REGLAS DE DERIVACION

i. ii. iii.

(K ⋅ f ( x )) ' = K ⋅ f ' (x ) (f (x ) + g( x )) ' = f ' ( x ) + g' ( x ) (f (x ) ⋅ g( x ) ) ' = f ' (x ) ⋅ g( x ) + f (x ) ⋅ g(x )' '

iv. v.

 f (x )  f ' ( x ) ⋅ g(x ) − f (x ) ⋅ g' ( x )  =  (g( x ) )2  g( x )  (f (g( x )))' = f ' (g(x ) )⋅ g' ( x )

Derivación logarítmica.

y = (f ( x ) )g ( x ) Se toman logaritmos neperianos en los dos miembros y teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos queda: Ln y = g ( x ) ⋅ Ln f(x) derivando esta expresión: y' f ' (x) = g' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g( x ) ⋅ y f (x) despejando Y' y sustituyendo Y por su expresión:  f ' (x)  f ' (x )  g(x)  y' = y ⋅ g ' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g ( x ) ⋅ ⋅ g' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g ( x ) ⋅  = (f ( x ) )  f (x)  f (x )   

Derivación en forma implícita. Hasta ahora se ha supuesto el caso de funciones explícitas, es decir la y aparece despejada. Se llama función implícita a una función de dos variables x e y sin que la y aparezca despejada. Para derivar una función implícita se siguen las misma reglas que para las explícitas, teniendo en cuenta que la derivada de la de y es y'. Basta después despejar y'.

Tabla de derivadas FUNCIÓN COMPUESTA REGLA DE LA CADENA y = f n (x)

y' = n·f n−1 ( x )·f ' ( x ) y' =

y = f (x )

y = f (x ) n

FUNCION SIMPLE

y' =

1

·f ' ( x )

2· f ( x ) 1

n·n (f ( x ) )n−1

·f ' ( x )

y' = n·x n −1

y = xn

y' =

y= x

y' = x

2· x 1

y' =

n

1

n· x n −1 n

y = a f (x)

y' = a f ( x ) ⋅ f ' ( x ) ⋅ Ln(a )

y = ax

y' = a x ⋅ Ln(a )

y = e f (x)

y' = e f ( x ) ⋅ f ' ( x )

y = ex

y' = e x

y = Lg a (f ( x ) )

y' =

1 ·f ' ( x ) f ( x ) ⋅ Ln(a )

y = Lg a (x )

1 ·f ' ( x ) f (x )

y = Ln(x )

y' =

y = Ln(f ( x ) )

y' =

1 x ⋅ Ln(a )

y' =

1 x

y = sen (f ( x ) )

y' = cos(f ( x ) ) ⋅ f ' ( x )

y = sen (x )

y' = cos(x )

y = cos(f ( x ) )

y' = −sen (f ( x ) ) ⋅ f ' ( x )

y = cos(x )

y' = −sen (x )

y' = y = tg (f ( x ) )

(

cos f ( x )

⋅ f ' (x) =

)

= 1 + tg 2 f ( x ) ⋅ f ' ( x )

y = arcsen(f ( x ) )

y' =

y = ar cos(f ( x ) )

y' =

y = arctg(f ( x ) )

1 2

y' =

1 1 − f 2 (x) −1 1 − f 2 (x) 1 2

1 + f (x)

y = tg (x )

y' =

1 2

cos x

⋅ f ' (x)

y = arcsen(x )

y' =

⋅ f ' (x)

y = ar cos(x )

y' =

⋅ f ' (x)

y = arctg(x )

y' =

= 1 + tg 2 x 1

1− x 2 −1 1− x 2 1 1+ x 2