このページはサンプルです。実際とは構成が異なるところもあります。
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∫ ex sin x dx を求めよ。
例題 （指数）×（三角）型 不定積分
½ Point・・・Principle Piece ４５によれば、どちらから変形しても OK なはずです。 ∫
解 指数から変形
∫
x 0
(e ) sin x dx = e sin x −
(与式) = I とおく。I =
¼
x
ex cos x dx
∫ { } x x = e sin x − e cos x − e (− sin x) dx = ex sin x − ex cos x − I x
2I = ex sin x − ex cos x より積分定数を加えて I = 解 三角関数から変形
∫
2
(ex sin x − ex cos x) + C ∫
e (− cos x) dx = −e cos x + (ex )0 cos x dx ∫ { } x x = −e cos x + e sin x − (ex )0 sin x dx = ex sin x − ex cos x − I (与式) = I とおく。I =
x
0
1
x
2I = ex sin x − ex cos x より積分定数を加えて I =
1 2
(ex sin x − ex cos x) + C
原則通り、三角関数と指数関数の優先順位は対等なので、どちらから変形してもできます。 いずれにしろ、2 回部分積分を行った上で、もとの式が出てくることを利用することになり ます。 やや天下り的（結果を知っているからこその解法）となりますが、こちらの方法が最もオス スメです。「積分よりも微分の方がラクである」ことを大いに利用した解法となります。 解 微分式から変形する (ex sin x)0 = ex sin x + ex cos x・・・° 1 (ex cos x)0 = −ex sin x + ex cos x・・・° 2
1 2
(° 1 −° 2 ) ÷ 2 より (ex sin x − ex sin x)0 = ex sin x ∴ (与式) =
1 2
(ex sin x − ex cos x) + C
積分の式をほぼ使わずに解答可能ですので、計算ミスも少なくてすみます。
■ Principle Piece ５２■
e● x sin ▲x e● x cos ▲x → 同時に微分 特に、指数部分や三角関数の部分が x ではなく 2x などになったときは威力を発揮します。
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このページはサンプルです。実際とは構成が異なるところもあります。 分母が (1 次式) × (1 次式) ×・・・ (1 次式) と因数分解できて、さらに (1 次式) の中に同 種のものがある場合、こちらの原則を適用します。
■ Principle Piece ５６■ 分数関数の積分 ４ ●
(ax +
b)n (cx
+ d)
型 部分分数分解して １ ＋ ２ へ
●の中には、x の多項式が入ります。次数は任意で、定数 (0 次) でも構いません。ただし分 母より次数が高ければ、割り算を実行して低くなるように変形しましょう。こちらの具体的な 部分分数分解は例題を通してみてみます。
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例題 次の定積分を求めよ。 ∫
∫ 12 1 1 (1) dx (2) dx 3 2 2 0 (x + 1) (x − 1) &1 x (x + 1) Point・・・(2) の部分分数分解の結果はキレイで、記憶価値があります。 解
(1)
2
1 a b c d = + + + が恒等式になるとすると、 x3 (x + 1) x x2 x3 x+1
1 = ax2 (x+1)+bx(x+1)+c(x+1)+dx3 ⇔ 1 = (a+d)x3 +(a+b)x2 +(b+c)x+c a + d = 0、a + b = 0、b + c = 0、c = 1 すなわち a = 1、b = −1、c = 1、d = −1
[ ]2 ∫ 2( 1 1 1 1 ) 1 1 (与式) = − + 3− dx = log |x| − log |x + 1| + − 2 x x2 x x+1 x 2x 1 1 = log 2 − log 3 +
(2)
1 1 1 1 − − log 1 + log 2 − 1 + = 2 log 2 − log 3 − 2 8 2 8
1 (x +
1)2 (x
−
1)2
=
a b c d + + + が恒等式になるとすると、 2 x + 1 (x + 1) x − 1 (x − 1)2
1 = a(x + 1)(x − 1)2 + b(x − 1)2 + c(x + 1)2 (x − 1) + d(x + 1)2 x = 0, ±1、2 を代入して 1 = a + b − c + d、1 = 4d、1 = 4b、1 = 3a + b + 9c + 9d
1 1 、c = − 従って、(c の部分だけ分子分母の符号を入れ替えて) 4 4 ∫ 12 { } 1 1 1 1 1 (与式) = + + + dx 1 − x (1 + x)2 (1 − x)2 0 4 1+x [ ] 12 1 1 1 1 1 log |1 + x| − log |1 − x| − + = ・・・ = log 3 + = 4 1+x 1−x 0 4 3 a=b=d=
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■ 定積分を含む方程式 こちらも、数学 II では簡単な関数を題材にして扱っていますが、関数が変わっても原則は変 わりません（再掲しておきます）。
■ Principle Piece II-１０９■（再掲）
∫
∫
b
b
f (t) dt は定数 a とおいて 再び
f (t) dt = a を解く
a
a
何問か練習しておきましょう。
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例題３ 次の等式を満たす関数 f (x) を求めよ。 ∫
(1) f (x) = cos x − 2
π 2
∫
1
x
f (t) dt (2) f (x) = e +
xf (t) dt
& Point・・・(2) では早とちりしないように。x は前に出さないといけません。 0
解
∫
π 2
f (t) dt = a とおくと f (x) = cos2 x − a とおけるので
(1) 0
0
[ ]π ) 1 − 2a sin 2x 2 a= (cos t − a) dt = − a dt = x+ 2 2 4 0 0 0 π π π = (1 − 2a) a = (1 − 2a) を解いて a = 4 4 2(π + 2) π ∴ f (x) = cos2 x − 2(π + 2) ∫
∫
∫
π 2
2
π 2
( 1 + cos 2t
1
f (t) dt = a とおくと f (x) = ex + ax とおけるので
(2) 0
∫
1
[ ]1 a 2 a a t (e + at) dt = e + t = e − 1 + a = e − 1 + を解いて 2 0 2 2 t
a= 0
a = 2e − 2 ∴ f (x) = ex + (2e − 2)x
定積分が 複数種類ある場合は、その分だけ文字をおきます。文字は増えますが、方程式も その種類だけ立てられますから、求めることができます。1 種類の時に比べるとはるかに複雑 です。
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