Máquinas Eléctricas II Departamento de Electricidad, Electrónica y Computación Facultad de Ciencias Exactas y Teconología Universidad Nacional de Tucumán

Año 2015

PROBLEMAS DE MÁQUINAS SINCRÓNICAS

Problemas Propuestos Problema N° 1 Se dispone de un turbo - generador trifásico bipolar, conectado en estrella cuya potencia es de 2500 [KVA] y 6600 [V], n = 3000 [rpm]. El devanado del inducido está distribuido en 60 ranuras con cuatro conductores por ranura y su resistencia y reactancia de dispersión por fase son 0,073 y 0,87 [ Ω ] respectivamente. El rotor tiene su devanado distribuido en 10 ranuras por polo. Calcular la excitación de campo necesaria para alcanzar la tensión en bornes y la corriente de régimen cuando el factor de potencia de la carga es : a)

cos ϕ = 0,8 en atraso

b)

cos ϕ = 1

c)

cos ϕ = 0

Y en cada caso determinar la regulación de tensión. Se tiene como dato la curva de vacío y la característica de ctocto.

5000

500 A

4000 3000

400 A corriente por fase 300 A

2000

200 A

U fase

30000

100 A

5000

1000

Av /polo

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Problema N° 2 Un turbogenerador con potencia nominal de 12,5 [MVA ] , trabaja en servicio individual. Su relación de cto.cto. es kc = 0,5 y su factor de potencia nominal es 0,8. 1) Dibujar un circuito equivalente y el diagrama de fasores para su velocidad nominal. 2) Calcular y dibujar la característica de regulación :

I  I1 = f  2  I1, 0  I 2n  para : a) cos ϕ = 1 ( se entrega potencia activa ) b) cos ϕ = 0,8 ( ” ” ” ” y reactiva ) c) cos ϕ = 0

sen ϕ = 1 ( se entrega potencia reactiva ) sen ϕ = -1 ( se toma potencia reactiva )

Los dibujos se deben realizar en el rango :

0≤

I2 ≤ 1,2 I 2n

3) Calcular la corriente de cto.cto. permanente para excitación I1,0 y para excitación nominal.

Problema N° 3 Un motor sincrónico tiene una reactancia Xd = 3,3 [Ω]. La corriente I1 se ajusta a un valor tal que la tensión en circuito abierto es U2 = 950 [V] ( se desprecia saturación). Hallar el factor de potencia con que funcionaría el motor, si con la misma excitación tomara de una red de 800 [V] una potencia de 80 [KW].

Problema N° 4 Un turbogenerador de 15 [ MVA ] tiene los siguientes valores característicos: cos ϕn = 0,85 ; KC = 0,5. Determinar : a) Diagrama de corrientes del turbogenerador para servicio nominal. b) Representación en el diagrama del punto de trabajo para I2 / I2n = 0,9 y cosϕ = 0,6. c) Los valores de potencia activa y reactiva en caso que sea posible el funcionamiento en este punto. d) El ángulo ϕ correspondiente al límite de estabilidad para que la máquina entregue PVn. e) El ángulo de carga para el cual la máquina está entregando potencia activa nominal si se reduce I1 en un 20% respecto de su valor para el punto de funcionamiento nominal.

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Problema N° 5 En un turbogenerador con p´ = 1, SN = 100 [MVA], f = 50 [Hz], cosϕ = 0,9 y Kc = 0,6 se pide : a) Dibujar el diagrama de fasores para servicio nominal b) Calcular el ángulo ϕ que corresponde para límite de estabilidad con PV = PVN ; PV = 0,75 PVN y PV = 0,5 PVN

Problema N° 6

Se dispone de un turbogenerador con potencia nominal 12,5 [ MVA ], Kc=0,5 y cosϕ = 0,8. a) Dibujar el circuito equivalente y el diagrama de fasores en régimen nominal. b) Determinar cuál es el valor de la máxima potencia reactiva que puede entregar el generador sin superar ningún límite. c) Determinar en p.u. el valor de corriente de excitación necesaria para que la máquina entregue PV = PVN.0,8 con cosϕ = 1.

