Institut für ThI Theoretische Informatik

On the Complexity of Modal Logic Variants and their Fragments Arne Meier Disputationsvortrag 14.11.2011

ThI

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Inhalt 1 Motivation 2 Modale Logik und Fragmente 3 Temporale Logik

Erfüllbarkeit Model-Checking 4 Beschreibungslogiken 5 Fazit

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 2

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Begriffsklärung „On the Complexity of Modal Logic Variants and their Fragments.“ Modale Logik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Varianten führen weitere modale Operatoren ein. ä Temporale Logik: Computerprogramme, Spezifikationen darstellen. ä Beschreibungslogik: Darstellung von Wissensmengen. Ein Fragment schränkt ein Entscheidungsproblem (z.B. SAT) einer Logik (oder Variante) bezüglich Booler’scher Funktionen / Operatoren ein. Aufgabe Welche Fragmente sind effizient lösbar (Polynomialzeit) und welche nicht? Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 3

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Begriffsklärung „On the Complexity of Modal Logic Variants and their Fragments.“ Modale Logik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Varianten führen weitere modale Operatoren ein. ä Temporale Logik: Computerprogramme, Spezifikationen darstellen. ä Beschreibungslogik: Darstellung von Wissensmengen. Ein Fragment schränkt ein Entscheidungsproblem (z.B. SAT) einer Logik (oder Variante) bezüglich Booler’scher Funktionen / Operatoren ein. Aufgabe Welche Fragmente sind effizient lösbar (Polynomialzeit) und welche nicht? Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 3

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Begriffsklärung „On the Complexity of Modal Logic Variants and their Fragments.“ Modale Logik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Varianten führen weitere modale Operatoren ein. ä Temporale Logik: Computerprogramme, Spezifikationen darstellen. ä Beschreibungslogik: Darstellung von Wissensmengen. Ein Fragment schränkt ein Entscheidungsproblem (z.B. SAT) einer Logik (oder Variante) bezüglich Booler’scher Funktionen / Operatoren ein. Aufgabe Welche Fragmente sind effizient lösbar (Polynomialzeit) und welche nicht? Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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Begriffsklärung „On the Complexity of Modal Logic Variants and their Fragments.“ Modale Logik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Varianten führen weitere modale Operatoren ein. ä Temporale Logik: Computerprogramme, Spezifikationen darstellen. ä Beschreibungslogik: Darstellung von Wissensmengen. Ein Fragment schränkt ein Entscheidungsproblem (z.B. SAT) einer Logik (oder Variante) bezüglich Booler’scher Funktionen / Operatoren ein. Aufgabe Welche Fragmente sind effizient lösbar (Polynomialzeit) und welche nicht? Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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Begriffsklärung „On the Complexity of Modal Logic Variants and their Fragments.“ Modale Logik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik. Varianten führen weitere modale Operatoren ein. ä Temporale Logik: Computerprogramme, Spezifikationen darstellen. ä Beschreibungslogik: Darstellung von Wissensmengen. Ein Fragment schränkt ein Entscheidungsproblem (z.B. SAT) einer Logik (oder Variante) bezüglich Booler’scher Funktionen / Operatoren ein. Aufgabe Welche Fragmente sind effizient lösbar (Polynomialzeit) und welche nicht? Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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Effizienz vs. Ineffizienz Erfüllbarkeit aussagenlogischer Formeln (SAT) ist NP-vollständig. (Cook ’71, Levin ’73) ä Wenn P 6= NP gilt, gibt es keine Polynomialzeit-Algorithmen für SAT. Warum ist SAT so schwierig? (x → y ) ∧ (y → (z ∨ x )) (x ∨ y ) ∧ (0 ∧ (z ∨ x ))

(x ∨ ¬y ) ∧ (z → y ) ∧ (x ⊕ z)

vs.

(x → y ) ∧ (y → (z ∨ x ))

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

(x 9y )9(z9y )9(x 90) (x ∧ (y ⊕ z)) ⊕ (x ∧ z)

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 4

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Effizienz vs. Ineffizienz Erfüllbarkeit aussagenlogischer Formeln (SAT) ist NP-vollständig. (Cook ’71, Levin ’73) ä Wenn P 6= NP gilt, gibt es keine Polynomialzeit-Algorithmen für SAT. Warum ist SAT so schwierig? (x → y ) ∧ (y → (z ∨ x )) (x ∨ y ) ∧ (0 ∧ (z ∨ x ))

(x ∨ ¬y ) ∧ (z → y ) ∧ (x ⊕ z)

vs.

(x → y ) ∧ (y → (z ∨ x ))

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

(x 9y )9(z9y )9(x 90) (x ∧ (y ⊕ z)) ⊕ (x ∧ z)

Beschreibungslogiken

Fazit

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Effizienz vs. Ineffizienz Erfüllbarkeit aussagenlogischer Formeln (SAT) ist NP-vollständig. (Cook ’71, Levin ’73) ä Wenn P 6= NP gilt, gibt es keine Polynomialzeit-Algorithmen für SAT. Warum ist SAT so schwierig? (x → y ) ∧ (y → (z ∨ x )) (x ∨ y ) ∧ (0 ∧ (z ∨ x ))

(x ∨ ¬y ) ∧ (z → y ) ∧ (x ⊕ z)

vs.

(x → y ) ∧ (y → (z ∨ x ))

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

(x 9y )9(z9y )9(x 90) (x ∧ (y ⊕ z)) ⊕ (x ∧ z)

Beschreibungslogiken

Fazit

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Effizienz vs. Ineffizienz Erfüllbarkeit aussagenlogischer Formeln (SAT) ist NP-vollständig. (Cook ’71, Levin ’73) ä Wenn P 6= NP gilt, gibt es keine Polynomialzeit-Algorithmen für SAT. Warum ist SAT so schwierig? (x → y ) ∧ (y → (z ∨ x )) (x ∨ y ) ∧ (0 ∧ (z ∨ x ))

(x ∨ ¬y ) ∧ (z → y ) ∧ (x ⊕ z)

vs.

(x → y ) ∧ (y → (z ∨ x )) Test in P = effizient Motivation

Modale Logik und Fragmente

(x 9y )9(z9y )9(x 90) (x ∧ (y ⊕ z)) ⊕ (x ∧ z) Test nur in NP = ineffizient

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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Effizienz vs. Ineffizienz Erfüllbarkeit aussagenlogischer Formeln (SAT) ist NP-vollständig. (Cook ’71, Levin ’73) ä Wenn P 6= NP gilt, gibt es keine Polynomialzeit-Algorithmen für SAT. Warum ist SAT so schwierig? (x → y ) ∧ (y → (z ∨ x )) (x ∨ y ) ∧ (0 ∧ (z ∨ x ))

(x ∨ ¬y ) ∧ (z → y ) ∧ (x ⊕ z)

vs.

