schaltungen mit induktiven Elementen, Henry, Schwingkreis, Impedanz, Drehstrom

10 Schwingungen Resonanz Lineare Feder (= Kraft linear proportional zur Ausdehnung) mit Federkonstante 𝑘[N/m], 𝑟 Gleichgewichtslänge 𝐿 (bei dieser Länge wirken keine Kräfte): ⃗𝐹 = −𝑘(|𝑟⃗| − 𝐿) |𝑟⃗|; mit nur einer Koordinate: 𝐹 = −𝑘(𝑟 − 𝐿) Masselose, hängende Feder: 𝐹𝐹 = −𝑘(𝑧 − 𝐿0 ) Mit Masse: 𝐹 = 𝐹𝐹 + 𝐹𝐺 = −𝑘(𝑧 − 𝐿1 ), 𝐿1 = 𝐿0 +

𝑚𝑔 𝑘

Für Usprung = Gleichgewichtslage gilt: 𝐹 = −𝑘𝑧′ Dynamik: 𝑧(𝑡) = 𝑧0 cos(𝜔𝑡) + 𝜔=

𝑣0

𝑘

sin(𝜔𝑡) = 𝐴cos(𝜔𝑡 − 𝜙), 𝜔 = √𝑚 𝜔

2𝜋 , 𝜈 = 𝑇 −1 𝑡

𝑚 2 2 𝑘 𝑘 𝐴 𝜔 sin(𝜔𝑡 − 𝜙)2 , 𝐸𝑝𝑜𝑡,𝐹𝑒𝑑𝑒𝑟 = 𝑧 2 , 𝐸𝑝𝑜𝑡,𝑆𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑔 = 𝐴2 cos(𝜔𝑡 − 𝜙)2 , 𝐸𝑡𝑜𝑡 2 2 2 𝑘𝐴2 𝜔2 𝐴2 = =𝑚 2 2 𝐸𝑘𝑖𝑛 =

Hydrodynamische Reibung / Dämpfung durch Stokes-Reibung: 𝑚 𝛾

𝑘

𝑑2 𝑧(𝑡) 𝑑𝑡 2

= −𝑘𝑧 − 𝛾𝑣𝑧 , 𝛿 =

𝛾2

, 𝜔 = √𝑚 − 4𝑚2 2𝑚 Resonanz (Schwingung durch äussere Anregung, 𝐹𝑒𝑥𝑡 ): 𝑚 𝑥̈ (𝑡) = −𝑘(𝑥 − 𝑥𝑅𝑢ℎ𝑒 ) − 𝛾 𝑥̇ + 𝐹0 sin(𝛺𝑡) (Auflösungen nach 𝑥 und Amplitude im Slidedeck)

im Slidedeck: Annäherung von Potentialen durch Schwingungen

11 Elektromagnetische Wellen im Vakuum 𝑇 in Kelvin!! Ausbreitungsgeschwindigkeit 𝑐 =

𝜔 𝑘

= 𝜆𝜈

Eine beschleunigte Ladung strahlt Energie ab. Planck: 𝐼(𝜈, 𝑡) =

2ℎ𝜋𝜈 3

1

𝑐2

ℎ𝜈 𝑒 𝑘𝐵 𝑇 −1

, 𝐼(𝜆, 𝑡) =

2ℎ𝜋𝑐 2

1

𝜆5

ℎ𝑐 𝑒 𝜆𝑘𝐵 𝑇 −1

𝑏

Wien'sches Verschiebungsgesetz: 𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑇 ℎ = 6.626 ⋅ 10−34 [Js] 𝑏 = 2.8978 [mm K] Stefan-Boltzmann: 𝑃 = 𝜎𝐴𝑇 4 𝜎 = 5.67 ⋅ 10−8 [W / m^2 K^4] 4 Energetische Strahlungsbilanz: 𝐼𝐸 = 𝜎𝐴(𝑇𝐾4 − 𝑇𝑒𝑛𝑣 )

im Slidedeck: Maxwell-Gleichungen, Dipolantenne, Fourierreihen, schwarze Strahler, Planetentemperatur

12 Thermische Strahlung, Elektromagnetische Wellen in Materie Nanomaschinen benötigen keine Kühlung 𝑥

Lichtabsorption: 𝐼𝐿 (𝑥) = 𝐼𝐿,0 𝑒 −𝜆

im Slidedeck: Lambert-Strahler, Treibhäuser/Treibhauseffekt