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Problemas Resueltos Problema N°1 Un transformador de 6 [ MVA ] secundarios , relación 1 : 1 , tiene

una tensión secundaria nominal bajo carga de 6600 [V] con cos ϕ = 0,9. El valor de ux referido a la potencia primaria es de ux = 7%. El transformador es alimentado por un turbogenerador de la misma potencia nominal. Los valores porcentuales de Xdh y Xs son 150 % y 15 % respectivamente. Calcular : Tensión en bornes del generador, que es igual a la tensión primaria del transformador, para que éste entregue potencia nominal con tensión nominal y cos ϕ = 0,9; tensión inducida en el generador Uh y tensión de rueda polar Up. Se desprecian pérdidas y corriente magnetizante en el transformador y las pérdidas en el cobre y efecto de saturación en el generador. ¿ Que potencia aparente está entregando el generador? Dibujar el diagrama fasorial del conjunto.

Desarrollo Consideramos U2 real (como referencia) PN = 6 [MVA] UN = 6,6 [KV] IN

≅ 525 [A]

E dh UP

X dh =150 % ⇒ X dh [Ω]

ES Udh

= 1,5

-UX U1

X S = 2,09 [Ω]

U2 ϕ

6600 = 10,9[Ω] 3 525

IC

X X = 0,07.

6600 = 0,508[Ω] 3.525

La regulación será:

∆u = u x sen ϕ + ur .osϕ +

(u x cos ϕ − ur sen ϕ )2 200

Como se desprecian las pérdidas en el cobre: ur = 0

∆u = 7.0,436 +

(7.0,9)2

= 3,25% 200 U − 6600 ∆u = 3,25 = 1 ⇒ U1 = 6821,7 U1

U1 = 6821,7 [V] 4/12

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Xdh

UP

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Xs

Xx

Uh

U1

Zc

U

Valores de fase: Ic = - I2 = 525 ( 0,9 – j 0,436 ) Ux = I2.j Xx = - 525 (0,9 – j 0,436 ).j 0,508 = -116,28 – j 240 U1 = U2 – Ux = 3810,5 + 116,28 + j 240 = 3926,78 + j 240

U1 = 3934 [V ] ES = j I2.XS = - j 1,09 . 525 ( 0,9 – j 0,436 ) = - 249,5 – j 515,025 Uh = U1 – ES = 3926,78 + j 240 + 249,5 + j 515,025 = 4176,28 + j 755,02

U h = 4244 [ V ] Edh = j Xdh.I2 = j 10,9.(-525 ) ( 0,9 – j 0,436 ) = -2495 – j 5150,25 UP = Uh – Edh = 4176,28 + j 755,02 + 2495 + j 5150,25 = 6671,28 + j 5905,27

U P = 8909,44 [ V ] La potencia aparente del generador es :

S = 3 U I = 3.3934.525 = 6.196

S = 6.196 [KVA]

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Problema N°2 Para un turbogenerador de 125 [MVA] que tiene los siguientes valores característicos : cos ϕN = 0,80 ; KC = 0,45 a) b) c)

Trazar el diagrama de corrientes del turbogenerador para servicio nominal Indicar en el diagrama los límites para : Calentamiento constante del rotor Calentamiento constante del estator Estabilidad Potencia de accionamiento constante Indicar en el diagrama el punto de trabajo para I2 / I2N = 0,8 y cos ϕ = 0,6. Calcular los valores de potencia activa y reactiva. ¿Puede trabajar el generador permanentemente en estas condiciones?