(x → y ) ∧ (y → (z ∨ x )) Test in P = effizient Motivation

Modale Logik und Fragmente

(x 9y )9(z9y )9(x 90) (x ∧ (y ⊕ z)) ⊕ (x ∧ z) Test nur in NP = ineffizient

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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Ansatz für Boole’sche Fragmente: Clones ä Beschränkung von SAT auf Mengen Boole’scher Funktionen. Definition: Clone Eine Menge B von Boole’schen Funktionen wird Clone genannt, wenn B alle Projektionen enthält und unter beliebiger Ineinandersetzung von Funktionen aus B abgeschlossen ist. Der kleinste Clone von B wird mit [B] bezeichnet.

ä [B] enthält also alle die Funktionen, welche mit Funktionen aus B berechnet werden können. ä In [{∧, ¬}] sind damit alle Boole’sche Funktionen enthalten. Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 5

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Ansatz für Boole’sche Fragmente: Clones ä Beschränkung von SAT auf Mengen Boole’scher Funktionen. Definition: Clone Eine Menge B von Boole’schen Funktionen wird Clone genannt, wenn B alle Projektionen enthält und unter beliebiger Ineinandersetzung von Funktionen aus B abgeschlossen ist. Der kleinste Clone von B wird mit [B] bezeichnet.

ä [B] enthält also alle die Funktionen, welche mit Funktionen aus B berechnet werden können. ä In [{∧, ¬}] sind damit alle Boole’sche Funktionen enthalten. Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 5

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Ansatz für Boole’sche Fragmente: Clones ä Beschränkung von SAT auf Mengen Boole’scher Funktionen. Definition: Clone Eine Menge B von Boole’schen Funktionen wird Clone genannt, wenn B alle Projektionen enthält und unter beliebiger Ineinandersetzung von Funktionen aus B abgeschlossen ist. Der kleinste Clone von B wird mit [B] bezeichnet.

ä [B] enthält also alle die Funktionen, welche mit Funktionen aus B berechnet werden können. ä In [{∧, ¬}] sind damit alle Boole’sche Funktionen enthalten. Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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ThI

BF

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R1

R0 R2

Ein Verband geformt aus Clones

M M1

Post’scher Verband

S3 0

entwickelt von Post 1941 BF: alle Boole’schen Funktionen

S2 02 S3 02

S3 01

S2 00

S2 10 D

S3 00 S02

S2 1

S2 01

S0

M: monotone Funktionen

M0 M2

S2 0

D2 S00

D: selbst-duale Funktionen V: Disjunktionen

S2 12

S3 11

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S3 10

D1

S01

S2 11

S10 V

V1

L V0

L1

V2

L3

E L0

L2

L: affine Funktionen

E1

E0 E2

N

E: Konjunktionen

N2

N: Negation I: Identitäten

I I1

I0 I2

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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R1

R0 R2

Ein Verband geformt aus Clones

M M1

Post’scher Verband

S3 0

entwickelt von Post 1941 BF: alle Boole’schen Funktionen

S2 02 S3 02

S3 01

S2 00

S2 10 D

S3 00 S02

S2 1

S2 01

S0

M: monotone Funktionen

M0 M2

S2 0

D2 S00

D: selbst-duale Funktionen V: Disjunktionen

S2 12

S3 11

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S3 10

D1

S01

S2 11

S10 V

V1

L V0

L1

V2

L3

E L0

L2

L: affine Funktionen

E1

E0 E2

N

E: Konjunktionen

N2

N: Negation I: Identitäten

I I1

I0 I2

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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R0 R2

Ein Verband geformt aus Clones

M M1

Post’scher Verband

S3 0

entwickelt von Post 1941 BF: alle Boole’schen Funktionen

S2 02 S3 02

S3 01

S2 00

S2 10 D

S3 00 S02

S2 1

S2 01

S0

M: monotone Funktionen

M0 M2

S2 0

D2 S00

D: selbst-duale Funktionen V: Disjunktionen

S2 12

S3 11

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S3 10

D1

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S10 V

V1

L V0

L1

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L3

E L0

L2

L: affine Funktionen

E1

E0 E2

N

E: Konjunktionen

N2

N: Negation I: Identitäten

I I1

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Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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Ein Verband geformt aus Clones

M M1

Post’scher Verband

S3 0

entwickelt von Post 1941 BF: alle Boole’schen Funktionen

S2 02 S3 02

S3 01

S2 00

S2 10 D

S3 00 S02

S2 1

S2 01

S0

M: monotone Funktionen

M0 M2

S2 0

D2 S00

D: selbst-duale Funktionen V: Disjunktionen

S2 12

S3 11

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S3 10

D1

S01

S2 11

S10 V

V1

L V0

L1

V2

L3

E L0

L2

L: affine Funktionen

E1

E0 E2

N

E: Konjunktionen

N2

N: Negation I: Identitäten

I I1

I0 I2

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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M M1

Post’scher Verband

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entwickelt von Post 1941 BF: alle Boole’schen Funktionen

S2 02 S3 02

S3 01

S2 00

S2 10 D

S3 00 S02

S2 1

S2 01

S0

M: monotone Funktionen

M0 M2

S2 0

D2 S00

D: selbst-duale Funktionen V: Disjunktionen

S2 12

S3 11

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S3 10

D1

S01

S2 11

S10 V

V1

L V0

L1

V2

L3

E L0

L2

L: affine Funktionen

E1

E0 E2

N

E: Konjunktionen

N2

N: Negation I: Identitäten

I I1

I0 I2

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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R1

R0 R2

Ein Verband geformt aus Clones

M M1

Post’scher Verband

S3 0

entwickelt von Post 1941 BF: alle Boole’schen Funktionen

S2 02 S3 02

S3 01

S2 00

S2 10 D

S3 00 S02

S2 1

S2 01

S0

M: monotone Funktionen

M0 M2

S2 0

D2 S00

D: selbst-duale Funktionen V: Disjunktionen

S2 12

S3 11

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S3 10

D1

S01

S2 11

S10 V

V1

L V0

L1

V2

L3

E L0

L2

L: affine Funktionen

E1

E0 E2

N

E: Konjunktionen

N2

N: Negation I: Identitäten

I I1

I0 I2

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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BF

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R1

R0 R2

Ein Verband geformt aus Clones

M M1

Post’scher Verband

S3 0

entwickelt von Post 1941 BF: alle Boole’schen Funktionen

S2 02 S3 02

S3 01

S2 00

S2 10 D

S3 00 S02

S2 1

S2 01

S0

M: monotone Funktionen

M0 M2

S2 0

D2 S00

D: selbst-duale Funktionen V: Disjunktionen

S2 12

S3 11

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S3 10

D1

S01

S2 11

S10 V

V1

L V0

L1

V2

L3

E L0

L2

L: affine Funktionen

E1

E0 E2

N

E: Konjunktionen

N2

N: Negation I: Identitäten

I I1

I0 I2

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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ThI

