Aplicar el método de Gauss a las matrices: 2 1 3 2 1 − 2 1 b) 3 0 1 2 1 1
a)
a.
Para aplicar el método es conveniente empezar por transformar el término 1.1 e un 1 2 1 − 1 − 1 1 1 = {F1 = F1 − F2 } = = {F1 = −1 ⋅ F1 } = 2 3 2 3 3 2
Una vez transformado se triangularías la matriz, igual que en el método de Gauss. 1 1 1 1 1 1 1 0 = {F2 = F2 − 3F1 } = = {F2 = −1 ⋅ F2 } = = {F1 = F1 − F2 } = 3 2 0 − 1 0 1 0 1
La matriz tiene inversa. Si las mismas operaciones las hubiéramos hecho sobre la matriz identidad colocada a la derecha de la matriz, la identidad se transforma en la matriz inversa. 2 1M1 0 − 1 − 1M 1 − 1 1 1 M − 1 1 = {F1 = F1 − F2 } = = {F1 = −1 ⋅ F1 } = = {F2 = F2 − 3F1 } = 2 M0 1 3 2M 0 1 3 3 2 M 0 1 1 1 M− 1 1 1 1M − 1 1 1 0 M 2 − 1 = {F2 = −1 ⋅ F2 } = = {F1 = F1 − F2 } = = 0 − 1M 3 − 2 0 1M − 3 2 0 1M− 3 2 2 − 1 − 3 2
La inversa de la matriz es
b)
1 − 2 1 M 1 0 0 1 − 2 1 M 1 0 0 F2 = F2 − 3F1 3 0 1 M 0 1 0 = = 0 6 − 2 M − 3 1 0 = {F2 = F2 − F3 } = 2 1 1 M 0 0 1 F3 = F3 − 2F1 0 5 − 1 M − 2 0 1
0 0 1 − 2 1 M 1 0 0 1 − 2 1 M 1 1 0 1 − 1 M − 1 1 − 1 = {F3 = F3 − 5F2 } = 0 1 − 1 M − 1 1 − 1 = F3 = ⋅ F3 = 4 0 5 −1 M − 2 0 1 0 0 4 M 3 − 5 6 1 − 2 1 M 1 0 = 0 1 −1 M −1 1 3 0 0 −5 1 M 4 4
1 − 2 1 M 1 0 0 −1 − 1 = {F2 = F2 + F3 } = 0 1 0 M − 1 4 4 3 3 5 M − 0 0 1 2 4 4
5 1 − 2 0 M 3 − 3 4 4 2 1 = {F1 = F1 + 2F2 } = = {F1 = F1 − F3 } = 0 1 0 M − 1 −1 4 4 2 3 0 0 1 M 3 −5 4 4 2
0 1 = 2 3 2
3 1 0 0 M − 1 − 1 4 4 2 1 = 0 1 0 M − 1 −1 4 4 2 5 3 0 0 1 M 3 − 4 4 2 3 − 1 − 1 4 4 2 1 1 1 La matriz tiene inversa y vale: − 4 − 4 2 3 3 −5 4 2 4
En definitiva es como el método de Gauss pero anulando también los términos por encima de la diagonal principal