Septiembre 2014 Opción A Ejercicio 1. Sean las matrices

⎛ 1 −7 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ y B=⎜ A=⎜ ⎟ ⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ −5 2 ⎟⎠

a) Calcular las matrices X e Y para las que se verifica:

X +Y = A 3X + Y = B Este sistema de ecuaciones matriciales lo podemos resolver mediante reducción, es decir:

⎧X + Y = A −⎨ ⎩ 3X + Y = B −2X = A − B → X = −

1 ( A − B) 2

Sustituyendo queda por tanto:

1 ⎛ ⎛ 1 −7 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎞ 1 ⎛ 0 −7 ⎞ ⎛ 0 7/2 ⎞ X =− ⎜ ⎜ −⎜ =− ⎜ =⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎝ ⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ −5 2 ⎠ ⎠ 2 ⎝ 7 −3 ⎠ ⎝ −7 / 2 3 / 2 ⎟⎠ Con el valor de la matriz X podemos calcular la matriz Y:

X + Y = A → Y=A − X ⎛ 1 −7 ⎞ ⎛ 0 7/2 ⎞ ⎛ 1 −21 / 2 ⎞ Y =⎜ −⎜ =⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ −7 / 2 3 / 2 ⎠ ⎝ 11 / 2 −5 / 2 ⎟⎠ b) Hall BZ + Bt = 2I e la matriz Z que verifica En primer lugar despejamos la matriz Z de la ecuación matricial dada:

BZ + Bt = 2I BZ = 2I − Bt → ( B ) BZ = ( B ) −1

−1

( 2I − B ) → Z = ( B ) ( 2I − B ) −1

t

⎛ 1 0 ⎞ ⎝ −5 2 ⎟⎠

Como se ve, será necesario calcular la inversa de B siendo B = ⎜ A continuación, calculamos la matriz inversa de B :

t

⎧ 1 ⎪B = −5 ⎪ B⎨ ⎛ ⎪ adj(B) = ⎜⎝ ⎪ ⎩

( B )−1 =

0 =2 2 2 5 ⎞ 0 1 ⎟⎠

0 ≤ t ≤ 10

⎞ 1 1⎛ ( adj(B))t = ⎜ 2 0 ⎟ B 2⎝ 5 1 ⎠

Y por tanto, la matriz X queda como:

1 ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 −5 ⎞ ⎞ 1 ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 1 5 ⎞ X= ⎜ 2 − = = 2 ⎝ 5 1 ⎟⎠ ⎜⎝ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2 ⎟⎠ ⎟⎠ 2 ⎜⎝ 5 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠ 1 ⎛ 2 10 ⎞ ⎛ 1 5 ⎞ = ⎜ = 2 ⎝ 5 25 ⎟⎠ ⎜⎝ 5 / 2 25 / 2 ⎟⎠

Ejercicio 2. Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los últimos 10 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por B(t) = 2t 3 − 36t 2 + 162t − 6 con 0 ≤ t ≤ 10 a) ¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo y al final del décimo año? Para saber los beneficios al inicio del periodo basta con calcular: B(0) = −6 Para saber los beneficios al final del periodo basta con calcular:

B(10) = 2 (10 ) − 36 (10 ) + 162 (10 ) − 6 = 2000 − 3600 + 1620 − 6 = 14 3

2

b) ¿En qué momentos se obtiene el máximo y el mínimo beneficio y cuáles fueron sus cuantías? Para calcular el beneficio máximo y mínimo será necesario calcular los vértices de la función empleando para ello la primera derivada:

B'(t) = 6t 2 − 72t + 162 A continuación, calculamos los puntos críticos de la función, es decir, los valores de x que anulan la derivada:

B'(t) = 0 → 6t 2 − 72t + 162 = 0 → t 2 − 12t + 27 = 0 t=3 t=9 Finalmente estudiamos el signo de la derivada:

←⎯⎯ ⎯ → 3 ←⎯⎯⎯ → 9 ←⎯⎯⎯ → B'(0)>0 B'(4 )