BF

Institut für Theoretische Informatik

R1

R0 R2

Ein Verband geformt aus Clones

M M1

Post’scher Verband

S3 0

entwickelt von Post 1941 BF: alle Boole’schen Funktionen

S2 02 S3 02

S3 01

S2 00

S2 10 D

S3 00 S02

S2 1

S2 01

S0

M: monotone Funktionen

M0 M2

S2 0

D2 S00

D: selbst-duale Funktionen V: Disjunktionen

S2 12

S3 11

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S3 10

D1

S01

S2 11

S10 V

V1

L V0

L1

V2

L3

E L0

L2

L: affine Funktionen

E1

E0 E2

N

E: Konjunktionen

N2

N: Negation I: Identitäten

I I1

I0 I2

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 6

ThI

BF

Institut für Theoretische Informatik

R1

R0 R2

Ein Verband geformt aus Clones

M M1

Post’scher Verband

S3 0

entwickelt von Post 1941 BF: alle Boole’schen Funktionen

S2 02 S3 02

S3 01

S2 00

S2 10 D

S3 00 S02

S2 1

S2 01

S0

M: monotone Funktionen

M0 M2

S2 0

D2 S00

D: selbst-duale Funktionen V: Disjunktionen

S2 12

S3 11

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S3 10

D1

S01

S2 11

S10 V

V1

L V0

L1

V2

L3

E L0

L2

L: affine Funktionen

E1

E0 E2

N

E: Konjunktionen

N2

N: Negation I: Identitäten

I I1

I0 I2

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 6

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Wie hilft uns dieser Verband? Gegeben: Problem Π(B) über Boole’sche Schaltkreise mit Gattern aus B. Folgerung: Wenn B ⊆ [B 0 ], dann gilt Π(B) ≤cd Π(B 0 ). Was bedeutet das? ä Untere Schranken übertragen sich nach oben. ä Obere Schranken übertragen sich nach unten.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 7

ThI

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Wie hilft uns dieser Verband? Gegeben: Problem Π(B) über Boole’sche Schaltkreise mit Gattern aus B. Folgerung: Wenn B ⊆ [B 0 ], dann gilt Π(B) ≤cd Π(B 0 ).

BF R1

Was bedeutet das?

R0 R2

ä Untere Schranken übertragen sich nach oben.

M

M1

ä Obere Schranken übertragen sich nach unten. S2 0 S3 0

S2 02

S2 01

S3 02

S3 01

S0

S2 1

S2 00

S2 10 D

S3 00 S02

M0 M2

D2 S00

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S10 V

Motivation

S2 12

S3 11

S3 10

D1

S01

S2 11

L

V1Beschreibungslogiken V0 L1 L3 V

L

E L0

E1 Fazit

E0 E

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ThI

R2

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M

Wie hilft uns dieser Verband?

M1

S3 0

M0 M2

S2 0 S2 02

S2 01

S2 11

Gegeben: Problem Π(B) über Boole’sche Schaltkreise mit Gattern aus B. S3 02

[B 0 ],

Folgerung: Wenn B ⊆ dann gilt Π(B) ≤cd Π(B 0 ).

S3 01

S0

S2 00

D

S3 00 S02

S2 10 S3 10

D1

S01

S11

D2 S00

Was bedeutet das?

ä Untere Schranken übertragen sich nach oben.

S10 V

V1

ä Obere Schranken übertragen sich nach unten.

L V0

L1

V2

L3

E L0

L2

E1

E0 E2

N N2

I I1

I0 I2

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

S3 11

Seite 7

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Wie hilft uns dieser Verband? Formeln Funktionen Gegeben: Problem Π(B) über Boole’sche Schaltkreise mit Gattern aus B. alle⊆f [B ∈0 ],B kurz in B 0 repräsentiert werden können, Folgerung: Wenn B dann gilt Π(B) ≤cd Π(B 0 ). Was bedeutet das? ä Untere Schranken übertragen sich nach oben. ä Obere Schranken übertragen sich nach unten. Eine Boole’sche Funktion f kann in B 0 kurz repräsentiert werden, wenn 1

es gibt eine B 0 -Formel g , so dass f ≡ g , und

2

jede Variable in f taucht höchstens einmal im Rumpf von g auf.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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Klassifikationen mit dem Post’schen Verband

BF R1

R0 R2

Satz (Lewis ’79) Sei B eine Menge von Boole’schen Funktionen. SAT(B) ist NP-vollständig gdw. 9 ∈ [B]. Ansonsten gilt SAT(B) ∈ P.S 2 0

S3 0

S2 02

S2 01

S3 02

S3 01

S0

M0 M2

S2 1

S2 00

S2 10 D

S3 00 S02

M M1

Temporale LogikV1

S3 12

S3 1

S1 S12

S10 V

Modale Logik und Fragmente

S3 11

S11

D2 S00

Motivation

S2 12

S3 10

D1

S01

S2 11

L V0 L1 L3 L0 Beschreibungslogiken

E E1Fazit

E0

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Aufgabenstellung Dissertation Ansatz Beschränke die Menge der verfügbaren Boole’schen Funktionen. Untersuche die Komplexität mit Bezug auf alle endlichen Mengen von erlaubten Boole’schen Funktionen. Ziele Wo liegt die Grenze zwischen effizienter Lösbarkeit und Ineffizienz? Beweise möglichst Vollständigkeits-Resultate. Einblicke in die Ursachen für schwierige Fälle. Verbesserung von Algorithmen für Spezialfälle.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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Modale Logik

Geht zurück auf C. I. Lewis 1918. Erweiterung der Aussagenlogik: ϕ heißt „in allen Nachfolgern gilt ϕ“. ♦ϕ ≡ ¬¬ϕ heißt „in mindestens einem Nachfolger gilt ϕ“. Modelle in Form von Kripke Strukturen: s1

s2 s3

s4

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

s5

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 10

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Modale Logik

Geht zurück auf C. I. Lewis 1918. Erweiterung der Aussagenlogik: ϕ heißt „in allen Nachfolgern gilt ϕ“. ♦ϕ ≡ ¬¬ϕ heißt „in mindestens einem Nachfolger gilt ϕ“. Modelle in Form von Kripke Strukturen: s1

s2 s3

s4

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

s5

Beschreibungslogiken

Fazit

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Modale Logik

Geht zurück auf C. I. Lewis 1918. Erweiterung der Aussagenlogik: ϕ heißt „in allen Nachfolgern gilt ϕ“. ♦ϕ ≡ ¬¬ϕ heißt „in mindestens einem Nachfolger gilt ϕ“. Modelle in Form von Kripke Strukturen: s1

s2 s3

s4

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

s5

Beschreibungslogiken

Fazit

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Modale Logik

Geht zurück auf C. I. Lewis 1918. Erweiterung der Aussagenlogik: ϕ heißt „in allen Nachfolgern gilt ϕ“. ♦ϕ ≡ ¬¬ϕ heißt „in mindestens einem Nachfolger gilt ϕ“. Modelle in Form von Kripke Strukturen: s1

grün ∧ ♦♦blau s2 s3

s4

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

s5

Beschreibungslogiken

Fazit

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Modale Logik

Geht zurück auf C. I. Lewis 1918. Erweiterung der Aussagenlogik: ϕ heißt „in allen Nachfolgern gilt ϕ“. ♦ϕ ≡ ¬¬ϕ heißt „in mindestens einem Nachfolger gilt ϕ“. Modelle in Form von Kripke Strukturen: s1

grün ∧ ♦♦blau s2 s3

s4

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

s5

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 10

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Modale Logik

Geht zurück auf C. I. Lewis 1918. Erweiterung der Aussagenlogik: ϕ heißt „in allen Nachfolgern gilt ϕ“. ♦ϕ ≡ ¬¬ϕ heißt „in mindestens einem Nachfolger gilt ϕ“. Modelle in Form von Kripke Strukturen: s1

grün ∧ ♦♦blau s2 s3

s4

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

s5

Beschreibungslogiken

Fazit

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Temporale Logik Eingeführt von Prior 1957. Erweiterung modaler Logik → Interaktion mit Computer Programmen. Operatoren neXt und Until, sowie Pfad-Quantor All. ä Operatoren Future, Global, Pfad-Quantor Exists.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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Temporale Logik Eingeführt von Prior 1957. Erweiterung modaler Logik → Interaktion mit Computer Programmen. Operatoren neXt und Until, sowie Pfad-Quantor All. ä Operatoren Future, Global, Pfad-Quantor Exists.