Desarrollo a) - b) - c) Xd = 1 / KC = 1 / 0,45 = 2,22 I1 / I10 = 1 θ1

Límite de calentamiento del rotor

,8 =0

, 77

ϕ1

2, 95 =

=2

10

.1

/I I

1

=2

,22

P1

Límite de estabilidad

(I

2

/I

2n

). X

d

Límite de calentamiento del estator

2 .2,

1 2=

,2 2

).X d I 2n / (I 2

θN

ϕΝ

Límite de potencia de accionamiento

Pn

El generador puede trabajar permanentemente en P1 pues : PV = 125.0,8.0,6 = 60 [ MW ]

} puesto que I2 / I 2n = 0,8 PX = 125.0,8.0,8 = 80 [ MVAr ] 6/12

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Problema N°3 Una máquina de polos salientes tiene los siguientes datos : cos ϕ = 0,8 ; Xd = 1 y Xq = 0,6 . a) Dibujar el diagrama de fasores para servicio nominal. b) Dibujar el diagrama de corrientes para servicio nominal. c) Dibujar la función

PW = f (θ ) para tensión nominal y excitación nominal. PWn

d) Calcular el ángulo de carga θn para servicio nominal.

Desarrollo a)

Up R Q

RP = j.Xd. I2 QP = j.Xq. I2

P U2 θn

ϕN

O

I2 b) -j.U2 / Xq -j.U2 / 2.(1 / Xq + 1 / Xd -j.U2 / Xd 2θ n

I2n

θn

ϕn

-j UP / Xd

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c)

 1 1   − . sen 2θ X   q Xd  2 U .U U  1 1  = 3. 2 Pn sen θ + 3. 2  − . sen 2θ xd .Z n 2.Z n  xq xd 

PW = 3.

U 2 .U Pn U . sen θ + 3. 2 Xd 2

2

 1 1  −  x  q xd 3.U 2 n .I 2 n . cos ϕ n 2

3. PW = PWn

U 2 .U Pn U sen θ + 3. 2 xd .Z n 2.Z n

 . sen 2θ  

 1 PW U Pn 1 1  = . sen θ + . − . sen 2θ  PWn x d .Z n .I 2 n . cos ϕ n 2. cos ϕ n  x q x d  Para régimen nominal :

U P = 1,78 U 2 ( del diagrana fasorial)

PW 1,78 1  1 1 = . sen θ + . − . sen 2θ PWn 0,8 1,6  0,6 1  = 2,25. sen θ + 0,417. sen 2θ tg θ n =

d) de b) resulta por geometría :

Poniendo

tg θ n =

I 2n =

U 2n y Zn

U 2n . cos ϕ Zn

I 2 n . cos ϕ I 2 n . sen ϕ n +

n

U 2n xq

X q = xq .Z n n

U 2n U . sen ϕ n + 2 n Zn Z n . xq

=

xq . cos ϕ

n

xq . sen ϕ n + 1

=

0,6.0,8 = 0,3529 0,6.0,6 + 1

θn = 19,44°

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Problema N°4 Un motor tiene una reactancia sincrónica longitudinal xd = 1,1 p.u., y una transversal xq = 0,6 p.u. Dibujar el diagrama de fasores para plena carga y cosϕ = 0,9 inductivo, y despreciando saturación, determinar la tensión por unidad a circuito abierto (UP) y el ángulo de carga.

Desarrollo

I2.Xd.cos ϕ

UP R

I2.Xd.sen ϕ

ϕ

PQ

Xq = I 2.

PR

P

Xd = I 2.

Q ,1 =1

Si Xd ≠ Xq

1 θ´

U´P

ϕ

U PT

U PT

 1,1 − 0,6   2 =   + 1 + 1,1.0,43 + (1,1.0,9 )  0,6  

θ

IM

2

 x d − x q =   x q

2    + 1 + I 2 X d . sen ϕ  + (I 2 X d . cos ϕ )    2

UPT

U PT = 2,30632 + 0,99 2 = 2,510 p.u. U P = 2,510 −

θ

xd − xq

(Xd - Xq) / Xq

U P = 2,51 −

xq

. cosθ θ = tg −1

0,99 2,3063

1,1 − 0,6 . cos 23,23 = 2,51 − 0,7657 0,6

UP = 1,744 p.u. θ = 23,23° Si Xd = Xq U P ´= =

(1 + I 2 . X d . sen ϕ )2 + (I 2 . X d . cos ϕ )2 (1,473)2 + (0,99)2

θ ´= tg −1

=

(1 + 1,1.0,43)2 + (1,1.0,9)2

= 1,775

0,99 = 33,9° 1,473

UP´ = 1,775 p.u. θ´ = 33,9° 9/12

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Problema N°5 Un generador tiene una reactancia sincrónica longitudinal xd = 1,1 p.u. y una transversal xq = 0,6 p.u.Dibujar el diagrama de fasores para plena carga y cosϕ = 0,9 inductivo, y despreciando saturación, determinar la tensión por unidad a circuito abierto (UP) y el ángulo de carga.

Desarrollo

cos ϕ = 0,9 ⇒ ϕ = 25,84° UP

Del gráfico :

ϕ

UP = 1,04 p.u.

θ = 35°

θ

UP´

UP´= 1,16 p.u.

θ´

θ´ = 62°

Analíticamente :

 xd − xq + 1 − 1,1. sen ϕ U PT =   x q 

2

  + (1,1. cos ϕ )2  

UPT I2 θ

2

 1,1 − 0,6  U PT =  + 1 − 1,1.0,436  + (1,1.0,9 ) 0 , 6  

U PT =1,677

xd − xq

0,99   cosθ =1,677 − 0,833. cos tg −1  xq 1,353   U P = 1,677 − 0,833. cos 36,18° = 1

U P = U PT −

UP = 1 p.u.

θ = 36,18°

Para xd = xq = 1,1 p.u.

U p ´=

(1 − 1,1sen ϕ )2 + (1,1. cos ϕ )2

θ ´= tg −1

=

(1 − 0,48)2 + 0,992

= 1,097

0,99 = 62,29° 1 − 0,48 UP´ = 1,097 p.u.

θ = 62,29° 10/12

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Problema N°6 Un motor sincrónico, con p = 3, toma de la red en régimen nominal 1500[KW] con cosϕN = 0,9 ( se entrega potencia reactiva a la red).Las características del motor son U2N = 2300 [V] , xd = 0,8 p.u. y xq = 0,5 p.u. Dibujar diagrama de tensiones y corrientes para régimen nominal , calcular el momento y el ángulo de carga. Indicar en % el momento que se debe al momento de reacción.

Desarrollo Del gráfico : UP = 1,5 UN θN = 20,55° (ver Prob.M.S.6 idéntica deducción) UP

MN = 25.0°

20.5

p´

ω

PN =

3 1.500.000 = 14331[N .m] 3,14

1 Kgm = 9,81 [N.m]

I

tg θ N =

MN = 1461 [Kgm]

xq . cos ϕ N 0,5.0,9 = xq . sen ϕ N + 1 0,5.0,436 + 1

tg θ N = 0,3695

θN

θN = 20,28°

2

U PN

 x − xq  x − xq 2 = 1 + d + 0,8. sen ϕ  + (0,8. cos ϕ ) − d . cosθ xq xq   2

0,8 − 0,5  0,8 − 0,5  2 U PN = 1 + + 0,8.0,436  + (0,8.0,9 ) − . cos 20,28° = 1,5140 0,5 0,5  

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M MN M MN

=

=

U PN x d .U 2 N . cos ϕ N 1,514 0,8.0,9

. sen θ +

. sen ϕ N +

 1 1  −  2. cos ϕ N  x q x d 1

1  1 1  −  . sen 2θ 2,09  0,5 0,8 

Cuando θ = θN = 20,28°

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M MN

 . sen 2θ  

= 2,10. sen θ + 0,4167. sen 2θ

M / MN = 0,72788 + 0,27096 “ El momento de reacción es 27,09 % del MN”

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