s1

s2 s3

s4

Motivation

Modale Logik und Fragmente

s5

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

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ThI

Institut für Theoretische Informatik

Temporale Logik Eingeführt von Prior 1957. Erweiterung modaler Logik → Interaktion mit Computer Programmen. Operatoren neXt und Until, sowie Pfad-Quantor All. ä Operatoren Future, Global, Pfad-Quantor Exists.

s1

E[grünUblau] s2 s3

s4

Motivation

Modale Logik und Fragmente

s5

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 11

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Temporale Logik Eingeführt von Prior 1957. Erweiterung modaler Logik → Interaktion mit Computer Programmen. Operatoren neXt und Until, sowie Pfad-Quantor All. ä Operatoren Future, Global, Pfad-Quantor Exists. EF(blau ∧ AXgrün) s1

s2 s3

s4

Motivation

Modale Logik und Fragmente

s5

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 11

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Temporale Logik Eingeführt von Prior 1957. Erweiterung modaler Logik → Interaktion mit Computer Programmen. Operatoren neXt und Until, sowie Pfad-Quantor All. ä Operatoren Future, Global, Pfad-Quantor Exists.

s1

s2 s3 EGblau

s4

Motivation

Modale Logik und Fragmente

s5

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 11

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Temporale Logik Eingeführt von Prior 1957. Erweiterung modaler Logik → Interaktion mit Computer Programmen. Operatoren neXt und Until, sowie Pfad-Quantor All. ä Operatoren Future, Global, Pfad-Quantor Exists. EF(blau ∧ AXgrün) s1

E[grünUblau] s2 s3 EGblau

s4

s5

Spezifikation ≈ Formel, Programm ≈ Kripke Struktur Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 11

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Eine Landschaft von Logiken CTL?

CTL? : Formeln der Art ϕ ::= > | x | ϕ ∧ ϕ | ¬ϕ | Xϕ | ϕUϕ | Aϕ, wobei x eine atomare Proposition ist (z.B. blau). Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 12

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Eine Landschaft von Logiken CTL? LTL

LTL: Formeln der Form Eϕ mit ϕ ::= > | x | ϕ ∧ ϕ | ¬ϕ | Xϕ | ϕUϕ, wobei x eine atomare Proposition ist (z.B. blau). Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 12

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Eine Landschaft von Logiken CTL? LTL

CTL

CTL: Formeln der Art ϕ ::= > | x | ϕ ∧ ϕ | ¬ϕ | EXϕ | E[ϕUϕ] | AFϕ, wobei x eine atomare Proposition ist (z.B. blau). Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 12

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Zwei zentrale Probleme Erfüllbarkeit (CTL? -SAT) Gegeben:

CTL? -Formel

CTL?

ϕ.

Frage: Ist ϕ erfüllbar? Komplexität: EEXP-vollständig ([Vardi & Stockmeyer ’85, Allen Emmerson & Jutla ’00]) CTL? LTL CTL

Motivation

Modale Logik und Fragmente

SAT EEXP PSPACE EXP

Temporale Logik

MC PSPACE PSPACE P

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 13

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Zwei zentrale Probleme Erfüllbarkeit (LTL-SAT)

CTL?

Gegeben: LTL-Formel ϕ.

LTL

Frage: Ist ϕ erfüllbar? Komplexität: PSPACE-vollständig ([Sistla & Clarke ’85])

CTL? LTL CTL

Motivation

Modale Logik und Fragmente

SAT EEXP PSPACE EXP

Temporale Logik

MC PSPACE PSPACE P

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 13

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Zwei zentrale Probleme Erfüllbarkeit (CTL-SAT)

CTL?

Gegeben: CTL-Formel ϕ.

LTL

CTL

Frage: Ist ϕ erfüllbar? Komplexität: EXP-vollständig ([Fischer & Ladner ’79, Pratt ’80])

CTL? LTL CTL

Motivation

Modale Logik und Fragmente

SAT EEXP PSPACE EXP

Temporale Logik

MC PSPACE PSPACE P

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 13

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Zwei zentrale Probleme Model-Checking (CTL? -MC) Gegeben:

CTL? -Formel

CTL?

ϕ, Struktur K .

Frage: Ex. ein w ∈ K in dem ϕ erfüllt wird? Komplexität: PSPACE-vollständig ([Clarke & Emmerson & Sistla ’86])

CTL? LTL CTL

Motivation

Modale Logik und Fragmente

SAT EEXP PSPACE EXP

Temporale Logik

MC PSPACE PSPACE P

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 13

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Zwei zentrale Probleme Model-Checking (LTL-MC)

CTL?

Gegeben: LTL-Formel ϕ, Struktur K .

LTL

Frage: Ex. ein w ∈ K in dem ϕ erfüllt wird? Komplexität: PSPACE-vollständig ([Clarke & Sistla ’86])

CTL? LTL CTL

Motivation

Modale Logik und Fragmente

SAT EEXP PSPACE EXP

Temporale Logik

MC PSPACE PSPACE P

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 13

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Zwei zentrale Probleme Model-Checking (CTL-MC)

CTL?

Gegeben: CTL-Formel ϕ, Struktur K .

LTL

CTL

Frage: Ex. ein w ∈ K in dem ϕ erfüllt wird? Komplexität: P-vollständig ([Clarke & Emmerson & Sistla ’86, Schnoebelen ’02]) CTL? LTL CTL

Motivation

Modale Logik und Fragmente

SAT EEXP PSPACE EXP

Temporale Logik

MC PSPACE PSPACE P

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 13

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Zwei zentrale Probleme Model-Checking (CTL-MC)

CTL?

Gegeben: CTL-Formel ϕ, Struktur K .

LTL

CTL

Frage: Ex. ein w ∈ K in dem ϕ erfüllt wird? Komplexität: P-vollständig ([Clarke & Emmerson & Sistla ’86, Schnoebelen ’02]) CTL? LTL CTL

Motivation

Modale Logik und Fragmente

SAT EEXP PSPACE EXP

Temporale Logik

MC PSPACE PSPACE ineffiziente Fälle P

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 13

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Verallgemeinerte Erfüllbarkeit Ansatz Betrachte neben Boole’schen Fragmenten auch Operator-Fragmente und Kombinationen dieser Fragmente für eine Logik L ∈ {CTL? , LTL, CTL}. L-SAT(T , B) Gegeben: L-Formel ϕ über Funktionen aus [B] und Operatoren aus T . Frage: ist ϕ erfüllbar? ä Für L = LTL (fast vollständig) klassifiziert durch Bauland et al. ’09. ä Für L ∈ {CTL? , CTL} in meiner Dissertation untersucht. Konvention: ALLCTL ist die Menge aller CTL-Operatoren

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 14

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Verallgemeinerte Erfüllbarkeit Ansatz Betrachte neben Boole’schen Fragmenten auch Operator-Fragmente und Kombinationen dieser Fragmente für eine Logik L ∈ {CTL? , LTL, CTL}. L-SAT(T , B) Gegeben: L-Formel ϕ über Funktionen aus [B] und Operatoren aus T . Frage: ist ϕ erfüllbar? ä Für L = LTL (fast vollständig) klassifiziert durch Bauland et al. ’09. ä Für L ∈ {CTL? , CTL} in meiner Dissertation untersucht. Konvention: ALLCTL ist die Menge aller CTL-Operatoren

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 14

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Verallgemeinerte Erfüllbarkeit Ansatz Betrachte neben Boole’schen Fragmenten auch Operator-Fragmente und Kombinationen dieser Fragmente für eine Logik L ∈ {CTL? , LTL, CTL}. L-SAT(T , B) Gegeben: L-Formel ϕ über Funktionen aus [B] und Operatoren aus T . Frage: ist ϕ erfüllbar? ä Für L = LTL (fast vollständig) klassifiziert durch Bauland et al. ’09. ä Für L ∈ {CTL? , CTL} in meiner Dissertation untersucht. Konvention: ALLCTL ist die Menge aller CTL-Operatoren

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 14

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Operator-Fragmente CTL-SAT(T , BF) AX, AF, EU

Satz Sei T ⊆ ALLCTL . Dann ist CTL-SAT(T , BF)

AF, EU

1

NP-vollständig für T ⊆ {AF},

2

PSPACE-vollständig für {AG} ⊆ T ⊆ {AG, AF} und {AX} ⊆ T ⊆ {AX, AF}, und

3

AG, AU AX, AU

AX, EU AX, AF, AG

AX, AF AF, AG AX, AG AU

EXP-vollständig sonst.

EU AF

AX

AG

∅

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 15

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Operator-Fragmente CTL-SAT(T , BF) AX, AF, EU

Satz Sei T ⊆ ALLCTL . Dann ist CTL-SAT(T , BF)

AF, EU

1

NP-vollständig für T ⊆ {AF},

2

PSPACE-vollständig für {AG} ⊆ T ⊆ {AG, AF} und {AX} ⊆ T ⊆ {AX, AF}, und

3

AG, AU AX, AU

AX, EU AX, AF, AG

AX, AF AF, AG AX, AG AU

EXP-vollständig sonst.

EU AF

Idee Härte durch SAT. Mitgliedschaft durch Kleine-Modelle-Eigenschaft. Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

AX

AG

∅ NP-v.

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 15

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Operator-Fragmente CTL-SAT(T , BF) AX, AF, EU

Satz Sei T ⊆ ALLCTL . Dann ist CTL-SAT(T , BF)

AF, EU

1

NP-vollständig für T ⊆ {AF},

2

PSPACE-vollständig für {AG} ⊆ T ⊆ {AG, AF} und {AX} ⊆ T ⊆ {AX, AF}, und

3

AG, AU AX, AU

AX, EU AX, AF, AG

AX, AF AF, AG AX, AG AU

EXP-vollständig sonst.

EU AF

Idee Härte durch QBF-3VAL. Mitgliedschaft: erw. Modellbegriff, Fixpunkt-Charakterisierung. Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

AX

AG

∅ NP-v.

Beschreibungslogiken

PSPACE-v.

Fazit

Seite 15

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Operator-Fragmente CTL-SAT(T , BF) AX, AF, EU

Satz Sei T ⊆ ALLCTL . Dann ist CTL-SAT(T , BF)

AF, EU

1

NP-vollständig für T ⊆ {AF},

2

PSPACE-vollständig für {AG} ⊆ T ⊆ {AG, AF} und {AX} ⊆ T ⊆ {AX, AF}, und

3

AG, AU AX, AU

AX, EU AX, AF, AG

AX, AF AF, AG AX, AG AU

EXP-vollständig sonst.

EU AF

Idee Härte: Reduktion vom Wortproblem für APSPACE Turing Maschinen. Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

AX

AG

∅ NP-v.

Beschreibungslogiken

PSPACE-v.

Fazit

EXP-v.

Seite 15

ThI

BF

Institut für Theoretische Informatik

R0

R1 R2

Boole’sche Fragmente M

Satz CTL

Sei T ⊆ ALL und B beliebige Menge Boole’scher Funktionen mit [B] ∈ / {L, L0 }. Dann ist CTL-SAT(T , B) 1

2

3

M0

M1

für S1 ⊆ [B] äquivalent zu CTL-SAT(T , BF),

S2 0 S3 0

S2 1

M2 S2 02 S3 02

S2 01 S3 01

S2 00

S2 10

S3 00

S0 S02

für S11 ⊆ [B] ⊆ M NC1 -vollständig, und

D1 D2

S00

V0

V1

L1

V2

L3

S3 11

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S10

L

V

S2 12

S3 10

D

S01

S2 11

E L0

L2

E0

E1 E2

N

sonst TC0 -vollständig.

N2

in EXP

I I0

I1 I2

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 16

ThI

BF

Institut für Theoretische Informatik

R0

R1

alle Funktionen

R2

Boole’sche Fragmente M

Satz CTL

Sei T ⊆ ALL und B beliebige Menge Boole’scher Funktionen mit [B] ∈ / {L, L0 }. Dann ist CTL-SAT(T , B) 1

2

3

für S1 ⊆ [B] äquivalent zu CTL-SAT(T , BF),

S2 0 S3 0

S2 02 S3 02

S2 01 S3 01

S2 00

S2 10

S3 00

S0 S02

für S11 ⊆ [B] ⊆ M NC1 -vollständig, und

D1

S01

D2

S00

V0

V1

L1

V2

L3

S2 12

S3 11

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S10

L

V

S2 11

S3 10

D

E L0

L2

E0

E1 E2

[{9}]

N

sonst TC0 -vollständig.

Modale Logik und Fragmente

S2 1

M2

N2

Idee Ersetze > durch neue Variable T und füge ’∧T ’ zu jeder Teilformel hinzu. Motivation

M0

M1

Temporale Logik

EXP-v. in EXP

I I0

I1

Beschreibungslogiken

I2

Fazit

Seite 16

ThI

BF

Institut für Theoretische Informatik

R0

R1

monotone Funktionen

R2

Boole’sche Fragmente M

Satz CTL

Sei T ⊆ ALL und B beliebige Menge Boole’scher Funktionen mit [B] ∈ / {L, L0 }. Dann ist CTL-SAT(T , B) 1

2

3

für S1 ⊆ [B] äquivalent zu CTL-SAT(T , BF),

S2 0 S3 0

S2 02 S3 02

S2 01 S3 01

S2 00

S2 10

S3 00

S0 S02

für S11 ⊆ [B] ⊆ M NC1 -vollständig, und

D1

S01

D2

S00

V0

V1

L1

V2

L3

S2 12

S3 11

S3 12

S11

S12

S3 1

S1

S10

L

V

S2 11

S3 10

D

E L0

L2

E0

E1 E2

N

sonst TC0 -vollständig.

Modale Logik und Fragmente

S2 1

M2

N2

Idee Ersetze alle Propositionen durch > und evaluiere ähnlich wie in der Aussagenlogik. Motivation

M0

M1

Temporale Logik

I I0

I1

Beschreibungslogiken

EXP-v. in EXP NC1 -v.

I2

Fazit

Seite 16

ThI

BF

Institut für Theoretische Informatik

R0

R1 R2

Boole’sche Fragmente M

Satz CTL

Sei T ⊆ ALL und B beliebige Menge Boole’scher Funktionen mit [B] ∈ / {L, L0 }. Dann ist CTL-SAT(T , B) 1

2

3

M0

M1

für S1 ⊆ [B] äquivalent zu CTL-SAT(T , BF),

S2 0 S3 0

S2 1

M2 S2 02 S3 02

S2 01 S3 01

S2 00

S2 10

S3 00

S0 S02

für S11 ⊆ [B] ⊆ M NC1 -vollständig, und

D1 D2

S00 V L1

V2

L3

L0

S11

S12

S1

E0

E1 E2

N N2

I I0

I1 I2

Modale Logik und Fragmente

S3 12

E

L2

sonst TC0 -vollständig.

Idee Reflexive Welt bzw. ¬’s zählen. Motivation

S3 11

S3 1

S10

L V0

V1

S2 12

S3 10

D

S01

S2 11

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

EXP-v. in EXP NC1 -v. TC0 -v. Seite 16

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Erkenntnisse aus der Klassifikation Resultate Boole’scher Fragmente unabhängig von Operatoren. ä Übertragbar auf CTL? -SAT(T , B). CTL? -SAT(T , BF) auch klassifiziert. Erlaubte Boole’sche Funktionen bestimmen Effizienz eines Fragments maßgeblich. ä Gilt 9 ∈ [B], dann ist L-SAT(T , B) zwischen NP- und EEXP-vollständig. Sonst: fast immer sehr effizient lösbar. Außerdem CTL+ und ECTL untersucht.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 17

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Erkenntnisse aus der Klassifikation A, X, U LTL X, U

Resultate Boole’scher Fragmente unabhängig von Operatoren. ä Übertragbar auf CTL? -SAT(T , B). CTL? -SAT(T , BF) auch klassifiziert. Erlaubte Boole’sche Funktionen bestimmen Effizienz eines Fragments maßgeblich.

U

X, F

F

X

ä Gilt 9 ∈ [B], dann ist L-SAT(T , B) zwischen NP- und EEXP-vollständig. Sonst: fast immer sehr effizient lösbar. Außerdem CTL+ und ECTL untersucht.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

A, U A, X, F

Beschreibungslogiken

A, F

A, X

A ∅

EEXP-v. PSPACE-v. NP-v.

Fazit

Seite 17

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Erkenntnisse aus der Klassifikation A, X, U LTL X, U

Resultate Boole’scher Fragmente unabhängig von Operatoren. ä Übertragbar auf CTL? -SAT(T , B). CTL? -SAT(T , BF) auch klassifiziert. Erlaubte Boole’sche Funktionen bestimmen Effizienz eines Fragments maßgeblich.

U

X, F

F

X

ä Gilt 9 ∈ [B], dann ist L-SAT(T , B) zwischen NP- und EEXP-vollständig. Sonst: fast immer sehr effizient lösbar. Außerdem CTL+ und ECTL untersucht.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

A, U A, X, F

Beschreibungslogiken

A, F

A, X

A ∅

EEXP-v. PSPACE-v. NP-v.

Fazit

Seite 17

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Erkenntnisse aus der Klassifikation A, X, U LTL X, U

Resultate Boole’scher Fragmente unabhängig von Operatoren. ä Übertragbar auf CTL? -SAT(T , B). CTL? -SAT(T , BF) auch klassifiziert. Erlaubte Boole’sche Funktionen bestimmen Effizienz eines Fragments maßgeblich.

U

X, F

F

X

ä Gilt 9 ∈ [B], dann ist L-SAT(T , B) zwischen NP- und EEXP-vollständig. Sonst: fast immer sehr effizient lösbar. Außerdem CTL+ und ECTL untersucht.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

A, U A, X, F

Beschreibungslogiken

A, F

A, X

A ∅

EEXP-v. PSPACE-v. NP-v.

Fazit

Seite 17

ThI

Institut für Theoretische Informatik

CTL Model-Checking: ein anderer Ansatz Ziel „die Grenze zwischen effizient lösbaren und ineffizienten Fragmenten finden“ ä CTL-MC ∈ P und damit bereits effizient lösbar P-vollständige Probleme sind nicht parallelisierbar (sofern P 6= NC) typische Algorithmen arbeiten mit der Basis {∧, ∨, ¬} ä untersuche direkten Einfluss der Negation und unterscheide für eine Menge von CTL-Operatoren T Fragmente der Form: CTLpos (T ): keine CTL-Operatoren im Wirkungsbereich von Negation, CTLa.n. (T ): nur atomare Negation, CTLmon (T ): keine Negation erlaubt. Ansatz von Sistla und Clarke für LTL, 1985. Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 18

ThI

Institut für Theoretische Informatik

CTL Model-Checking: ein anderer Ansatz Ziel „die Grenze zwischen effizient lösbaren und ineffizienten Fragmenten finden“ ä CTL-MC ∈ P und damit bereits effizient lösbar P-vollständige Probleme sind nicht parallelisierbar (sofern P 6= NC) typische Algorithmen arbeiten mit der Basis {∧, ∨, ¬} ä untersuche direkten Einfluss der Negation und unterscheide für eine Menge von CTL-Operatoren T Fragmente der Form: CTLpos (T ): keine CTL-Operatoren im Wirkungsbereich von Negation, CTLa.n. (T ): nur atomare Negation, CTLmon (T ): keine Negation erlaubt. Ansatz von Sistla und Clarke für LTL, 1985. Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 18

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Negation beeinflusst die Komplexität nicht Satz Sei T eine Menge von CTL-Operatoren. Dann ist CTLx -MC(T ) für x ∈ {mon, a.n., pos}: 1

NC1 -vollständig für T = ∅,

2

LOGCFL-vollständig für ∅ ( T ⊆ {EX, EF} und ∅ ( T ⊆ {AX, AG}, und

3

P-vollständig sonst.

Idee Es gilt nach Definition der Probleme: CTLmon -MC(T ) ≤cd CTLa.n. -MC(T ) ≤cd CTLpos -MC(T ).

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 19

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Negation beeinflusst die Komplexität nicht Satz Sei T eine Menge von CTL-Operatoren. Dann ist CTLx -MC(T ) für x ∈ {mon, a.n., pos}: 1

NC1 -vollständig für T = ∅,

2

LOGCFL-vollständig für ∅ ( T ⊆ {EX, EF} und ∅ ( T ⊆ {AX, AG}, und

3

P-vollständig sonst.

Idee Problem äquivalent zur Evaluierung von aussagenlogischen Formeln, welches NC1 -vollständig ist (Buss ’87).

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 19

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Negation beeinflusst die Komplexität nicht Satz Sei T eine Menge von CTL-Operatoren. Dann ist CTLx -MC(T ) für x ∈ {mon, a.n., pos}: 1

NC1 -vollständig für T = ∅,

2

LOGCFL-vollständig für ∅ ( T ⊆ {EX, EF} und ∅ ( T ⊆ {AX, AG}, und

3

P-vollständig sonst.

Idee obere Schranke: merke Paare von Teilformeln und zugehörige Welt auf Stack. Benutze Nichtdeterminismus um Nachfolgewelt zu raten. Härte: bilde SAC1 Schaltkreise nach.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 19

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Negation beeinflusst die Komplexität nicht Satz Sei T eine Menge von CTL-Operatoren. Dann ist CTLx -MC(T ) für x ∈ {mon, a.n., pos}: 1

NC1 -vollständig für T = ∅,

2

LOGCFL-vollständig für ∅ ( T ⊆ {EX, EF} und ∅ ( T ⊆ {AX, AG}, und

3

P-vollständig sonst.

Idee Folgt aus vorherigem Fall in Kombination mit Abgeschlossenheit von LOGCFL unter Komplement und ähnlichen Überlegungen.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 19

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Negation beeinflusst die Komplexität nicht Satz Sei T eine Menge von CTL-Operatoren. Dann ist CTLx -MC(T ) für x ∈ {mon, a.n., pos}: 1

NC1 -vollständig für T = ∅,

2

LOGCFL-vollständig für ∅ ( T ⊆ {EX, EF} und ∅ ( T ⊆ {AX, AG}, und

3

P-vollständig sonst.

Idee Reduziere vom Wortproblem für ALOGSPACE Turing Maschinen.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 19

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Negation beeinflusst die Komplexität nicht Satz Sei T eine Menge von CTL-Operatoren. Dann ist CTLx -MC(T ) für x ∈ {mon, a.n., pos}: 1

NC1 -vollständig für T = ∅,

2

LOGCFL-vollständig für ∅ ( T ⊆ {EX, EF} und ∅ ( T ⊆ {AX, AG}, und

3

P-vollständig sonst.

Korollar Für jede nichtleere Menge T von CTL-Operatoren ist CTL-MC(T ) P-vollständig und NC1 -vollständig sonst.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 19

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Ergebnisüberblick Model-Checking

Feinere Klassifizierung vom allgemeinen Model-Checking Problem. ä Für alle nichtleeren Mengen T von CTL-Operatoren ist CTL-MC(T ) nicht parallelisierbar (wenn P 6= NC). Fragmente CTLpos -MC(T ), CTLa.n. -MC(T ), CTLmon -MC(T ) sind äquivalent bzgl. sehr scharfem Reduktionsbegriff ≤cd . ä Diese Fragmente auch für die Erweiterungen CTL+ , ECTL, und ECTL+ untersucht. Klassifikation von CTL? -MC(T , B) unter dem Ansatz vom Post’schen Verband angefangen.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 20

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Ergebnisüberblick Model-Checking

Feinere Klassifizierung vom allgemeinen Model-Checking Problem. ä Für alle nichtleeren Mengen T von CTL-Operatoren ist CTL-MC(T ) nicht parallelisierbar (wenn P 6= NC). Fragmente CTLpos -MC(T ), CTLa.n. -MC(T ), CTLmon -MC(T ) sind äquivalent bzgl. sehr scharfem Reduktionsbegriff ≤cd . ä Diese Fragmente auch für die Erweiterungen CTL+ , ECTL, und ECTL+ untersucht. Klassifikation von CTL? -MC(T , B) unter dem Ansatz vom Post’schen Verband angefangen.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 20

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Ergebnisüberblick Model-Checking

Feinere Klassifizierung vom allgemeinen Model-Checking Problem. ä Für alle nichtleeren Mengen T von CTL-Operatoren ist CTL-MC(T ) nicht parallelisierbar (wenn P 6= NC). Fragmente CTLpos -MC(T ), CTLa.n. -MC(T ), CTLmon -MC(T ) sind äquivalent bzgl. sehr scharfem Reduktionsbegriff ≤cd . ä Diese Fragmente auch für die Erweiterungen CTL+ , ECTL, und ECTL+ untersucht. Klassifikation von CTL? -MC(T , B) unter dem Ansatz vom Post’schen Verband angefangen.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 20

ThI

Institut für Theoretische Informatik

Beschreibungslogiken Entstanden in den 70ern (semantische Netzwerke und Datenmodelle). Finden Anwendung im Semantic Web (OWL), zur Datenbankrepräsentation, zur Repräsentation klinischer Daten (SNOMED CT ∼ 400.000 Axiome).

Viele verschiedene spezialisierte Beschreibungslogiken (Description Logics) für eine Vielzahl von Anwendungen. FL, FL0 , SROIQ, AL, EL, ELU , ALU , ALE, ALN , EL+ , EL++ , ALCF I reg , ALCQ, ALCOF , µALCIF , ...

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 21

ThI

Institut für Theoretische Informatik

ALC als Pendant zur Modallogik

Syntax ALC Konzept C ::= A | C u C | C t C | ¬C | ∃R.C | ∀R.C , wobei R eine Rolle und A ein atomares Konzept ist. Individuum entspricht einem konkreten Zustand (Welt) in der Modallogik Terminologie (TBox) Menge von Axiomen (Regeln) der Form B v C . Zusicherung (ABox) Menge von Ausdrücken der Form C (a), R(a, b) für Konzepte C , Rollen R, und Individuen a, b.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

Fazit

Seite 22

ThI

Institut für Theoretische Informatik

ALC als Pendant zur Modallogik

Syntax ALC Konzept C ::= A | C u C | C t C | ¬C | ∃R.C | ∀R.C , wobei R eine Rolle und A ein atomares Konzept ist. Individuum entspricht einem konkreten Zustand (Welt) in der Modallogik Terminologie (TBox) Menge von Axiomen (Regeln) der Form B v C . Zusicherung (ABox) Menge von Ausdrücken der Form C (a), R(a, b) für Konzepte C , Rollen R, und Individuen a, b.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

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ALC als Pendant zur Modallogik

Syntax ALC Konzept C ::= A | C u C | C t C | ¬C | ∃R.C | ∀R.C , wobei R eine Rolle und A ein atomares Konzept ist. Individuum entspricht einem konkreten Zustand (Welt) in der Modallogik Terminologie (TBox) Menge von Axiomen (Regeln) der Form B v C . Zusicherung (ABox) Menge von Ausdrücken der Form C (a), R(a, b) für Konzepte C , Rollen R, und Individuen a, b.

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ALC als Pendant zur Modallogik

Syntax ALC Konzept C ::= A | C u C | C t C | ¬C | ∃R.C | ∀R.C , wobei R eine Rolle und A ein atomares Konzept ist. Individuum entspricht einem konkreten Zustand (Welt) in der Modallogik Terminologie (TBox) Menge von Axiomen (Regeln) der Form B v C . Zusicherung (ABox) Menge von Ausdrücken der Form C (a), R(a, b) für Konzepte C , Rollen R, und Individuen a, b.

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Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

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Institut für Theoretische Informatik

Semantik von TBoxen am Beispiel

s1 S s4

R R

R s2 s3

R s5

S

T = {grün v ∃S.blau t ∃R.∃S.blau} ä TBox T wird von einer Interpretation erfüllt gdw. jede Welt in der Interpretation konsistent mit jedem Axiom in T ist. Dissertation: Alle Fragmente der wichtigsten DL-Entscheidungsprobleme klassifiziert.

Motivation

Modale Logik und Fragmente

Temporale Logik

Beschreibungslogiken

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Semantik von TBoxen am Beispiel

s1 S s4

R R

R s2 s3

R s5

S

T = {grün v ∃S.blau t ∃R.∃S.blau} ä TBox T wird von einer Interpretation erfüllt gdw. jede Welt in der Interpretation konsistent mit jedem Axiom in T ist. Dissertation: Alle Fragmente der wichtigsten DL-Entscheidungsprobleme klassifiziert.

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Semantik von TBoxen am Beispiel

s1 S s4

R R

R s2 s3

R s5

S

T = {grün v ∃S.blau t ∃R.∃S.blau} ä TBox T wird von einer Interpretation erfüllt gdw. jede Welt in der Interpretation konsistent mit jedem Axiom in T ist. Dissertation: Alle Fragmente der wichtigsten DL-Entscheidungsprobleme klassifiziert.

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Semantik von TBoxen am Beispiel

s1 S s4

R R

R s2 s3

R s5

S

T = {grün v ∃S.blau t ∃R.∃S.blau} ä TBox T wird von einer Interpretation erfüllt gdw. jede Welt in der Interpretation konsistent mit jedem Axiom in T ist. Dissertation: Alle Fragmente der wichtigsten DL-Entscheidungsprobleme klassifiziert.

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Gesamt-Rückblick – Was ist neu? Verbessertes Verständnis über Einfluss Boole’scher Funktionen auf Komplexität von Problemen. Sehr schwierige Fragmente weit unten im Post’schen Verband klassifiziert. Untersuchte temporal-logische Erweiterungen vervollständigen das Gesamtbild der Komplexitätslandschaft. Interaktion modal-logischer Operatoren im Post’schen Kontext analysiert. ä In Temporaler Logik sind Komplexitätssprunge wie in der Aussagenlogik zu beobachten. ä Für Beschreibungslogiken gibt es viel größere ineffiziente Bereiche im Verband. Motivation

Modale Logik und Fragmente

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Gesamt-Rückblick – Was ist neu? Verbessertes Verständnis über Einfluss Boole’scher Funktionen auf Komplexität von Problemen. Sehr schwierige Fragmente weit unten im Post’schen Verband klassifiziert. Untersuchte temporal-logische Erweiterungen vervollständigen das Gesamtbild der Komplexitätslandschaft. Interaktion modal-logischer Operatoren im Post’schen Kontext analysiert. ä In Temporaler Logik sind Komplexitätssprunge wie in der Aussagenlogik zu beobachten. ä Für Beschreibungslogiken gibt es viel größere ineffiziente Bereiche im Verband. Motivation

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Gesamt-Rückblick – Was ist neu? Verbessertes Verständnis über Einfluss Boole’scher Funktionen auf Komplexität von Problemen. Sehr schwierige Fragmente weit unten im Post’schen Verband klassifiziert. Untersuchte temporal-logische Erweiterungen vervollständigen das Gesamtbild der Komplexitätslandschaft. Interaktion modal-logischer Operatoren im Post’schen Kontext analysiert. ä In Temporaler Logik sind Komplexitätssprunge wie in der Aussagenlogik zu beobachten. ä Für Beschreibungslogiken gibt es viel größere ineffiziente Bereiche im Verband. Motivation

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Gesamt-Rückblick – Was ist neu? Verbessertes Verständnis über Einfluss Boole’scher Funktionen auf Komplexität von Problemen. Sehr schwierige Fragmente weit unten im Post’schen Verband klassifiziert. Untersuchte temporal-logische Erweiterungen vervollständigen das Gesamtbild der Komplexitätslandschaft. Interaktion modal-logischer Operatoren im Post’schen Kontext analysiert. ä In Temporaler Logik sind Komplexitätssprunge wie in der Aussagenlogik zu beobachten. ä Für Beschreibungslogiken gibt es viel größere ineffiziente Bereiche im Verband. Motivation

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Gesamt-Rückblick – Was ist neu? Verbessertes Verständnis über Einfluss Boole’scher Funktionen auf Komplexität von Problemen. Sehr schwierige Fragmente weit unten im Post’schen Verband klassifiziert. Untersuchte temporal-logische Erweiterungen vervollständigen das Gesamtbild der Komplexitätslandschaft. Interaktion modal-logischer Operatoren im Post’schen Kontext analysiert. ä In Temporaler Logik sind Komplexitätssprunge wie in der Aussagenlogik zu beobachten. ä Für Beschreibungslogiken gibt es viel größere ineffiziente Bereiche im Verband. Motivation

Modale Logik und Fragmente

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Ausblick Offene Fälle B ∈ {L, L0 } für CTL-SAT(T , B) und CTL? -SAT(T , B). Fragmente mit Disjunktion für OCSAT∃ (B). Ein paar selbst-duale und affine Fälle für Subsumption. Neue Fälle und weitere Forschung Vollständige Studie über CTL? -MC(T , B). Uneingeschränkte Quantifizierungen

FL, DL-Lite-Familie.

Klassifizierung vom modalen Implikationsproblem. Anwendbarkeit der theoretischen Resultate in aktuellen Algorithmen. Untersuchung der parameterisierten Komplexität der ineffizienten Fälle.

Motivation

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Ausblick Offene Fälle B ∈ {L, L0 } für CTL-SAT(T , B) und CTL? -SAT(T , B). Fragmente mit Disjunktion für OCSAT∃ (B). Ein paar selbst-duale und affine Fälle für Subsumption. Neue Fälle und weitere Forschung Vollständige Studie über CTL? -MC(T , B). Uneingeschränkte Quantifizierungen

FL, DL-Lite-Familie.

Klassifizierung vom modalen Implikationsproblem. Anwendbarkeit der theoretischen Resultate in aktuellen Algorithmen. Untersuchung der parameterisierten Komplexität der ineffizienten Fälle.

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FL, DL-Lite-Familie.

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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

Offene Fälle B ∈ {L, L0 } für CTL-SAT(T , B) und CTL? -SAT(T , B). Fragmente mit Disjunktion für OCSAT∃ (B). Ein paar selbst-duale und affine Fälle für Subsumption. Neue Fälle und weitere Forschung Vollständige Studie über CTL? -MC(T , B). Uneingeschränkte Quantifizierungen

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